- Với các thầy cô giáo: Không ngừng học hỏi để nâng cao chất lượng giảng dạy
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng và . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh và ; mặt phẳng cắt tại . Tính thể tích khối đa diện
? Lời giải + . Ta có: . . + . Mà: .
Bài 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , , . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Góc giữa hai mặt phẳng và là thỏa mãn . Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
Ta có: ; .
Suy ra tứ giác là hình vuông.
Gọi là trung điểm ; là trung điểm ; là trung điểm .
Trong kẻ . Khi đó ta có:
(vì ).
(vì ).
; .
Ta có: .
Xét tam giác vuông tại có: .
. .
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có là hình chữ nhật cạnh , , vuông góc với mặt phẳng . Mặt phẳng tạo với đáy một góc sao cho . Gọi , , lần lượt là chân đường cao hạ từ lên các cạnh , , . Tính thể tích khối chóp ?
Lời giải
Ta có
Ta có
vuông cân tại là trung điểm .
vuông tại có ,
.
vuông tại có ,
, ,. . . Ta có: . Mà . Vậy .
Bài 4. Cho khối chóp có đường cao bằng 5 diện tích đáy bằng . Gọi lần lượt là trọng tâm các mặt bên . Tính thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm ?
Lời giải
Vì đồng dạng với theo tỉ số nên
Thể tích các khối chóp bằng nhau và bằng
Vậy thể tích cần tìm : .
Bài 5. Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Điểm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng
cắt tại . Tính thể tích khối đa diện ?
Lời giải
Có với . Ta chia khối đa
diện thành các khối tứ diện .
Ta có thể tích của tứ diện đều đã cho là .
.
.
Vậy .
Bài 6. Cho lăng trụ có chiều cao bằng 9 và diện tích đáy bằng 15. Gọi , theo thứ tự là các điểm trên các cạnh sao cho ,
. Gọi , lần lượt là trọng tâm các tam giác , . Tính thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , và ?
Lời giải Đặt . Ta có . Theo đề suy ra là hình bình hành. + Ta có và .
+ Vì và
.
Vậy .
Bài 7. Cho hình lập phương cạnh . Gọi là trung điểm của , thuộc cạnh thỏa mãn . Mặt phẳng chia khối lập phương thành hai khối, gọi là khối chứa điểm . Tính thể tích khối ?
Lời giải
Trong mặt phẳng , đường thẳng cắt lần lượt tại
; , . Khi đó là thiết diện của khối lập
phương cắt bởi .
Ta có: Ta có:
Mặt khác với một tứ diện cuông thì nên ta có:
Vậy
Bài 8. Cho hình lăng trụ có thể tích là .Gọi là trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho . Tính thể tích khối chóp
theo ? Lời giải Ta có: . Theo công thức tỷ số thể tích: . Ta có: .
. .
Vậy: .
Bài 9. Cho hình lăng trụ có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng . Gọi , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . Tính thể tích khối tứ diện ?
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh , là trọng tâm tam giác . Gọi là giao điểm của và và là giao điểm của và .
Ta có: .
Suy ra:
Vậy .
Bài 10. Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , và . Tính thể tích khối tứ diện ?
Lời giải
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và .
Ta có :
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và
(do )
Đặt diện tích tứ giác là . Ta có: