(SKKN mới NHẤT) áp dụng hiệu quả định lý menelaus vào một số bài toán TNKQ về tỉ số đoạn thẳng lớp 11 và tỉ số thể tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG HIỆU QUẢ ĐỊNH LÝ MENELAUS VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TNKQ VỀ TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG LỚP 11 VÀ TỈ SỐ THỂ TÍCH LỚP 12 Người thực : Nguyễn Thị Tuyên Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực mơn : Tốn THANH HĨA NĂM 2020 MỤC LỤC TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com I MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu : II.NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận 2.Cơ sở thực tiễn Các bước tiến hành để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 C KẾT LUẬN 19 Kết nghiên cứu 19 Kiến nghị ,đề xuất 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, chuyển sang thi TNKQ mơn Tốn.Học sinh trường THPT nhìn chung bắt đầu quen với làm trắc nghiệm bị hạn chế Khơng em cịn thói quen làm tự luận túy áp dụng phần tính tốn chưa nhanh nhẹn linh hoạt Nguyên nhân dẫn đến trạng em chưa thật linh hoạt phối hợp phương pháp làm TNKQ sáng tạo q trình giải tốn Một ngun nhân số câu vận dụng cao GV chưa đưa phương pháp dạy thật hấp dẫn để học sinh (HS) thấy hứng thú Qua nhiều năm dạy lớp 11 12 gặp mọt số tỉ số đoạn thẳng hoăc tỉ số thể tích tơi có dạy sơ qua phương pháp dùng định lý Menelaus thi tự luận nên học sinh ngại dùng dài sợ phải chứng minh bổ đề Cho đến hai năm ơn thi THPTQG việc nhìn thấy dạng đề thi thử thi thức xuất nhiều nên thấy cần phải giúp HS chiếm lĩnh phần Đó u cầu giáo dục địi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh khám phá kiến thức Vì vậy, tơi chọn đề tài:’’ ÁP DỤNG HIỆU QUẢ ĐỊNH LÝ MENELAUS VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TNKQ VỀ TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG LỚP 11 VÀ TỈ SỐ THỂ TÍCH LỚP 12 ’’ Trong SKKN tơi muốn đưa cách để cải thiện thực trạng cách dạy cho HS giỏi cách sử dụng định lý Menelaus để giải số toán tỉ số hai đoạn thẳng hình học khơng gian lớp 11 tốn tỉ lệ thể tích lớp 12 Bởi khơng phải HS biết định lý Menelaus Định lý đưa vào phần tập nâng cao hình học lớp có vai trị hữu hiệu tốn THCS Cịn sách tham khảo hay tài liệu sử dụng định lý cho THPT Bản thân dạy đưa vào áp dụng thấy hiệu Điều thể ví dụ cụ thể phần nội dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài SKKN muốn nghiên cứu cách dùng định lý Menelaus tiếp cận toán tỉ số chương trình THPT tốn mức độ thông hiểu vận dụng,vận dụng cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số tốn tỉ số hai đoạn thẳng hình học khơng gian lớp 11 tốn tỉ lệ thể tích lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : * Nghiên cứu tài liệu : - Các đề thi thử thức THPTQG - Các đề TNKQ mảng * Nghiên cứu khảo sát thực tế : Phát phiếu điều tra tìm hiểu thực tế 2.NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận Muốn HS làm đề tốn hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học để phù hợp với tình hình thực tiễn 90 phút cho 50 câu.Vừa phải nhanh ,vừa phải chắn mà phải nhiều đối tượng học sinh làm 2.2.Cơ sở thực tiễn Với toán tỉ số hai đoạn thẳng lớp 11 hay tốn tỉ lệ thể tích lớp 12 qui toán tỉ lệ hai đoạn thẳng khơng gian HS lúng túng , khó khăn bỏ không làm Ngay lời giải sách giáo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com khoa hay tài liệu chọn cách lập luận kẻ đường phụ khó khăn Mà với HS khá, giỏi giáo viên hướng dẫn kẻ đường phụ thấy khơng hiểu phải kẻ câu khác kẻ Bản thân giáo viên kẻ đường phụ khơng giải thích cách kẻ thầy đưa khơng có tính phổ rộng 2.3 Các bước tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 : BÀI TOÁN TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG : (Dạy cho hoc sinh 11 12 ôn thi tốt nghiệp THPT ) Trước hết ta xem xét tốn 21 trang 55 SGK nâng cao 11 tính tỉ số hai đoạn thẳng Ví dụ : ( toán 21 trang 55 SGK nâng cao 11 ) Cho tứ diện ABCD.Các điểm P,Q trung điểm AB CD; điểm R nằm cạnh BC cho BR = 2RC Gọi S giao điểm (PQR) AD Chứng minh AS= 2SD A P S D I B Q E R C Lời giải sách giáo viên nâng cao lớp 11: Gọi I giao điểm RQ BD Gọi E trung điểm BR.Khi EB = ER =RC RQ//ED.Tam giác BRI có ED//RQ suy ra: Suy DB = DI Do AD IP hai đường trung tuyến tam giác ABI Suy S giao điểm AD IP S trọng tâm tam giác ABI nên AS = SD TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Khi gặp toán 21trang 55 SGK nâng cao lớp 11 tính tỉ số tơi thấy sách giáo viên giải cách kẻ lấy thêm điểm đường phụ để giải Không phải học sinh hiểu cách lấy điểm đường phụ thực với tương tự Ngay toán SGK điểm P,Q lấy điểm đặc biệt trung điểm nên dùng tính chất đường trung tuyến Hoặc thay đổi đề tỉ lệ không đặc biệt lúc ta khơng dùng tính chất trung tuyến kẻ đường phụ Chính tơi muốn dùng định lý Menelaus khắc phục thực trạng Không khắc phục khó khăn mà học sinh trở lên làm tốt hào hứng Trước hết ta nhắc đến: Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, kỷ I sau công nguyên) Cho tam giác ABC Các điểm M,N,P nằm đường thẳng BC, CA, AB cho chúng khơng có điểm nào, có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi M,N,P thẳng hàng A M N B P C Đối với định lý giáo viên cần nhắc kỹ cách lấy tỉ lệ cho nhanh Mỗi tỉ lệ lấy cạnh ý cách lấy theo phần gạch đỏ (nhiệm vụ giáo viiên quan trọng việc cho HS lấy cách thật nhanh nhẹn lấy tỉ số theo kiểu này) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trước vào áp dụng ta cần cho hs sinh rèn luyện thói quen tính tỉ số có tham số gặp số cụ thể HS rút tương tự chí dễ Có lớp tơi chủ quan khơng nói phần đụng đến thấy em lấy chậm hay sai Vì ta thi TNKQ nên cơng việc xử lý cần có nhanh nhẹn xác.Với tốn cần sử dụng nhiều nên ta xét tình sau Cho A ví dụ với vị trí A,B,I hình vẽ sau : k-1 B I k Khi muốn lấy thật 2k-1 nhanh.Ta vẽ biễu hình đặt AI=k IB= 2k-1.Thực chất phải đặt AI=k.x,IB=(2k-1).x ( xét tỉ số tự khắc x bị rút gọn ).Khi AB =k-1 Nên M E H VD: Cho TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (không cần phải chia đọan ) Ta gặp nhiều đặc biệt có tham số VD 6c,VD 10 Hướng dẫn VD1: Ta áp dụng định lý vào tập sau : Áp dụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng R,Q,I cạnh tam giác BCD : nên =1/2 Áp dụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng S,P,I cạnh tam giác A P S D B BCD : I Q R C TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Sau áp dụng VD cho HS 11 chương II em thấy lạ có em chưa quen cách lấy tỉ lệ hỏi dài dịng khơng dễ hiểu lập luận lời giải Nhưng tơi hỏi: ’’Các bạn nghĩ đường phụ để kẻ thêm không ?’’.Và cho tỉ lệ khác AD,IP trung tuyến tam giác ABI khơng thể kết luận S trọng tâm ta để tìm tỉ lệ AD/SD? Tơi đưa nhanh tình Vẫn tính tỉ số AD/SD nhưg thay đổi : Để HS áp dụng cho quen Và HS thấy hữu ích định lý Và sang câu hỏi nhiều em áp dụng quen thấy bắt đầu thích thú với công cụ Tiếp tục cho thêm VD để HS áp dụng thành thục VD2 : (TNKQ hình11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành.Lấy hai điểm M N hai cạnh SB,SD cho MB=2SM, ND=2SN, đường thẳng SC cắt (AMN) C’.Tính tỉ số k = A B C D TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hướng dẫn M C' N : Lấy MN cắt SO K.Nối AK cắt K SC tai C’ Từ giả thiết MN//DB nên B A (định lý Talet) O C D Áp d ụng định lý Menelauscho điểm thẳng hàng A,K,C’ cạnh tam giác SCO: Chọn A VD3 :(TNKQ hình11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, gọi O giao điểm đường chéo AC BD Biết AB//CD AB CD.Gọi N trung điểm cạnh SB, P giao điểmcủa ND với (SAC).Tính tỉ số B A C D Hướng dẫn S Lấy SO cắt DN P P giao DN N (SAC) Áp dụng định lý Menelaus cho điểm thẳng B A P hàng A,K,C’ cạnh tam giác SBD O D C TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com S M I N K A B O C D VD 8: ( TN thể tích Đặng Việt Đơng) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành.Gọi N trung điểm cúa SB Gọi P thuộc đoạn SC cho SP = 2PC M thuộc đoạn SAsao cho SM = NP cắt BC E Biết A MA Mặt phẳng(MNP ) cắt SD I Tính B C.75 D Lời giải tác giả Đặng Việt Đơng có phần minh chứng (lời giải gọn trình bày lược tắt nhiều lời giải ưu việt hơn) Sau lời giải hướng dẫn học sinh Hướng dẫn S Q M N A K I D P R O E B C H 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nối MP cắt SO I ,MP cắt AC H (trên (SBD)).Nối NI cắt SD Q, NI cắt BD K (trên( SAC)).Kéo dài MN cắt BC K Áp d ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng M,N,H cạnh tam giác SAC : Áp d ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng I,H,M cạnh tam giác SAO : Áp d ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng N,I,Ktrên cạnh tam giác SBO: ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng N,Q,Ktrên cạnh tam giác Áp d SBD: Áp dụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng N,P,E cạnh tam giác SBC: (*) 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng C,Q,Rtrên cạnh tam giác Áp d SBD: (Vì AB//CD nên d(B,(SDC))= d(A,(SCD)) và( B,(SDC))= d(E,(SCD)) (theo (*)) Chọn A Trên hướng dẫn lời giải tự luận, Trắc nghiệm HS viết tỉ lệ đoạn thẳng ,tỉ lệ thể tích khơng cần giải thích (cùng đường cao hay diện tích đáy) nên nhanh để đưa kết VD9: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho điểm nằm cạnh , điểm nằm cạnh hình chóp tam giác 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com cho , Mặt phẳng chóp thành phần Gọi qua song song với thể tích khối đa diện chứa , chia khối thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A B C D Lời giải trường thể minh chứng Hướng dẫn Kẻ NP//SC cắt AC P Nối MN cắt AB E (trên (SBA)).Theo định lý Ta let ta có Áp d Nối PE cắt BCtại Q ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng M,E, Ntrên cạnh tam giác SAB : Áp d ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng S,N,Btrên cạnh tam giác AME : 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Áp dụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng Q,B,C cạnh tam giác APE: S M A N P C Q B E Chọn B Trong phần muốn hướng dẫn HS làm dạng tốn ngược tìm tỉ số biết tỉ số khác Dạng đòi hỏi HS cần nhanh nhẹn biết rút tỉ lệ theo tham số phần dễ sai VD10 : ( Ví dụ tơi để nhắc nhỏ loại có tham số):Cho hình chóp S.ABC có đáy hình bình hành.Gọi M trung điểm cúa SA Gọi N thuộc đoạn SB cho thành hai phần Gọi Măt phẳng( ) qua MN song song SC chia khối chóp thể tích khối đa diện chứa đỉnh A , Gọi l phần thể tích cịn lại Tìm k biết A B C D 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com S M A N P C Q B E Hướng dẫn: Kẻ NP//SC cắt AC P Nối MN cắt AB E (trên (SBA)).Khi P làtrung điểm AC Nối PE cắt BCtại Q Áp d ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng M,E, Ntrên cạnh tam giác SAB : ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng S,N,Btrên cạnh tam giác Áp d AME : ụng định lý Menelaus cho điểm thẳng hàng Q,B,C cạnh tam giác Áp d APE: 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chọn C Trên hướng dẫn lời giải tự luận Khoảng tính tỉ lệ đoạn thẳng trình bày dài Thực tế nháp trắc nghiêm nên tỉ lệ viết nhanh Khi đưa tập HS , giỏi áp dụng định lý Menelaus thích thú Đối với làm Trắc nghiệm HS viết tỉ lệ đoạn thẳng , tỉ lệ theo định lý Menelaus thể tích khơng cần giải thích ( cần tư đầu viết cần thiết nên nhanh để HS đưa kết qủa Vì hình thức thi trắc nghiệm nên linh hoạt khâu Từ khâu dạy cho Hs kỹ làm thật nhanh xác Với Thay giải tự luận lâu dễ nhầm q trình biến đổi ta CACL SHIFT SLOVE tiết kiệm nhiều thời gian 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tuy nhiên cách dùng vectơ thầy Đặng Việt Đông với công đoạn giải tỉ số đoạn thẳng hiệu HS thật giỏi nhanh nhẹn làm hiểu tốt phần véc tơ phần HS cịn khó khăn sử dụng Tơi muốn hướng hai cách để HS tự tin làm việc áp dụng định lý Menelaus HS giỏi khuyến khích tiếp cận với cách thầy Đặng Việt Đơng trình bày minh chứng Nhưng em chọn cách áp dụng định lý Menelaus chủ yếu Đây tập cho HS luyện tập kiểm tra Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, gọi I J trung điểm AD, BC G tâm tam giác SAB Biết thiết diện hình chóp cắt (IJG) hình bình hành Tính tỉ số A.3 C B D Cho hình chóp S.ABC có đáy hình bình hành.Gọi M trung điểm Câu 2: cúa SA Gọi N thuộc đoạn SB cho Măt phẳng( ) qua MN song song SC chia khối chóp thành hai phần Gọi thể tích khối đa diện chứa đỉnh A , Gọi A l phần thể tích cịn lại ,Tính B C D Câu 3: (THPT Chun Phan Bội Châu-Nghệ An- lần năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com điểm , trọng tâm tam giác phẳng điểm Tính tỷ số Đường thẳng cắt mặt A B C D Câu 4: : (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang lượt trung điểm cạnh Gọi G trọng tâm tam giác Biết thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng hành Hỏi khẳng định đúng? A B lần C hình bình D Câu 5: : (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình hộp Trên cạnh , , lấy ba điểm , , cắt cạnh A cho , Tính tỉ số B , Biết mặt phẳng C D Câu 6: : (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi , trung điểm cạnh chọp , Điểm thuộc đoạn Biết mặt phẳng thành hai phần, phần chứa đỉnh tích chia khối lần phần cịn lại Tính tỉ số ? A B C D Phần tiến hành giải thực trạng nói ý tưởng biện pháp cụ thể nêu phần nội dung Mỗi Cũng có số tốn vận dụng vận dụng cao học sinh giỏi Ở chọn giải pháp cho học sinh khá, TB trở lên khơng làm mà làm hiệu việc suy nghĩ kẻ đường phụ Và hiệu xác 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.4 Hiệu SKKN Thơng qua q trình học tập vận dụng giải pháp đưa kiểm tra tơi nhận thấy học sinh có nhìn khơng căng thẳng tốn vận dụng vận dụng cao Trước nhìn vào dạng học sinh TB khá, không làm Học sinh giỏi nháp đa phần bế tắc dễ sai tính tốn chưa biết vận dụng linh hoạt MTBT vào công đoạn nhỏ để cải thiện cơng sức thời gian độ xác Sự hiệu cịn thấy rõ chỗ tơi kéo số lượng lớn em làm câu khó Từ em thấy hiệu phương pháp thích thú mơn hình mơn đa phần em khó khăn để tiếp cận Kết lớp đối chứng Lớp Sĩ số Điểm 9-10 Điểm7-8 Điểm 5-6 Điểm 11A8 43 1(2,3%) 4(9,3%) 15(34,9%) 23(53,5%) 11A6 40 1(2,5%) 3(7.5%) 10(25%) 26(65%) 12A5 40 0(0%) 4(10%) 11(27,5%) 25(62,5%) 12A7 39 0(0%) 2(5,1%) 11(28,2%) 26(66,7%) Kết kiểm tra thực nghiệm Lớp Sĩ số Điểm 9-10 Điểm7-8 Điểm 5-6 Điểm 11A4 42 7(16,7%) 12(28,6%) 13(30,9%) 10(23,8%) 11A7 41 5(12,2%) 15(36,6%) 12(29,3%) 9(21,9%) 12A6 42 8(19%) 14(33,3%) 12(30%) 8(19%) 12A8 40 6(15%) 15(37,5%) 9(22,5%) 10(25%) 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ * Kết luận : Giáo viên môn mơn tốn phải khơng ngừng học hỏi phương pháp vận dụng hiệu để giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức Với hình thức TNKQ cần phải chạy đua thời gian nên việc giáo viên phải có kiến thức 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tổng hợp cịn phải có khả sử dụng MTBT tốt hướng dẫn HS cải thiện mặt thời gian độ xác *Kiến nghị : Khi tiến hành dạy thấy hiệu thật nên mong muốn đồng nghiệp tổ trường trường bạn áp dụng Trên SKKN cách cải thiện khó khăn trắc nghiệm mơn tốn chắn khơng khỏi thiếu sót mong bạn đồng nghiệp góp ý để hồn thiện cho đề tài Cuối xin trân trọng cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích thầy tổ chuyên môn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Tuyên 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Đề kiểm tra sau học (15’) Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, gọi I J trung điểm AD, BC G tâm tam giác SAB Biết thiết diện hình chóp cắt (IJG) hình bình hành Tính tỉ số A.3 C B D Câu 4: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho tứ diện , cạnh , , lấy điểm , , cho , , Mặt phẳng thành hai phần tích , A C B Tính tỉ số chia khối tứ diện D TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN MINH CHỨNG : Lời giải tác giả trường để so sánh cách giải SKKN VD5: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi , , trung điểm , Gọi giao điểm với Tỉ số là: A B C D Lời giải Đây lời giải trường Chọn B Trong mặt phẳng Ta có , gọi giao điểm ; Trong mặt phẳng , cắt Mặt khác: đường trung bình tam giác đường trung bình tam giác giao điểm nên cắt trung điểm hay VD9: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho điểm nằm cạnh , điểm nằm cạnh hình chóp tam giác TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com cho , Mặt phẳng chóp thành phần Gọi qua song song với thể tích khối đ0a diện chứa chia khối , thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A B C Đây lời giải trường Lời giải D Chọn B  Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng giao điểm vẽ)  Suy dựng dựng song song với song song với Dựng song song với cắt cắt cắt Gọi (như hình Ta thấy: trung điểm , đồng thời TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Do  Nhận thấy:  Do Và Vậy VD10 : (Trang 68,69 Khối đa diệnvà thể tích khối đa diện Đặng Việt Đông ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... VỀ TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG LỚP 11 VÀ TỈ SỐ THỂ TÍCH LỚP 12 ’’ Trong SKKN muốn đưa cách để cải thiện thực trạng cách dạy cho HS giỏi cách sử dụng định lý Menelaus để giải số tốn tỉ số hai đoạn thẳng. .. pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh khám phá kiến thức Vì vậy, tơi chọn đề tài:’’ ÁP DỤNG HIỆU QUẢ ĐỊNH LÝ MENELAUS VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TNKQ VỀ TỈ... gian lớp 11 toán tỉ lệ thể tích lớp 12 Bởi khơng phải HS biết định lý Menelaus Định lý đưa vào phần tập nâng cao hình học lớp có vai trị hữu hiệu tốn THCS Cịn sách tham khảo hay tài liệu sử dụng