skkn ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ bản chất và cách làm nhanh nhất để đi đến kết quả, học sinh mong muốn mình giải quyết một bài toán với con đường đơn giản nhất và đáp số chính xác nhấ

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn sáng kiến

Bắt đầu từ năm 2017, BGD&ĐT chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy và học môn Toán cũng có sự thay đổi để đáp ứng đối với kì thi Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ bản chất và cách làm nhanh nhất để đi đến kết quả, học sinh mong muốn mình giải quyết một bài toán với con đường đơn giản nhất và đáp số chính xác nhất

Trong đề thi THPT QG 2017, đề minh họa, đề tham khảo của BGD và tuyển tập các đề thi thử THPT QG của các trường trên toàn quốc trong những năm gần đây, câu hình học không gian luôn là câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã quên các kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11 Do đó, việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, chúng tôi đã có những sáng kiến để giải quyết các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích rất hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được

Sáng kiến giải quyết các vấn đề hay gặp như:

3 Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến

- Từ năm 2017, trong kì thi THPT QG môn Toán chuyển sang thi trắc nghiệm Qua nghiên cứu đề minh họa của bộ tôi có thây rằng các bài toán hình học về tính thể tích, tỷ số xuất hiện nhiều Ngoài việc lắm được các công thức hình học như trước kia các em còn phải làm thế nào cho ra kết quả nhanh nhất

- Hệ thống kiến thức trong sáng kiến có nội dung sáng tạo và ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán Sáng kiến đã đưa ra một số kết quả tính nhanh mang tính phát hiện Nắm vững được các công thức

đưa ra này các em sẽ giải quyết những bài từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh gọn với độ chính xác cao

- Từ lúc bắt đầu chính thức BGD cho thi trắc nghiệm, khi ôn luyện cho học sinh về mảng này tôi luôn đưa ra hệ thống câu hỏi bám sát, gây dựng các bài toán mang tính chất hệ thống Vì bản thân hình học

đã là khó nên các bài toán đưa ra phải kích thích và gây hưng phấn cho học sinh Học sinh sẽ năm chắc kiến thức từ đó hăng say vận dụng vào các bài toán từ dễ đến khó Nhờ vậy các em định hướng giải cho các bài toán thuộc chủ đề này rất nhanh và đây cũng là điểm nổi bật của sáng kiến

4 Hiệu quả của sáng kiến

- Đối với nhà trường: Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích của đồng nghiệp và học sinh trong hoạt động giảng dạy và học tập cũng như ôn luyện và giải các đề thi thử

- Đối với kết quả thi: Kiểm tra định kì, thi thực nghiệm của Sở : Đa số các em làm tốt, nâng cao chất lượng, xếp hạng với các trường THPT trong tỉnh

NỘI DUNG CHƯƠNG I ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

THI THPT QUỐC GIA

A XÂY DỰNG CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Tính chất 1: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác

Cho khối chóp tam giác S ABC Mặt phẳng ( )P cắt các đường thẳng SA SB SC lần lượt tại , ,

Ví dụ 1 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA vuông góc với

đáy Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC Tính tỉ số

B'

C' H

H'

4

A BCNM

S ABC

V V

a) Gọi O là tâm hình bình hành, I là giao điểm của SO và (A B C D' ' ' ')

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB , điểm

P thuộc cạnh SD sao cho SP=2PD Mặt phẳng (AMP) cắt SC tại N Tính tỷ số .

Ví dụ 3 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng ( )P chứa cạnh AB và

đi qua điểm M trên SC chia khối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính tỷ số SM

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình vuông; SA⊥(ABCD) và

SC hợp với đáy một góc bằng 30 Mặt phẳng ( )P đi quaA và vuông góc với SC , cắt các cạnh

Ta có

2 2

SB SB

SE = SA Tương tự

2 2

IS = IC Mặt phẳng ( )P chứa cạnhAI cắt cạnh SB SD lần lượt tại, M N Gọi , V V lần lượt là ',

thể tích khối chóp S AMIN và S ABCD Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích V'

Ta có 2

31

3 Tính chất 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác

Cho lăng trụ ABC A B C    có các điểm , ,M N P lần lượt thuộc các cạnh AA BB CC, ,  sao cho

M

Ví dụ 7 Cho khối lăng trụ ABC A B C   , có , ,M N P lần lượt thuộc các cạnh AA BB CC, ,  sao cho

khối đa diện còn lại Tính tỉ số 1

N

P M

B'

C A

N

P M

Ví dụ 9 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 3

60 cm , các điểm M N P lần lượt thuộc các , ,cạnh AA BB CC, ,  sao cho AM =2MA BN, =3NB CP, =4PC Thể tích của khối đa diện BC MNP

V

V V

Nhận xét Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức tính thể

tích như chóp hay lăng trụ Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác

Ví dụ 10 Cho lăng trụ ABC A B C có , ' ' ' ' G G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và

N

P M

t V

ABCMNBP

ABC A B C

Nhận xét Dựa vào kết quả trên ta thấy rẳng chỉ cần biết ( ) cắt GG tại vị trí điểm ' I xác định là ta

đã biết ( ) chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số bao nhiêu rồi

a Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành Gọi , I O lần lượt là tâm của hình bình hành MNPQ và

hình vuông ABCD Ta có OI là đường trung bình của hình thang AMPC nên

O' A

P

Ví dụ 11 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 Biết A M =MA; 3

DN= ND và CP=2C P Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn

V V

O

O' A

Ví dụ 12 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có N là trung điểm CC Mặt phẳng ( ) đi qua

O' A

B'

N P

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho khối chóp S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA=a v à A S ⊥(AB C D) Gọi

', '

' ' '

S AB C D

S ABCD

V k

1

1.6

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M N lần lượt là trung điểm của ,

1

3.4

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC

Mặt phẳng ( )P chứa AM và song song với BD lần lượt cắt các cạnh bên SB và SD tại

2

1.4

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Điểm I nằm trên cạnh SC sao

cho IS =2IC Mặt phẳng ( )P chứa AI cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N Gọi

8

5.24

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, điểm M thuộc cạnh SA , điểm

SA = SD = Mặt phẳng ( ) thay đổi luôn chứa MN , cắt các cạnh SB và SC lần lượt tại Q và P Biết thể tích của khối chóp S ABCD bằng V , khi

A

4

V

B 2 5

V

C 3 8

V

D 3

V

Câu 6: Cho khối chóp S ABC có G là trọng tâm tam giác SBC Đường thẳng d đi qua G , cắt các

cạnh SB SC lần lượt tại , M và N Gọi V V lần lượt là thể tích của các khối chóp 1, S AMN

và S ABC Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số V1

V bằng

A 17

21

37

10.9

Câu 7: Cho chóp S ABC Trên các cạnh SA SB SC lần lượt lấy các điểm , , A B C    Gọi G là , ,

trọng tâm tam giác ABC và SG cắt (A B C  )tại G Khi đó

SG

2.'

SG

3 '

SG SG

Câu 8: Cho khối lăng trụ ABC A B C    Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA và BB

Mặt phẳng (CMN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần Đặt V là thể tích của khối 1

chóp C MNB A và ' ' ' V là thể tích của khối đa diện 2 ABC MNC Tỷ số ' 1

3.2

Câu 9: Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng V Các điểm , , M N P lần lượt thuộc các

Câu 10: Cho khối lăng trụ đều ABC A B C    Gọi I là trung điểm của AA' Mặt phẳng (IB C' ) chia

khối lăng trụ thành hai phần: phần chứa đỉnh ,A B có thể tích bằng V và phần còn lại có thể 1

1.2

Câu 11: Cho hình hộp ABCD A B C D     Trên các cạnh AA BB CC, ,  lần lượt lấy ba điểm , ,M N P

sao cho ' 1; ' 2; ' 1

AA = BB = CC = Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tạiQ Tỉ số '

5

2.3

Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     Trên các cạnh AA BB CC, ,  lần lượt lấy ba điểm

17

17.24

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Mặt phẳng ( ) cắt các cạnh

BB CC DD   lần lượt tại , ,M N P sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B

bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại Tỉ số CN

CC bằng

A 3

1

2

3.2

BẢNG ĐÁP ÁN

11.A 12.B 13.A 14.C

CHƯƠNG II THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số hệ thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

2 Nội dung thực nghiệm

Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng được ở chương II theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 một số trường THPT Số lượng học sinh trong mỗi lớp là 35

Lớp thực nghiệm là 12A, lớp đối chứng là 12B Trình độ nhận thức ở hai lớp này được đánh giá là tương đương

Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn

3 Đánh giá thực nghiệm

a) Kiểm tra

Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết quả thực nghiệm tác giả đã tiến hành cho học sinh hai lớp 12A, 12B (được đánh giá là tương đương nhau) làm bài kiểm tra 15 phút Nội dung đề kiểm tra như sau:

Bài kiểm tra

Thời gian làm bài: 15 phút

Câu 1: Cho khối chóp S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA=a v à A S ⊥(AB C D) Gọi

', '

' ' '

S AB C D

S ABCD

V k

1

1.6

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M N lần lượt là trung điểm của ,

SA và SB Gọi V V lần lượt là thể tích của các khối chóp 1, 2 S MNCD và S ABCD Ttỷ số .1

V

bằng

A 3.

2

1

3.4

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của cạnh

2

1.4

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Điểm I nằm trên cạnh SC sao

cho IS=2IC Mặt phẳng ( )P chứa cạnh AI cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N

Gọi V và V lần lượt là thể tích của khối chóp ' S AMIN và S ABCD Giá trị nhỏ nhất của

8

5.24

Câu 5: Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng V Các điểm , , M N P lần lượt thuộc các

b) Đánh giá kết quả thực nghiệm

Về thái độ học tập của học sinh

Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, học sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh đã cuốn hút vào các hoạt động một cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số các em nắm vững kiến thức cơ bản và có ý thức hoàn thành hoạt động và công việc mà giáo viên giao cho

Về kết quả bài kiểm tra

Phân tích kết quả kiểm tra

Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 25,5% đạt khá, giỏi

Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 55,3% đạt khá, giỏi

KẾT LUẬN

1 Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập của đề tài

Mỗi một dạng toán đều liên hệ mật thiết với những phương pháp nhất định Đó là những phương pháp đã được tiến hành trong quá trình hình thành dạng toán đó Phát hiện được những phương pháp giải một dạng toán là vach được một con đường để người học chiếm lĩnh dạng toán đó

và đạt được những mục đích học tập khác, cũng đồng thời cụ thể hóa mục đích day học dạng toán đó

và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt kết quả hay không và đạt đến mức độ nào Không có phương pháp nào là tối ưu cho mọi dạng toán mà ta cần truyền đạt trong quá trình dạy học Cùng một dạng toán nhưng có bài phù hợp với phương pháp này, có bài lại phù hợp với phương pháp khác Và chúng ta không thể áp dụng cứng nhắc mỗi dạng toán với một phương pháp nhất định mà cần căn cứ vào từng bài toán cụ thể, sự tiếp thu và nhận thức của từng đối tượng học sinh để có phương pháp cho phù hợp Với khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, và sự non trẻ về mặt nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm giảng dạy, sáng kiến kinh nghiệm không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Kính mong quý thày cô, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến hoàn thiện hơn

Nội dung phần này là tương đối khó Rất nhiều câu ở mức vận dụng cao Nhiều bài không chỉ đòi hỏi kiến thức hình học sâu rộng mà còn yêu cầu cả kiến thức đại số rất tốt như các bài liên quan đến cực trị Các em không chỉ biết dùng kiến thúc trình bày tự luận mà còn phải hiểu rõ vấn đề và sử dụng các thủ thuật máy tính để ra kết quả nhanh nhất

Với bài viết này tôi hy vọng các em học sinh không còn thấy bài tập hình học liên quan thể tích là khó nữa Thông qua việc học tốt trong sách giáo khao và hệ thống bài tập như trên các em sẽ

tự tin chinh phục các bài trong các đề thi thử từ đó vươn xa hơn là xử lý trọn vẹn các bài trong kì thi THPTQG 2017

2 Hiệu quả thiết thực của đề tài

Nếu đề tài được triển khai rộng rãi thì đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh Tài liệu này giúp học sinh định hướng và làm tốt các bài toán về hình học liên quan đến thể tích

Mặc dù đã cố gắng bằng việc tham khảo rất nhiều tài liệu để viết, xin ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp, đưa vào giảng dạy cho học sinh để kiểm nghiệm và dần hoàn thiện đề tài, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế Tôi rất mong nhận được ý kiến bổ sung của các đồng nghiệp để hoàn thiện tài liệu hơn, đầy đủ hơn và có tác dụng trong thực thế dảng dạy

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nhóm tác giả