tỉ số thể tích từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vc�  Vm�i B Cắt đáy Vc� Giaoc� IA   Vm�i Giaom� i IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vc�  đ�y Vm�i Sđ�y m�i - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS.MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS.A1B1C1D1 SA1 SB1 SC1 SD1  k3     k A B C D P ABCD  SA SB SC SD Nếu  1 1   VS.ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Trang Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác V Gọi V thể tích khối lăng trụ,  4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 4  V 5  V V 2V V A'B'BC  ; VA'B' ABC  3 Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA' CC ' BB' m n  p V2  V Khi đó: AM CN  1, 0 CC ' Khi M �A',N �C AA' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp V Gọi V thể tích khối hộp,  4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  V 4 (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V 4 (trường hợp lại) VA'C 'BD   V V V , V A'C 'D'D  Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM �  x� x y � DD ' V �� V2  BP � y � BB' Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung VS ABC điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS MNP A 12 B C Câu D (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung VMI J K V điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích MNPQ A Câu C B C 16 V B V C 12 B C V D D V1 SA SB SC  V SA ' SB ' SC ' D (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC tích 5a Trên cạnh SB , SC lấy điểm M N cho SM = 3MB , SN = NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB V = a3 A Câu D Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? V1 SA SB ' SC V1 SB SC V1 SA SB    V SA ' SB SC ' V SB ' SC ' V SA ' SB ' 2 A B C Câu D (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 Câu B , C �lần lượt trung điểm (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC tích V Gọi B� C AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S AB�� V A Câu D Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP S ABC A Câu C (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A � , B�, C� , D�theo thứ tự B��� C D S.ABCD trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.A� A 16 Câu B V = a3 B C V = a D V = 2a Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích tăng lên lần? A lần B lần C lần D lần Trang , B� , C �sao cho Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy điểm A� 2OA�  OA, 4OB �  OB 3OC �  OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O A��� B C O ABC 1 1 A 12 B 24 C 32 D 16 VM ABC Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M trung điểm SA Tỉ số thể tích VS ABC 1 A B C D Câu 12 (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A� , B� , C �tương ứng B C trung điểm cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S A��� V A Câu 14 V B V C V D 16 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên cạnh AB , AC lấy điểm B ', C ' cho khối tứ diện ABCD A B AB '  a 2a , AC '  Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu B C tích V Tính thể tích khối đa (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC A��� CC diện BAA�� 3V A Câu 2V B V C B C , M trung điểm CC � (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC A��� Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C V1 V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V2 1 A B C Câu Trang V D D BC �  chia khối lăng trụ thành B C tích Mặt phẳng  A� Khối lăng trụ ABC A��� khối chóp tam giác khối chóp tứ giác tích A B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu B C tích V Gọi M trung điểm cạnh CC � Cho khối lăng trụ tam giác ABC A��� Mặt phẳng A  MAB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k �1 Tìm k ? 1 B C D Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác tích Nếu gấp đơi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần khối lăng trụ tích là: A B C 16 D Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Nếu tăng cạnh hình hộp lên gấp hai lần thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Câu Câu VM ABC B C có M trung điểm AA� B C Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� Tỉ số thể tích VABC A��� 1 1 A B C 12 D B C tích V Gọi M trung (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A��� B�là điểm cạnh AA� Khi thể tích khối chóp M BCC � V A Câu 2V B V C V D B C Biết diện tích mặt bên (THPT Hồng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC A��� A�  ABB�  15, khoảng cách từ điểm A�  Tính thể tích khối lăng trụ C đến  ABB� ABC A��� BC A 30 Câu 10 B 45 C 60 D 90 B C tích V Tính thể tích (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC A��� C khối đa diện ABCB�� V A V B 3V C 2V D Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I giao điểm AC BD Gọi V1 V2 thể V1 tích khối ABCD A ' B ' C ' D ' I A ' B ' C ' Tính tỉ số V2 V1 V1 V1 6 2  V V V 2 2 A B C Chuyên đề 13 V1 3 V D TỈ SỐ THỂ TÍCH Trang TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vc�  Vm�i B Cắt đáy Vc� Giaoc� IA   Vm�i Giaom� i IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vc�  đ�y Vm�i Sđ�y m�i - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS.MNP SM SN SP  VS.ABC SA SB SC Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS.A1B1C1D1 SA1 SB1 SC1 SD1  k3     k A BC D P ABCD Nếu  1 1   SA SB SC SD VS.ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác V Gọi V thể tích khối lăng trụ,  4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 4  V 5  V V 2V V A'B'BC  ; VA'B' ABC  3 Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA' CC ' BB' m n  p V2  V Khi đó: AM CN  1, 0 CC ' Khi M �A',N �C AA' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp V Gọi V thể tích khối hộp,  4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  V 4 (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V 4 (trường hợp lại) VA'C 'BD   V V V , V A'C 'D'D  Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM �  x� x y � DD ' V �� V2  BP � y � BB' Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung VS ABC điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS MNP A 12 B C D Trang Lời giải VS ABC SA SB SC   2.2.2  V SM SN SP S MNP Ta có , suy đáp án C Câu (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung VMI J K V điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích MNPQ A B C Lời giải D Chọn D VM IJ K Ta có: Câu VM NPQ = MI MJ MK 1 1 = = MN MP MQ 2 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A � , B�, C� , D�theo thứ tự B��� C D S.ABCD trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.A � A 16 B C D Lời giải Chọn C Ta có Và VS.B��� V DC SB�SD �SC� 1 DC   � S.B���  VS.BDC SB SD SC VS.ABCD 16 Suy Câu VS.A ��� V DC V BCD 1 1 BD    S.B���    � S.A ����  VS.ABCD VS.ABCD 16 16 VS.ABCD Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP S ABC A Trang VS.A ��� V BD SA �SB�SD� 1 BD   � S.A ���  VS.ABD SA SB SD VS.ABCD 16 B C 16 D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B VS MNP SM SN SP  � �  V SA SB SC S ABC Ta có Câu , C �lần lượt trung điểm (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC tích V Gọi B� C AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S AB�� V A V B V C 12 Lời giải V D Chọn D VA.SB�� AB�AC � 1 C 1    VA.SB�� VA.SBC VS AB�� V C  C  V AB AC 2 4 Ta có tỷ số thể tích A.SBC Do hay Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C Lời giải D Chọn B VS ABC SA SB SC = = � VS ABC = 8VS IJK V SI SJ SK Ta có: S IJK VS ACD SA SC SD = = � VS ACD = 8VS IKH VS IKH SI SK SH Do đó: Câu VS ABCD = 8VS IJKH = Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? V1 SA SB ' SC V1 SB SC   A V2 SA ' SB SC ' B V2 SB ' SC ' Trang V1 SA SB  V SA ' SB ' C V1 SA SB SC  V SA ' SB ' SC ' D Lời giải Chọn D V1 SA SB SC  Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có V2 SA ' SB ' SC ' Câu (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC tích 5a Trên cạnh SB , SC lấy điểm M N cho SM = 3MB , SN = NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB V = a3 A V = a3 B C V = a Lời giải D V = 2a Chọn D Gọi V1 V thể tích khối chóp SAMN o thể tích khối chóp SABC V1 SM SN = = = SB SC 5 Theo công thức tỷ lệ thể tích ta có: Vo V thể tích khối chóp AMNCB ta có V +V1 = V0 2 V = V0 = 5a = 2a 5 Vậy Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích tăng lên lần? A lần B lần C lần D lần Lời giải Chọn D Gọi h , a chiều cao cạnh đáy hình chóp tứ giác Trang 10 A� H   ABCD  H Dựng H đường cao hạ từ A� Gọi A� xuống mặt phẳng đáy: H , đặt h  A� MK MA 2    gt  � h�  h H có tỉ số A� H A� A 3 K , ta có MK //A� 1 V V�  B�� h  B h  B h  3 9 Gọi V thể tích hình chóp M ABC , ta có: MK   ABCD  Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V Gọi M trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN = 2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V A VA.BCMN = 7V 12 B VA.BCMN = 7V 18 VA BCMN = C Lời giải V D VA.BCMN = 5V 18 Chọn B Cách 1: 1 VB ' BAC = d ( B ', ( ABC )).SDABC = V 3 Ta có: VB.MAC BM 1 1 V = = �V = VB B ' AC = V = B MAC BB ' 2 Theo công thức tỷ số thể tích: VB B ' AC 3 BB ' = BM = NC � BM = NC Ta có: � SD BMC SD NMC BM d (C , BB ') = = NC.d ( M , CC ') S BCNM V 7 = + = � A.BCNM = SD BMC 3 VA.BMC 7 V 7V VA.BCNM = VA.BMC = = 3 18 Vậy: � Cách 2: Trang 86 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi h, k độ dài đường cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' hình chóp A.BCMN , S diện tích tam giác ABC h � độ dài đường cao hình chóp M ABC là: h hS VMABC = S = (1) h hS VMABC = S = k SDBCM � k SDBCM = 3 Mặt khác: 4 SD MNC = SD BCM CN = BM 3 Ta có (vì tam giác MNC BCM có chiều cao ) 1 4 hS 2hS VAMNC = k SDMNC = k SDBCM = k SD BCM = = 3 9 (2) Từ (1) (2) ta có: Câu 36 VA BCMN = VMABC +VAMNC = (Chuyên Quang Trung - 2018) hS 2hS hS 7V + = = 18 18 � � � , Cho khối chóp S ABC có ASB  BSC  CSA  60� SA  a, SB  2a, SC  a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a 8a 3 A 2a 3 B 4a 3 C Lời giải a3 D Trang 87 �SM  � �SB �� �SN  �SC Lấy M �SB, N �SC thoả mãn: SM  SN  SA  a � � � Theo giả thiết: ASB  BSC  CSA  60 � S AMN khối tứ diện cạnh a a3 VS AMN  12 Do đó: VS AMN SM SN 1 2a    � VS ABC  8VS AMN  SB SC Mặt khác : VS ABC Câu 37 � � � (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho khối chóp S ABC có góc ASB  BSC  CSA  60�và SA  , SB  , SC  Thể tích khối chóp S ABC A 2 B C Lời giải D S C� A O M B� C B SB�  SB SC �  SC Gọi B�trên SB cho C �trên SC cho  SC �  � S AB�� C khối tứ diện Khi SA  SB� Trang 88 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có: Nên AM  2  � AO  AM  3 SO  SA2  AO  C  3 S AB�� 2 VS AB�� S AB�� C  C SO  3 Khi VS ABC SA SB SC   � VS ABC  3VS AB�� C  2 �SC � V SA SB �� S AB C Mà ta lại có: Cách khác: SA.SB.SC �  cos CSB �  2cos � � cosCSB � 2 VS ABC   cos � ASB  cos BSC ASB.cos.BSC Câu 38 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ 2017 A 4034 B 81 8068 C 27 Lời giải 2017 D 27 A N P M B E Q C D F G VAEFG S EFG   � VAEFG  VABCD VABCD S BCD 4 ( Do E , F , G trung điểm BC , BD, CD ) VAMNP SM SN SP 8   � VAMNP  VAEFG  VABCD  VABCD VAEFG SE SE SG 27 27 27 27 VQMNP 1  � VQMNP  VAMNP MNP  //  BCD  Do mặt phẳng  nên VAMNP 2 2017 VQMNP  VABCD  VABCD  27 27 27 Câu 39 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN A V a 12 V  a3 B V  a3 C D V a 36 Lời giải Trang 89 a3 VS ABCD  SA.S ABCD  3 Cách Ta có VNDAC 1 �1 � a  NH S DAC  a � a � 3 �2 � 18 1 a �1 � a VMABC  MK S ABC  � a � 3 �2 � 12 a3 d  A,  SMN   S SMN  18 1 �1 a � a VNSAM  NL.S SAM  a � a � 3 �2 � 18 Suy 1 a3 VC SMN  d  C ,  SMN   SSMN  d  A,  SMN   SSMN  3 18 Mặt khác Vậy VACMN  VS ABCD  VNSAM  VNADC  VMABC  VSCMN  a a a3 a a 3      a 18 18 12 18 12 S M L A N B O K H D C Cách Gọi O giao điểm AC BD a3 VS ABCD  SA.S ABCD  3 Vì OM //SD nên SD //  AMC  Ta có d  N ;  AMC    d  D;  AMC    d  B;  AMC   Do a3 � VACMN  VN MAC  VD MAC  VB MAC  VM BAC  VS ABCD  12 1 d  M ;  ABC    d  S ;  ABC   SABC  S ABCD 2 (do ) Câu 40 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên ; D� SA vng góc với mặt đáy SA  2a Gọi B� hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng S AB��� CD a3 A Trang 90 D  AB�� cắt 16a B 45 cạnh SC C � Tính thể tích khối chóp a3 C Lời giải D 2a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VSAB�� SB�SC � C   * VS AB��� V SB SC C D  2VS AB �� C  1 SABC Ta có mà SAC vng A nên  SC  SA2  AC   2a   a   6a suy SC  a BC   SAB  � BC  AB� SB  AB� AB�   SBC   BC suy nên AB� D  � AB��� CD   SC Từ suy SC   AB�� Tương tự AD� nên SC  AC � SC � SA2 4a 2    SC  SA2 suy SC SC 6a Ta có Mà SC � Ta có SB� SA2 SA2 4a     2 SB SB SA  AB 4a  a V C 8 8   * � SAB�� VSAB�� VSABC  VSABCD  VSABCD C  V 15 15 15 30 SABC Từ suy mà 2a VSABCD  S ABCD SA  3 2a 8a VSAB��  C  30 45 Suy Từ Câu 41  1 suy VS AB��� C D  2VS AB�� C  16a 45 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên cạnh AB CD uuur uuur r uuur uuur P lấy điểm M N cho MA  MB  NC  2 ND Mặt phẳng   chứa MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V 18 B V 11 216 V C Lời giải 216 D V 108 Trang 91 Từ N kẻ NP //AC , N �AD M kẻ MQ //AC , Q �BC Mặt phẳng  P  MPNQ VABCD  AH S ABCD  12 VAMPC  AM AP VABCD  VABCD  VABCD AB AD 3 Ta có V  VACMPNQ  VAMPC  VMQNC  VMPNC Ta có 1 CQ CN 11 VMQNC  VAQNC  VABCD  VABCD  VABCD 2 CB CD 22 2 2 AM 11 VMPNC  VMPCD  VMACD  VABCD  VABCD  VABCD 3 3 AB 32 �1 1 � V �  � VABCD � V  11 VABCD  11 �3 � 18 216 Vậy Câu 42 (Chun Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy hình bình hành tích D  AB�� V Lấy điểm B� , D� trung điểm cạnh SB SD Mặt phẳng qua cắt C D cạnh SC C � Khi thể tích khối chóp S AB��� V A 2V B V3 C Lời giải V D D  H Khi H trung điểm Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD SO �B��  AH �SO SO C � Trong mặt phẳng  SAC  : Ta kẻ  d  //AC  d  K Khi áp dụng tính đồng dạng AC �cắt OH OA SK SK SC � SC �   �    � SK  OA �  AC ; AC CC � SC tam giác ta có: SH SK Trang 92 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VS AB�� SA SB�SD� D V  � �  � V �� V VS ABD  VS BCD  VS ABCD  S AB D 2 nên ta có VS ABD SA SB SD Vì VS B��� SB�SC �SD� SC � CD V  � �  � � V ��� SC � � S B C D VS BCD SB SC SD SC SC SC �V V � SC � �V VS AB��� � � 1 C D  VS AB �� D  VS B��� CD  V  � SC 8 � SC � Suy Câu 43 (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA  a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB , SD , SC C D là: B� , D� , C� Thể tích khối chóp S AB��� 2a 3 V A Ta có: VS ABCD 2a V B a3 V C Lời giải 2a 3 V D a3  a a  3 AD�   SDC  � AD�   SBC  � AB�  SD ; AB�  SB Ta có SC   AB�� D  � SC  AC � Do Tam giác S AC vuông cân A nên C �là trung điểm SC SB� SA2 2a 2    � S AB SB SB 3a Trong tam giác vng ta có VSAB��� VSAB�� �SB�SC � SD�SC � CD C  VSAC �� D � SB�SC � 1   �    � VS ABCD VS ABCD �SB SC SD SC � SB SC 3 Vậy Câu 44 VSAB��� CD  a3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P , Q trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ V A V B V C Lời giải V D Trang 93 � VAPMQ  VBPMQ (do MNPQ hình thoi), AB // MQ d  P,  ABC    d  D,  ABC   Mặt khác P trung điểm BD nên , đồng thời Ta có VAMNPQ  2VAPMQ 1 1 S ABC � VBPMQ  d  P,  ABC   S BQM  d  D,  ABC   S ABC 1 V V  d  D,  ABC   S ABC  � VAMNPQ  8 S BQM  Câu 45 (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện hình vẽ � � � � � Biết SA  , SB  , SC  , SD  ASB  BSC  CSD  DSA  BSD  60� Thể tích khối đa diện S ABCD A B C 30 D 10 Lời giải  SB�  SC �  SD  Ta có Trên SA , SB , SC lấy điểm A� , B� , C �sao cho SA� A�� B  B�� C  C� D  DA�  Khi hình chóp S A�� B D hình chóp S CB� D hình chóp tam giác có tất cạnh Trang 94 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 12 VS ABD SA SB SD 9 2    VS ABD  VS A��  3 B D � � SA SB SD 2 , nên 2 BD Mặt khác VS A�� VS CBD SC SB SD 2     2 V  V VS C �B�D SC �SB�SD S C � B� D , nên S CBD VS A�� B D  VS C �� BD  2  Thể tích khối đa diện S ABCD V  VS ABD  VS CBD   2  Câu 46 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN V  a3 A V  a3 B V C Lời giải a 36 D V a 12 Cách 1: Phân rã hình: a3 V � a  3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Trang 95 2 1 VSMNC  � VS BDC  � � V  V 3 2 Thể tích tứ diện SMNC là: 1 VNADC  � V  V Thể tích tứ diện NACD là: 1 VMABC  � V  V 2 Thể tích tứ diện MABC là: 2 1 VSAMN  � VS BDC  � � V  V 3 2 Thể tích tứ diện SAMN là: Mặt khác ta có: VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN  VAMNC  VS ABCD 1 � a3 �1 VAMNC  V   VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN   V  � V  V  V  V � V  6 � 12 �6 Suy Câu 47 B C D (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD A���� P hình vẽ Mặt phẳng  MNP  chia M  MA , DN  3ND� tích 2110 Biết A� , CP  2C � khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ 5275 A Trang 96 8440 B 7385 C 18 Lời giải 5275 D 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MNP  Gọi Q giao điểm mặt phẳng  với BB� A� M C� P D� N B� Q x y z t Giả sử AA� , CC � , DD� , BB� Khi x  y  z  t VA��� B D MQN VA��� B D ABD VC �B�� D PQN VC �B�� D CBD �  V ��� x z t x zt � A B D MQN  VA���� B C D ABCD  VC �B�� y  z t y  z t D PQN �  VA���� B C D ABCD VMNPQ A��� D C B�   x  y VABCD A��� D C B� VMNPQ A��� A� M C� P � �1 � D C B� �  �  � �  � � CC � VABCD A��� � �2 � 12 D C B� �AA 5275 � VMNPQ A��� VABCD A��� D C B� D C B � 12 Câu 48 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình    mặt phẳng hành tích V Gọi E điểm cạnh SC cho EC  ES Gọi    cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể chứa AE song song với BD , tích khối chóp S AMEN 3V A V B 3V C 16 V D Lời giải Gọi G giao điểm AE SO Trang 97 AC GO ES 1 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: AO GS EC � GO � GS 1 SG SM SN  �   SO SB SD VS AMEN VS AME V 1 1 1   S AEN    2VS ABC 2VS ACD 2 2 Ta có: V VS AMEN  V Vậy Câu 49 B C D tích (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD A����  MNP  chia khối hộp cho M  MA ; DN  3ND� 2110 Biết A� ; CP  PC � Mặt phẳng thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ D� C� A� B� N P M C D B A 7385 A 18 5275 B 12 8440 C Lời giải D� A� C� B� N 5275 D P M Q C D B A VMNPQ A���� �A� M C� P � �1 � BCD  �  � �  � � � V A A C C � � �2 � 12 ���� ABCD A B C D Ta có: Vnho  VMNPQ A���� BCD  Câu 50 5 5275 VABCD A���� � 2110  BCD  12 12 B C tích 2018 Gọi M (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� N, trung điểm AA� ; N , P điểm nằm cạnh BB� , CC �sao cho BN  B� CP  3C � P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 A 27 40360 B 27 4036 C Lời giải Trang 98 23207 D 18 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VABC MNP �AM BN CP � 23 23207  �   � VABC MNP  � � � V AA BB CC 36 � � BC 18 Ta có ABC A��� Vậy Câu 51 B C tích 6a Các (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A��� AM BN CP    điểm M , N , P thuộc cạnh AA� , BB� , CC �sao cho AA� , BB� CC � Tính thể tích V �của đa diện ABC.MNP A V�  11 a 27 B V�  a 16 V�  C Lời giải 11 a D V�  11 a 18 Lấy điểm Q �AA�sao cho PQ //AC Ta có MQ  AQ  AM  Dễ thấy Vậy VABC MNP  AA� VABC A��� VM QNP  VABC A��� BC BC 12 , V�  VABC MNP  VM QNP  11 11 V  a3 18 Trang 99 Trang 100 .. .5 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác V Gọi V thể tích khối lăng trụ,  4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5? ?? thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng... diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích. .. diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích