Bài 3 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

CHUYÊN ĐỀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Mục tiêu  Kiến thức + Biết cơng thức tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp + Biết cách xác định chiều cao khối lăng trụ, khối chóp thơng qua mối quan hệ góc, khoảng cách hệ thức lượng tam giác + Biết cách tính thể tích khối đa diện phương pháp gián tiếp: phân chia khối đa diện, tách ghép, bổ sung khối đa diện, sử dụng cơng thức tỉ số thể tích + Biết liên hệ với tốn thực tế thơng qua giải tốn thực tế, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ  Kĩ + Thành thạo cơng thức tính thể tích khối đa diện + Tính khoảng cách, góc thơng qua tốn thể tích Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ Th tớch chúp: V = Sđáy.h Ví dụ: VS ABCD = d( S ( ABCD ) ) S ABCD Trong ú: Sđáy : Din tích mặt đáy h: Độ dài chiều cao khối chóp Th tớch lng tr: V = Sđáy.h Trong ú: Sđáy : Din tớch mt ỏy h: Chiu cao ca khối chóp Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.bc cạnh bên Thể tích khối lập phương: V = a3 Chú ý: +) Đường chéo hình vng cạnh a là: a +) Đường chéo hình lập phương cạnh a là: a +) Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: a2 + b2 + c2 +) Đường cao tam giác cạnh a là: a Trang Các cơng thức hình phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH +) AB2 + AC2 = BC2 ; +) AC2 = CH.BC ; +) AH.BC = AB.AC ; +) AB2 = BH.BC ; +) AH = BH.HC ; +) 1 = + ; 2 AH AB AC2 +) AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cot B b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r, nửa chu vi p +) Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A ; b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB ; c2 = a2 + b2 = 2ab.cosC +) Định lí hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sinC +) Độ dài trung tuyến: b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 − ; mb2 = − ; mc2 = − 4 Các công thức tính diện tích ma2 = a) Tam giác: +) S = 1 a.ha = bh b = c.hc 2 +) S = 1 bcsin A = casin B = absinC 2 +) S = abc 4R +) S = pr (p: nửa chu vi tam giác) +) S = p( p − a) ( p − b) ( p − c) +) ∆ABC vuông A: S = AB.AC BC.AH = 2 +) ∆ABC đều, cạnh a: AH = a a2 , S= Trang b) Hình vng: S = a2 (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = ab(a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: · S = đáy ì chiều cao =AB.AD.sin BAD Ã = AC.BD e) Hình thoi: S = AB.AD.sin BAD f) Hình thang: S = ( a + b) h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S = AC.BD Một số kỹ thuật tính thể tích hay dùng Kĩ thuật chuyển đỉnh Khi đáy không đổi chuyển đỉnh để việc tính tốn dễ dàng +) Trường hợp 1: Đỉnh đỉnh cũ nằm đường thẳng song song với đáy: Vmí i = Vcò +) Trường hợp 2: Đỉnh đỉnh cũ nằm đường thẳng cắt đáy: Vmí i BM = Vcò AM Trang Kĩ thuật chuyển đáy Khi chiều cao khơng đổi ta chuyển đáy để việc tính tốn dễ dàng hơn: VSABCD S SABCD = VEFG S EFG Góc đường thẳng vằ mặt phẳng Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc mặt phẳng Góc cạnh bên mặt phẳng đáy Để tính góc (·SA, ( P ) ) , ta gọi H hình chiếu vng góc S ( P ) Khi HA hình chiếu vng góc SA ( P ) · Vậy (·SA, ( P ) ) = (·SA, AH ) = SAH Góc cạnh bên mặt đứng Để tính góc (·SB, ( SAH ) ) biết ( SAH ) ⊥ ( P ) ta dựng  BK ⊥ AH BK ⊥ AH ( K ∈ AH ) Vì  nên BK ⊥ ( SAH )  BK ⊥ SH Khi K hình chiếu vng góc B ( SAH ) ⇒ SK hình chiếu vng góc SB ( SAH ) · Vậy (·SB, ( SAH ) ) = (·SB, SK ) = BSK Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến Góc mặt bên mặt phẳng đáy Để tính góc (·( SAB ) , ( P ) ) , ta gọi H hình chiếu vng góc S ( P ) Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB ) Trang  AB ⊥ HI ⇒ ⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ AB ⊥ SI  AB ⊥ SH · Vậy (·( SAB ) , ( P ) ) = (·SI , HI ) = SIH Góc mặt bên mặt đứng Để tính góc (· ( SAB ) , ( SAH ) ) biết ( SAH ) ⊥ ( P ) , ta kẻ  BK ⊥ HA BK ⊥ HA ( K ∈ HA ) ⇒  ⇒ BK ⊥ ( SHA )  BK ⊥ SH Kẻ KI ⊥ SA ( I ∈ SA )  SA ⊥ KI ⇒ ⇒ SA ⊥ ( BKI ) ⇒ SA ⊥ BI  SA ⊥ BK · Vậy (· ( SAB ) , ( SAH ) ) = (·KI , BI ) = BIK II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thể tích khối chóp Bài tốn Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Phương pháp giải Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao khối chóp MƠ HÌNH Hình chóp S ABC , cạnh SA vng góc với đáy + Đáy tam giác ABC + Đường cao SA + Cạnh bên SB, SC, SA + ∆SAB , ∆SAC tam giác vuông A · + Góc cạnh SB với đáy ABC góc SBA · + Góc cạnh SC với đáy ABC góc SCA · + Góc mặt bên SBC với đáy góc SHA với H hình chiếu vng góc A BC Trang MƠ HÌNH Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật (hình vng) SA vng góc với đáy + Đáy hình chữ nhật (hình vuông) ABCD + Đường cao SA + Cạnh bên SA, SB, SC, SD + ∆SAB, ∆SAC , ∆SAD tam giác vng A · + Góc cạnh SB với đáy ABCD SBA · + Góc cạnh SC với đáy ABCD SCA · + Góc cạnh SD với đáy ABCD SDA · + Góc mặt bên SBC với đáy ABCD SBA · + Góc mặt bên SCD với đáy ABCD SDA Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC tam giác vuông A, AB = a , Chú ý: AC = 2a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a Thể tích khối Chóp tam giác O ABC có OA, OB, OC đơi chóp S ABC A V = a B V = a3 C V = a3 D V = a3 Hướng dẫn giải khối chóp S ABC V= Diện tích đáy S ABC = vng góc thể tích OA.OB.OC 1 AB AC = a.2a = a 2 Chiều cao: SA = a 1 a3 Vậy VS ABC = S ABC SA = a a = 3 Chọn C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a Thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a C a3 D a3 Hướng dẫn giải Trang Diện tích đáy S ABCD = a Chiều cao: SA = a 1 a3 Vậy VABCD = B.h = a a = 3 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , ·ACB = 60° cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45° Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 18 C a3 D a3 12 Hướng dẫn giải Ta có ∆ABC vng B nên a BC = AB.cot ·ACB = a.cot 60° = ⇒ S ∆ABC = 1 a a2 BA.BC = a = 2 Ta có AB hình chiếu vng góc SB ( ABC ) ( ) ( ) · , ( ABC ) = SB · , AB = SBA · ⇒ SB = 45° ∆SAB vuông A nên · SA = AB.tan SBA = AB.tan 45° = a 1 a2 a3 Vậy VS ABC = S ABC SA = a = 3 18 Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, ( AD P BC ) , cạnh AD = 2a , AB = BC = CD = a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc a3 Hướng dẫn giải hình thang cân ABCD thành ba tam giác 60° Thể tích khối chóp S ABCD A Nhận xét: Việc chia nhỏ giúp ta thuận tiện việc tính diện tích đáy B a3 C 3a 3 D 3a 3 Chú ý: Nếu ABC tam giác S ABC = AB Trang Gọi M trung điểm AD Ta chia hình thang cân ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam giác tam giác cạnh a Do S ABCD = 3a Ta có AC hình chiếu vng góc SC · , ( ABCD ) = SC · = 60° ( ABCD ) ⇒ ( SC ) ( · , AC ) = SCA Lại có AH đường cao tam giác ABM nên AH = AB a = ⇒ AC = AH = a 2 ∆SAC vuông A nên · SA = AC.tan SCA = AC.tan 60° = 3a Vậy VS ABCD = 1 3a 3a 3 S ABCD SA = 3a = 3 4 Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi AC = 2a , BD = 3a , AC ⊥ BD SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α thỏa mãn tan α = Thể tích khối chóp S ABCD A 2a 3 B a3 a3 C D a3 12 Hướng dẫn giải Ta có AC ⊥ BD ⇒ S ABCD = AC.BD = 3a Do AC hình chiếu vng góc SC ( ABCD ) ) ( ( ) · · , AC = SCA · =α nên SC , ( ABCD ) = SC ⇒ SA = AC.tan α = Vậy VS ABCD = 2a 1 2a 2a S S ABCD SA = 3a = 3 3 Chọn A Trang Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) vng góc với nhau, SB = a , a3 · BSC = 45° , ·ASB = 30° Thể tích khối chóp SABC V Tỉ số V A B 3 C D Tổng qt: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , phẳng ( SAB ) ( SBC ) vng góc với nhau, hai mặt · BSC = α , ·ASB = β Hướng dẫn giải Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Thể tích khối chóp S ABC ( SBC ) ⊥ ( SAB ) , ( ABC ) ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Mà  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ ∆ABC , ∆SBC tam giác vuông B Xét ∆SAB vng A có: a 3a AB = SB.sin ·ASB = , SA = SB.cos ·ASB = 2 · Xét ∆SBC vuông B có: BC = SB.tan BSC =a ⇒ S ∆ABC = 1 a 3a AB.BC = a = 2 Vậy VS ABC 1 3a 3a 3a a3 = S ∆ABC SA = = ⇒ = 3 V Chọn A là: VS ABC = SB sin 2α tan β 12 Chứng minh: Xét ∆SAB vng A có: AB = SB.sin α SA = SB.cos α Xét ∆SBC vuông B có: BC = SB.tan β ⇒ S ∆ABC = AB.BC = SB sin α tan β Vậy VS ABC = S ∆ABC SA = SB sin α tan β SB cos α = SB sin 2α tan α 12 Bài tốn Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Phương pháp giải Trang 10 C 3 D Hướng dẫn giải Ta có BM = AM ⇒ BM 4 = ⇒ VM BC ′D = VA BC ′D AB 5 1 Mà VA BC ′D = VC ′ ABD = CC ′.S ABD = CC ′ AB AD = 10 ⇒ VM BC ′D = 2 Ta có BD = AB + AD = 5, SC ′BD = d ′ BD = 10 ( C , BD ) 3VM BC ′D 12 = Ta có VM , BC ′D = d( M ,( BC ′D ) ) S BC ′D ⇒ d( M ,( BC ′D ) ) = S BC ′D Chọn B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 4, AC = BD = 5, AD = BC = Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) A B C 42 D Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện gần đều, ta có VABCD = = Ta có p = ( −a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) 2 2 2 2 ( −4 + + ) ( − + ) ( + − ) = 154 2 2 2 2 BC + CD + DB + 5+ 15 = = 2 Trang 97 Suy S∆BCD = p( p − 4) ( p − 5) ( p − 6) = 15 15 3VA.BCD 42 = = Ta có d A,( BCD ) = S∆BCD 15 ( ) Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA = 2, SB = 3, SC = Góc · · · ASB = 45°, BSC = 60°,CSA = 90° Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC A 34 17 B 34 17 C 34 17 D 34 17 Hướng dẫn giải · · · Hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c ASB = α , BSC = β ,CSA =γ ⇒ VS.ABC = abc 1− cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2cosα cosβ cosγ ⇒ VS.ABC = Ta có: AC = 20; BC = 13 cos( SA, BC ) = SB2 − SC + AC − AB2 32 − 42 + 20 − 13+ = = 2SA.BC 2.2 13 26 Suy sin( SA, BC ) = Suy d ( SA, BC ) = 17 26 6V 34 = Chọn C · 17 SA.BC.sin( SA, BC ) Ví dụ Cho tứ diện ABCD tích V Trên AB lấy hai điểm M, N Trang 98 CD lấy hai điểm P, Q thỏa mãn MN PQ +3 = Thể tích khối MNPQ đạt giá trị CD AB lớn A V B V 16 C V 24 D V 32 Hướng dẫn giải AB.CD.d ( AB,CD ) sin( AB,CD ) ; VABCD = VMNPQ = MN.PQ.d ( MN, PQ) sin( MN, PQ) Do d ( AB,CD ) = d ( MN, PQ) sin( AB,CD ) = sin( MN, PQ) nên VMNPQ = VABCD Ta có ⇒ ⇒ MN.PQ AB.CD MN PQ MN PQ MN PQ +3 ≥2 =2 CD AB CD AB CD AB MN PQ MN PQ +3 =1 ≤ CD AB CD AB V MN PQ 1 ≤ ⇒ MNPQ ≤ CD AB 24 VABCD 24 Vậy VMNPQ ≤ V V ⇒ MaxVMNPQ = 24 24 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN với MD Biết SH ⊥ ( ABCD ) , SH = a Khoảng cách DM SC A 3a 57 38 B 2a 57 19 C 3a 57 19 D 2a 57 27 Trang 99 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với đáy, mặt bên ( SCD ) tạo a3 với mặt đáy góc 60° , M trung điểm BC Biết thể tích khối chóp S.ABCD Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) a A B a C a D a Câu 3: Cho khối chóp S.ABC tích 24cm3, SB = BC = 5cm, SC = 8cm Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A cm B cm C cm D 12 cm Câu 4: Cho khối chóp S.ABCD tích V = 6a3 , đáy ABCD hình thang với hai đáy AD BC thỏa mãn AD = 2BC , diện tích tam giác SCD A 34 a 34 B 34 a 17 34a2 Khoảng cách từ B đến ( SCD ) C 34 a 17 D 34 a 17 · Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có AB = a, AC = 2a, AA′ = 2a BAC = 120° Gọi K , I trung điểm cạnh CC ′, BB′ Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( A′BK ) A a B a C a 15 D a 15 D A1B B1D Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A1BC 1 có cạnh a Khoảng cách đường thẳng A a B a C a D a Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vng góc điểm S nằm tam giác ABC Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r = 3, BC = diện tích tam giác ABC S = 10 Các mặt bên hình chóp S.ABC tạo với đáy góc 60° Khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A h = B h = C h = 3 D h = · · Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = 3a, AC = 2a, AD = 5a; ·BAC = CAD = DAB = 60° Khoảng cách từ C đến ( ABD ) A 2a B a C a D 2a Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAD cân S mặt bên ( SAD ) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Khoảng cách h từ B đến mặt phẳng ( SCD ) Trang 100 A h = a B h = a C h = a D h = a a 21 Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ( ABC ) Góc tạo mặt bên với mặt phẳng đáy 60° Gọi M, N trung điểm AB, SC Khoảng cách hai đường thẳng SA, MN 3a 6a 12a C D 42 42 42 Câu 11: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A′ A 9a 42 B a3 đáy ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ Khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC A 3a B 4a C 3a D 2a Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC ( ABC ) 60° Khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a 21 B a 42 24 C Câu 13: Cho khối tứ diện ABCD tích V = a 21 D a 42 AC · = , góc ACB = 45° AD + BC + Độ dài cạnh CD A B C D 2 Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, ·ABC = 60°, SA = SB = SC = 2a Khoảng cách AB SC A a 11 12 B a 22 C a 11 D a 22 12 ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 11-C 2-C 12-D 3-C 13-B 4-D 14-C 5-A 6-C 7-A 8-A 9-A 10-A Dạng Bài toán thực tế khối đa diện Phương pháp giải • Phân tích tốn, chuyển kiện thực tế hình • Áp dụng bất đẳng thức, đạo hàm để giải tốn tối ưu Trang 101 Ví dụ mẫu Ví dụ Kim tự tháp Cheops ( có dạng hình chóp đều) kim tự tháp cao Chú ý: Ai Cập Đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230m Các lối Cơng thức tính khối lượng phịng bên chiếm 30%, khối lượng riêng đá 2,5.10 kg/m3 Khối lượng đá tạo nên kim tự tháp 443 600 riêng: D= m m ⇒V = V D Trong D khối lượng riêng, m khối lượng V thể tích Chiều cao kim tự tháp là: A 148m B 144m C 154m D.156m Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính khối lượng riêng để tính thể tích đá Ta có: D = m m ⇒ V1 = V1 D Thể tích khối kim tự tháp V = V1 100 10m = (do lối 70 7D phịng bên chiếm 30%) Diện tích đáy S = 2302 ( m2 ) Chiều cao h = 3V 3.4443600.10 = = 144m S 2,5.2302.7 Chọn B Ví dụ Một công ty sữa cần sản xuất hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng, chứa thể tích thực 180ml Chiều cao hình hộp để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp nhất? A C 3 1802 (cm) B 720 (cm) D 180 (cm) 3 360 (cm) Hướng tư duy: Gọi x độ dài cạnh đáy, h chiều cao hình hộp Ta rút h theo x Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp Hướng dẫn giải diện tích tồn phần S nhỏ Thay h theo x vào cơng thức S S cịn ẩn x ta sử dụng bất đẳng thức cơng cụ đạo hàm để tìm minS Trang 102 Gọi x độ dài cạnh đáy, h chiều cao hình hộp Theo ta có: x h = 180 ⇒ h = 180 x2 Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp diện tích tồn phần S nhỏ 2 Ta có S = x + xh = x + x 180 720 360 360 = 2x2 + = 2x2 + + x x x x  360  360  Ta có S ≥ 3 x  ÷ ÷ = 2.360  x  x  Dấu xảy x = 360 ⇔ x3 = 180 ⇔ x = 180 x Khi h = 180 Chọn D Ví dụ : Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải Ta có: h = x (cm) chiều cao hình hộp Vì nhơm gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy hình hộp : 12 – 2x (cm) Vậy diện tích đáy hình hộp S = (12 − x) (cm ) Trang 103 x > x > ⇔ ⇔ x ∈ ( 0;6) Ta có :  12 − 2x > x < Thể tích hình hộp : V = S h = x.(12 − x) 2 Xét hàm số y = x.(12 − x ) ∀x ∈ ( 0;6 ) Ta có: y ′ = (12 − x ) − x(12 − x) = (12 − x)(12 − x); y ′ = ⇔ (12 − x).(12 − x) = ⇔ x = x = (loại) Suy ta với x = thể tích hộp lớn giá trị lớn y (2) = 128 Chọn C Ví dụ Một xưởng sản xuất thùng nhôm hình hộp chữ nhật khơng nắp có kích thước x, y, z (dm) Biết tỉ số hai cạnh đáy x : y = 1: , thể tích khối hộp 18dm Để tốn vật liệu tổng x + y + z bằng: A 10 dm Chú ý: B 19 dm C 26 dm D 26 dm Ta biểu diễn ẩn y;z theo x cịn ẩn x ta sử dụng bất đẳng thức công cụ đạo Hướng dẫn giải hàm để tìm S Cách khác: Áp dụng Cô-si 3x + 48 8  =  x2 + + ÷ x x x  8 ≥ 3.3 x = 36 x x Dấu “=” xảy ⇔ x2 = Ta có: x : y = 1: ⇒ y = x Theo giả thiết, ta có xyz = 18 ⇒ z = 8 = ⇒x=2 x x x2 Tổng diện tích vật liệu khơng nắp cần dùng :  xy + 2( xz + yz ) = x.3x +  x + 3x x  x 48  ÷ = 3x + x  Trang 104 Xét hàm f ( x) = 3x + 48 ( 0; +∞ ) , ta f ( x) nhỏ x = x Khi x = ⇒ y = 6, z = 19 ⇒ x + y + z = (dm) 2 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Với bìa hình vng, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12cm gấp lại thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Nếu dung tích hộp 4800 cm cạnh bìa có độ dài A 38cm B 42cm C 36cm D 44cm Câu 2: Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 50 m, chiều rộng 30 m Biết hồ bơi có 000 000 lít nước Độ sâu hồ bơi lúc A 3m B 2,5m C 2m D 3m Câu 3: Một hộp sữa tươi dạng hình hộp chữ nhật tích thực sữa 180ml, người ta để khoảng không gian trống cho khơng khí vào 10% thể tích sữa Đáy hộp hình chữ nhật có diện tích 16,5cm2 Biết độ dày hộp giấy không đáng kể Hỏi chiều cao hộp sữa bao nhiêu? A 108 cm 11 B 10 cm C 400 cm 33 D 12cm Câu 4: Tháp Eiffel Pháp cao 300m, làm hoàn toàn sắt nặng khoảng 000 000 kg Người ta làm mơ hình thu nhỏ tháp với chất liệu cân nặng 1kg Hỏi chiều cao mơ hình bao nhiêu? A 1,5m B 2m C 3m D 0,5m Câu 5: Một nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 24 cm.Ta gấp nhơm theo hai cạnh MN QP vào phía đến AB CD trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Trang 105 Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn A x = B x = C x = 10 D x = Câu 6: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau +) Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác tích V (Hình 1) +) Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác tích V (Hình 2) Tính tỷ số k = A k = 3 V1 V2 B k = C k = 3 D k = 3 Câu 7: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình Biết cạnh hình vng 20 cm, OM = x (cm) Tìm x để hình chóp tích lớn A x = cm B x = cm C x = cm D x = cm Trang 106 Câu 8: Từ bìa hình vng ABCD có cạnh 5dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân AMB, BNC , CPD DQA Với phần lại, người ta gấp lên ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy khối chóp bao nhiều để thể tích lớn nhất? A dm B dm C 2 dm D dm Câu 9: Một viên đá có hình dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cắt khối đá mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện khối đá bị cắt mặt phẳng nói ( Giả thuyết tổng thể tích hai khối đá sau thể tích khối đá đầu) A 2a B a2 C a2 D a2 Câu 10: Người ta cần xây bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 200 m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí để xây bể 300 nghìn đồng/m (chi phí tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy diện tích xung quanh, khơng tính chiều dày đáy thành bể) Hãy xác định chi phí thấp để xây bể ( làm tròn đến đơn vị triệu đồng) A 75 triệu đồng B 51 triệu đồng C 36 triệu đồng D 46 triệu đồng Câu 11: Người ta cần lợp tôn cho mái nhà hình vẽ Biết mái trước, mái sau hình thang cân ABCD , ABEF ; hai đầu hồi hai tam giác cân ADE , BCF A B Hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( CDEF ) H Biết AB = 16m, CD = FE = 20m, AH = 1, 73m, ED = CF = 6m Tính tổng diện tích S mái nhà ( diện tích hai mái trước, sau hai đầu hồi) A S ≈ 141 m2 B S ≈ 281 m2 C S ≈ 261 m2 D S ≈ 78 m2 Câu 12: Cắt ba góc tam giác cạnh a ; phần lại tam giác bên hình chữ nhật, gấp hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác hình vẽ a đoạn x, < x < Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn A a B a C a D a Trang 107 Câu 13: Từ hình vng có cạnh 6, người ta cắt bỏ tam giác vng cân tạo thành hình tơ đậm hình vẽ Sau người ta gập thành hình hộp chữ nhật khơng nắp Thể tích lớn khối hộp A B 10 C D 11 Câu 14: Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng hình vẽ Hai mặt bên ABB′A′ ACC ′A′ hai kính hình chữ nhật dài 20 (m) rộng (m) Gọi x (mét) độ dài cạnh BC Tìm x để khoảng khơng gian hành lang (kể hai kính) lớn ? A x = 5(m) B x = 2(m) C x = 17(m) D x = 25(m) Câu 15: Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật khơng có nắp có chiều cao 60 cm, thể tích 96000 cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 000 đồng/m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100 000 đồng/m2 Tính chi phí thấp để hồn thành bể cá A 320 000 đồng B 32 000 đồng C 83 200 đồng D 68 800 đồng Câu 16: Cho bìa hình chữ nhật có kích thước 60 cm x 40 cm Người ta cắt hình vng hình vẽ, hình vng cạnh x cm, gập bìa lại để hộp có nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = 20 cm B x = 4cm C x = 5cm D x = 10 cm Câu 17: Một hộp không nắp làm từ mảnh tơng theo hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh x cm, chiều cao h cm thể tích 500 cm3 Tìm độ dài cạnh hình vng x cho hộp làm tốn bìa tơng Trang 108 A x = 2cm B x = 3cm C x = 5cm D x = 10cm Câu 18 : Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề cm, lề trái phải cm Kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 24 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25.6 cm; rộng 15 cm Câu 19: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng hầm biogas với thể tích 12m để chứa chất thải chăn ni tạo khí sinh học Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng Hãy xác định kích thước đáy (dài, rộng) hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (không tính đến bề dày thành bể) Ta có kích thước (dài ; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu A Dài 2,42 m rộng 1,82m B Dài 2,74m rộng 1,71m C Dài 2,26 m rộng 1,88 m D Dài 2,19m rộng 1,91m Câu 20: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế thùng đựng hàng bên dạng hình lăng trụ tứ giác khơng nắp tích 62,5dm Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng cho có tổng S diện tích xung quanh diện tích mặt đáy nhỏ Khi tổng diện tích S A 106,25 dm2 B 75 dm2 C 50 dm2 D 125 dm2 Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d (m) chiều rộng r (m) với d = 2r Chiều cao bể nước h (m) thể tích bể 2m Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 3 ( m) 2 B ( m) C 3 ( m) D 2 ( m) 3 Câu 22: Bác An cần xây bể đựng nước mưa tích V = 6(m3 ) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp đổ bể tông, cốt thép ; xung quanh xây gạch xi măng Biết chi phí trung bình triệu đồng/m nắp để hở khoảng hình vng có diện tích diện tích nắp bể Chi phí thấp mà bác An phải trả A 20 triệu đồng B 20,5 triệu đồng C 21 triệu đồng D 22 triệu đồng Câu 23: Cho khối lập phương có cạnh 1m Biết chiều cao mực nước khối lập phương 0,6m Hỏi đặt khối lập phương đứng vị trí đứng cân cạnh hình vẽ chiều cao h mực nước tính từ mặt phẳng đạt ? Trang 109 A h = + 25 m 50 B h = − 10 m C h = m D h = −3 m Câu 24: Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn 1152m chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường) A 16m x 24m B 8m x 48m C 12m x 32m D 24m x 32m Câu 25: Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên số thực dương không đổi Gọi α góc cạnh bên kim tự tháp mặt đáy Khi thể tích kim tự tháp lớn nhất, tính sinα A sinα = B sinα = 3 C sinα = D sinα = Câu 26: Bên cạnh đường trước vào thành phố người ta xây tháp đèn lộng lẫy Ngọn tháp hình tứ giác S ABCD cạnh bên SA = 600 mét, ·ASB = 15° Do có cố đường dây điện điểm Q ( trung điểm SA ) bị hỏng, người ta tạo đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng, AM , MN , NP, PQ (hình vẽ) Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư nghiên cứu có chiều dài đường từ A đến Q ngắn Tính tỷ số k = AM + MN NP + PQ Trang 110 A k = B k = C k = D k = Câu 27: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Một kiến từ điểm M thẳng tới điểm N thuộc cạnh BC , từ điểm N thẳng tới điểm P thuộc cạnh CC ′ ,từ điểm P thẳng tới điểm D′ ( điểm N , P thay đổi tùy theo hướng kiến) Quãng đường ngắn để kiến từ M đến D′ A B +1 C D + 2 ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 11-A 21-D 2-C 12-D 22-C 3-D 13-A 23-B 4-A 14-C 24-A 5-B 15-C 25-B 6-C 16-A 26-D 7-B 17-D 27-A 8-C 18-B 9-D 19-C 10-B 20-B Trang 111 ... Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = a3 B V = 3a 3 C V = 3a 3 D V = 3a Câu 20: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 3a Thể tích khối chóp S ABCD A 8a 3 B a3 3 C 4a 3 D 2a 3. .. phẳng ( ABCD) A 30 ° Thể tích khối chóp S.ABCD 4a3 B a3 13 C a3 D 2a3 Câu 33 : Khối chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm M cạnh CD Thể tích khối chóp S.ABCD V Thể tích khối chóp S.ABM... Thể tích khối chóp S ABC Trang 26 A a3 B a3 3 C a3 D a 3 Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = CD = 2a , cạnh bên BC vng góc với mặt phẳng ( ACD ) Thể tích khối tứ diện A a 3 B 2a 3 C a3 3