18 chủ đề hình học 12 các dạng toán trọng tâm dành cho học sinh lớp 12 chương trình cơ bản và nâng cao nâng cao kỹ năng làm bài

C hứng minh rang trong một khối đa diện bất kỳ, hoặc tồn tại một mặt là tam giác, hoặc tồn lại một dinh là đinh chung của đúng ba cạnh.. Chứng minh răng tâm các mặt của hinh lặp phương l

NHOM BIẾN SOẠN SÁCH Bổ TRỢ GIÁO DỤC OLYMPIC

h ủ b iên : N G U Y Ề N VẢN D Ũ N G - N G Ư Y Ẻ N T Ấ T 'ỤHU

✓ C á c d ạ n g toán trọng tâm.

/ D à nh ch o học sin h lớp 12 chương trin h Co bản và N âng cao / N âng cao k ĩ năng làm bài / BỐI dưỡng H S khá giói và chuần bi

c h o c á c kì thi TN • TSĐ H

NHA XUẤT BÁN ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896;

C Ô N G TI ANPHA

S Á C H LIÊN KẾT

18 CHỦ ĐỂ HĨNH HỌC 12

Mã số: 11,-061)11*010

In 2.000 cuốn, khổ 16 \ 24 em lại Công ti TNHH in llưiiỊi IMiú

SỐ xuất bần: 1823-201 o/cxH/25-178/ĩ)IIỌG11N ngày 19/10/2010

Ụuyếl ilịnli \u â t l)àn số: 02 I.k-T!\/Ụ l)-\\I51>IIỌ (»II\

In xong và nộp lưu chiểu quỷ I năm 2011

đ ấ u t ừ việc n ắ m v ữ n g kiến th ứ c cơ bán, p h á t triển tu d u y , n â n g cao kha

n àn g v ậ n d ụ n g , p h â n tích và tổ n g h ợ p giái q u y ế t v ấ n đề, c h ú n g tôi biên soạn b ộ sá c h v ề 18 chú đ ê tr o n g c h ư ơ n g trìn h toán h ọ c 12

T ro n g mồi ch u đ ê g ố m b a p h ẩ n

I T ó m tắt lý th u y ế t: hệ thống hóa các kiến th ứ c trọ n g tâm

II Ví d ụ m in h họa: gồm n h ũ n g ví d ụ đ iê n h ìn h cho m ỗi p h ư o n g

p h á p g iái to á n tư ơ n g ứ n g với c h ủ đế C ác ví d ụ n à y đ ư ợ c s ắ p xếp theo một logic n h ấ t đ ịn h g iú p các em có t h ế tỏ n g q u á t h ó a và có k ỹ n ă n g giai các bài to á n tư ư n g tự

III Bài tập : g õ m m ột hệ thống các bài tậ p đ ế các e m có thê tụ luyện tậ p n h ằ m k h ắ c s â u kiến th ứ c và rèn lu y ệ n kỹ n ă n g

T ro n g bộ sách này, với tinh thần tăng cưừng trách n h iệm của mỗi tác giá, c ũ n g n h u th u ậ n tiện cho việc trao đỗi cùa độc giả, c h ú n g tôi p h â n công:

+ Tác giá N g u y ễ n Tát T h u p h ụ trách chinh cuốn "18 chù dê g iả i tích 12" + Tác giả N g u y ền Vãn D ũ n g p h ụ trách chính cuốn "1S chù đ ế hình học 12".

C h ú n g tôi tin tư ở n g rằ n g vói hộ sách này, m ỗi e m hục s in h đ ể u có thê tìm th ấ y n h ữ n g đ iề u th ú vị v à bô ích

M ặ c d ù m ỗi tác gia đ ã d à n h nhiều tâm h u y ế t c h o c u ố n sách, s o n g sự sai s ó t là đ iế u k h ó trá n h khói C h ú n g tôi rất m o n g n h ậ n d ư ợ c sụ p h án biện v à g ó p ý c ù a q u ý đ ộ c gió đ ế n h ũ n g lần tái b à n s a u c u ố n sách đ ư ợ c

■ M ỗi cạnh cùa một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

3 I lình đ a diện (H) cúng với các điểm nam trong (H) được gọi là khối đa diện g iớ i hạn bởi hình (H)

s Khối đ a diện được gọi là khối chóp, khối lãng trụ, nếu nó được giới hạn tư ư n g ứng bởi một hinh chóp, hình lăng trụ,

o Phân c h ia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện ( H ,) ,( H 2) nếu (H) là hợp c ù a (H ,) và (H 2), (H ,) không có điểm chung trong với (H 2)

ữ Khối đ a diện (H) dược gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thắng nối hai điếm bất kỳ của (H ) luôn thuộc (H)

Khối đ a diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất

■ Mỗi mặt của nó là một đa giác đều n cạnh

• Mỗi đinh của chúng là dinh chung của đúng p mặt

■ K hối da diện dều đó được gọi là khối da diện đều loại {n;p}

Gụi D, C,M lần lượt là sổ dinh, số cạnh, số mặt của khối đa diện lồi (H) thì dặc số Euler của (H ) là x(H) = D - C + M = 2 (định lý Euler)

Vì một cạnh là cạnh chung cùa dúng hai mặt, nên tồn tại mặt M2 khác

Mị và có chung cạnh AB với Mị Mặt M2 phài có ít nhất một dinh khác vỏri các dinh A ,n

Giá sir D = c thì M 2 v à Mị có hai cạnh chung là AB và BC(BD), tức

là hai m ặt trùng nhau, điều này mâu thuẫn với M2 khác Mj Vậy D phải khác c , tức là da diện (H) phải cỏ ít nhất bốn đinh,

d ụ 1.2 ( 'hứng m inh rằ n g m ỗi hình đa diện có ít nhai 6 cạnh.

Lòi giai

X ét hinJh đu diện (H ) có một mặt là Mị Khi dó Mj có ít nhất ba cạnh liên tiếp là C 1;C,;C.( Gọi M 2 là mặt khác Mj có chung cạnh c , với

Mị Trên mặt M.2 còn có ít nhất hai cạnh Ợ ,;C 5 khác C ,.D o tín h phủ biệt của M 2 và M, nên C ,;C 5 phải khác C2;C3 N h u vậ

Xét khối da diện (II) có số mặt là M và số cạnh của mỏi mật lầ n lượt 1

C 1;C2; ;CM, trong dó C k là số lẻ với mọi k =

Vi mỏi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt, do đỏ số cạnh của khối li diện l à C = C| +C2 - " + CM 2

Ta có c là số nguycn dương ncn Cị + C 2 + + CM phải là sổ chằn I)

là các mặt cùa hình dó phủi là các tam giác

Gọi M , c là sỏ mặl và số cạnh của hình da diộn (H) Du mỏii cạnh

cạnh chung cùa dũng hai mặt nên 3M = 2C = 14= > M = — (vô l v do ĩ

3

là số nguyên dưomg).Vậy không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

Ví d ụ 1.5 C hửng m inh rằ n g trong m ột kh ố i đ a diện bất k\\ tun lụi hai l / ii

mù số cạnh x u a t p h á i lừ m oi đinh này bằng nhau.

Lòi giai

Xét khối đa diện (H) có số đinh là D và số cạnh xuất phát từ các du lần lượt là C t ;C 2; ;C D, trong đó Cị, là các số nguyên durưng \6

k = Ịl;2; ;D } Vi số dinh cùa khối da diện là D nên số cạnh xuất phát từ mỗi đinh phái nhỏ hơn D, do dó Ck < D N hư vậy tập C k có D phần từ

mà chi nhận các giá trị từ 1 đến D, do dó theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai phần từ có giá trị bang nhau

Vậy m ột khối đa diện hái kỳ, luôn tồn tại hai đinh mà số cạnh xuất phát

từ hai dinh đó bằng nhau

Vi d ụ 1.6 C hứng m inh ra n g luôn tòn tại một hình đa diện có 2n + 1 cạnh, với n lù so nguyên dương và n > 4.

L òi giai

Xét một hình chóp có đáy là da giác gồm n - 1 cạnh S.A,A 2 An_l

G hép thêm vào mặt S.A jA 2 v à ớ phía ngoài hinh chóp S.AjA2 An_j một hình chóp T.SAịA2

Do hình chóp S.A1A 2 An_1 có 2 ( n - l ) cạnh nôn hình đa diện gôm

- N eu n là số lc thi do n > 8 nên n = 2m + 3 (m £ 3) c ẳ t hinh chóp có đáy là m cạnh theo một mặt phẳng thỏa mãn cắt dúng hai cạnh đáy vả

m ột cạnh bên cùa hinh chóp thi dược một hình đa diện có 2m + 3 cạnh Tóm lại luôn tồn tại m ật khối đa diện có n cạnh với n > 8

C h ủ ỷ: T rường h ạ p n là sô lẽ cỏ thè làm như ví d ụ 6

/i d ụ 1.8 S ứ dụng định lý E u ler chứ ng minh rằ n g có đúng 5 khôi da diện là khối du diện đều.

- Vi mòi mặt cỏ n cạnh nên M mặt sẽ có nM cạnh, nhưng mỗi cạnh lại

là cạnh chung cua dúng hai mặt do đó 2C = nM (2)

T ừ (1),(2) và kết hợp tính chất cua dãy tỷ sổ bàng nhau ta có

p „ D C M D - C + M ( D - C + M)2np

p l ) - 2 L = nM o — = — = — = — -— =

-I ỉ _1 1 _ I _ 2 n + 2p - n p

p 2 n p 2 n

Kết hơp đinh lý Euler D - c + M = 2 suy ra — = V - 'T“ = “ — —

Vì đa giác đều phải có ít nhất 3 cạnh, mỗi dinh cũng có không it hơn cạnh nên n > 3,p s 3 n - 2 , p - 2 lả hai số nguyên d ư ơ ng có tích nh hơn 4, nên chi có thể xảy ra các trường hợp

Trường hợp 1: n — 2 = 1 n = p = 3, ta có khôi đa diện đ êu loại {3;3Ị

Trường hơp 3: | n 2 = 1 =>n = 3;p = 4, ta có khối da diên đều lo;

[p - 2 = 2{3;4}, dây chính là khối bát diện đều (tám mặt đều)

n — 2 = 3Trường hợp 4: n = 5;p = 3, ta có khối da diện đều lo;

p - 2 = 1{5; 3}, đây chính là thập nhị diện dều (mười hai mật đồu)

Trường hợp 5: < => n = 3;p = 5, ta có khôi đa diện đêu lo;

p — 2 = 3{3;5}, dây chính là khối nhị thập diện đều (hai mươi mặt đểu)

8

a) Khối lăng trụ A B C A 'B 'C ' được

phàn chia thành ba khối tứ diện lã

ABCA'; BCA'B'; CA'B C'

b) Khối lãng trụ ABC.A'B'C' được

phân chia thành khối chóp tam

giác C.A'B'C' và khối chóp tứ

giác ià C.A'B’AB

Ví dụ 1.10 ỉỉiiỵ p h â n chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành

a) S á u khối chóp lam giác,

h) N ăm khối tứ diện.

a) Vì m ột khối hộp dược coi là

ghép bời hai khối lâng trụ, mà

mỗi khối láng trụ có thề phân

chia thành ba khối chóp tam

giác, nên khối hộp dưực phân

chia thành sáu khỏi chóp tam

giác

h) Khối hộp dược phân chia

thánh năm khối tứ diện lá

ACDA'; BCDC'; BA'Ii'C'; DA'C'D'; BDA'C\

Ví dụ 1.11 C ho khối tứ diện đều ẠBCD C him g m inh rằng

a) Trọng tâm các mặt cùa khối đỏ là các m ật của m ột tứ diện đều

h) C á c trung điẽm các cạnh cùa khối đó lù các đinh cùa m ột khối tám

nên G,C.2G 3G 4 là một tứ diện đều cạnh — A

b) Gọi N ,P ,R ,S lẩn lượt là trung

điềm các cạnh AD.AB, AC,BD

Theo tính chất đường trung p

bình, ta cỏ

QM = QN = Q S = QR

= PM = P N = P S = PR a

Vi các dinh A ,B ,C ,D cách đều E ,F nôn cùng thuộc một mặt phang, c

đó ABCD là hình thoi Mà E cách đều A.B.C, D nên ABCD là hir vuông, do dó AC.BD đôi một vuông góc T ừ dỏ A C ,B D ,E F đòi m-

Vậy M N PQ M 'N 'P'Q ' là hình hộp.

Mặt khác MN.MQ.MM' lần lượt song song với B D ,A C ,E F nên chúng

đôi một vuông góc, lại có MN = ^ B D = — do đỏ MNPQ.M'NT'0' là

hình lập phương

III BÀI T Ậ P

Hài 1.1 C hứng minh một khối đa diện có ít nhất 4 mặt?

Hài 1.2 C hứng minh rằng không tồn tại một khối đa diện c ó số cạnh ít hơn

sô mặt, hay có sô cạnh ít han sô đinh,

liùi 1.3 C hứng minh ràng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thi số mặt phai là sô chẵn

Hài 1.4 C hứng minh răng trong một khôi đa diện mà mỗi dinh lã dinh chung cua dúng p cạnh thi hoặc p chẵn, hoặc số dinh cùa khối dó chẵn

Itài 1.5 C húng minh rằng trong một khối đa diện hấl kỳ tồn lại mặt có sốcạnh nhỏ hơn 6

Hài 1.6 C hứng minh rang trong một khối đa diện bất kỳ, hoặc tồn tại một mặt là tam giác, hoặc tồn lại một dinh là đinh chung của đúng ba cạnh Hài 1.7 Chửng minh ràng trong một khối đa diện bất kỳ tồn tại hai mặt có sổ cạnh bàng nhau

Bài 1.8 Hủy dùng 4 mặt phảng đế chia một khối tứ diện cho trước thành 9 khôi tử diện

lỉài 1.9, C hứng minh ràng tồn tại một khối da diện cỏ 20 mặt là tam giác đêu nhưng không phái là khối hai mươi mặt đều

lỉài 1.10 Chứng minh răng tâm các mặt của hinh lặp phương là các dinh cùa một bát diện đều

Itãi 1.11 C ho khối bát diện dều A BCD EP cạnh a, trong đó E ,F lã hai đinh không ciintỉ nằm trên một cạnh Gọi A \B ',C ',D ',A * ,B ',C ',D ’ lầri lượt là trung điểm các cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, PC, FD Chứng minh rằng A'B'C'D'.A*B'C*D' là một hình hộp ch ữ nhật và tính các cạnh của hình ch ữ nhật dó

lỉài 1.12 Cho khối đa diện có 2 n ,n > 2 dinh và một dường thẩng A bát kỳ không có diểm chung với bất kỳ doạn thẳng não nối hai dinh cùa khối đa diện Xét lất cà các tam giác có ba đinh là ba đinh của khối da diện Chứng minh ràng sổ các tam giác nói trên mà dường thẳng A di qua diêm num trong tam giác đó lã một số chẵn

CHÙ ĐỀ 2 PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAI'

I T Ó M T Ậ T LÝ T H U Y Ế T

o Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc đc với mỗi iđiém N (trong không gian), xác định được một điếm M' duy nhất gọi là ảnh cù điểm M qua phép biến hình F Ký hiệu M ’ = F(M)

■ Phép biến hinh F biến hình (H) thành hình (H') gồm tất cả các unh cũ các điểm thuộc hình (H)

■ Có nhiều phép biến hình trong không gian như phép dồng dạng., phép \

tự, phép dời hình, hay phép chiếu theo một phương cho trinớc, phó

■ Hợp ti.ình của những phép dừi hình là phép dời hình

■ Một sổ f hép dờ' hình thường gặp: Phép đồng nhất; phép đối x ủ n g tân phcp tịnh t;ến phép đối xứng qua mặt phẳng; phép đối xứng quia đườn tháng; phép qưay quanh một đường ihẳng

G Phép tịnh tiến trong không gian: Phép tịnh tiến theo véc tơ V lù phê biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = V

■ Phép tịnh tiến Tử không có đicm bất động

■ Nếu V = Ổ thì phép tịnh tiến là phép đồng nhất

■ Phép tịnh tiến biến hai điểm A,B thành hai điểm A';B' thi ATB' = Alí nên sẽ biến một đường thảng thành một đường thảng song so>ng hoặ trùng với nó

o Phép dối xứng tâm: Cho điểm o cổ định Phép đổi xứng tâm o là phé biến mỗi diểm M thành điếm M' sao cho OM ' + O M =Õ

■ Phép đối xứng tâm o có một điêm bất động lá 0

12

■ Phép đối xứng tâm 0 biến hai điểm A,B thảnh hai diếm A';B' thì A'B' = -A B , ncn sẽ biến một đường tháng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

■ Phép đối xứng tâm biến mặt phẳng thành mặt phắng song song hoặc Irùng với mặt phàng đó

o Phép đối xứng qua đường thăng A : Phép đối xứng trục A là phép biến mỗi điểm M thuộc A thành chinh nó, biến mồi điềm M không thuộc A thành điểm M' sao cho A là trung trực cùa MM'

■ Phép đối xứng qua mặt phảng (P) có một mặt phảng bất động duy nhất

là (P)

■ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thảng d thành đường thẳng d' hoặc song song với nhau, hoặc cất nhau tại một điểm thuộc mặt phăng dôi xứng

■ (P) gọi là mặt phẳng dối xứng cùa hình (H) khi và chi khi qua phép đối xứng qua mặt phảng (P) thì hình (H) biền thành chinh nó

o Hai hình được gọi là bàng nhau nếu tồn tại một phép dời hình biến hình

này thành hinh kia

■ Hai hình tứ diện hằng nhau khi và chi khi chúng có các cạnh tương ứng bàng nhau

■ Hai tứ diện đều có các cạnh bàng nhau thì bảng nhau

■ Hai hình lập phương có cạnh bang nhau thì bâng nhau

o Cho một số k không đổi khác 0 và một điểm 0 cô định Phép biên hình trong không gian biến mỗi điểm M thành diêm M ' sao cho

O M ' = kÕM dirực gọi là phcp vị lự lâm o tý số k

• Nếu tý sổ vị tự âm thì ta gọi là phép vị tự trong, nếu tý sổ vị tự dương thi ta gọi lã phép vị tự ngoài

■ Phép vị tự lâm 0 tỷ số k có một điểm bất động duy nhât lá o

■ Nếu k = 1 thì phép vị tự là phép đồng nhất Nếu k = - 1 thì phép vị tự là phép đối xứng tâm

■ Phép vị tự lâm o tỷ số k biến hai điếm A ,B thành hai điêm A';B' thi

A Ĩ i' = kÃB do dó A'B' = |k| AB

■ Phép vị tự biến ba đLcra thẳng hàng thành ha diềm thằng hàng và khônglàm thay dôi thứ tự cùa ba điếm dó; biến dưòng thắng thánh dườnu thăng song song hoặc trùng với nó; biển tia thảnh tia; hiến mặt phánuthành mặt phảng song song hoặc trùng với nó; biến nửa mặt phẩng thànhnứa mặt phảng; biến đoạn thẳng thành một doạn thẳng có độ dài gấp |k| lần; biến một tứ diện thành một tứ diện; biến một mặt cầu thành mật mặt cẩu có bán kinh gap |k| lẩn.

o Hình (H) được gợi lù dông dạng với hình (H') nếu có mộ! phiip vị tự biến (H) thành (H J) mà hình (H ị ) bàng hinh (H')

■ Mai hình lứ điện đều hất kỳ luôn đồng dạng

■ 1 lai hinh lập phưưng bat kỳ luôn đong dạng

Già sử tôn tại một diêm M sao cho M' = F(M) * M.

Vì phép dời hình khôny làm thay dồi khoảng cách giữa hai diêm bát kỷ, nên MA = M'A;MB = M'B;M C = M 'C;M D = M'D, suy ra các điếmA;B;C;D nảm trên mặt phảng trung trực cùa M M \ tức là hon đicm dódồng phảng Đièu này mẫu thuần với giã thiết, ncn F(M ) = M với mọi diểm M, tức là phép dời hỉnh dó là phép đồng nhất

Ví dụ 2.2 ClnhiíỊ minh rằng một hình đa diện (H) có tàm đối xứ n g thì sô mậỉ, s ổ cạnh, su đinh cùa (H) đều là sổ chằn.

Lò i giai

Gọi 0 là tâm dối xứng của hình (H) và A là điểm bât kỳ thuộc mặl (M) nào dó cùa (H) Gọi A' là ãnh của A qua phép đối xứng tàm o thì A' phái nằm trên mặt phắng (M') não đó cua (H) Do đó mỗi cặp mặt phăng (M) và (M') ứng với một đoan AA\ nhưng số đoạn đó là số nguyên, nên số mặt của hình đa diện (H) phái là số chần

Mặt khác, mỗi điếm bất kỳ thuộc một cạnh náo đó c ủ a (H), điểm đối xứng của qua o cũng thuộc dúng một cạnh thuộc (H) Vi vậy số cạnh cua hinh (H) cũng phai là số chằn

Trong phcp dổi xứng tâm o , mỗi dinh thuộc (H) sẽ biển thành một dinh khác cũng thuộc (II), nen sổ dinh cùa (H) cùng phai là sổ chẵn

14

Ví tlụ 2.3 Cho lử diện ABCD có trọng lâm G G ọi 0 là tâm m ặt cầu ngoại liếp lú diện và O' lù ánh cua o qua p h ép đối xứng tám G C húng minh rủng m ặt pliủng di quLi AB và O' song song hoặc chửa đư ờ ng thủng đi qiui o và trung điêm cạnh CD.

L òi giãi

Gọi M ,N lẩn lượt là trung điểm

cua AB và CD, (P) là mặt

phăng đi qua AB và O' Ta có

trọng tâm G cùa tứ diện ABCD

là trung điềm của dỏạn thăng

MN Vì 0 ' là ảnh cùa điềm o

qua phép đối xứng tâm G nên

G là trung diểm cùa 0 0 ' và ®

MN, hay tứ giác MONO' là

hình binh hành, suy ra MO'

song song với ON do dó (P)

hoặc song song với ON hoặc

chứa đường thẳng ON

Ví dụ 2.4 ( 'hinig m inh rằng một hình đa diện có hữu hạn trục đối xứng.

L òi giải

Xét hình đa diện (H) Già sừ A là một trục dối xứng c ủ a (H)

Vì dicm dổi xứng của mỗi dinh cùa (H) qua dường thẳng A cùng là một dinh cùa (II), nên dường thảng A phái là dường thảng di qua hai diểm phân biệt nào dó trong tập hựp các dinh của (H) hoặc các trung điểm cùa doạn nối hai dinh của (H) Nlnmii lập hợp dó lá hữu hạn nên số đường thảng

A là hữu hạn hay số trục đối xứng của một hình đa diện là hữu hạn

Ví dụ 2.4 Tìm các trục đoi xứ n g cùa

a) Tứ diện đều.

b) Đ a giác đều n - cạnh trong không gian.

Lò i giải

a) Xét tử diện đều ABCI) Gọi M, N lần lượt là trung điểm cùa AB và

CD Phép dối xứng trục MN sẽ biến A -> B; B -> A;C -» D;D -> c

nên tứ diện đều ABCD biến thành tứ diện đều BADC Do đó MN là trục đoi xúng cùa lữ diện đều

Trong mồi tứ diện có ba cặp dườnii thẳng nổi trung điềm hai cạnh chéo nhau, nên tứ diện dèu có ba trục đối xứng tương tự MN

Mật khác, nêu A là trục đôi xúng cùa tứ diện đêu và di qua một đinh

(chăng hạn lả đinh A ), thì với mồi điểm X thuộc tứ diện tồn tại điểm X' thuộc tử diện là ảnh của X qua phép dổi xứng trục A Gọi (P) là mặt

pháng chửa A và XX', thì (P) cắt tứ diện theo một thiết diện là lam giác CJ đinh là A Vi A phái là trục đôi xứng của thiết diện, do dó tam giác cân lại

A, suy ra A vuông góc với mặt phăng (BCD) tại diêm A \ Mà A là trục đối xứng của tứ diện ABCD và A không nàm trong (BCD) nên A' là tâm

đối xứng của tam giác BCD Nhimg tam giác không có tâm dối xứng nên không ton tại trục dối xứng cùa tử diện đi qua đinh

Tóm lại tử diện đều chì có ba trục đối xứng là các dường thảng nối trung điềm các cạnh (Jối diện,

b) Trường hợp 1: n lá số chẵn, số trục đối xứng nam trong inặl phăng chứa

đa diện đều bàng n Vì da giác đều có một tâm đối xứng lá tâm cùa đa giác, nên dirờng thảng đi qua tâm đối xứng và vuông góc với mặt phảng chứa đa giác là trục đối xứng của đa giác Vậy trường hợp náy da giác đều có n + 1 trục dối xúng

Trườnụ họp 2: n là số lẻ, số trục đối xứng nàm trong mặt phảng chứa da điện đều vẫn bàng n Lúc này, đa giác đều không có tâm đối xứng, nên trục đối xứng không nam trong mặt phảng chứa đa giác sỗ không tôn tại Vậy trường hựp này chi có n trục đối xứng

Ví d ụ 2.5 Cho tứ diện đều ABCD có trọng tăm G C hứng minh rằng với

m ọi điểm M nằm trong lứ diện la luôn có

MA + MB + MC + MD > GA + GB + G C + GD

L òi giải Ă

Gọi E ;F lần lượt là trung điểm cùa / v N s

AB v à CD Ta có G là trung điểm / \ O n

của E F và E F là trục đối xứng cùa / A Ạ ' \ X

tứ diện đều ABCD yệ;;"” \ \ \ Nv

Gọi M' là ánh c ủ a M qua phép đối \ \ N

xứng trục EF, và H là giao điểm Ị \ ' \ (j

+) Hai đình đối diện AC;BD.

+) Trung điểm hai cạnh đối của AB và CD, của AD và BC

V ậy hình vuông trong không gian có 5 mặt phăng dối xứng

b) T ừ số mặt phảng dổi xứng của hinh vuông, suy ra số mặt phẳng đối xứng của hinh lập phương ABCD.A'B'C'D' là 9 Bao gồm 3 mặt phăng đối xirng là trung trực các đoạn thang AB, AD.AA' và 6 mặt phảng đối xứng là các mặt phảng chứa hai cạnh đối diện của hình lập phương

c) 1 lình bát diện đểu ABCDEF có 9 mặt phăng đòi xứng gôm

Trường hợp I: A ,B nằm cùng plìía với mặt phãng (P).

D o A ,B không cách dều (P) nên đường thẳng AB sổ cẳt (P) tại một điểm, diểm đó chinh là điểm M cần tim Lúc này, giá trị lớn nhất cùa biểu thức |M A - M B | là AB

Trường hợp 2: A, lỉ nam khác phía với mặt phăng (P).

Bất đảng ihức |MA - MB| á AB vẫn đúng nhimg không xày ra dấu đẳng thức, vi thế ta nghĩ đến điểm A' đối xúng với A q u a -(£),-khi đó A' và

B nằm cùng phía nên ta có |MA’ - T O N s l i m H Ư ^ E N

Dấu dắng ihức có khi M là giao điểm của A'B với mặt phảng (p) Mặt khác (P) là mặt phảng trung trực của A'A nên MA - MB1 = MA' - M P Vậy trong trường hựp nảy, giá trị lớn nhất cùa |MA - MB| là A'B.

Vi dụ 2.8 Cho hình lập phư ơ ng ABCD.A'B'C'D' C hứng m inh rằng

a) Các hình chóp A.A'B'C'D'; Ơ.ABCD bằng nhau.

b) Các hình lăng trụ ABC.ATVC'; AA'D'.BB'C' bằng nhau.

Lời giai

a) Hai hinh bang nhau khi và chi khi

tồn tại một phép dời hình biến

hình này thành hinh kia Nên ta di

tim các phép dời hinh đã biết mà

biến hình chóp A.A'B'C'D' Ihành

Ví dụ 2.9 Cho hình chóp F.ABCD có dày ABCD là hình vuông Cạnh lìén

FC vuông góc với dáy và có Jộ dài bang AB C hứng m inh rằng cú th i dùng ba hình chóp nói trên đô ghép lại thành m ột hình lậ p phm m g.

L òi giai

Từ hình chóp trên ta dựng hình lập

phương HEFCi.ABCD Ta thấy hai

hình chóp P.ABCD và F.ABEH

đổi xứng nhau qua m ặt phang

(ABF), hai hình chóp F.ABCD va

F.AHGD dối xứng nhau qua mặt

phẳng (ADF) Do đó ba hình chóp

F.ABCD, F ABEH, F AHGD bằng

nhau

Như vậy hình lập phương HEFG.ABCD được chia thành ha hì n ít chóp

mà mỗi hình chóp bằng hình chóp F.ABCD Từ đó suy ra có thc ghép

ba hinh chóp bang hình chóp F.ABCD đè được một hình lập phưcmg

r

18

Ví d ụ 2.10 Cho lú diện ABCD cỏ trụng tám G và m ột điếm o.

a) Gọi A',B',C',D' lần licợt là trọng tàm các tam giác BCD.CDA, DAIÌ, ABC Clnmg minh có phép vị tự biến tứ diện A'B'C'D' thành tứ diện ABCD

h) (ỉp / A ị , B | C | , Dj lần lượt lù trụng lâm các tú diện OIỈCD, OCDA,

Ol)AB,OABC Chứng minh AịBịCịDị là ánh của tứ diện ABCD qua

m ột p h ép vị lự Tun vị tri của điếm o đế 0 là tâm cùa phép vị lự nói trên.

a) Vì G là trọng tâm cùa tứ diện ABCD nên các dường

thẳng A A , IỈB \C C ',D D ' đồng quy tại G và

b) Vì A| là trọng tàm tứ diện OBCD nên với mọi

điềm M ta có Ầ , ố + A^li + AịC + A,I) = ỏ và

M Õ 4 M B + \ Ĩ C + M I ) = 4 M Ã ,

Do dỏ MO + MÃ + MB +• MC + MD = MẤ + 4M A ,.T ư ơ n g tự ta cũng códược MO + MA + MIÌ + MC + MD = MU + 4MB,

T ừ dó suy ra: MÕ + MÃ + MB + MC + MI)

Ví d ụ 2.11 Cho tứ diện ABCD Gụi A ',B ',C ',D ' lần lượt là trọng tâm các tam giác IĩCD,CDA,DAB, ABC và R' là bán kính m ật cầu đ i qua

A', I)', r là bán kính mật cầu nội tiếp tử diện ABCI) C hứ ng minh răng R' > r.

Lòi giải.

- Nếu tứ diện ABCD đều thi có ngay R' = r

- Nếu tử diện ABCD không đều thì mặt cầu (S') đi qua các diến A',B ',C ',D ' sẽ bị các mặt cùa tứ diện cắt thành một số chòm cầu nàin ngoà

tứ diện Dựng các mặt phang song song với các mật cũa tứ diện và tiếp xúc vó (S') Các mặt dó cắt nhau tại các điểm A p B p C ị D ị Tứ diện A 1B IC |D 1 c< các mặt phảng song sonti với các mặt cùa tứ diện ABCD và ch ú a tù diệi ABCD, nên tồn tại một phcp vị tự tý số k > l biến ABCD thànl

Aj BịCị D ị Khi đó mật cầu nội tiếp tứ diện ABCD biến thảnh mặt cầu (S') suy ra R' = k r > r Vậy bất đãng thức R' > r dược chứng minh

Ví dụ 2.12 Cho hai hình tứ diện ABCD Vớ A'B'C'D' có các cạnh tươnị ứng song song C hứng minh rằng hai tứ diện đó đồng (lụng

nên AA' = BB',AẢ' = CC', BB' = CC', do đó phép tịnh tiến theo véc ta

V = ẠA' biến tứ diện ABCD thành tử diện A'B'C'D'

+) Nếu k * l thì hai đường thảng AA', BB' cắt nhau tại một điềm o nào

Bài 2.1 Chứng minh một hình chóp không có tâm đối xứng

Iỉài 2.2 C hứng minh răng một hinh lãng trụ mà đáy có tâm đối xứng thì hình

đó có tàm dòi xứng

Bài 2.3 Cho tứ diện ABCD có các đường cao cắt nhau tại H Gọi 0 ,G lần lượt là tàm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện Chứng minh rang G là trung điềm của OH

Hài 2.4 Chứng minh rang một hình hộp chừ nhật không có quá 3 trục đối xứng Xác định sổ trục đối xứng của hình lập phương

Hài 2.5 Tìm các mặt phảng đổi xứng cùa

a) T ứ diện đều ABCD

b) Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

Hài 2.6 Cho tứ diện dều ABCD Gọi M là điểm bất kỳ trong tam giác ACD, I là giao điểm cua BM với mặt phăng trung trực cạnh AB

Chứng minh ràng — (IA + IM) ầ AB.

2

Hài 2.7 Cho mặt phảng (P) và hai điểm A.B không thuộc mặt phẳng (P)

và không cách đều mặt phẩng ( P ) Tim điểm M trên mặt phẩng (P) sao cho MA + MB dạt yiá trị nhò nhất

Bài 2.8 Cho hình hộp chừ nhật ABCD.A'B'C'D' Tìm điểm M thuộc mặt phảng (A'B'C'D') sao cho T = MA + MB + MC + MD nhò nhất

Rài 2.9 C hứng minh rằng nếu một tứ diện có 4 đường cao dồnự quy, thì ánh cùa nó qua một phép vị tự là một tứ diện có 4 dường cao đồng quy Hài 2.10 C ho tứ diện ABCD có R ,r lần lirợt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

và nội liếp tứ diện Chứng minh rang R > 3r

Bài 2.11 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điềm các cạnh H’C';C'A'; A'B' C hửng minh rằng các đường thẳng AM.BN.CP đổng quy

Hài 2.12 Cho tứ diện ABCD Tìm điểm M trong không gian sao cho mặt cầu di qua các dinh cùa tír diện đó có tâm cách đều các trọng tâm của các

tứ diện MBCD, MCI)A, MDAB,MABC

CHỦ ĐỂ 3 NHỬ NG VẤN ĐỂ CHUNG VỂ THÊ TÍCH

THÊ TÍCH KHỐI LẢNG TRỤ

I T Ó M T Á T L Ý T H U Y Ế T

o T hể tích của khối đa diện là một sổ dương thỏa màn các tính chất

■ I lai khối đa diện hàng nhau thì có thố tích bang nhau

■ Nếu một khối da diện dược phân chia thành nhiều khối da diện nhỏ thì thế tích cùa nó hang tồng thể tích cùa các khối đa diện nhỏ đó

o I lai khối đa diện bảng nhau thi có thể tích bung nhau,

o Diện tích xung quanh, diện tích toàn phân

■ Diện tích xung quanh cùa khối chóp (khối làng tại) lá tông diện tích các mặi bên cùa khối chóp (khối lãng trụ) đỏ

■ Diện tích toàn phân cùa khôi chóp (khôi lăng trụ) là diện tích tât cá các mặt cùa khỏi chóp (khối lăng trụ) Diện tích toàn phàn băng diện tích xung quanh cộng với diện tích các mặt dãy

ữ Diện tích da giác dáy

■ Tam giác ABC có các công thức tính diện tích

s = —a h a = — ab s in c = = p r = >/p(p - a )(p - b)(p - c)

■ Diện tích hình vuông cạnh a là s = a \

■ Diện lích hình chừ nhật cạnh a ,b là s = ab

■ Gọi a là góc uiìra hai dirờng chéo cùa hinh binh hành ABCD thì diện

tích cùa nỏ là s = AB.AD.sin A = —A C B D sina

2

22

■ Diện tích hinh thang có độ dài hai dáy a ,b và chiều cao h dirợc tính

theo công thức s = - ( a + b).h

2

• T ứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc thì s = — AC.BD

2

o Xét tam giác ABC vuông tại A, dường cao AH thi

ABa + AC2 = BC2; AHa = HB.HC BA2 = BH.BC; CA2 = CH.CB

Gọi dường cao cùa hình chóp S.ABC là SH, khi dó qua phép vị tự tỷ số

k, dường cao SH sẽ biển thành S'H' của hinh chóp S'.A'IÌ'C' Ta có

s H ' =|k|.SH

M ặt khác, cũng qua phép vị tự dỏ, tam giác ABC biến thánh tam giác A'B'C' do đó diện tích của chúng sẽ tý lệ với bình phirơng tý sô vị tự.hay SAKC = k SABC

3

V ậy ta có diều phải chimg minh

Ví tlụ 3.2 C hứng m inh rằng nếu m ột khối chóp cụt cỏ diện lích hai đáy là

B và B' và chiều cao là h thì thê lích khối chóp là

V = i ( B + B' + >/BB7)h

3

L òi giải.

Giả sừ khối chóp cụt có thể tích là V và đáy lớn là đa giácA,A.,Aa An, đáy bé là BlB2B3 Bn Gọi s là giao điểm cùa dưùng tháng chứa các cạnh bên của khối chóp cụt

3 ( y f R - J W n/B - n/ĨĨ7J

3 ^ B - V ĩ v 3

Vậy bài toán dược chứng minh

Ví d ụ 3.3 Cho khối tứ diện ABCD có trung điếm h a i cạnh AB VÀ CI) lần lượt là E,F Hai m ặt p h ổ n g (ABF) vù (CDE) chia khối lứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện.

a) C hứng tô rang bốn khổi tứ diện đó có thè tích háng nhau

b) C hứ ng minh rang n ếu ABCD là tứ diện đều rhì hon khôi tứ diện đó băng nhau.

- Tương tự, do F là trung điểm của CD nên VABCF = VABDP = — VABCD.

tứ diện, nên qua phép đối xứng đó,

tứ diện A D E F biến thành BCEF

nên hai tứ diện này cũng bàng nhau

Tóm lại, khi ABCD là tứ diện đều thì bốn khối tứ diện đó hằng nhau

Ví dụ 3.4 Chu khối đa diện ABCA'B'C' có các cạnh AA',BB')CC' đôi m ột

so n g so n g và ăộ dài lần lượt là a,b,c Diện lích m ặt cát vuông g ó c với cạnh AA' là s C hứng minh rằng thế tích của khối đa diện đó là

V = —(a + b + c)S

3

Lời giãi

Không mất tính tống quát, giá sử a = m in(a,b,c)

Xét mặt phảng (P)//(ABC) và đi qua điểm A \ mặt phẳng (P) cắt các cạnh BB',CC' tại M,N N hư vậy, khối đa diện ABCA'B'C' (cỏ thể tích

V ) được chia thành hai khối đa diện là khối lăng trụ ABCATV1N (có thế tích V ,) và khối chóp A'.B’C'NM (có thể tích V2) Ta có V = Vj + V2

+) Vì diện tích mật cát vuông góc với cạnh AA' là s nên

V, = AA'.S = aS

+) Hạ dưừng cao A'H cùa hình chóp A'.B'C'NM Trong mặt phàng (B'C'NM ), qua H dựng IJ 1 BB' Ta cỏ IJ là đường cao của hình thang B'C'NM và (H1J) cũng là mặt cắt vuông góc với AA' nên

Vậy bài toán được chứng minh

Ví d ụ 3.5 Tinh thế lích khui hai m ươi mật đều cạnh a.

Gọi o là tàm cùa khối nhị

thập diện đều (H) Trong

khối đó mồi cạnh luôn tồn

tại một cạnh tirơng ứng song

song, xét cạnh AB có cạnh

song song là DE Gọi G ,H

là trung điếm của AB và

DE

Xét (P) là mặt phăng chíra

AB.DE Do tính dổi xứng

cùa (H) nên mặt phảng (p)

cát (H) tại hai trung điểm

c , F của hai cạnh song song

Khối nhị thập diện đều được chia thành hai mươi khối chóp bang nhau,

có đinh là o và đáy là các mặt cùa (H)

Mỗi khối chóp dó có chiều cao là h, diện tích dáy lá diện tích tam giác

Gọi B, h lần Urợt lá diện tích đáy và chiều cao cùa lăng trụ

Ta có V = Bh với B = S ABC = S,VB.c.,h = d((ABC),(A'B'C'))

+) Vì d(A,(A'B'C')) = d((ABC),(A'B'C')) = h nên thể tích của khối

chóp A.A'IVC' lả VA A.B.C = ì s AB.c d(A;(A'B'C')) = Ỉ B h = ^

+) Hai hình chóp B.AA'C'C và B.AA'C có chung chiều cao hạ từ đinh

B và S AA., ị - 2SBAAV nên V1ỈAA.C.C = 2 V B AA.C

M ặt khác, thẻ tích của một hình là duy nhât nên VBAA.C = VA-ABC = ^ v ,

đ

do đó VB AA.C.C = | V

+) Tương tự VB A.c.c = VA Bc.c = VA BC.B = VB A.B.C = - V

Ví d ụ 3.7 C ho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thế tích là V Tinh th ế tích của các k h ố i chóp D'.AA'C', D.ACD', ACB'D\

L òi giải

Gọi B, h lan lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối hộp

1

Do đó V = Bh với B = Sabcd = S ab.c.d.; h = d((ABCD),(A'B'C'D'))

+ ) Ta có Vị,, = VA A.c.ữ = — SAC.D d( A,(A c D )),

mà đ(A,(A'C'D')) = d((ACD),(A'C'D')) = h,S,vc.D = lkiL£lL = Ễ

N ên V 1NCI1 VD.>AAtr - VAAtrD = v = i - _ h = —3 * 2 0 ■

+) 1 ương tự VD ACD = v ơ ABC = —.h.SACD = —

+) Chia khối hộp thành 5 khối da diện

C.B'C'D', A.A'B'D', B'.ABC, D'.ACD, ACB'D'

De thay rang v c B-C.ư = VA A J J D - = VB ABC = Vị, ACD = —

nên ta có VACH.D = V - 4 Ỷ = Ỷ ‘

Ví dụ 3.8 Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thế tích là V G ọi E, F theo

th ứ tự là trung điếm các cạnh BB',DD' Mặt p h ẳ n g (C E F ) chia khối hộp thành hai khối đa diện Tính th ế tích của tìm g khối đa diện.

chứa điếm C' (ký hiệu là (Ho)).

Xét phép dối xứng qua tâm o , ta có các điếm A.B.C.D, A ',E ,F lần lượt biến thành các điểm C ',D \A ',B ',C ,F ,E , tức là hình (H ,) biển thành hình (H 2) nên hai hình đó hàng nhau, suy ra thể tích cùa hai khối đa

Vdiện đó cũng băng nhau Vì vậy V,„1, = V(Ha)= Ỷ

Ví dụ 3.9 C ho khối lăng trụ đúng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tạ i A,AC = a,A C B = a Đ ường thủng BC' lạo với mặt p h ă n g (AA'C'C) m ột g ó c p Tính ihế tích khối láng trụ đó.

Lòi giải

D ây là hình lãng trụ đứ ng nên

chiều cao cùa lăng trụ chinh là

cạnh bén dề bài đã cho đáy là tam

giác vuông biết m ột cạnh và một

góc n ên lính được diện tích đáy.

N hư vậy la cần tinh chiểu cao của

lăng trụ.

Ta có B A 1 AC, BA 1 AA'

nên BA 1 (AA C'C), do đó AC' là

hình chiếu của BC' trên mặt phảng

(AA'C'C), do dó Ấ C B = p

Trong tam giác vuông ABC ta có AB = A C t a n a , nên diện tích đáy của

lăng trụ là s = — AB.AC = — a" t a n a

Trong tam giác vuông C'AB ta có AC' = AB.cot[3 = a t a n a c o t p Do đó

AA'* = AC'2 - A'C'2 = a2(tan2 a co t2 p -1 ) ,

suy ra c h i ề u ca o c ù a lăng trụ l à h = AA' = a ự t a n 2 a c o t 2 p - 1

Vậy thề tích cùa khối lãng trụ là V = S h = — a :i t a n a ^ / t a n 2 a c o t ' Ị ỉ - ĩ

Vì AB = BC = a nên tam giác ABC vuông cân tại B

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là

^ABC.ABC' = AA'-Sabc = a > / 2 - a ' = — a :l

Đe tính khoảng cách g iữ a hai đường thùng, tu thư ờ ng dự ng một mật phang chứa đường tháng này và song song với đư ờ ng thắng kia, sau đó tỉnh khoáng cách từ đường thăng còn lại đến m ặt p h ă n g vừa dựng.

Vì M là trung điểm của BC nên gọi E là trung điểm của BB' thi

M E //C B ', nên mặt phẩng khoáng cách giữa AM ,B'C chinh là khoáng cách giữa B'C v à m ặt phăng (AME), v à gọi là h

Cùng vi M là trung điểm của BC

nên ta có

d(B,( AME)) = d(C,(AM E)) = h

Do tứ diện BAME có BA, BE, BM

đôi một vuông góc nên

thẳng AM.B C bằng Í1^L_

Ví dụ 3.11 Cho hình lăng trụ đứ ng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông thỏa m ãn AI5 = AC - a G óc g iữ a hai đường tháng AC' và A'B bằng (/ Tínli Ihế lích khui lăng trụ theo a và a.

30

Lòi giúi.

Vi AB = AC = a nên tam giác

ABC vuông cân tại A, diện tích

dáy cùa lãng trụ là s = SABC = — a 2

2

Qua A dựng dường thẳng AM //BA'

cất d ư ờ ng thẳng B'A' tại M Khi

đó góc giữa hai đường thảng AC'

và A 'B là góc giữa hai đường

tháng AC' và AM

Ta có AB.VM là hình bình hành, nên

A M = a => M C '= a>/2 Đặt AA' = X, thi AC' = AM = >/x2 + a 2

Lòi giai

Diện lích dáy cua khối lăng trụ

s = s X I M | J = 2Sabd = a.a sin BAD = a 2 sin a Vì ABCD là hình thoi

nên A c 1 BD Mà lăng Irụ lá lãng trụ dứng nên AC 1 BB',

do đó AC 1 (IỈB DD') => AC 1 BD' (1)

Theo già thiết AB' 1 B D ' (2),

nên tư (1) và (2) ta có BD' ±(AB'C)

Gọi o là giao điểm của AC và

BD,H là giao điềm c ủ a OB'

VABCŨ A'B<CD’ = S.BB' = a 2 s in a.V2a sin ” = V2a3 s in a s i n —

Ví dụ 3.13 Cho khối lủng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đ á y bàng a, đường chéo BC' hợp với mật bên (ABB'A') m ộ t g ó c a Tinh ihê tích, diện tích xu n g quanh và diện lich toàn phần cùa khui lăng trụ X á c định góc a đê hình lãng trụ đó lỏn tại.

Lời giãi

Ta xác định hình chiếu cùa BC' lên

m ặt phắng (ABB'A').

Gọi M' là trung điềm cùa A'B' Vì tam

giác A'B'C' đều và lãng trụ đứng nên ta có

Xét tam giác vuông BCM', ta có BC' = — = ay^

s „ = 3.AA'.AB 3

2 V sin a 2 V sin a+) Diện tích toàn phần của lăng trụ

Vậy hình lăng trụ tồn tại khi và chi khi 0 < a < 60°

Ví d ụ 3.14 C ho khối lúng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có chiểu cao bằng

h và h a i đường thăng A B \ BC' vuông góc với nhan Tính thế tích khối lăng trụ và diện lích xung quanh cùa nó.

L òi giải

Bài toán cho chiểu cao của lúng trụ tam giác đểu (chinh là cạnh bén)

Ta p h u i linh diện tích đáy, nên cần tìm độ dùi m ột cạnh đáy.

C'M' 1 A 'B',C'M ' 1 BB'

=> C 'M ' 1 (ABB'A') => C'M' 1 AB'

Theo già thiết ta có AB' 1 B C\ do đó

AB' 1 (B Ơ M ') => AB' 1 BM Suy ra hai

tam giác BB'M' và B'A'A đồng dạng, nên

=> - A 'B'2 = h 2 => A'B' = sÍ2h A

2

(Đe thi tuyên sinh đại học, cao dửng khói A núm 200H)

Lòi giái

+) Tính thể tích khối chóp A'.ABC

Gọi H là trung điểm BC Theo bài ra ta có A 'H -L (A B C ) vii

AH = — B C = — \J AC2 + AB2 = - v/a2 + 3 a2 = a.

+) Tính góc giừa hai duờng thảng AA' và B'C'

Do A A 7 /B B ',B 'C '//B C nên góc giừa hai đirờng tháng AA' và B'C' cũng là góc giữa hai dirt-mg thãng RB' và BC

D

Áp dụng Pitago cho tam giác A'B’H ta có H B' = \JA'B'- + A 'II" = èZu

Suy ra tam giác B'BH cân tại B'

34

ỉ)o đó ọ - B'BH là gỏc giừa hai dường thăng AA' vả B'C'.

N ếu A'A = A'B = A'C

ihì hình chiếu cùa A'

lên m ặt ph á tỉg (ABC)

trùng với lâm đường

tròn ngoại liếp tam giác

lâm dường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là

s = - AB.AC.sin A = - a a s i n 60° =

Tam giác AA'B cân tại A' và có BAA' = a nên a < 9 0 ° , và ẠÃ'B = 1 8 0 " - 2 u

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác AAT3 ta có

A ỉỉ- = A'A + A'B2 -2A'A.A'A.COS(180° -2 o t)

V ' ' :i - •• l c ^ u l “ w ' \

Ví dụ 3.17 Cho hình hình hộp ABCD.A'B'C'D' cỏ lất cà các cạnh đều bằng a.BAA' = BAD = DAA' = a ,(0 < a < 90°) Tính thế tích cùa khối hộp theo

AA'AI = AA'AJ Suy ra AI = AJ = A A 'co sa = a c o s a , do đó hai tam giác

A H I,A H J bàng nhau, nên HI = H J Vậy H cách đều AB và AD nênnằm trên phân giác góc BAD => H e AC

AI

Ta có AH =

a

c o s — cos — 2

nên ATÍ2 = A'A2 - AH2 = — ỉcos2 - -cos2a

.*> « 9 Diện tích đáy = 2SAUD = A B A D sina = a 2 s in a

Vậy thể tích của khối hộp thoi là

^ABCD ABCD' = A'H.Sabcd = 2 a 3 s i n — ^ c o s 2 — - c o s 2 a

Ví dụ 3.18 Cho hình lã n g trụ ABCD.A'B'C'D', đ a y ABCD cỏ BD = a không đối và BAD = D C B = 9 0 " , ABD = a , C B D = p Alặ t phủnị (AA'C'C) là hình thoi, vuông góc với đáy và A'AC = 60° Tinh thế licl khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và tìm a , p đế th ế tích đủ lớ n nhất.

Lòi giải

Tam giác vuông ABD có ABD = a nên AB = a c o s a , AD = a s i n u , SU)

ra diện tích tam giác ABD là SABD = — AB.AD = — a 2s i n 2 a

Tương tư ta có SCBD = — a 2 sin 2p

436

Diện tích đáy cua khối lãng trụ ABCD.A'B'C'D' là

đường cao cù a lăng trụ

Mặt khác, AA'C'C là hinh thoi

có iVÃC = 60° do đó C Ữ Ă ' = 60°

R

nên CH = C C '.sin60° = — -.AC

2

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta có

AC = BA2 + BC2 - 2BA.BC cos B

= a 2 [co s2 a + cos2 p - 2 cos a cos p co s(a + P) J

= a* [l + c o s(a + p)co s(a - P ) - 2 c o s a c o s P c o s ( a + P)]

Ta có

V s

nên s in 2 ( a + P)cos(a - P) £ 1, do đó

— a— ■ Dấu đăng thức xảy ra khi a = p = 45°

Vậy giá trị lớn nhất cùa V là ——— đạt được khi a = p = 45°

III BÀI T Ậ P

Bài 3.1 Cho hình hộp ch ữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b,

AD = C Tính thể tích các khối chóp A.BDD'B',B'.C'AD\ A'.C'DB

Bài 3.2 Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' C hứng minh ràng sáu trung diểm củ; sáu cạnh AB,BC,CC',C’D', D'A', A'A năm trên một mặt phăng và mặ phăng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích băng nhau.

Bài 3.3 Cho hinh lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có dáy ABC lá tain giác cáitại A và AB = AC = a, BAC = a Góc giữa mặt phảng (A'BC) và mặ dáy là p Tính thê tích cùa khối lãng trụ dó

Bài 3.4 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đèu cạnl

a Cạnh bên AA' = a Hình chiêu của điểm B' lèn đáy (ABC) trũng vó trung điểm cạnh AC Tính thố tích cùa khối lăng trụ dó

Bài 3.5 Cho hinh lãng trụ dứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giát vuông tại A Khoảng cách từ đường thẳng AA' đến mặt phãnt (BB'C’C) bằng a, khoáng cách từ c đến mặt phảng (C'AB) bảng I) mặt phảng (C'AB) tạo vói đáy góc a Tính thể tích cùa khối lãng Irụ.Bài 3.6 Cho hinh lãng trụ ABC.A'B'C' có dộ dài tát cá các cạnh bảng a \ hình chiêu của dinh c trên mặt phăng (ABB'A') lá tâm của hình binl hành ABB'A' Tính thể tích của khối lăng trụ

Bài 3.7 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh hảng a,Ổ Ã Ì)= 6 0 " BÃẰ' = 90°, DÃẦ' = 120° Tính thể tích khối hộp

Bài 3.8 Cho hình lãng trụ tam giác ẠBC.A'B'C' có đáy là tam giác dều cạnl

a, A'A = A’B = A'C = b Tìm b đê góc giữa mặt bèn (AIUV.V) và mã đáy bằng 60° v à tính thế tích cùa khối lãng trụ khi đó

Bài 3.9 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' cỏ đáy là tam giác vuông tạA.BC = a, ABC = a Các mặt phắng (A'AB),(A'BC),(A'CA) ngliiêng dồi trên đáy một góc p Hỉnh chiếu của điểm A' lên mặt phắng (ABC thuộc miền trong lam giác ABC Chứng minh thể tích cùa khối lăng triABC.A*B'C' được tính theo công thức V = >/2 a 3.s in 2 2 a t a n p

3 2 co s —c o s í — - —

Bài 3 Ị0 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy a Mị phăng (ABC') hợp với mặt phảng (BCC’B') một góc u Tinh líiế tích \ diện tích xung quanh cùa khối lăng trụ

Bài 3.11 Cho hình lăng trụ dửng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác càtại A,AB = AC = a ,B A C = a Gọi M là trung điếm của A'A Tinh th tích cùa khối lăng trụ biết tam giác C'M B vuông

Bài 3.12 Cho hình hộp ch ừ nhật ABCD.A'B'C'D', có dường chéo AC' ( hợp với đáy (ABCD) một góc a , hợp với mặt bên (BCC/B') góc p I II

hệ thức liên hệ giữa a , Ị3 đé tứ giác A'D'CB là hinh vuông vã tìm giá I lớn nhất cùa thể tích khối hộp chừ nhật khi đó

38

■ Hinh chiếu cùa đinh trùng với tâm đirờng tròn ngoại tiêp đa giác đáy.

■ Các mặt bên là các tam giác cân bàng nhau

■ Các cạnh bôn hợp với đáy các góc băng nhau

■ Các mật bên hợp với đáy những góc bàng nhau

G Một số chú ý khi tìm thế tích khối chóp

■ H in h c h ó p c ó c á c c ạ n h bên h ang nhau (h o ặ c tạo với đ áy n h ữ n g góc

bằng nhau) thi chân đường cao của hình chóp là tâm dường tròn ngoại tiếp d a giác dáy

■ Hình chóp có các mặt bôn tạo với đáy những góc bang nhau và chân đường cao nam trong miền da giác dáy, thì chân dường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

■ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nãm trên giao tuyển của mặt bên dó với mặt phang đáy

■ I linh chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp lá giao tuyến của hai mặt dó

II C Á C V í I)Ụ MI NH HỌA

Ví (lụ 4.1 ( 'ho lùnli chóp lam giác đểu S.ABC Gọi H là hình chiếu cùa s lên m ặt p h ă n g (ABC) Tinh thê lích của khối chóp biết

ư) C ạnh ú ả y bằng a, cạnh bên bằng b

h) C ạnh đ á y bằng a, g ó c giữa m ật bên và m ặt đáv là a.

c) C hiều cao bằng h và ASB = p.

li) Trung đoạn bằng d, góc giữa cạnh bên và m ặt đáy lù ự.

Lòi giài

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC.BA H = A M n C N

a) Diện tích dãy cùa khối chóp S.ABC là S AUC = Ị a a s i n 6 0 " = — —

Vì 11 cũng !à trọng lâm của tam giác ABC nên HA = A M

Do đó SI 1- = SA- - AH- = b2 - — ^ h = V3b2 - a 2

Thể tích cùa khối chóp là V = —SH.SABC = a ■£_

b) Diện tích đáy S ABC = a 2>/3

d) Vi hình chiếu của s lên mật đáy là H nên góc giừa cạnh bên v à mặt đá'

là ọ = SAH Trung đoạn cùa hình chóp là SM = d Đặt SH = h