Skkn ứng dụng tỉ số thể tích để giải lớp các bài toán về khối đa diện

MỤC LỤC Nội dung PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trang 1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu………………………………… … 1.6 Đóng góp đề tài ……………… PHẦN II NỘI DUNG SKKN 1 2.1 Cơ sở lí luận SKKN 2.2 Giải pháp để giải vấn đề Dạng 1: Tỷ số thể tích khối chóp tam giác Dạng 2: Tỷ số thể tích khối chóp tứ giác Dạng 3: Tỷ số thể tích khối lăng trụ tam giác Dạng 4: Tỷ số thể tích khối hộp 10 11 Dạng 5: Ứng dụng tỷ số thể tích để tính thể tích khối chóp 13 Dạng 6: Ứng dụng tỷ số thể tích để tính thể tích khối lăng trụ 16 Dạng 7: Ứng dụng tỷ số thể tích để tính yếu tố khác 17 2.3 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục……………… 18 PHẦN III KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 Trang skkn PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Những năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia, đề thi minh họa Bộ GD&ĐT, đề thi thử, đề thi HSG Sở GD&ĐT, số trường tồn quốc xuất tốn liên qua đến tốn tỷ số thể tích tính thể tích khối đa diện Nó thể qua nhiều toán khác nhau, liên quan đến nhiều dạng câu hỏi, tập, với hình thức hỏi đa dạng Vì tính quan trọng ứng dụng tốn thể tích khối đa diện tơi thấy cần có hệ thống lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại tốn Do tơi chọn đề tài ‘Ứng dụng tỷ số thể tích để giải lớp tốn khối đa diện ’ 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy mối liên hệ tỷ số thể tích khối đa diện với vấn đề liên quan đến thể tích khối đa diện Từ làm tốt dạng toán này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi tốt nghiệp 2021-2022 1.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài là: Các toán tỷ số thể tích, thể tích khối đa diện, đặc biệt khối chóp khối lăng trụ chương trình SGK 12, đề thi TN THPT QG 2020-2021, đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2022 , đề thi thử, đề thi HSG Sở GD& ĐT trường năm học 20192020; 2020-2021trên toàn quốc để giải dạng toán liên quan tỷ số thể tích thể tích khối đa diện 1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận cần thiết Từ mơ tả, phân tích định hướng để tìm biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải dạng toán 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Sử dụng phương pháp giải tích, hình học , đặc biệt kiến thức , kỷ phương pháp tính nhanh tỷ số thể tích thể tích khối đa diện 1.6 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Trình bày cách hệ thống, khoa học dạng tốn liên qua đến tỷ số thể tích thể tích khối đa diện với ví dụ minh họa, lời giải chi tiết PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.1 Bổ đề đường thẳng Cho khối chóp tam giác Mặt phẳng cắt Khi ta có Trang skkn Chứng minh Gọi hình chiếu Rõ ràng Đây kết quen thuộc tốn mở đầu cho nhiều ứng dụng sau 2.1.2 Bổ đề phẳng Cho hình chóp , đáy hình bình hành Mặt Khi ta có Chứng minh Đặt Ta có Trang skkn Tượng tự ta có Từ suy Nhân vào hai vế (2.3) với ta Bổ đề áp dụng cho chóp có đáy hình bình hành 2.1.3 Bổ đề ứng dụng nhiều tốn tìm thiết diện thể tích khối đa diện Đặt Vận dụng Bổ đề Bổ đề ta có Ta có : 2.1.4 Bổ đề cạnh với Cho lăng trụ có điểm cho thuộc Trang skkn Khi ta có tỷ số Đặc biệt: 2.2 GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Dạng 1: Tỷ số thể tích khối chóp tam giác Thí dụ (THPT Nguyễn Khuyến - Nam Định - 2019-2020) Cho khối chóp , ba cạnh , , lấy ba điếm , , cho , , khối chóp A Gọi Khi tỉ số B C thể tích D Lời giải Chọn A Ta có: Thí dụ (Chun Quang Trung - Lần 01 - Năm 2019 - 2020) Cho tứ diện Gọi tích A trung điểm cạnh Tỉ số thể B C D Lời giải Chọn D Trang skkn Vì trung điểm cạnh nên ta có: Thí dụ (SGD Bắc Ninh - Năm 2019 - 2020) Cho khối chóp tích Các điểm , tương ứng trung điểm cạnh tích khối chóp A B C , D Thể Lời giải Chọn C S C' B' C A B Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: Dạng 2: Tỷ số thể tích khối chóp tứ giác Thí dụ (GK1-K12-THPT- VIỆT ĐỨC - HÀ NỘI -2021) Cho hình chóp Gọi điểm thuộc cạnh cho A Tỉ số B C D Trang skkn Lời giải Chọn C Ta có, phép vị tự tâm chóp tỉ số biến hình chóp Suy Thí dụ thành hình (SGD Nghệ An-Lần 01-2020-2021) Cho hình chóp hình bình hành Gọi cho lượt , tích khối chóp A , chứa để B cắt cạnh thể tích khối chóp Tìm thuộc cạnh Mặt phẳng Đặt có đáy lần , thể C Lời giải D Chọn A Cách Ta có Ta có Có Trang skkn Đồng thời Như Mà theo giả thiết ta có nên ta suy ra: Vậy Cách Đặt Ta có Lại có Mà Vậy Thí dụ (HSG - K12 - SGD Đồng Tháp năm 2021) Cho khối chóp tứ giác , mặt phẳng qua trọng tâm tam giác chia khối chóp thành hai phần tích , , Tính tỉ lệ A B C D Lời giải Trang skkn Gọi , Gọi , , trọng tâm tam giác trung điểm , , , Chứng minh tương tự ta có Suy Qua Qua dựng đường song song với dựng đường song song với , cắt , cắt Qua dựng đường song song với , cắt Thiết diện hình chóp , tại , cắt bới tứ giác Ta có Tương tự ta có (2) Từ (1) (2) suy Vậy Thí dụ (HSG - K12 - SGD Bắc giang - năm 2021) Cho hình chóp có đáy đoạn hình bình hành Gọi cho Mặt phẳng thành hai khối đa diện Gọi điểm thuộc chia khối chóp thể tích khối đa diện chứa điểm thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số Trang skkn A B C D Lời giải Chọn A Gọi giao Trong gọi giao Trong gọi giao Do Trong tam giác Ta có ta có , Vậy Dạng 3: Tỷ số thể tích khối lăng trụ tam giác Thí dụ (THPT Nguyễn Cơng Trứ - TP HCM - GHK1 - 2020) Cho lăng trụ thể tích Gọi trung điểm Tỉ số Trang skkn A B C D Lời giải Ta có Thí dụ (SGD - BẮC GIANG - LẦN - 2021 ) Cho khối lăng trụ tích Gọi trung điểm cạnh , điểm thuộc cạnh cho Tính thể tích khối chóp theo A B C D Lời giải Chọn B Ta có Mặt khác ta có: Thí dụ 10 (ĐỀ THI THỬ TN THPT - 2021) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  Các mặt phẳng  ABC   ABC   chia lăng trụ thành phần Trang 10 skkn Thể tích phần nhỏ phần tạo thể tích V lăng trụ 1? A 24 B 12 C D 36 Lời giải Chọn B Ta có AB  AB  M ; BC   BC  N Do ABBA, BCC B hình chữ nhật nên M , N trung điểm AB, C B Gọi V1  VB BMN , V2  VB ACNM , V3  VB AC NM , V4  VAAMCC N  V2  VB ABC  V1  V  V1    V3  VB ABC   V1  V  V1   V2  V   V1  V2  V3   V  V1  VB.BMN BM BN 1 1    VB.BMN  VB BAC   V  12 12 Ta có VB.BAC  BA BC   V2  V3  ;V4  V1  12 Vậy thể tích phần nhỏ 12 Dạng 4: Tỷ số thể tích khối hộp Thí dụ 11 (Chuyên-Võ Nguyên Giáp- Quảng Bình -l ần 1) Kí hiệu khối hộp A ; B thể tích khối tứ diện C thể tích Tính tỉ số D Lời giải Trang 11 skkn Chọn A A B D C B' A' D' C' , với Suy Thí dụ 12 (TDM - ĐỀ 22 - 2021) Cho hình hộp trung điểm cạnh Gọi Mặt phẳng khối hình hộp thành hai phần tích tích A chia Tỉ lệ thể B C D Lời giải Chọn A Dể dàng tìm giao tuyến Kho thể tích vẽ với cạnh phần thể tích khối lăng trụ trung điểm hình Dễ thấy Trang 12 skkn Suy Thí dụ 13 (SGD Quảng Bình - Lần ) Cho hình lập phương cạnh Gọi trung điểm cạnh Thể tích khối đa diện A B Mặt phẳng bằng: C cắt cạnh D Lời giải Chọn D A' B' C' D' M B A K D C *Ta có Nên * Dễ thấy Suy *Vậy Dạng 5: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp Thí dụ 14 (HSG - K12 – SGD - Lào Cai - 2020 - 2021) Cho hình chóp tứ giác biết cho , góc hai mặt phẳng Lấy điểm , Gọi , thuộc cạnh giao điểm Tính thể tích khối đa diện mặt phẳng , mặt phẳng Trang 13 skkn Lời giải Gọi giao điểm  Ta có:  Gọi giao điểm  Do  Trong có , , thẳng hàng nên theo định lý Menelaus ta có  Thể tích tứ diện  Ta thấy (đvtt) (c – g – c)  (đvtt)  Thể tích khối đa diện (đvtt) Vậy thể tích khối đa diện (đvtt) Trang 14 skkn Thí dụ 15 (CHUN BẮC NINH - LẦN 2) Cho hình chóp S ABCD có đáy MC k ABCD hình bình hành Điểm M di động cạnh SC , đặt MS Mặt phẳng qua A , M song song với BD cắt SB , SD thứ tự N , P Thể tích khối chóp C APMN lớn A k  B k  C k  D k  Lời giải Giả sử mặt phẳng    qua A , M song song với BD nên SP SN   x V V S ABCD Gọi O giao điểm SD SB ; hai đường chéo BD AC , I giao điểm SO NP      SBD   PN //BD suy AM  SO   I  Trong tam giác SAC với trung tuyến SO , ta chứng minh SA SC SO  2 SI SA SM BD  SO   I  Trong tam giác SBD với trung tuyến SO , ta chứng minh SB SD SO  2 SI SN SP SA SC SB SD 2      k  1   x   SA SM SN SP  x k 2 Ta có VS APMN  2VS AMN  2 SM SN VS ABC  x.V  k  k  V    SC SB k 1 VS APMN MS   V MC k  VC APMN  k VS APMN mà C APMN  VC APMN  2k 2V 2V V    k  1  k   k  3 2 3 k Dấu "  " xảy k k k Trang 15 skkn Dạng 6: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối lăng trụ Thí dụ 16 (HSG-K12-SGD Thai Binh – Năm 2021) Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông cân mặt phẳng đa diện A mặt phẳng B , cạnh C Góc Tính thể tích khối D Lời giải Chọn A Gọi trung điểm ; kẻ Dễ dàng chứng minh Như góc mặt phẳng mặt phẳng góc Ta có Ta có Vậy Thí dụ 17 (GK1-K12-Tham khảo-Nhóm Strong-năm 2021)) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V1 Gọi O1 , O2 , O3 , O4 tâm mặt bên ABB ' A, BCC ' B ', CDD ' C ', DAA ' D ' Gọi V2 thể tích khối đa diện V1 ABCD.O1O2O3O4 Tỉ số V2 13 A B 11 11 C 12 D Lời giải Chọn D Trang 16 skkn Gọi M trung điểm đoạn thẳng AA ' Ta có: S MO1O4 VA MO1O4  11 1 MO4 MO1  AD AB  S ABCD 22 =2 11 1 AM S MO1O4  AA ' S ABCD  V1 32 48 V1 12 1  V2  V1  4VA.MO1O4  V1  V1  V1 2 12 12 Suy ra: V2 Dạng 7: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính yếu tố khác Thí dụ 18 (Chuyên đề Cực trị HHKG- Nhóm Strong năm 2021) Cho tứ diện có điểm thuộc cạnh cho , trung điểm Một đường thẳng thay đổi qua cắt cạnh , , Biết Khi thay đổi, thể tích khối chóp nhỏ A B , với , Tính C Lời giải tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Vì D Chọn D Gọi nên suy , tứ diện trọng tâm tam giác Trang 17 skkn Từ suy Vậy Đặt , Ta có: Mặt khác Nên ta có Vì nên Ta có: Từ , , ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với hai số dương, ta có: Dấu “=” xảy ( Vậy ) Theo đề bài, thể tích khối chóp , nên ta có nhỏ , suy , với 2.3 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục Trang 18 skkn Trong năm học 2020 - 2021, nhà trường phân công giảng dạy lớp 12B9 lớp học Ban KHXH có chất lượng đầu vào học sinh không tốt Năm học 2021-2022 tơi dạy lớp 12A3, 12A5 Trong q trình giảng dạy, mạnh dạn đưa số tập thuộc dạng nêu đề tài với định hướng phân tích tìm lời giải nêu số tiết ôn tập, buổi ôn thi tốt nghiệp THPTQG, phần ôn tập đề thi tổng hợp hệ thống tập nhà Qua thực tiễn áp dụng đề tài, nhận thấy đa số học sinh nắm dạng toán giải cách triệt để toán liên quan đến tỷ số thể tích thể tích khối đa diện kỳ thi Cụ thể sau: Năm học 2020 - 2021: + Lớp 12B9 - không áp dụng đề tài: Số HS Thi lần 39 Thi lần 39 Năm học 2021 - 2022: Làm 05 06 Không làm 34 33 + Lớp 12A3 – Không áp dụng đề tài: Số HS Thi lần 39 Thi lần 39 + Lớp 12A5 - Áp dụng đề tài: Thi lần Thi lần Làm Không làm 36 35 Số HS Làm Không làm 38 33 05 38 35 03 Qua thấy kết thật rõ rệt Trang 19 skkn III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận Đề tài nêu phương hướng áp dụng tỷ số thể tích khối đa diện vào số dạng toán cụ thể mà nêu đề tài Việc sử dụng phương pháp nêu trên, phần giúp cho thân tơi có số định hướng q trình dạy tốn góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo ham học học sinh Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo ôn thi tốt nghiệpTHPT Quốc gia , ôn thi HSG cho đồng nghiệp, học sinh lớp 12 III.2 Kiến nghị Qua trình dạy học nhiều năm, thân nhận thấy việc phân phối chương trình dạy học tốn trường phổ thơng cịn nhiều chỗ chưa hợp lí Một số phần, chương có lượng kiến thức khơng nhiều, tập khơng có tính phát huy tư học sinh lại phân phối nhiều thời lượng, nhiều tiết tập Trong phần, chương cần có nhiều tiết tập để học sinh phát huy tốt khả tư tích cực thân thời lượng số tiết tập bị hạn chế Vì thế, tơi đề nghị cần chỉnh sửa phân phối chương trình tốn trung học phổ thơng cho hợp lí XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hậu Lộc, ngày 10 tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết , không chép nội dung người khác Phạm Văn Bình Trang 20 skkn IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)  Văn Như Cương (Chủ biên)  Phạm Khắc Ban-Lê Huy Hùng- Tạ Mân, Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Đề thi THPT Quốc gia năm 2020-2021 Đề thi thử THPT Quốc gia, HSG , năm 2019-2020, năm 2020-2021 Sở GD& ĐT số trường toàn quốc Tham khảo số sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp Tham khảo số nguồn tài liệu internet Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM Đạt loại B cấp tỉnh-Năm học 2018-2019 Trang 21 skkn ... quan trọng ứng dụng toán thể tích khối đa diện tơi thấy cần có hệ thống lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại tốn Do tơi chọn đề tài ? ?Ứng dụng tỷ số thể tích để giải lớp toán khối đa diện ’ 1.2... cho Mặt phẳng thành hai khối đa diện Gọi điểm thuộc chia khối chóp thể tích khối đa diện chứa điểm thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số Trang skkn A B C D Lời giải Chọn A Gọi giao Trong... Vậy thể tích phần nhỏ 12 Dạng 4: Tỷ số thể tích khối hộp Thí dụ 11 (Chuyên-Võ Ngun Giáp- Quảng Bình -l ần 1) Kí hiệu khối hộp A ; B thể tích khối tứ diện C thể tích Tính tỉ số D Lời giải