Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 11 TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO 1) Một số dạng tích phân đặc biệt ( Mệnh đề 1 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì ( Mệnh đề 2 Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn thì ( Mệnh đề 3 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì ( Mệnh đề 4 Nếu f(x) là hàm số liên tục trên thì Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau ( Với ta có thể lựa chọn việc đặt ( Với ta có thể lựa chọn việc đặt ( Với ta.
CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO 1) Một số dạng tích phân đặc biệt Mệnh đề 1: Nếu f(x) hàm số chẵn liên tục đoạn [ −a;a ] Mệnh đề 2: Nếu f(x) hàm số lẻ liên tục đoạn [ −a;a ] a a −a ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx a ∫ f (x)dx = −a Mệnh đề 3: Nếu f(x) hàm số chẵn liên tục đoạn [ −a;a ] π π 0 a a f (x) ∫−a m x + dx = ∫0 f (x)dx Mệnh đề 4: Nếu f(x) hàm số liên tục [ 0;1] f (s inx)dx = f (cos x)dx ∫ ∫ Để chứng minh tính tốn tích phân đặc biệt trên, thơng thường ta sử dụng phương pháp đổi biến sau: a Với I = ∫ f (x)dx ta lựa chọn việc đặt x = −t −a π π Với I = f (x)dx ta lựa chọn việc đặt t = − x ∫ π Với I = ∫ f (x)dx ta lựa chọn việc đặt t = π − x Với I = 2π ∫ f (x)dx ta lựa chọn việc đặt t = 2π − x Ví dụ 1: Cho f(x) hàm số lẻ liên tục đoạn [ −1;1] A I = −5 B I = −1 0 ∫ f (x)dx = 10 Tính I = ∫ f (x)dx C I = −10 Lời giải 1 −1 −1 D I = 10 Do f(x) hàm số lẻ nên ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = −1 −1 ⇒ ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx = 10 Chọn D −3 −3 Ví dụ 2: Cho f(x) hàm số chẵn liên tục đoạn [ −3;3] ∫ f (x)dx = Tính I = ∫ f (x)dx A I = B I = C I = −2 Lời giải 3 −3 −3 D I = −4 Do f(x) hàm số chẵn nên I = ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx = 2.2 = Chọn D Ví dụ 3: Giả sử tích phân I = π x + cos x ∫π + 3x dx = aπ + bπ + c , ú a, b, c Ô Tớnh S = 8a + 4b + c − A B C Lời giải D π π ⇒t = 2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx đổi cận π π x= ⇒t =− 2 x=− − π Khi I = − ∫ π π π π 2 ( −t ) + cos (−t ) t + cos t x + cosx x dt = dt = ∫π 3t + ∫π + 3x dx + 3− t − − 2 3t π 1 x π3 ⇒ I = ∫ ( x + cosx) dx ⇒ I = + s inx ÷ = + ⇒ a = ; b = 0; c = 2 24 π − π 24 − 2 Do S = Chọn B π x sin xdx = aπ2 + bπ + c , a, b, c Ô Tớnh S = a + b − c + cos x Ví dụ 4: Giả sử tích phân I = ∫ A S = B S = −1 C I = D I = −1 Lời giải π π π π x sin xdx (π − t)sin( π − t) ( π − t)sint ( π − x)sinx dx =∫ (−dt) = ∫ dt = ∫ 2 + cos x + cos (π − t) + cos t + cos x 0 Đặt t = π − x ⇒ I = ∫ π π −1 − π sin xdx − d(cos x) du π2 v = tan u = π∫ = −π ∫ → −π ∫ du = Khi 2I = π ∫ + cos x + cos x 1+ u2 π 0 Do I = π2 1 ⇒ a = ; b = c = ⇒ S = Chọn C 4 2) Một số dạng tích phân vận dụng cao Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức sau: (1) u ( x) f '( x) + u '(x).f(x) = h(x) (2) u '( x) f ( x) − u (x).f'(x) = h(x) f ( x) Phương pháp giải: ' u u ' v − v 'u Áp dụng công thức: (uv) ' = u ' v + v ' u ÷ = v2 v (1) Biến đổi: u ( x) f '( x) + u '(x).f(x) = h(x) ⇔ [ u ( x) f ( x) ] ' = h( x) ⇒ u ( x) f ( x) = ∫ h( x)dx ' u ( x) u '( x ) f ( x ) − u (x).f'(x) u ( x) (2) Biến đổi: = h(x) ⇔ = h( x ) ⇒ = h( x )dx f ( x) f ( x) ∫ f ( x) Dạng Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức sau: (1) f '( x ) + f ( x) = h( x) 2) f '( x ) − f(x) = h(x) Phương pháp giải: (1) Biến đổi: f '( x ) + f ( x) = h( x) ⇒ e x f '( x) + e x f ( x) = e x h( x) ⇔ e x f ( x) ′ = e x h( x) ⇔ e x f ( x ) = ∫ e x h( x )dx (2) Biến đổi: f '( x ) − f ( x) = h( x) ⇒ e − x f '( x ) − e − x f ( x) = e − x h( x) ⇔ e − x f ( x) ′ = e− x h( x ) ⇔ e − x f ( x) = ∫ e − x h( x)dx Dạng Bài toán tổng quát: f '( x ) + p( x) f ( x) = h( x ) Phương pháp giải: Nhân vế với e ∫ p ( x ) dx ta e ∫ p ( x ) dx f '( x) + e ∫ p ( x ) dx p( x) f ( x) = e ∫ p ( x ) dx h( x) ⇔ e ∫ p ( x ) dx ′ p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx f ( x) = h( x).e ∫ ⇒ e∫ f ( x) = ∫ h( x).e ∫ dx p ( x ) dx p ( x ) dx Tổng quát: e ∫ f ( x) = ∫ h( x).e ∫ dx Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f (0) = (2x + 3)f '(x) + f(x) = 4x − 3x Tính f (2) A f (2) = B f (2) = C f (2) = D f (2) = Lời giải Ta có: (2x + 3)f '(x) + f(x) = 4x − 3x ⇔ [ (2x + 3)f (x) ] ′ = 4x − 3x 2 Lấy nguyên hàm vế ta được: (2x + 3)f (x) = ∫ (4x − 3x )dx = 2x − x + C Do f (0) = ⇒ 3f(0) = C ⇒ C = Thay x = ⇒ 7f (2) = − + ⇒ f (2) = Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1;3] thỏa mãn f (1) = (x + x + 2)f '(x) + (2x + 1)f (x) = 4x + 2x Khẳng định sau đúng? A < f (3) < B < f (3) < C f (3) < Lời giải D f (3) > Ta có: (x + x + 2)f '(x) + (2x + 1)f (x) = 4x + 2x ⇔ (x + x + 2)f (x) ′ = 4x + 2x Lấy nguyên hàm vế ta được: (x + x + 2)f (x) = ∫ (4x + 2x)dx = x + x + C Do f (1) = ⇒ f(1) = + C ⇒ C = Khi (3 + + 2)f (3) = + + ⇒ f (3) = 48 > Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 4] thỏa mãn f (1) = f(x) = x f'(x) + 3x − 4x Tính giá trị f (4) A f (4) = −2 B f (4) = −196 C f (4) = −48 D f (4) = −193 Lời giải Ta có f(x) = x f'(x) + 3x − 4x ⇒ ⇔ f (x) − x.f '(x) = 3x − x ′ xf '(x) − f (x) = −3x + (*) Mặt khác f( x) = x f '( x ) 2− f ( x) x x x Lấy nguyên hàm vế (*) ta có: Do f (1) = ⇒ f( x) = − x3 + x + C x f (1) = −1 + + C ⇒ C = −1 ⇒ f (x) = − x + 4x − x Khi f (4) = −196 Chọn B π Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f ÷ = 4 π s inx.f'(x) + cos x.f (x) = s inx + cos x Tính giá trị f ÷ 2 π A f ÷ = 2 π B f ÷ = 2 π C f ÷ = 2 Lời giải Ta có: [ s inx.f(x) ] ′ = s inx.f '(x) + cos x.f (x) Từ giả thiết lấy nguyên hàm vế ta được: s inx.f (x) = − cos x + s inx + C π π π Do f ÷ = ⇒ −cos + sin + C = ⇔ C = 4 4 Suy s inx.f (x) = s inx − cos x ⇒ sin π π π f ÷ = ⇒ f ÷ = Chọn D 2 2 π D f ÷ = 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f '(x) + f(x) = x − Biết f (0) = Khẳng định sau đúng? A f (2) = e −2 B f (2) = e C f (2) = + e Lời giải D f (2) = −1 + e Ta có: f '(x) + f(x) = x − ⇔ e x f '(x) + e x f (x) = e x (x − 1) ⇔ e x f (x) ′ = e x (x − 1) ⇒ e x f (x) = ∫ e x (x − 1)dx u = x − du = dx ⇒ ⇒ ∫ e x (x − 1)dx = (x − 1)e x − ∫ e x dx = (x − 2)e x + C Đặt x x dv = e dx v = e Do e x f (x) = (x − 2)e x + C ⇒ f (x) = (x − 2)e x + C ex Lại có f (0) = −2 + C = ⇒ C = ⇒ f (x) = (x − 2)e x + 9 ⇒ f (2) = Chọn A x e e Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f (0) = f (x) − f '(x) = 2x + Giá trị f ( 1) thuộc đoạn A [ 0; 2] B [ 4;6] C [ 2; 4] Lời giải D [ 6;8] Ta có : f (x) − f '(x) = 2x + ⇔ e − x f (x) − e − x f '(x) = e − x (2x + 1) Mặt khác e − x f (x) ′ = e − x f '(x) − e − x f (x) −x −x Lấy nguyên hàm vế ta được: −e f (x) = ∫ e (2x + 1)dx u = (2x + 1)dx du = 2dx ⇒ ⇒ ∫ e − x (2x + 1)dx = −e − x (2x + 1) + ∫ 2e − x dx Đặt −x −x dv = e dx v = − e ⇒ −e − x f (x) = −e − x (2x + 3) + C ⇔ e − x f(x) = e − x (2 x + 3) + C Do f (0) = nên = + C ⇒ C = ⇒ f (x) = 2x + + = f (x) = 2x + + e x −x e ⇒ f (1) = + e ∈ [ 6;8] Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , biết f (0) = (x + 1)f '(x) + xf (x) = x + 4x Khi đó: A < f (1) < B < f (1) < C < f (1) < Lời giải Ta có : (x + 1)f '(x) + xf (x) = x + 4x ⇔ f '(x) + D f (1) > x x + 4x f (x) = x2 +1 x +1 13 xdx Áp dụng công thức nhanh Dạng ta có f ( x).e ∫ x xdx +1 xdx x + x ∫ x2 +1 =∫ e dx (*) x +1 Ta tính: e ∫ x2 +1 = e ln( x +1) = x + Do (*) ⇔ x + f ( x ) = ∫ =∫ x3 + x x + 1dx x2 + x(x + 4) dx = ∫ x + + d ( x + 1) = ( x + 1)3 + x + + C ÷ 2 x +1 x +1 Do f ( x) = x2 + C x + 10 C +3+ = + 3 x2 + x2 + Mặt khác f (0) = 10 13 11 + C = ⇒ C = ⇒ f (1) = + ⇒ < f (1) < Chọn C 3 Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 2; 4] , biết f (2) = (x − 1)f '(x) + f (x) = x + x Tính f (4) A f (4) = + B f (4) = + C f (4) = + 15 Lời giải 2 Ta có: (x − 1)f '(x) + f (x) = x + x ⇔ f '(x) + f (x) x = với x ∈ [ 2; 4] x −1 x −1 Áp dụng công thức nhanh Dạng ta có f ( x).e ∫ x dx Lại có e ∫ x2 −1 =e x −1 ln x +1 Do (*) ⇔ f ( x) = D f (4) = + 15 dx −1 dx x ∫ x2 −1 =∫ e dx (*) x −1 x −1 x +1 x −1 x x −1 xdx d ( x − 1) =∫ dx = ∫ = ∫ = x2 −1 + C 2 x +1 x −1 x +1 x −1 x −1 x +1 3x + + x + ⇒ f (2) = C + = ⇒ f ( x) = + x +1 x −1 x −1 Suy f ( x ) = C Vậy f (4) = + Chọn B Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục đoạn [ 1; e] , thỏa mãn xf '(x) = x [ f (x) ] + 3f (x) + A 2e B − f (1) = −3 Tính f (e) x Ta có xf '(x) = x [ f (x) ] + 3f (x) + 2e Lời giải C − D 4 ⇔ f (x) + xf '(x) = x [ f (x) ] + 4f (x) + x x xf (x) ] ′ [ 1 ′ ⇔ [ xf (x) ] = [ xf (x) + ] ⇔ = x [ xf (x) + 2] x Đặt g (x) = xf ( x) ta có: ⇔∫ d [ g(x) ] [ g(x) + 2] g '(x) [ g(x) + 2] = g '(x) dx dx =∫ suy ∫ x x [ g(x) + 2] −1 −1 = ln x + C ⇔ = ln x + C g(x) + xf (x) + = ln x + C ⇔ Do f (1) = −3 nên −1 −5 −1 = ⇔ f (e) = = C ⇔ C = Suy Chọn C ef (e) + 2e −1 Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) liên tục có đạo hàm x ∈ ( 0; +∞ ) , đồng thời thỏa mãn điều kiện f (x) = x ( s inx + f '(x) ) + cos x A ( 6;7 ) 3π ∫ f ( x)sin xdx = −4 Khi đó, f (π ) nằm khoảng π B ( 5;6 ) C ( 12;13) D ( 11;12 ) Lời giải Ta có f (x) = x ( s inx + f '(x) ) + cos x ⇔ f (x) − xf '(x) = x sin x + cos x ⇔ f (x) − xf '(x) x sin x + cos x f (x) ′ cos x ′ = ⇔ − = − ÷ x x2 x2 x Lấy nguyên hàm vế ta được: 3π Khi đó: ∫ π f (x) cos x = + C ⇒ f (x) = cos x + Cx x x 3π f ( x)sin xdx = ∫ (sin xcosx+Cxsinx)dx = −4 ⇒ C = π Suy f (x) = cos x + 2x ⇒ f ( π) = −1 + 2π ∈ (5;6) Chọn B π Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn 0; Biết 3 π π f '(x).cos x + f (x).s inx = 1, ∀x ∈ 0; f (0) = Tính tích phân I = f ( x )dx ∫ 3 A I = +1 B I = −1 C I = D I = Lời giải f '(x).cos x + f (x).s inx = ⇔ f '(x).cos x + f (x).s inx 1 f (x) ′ = ⇔ = 2 cos x cos x cos x cos x Lấy nguyên hàm vế ta được: f (x) = tanx + C Theo giả thiết f (0) = ⇒ C = cos x π + π π π π Khi I = f ( x )dx = (tanx+1)cosxdx = (s inx + cosx)dx = ( − cos x + s inx) = + ∫0 ∫0 ∫0 Chọn A π Ví dụ 12: Cho hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm 0; ÷, đồng thời thỏa mãn hệ thức 2 f (x) + tanx f'(x) = x Biết cos3 x π f ÷− 3 π f ÷ = aπ + b ln a, b ∈ ¡ Tính giá trị 6 biểu thức P = a + b A P = 14 B P = −4 C P = D P = Lời giải Ta có f (x) + tanx f'(x) = x x x ⇔ cos.f(x) + sin xf '(x) = ⇔ [ s inx.f (x) ] ′ = cos x cos x cos x Lấy nguyên hàm vế ta được: s inx.f (x) = ∫ xdx cos x u = x du = dx xdx ⇒ sin x.f (x) = ∫ = x tan x − ∫ tan xdx Đặt dx ⇒ cos x v = tan x dv = cos x ⇒ sin x.f (x) = x tan x + ln cos x Do π f ÷− 3 π f ÷ = π + ln − π − ln = 5π − ln 3 18 Suy π f ÷− 3 −4 a = π 5π f ÷= − ln ⇒ ⇒ a+b = Chọn B 9 6 b = −1 x −x Ví dụ 13: Tính tích phân I = ∫ { e ;e } dx −1 A I = −2 e B I = +2 e x −x x Xét phương trình e = e ⇔ e = e Lời giải C I = − ⇔ ex = ⇔ x = x e x −x x −x x Suy [ −1;0] → e − e < ⇒ { e ; e } = e x −x x −x −x Và [ 1;3] → e − e > ⇒ { e ; e } = e −x Vậy I = ∫ e dx + ∫ e dx = − x −1 Chọn C e D I = e −2 3 Ví dụ 14: Tính tích phân I = ∫ max { x ; x − x} dx A I = 117 B I = 275 12 C I = 19 D I = 27 Lời giải x = 3 Xét phương trình x = x − 3x ⇔ x − x + 3x = ⇔ x = 1; x = 3 3 Suy [ 0;1] → x − (4 x − 3x) > ⇒ max { x ; x − x} = x 3 2 Và [ 1;3] → x − (4 x − x) < ⇒ max { x ; x − x} = x − x Vậy I = ∫ x dx + ∫ (4 x − 3x) dx = 275 Chọn B 12 π Ví dụ 15: Tính tích phân I = { s inx;cosx} dx ∫ A I = − B I = C I = + Lời giải π π Xét phương trình s inx − cos x = ⇔ sin x − ÷ = ⇔ x = 4 π Suy 0; → s inx − cos x < ⇒ { s inx;cos x} = sinx 4 π Và 0; → s inx − cos x > ⇒ { s inx;cos x} = cos x 4 π π π Vậy I = ∫ s inx dx + ∫ cosxdx = − Chọn D D I = − BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f (− x ) = + 2cos2x , ∀x ∈ ¡ Tính I= 3π ∫ f ( x)dx 3π − A I = −6 B I = D I = C I = −2 Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f (− x) = − 2cosx, ∀x ∈ ¡ Tính I= π ∫ f ( x) dx π − A I = π −1 B I = π +2 C I = 3π −2 D I = π +1 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( − x) + f ( x) = cosx Tính I = π ∫ f ( x) dx π − A I = B I = C I = D I = Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f (− x) = sin x Tính I = π ∫ f ( x)dx π − B I = A I = C I = D I = −2 Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục ¡ thỏa mãn f (− x ) − f ( x) = x Tính I = ∫ f ( x)dx −1 B I = A I = C I = D I = 1 f ( x) dx = , hàm số y = f(x) hàm số chẵn đoạn [ −1;1] Tính I = ∫ f ( x)dx Câu 6: Cho ∫ + 2x −1 −1 A I = B I = 16 C I = D I = x 2016 dx Câu 7: Tính tích phân I = ∫ x e +1 −2 A I = 22016 2017 B I = 22018 2017 C I = 22017 2017 D I = Câu 8: Cho hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [ −2; 2] Tìm khẳng định đúng? 22018 2018 A ∫ −2 C 2 f ( x)dx = ∫ f ( x )dx B ∫ f ( x)dx = 0 −2 2 −2 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ D −2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx 1 Câu 9: Cho f(x) hàm số chẵn liên tục ¡ thỏa ∫ f ( x)dx = Tính −1 A B C ∫ f ( x)dx D Câu 10: Cho f(x) hàm số chẵn ¡ thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Chọn mệnh đề đúng? −3 A ∫ f ( x)dx = B −3 ∫ f ( x)dx = C −3 ∫ f ( x)dx = −2 D ∫ f ( x)dx = 2017 x + 2017 dx Câu 11: Tính tích phân I = ∫ x −1 A I = B I = Câu 12: Cho f hàm số liên tục [ a; b ] thỏa b ∫ a A I = D I = C I = −2 B I = a + b − b f ( x)dx = Tính I = ∫ f (a + b − x)dx a C I = − a − b Câu 13: Cho hàm số f(x) hàm chẵn, có đạo hàm đoạn D I = a + b + [ −6;6] Biết ∫ f ( x)dx = −1 −1 ∫ f (−2 x)dx = Tính I = ∫ f ( x)dx A I = 11 B I = C I = D I = 14 Câu 14: Cho hàm số f(x) hàm số chẵn ∫ f ( x)dx = a Mệnh đề sau đúng? −2 A ∫ f ( x)dx = − a B ∫ −2 Câu 15: Cho hàm số f(x) hàm số lẻ ∫ −2 B I = −2 C ∫ f ( x)dx = D −2 A I = −2 f ( x)dx = 2a ∫ f ( x)dx = a f ( x)dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx C I = D I = −1 Câu 16: Cho hàm số f(x) hàm chẵn liên tục ¡ , thỏa mãn I = ∫ f ( x)dx = Tính tích phân J= π ∫ cos x f (3sin x)dx − π A J = B J = C J = D J = Câu 17: Cho tích phân I = ∫ f ( x)dx = f(x) hàm số liên tục đoạn [ −1; 2] Tính tích phân −1 ∫ f (1 − x)dx −1 A −1 C B D π a Câu 18: Biết I = ln(1 + tanx)dx = a ln c với a,b,c ∈ ¢ + phân số tối giản Giá trị a + 2b − c thuộc ∫0 b b khoảng khoảng sau? A (17;19) B (25; 27) π π 0 C (31;33) D (41; 43) C 2π D Câu 19: Biết ∫ xf(sin x) dx = 2π Tính ∫ f(sin x) dx B π A π π Câu 20: Biết ∫ f(sin x)dx = Tính ∫ xf(s inx)dx 0 A π B Câu 21: Biết ∫ 2π 3 D 2 x − +1 dx = + a ln + b ln với a,b ∈ ¢ Tính S=a+b x A S = B S = 11 Câu 22: Tích phân ∫x − 3x + dx = −1 A 22 C C S = −3 D S = a a với a,b ∈ ¥ * phân số tối giản Tính a+2b b b B 17 Câu 23: Cho số thực m, n thỏa mãn C 23 D 67 1 a b ∫ (1 − x)dx = m ∫ (1 − x)dx = n a, b số thực a < < b Tính tích phân I = ∫ − x dx a A I = − m − n B I = n − m C I = m − n D I = m + n Câu 24: Tính tích phân I = ∫ max { x + 1; x − 3} dx A I = 80 B I = 76 C I = 24 D I = 148 C I = 18 D I = C I = 11 D I = 27 C I = D I = C I = − ln 2 D I = − ln 2 C I = D I = Câu 25: Tính tích phân I = ∫ max { x ; x − 3} dx A I = 56 B I = 58 2 Câu 26: Tính tích phân I = ∫ { x; x } dx A I = B I = 2 Câu 27: Tính tích phân I = ∫ { 1; x } dx A I = B I = 2 3x − ; − x dx Câu 28: Tính tích phân I = ∫ max x +1 A I = − ln 2 B I = 3 − ln 2 2 Câu 29: Tính tích phân I = ∫ max { x; x } dx A I = 17 B I = Câu 30: Tính tích phân I = ∫ max { x − x + 1; x + 1} dx A I = 83 B I = C I = − D I = − 83 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Lấy tích phân vế f ( x) + f (− x) = cos2 x cận từ − 3π ∫ f ( x)dx + 3π − 3π ∫ f ( − x)dx = 3π − 3π ∫ 2(1 + cos2x)dx = 3π − 3π ∫ 3π 3π → ta có: 2 cosx dx = 12 (Sử dụng máy tính Casio) 3π − −3π 3π ⇒t = 2 Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận 3π −3π x= ⇒t = 2 x= 3π Khi ∫ f (− x )dx = − 3π − 3π Suy ∫ 3π − 3π ∫ f (t )dt = 3π − f ( x)dx + 3π ∫ 3π ∫ f (t )dt = 3π − 3π ∫ f ( x)dx 3π − f (− x)dx = I = 12 ⇒ I = Chọn D 3π − Câu 2: Ta có f ( x) + f (− x) = − 2cos x ⇒ π π ∫ f ( x)dx + ∫ f (− x)dx = π − π − π ∫ (3 − 2cosx)dx − π −π π ⇒t = 2 Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận π −π x= ⇒t = 2 x= π Khi ∫ π − π π π − π − f (− x)dx = − ∫ f (t )dt = Do (*) ⇔ I = (3 x − 2s inx) π π − ∫ π f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I − π = 3π − ⇒ I = Câu 3: Ta có f ( − x) + f ( x) = cos x ⇒ π ∫ π − π π π − π − f ( x)dx + ∫ f ( − x)dx = −π π ⇒t = 2 Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận π −π x= ⇒t = 2 x= 3π − Chọn C ∫ cosxdx (*) (*) π Khi ∫ π − π π π π − − f (− x)dx = − ∫ f (t )dt = Do (*) ⇔ 3I = s inx π π − ∫ =2⇒ I = π f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I − π 2 Chọn C Câu 4: Ta có: f ( x) + f (− x) = sin x ⇒ π ∫ π − π f ( x)dx + ∫ f (− x) dx = π − π ∫ sin xdx (*) − π −π π ⇒t = 2 Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận π −π x= ⇒t = 2 x= π Khi ∫ π − π π π π − − f (− x)dx = − ∫ f (t )dt = ∫ π f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I − π π − cos x = ⇒ I = Chọn A Do (*) ⇔ I = π − 1 −1 −1 −1 Câu 5: Ta có f (− x ) − f ( x) = x ⇒ ∫ f (− x) dx − ∫ f ( x )dx = ∫ x dx (*) Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận Khi ∫ −1 f (− x)dx = − ∫ f (t )dt = −1 x4 ⇔ I = Do (*) x = −1 ⇒ t = x = ⇒ t = −1 ∫ −1 f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I −1 = ⇒ I = Chọn A −1 Câu 6: Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận Khi K= x = −1 ⇒ t = x = ⇒ t = −1 1 f ( x) f (−t ) f (t ) 2t f (t ) x f ( x) dx = − dt = dt = dt = ∫ + 2x ∫ + 2−t −∫1 ∫1 + 2t ∫1 + x dx −1 −1 − − 1+ t 1 1 x f ( x ) f ( x) dx + ∫ dx = ∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = K = Chọn D Suy K = ∫ x 1+ + 2x −1 −1 −1 −1 Câu 7: Đặt t = x ⇒ dt = − dx đổi cận x = −1 ⇒ t = x = ⇒ t = −1 I= Khi 2 2 x 2016 t 2016 t 2016 t 2016 et e x x 2016 dx = − dt = dt = dt = ∫−2 e x + ∫−2 e−t + −∫2 ∫−2 et + ∫−2 e x + dx +1 et 2 2 e x x 2016 x 2016 x 2017 2.22017 dx + ∫ x dx = ∫ x 2016 dx = = Suy I = ∫ x e +1 e +1 2017 −2 2017 −2 −2 −2 Do I = 22017 Chọn C 2017 Câu 8: Do f(x) hàm lẻ f ( − x) = − f ( x) a Ta có a ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( − x)dx = −a −a a Do ∫ f ( x)dx = ⇔ −a a ∫ −a a a −a f (− x )d ( − x) → ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx t =− x −a a ∫ f ( x)dx = Chọn B −a Câu 9: Do f(x) hàm chẵn f (− x ) = f ( x ) Ta có: ∫ −a a Do ∫ Do ∫ −1 0 a −a a a 0 f ( x )dx = −a t =− x f ( x)dx = − ∫ f (− x)d (− x) → − ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx ∫ −a a a 0 −a f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = 2∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx 1 0 f ( x)dx = ∫ f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = Chọn A Câu 10: Do f(x) hàm chẵn ¡ nên ∫ −3 f ( x)dx = ∫ f ( x )dx = Chọn B 2017 x + 2017dx = Câu 11: Do f ( x) = x 2017 x + 2017 hàm số lẻ ¡ nên I = ∫ x −1 Chọn A Câu 12: Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx Đổi cận b a b a b a x=a⇒t =b x=b⇒t =a Khi I = ∫ f (a + b − x )dx = − ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = Chọn A Câu 13: Do f(x) hàm chẵn nên = 3 −1 ∫ f (−2 x)dx = ∫ f (2 x)dx = ∫ f (2 x)d (2 x) −1 1 f (t)dt = ∫ f ( x )dx = ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ −2 −2 −2 Khi I = ∫ −1 f (t)dx = ∫ −1 f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = + = 14 Chọn D Câu 14: Hàm số f(x) hàm chẵn f ( − x) = f ( x) Ta có ∫ −a a Do 0 0 −a a a a t =− x f ( x )dx = − ∫ f ( − x)d (− x) → − ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx ∫ f ( x )dx = −a ∫ −a a a 0 −a f ( x)d ( x) + ∫ f ( x )dx = 2∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx = 2a Chọn B Câu 15: Do f(x) hàm số lẻ nên ∫ f ( x)dx = ⇔ −2 0 −2 ∫ −2 f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = 0 Suy I = ∫ f ( x)dx = − ∫ f (x)dx = −2 Chọn B Câu 16: Do f(x) hàm chẵn nên ∫ −3 π f ( x)dx = ∫ f ( x)dx π 3 1 t =3sin x J = ∫ cos x f (3sin x)dx = ∫ f (3sin x)d (3sin x) → J = ∫ f (t )dt = ∫ f (x)dx π −3 −3 π − − 2 = 2∫ f ( x)dx = = Chọn D 3 Câu 17: Đặt t = − x ⇔ dt = −dx Đổi cận Khi I = ∫ −1 −1 f (1 − x) dx = − ∫ f (t )dt = x = −1 ⇒ t = x = ⇒ t = −1 ∫ f ( x)dx = Chọn C −1 π x =0→t = π Câu 18: Đặt t = − x ⇔ dt = − dx x = π → t = π π π Do I = ∫ ln 1 + tan − t ÷ (−dt ) = ∫ ln 1 + tan − x ÷dx 4 π 0 π π 4 − tan x π π = Mà + tan − x ÷ = + suy I = ln dx = ln 2dx − ⇔ I = ln ∫ ∫ + tan x + tan x + tan x 0 a = π a Lại có I = ln c → b = Vậy a+2b-c=π +2.8-2 ∈ (17;19) Chọn A b c = x = → t = π Câu 19: Đặt t = π − x ⇔ dx = − dt x = π → t = π π π Do ∫ xf(s inx) dx = ∫ (π − t ) f [ sin(π − t ) ] ( −dt ) = ∫ (π − x) f (s inx) dx π π π 0 = π ∫ f(s inx)dx − ∫ x f(s inx)dx ⇔ ∫ f(s inx)dx = π f(s inx)dx = Chọn D π ∫0 x = → t = π Câu 20: Đặt t = π − x ⇔ dx = − dt x = π → t = π π π Do ∫ xf(s inx) dx = ∫ (π − t ) f [ sin(π − t ) ] ( −dt ) = ∫ (π − x) f (s inx) dx π π π π 0 0 = π ∫ f(s inx) dx − ∫ x f(s inx)dx ⇔ 2.∫ x f(s inx)dx = π ∫ f(s inx)dx π Vậy ∫ x f(s inx)dx = Câu 21: Ta có I = ∫ π Chọn A 5 x − +1 x − +1 − 2x 2x − dx + ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = + 8ln + 3ln x x x x 2 a = Mà I = + a.ln + b.ln → Vậy S = a + b = + =11 Chọn B b = x = Câu 22: Xét phương trình x − x + = ⇔ x = 2 Do [ −1;1] , [ 2; 4] → x − x + > [ 1; 2] → x − x + < Vậy I = ∫ (x − x + 2) dx − ∫ (x − x + 2) dx + ∫ (x − 3x + 2) dx = 2 −1 19 a = 19 ⇒ Chọn C b = b b 1 a a a b Câu 23: Ta có I = ∫ − x dx + ∫ − x dx = ∫ (1 − x )dx − ∫ (1 − x)dx = ∫ (1 − x)dx + ∫ (1 − x) dx = m + n Chọn D 2 { x + 1; x − 3} = x + Câu 24: Ta có x + − (4 x − 3) = x − x + = ( x − 2) ≥ → max [ 0;4] x3 43 80 Suy I = ∫ ( x + 1) dx = + x ÷ = + = Chọn A 0 x = 2 Câu 25: Xét phương trình x = x − ⇔ x − x + = ⇔ x = 2 Suy [ 2;3] → x − x + < ⇒ max { x ; x − 3} = x − 2 Và [ 3; 4] → x − x + > ⇒ max { x ; x − 3} = x Vậy I = ∫ (4 x − 3) dx + ∫ x dx = 58 Chọn B x = Câu 26: Xét phương trình x = x ⇔ x ( x − 1) = ⇔ x =1 2 Suy [ 0;1] → x − x < ⇒ { x; x } = x 2 Và [ 1; 2] → x − x > ⇒ { x; x } = x 1 2 x3 x2 11 + = Chọn C Vậy I = ∫ x dx + ∫ xdx = x =1 2 Câu 27: Xét phương trình x = ⇔ x − = ⇔ x = −1 2 Suy [ 0;1] → x − < ⇒ { 1; x } = x 2 Và [ 1; 2] → x − > ⇒ { 1; x } = 1 x3 + x = + = Chọn D Vậy I = ∫ x dx + ∫ 1dx = 3 Câu 28: Xét phương trình Suy [ 0;1] → Và [ 1; 2] → 0 ≤ x ≤ 3x − = 2− x ⇔ ⇔ x =1 x +1 3x − = ( x + 1)(2 − x) 3x − 3x − − + x < ⇒ max ; − x = − x x +1 x +1 3x − 3x − 3x − − + x > ⇒ max ; − x = x +1 x +1 x +1 3x − dx = − ln Chọn A x +1 2 Vậy I = ∫ (2 − x ) dx + ∫ x = Câu 29: Xét phương trình x = x ⇔ x ( x − 1) = ⇔ x =1 2 Suy [ 0;1] → x − x < ⇒ max { x; x } = x 2 Và [ 1; 2] → x − x > ⇒ max { x; x } = x 1 2 x2 x3 17 + = Chọn A Vậy I = ∫ x dx + ∫ x dx = x = Câu 30: Xét phương trình x − x + = x + ⇔ x = 2 Suy [ 0;3] → x − x + − ( x + 1) < ⇒ max { x − x + 1; x + 1} = x + 2 Và [ 3; 4] → x − x + − ( x + 1) > ⇒ max { x − x + 1; x + 1} = x − x + Vậy I = ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx = 83 Chọn A ... cos x + cos x 1+ u2 π 0 Do I = π2 1 ⇒ a = ; b = c = ⇒ S = Chọn C 4 2) Một số dạng tích phân vận dụng cao Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức sau: (1) u ( x) f '( x) + u '(x).f(x)... Cho hàm số f(x) hàm chẵn liên tục ¡ , thỏa mãn I = ∫ f ( x)dx = Tính tích phân J= π ∫ cos x f (3sin x)dx − π A J = B J = C J = D J = Câu 17: Cho tích phân I = ∫ f ( x)dx = f(x) hàm số liên tục... a,b ∈ ¢ Tính S=a+b x A S = B S = 11 Câu 22: Tích phân ∫x − 3x + dx = −1 A 22 C C S = −3 D S = a a với a,b ∈ ¥ * phân số tối giản Tính a+2b b b B 17 Câu 23: Cho số thực m, n thỏa mãn C 23 D 67