(SKKN 2022) ứng dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toán tính thể tích khối đa diện

MỤC LỤC NỘI DUNG Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Các kiến thức liên quan 2.3.2 Phương pháp chung 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện 2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp 2.3.3.2 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ 2.3.3.3 Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khơi phục hình 12 2.3.3 Bài tập vận dụng 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục 18 với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 18 dục thông qua hoạt động thực nghiệm sư phạm 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm thân, 18 đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.1 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 PHỤ LỤC 23 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia(THPTQG), đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông(THPT) năm gần đây, đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn khơng thể thiếu câu hỏi thể tích khối đa diện Những câu hỏi mức độ nhận biết thơng hiểu em học sinh cần áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích hai khối đa diện khối chóp khối lăng trụ để tính Tuy nhiên câu hỏi với mức độ vận dụng thấp vận dụng cao khối đa diện đa dạng Học sinh thường gặp khó khăn việc định hướng cách giải Ứng dụng tỉ số thể tích giải pháp hiệu giúp em tính thể tích khối đa diện phức tạp Trong phương pháp này, việc quan trọng lựa chọn khối đa diện trung gian phù hợp tính tỉ số thể tích khối đa diện cần tìm so với khối đa diện trung gian Từ thực tế giảng dạy, trải qua trình tìm tịi nghiên cứu, nhằm góp phần nâng hiệu việc giảng dạy Hình học khơng gian cho học sinh phần thể tích khối đa diện Thơng qua số lần thử nghiệm tương đối thành công, xin mạnh dạn đề xuất sáng kiến, là: “Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh có thêm định hướng giải lớp toán thể tích khối đa diện phức tạp thơng qua việc so sánh thể tích với thể tích khối đa diện khác Từ giúp em tự tin gặp dạng toán đề thi THPTQG, thi tốt nghiệp THPT, đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm tập trung nghiên cứu số tốn tính thể tích khối đa diện cắt từ khối chóp khối lăng trụ Với khối đa diện ta tính trực tiếp thể tích gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, biết cách lựa chọn khối đa diện trung gian phù hợp thực so sánh thể tích khối cần tính với thể tích khối trung gian, toán lại trở nên đơn giản Đề tài kiểm nghiệm thông qua việc giảng dạy cho học sinh lớp 12A1 trường THPT Cẩm Thủy năm học 2020 – 2021 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận; Điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin; 1.5 Những điểm SKKN Điểm bật đề tài sử dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện Đặc biệt, việc sử dụng kết hợp tỉ số thể tích khơi phục hình giải tốn tìm thể tích phương pháp chưa áp dụng nhiều 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Theo Polya: toán học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận Kỹ giải tốn có sở tri thức Tốn học (kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Kỹ Toán học hình thành phát triển thơng qua hoạt động Tốn học, hoạt động học tập mơn Tốn Kỹ rút ngắn, bổ sung, thay đổi trình hoạt động Trong giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh kỹ sau: - Kỹ giải toán; - Kỹ vận dụng quy tắc; - Kỹ vận dụng tri thức vào giải toán; - Kỹ chứng minh toán học; - Kỹ đọc vẽ hình; - Kỹ so sánh Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước Polya để giải toán gồm : • Bước : Tìm hiểu nội dung tốn • Bước : Xây dựng thuật giải • Bước : Thực thuật giải • Bước : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Tuy nhiên qua thực tế, việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải tốn thật khơng đơn giản học sinh, qúa trình trừu tượng hố khái qt hóa việc rèn luyện tư tốn học Do vậy, thơng qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải tốn tính thể tích cách tính gián tiếp thơng qua khối đa diện khác với mức độ từ đơn giản đến phức tạp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tốn sách giáo khoa Hình học 12 đề cập đến thơng qua ví dụ tập sách Đây tảng ban đầu, sở để từ ta phát triển lên mức độ cao Áp dụng vào giải lớp tốn phức tạp 2.2.2 Khó khăn Học sinh trường THPT Cẩm Thủy đa số người dân tộc thiểu số, gia đình khó khăn nên khơng quan tâm mức đến việc học Điểm tuyển vào lớp 10 trường thấp so với mặt chung tỉnh, mà mơn tốn cịn thấp hơp Tính thể tích khối đa diện chuyên đề khó học sinh lớp 12 Nó khó học sinh trường THPT Cẩm Thủy 3, với em học sinh chọn vào đội tuyển ôn thi HSG cấp tỉnh mơn Tốn Từ năm 2017 đến nay, việc tổ chức thi trắc nghiệm mơn tốn kỳ thi tôt nghiệp THPT kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh mơn tốn tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm, khiến nhiều học sinh có tư tưởng làm tù mù, khơng thực tập trung vào phần khó dẫn đến kết chưa cao 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Các kiến thức liên quan 2.3.1 Tỉ số thể tích khối chóp Trường hợp 1: Khối chóp có đáy tam giác Cho hình chóp S.ABC có điểm A’ B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC Khi đó, ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: Lưu ý: Cơng thức trường hợp A’ trùng với A Khi đó: Trường hợp 2: Khối chóp có đáy hình bình hành Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên đoạn SA, SB, SC, lấy điểm A’, B’, C’ khác S Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD D’ Đặt: Khi ta có: tỉ số thể tích là: 2.3.1 Tỉ số thể tích khối lăng trụ Trường hợp 1: Khối lăng trụ có đáy tam giác Cho khối lăng trụ tam giác điểm Trên cạnh Khi ta có tỉ số sau: lấy với Trường hợp 2: Khối lăng trụ có đáy hình bình hành Cho khối lăng trụ tứ giác có đáy phẳng điểm Đặt: cắt cạnh Khi ta có: hình bình hành Mặt 2.3.2 Phương pháp chung Bước 1: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình, lựa chọn khối đa diện trung gian hợp lý Bước 2: Tính tỉ số thể tích khối đa diện trung gian khối đa diện cần tính Bước 3: Tính thể tích khối đa diện trung gian Từ suy thể tích khối đa diện cần tính Các dạng thường gặp: • Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp • Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ • Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khơi phục hình 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện 2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp Bài tốn Cho hình chóp có đáy tam giác vng Mặt phẳng vng góc với cắt Lời giải ; qua điểm Tính ? Trước tiên ta lựa chọn khối đa diện trung gian chóp tam giác C.BAS Ta tính rối suy Áp dụng cơng thức (1) ta có Gọi hình chiếu Khi đó, mặt phẳng lên mặt phẳng Ta tính được: Gọi trung điểm Nhận xét: Do khối đa diện trung gian khối chóp tam giác nên ta sử dụng trực tiếp cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp trường hợp có đáy tam giác để tính tỉ số thể tích Bài tốn Cho hình chóp tứ giác đáy Gọi giao điểm có tất cạnh trung điểm cạnh mặt phẳng Tính thể tích Gọi , tâm khối chóp Lời giải Vì trung điểm nên suy khối khối có thể tích: Khối đa diện trung gian chóp S.ABCD Đặt Ta có Áp dụng cơng thức (2) ta có Vì hình chóp hình chóp nên Ta có Do Bài tốn Cho hình chóp Suy có đáy vng góc với mặt phẳng trung điểm cạnh thể tích khối đa diện hình vng cạnh Gọi ; mặt phẳng cắt , Tính ? Lời giải Khối đa diện trung gian Ta tính tỉ số suy tỉ số Đặt Áp dụng cơng thức (2) ta có Ta có Mà: Nhận xét: Trong toán toán 3, khối đa diện trung gian khối chóp có đáy hình bình hành giác nên ta sử dụng trực tiếp cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp trường hợp có đáy hình bình hành để tính tỉ số thể tích Bài tốn Cho khối chóp cạnh có đáy , tam giác Mặt phẳng tứ giác lồi, tam giác cân qua , vng góc với Tính thể tích khối chóp Lời giải cắt ? Ta chia khối S.AMNP thành hai khối là: S.AMN S.APN Tính thơng qua khối S.ABC; tính Giả thiết: cân thơng qua khối S.ADC vng có Giả thiết: Tứ giác cân có Giả thiết: vng góc với Ta có: mà Mặt khác vng cân Tương tự ta có cắt suy vuông trung điểm trung điểm Trong tam giác có , ; Ta có: Nhận xét: Trong tốn 4, khối chóp có đáy tứ giác khơng phải hình bình hành nên ta phải chia thành hai khối chóp tam giác để việc tính tỉ số thể tích thuận lợi 2.3.3.2 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ Bài tốn Cho khối hộp chữ nhật tích Biết , , Mặt phẳng chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn? Lời giải 10 nâng cao hiệu giảng dạy Ôn tập chương I" PHỤ LỤC CHỨNG MINH CÁC CƠNG THỨC TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH Tỉ số thể tích khối chóp: Trường hợp 1: Khối chóp có đáy tam giác Cho hình chóp S.ABC có điểm A’ B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC Khi đó, ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: Chứng minh: Gọi H K hình chiếu A A’ lên mặt phẳng (SBC) 26 Vì AH A’K song song nên điểm S, H, K, A, A’ đồng phẳng ba điểm H, K, S nằm đường giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (ASH) Vậy H, K, S thẳng hàng Ta có: Trường hợp 2: Khối chóp có đáy hình bình hành Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên đoạn SA, SB, SC, lấy điểm A’, B’, C’ khác S Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD D’ Đặt Khi ta có a+c=b+d tỉ số thể tích là: Chứng minh: Do ABCD hình bình hành nên ta có: Mà A’, B’, C’, D’ đồng phẳng nên ta có a + c = b + d Do ABCD hình bình hành nên ta có: 27 Tương tự ta có Suy 2.3.1 Tỉ số thể tích khối lăng trụ: Trường hợp 1: Khối lăng trụ có đáy tam giác Cho khối lăng trụ tam giác điểm Khi ta có tỉ số sau: Trên cạnh lấy với Chứng minh: Ta có 28 Suy Trường hợp 2: Khối lăng trụ có đáy hình bình hành Cho khối lăng trụ tứ giác có đáy phẳng điểm cắt cạnh Đặt: Khi ta có: hình bình hành Mặt Chứng minh: Do có đáy hình bình hành nên suy MNPQ hình bình hành, nên ta có (Với O, O’, I tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, MNPQ) Ta có 29 PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho hình chóp góc với mặt phẳng cạnh ; mặt phẳng có đáy hình vng cạnh Gọi cắt , vng trung điểm Tính thể tích khối đa diện ? Lời giải + Ta có: + Mà: 30 Bài Cho hình chóp , mặt phẳng có đáy Gọi , tam giác vuông cân trung điểm thỏa mãn , , , Góc hai Thể tích khối chóp bao nhiêu? Lời giải Gọi hình chiếu vng góc Ta có: ; Suy tứ giác Gọi lên mặt phẳng hình vng trung điểm Trong ; trung điểm kẻ ; trung điểm Khi ta có: (vì ) (vì ; ) Ta có: Xét tam giác vng có: 31 Bài Cho hình chóp SABCD có vng góc với mặt phẳng cho cạnh Gọi , , , hình chữ nhật cạnh Mặt phẳng , , tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ Tính thể tích khối chóp , lên ? Lời giải Ta có Ta có vng cân vng trung điểm có , vng có , 32 , , Ta có: Mà Vậy Bài Cho khối chóp có đường cao diện tích đáy trọng tâm mặt bên khối đa diện lồi có đỉnh điểm Gọi Tính thể tích ? Lời giải Gọi giao điểm mặt phẳng 33 Vì đồng dạng với theo tỉ số nên Thể tích khối chóp Vậy thể tích cần tìm : Bài Cho tứ diện cạnh cắt Điểm có cạnh Gọi cạnh trung điểm cho Tính thể tích khối đa diện Mặt phẳng ? Lời giải Có với Ta chia khối đa diện thành khối tứ diện Ta tích tứ diện cho Mà 34 Vậy Bài Cho lăng trụ Gọi , có chiều cao diện tích đáy 15 theo thứ tự điểm cạnh Gọi , trọng tâm tam giác tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm , Lời giải Đặt Theo đề suy , , , , , Tính thể ? Ta có + Ta có cho hình bình hành 35 + Vì Vậy Bài Cho hình lập phương , thuộc cạnh cạnh Gọi thỏa mãn phương thành hai khối, gọi ; , đường thẳng , phương cắt Mặt phẳng khối chứa điểm Lời giải Trong mặt phẳng trung điểm Khi chia khối lập Tính thể tích khối cắt ? thiết diện khối lập Ta có: Ta có: Suy 36 Mặt khác với tứ diện cuông nên ta có: Vậy Bài Cho hình lăng trụ điểm thuộc cạnh theo ? tích cho Gọi trung điểm , Tính thể tích khối chóp Lời giải Ta có: Theo cơng thức tỷ số thể tích: Ta có: 37 Vậy: Bài Cho hình lăng trụ Gọi , , có chiều cao diện tích đáy trung điểm cạnh Tính thể tích khối tứ diện , , ? Lời giải Gọi trung điểm cạnh giao điểm và , trọng tâm tam giác giao điểm Gọi 38 Ta có: Suy ra: Vậy Bài 10 Cho khối hộp chữ nhật trung điểm Trong mặt phẳng , tích Gọi , gọi , Tính thể tích khối tứ diện Lời giải giao điểm , ? Ta có : Trong mặt phẳng , gọi giao điểm (do Đặt diện tích tứ giác ) Ta có: 39 Từ 40 ... tỉ số thể tích khối đa diện trung gian khối đa diện cần tính Bước 3: Tính thể tích khối đa diện trung gian Từ suy thể tích khối đa diện cần tính Các dạng thường gặp: • Tính thể tích khối đa diện. .. vào tỉ số thể tích so với khối chóp • Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ • Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khơi phục hình 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích. .. nên Thể tích khối lăng trụ Hai khối chóp , Thể tích khối chóp có , 18 Vậy thể tích khối đa diện Nhận xét: Trong toán , khối đa diện cần tính thể tích khối đa diện nên việc tính trực tiếp thể