Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề 8 Phương pháp tọa độ trong không gian Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM TỔ TOÁN Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN TỌA ĐỘ ĐIỂM TỌA ĐỘ VÉC TƠ I Hệ trục toạ đ[.]
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian x'Ox : trục hoành x' ' y Oy : trục tung r z'Oz : trục cao k y' O : gốc toạ độ r rr r r O j i, j , k : véc tơ đơn vị i rr r x (hay i; j;k : véc tơ đơn vị ) z' Quy ước : Khơng gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) y II Toạ độ điểm véc tơ: uuuu r Định nghĩa 1: Cho M kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo rr r uuuu r r r r z i, j , k hệ thức có dạng : OM xi yj +yk vớ i x,y,z ¡ Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M Ký hiệu: M(x;y;z) y ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) M O x Ý nghĩa hình học: z R z M3 O p uuuu r r r r OM xi yj zk M (x; y; z) x OP ; y= OQ ; z = OR M2 M y y Q x x ñ/ n M1 r r Định nghĩa 2: Cho a kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo r r r r rr r i a1,a2,a3 ¡ i, j , k hệ thức có dạng : a a1i a2 j +a3k vớ r Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a r a (a1; a2; a3) Ký hiệu: r a=(a1;a2;a3) ñ/ n r r r r a a1i a2 j a3k 172 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN II Các công thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A(xA; yA; zA) vàB(xB; yB; zB ) uuu r AB (xB xA; yB yA; zB zA ) r r Nếu a (a1; a2; a3) vaøb (b1; b2; b3) a1 b1 r r * a b a2 b2 a b 3 r r * a b (a1 b1; a2 b2; a3 b3) r r * a b (a1 b1; a2 b2; a3 b3) r (k ¡ ) * k.a (ka1; ka2; ka3) Định lý 2: III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song Định lý phương hai véc tơ: r r r r Định lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ i b0 r r a cù ng phương b r r !k ¡ cho a k.b r r Nếu a 0 số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b r r k < a ngược hướng b r a kr b uuu r uuur A, B,C thẳ ng hà ng AB cù ng phương AC Định lý : r r Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) vàb (b1; b2; b3) ta có : r r a cù ng phương b a1 kb1 a2 kb2 a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3 a kb IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: 173 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN rr r r r r a.b a b cos(a, b) r2 r a a r r rr a b a.b 0 Định lý 6: r r Cho hai véc tơ a (a1; a2; a2) vaøb (b1; b2; b3) ta có : rr ab a1b1 a2b2 a3b3 r Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) ta có : r a a12 a22 a32 Định lý 8: Nếu A(xA; yA; zA ) vaøB(xB; yB; zB ) AB (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2 r r a ( a ; a ; a ) vaø b (b1; b2; b3) ta có : Định lý 9: Cho hai véc tơ r r a b a1b1 a2b2 a3b3 0 r Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) r vàb (b1; b2; b3) ta có : rr r r a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a, b) r r a.b a12 a22 a32 b12 b22 b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chia đoạnuAB tỷr số k ( k 1 ) : uur theo uuu MA k.MB A M B uuur uuur Định lý 11 : Nếu A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ) MA k.MB ( k 1 ) xA k.xB xM 1 k yA k.yB yM 1 k zA k.zB zM 1 k 174 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN xA xB xM y y Đặc biệt : M trung điểm AB yM A B zA zB zM A ( x ; y ; z ) , B(xB; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC ) Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A A A xA xB xC xG y y y G trọng tâm tam giác ABC yG A B C zA zB zC zG Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a Chứng minh tam giác ABC vng b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: r r Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a (a1; a2; a3) vaøb (b1; b2; b3) véc tơ r r ký hiệu : a; b có tọa độ : r a (a1; a2; a3) Cách nhớ: r b (b1; b2; b3) r r a a a a a a a; b ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 Tính chất: r r r r r r a; b a vaø a; b b r suur uuu SABC AB; AC uuu r uuur SY ABCD AB; AD VABCD.ABC ' ' ' ' D A B C D A' A B uuu r uuur uuur' AB; AD AA r uuur uuur uuu AB; AC AD VABCD r r a cù ng phương b r r r a; b 0 D' C C' B' D D C A B C A B 175 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN r r r r r r a, b,c đồ ng phẳ ng a, b c 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur A, B, C, D đồng phẳng AB,AC,AD đồng phẳng AB,AC AD BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B(3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1) Chứng minh tam giác ABC vng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: r r r ñn a a VTCP đường thẳng ( ) r c trù ng vớ i () a cógiásong song hoặ a a () Chú ý: Một đường thẳng có vơ số VTCP, véc tơ phương với Một đường thẳng ( ) hoàn toàn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: a b a b r Cho mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường r thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : uruu r Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng Chú ý : Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc cặp VTCP Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n r r n r ñn n VTPT mặt phẳng r ng gó c vớ i mp n cógiávuô 176 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chú ý : Một mặt phẳng có vơ số VTPT, véc tơ phương với Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: r a (a1; a2; a3) Định lý: Giả sử mặt phẳng có cặp VTCP : r mp có VTPT : b ( b ; b ; b ) r r r a a a a a a n a; b ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 a n [a , b ] b Ví dụ: Tìm VTPT mặt phẳng biết qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) có r VTPT n ( A; B;C ) là: n ( A; B; C ) M x;y;z M ( x0 ; y ; z ) A(x x0) B(y y0) C(z z0) Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : z n ( A; B; C ) Ax By Cz D với A2 B2 C 0 y M0 phương trình tổng quát mặt phẳng x Chú ý : r Nếu ( ): Ax By Cz D ( ) có VTPT n ( A; B;C) M0(x0; y0; z0) ( ): Ax By Cz D 0 Ax0 By0 Cz0 D 0 Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oxz ) (Oxy):z = x (Oyz):x = (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: A(a;0;0) Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz B(0; b;0) (a,b,c 0) C(0;0; c) (Oyz ) z y O (Oxy ) C c O a A b B 177 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN x y z 1 a b c Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3 , B 2; 3;1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với đường thẳng AB Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng P : x 2y 3z R :3x 2y z 1 Viết phương là: trình mặt phẳng R qua A 1;1;1 đồng thời vng góc với P Q Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ III Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: a1 tb1 a tb (a1, a2, , an) Hai n số : gọi tỷ lệ với có số t 0 cho (b1, b2, , bn) an tbn a1 : a2 : : an b1 : b2 : : bn Ký hiệu: a a1 a2 n b1 b2 bn Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định phương trình : uu r ( ) : A1x B1y C1z D1 0 coùVTPT n1 (A1; B1;C1) uu r ( ): A2x B2y C2z D2 0 coùVTPT n2 (A2; B2;C2) n n2 n1 n1 a n2 n2 b a a b b ( ) caé t ( ) A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 (hay: A1 B1 C1 D1 A B2 C2 D2 ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A B2 C2 D2 ( ) // ( ) A1 B1 B C C A hoaë c hoaë c 1) A B2 B2 C2 C2 A2 Đặc biệt: A 1A2 B1B2 C1C2 0 178 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP : z a x x0 ta1 (): y y0 ta2 z z ta ( ) M0 M ( x, y , z ) y (t ¡ ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP : (): x x0 y y0 z z0 a1 a2 a3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2; 2;1) , B ( 0; 2;5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A B Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 1;1;0) , B ( 0; 2;1) trọng tâm G ( 0; 2; - 1) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm C vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Ví dụ 3: x 1 2t Cho điểm M(-2;1;1) đường thẳng (d): y 1 t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm z 3 t M vng góc với đường thẳng (d) Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) đường thẳng (d): x z z Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm 1 M đường thẳng (d) II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : M () a n n a M a a () n a M a () 179 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : r x x0 y y0 z z0 đường thẳng (): có VTCP a (a1; a2; a3) qua M0(x0; y0; z0) a1 a2 a3 r mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 có VTPT n ( A; B;C) Khi : () cắ t ( ) Aa1 Ba2 Ca3 0 Aa1 Ba2 Ca3 0 Ax0 By0 Cz0 D 0 Aa1 Ba2 Ca3 0 Ax0 By0 Cz0 D 0 () // ( ) () ( ) a () ( ) Đặc biệt: n a1 : a2 : a3 A : B : C a pt() Chú ý: Muốn tìm giao điểm M ( ) ( ) ta giải hệ phương trình : tìm x,y,z pt( ) Suy ra: M(x,y,z) Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d): x1 y z mặt phẳng (P): x 3y 4m2z m Tìm m 1 4 để đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) Vị trí tương đối hai đường thẳng : M M0 ' a b 1 u M0 u' 2 M 0' 1 2 u M0 ' 1 M M u u' 2 M ' 1 u' 2 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : r x x0 y y0 z z0 (1) : coùVTCP u (a; b; c) vaøqua M 0( x0; y0; z0) a b c ur x x0 y y0 z z0 ' ( 2): coù VTCP u (a'; b'; c' ) vaøqua M '0(x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c 180 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN r r ur uuuuuuu (1) và( 2) đồ ng phẳ ng u,u' M0M0' ur uuuuuuu r r u, u' M M ' 0 (1) caé t ( 2) a : b : c a' : b' : c' (1) // ( 2) a : b: c a' : b' : c' (x0' x0):(y0' y0):(z0' z0) (1) ( 2) a : b: c a' : b' : c' (x0' x0):(y0' y0 ):(z0' z0) r r ur uuuuuuu u,u' M0M0' (1) và( 2) ché o pt(1) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (1) và( 2) ta giải hệ phương trình : tìm x,y,z pt( 2) Suy ra: M(x,y,z) III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định phương trình : ( ) : A1x B1y C1z D1 0 n1 ( A1 ; B1 ; C1 ) n2 ( A2 ; B2 ; C ) ( ): A2x B2y C2z D2 0 Gọi góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: cos A1 A2 B1 B2 C1C2 a A12 B12 C12 A22 B22 C22 0 90 b Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P): x y 0& (Q): x z Xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (): x x0 y y0 z z0 a b c mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 Gọi góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin () a (a; b; c ) n ( A; B; C ) Aa Bb Cc A B C a b2 c2 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x x0 y y0 z z0 (1) : a b c x x0 y y0 z z0 ( 2): a' b' c' a a1 (a; b; c) 0 90 1 2 a (a ' ; b' ; c' ) 0 90 181 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Vậy phương trình : HĐBM-TỔ TOÁN x 6 y 5 z 9 4 r x 1 y 1 z Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho M 1; 2; 3 ;a 6; 2; 3 , d : Tìm phương trình 5 r đường thẳng qua M, vng góc a cắt (d) Bài giải Lấy điểm N (d) , tọa độ N có dạng N 3t; 1 2t;5 3t , ta có: uuuu r MN 3t; 3 2t;6 5t r uuuu rr MN a MN.a 3t 3 2t 5t t uuuu r Đường thẳng cần tìm qua M có VTCP MN 2; 3;6 có phương trình là: x 1 y z 3 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tắc đường thẳng d qua A 0;1;1 , vuông góc x 1 y z (d1 ) : cắt d giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình: 1 x y z 0, x Bài giải 185 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN x 1 Viết phương trình tham số đường thẳng d : y 1 t z t uuur uur Xét điểm B 1; 1 t, t (d ) Tìm t để AB.a d1 uuur uur AB.a d1 t B 1; 2;3 Phương trình (d): x y 1 z 1 1 x y z 1 mặt phẳng (P): x y z 1 Gọi M giao điểm (d) (P) Viết phương trình đường thẳng nằm (P) saocho vng góc với Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d): (d) khoảng cách từ M đến Bài giải 42 Do M (d) I (P) nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x y z x y 3 M 1; 3;0 1 z x y z r uur (d) có VTCP a 2;1 1 (P) có VTPT n P 1;1;1 uur r uur Mặt phẳng (Q) chứa (d) vng góc với (P) có VTPT n Q a; n P 2; 3;1 Phương trình mp(Q): 2x 3y z 11 Gọi (d') hình chiếu vng góc (d) mặt phẳng (P) (d) P I Q uur uur uur VTCP (d') a d ' n P ; n Q 4;1; 5 , phương trình tham số (d') là: x 4t y 3 t z 5t Ta tìm N d ' cho MN 42 , đặt N 4t; 3 t; 5 , ta có: MN 42 42t 42 t 1 + Với t ta có N1 5; 2; 5 1 qua N1 nằm (P) vng góc với (d') có VTCP uuu r uur uur a 1 n P ; n d ' 6;9; 3 3 2; 3;1 Phương trình đường thẳng cần tìm là: x 5 y2 z5 1 : 3 x 3 y z 5 + Với t 1 ta có: : 3 186 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A 1; 0;1 , B 1; 2;1 ;C 4;1; 2 mặt phẳng (P): x y z Tìm (P) điểm M cho MA MB2 MC đạt giá trị nhỏ Bài giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G 2;1;0 , ta có MA MB2 MC 3MG GA GB2 GC2 (1) Từ hệ thức (1) ta suy : MA MB2 MC đạt GTNN MG đạt GTNN M hình chiếu vng góc G (P) Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với (P) (d) có phương trình tham số là: x t y 1 t z t Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x t t 1 y t x M 1, 0, 1 z t y0 x y z z 1 M 1;0; Vậy x 1 y z x y 1 z 1 ; d2 : mặt 2 1 phẳng P : x y 2z Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) cắt d1 , d A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : Bài giải Đặt A 1 a; 2 2a;a , B 2b;1 b;1 b , ta có 187 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN uuur AB a 2b 3; 2a b 3; a b 1 Do AB song song với (P) nên: uuur uur AB n P 1;1; 2 b a uuur Suy ra: AB a 5; a 1; 3 Do đó: AB a 5 a 1 3 2a 8a 35 a 27 3 2 a2 Suy ra: AB 3 b 2 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: x 1 y z 1 Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho A 0;0; , B 2;0;0 mặt phẳng (P) có phương trình 2x y Lập phương trình mặt cầu S qua ba điểm O, A, B tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài giải Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x y z 2ax 2by 2cz d d d Do O, A, B S 16 8c c 2 4 4a a 1 Suy ra: (S) có tâm I 1; b; , R b b Do (S) tiếp xúc với (P) nên: d I;(P) R b b 4b 10b 1 b 2b3 2 Vậy có hai mặt cầu là: S1 : x y z 2x 4z S2 : x y z 2x 5y 4z Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1; , B 1;1;1 , C 2; 2;3 mặt phẳng (P): x y z uuuu r uuur uuur Tìm điểm M (P) cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ Bài giải 188 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G 1;0; Xét điểm M (P) Ta có: uuuu r uuur uuur uuuu r MA MB MC MG 3MG uuuu r uuur uuur Suy ra: MA MB MC đạt GTNN MG đạt GTNN M hình chiếu G (P) Tìm M + Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với mặt phẳng (P) x t Phương trình đường thẳng (d): y t z t x t t 2 y 1 x 1 M 1; 2;0 + Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: z t y2 x y z z Vậy M 1; 2;0 Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 5x 4y 3z 20 0;3x 4y z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 cắt (d) hai điểm A, B cho AB 16 Bài giải r 4 3 5 4 ; ; Đường thẳng (d) có VTCP là: u 8; 4; 8 2;1; 2 4 1 3 4 Kẻ IH AB HA HB IH d I, (d) , R IH AH 189 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Xét điểm M 11;0; 25 , ta có: uuu r r IM 9; 3; 24 u; IM 30;30; 15 uur n d 2;1; 2 r 2 u; IM 30 302 15 d I;(d) 15 r u Do đó: R IH AH 225 64 17 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x y 3 z 1 289 2 x2 y z Xét hình bình hành ABCD có 2 A(1 ; ; 0), C (2 ; ; 2), D d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Bài giải x2 y z D(t ; 2t ; 2t 1) Vì S ABCD 3 S ACD Ta có AC (1 ; ; 2); AD (t ; 2t ; 2t 1) Do D d : Suy [ AC , AD] ( ; 4t ; 4t 9) Khi đó: 1 S ACD AC , AD 16 (4t 7) ( 4t 9) 32t 128t 146 2 2 Từ (1) (2) ta có 32t 128t 128 0 t 2 Suy D(0 ; ; 3) Do ABCD hình bình hành nên AB DC Suy B(3 ; ; 5) Vậy B 3;3;5 (1) (2) 190 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN C Các toán thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014 Bài 1: (TN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 1;0) mặt phẳng ( P ) : x y z a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vng góc với ( P ) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho AM OA AM 3d ( A;( P )) Đáp án Bài 2: (CĐ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;1; 1), B (1; 2;3) mặt phẳng ( P ) : x y z a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A ( P ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B vng góc với ( P ) Đáp án 191 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bài 3: (ĐH-K.D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x y z mặt cầu ( S ) : x y z x y z 11 a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) b) Tìm tọa độ tâm (C ) Đáp án Bài 4: (ĐH-K.B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0; 1) đường thẳng d : x 1 y z 2 1 a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với d b) Tìm tọa độ hình chiếu A d 192 Tài liệu ôn thi môn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Đáp án Bài 5: (ĐH-K.A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x y z đường thẳng d: x2 y z 3 2 a) Tìm tọa độ giao điểm d ( P ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với ( P ) Đáp án 193 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN D BÀI TẬP Bài Viết phương trình mặt phẳng P qua ba điểm A 1;0;1 , B 0;2;0 ,C 0;1;2 Kết quả: P :3x 2y z Bài Viết phương trình mặt phẳng P qua ba điểm A 1;0;3 , B 0;2;2 ,C 1; 1;5 Kết quả: P :3x 2y z Bài Viết phương trình mặt phẳng P qua M 1;2;3 song song với mặt phẳng Q : 2x 3y 2z 1 Kết quả: P :2x 3y 2z Bài Viết phương trình mặt phẳng P qua M 1; 1;2 vng góc với mặt phẳng Q : x 3z 1 0; R : 2x y z 1 Kết quả: P :3x 5y z 10 Bài Viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A 0;1;0 , B 1;2; 2 vng góc với mặt phẳng Q : 2x y 3z 13 Kết quả: P : x 7y 3z Bài Cho M 2;3;1 đường thẳng : x y z Viết phương trình mặt phẳng P chứa 1 qua M Kết quả: P :2x y z Bài Cho A 1; 1;2 P :2x 3y 5z 10 Viết phương trình mặt phẳng Q đối xứng với mặt phẳng P qua A Kết quả: P :2x 3y 5z 20 Bài Viết phương trình đường thẳng giao tuyến P :3x y z 0, Q : x 2y z x t Kết quả: y z 5t Bài Cho A 1; 2;3 P :3x y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng P 194 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Kết quả: HĐBM-TỔ TỐN x y z 1 x 1 3t x y z ; : y t Viết phương trình đường Bài 10 Cho M 2;3; 1 hai đường thẳng 1 : 3 z 1 5t thẳng qua M vng góc với 1 , Kết quả: x y z 13 Bài 11 Cho M 3;2; 1 hai đường thẳng 1 : x y z x y z Viết phương ; 2 : 5 1 2 trình đường thẳng qua M vng góc với 1 cắt Kết quả: x y z Bài 12 Cho M 1; 1;1 hai đường thẳng 1 : x y z x y z Viết phương ; 2 : 1 1 1 trình đường thẳng qua M cắt hai đường thẳng 1 Kết quả: x y z 13 6 Bài 13 Tìm hình chiếu vng góc M 3;6;2 lên mặt phẳng P :5x 2y z 25 Kết quả: 2;8;1 Bài 14 Tìm hình chiếu vng góc điểm M 1;0;2 lên đường thẳng : x y z Từ suy 2 tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua Kết quả: H 1;5; 1 , M ' 3;10; 4 Bài 15 Cho đường thẳng : x y z mặt phẳng P : x y 3z Viết phương trình hình 3 chiếu vng góc mặt phẳng P Kết quả: x y z 26 29 195 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài 16 Cho đường thẳng : HĐBM-TỔ TOÁN x y z mặt phẳng P : x 4y 3z 1 Viết phương trình hình 1 chiếu vng góc mặt phẳng P x 13 2t 16 Kết quả: y t 13 14 z 2t x 2 t x y z ; : y 1 t Chứng minh 1 chéo Bài 17 Cho hai đường thẳng 1 : 1 2 z Viết phương trình đường thẳng đường vng góc chung 1 Kết quả: x y z 1 1 Bài 18 Cho đường thẳng : x y z mặt phẳng P :2x y 2z 1 Tìm tọa độ giao điểm 2 P Viết phương trình mặt phẳng chứa vng góc với P 7 3 Kết quả: M ; 3; , P : x 8y 5z 13 2 2 Bài 19 Cho điểm A 1;0; 1 đường thẳng : x y z Viết phương trình mặt phẳng qua A 2 1 vng góc với Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A 1 Kết quả: P :2x 2y z 0, H ; ; 3 3 x 1 2t Bài 20 Cho điểm M 1,5,3 đường thẳng : y t Viết phương trình mặt phẳng P vng góc z 3 2t cách M khoảng 196 ... liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng ()... thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP : (): x x0 y y0 z z0 a1 a2 a3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ... z 2 t Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) (d2) MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính
