Skkn ứng dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toán tính thể tích khối đa diện

MỤC LỤC NỘI DUNG Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Các kiến thức liên quan 2.3.2 Phương pháp chung 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện 2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp 2.3.3.2 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ 2.3.3.3 Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khơi phục hình 12 2.3.3 Bài tập vận dụng 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục 18 với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 18 dục thông qua hoạt động thực nghiệm sư phạm 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm thân, 18 đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.1 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 PHỤ LỤC 23 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia(THPTQG), đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông(THPT) năm gần đây, đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn khơng thể thiếu câu hỏi thể tích khối đa diện Những câu hỏi mức độ nhận biết thơng hiểu em học sinh cần áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích hai khối đa diện khối chóp khối lăng trụ để tính Tuy nhiên câu hỏi với mức độ vận dụng thấp vận dụng cao khối đa diện đa dạng Học sinh thường gặp khó khăn việc định hướng cách giải Ứng dụng tỉ số thể tích giải pháp hiệu giúp em tính thể tích khối đa diện phức tạp Trong phương pháp này, việc quan trọng lựa chọn khối đa diện trung gian phù hợp tính tỉ số thể tích khối đa diện cần tìm so với khối đa diện trung gian Từ thực tế giảng dạy, trải qua trình tìm tịi nghiên cứu, nhằm góp phần nâng hiệu việc giảng dạy Hình học khơng gian cho học sinh phần thể tích khối đa diện Thông qua số lần thử nghiệm tương đối thành công, xin mạnh dạn đề xuất sáng kiến, là: “Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh có thêm định hướng giải lớp tốn thể tích khối đa diện phức tạp thơng qua việc so sánh thể tích với thể tích khối đa diện khác Từ giúp em tự tin gặp dạng toán đề thi THPTQG, thi tốt nghiệp THPT, đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm tơi tập trung nghiên cứu số tốn tính thể tích khối đa diện cắt từ khối chóp khối lăng trụ Với khối đa diện ta tính trực tiếp thể tích gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, biết cách lựa chọn khối đa diện trung gian phù hợp thực so sánh thể tích khối cần tính với thể tích khối trung gian, toán lại trở nên đơn giản Đề tài kiểm nghiệm thông qua việc giảng dạy cho học sinh lớp 12A1 trường THPT Cẩm Thủy năm học 2020 – 2021 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận; Điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin; 1.5 Những điểm SKKN Điểm bật đề tài sử dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện Đặc biệt, việc sử dụng kết hợp tỉ số thể tích khơi phục hình giải tốn tìm thể tích phương pháp chưa áp dụng nhiều skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Theo Polya: toán học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận Kỹ giải tốn có sở tri thức Toán học (kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Kỹ Tốn học hình thành phát triển thơng qua hoạt động Toán học, hoạt động học tập mơn Tốn Kỹ rút ngắn, bổ sung, thay đổi trình hoạt động Trong giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh kỹ sau: - Kỹ giải toán; - Kỹ vận dụng quy tắc; - Kỹ vận dụng tri thức vào giải toán; - Kỹ chứng minh toán học; - Kỹ đọc vẽ hình; - Kỹ so sánh Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước Polya để giải tốn gồm :  Bước : Tìm hiểu nội dung toán  Bước : Xây dựng thuật giải  Bước : Thực thuật giải  Bước : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Tuy nhiên qua thực tế, việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải tốn thật khơng đơn giản học sinh, qúa trình trừu tượng hố khái qt hóa việc rèn luyện tư tốn học Do vậy, thơng qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải toán tính thể tích cách tính gián tiếp thơng qua khối đa diện khác với mức độ từ đơn giản đến phức tạp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tốn sách giáo khoa Hình học 12 đề cập đến thơng qua ví dụ tập sách Đây tảng ban đầu, sở để từ ta phát triển lên mức độ cao Áp dụng vào giải lớp tốn phức tạp 2.2.2 Khó khăn Học sinh trường THPT Cẩm Thủy đa số người dân tộc thiểu số, gia đình khó khăn nên không quan tâm mức đến việc học Điểm tuyển vào lớp 10 trường thấp so với mặt chung tỉnh, mà mơn tốn cịn thấp hơp Tính thể tích khối đa diện chuyên đề khó học sinh lớp 12 Nó khó học sinh trường THPT Cẩm Thủy 3, với em học sinh chọn vào đội tuyển ôn thi HSG cấp tỉnh mơn Tốn skkn Từ năm 2017 đến nay, việc tổ chức thi trắc nghiệm mơn tốn kỳ thi tơt nghiệp THPT kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh mơn tốn tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm, khiến nhiều học sinh có tư tưởng làm tù mù, khơng thực tập trung vào phần khó dẫn đến kết chưa cao 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Các kiến thức liên quan 2.3.1 Tỉ số thể tích khối chóp Trường hợp 1: Khối chóp có đáy tam giác Cho hình chóp S.ABC có điểm A’ B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC Khi đó, ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: Lưu ý: Cơng thức trường hợp A’ trùng với A Khi đó: Trường hợp 2: Khối chóp có đáy hình bình hành Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên đoạn SA, SB, SC, lấy điểm A’, B’, C’ khác S Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD D’ Đặt: Khi ta có: skkn tỉ số thể tích là: 2.3.1 Tỉ số thể tích khối lăng trụ Trường hợp 1: Khối lăng trụ có đáy tam giác Cho khối lăng trụ tam giác điểm Trên cạnh Khi ta có tỉ số sau: lấy với A B C M N P A' B' C' Trường hợp 2: Khối lăng trụ có đáy hình bình hành Cho khối lăng trụ tứ giác có đáy phẳng điểm Đặt: cắt cạnh Khi ta có: hình bình hành Mặt skkn B C D A N M P C' Q A' D' 2.3.2 Phương pháp chung Bước 1: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình, lựa chọn khối đa diện trung gian hợp lý Bước 2: Tính tỉ số thể tích khối đa diện trung gian khối đa diện cần tính Bước 3: Tính thể tích khối đa diện trung gian Từ suy thể tích khối đa diện cần tính Các dạng thường gặp:  Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp  Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ  Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khơi phục hình 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện 2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp Bài tốn Cho hình chóp có đáy tam giác vuông ; Mặt phẳng vng góc với cắt Lời giải qua điểm Tính  ? Trước tiên ta lựa chọn khối đa diện trung gian chóp tam giác C.BAS Ta tính rối suy Áp dụng cơng thức (1) ta có skkn Gọi hình chiếu Khi đó, mặt phẳng lên mặt phẳng Ta tính được: Gọi trung điểm Nhận xét: Do khối đa diện trung gian khối chóp tam giác nên ta sử dụng trực tiếp cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp trường hợp có đáy tam giác để tính tỉ số thể tích Bài tốn Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh , tâm đáy Gọi trung điểm cạnh Gọi giao điểm chóp mặt phẳng Tính thể tích khối Lời giải Vì trung điểm nên suy khối thể tích: Khối đa diện trung gian chóp S.ABCD Đặt khối Ta có Áp dụng cơng thức (2) ta có Vì hình chóp hình chóp nên Ta có có skkn Do Bài tốn Cho hình chóp Suy có đáy vng góc với mặt phẳng trung điểm cạnh thể tích khối đa diện hình vng cạnh Gọi ; mặt phẳng ? Lời giải , cắt Tính S N I M A D O B C Khối đa diện trung gian Ta tính tỉ số suy tỉ số Đặt Áp dụng cơng thức (2) ta có Ta có Mà: Nhận xét: Trong toán toán 3, khối đa diện trung gian khối chóp có đáy hình bình hành giác nên ta sử dụng trực tiếp cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp trường hợp có đáy hình bình hành để tính tỉ số thể tích Bài tốn Cho khối chóp cạnh , tam giác có đáy cân tứ giác lồi, tam giác Mặt phẳng qua vng góc với Tính thể tích khối chóp ? Lời giải , cắt skkn Ta chia khối S.AMNP thành hai khối là: S.AMN S.APN Tính thơng qua khối S.ABC; tính thơng qua khối S.ADC Giả thiết: cân vng có Giả thiết: Tứ giác cân có Giả thiết: vng góc với Ta có: Mặt khác cắt mà suy vng cân Tương tự ta có Trong tam giác trung điểm vuông có trung điểm , ; Ta có: skkn Nhận xét: Trong tốn 4, khối chóp có đáy tứ giác khơng phải hình bình hành nên ta phải chia thành hai khối chóp tam giác để việc tính tỉ số thể tích thuận lợi 2.3.3.2 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ Bài tốn Cho khối hộp chữ nhật tích Biết , , Mặt phẳng chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn? Lời giải Ta tính thể tích khối đa diện cách so sánh thể tích với thể tích khối hộp chữ nhật Mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện tứ giác Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích cho khối lăng trụ có đáy hình bình hành ta có: Vậy khối đa điện nhỏ Nhận xét: Trong toán 1, khối đa diện trung gian khối lăng trụ có đáy hình bình hành nên ta sử dụng trực tiếp cơng thức tính tỉ số thể tích có sẵn để tính tỉ số thể tích Bài tốn Cho hình lăng trụ tích Gọi là trung đểm của cạnh và , thỏa mãn , Tính thể tích đa diện ? Lời giải 10 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO  Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục, 2010  Bài tập Hình học 12 Nâng cao- Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng,Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2008  Hình học khơng gian - Phan Huy Khải - NXB Giáo dục Việt Nam, 2013  Phân dạng phương pháp giải chuyên đề hình học 12- Nguyễn Phú Khánh- Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2018  Làm để học tốt mơn Tốn - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001  Trang Web https://toanmath.com/ 22 skkn Mẫu (2) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: ĐỖ VĂN NAM Chức vụ đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn Trường THPT Cẩm Thủy Cấp đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Sử dụng kết hợp phần Sở GD&ĐT mềmGeometer's ketchpad Thanh Hóa Microsoft office PowerPoint giúp nâng cao hiệu giảng dạy Phép vị tự Sử dụng phần mềm Geometer's Sở GD&ĐT Sketchpad Microsoft office Thanh Hóa PowerPoint giúp tạo hứng thú nâng cao hiệu giảng dạy Ôn tập chương I" Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B 2013-2014 C 2015-2016 Năm học đánh giá xếp loại 23 skkn PHỤ LỤC CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH Tỉ số thể tích khối chóp: Trường hợp 1: Khối chóp có đáy tam giác Cho hình chóp S.ABC có điểm A’ B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC Khi đó, ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: Chứng minh:  Gọi H K hình chiếu A A’ lên mặt phẳng (SBC) Vì AH A’K song song nên điểm S, H, K, A, A’ đồng phẳng ba điểm H, K, S nằm đường giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (ASH) Vậy H, K, S thẳng hàng Ta có: Trường hợp 2: Khối chóp có đáy hình bình hành Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên đoạn SA, SB, SC, lấy điểm A’, B’, C’ khác S Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD D’ Đặt Khi ta có a+c=b+d tỉ số thể tích là: 24 skkn Chứng minh:  Do ABCD hình bình hành nên ta có: Mà A’, B’, C’, D’ đồng phẳng nên ta có a + c = b + d Do ABCD hình bình hành nên ta có: Tương tự ta có Suy 2.3.1 Tỉ số thể tích khối lăng trụ: Trường hợp 1: Khối lăng trụ có đáy tam giác Cho khối lăng trụ tam giác điểm Trên cạnh Khi ta có tỉ số sau: lấy với 25 skkn A B M A' C N P B' C' Chứng minh: Ta có Suy Trường hợp 2: Khối lăng trụ có đáy hình bình hành Cho khối lăng trụ tứ giác có đáy phẳng điểm Đặt: cắt cạnh Khi ta có: hình bình hành Mặt 26 skkn Chứng minh: Do có đáy hình bình hành nên suy MNPQ hình bình hành, nên ta có (Với O, O’, I tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, MNPQ) Ta có PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh góc với mặt phẳng cạnh ? Gọi ; mặt phẳng cắt , vuông trung điểm Tính thể tích khối đa diện Lời giải S N I M A D O B C + Ta có: 27 skkn + Mà: Bài Cho hình chóp , Gọi có đáy tam giác vuông cân , , , trung điểm , Góc hai mặt phẳng bao nhiêu? thỏa mãn Thể tích khối chóp Lời giải Gọi hình chiếu vng góc lên mặt phẳng Ta có: ; Suy tứ giác hình vng Gọi trung điểm ; trung điểm ; trung điểm Trong kẻ Khi ta có: (vì ) (vì ; ) Ta có: Xét tam giác vng có: 28 skkn Bài Cho hình chóp SABCD có hình chữ nhật cạnh , , vng góc với mặt phẳng Mặt phẳng tạo với đáy góc cho Gọi , , chân đường cao hạ từ lên cạnh , , Tính thể tích khối chóp ? Lời giải S N M A D P B C Ta có Ta có vng cân vng có trung điểm , vng có , , , 29 skkn Ta có: Mà Vậy Bài Cho khối chóp có đường cao diện tích đáy Gọi trọng tâm mặt bên Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm ? Lời giải Gọi Vì giao điểm mặt phẳng đồng dạng với theo tỉ số Thể tích khối chóp nên Vậy thể tích cần tìm : 30 skkn Bài Cho tứ diện cạnh cắt có cạnh Gọi trung điểm Điểm cạnh cho Tính thể tích khối đa diện ? Mặt phẳng Lời giải D P Q A C M N B Có với Ta chia khối đa diện thành khối tứ diện Ta tích tứ diện cho Mà Vậy Bài Cho lăng trụ có chiều cao diện tích đáy 15 Gọi , theo thứ tự điểm cạnh cho , Gọi , trọng tâm tam giác , Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , , , ? Lời giải 31 skkn Đặt Ta có Theo đề suy hình bình hành + Ta có + Vì Vậy Bài Cho hình lập phương , thuộc cạnh cạnh Gọi thỏa mãn phương thành hai khối, gọi khối chứa điểm Lời giải Trong mặt phẳng ; , phương cắt Mặt phẳng , đường thẳng Khi trung điểm chia khối lập Tính thể tích khối ? cắt thiết diện khối lập 32 skkn A' D' C' F B' A D J E B I N C M Ta có: Ta có: Suy Mặt khác với tứ diện cng nên ta có: Vậy Bài Cho hình lăng trụ điểm thuộc cạnh cho theo  ? tích Gọi trung điểm Tính thể tích khối chóp , Lời giải B' A' C' M N B A C 33 skkn Ta có: Theo cơng thức tỷ số thể tích: Ta có: Vậy: Bài Cho hình lăng trụ Gọi , , Tính thể tích khối tứ diện có chiều cao diện tích đáy trung điểm cạnh ? Lời giải H A , , C G M B I N A' C' P B' Gọi trung điểm cạnh , trọng tâm tam giác giao điểm và giao điểm Gọi 34 skkn G B H I N F B' P Ta có: Suy ra: Vậy Bài 10 Cho khối hộp chữ nhật trung điểm , Trong mặt phẳng tích Gọi , Tính thể tích khối tứ diện Lời giải , gọi giao điểm , ? Ta có : Trong mặt phẳng , gọi (do giao điểm ) 35 skkn Đặt diện tích tứ giác Ta có: Từ 36 skkn ... thể tích khối đa diện dựa vào việc khơi phục hình 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn tính thể tích khối đa diện 2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối. .. khối đa diện cần tính Các dạng thường gặp:  Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp  Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ  Tính thể. .. bài, vẽ hình, lựa chọn khối đa diện trung gian hợp lý Bước 2: Tính tỉ số thể tích khối đa diện trung gian khối đa diện cần tính Bước 3: Tính thể tích khối đa diện trung gian Từ suy thể tích khối