Chủ đề 9 tỉ số thể tích khối đa diện

CHỦ ĐỀ 9 TỈ SỐ THỂ TÍCH I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Chú thích Thể tích cũ, Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy) 1 Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a Song song với đáy b Cắt đáy 2 Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) ;với là diện tích đáy cũ; là diện tích đáy mới Chú ý i Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới) Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới ii Nếu tăn.

CHỦ ĐỀ 9: TỈ SỐ THỂ TÍCH I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Chú thích V1  Thể tích cũ, V2  Thể tích (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh đáy) Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a Song song với đáy V1  V2  Bh b Cắt đáy d A; P S V1     đ d  A;  P   IB    V2 IA d B ; P     d  B;  P   S đ Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) V1 S1  ;với S1 diện tích đáy cũ; S diện tích đáy V2 S Chú ý: i Đưa hai khối đa diện đỉnh; hai đáy cũ nằm mặt phẳng (thường đáy cũ chứa đáy mới) Áp dụng cơng thức tính diện tích đa giác để so sánh tỉ số đáy cũ đáy ii Nếu tăng (hoặc giảm) cạnh đa giác (tam giác, tứ giác), k lần diện tích đa giác tăng (hoặc giảm) k lần iii Tỉ số đa giác hay gặp tỉ số diện tích hai tam giác AM AN sin A S AMN AM AN   S ABC AB AC AB AC.sin A Tỉ số thể tích khối chóp a Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Cơng thức: VS ABC  SA SB  SC   VS ABC SA SB SC Lưu ý: Cơng thức áp dụng với khối chóp có đáy tam giác nên nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ khối đa diện thành hình chóp tam giác khác áp dụng b Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác  Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng  P  song song với đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC , SD A, B , C , D  Khi VS ABC D SA SB  SC  SD   k ; với  k VS ABCD SA SB SC SD Chú ý: Công thức với đáy n giác  Trường hợp đáy hình bình hành (hay gặp) Bài tốn: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng SA, SB, SC , SD A, B , C , D  cho Khi  P cắt cạnh SA SB  SC  SD   x;  y;  z;  t SA SB SC SD V 1 1 xyzt  1 1     S MNPQ       x z y t VS ABCD x y z t Tỉ số thể tích khối lăng trụ a Lăng trụ tam giác 2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 22222222222222222 EM Ví dụ: Hình lăng trụ ﾵ ﾵ  Kết 2: Cho hình lăng trụ tam giác ﾵ ﾵ Mặt phẳng ﾵ ﾵ cắt đường thẳng ﾵ ﾵ ﾵ ﾵ (tham khảo hình vẽ bên) Tính tỉ số ﾵ ﾵ HD: Ta có ﾵ ﾵ Lại có ﾵ ﾵ ﾵﾵ Và ﾵ ﾵﾵ ﾵ ﾵﾵ Suy VA BNPC  d  A;  BCC B    S BNPC 1  BN CP   BN CP   d  A;  BCC B      S BCC B     .VA BCC B  BB  CC    BB  CC    BN CP   Mà VA BCC B   VABC AB C   VA.BNPC   .VABC ABC  3  BB  CC   V AM  BN CP   AM BN CP  VABC ABC     VABC ABC   ABC MNP     Vậy VABC MNP    AA  BB  CC   VABC ABC   AA BB  CC   Cơng thức tính nhanh VABC MNP  AM BN CP       VABC AB C   AA BB  CC   b Khối hộp  Kết 1: Gọi V thể tích khối hộp, V1 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp gồm hai đường chéo hai mặt song song, V2 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp trường hợp cịn lại Khi đó: V1  V V ;V2  1 VAC ' BD  VABCD ABC D ;VAC DD  VABCD ABC D Ví dụ: Hình hộp ABCD AB C D    Kết 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABCD AB C D  Mặt phẳng    cắt đường thẳng AA, BB , CC , DD  M , N , P, Q (tham khảo hình vẽ bên) Chứng minh VABCD.MNPQ VABCD ABC D   Chứng minh  AM CP BN DQ    AA CC  BB  DD   AM CP   BN DQ         AA CC    BB  DD  AM CP BN DQ    AA CC  BB  DD  Gọi I tâm hình vng ABCD; I  tâm hình vng AB C D  Ta có: AM CP AM  PC 2OI    ; AA CC  AA AA BN DQ BN  DQ 2OI  AM CP BN DQ        BB  DD  BB  BB  AA CC  BB  DD   Chứng minh VABCD MNPQ VABCD ABC D   AM CP   BN DQ         AA CC    BB  DD   Chia khối đa diện ABCD.MNPQ thành hai khối đa diện ABC.MNP ACD.MPQ ; Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác; Cộng thể tích hai khối đa diện  Mà VABC MNP  AM CP BN DQ        VABC ABC   AA CC  BB  DD   VABCD.MNPQ AM CP BN DQ  AM CP   BN DQ             AA CC  BB  DD  VABCD ABC D  AA CC    BB  DD   Cơng thức tính nhanh VABCD.MNPQ VABCD ABCD   AM CP BN DQ   AM CP   BN DQ              AA CC  BB  DD    AA CC    BB  DD   II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dạng Tỉ số thể tích khối chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC tích V  18 Gọi M trung điểm SA, E điểm đối xứng với B qua C Gọi N giao điểm hai đường thẳng SB ME a) Tính thể tích khối chóp MABE b) Tính thể tích khối chóp AMNBC c) Tính thể tích khối chóp SANE Lời giải Vì E đối xứng với B qua C  C trung điểm BE Mà M trung điểm SB SC  ME  N  Suy N trọng tâm SBE  SN  SC a) Ta có: S SBE  Và d  S ;  ABC   1 d A BC BE  d A BC BC  2.S ABC 2 d  M ;  ABC    SB  d  M ;  ABC    d  S ;  ABC   BM Khi VM ABE  d  M ;  ABC   SSBE 1  d  M ;  ABC   S ABC  VS ABC  18 b) Ta có VS AMN SM SN 1     VS AMN  VS ABC VS ABC SB SC 3 2 VAMNBC  VS ABC  VS AMN  VS ABC  18  12 Lại có VS ABC  VS AMN  VAMNBC  3 c) Ta có VS ANE  VS AME  VS AMN  VS AME  VS ABC Lại có VS AME SM 1    VS AME  VS ABE  2VS ABC  VS ABC VS ABE SB 2 2 Do VS ANE  VS ABC  VS ABC  VS ABC  18  12 3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a, cạnh bên 2a a) Gọi M, N thuộc AB, AC cho AM  AB, AN  NC Tính VS MBCN b) Mặt phẳng  P  qua trọng tâm tam giác ABC, song song với SA BC, biết  P  cắt SB, SC P, Q Tính thể tích khối chóp MPQCB Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC  SG   ABC  Tam giác SAG vng G, có SG  SA  AG  2  2a  a 3 a 33         Thể tích khối chóp S ABC VS ABC  SG.SABC  a 11 12 a) Ta có S AMN V AM AN 1     S AMN  S ABC AB AC 3 VS ABC a 11 Mà VS ABC  VS AMN  VS MBCN  VS MBCN  VS ABC  18 b) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC E, N Tương tự, từ E, N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC P, Q Dễ dàng chứng minh SP SQ AN    SB SC AC 1 1 SP SQ  VS ABC   VS ABC Ta có: VMPQCB  VA.PQCB   VS ABC  VS APQ    VS ABC  2 2 SB SC  18 Vậy thể tích cần tìm VMPQCB  a 11 11  a 18 12 216 Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  45 a) Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, AB Tính VMNPD b) Gọi H hình chiếu A SD; E trung điểm BC Nối AC cắt DE F Tính thể tích khối đa diện MHCD, HFCD Lời giải · Gọi O tâm hình vng ABCD  · SBD  ;  ABCD   SOA  45  AC a Suy SA  OA   a   VS ABCD  SA.S ABCD  a 2 3  a) Ta có S MNP  SSAB  S SMN  SAMP  S BPN  SSAB  1 1 S SAB  S SAB  S SAB  S SAB 4 4 1 Lại có VMNPD  VD MNP  d  D;  SAB   S MNP  VD SAB 1 S ABD 1 2a3 a  VS ABD  VS ABCD  VS ABCD   4 S ABCD 8 12 b) Xét SAD vuông A, đường cao AH  SH  SA     SD  SD   Tính thể tích khối chóp MHCD Ta có S HCD HD 1    S HCD  SSCD S SCD SD 3 1  VM HCD  d  M ;  SCD   S HCD  d  A;  SCD   S SCD 1 1 a3  VA.SCD  VS ACD  VS ABCD  VS ABCD  6 12 18  Tính thể tích khối chóp HFCD 2a  Vì EC / / AD  EC CF EF DF      AD AC FD DE d  H ;  ABCD   HD   Cách Ta có VH FCD  d  H ;  ABCD   S FCD mà SD 3 d  S ;  ABCD   SFCD DF 4 1 2a    VH FCD  VS ECD  VS ABCD  VS ABCD  Và SECD DE 9 27 1 Cách Ta có VH FCD  VF HCD  d  F ;  SCD   S HCD  d  A;  SCD   S SCD 3 3 2 1 2a  VA.SCD  VS ACD  VS ABCD  VS ABCD  9 9 27 Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD tích V Gọi V  thể tích khối tứ diện có đỉnh trọng tâm mặt khối tứ diện ABCD Tính tỉ số A V  V 27 B V V V  23  V 27 C V  V 27 D V  V 27 Lời giải Gọi M trung điểm AC; E, F trọng tâm tam giác ABC, ACD Trong tam giác MBD có EF  BD Tương tự ta có cạnh lại tứ diện sinh cạnh 3 V 1 tứ diện ban đầu Do     Chọn C V 3 27 Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc AB  6a, AC  9a, AD  3a Gọi M, N, P trọng tâm tam giác ABC, ACD, ADB Tính thể tích V khối tứ diện AMNP A V  8a B V  4a C V  6a Lời giải D V  2a Ta có: VABCD  AB AC AD  27 a Gọi E, F, G trung điểm BC, CD, DB 27 a Suy VAEFG  VABCD  4 Do M, N, P trọng tâm tam giác ABC, ACD, ADB Nên ta có: Lại có: AM AN AP    AE AF AG VA.MNP AM AN AP   VA EFG AE AF AG 27   VA.MNP  VA.EFG  2a Chọn D 27 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho NS  NC Tính thể tích V khối chóp A.BMNC A V  15 Từ giả thiết, ta có B V  C V  10 Lời giải D V  SN SM   SC SB Thể tích khối chóp VS ABC  9.5  15 Ta có VS AMN SM SN    VABMNC  VS ABC  10 Chọn C VS ABC SB SC 3 · · Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có SA  3, SB  4, SC  ·ASB  BSC  CSA  60 Tính thể tích V khối chóp cho A V  B V  C V  10 Lời giải Trên SB, SC lấy điểm E, F cho SE  SF  D V  15 Khi S.AEF khối tứ diện có cạnh a  Suy thể tích khối chóp S.AEF VS AEF  Ta có: a3  12 VS AEF SE SF 3    VS ABC SB SC 20   VS ABC  20 VS AEF  Chọn A Ví dụ 8: Cho tứ diện cạnh ABCD có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  2a 216 B V  11 2a 216 C V  13 2a 216 D V  2a 18 Lời giải Thể tích khối tứ diện ABCD cạnh a VABCD  a3 12 Gọi P  EN  CD Q  EM  AD  P, Q trọng tâm BCE ABE Gọi S diện tích tam giác BCD  S CDE  SBNE  S S Ta có: S PDE  SCDE  3 Gọi h chiều cao tứ diện ABCD, suy d  M ;  BCD    h h ; d Q;  BCD    S h Khi VM BNE  SBNE d  M ;  BCD    ; S h Và VQ PDE  S PDE d  Q;  BCD    27 Suy VPQD NMB  VM BNE  VQ PDE  S h S h S h S h     VABCD 27 54 18 18 Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A V  VABCD  VPQD NMB  11 a 11 2a Chọn B  18 12 216 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AD  2, BA  BC  Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính thể tích V khối đa diện SAHCD A V  2 B V  C V  D V  2 Lời giải Tam giác vng SAB, có SB  SA2  AB  Gọi M trung điểm AD  ABCM hình vng nên CM  AB  a  AD   Tam giác ACD vng C Ta có VS AHCD  VS ACD  VS AHC 11   VS ACD  S ACD SA   AD AB SA  3  VS AHC SH SA2 2     VS AHC  VS ABC   VS ABC SB SB 3 Vậy VS AHCD  2   Chọn B 9 Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  a vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Điểm M thuộc cạnh SA cho SM  k Xác định k cho mặt phẳng  MBC  chia khối SA chóp cho thành hai phần tích A k  1  B k  1  C k  1  D k  Lời giải  Cách Kẻ MN / / AD  N  SD   SN SM   k SD SA Khi mặt phẳng  MBC  chia khối chóp thành hai phần S.MBCN AMBDNC Ta có VS MBCN  VS MBC  VS MCN  VS MBC SM   k  VS MBC  k VS ABC VS ABC SA  VS MCN SM SN   k  VS MCN  k VS ACD VS ACD SA SD 1 Lại có VS MBCN  VS ABCD  k VS ABC  k VS ACD  VS ABCD 2  k VS ABCD V 1   k S ABCD  VS ABCD  k  k2  1 k  2 2 1 Câu 14: Ta có VS AHK SA SH SK 1    VS ABC SA SB SC 2 1 Do VS AHK  VS ABC  V Chọn B 4 Câu 15: Gọi M trung điểm AB  A, G, M thẳng hàng SM  3GM  d  G;  ABC    d  S ;  ABC   Ta có: VG ABCD  d  G;  ABCD   S ABCD 1  d  A;  ABCD   S ABCD  VS ABCD  a Chọn A 3 Câu 16: Do S ABCD  SOCD  VS ABCD  4VS OCD Mặt khác VS OMN SO SM SN   VS OCD SO SC SD  VS OMN  VS OCD  VS ABCD Chọn D 16 Câu 17: BC  AB  a 2, AC  AB  2a Do  AB  BC  AB  CE   AB  SC Mặt khác CE      CE  SA  CE   SAB   CE  SB Tam giác SCB vng S có đường cao CE có: SC  SE.SB  SC SE SE SC     2 SB SB SC  BC SB SC  AC  SCA vuông cân C nên D trung điểm SA Suy VS CED SC SE SD 1    VS CBA SC SB SA  1 Mặt khác VS CAB  SC.S ABC  2a a 2   2 a  VS CDE  a  a Chọn C 3 Câu 18: Ta có AB  BC  AC  20a  ABC vuông B Do S ABC  1 8a AB.BC  4a  VS ABC  SA.S ABC  3 Xét tam giác SAB vuông S có đường cao AM có: SA2 SM SM SA2 SA  SM SB      2 SB SB SA  AB SB Tương tự SN SA2    SC SA  AC  20 VS AMN SM SN 1 8a 2a    VS AMN   Mặt khác VS ABC SB SC 12 12 Chọn A Câu 19: ABC vuông B  AB  BC tan B  tan 60  a S ABC  a2 AB.BC  2 Gọi H trung điểm AB  MH đường trung bình tam  MH / / SA  MH   ABC   giác SAB   SA a MH     2 Do VM ABC a3  MH S ABC  Chọn D Câu 20: Xét tam giác SAC vuông S có đường cao AP có: SA2  SP.SC  Do SA2 SP SP SA2 4      2 SC SC SA  AC 1 SC VS MNP SM SN SP 1    VS ABC SA SB SC 2 5 a2 a3  VS ABC  SA.S ABC  Lại có S ABC  Suy VS MNP a3 a3   Chọn A 30 Câu 21: Ta có SA  SB  SM   hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng  ABM  tâm đường tròn ngoại tiếp ABM Mặt khác ·ASC  90  AS  SM  AM  SA2  SM  Các tam giác ASB, ASM tam giác nên AB  BM  Suy AB  BM  AM   ABM vng B Khi SH   ABM  H trung điểm cạnh huyền AM Ta có AH  2  SH  SA2  AH  2 1 AB.BM VS ABM  SH S ABM   Chọn C 3 2 12 Câu 22: Trên SB lấy điểm E cho SE  Dựng EF  SA, EG  SC  F  SA, G  SC  Khi SEF , SEG vng cân E Ta có EF  EG   SF  SG  · · Do CSA  60  FSG  60  FSG suy FG  Khi EFG vng cân E  S EFG   VS EFG  1 SE.S EFG  1 EF FG  2 Ta có VS EFG SF SE SG 2    VS ABC SA SB SC 60 Suy VS ABC  60VS EFG  10 Mặt khác S AMP AM AP 3    S AMP  S ABC S ABC AB AC 16 16 Tương tự  S AMP  S BMN  SCNP  Suy VS MNP  3  S ABC  S MNP  1  S ABC  S ABC 16 16  16  7 35 VS ABC  10  Chọn B 16 16 Câu 23: Dễ dàng chứng minh AH  SB, AC  AB  a Tam giác SAB vng A , có đường cao AH nên SA2  SH SB  SA2 SH SA2    2 SB SA  AB SB Tương tự, ta tính SK SA2   SC SA  AC Vậy VS AHK SH SK 8 a 8a     VS AHK  2a  VS ABC SB SC 15 15 45 Chọn B Câu 24: Gọi N   MBC   SD Ta có: BC / / AD   MAC    SAD   MN suy MN / / BC / / AD VS ABC  VS ACD  Đặt  VS ABCD V SM SM  x  x Ta có S ACM  VS ABC SA SA VS ACM x  x  VS ACM  VS ABCD VS ABCD 2 VS CMN SM SN x2   x  VS CMN  VS ABCD Lại có: VS CAD SA SD  VS ACNM  x x2  x x2 1     VS ABCD     x  SM  1  2 2 2    Lại có AC    5, MA   1    5, AC  Suy S MAC  5 MA AC  Chọn A 2  BC  AB  BC  AB  Câu 25: Do   BC  SA  AB   SC  AB    SBC   AB   SB Ta có:   AB   BC Do hình chóp có  SAC  mặt phẳng đối xứng nên VS ABC D VS ABC  SB  SC    VS ABCD VS ABC SB SC Xét tam giác SAB vuông S có đường cao AB  có: SA  SB .SB  SA2 SB  SB  SA2     2 SB SB SA  AB SB V SC  SA2 SA2 1 V     S ABC    S ABC D Tương tự 2 SC SC VS ABC VS ABCD SA  AC 1 5a Mặt khác VABCD  SA.S ABCD  a3  VS ABC D  a  VABC D ABCD  VS ABCD  VS ABC D  3 18 18 Chọn A Câu 26: Dựng AH  BM Ta có BM  SA  BM   SHA  Khi ·  45  ·SBM  ;  ABCD    SHA Đặt AB  AD  x  AM  MD  DN  Mặt khác AH  AM AB AM  AB Suy SA  AH tan 45  x  x x axa S AMNB  S ABCD  S DMN  S BCN  x  x x x 25a    8 1 25 25a Do VS ABNM  S ABNM SA  a a  Chọn D 3 24 Câu 27: Ta có VS ABC D VS ABCD SA SB  SC  SD     SA SB SC SD        Chọn C SA SB  SC  SD 4.2.2.2.2 SA SB SC SD  Câu 28: Gọi O tâm hình bình hành ABCD Nối AN  SO  I  I trọng tâm tam giác SAC Qua I kẻ đường thẳng d cắt SB, SD M , P Đặt SA SB SC SD  1;  x;  2; y SA SM SN SP Suy   x  y  x  y  Ta có xy   x  y    V x y3 x y3   V xy xy V  2.3   Chọn B V 2.9 Câu 29: Nối AN  SO  I  I trọng tâm tam giác SAC Qua I kẻ đường thẳng d / / BD, cắt SB, SD E , F Suy Khi SE SF   ; E , F thuộc mặt phẳng  P  SB SD V1 VS ABCD SA SB SC   SA SE SM  SA SB SC SA SE SM  Mà VS ABCD  V1  V2  SD   SF   SD 3 4.1 .2 SF 2  V1  Chọn D V2 Câu 30: Ta có  MNPQ  / /  ABCD   d  S ;  MNPQ    d  S ;  ABCD    d  O;  MNPQ    d  S ;  ABCD   Mà O   ABCD   Lại có S MNPQ V 27 2    S ABCD  S ABCD     V2 2 Chọn C 3 Câu 31: Nối MN  SA  E  E trọng tâm SMB Nối MC  AD  F  F trung điểm AD Ta có VAEF BNC  VN MBC  VE MAF 1  d  N ;  ABCD   S MBC  d  E;  ABCD   S MAF 3 1 1  d  S ;  ABCD   S ABCD  d  A;  ABCD   S ABCD 3 V 1 5  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD   Chọn A 12 12 V2 Câu 32: Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  Gọi E trung điểm BC  BC   SEO  · Do · SNO  ;  ABCD   ·SN ; ON   SNO  60 · Tam giác SEO vuông O, có SO  OE.tan SEO a Suy thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD  4a 3 Vì  P  chứa AG nên  P   SC  M trung điểm SC Qua M kẻ đường thẳng d / / CD, cắt SD N SA SB SC   VS ABMN SA SB SM  Khi SA SB SC VS ABCD a SA SB SM SD 3 SN       V a Chọn C S ABMN  SD 4.1.1.2.2 SN  Câu 33: Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  Gọi N trung điểm BC  BC   SNO  · Do · SNO  ;  ABCD   ·SN ; ON   SNO  60 x · Tam giác SNO vuông O, có SO  ON tan SNO  x2 Tam giác SAO vng O, có SO  SA2  OA2  a  Suy x x2 3x2 x2 2a  a2    a2   AB  x  2 Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD 1 a  2a  4a 15  SO.S ABCD     3   75  Nối SO  CM  I   I trọng tâm SAC  SI  SO Qua I kẻ đường thẳng d / / BD, cắt SB, SD E , F  SE SF   SB SD V SA SB SC SD x  y  z t  x;  y;  z;  t  S MECF   Đặt SM SE SC SF VS ABCD xyzt   1  3 4.2 .1 2 1 4a 15 4a3 15 Vậy VS MECF  VS ABCD   Chọn C 3 75 225 Câu 34: Do AE / / AC  FA AE FA     FC AC CA Do d  F ;  AB C     d  C ;  AB C    1 Suy VF ABC   VC ABC   VABCD ABC  Vậy Câu V2  Chọn D V1 35: Ta có MB  / /  ACC A  nên d  M ;  AAC    d  B ;  AAC   Do V   VB ACC A  V  VB ABC  V  V  V 3 Vậy k  V  Chọn A V Câu 36: Gọi V thể tích khối trụ Ta có: S MNBA  1 S ABBA  VC MNBA  VC ABBA 2 Mặt khác VC ABBA  VABC ABC   VC ABC   V  V 2V  3 2V  VC MNBA   18  3 Do VCNMABC   V  VC MNBA  12 Chọn A Câu 37: Gọi I trung điểm BC  AI  3GI Khi d  A;  ABC    3d  G;  ABC    VA ABC  3VGABC  Mặt khác VA ABC  VAABC  V V  VG ABC  Chọn D Câu 38: Do  ABC  / /  AB C    d  G;  AB C     h với h chiều cao khối lăng trụ 1 Do VG ABC   h.S ABC   V Chọn A 3 Câu 39: Do AA / /  BCC B   P  AA nên ta có: VP BCC B  VA BCC B  V0  VA ABC  V0  V0 2V0  Chọn A 3 Câu 40: Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE Khi MF / / AE mà AE / / AN nên MF / / AN Suy điểm A, M , F , N thuộc mặt phẳng Vậy  AMN  cắt cạnh BC điểm P  P trùng với F Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện “Thể tích khối chóp cụt V    h B  B   BB  với h chiều cao, B, B  diện tích hai đáy” Xét khối chóp cụt MBP AB N có chiều cao h  BB   a S ABC S   B  SMBP   a2 Và diện tích đáy  với S  S ABC  S B  S  ABN    2 Thể tích khối đa diện MBP AB N V  BB   S S S S  3a     Chọn D 8 2 96  Câu 41: Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC AB C  Ta có: VA BCC B  V  VA ABC  V  Khi VG ABC   (Do S NBB  V 2V  3 V , VM BB N  VA.BB N  VA.BCC B 1 2V V SCC BB ) Do VM BBN   2 3 V Tương tự VA.C BB  VA.C BB  VA.BCC B  Do S BCN  S BCC   1 V S BCC B  VA.BCN  VA.BCC B  2 Vậy khối chóp BB MN tích nhỏ Chọn D Câu 42: Gọi V thể tích khối chóp ABC AB C  Ta có: VA BCC B  V  VA ABC  V  Lại có V  S ABC AA  V 2V  3 AB AC AA  2a 3 2 4a 3 Suy VA BCC B  2a 3  Chọn A 3 Câu 43: Gọi V thể tích khối chóp ABC AB C  Ta có VA BCC B  V  VA ABC  V  Lại có: S IKB  Suy 1 VA IKB  VA.BCC B  V  V 4 V 2V  3 1 S KICB  S BCC B  Mặt khác V  S ABC AA  · AB AC.sin BAC AA 1 a3  a.2a.sin120.2a  3a  VA IKB  V  Chọn A Câu 44: Thể tích khối lập phương V  a Ta có VA ABD  VB ABC  VD ACD  VD.BC C  a VACDB  VABCD ABC D  VA, ABD  VB ABC  VD ACD  VD.BC C Suy VACDB a3 a3 Chọn A  a   3 Câu 45: Ta có S ABCD  2S ABC  VA ABCD  2VA ABC Mặt khác VA ABCD  VABCD ABC D 1 Do VA ABC  VA ABCD  VABCD ABC D 2  VABCD ABC D Chọn B Câu 46: Gọi h chiều cao khối hộp Ta 1 1 VB ABC  h.S ABC  h S ABCD  h.S ABCD  V 3 6 1 V1  V  4.VB ABC  V  V  V Chọn A có Câu 47: Ta có VADMN  d  M ;  ABCD   S AND  AA  S ABCD  S ABN  S NCD  1    AA  S ABCD  S ABCD  S ABCD  4   1 a3 =  AA S ABCD  Vậy thể tích cần tính V  a3 Chọn C Câu 48: Ta có VD ABC D  VC  ABD  VC  ADD 1  CC .S ABD  C D .S ADD 3 1  CC .S ABCD  C D  .S AADD 3 1 1 a3  a a  a a  3 a3 Vậy thể tích cần tính V  Chọn A Câu 49: Ta có MC  3MA  Do VM ABCD VABCD ABC D d  M ;  ABCD   d  A ;  ABCD    MC  AC d  M ;  ABCD   S ABCD 3    , Chọn D 4 d  A ;  ABCD   S ABCD Câu 50: Chuẩn hóa thành hình lập phương ABCD AB C D  cạnh I Qua M kẻ đường thẳng d / / BD, cắt AD N  MN / / BD, Mà BD / / B D   MN / / B D   M , N , B , D  đồng phẳng Dó VAMN AB D    AA S AMN  S AB D   S AMN SAB D   1 1  13       18 18   54  Thể tích khối lại 13 41 13 :  Chọn C 54 54 41 Câu 51: Dễ thấy AB / / C D   A, B, C , D  đồng phẳng 1 Do d G;  ABC     d C ;  ABC     VG ABC   VC ABC  3 1 V Ta có VC ABC   VC  ABC  CC .S ABC  CC  S ABCD  3 1 V V  Chọn A Vậy VG ABC   VC ABC    3 18 18 Câu 52: Ta có VA ABC VABCD ABC D 1 AA.S ABC S ABC 3 3  Chọn B AA.S ABCD 2.S ABC Câu 53: Chọn AB  Nối MN  BC  P; MN  CD  Q Nối C P  BB   E , C Q  DD  F Do thiết diện cắt mp  C MN  C EMNF Dễ thấy BM  BP  DQ  DN  PB QD    PC QC Khi 1 1 1 VE B PM  VF DQN  EB.S BPM   3 2 72 1  1 Ta có VC .CPQ  CC .S CPQ  1    3  8 Gọi V0 thể tích đa diện chứa điểm C  V0  VC .CPQ  VE B PM  VF DQN  Vậy tỉ số thể tích cần tính V1 25  Chọn D V2 72 Câu 54: Gọi M trung điểm AB  IM / / AB  / / C D Do mp  DIC   cắt hình lập phương theo thiết diện IMDC  25 72 Ta có VIBM C CD   BC S IBM  SC CD  S IBM SC CD  1 1 1 BC  S ABCD  S ABCD  S ABCD S ABCD 8  7 BC S ABCD  VABCD ABC D 24 Vậy tỉ số cần tính Chọn C 17      ... Tính tỉ số k thể tích khối chóp ABMN thể tích khối chóp S.ABC A k  B k  C k  D k  Câu 3: Cho khối tứ diện tích V Gọi V  thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ. .. với BC cắt SC E Tính tỉ số thể tích khối tứ diện SADE thể tích khối chóp S.ABC A B C D Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB AE  3EB Tính thể tích V  khối tứ diện EBCD theo V A V... AD, mặt phẳng  C MN  chia khối lập phương thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện tích nhỏ hơn, V2 thể tích khối đa diện tích lớn Tính A V1  V2 B V1 13  V2 23 C V1 V2 V1  V2