thể tích khối đa diện khác

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC Chuyên đề 14 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , P Q tâm mặt bên ABBA, BCC B, CDDC  DAAD Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q A 27 Câu B 30 C 18 D 36 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M , N , P , Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB , SBC , SCD , SDA S ' điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S '.MNPQ 20 14a 81 A Câu 40 14a 81 B 10 14a3 81 C 14a D (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a O tâm đáy Gọi M , N , P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA S  điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ 40 10a 81 A Câu 10 10a 81 B 20 10a 81 C 10a D (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M , N , P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA S  điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ 6a A Câu 10 6a C 81 20 6a 81 D (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a O tâm đáy Gọi M , N , P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA S  điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ 2a A Câu 40 6a 81 B 20 2a 81 B 40 2a 81 C 10 2a D 81 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 4a , cạnh bên 3a O tâm đáy Gọi M , N , P , Q hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCD) ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ 4a A 64a B 81 128a C 81 2a D Trang Câu 3a (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên O tâm đáy Gọi M , N , P Q hình chiếu vng góc O mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  a A 48 Câu 2a B 81  SDA  Thể tích khối chóp O.MNPQ a3 C 81 a D 96 3a Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 3a , cạnh bên O tâm đáy Gọi M , N , P Q hình chiếu vng góc O mặt phẳng ( SAB) , ( SBC ) , ( SCD) ( SAD) Thể tích khối chóp O.MNPQ 9a 2a 9a A 16 B C 32 Câu a3 D (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên a O tâm đáy Gọi M , N , P Q hình chiếu vng góc O lên mặt SAB  SBC   SCD SDA phẳng  , ,  Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng: 8a a3 a3 16a A 81 B C 12 D 81 Câu 10 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình vng ABCD ABEF có cạnh , nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi S điểm đối xứng B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF A Câu 11 11 B 12 C D (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABBA, ACC A BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A Câu 12 B 10 C D 12 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P 40 A Trang 14 D (Mã 103 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N , P tâm mặt bên ABBA, ACC A, BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A Câu 13 B 20 C B 16 28 C D 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 30 Câu 15 B 36 C 27 D 21 (Chuyên Hạ Long -2019) thể tích bát diện cạnh a a 3 a 6a B 6a C D a Lời giải Ta có khối bát diện cạnh a tạo từ khối chóp tứ giác có cạnh đáy cạnh bên a  a 3 h Chiều cao khối chóp là: Thể tích khối chóp: Vchop Vậy thể tích khối bát diện là:  2 a 6 a       a a3  a  2 (đvtt) V  2Vchop  a (đvtt) Câu 16 Cho hình lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có đỉnh tâm mặt hình lập phương 3 3 a a a a A B C 12 D Câu 17 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABC D Khoảng cách 2a 2a a AB BC , BC AB , AC BD Thể tích khối hộp 3 3 A 8a B 4a C 2a D a Câu 18 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a , BC  2a , AC '  3a Điểm N thuộc cạnh BB ' cho BN  NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' cho D ' M  MD Mặt phẳng  A ' MN  chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' Trang 3 A 4a Câu 19 B a C 2a D 3a (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA  ABC  60 Gọi A , B , C  tương ứng điểm đối xứng A , B , C qua S Thể tích V khối bát diện có mặt ABC , ABC  , ABC , BCA , C AB , ABC  , BAC  , CAB mặt phẳng A Câu 20 V 3a3 B V  3a C V 3a D V 3a 3 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S tâm mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S a3 A 24 Câu 21 a3 C 12 a3 D (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P trung điểm cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 Câu 22 a3 B B 24 C 20 D 18 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao đáy hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P Q trọng tâm mặt bên SAB, SBC , SCD SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M , N , P, Q, B D 50 25 A B C 30 D Câu 23 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có AA '  , đáy ABCD hình thoi với ABC tam giác cạnh Gọi M , N , P trung điểm B ' C ' , C ' D ' , DD ' Q thuộc cạnh BC cho QC  3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ A 3 Câu 24 3 B C (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh bằnga Gọi S điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' Trang D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a A Câu 25 3 a B a C a3 D (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD o · hình thoi tâm O, cạnh a BAC  60 Gọi I, J tâm mặt bên ABBA, CDDC  Biết a , AA  2a góc hai mặt phẳng AI   ABBA  ,  ABC D  o 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ 3a A 64 Câu 26 3a B 48 3a C 32 3a D 192 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a M , K tương ứng trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N m a m, n  ¥ ,  m, n   trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK n với Giá trị m  n bằng: A 28 B 12 C 19 D 32 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy hình thoi có  · cạnh 4a , AA  8a , BAD  120 Gọi M , N , K trung điểm cạnh AB, BC , BD Thể tích khối da diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , K là: Câu 27 A 12 a Câu 28 28 3 a B C 16 a 40 3 a D (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp o với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần VSABFEN VBFDCNE Trang A Câu 29 B C D (Chun Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2 Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  Mặt phẳng    qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD M , N , P Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP 64 2 B 32 A Câu 30 108 C 125 D (Chuyên Thái Ngun - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B , AB  , SA  SB  SC  12 Gọi M , N , E trung điểm AC , BC , AB Trên cạnh BF  SB lấy điểm F cho BS Thể tích khối tứ diện MNEF 34 A Câu 31 34 B 34 C 16 34 D G ,G ,G ,G (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi trọng G G GG tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện là: V V V V A 12 B C 27 D 18 Câu 32 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D tích V Gọi M điểm thuộc cạnh BB cho BM  MB Mặt phẳng ( ) qua M vuông góc với AC  cắt V1 cạnh DD, DC , BC N , P, Q Gọi V1 thể tích khối đa diện CPQMNC  Tính tỷ số V 31 A 162 Câu 33 35 B 162 34 C 162 13 D 162 A (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện ABCD tích 18 Gọi trọng tâm tam giác BCD ;  P  mặt phẳng qua A cho góc  P  mặt phẳng  BCD  600 Các P AA1 B ;C ; D đường thẳng qua B; C; D song song với cắt   1 Thể tích khối tứ diện A1 B1C1 D1 Trang bằng? TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 Câu 34 B 18 C D 12 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, ( SCD ) cho tổng cạnh bên a Xét điểm M thay đổi mặt phẳng Q = MA2 + MB2 + MC + MD + MS2 nhỏ Gọi V1 thể tích khối chóp S.ABCD V2 V2 thể tích khối chóp M ACD Tỉ số V1 11 22 11 A 140 B 35 C 70 Câu 35 11 D 35 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên tạo với đường o cao góc 30 , O trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp thứ hai O A ' B ' C ' có S tâm tam giác A ' B ' C ' cạnh bên hình chóp O A ' B ' C ' tạo với đường cao góc 60 cho o V cạnh bên SA, SB, SC cắt cạnh bên OA ', OB ', OC ' Gọi phần thể tích phần V1 V chung hai khối chóp S ABC O A ' B ' C ', thể tích khối chóp S ABC Tỉ số V2 bằng: 9 27 A 16 B C 64 D 64 Câu 36 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , tâm đáy O Gọi M , N tương ứng trung điểm cạnh SA , SC Gọi E giao điểm SD mặt phẳng  BMN  Tính thể tích V khối chóp O.BMEN A Câu 37 V a3 18 B V a3 24 C V a3 12 D V a3 36 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với 0 đáy góc 60 Mặt phẳng (P) chứa AB tạo với đáy góc 30 cắt SC, SD M N Tính thể tích V khối chóp S.ABMN theo a A Câu 38 V a3 B V 5a 3 48 C V a3 D V a3 16 (Nguyễn Huệ - Phú n - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao diện tích đáy 11 Gọi M trung điểm AA, N điểm cạnh BB cho BN  3BN P MNP  điểm cạnh CC  cho 6CP  5C P Mặt phẳng  cắt cạnh DD Q Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q 88 220 A B 42 C 44 D Câu 39 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, mặt bên  SAB  tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy  ABCD  có diện tích Trang 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB song song với mặt đáy  ABCD  chia khối chóp S ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V  B V  24 C V  36 D V  12 Câu 40 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao 0 góc 30 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 45 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho?     3 a  a3 A Câu 41 64 B 32    C 64  27  a  a3 D 64 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành có  ABCD  4a Gọi L trọng tâm diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng  LTV  chia tam giác ACD ; gọi T V trung điểm cạnh SB SC Mặt phẳng hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S 20a A Câu 42 B 8a 28a C 32a D (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A 12 Câu 43 C 12 D (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P, Q, R trung điểm cạnh AB, AD, AC , DC , BD G trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V V A Trang B V B V C 2V D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 44 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC  tích Gọi M , N P điểm nằm cạnh AB , BC  BC cho M trung điểm AB , BN  BC  BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' BP  23 B 23 A 59 C 12 19 D THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC Chuyên đề 14 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , P Q tâm mặt bên ABBA, BCC B, CDDC  DAAD Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q A 27 B 30 C 18 Lời giải D 36 Chọn B Ta có VABCD ABC D  9.8  72 Gọi I , J , K , L trung điểm cạnh AA, BB, CC , DD suy VABCD.IJKL  36 A MIQ Do hình chóp đồng dạng với hình chóp A.BAD theo tỉ số nên 1 VA.MQI  VA BAD   8 2 VABCD.MNPQ  VABCD IJKL  4VA.MIQ  36   30 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M , N , P , Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB , SBC , SCD , SDA S ' điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S '.MNPQ Trang 20 14a 81 A Chọn 40 14a 81 B 10 14a 81 C Lời giải 14a D A Gọi G1 , G2 , G3 , G4 trọng tâm SAB, SBC , SCD, SDA E , F , G, H trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA 4 8a S MNPQ  4SG1G2G3G4  S EFGH  EG.HF  9 Ta có d  S ,  MNPQ    d  S ,  ABCD    d  O ,  MNPQ    d  S ,  ABCD    2d  O,  G1G2G3G4    d  S ,  ABCD    d  S ,  ABCD   5a 14  d  S ,  ABCD    5a 14 8a 20 a3 14 VS .MNPQ     81 Vậy Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a O tâm đáy Gọi M , N , P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA S  điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ 40 10a 81 A Trang 10 10 10a 81 B 20 10a 81 C Lời giải 10a D TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có AG4 AG3    G3G4 / / HE AE AH Tương tự  1 AG3 AG2    G2G3 / / HF   AF AH  1 ,     G G2G3  / /  DBC  Từ  d  G1;  G2G3G4    d  G ;  BCD    d  A;  BCD   G2G3 AG2   G GG AF Tam giác đồng dạng tam giác HEF HF SG2G3G4 1 2    S HEF  S ABC  S ABC 9 3 G G GG Thể tích khối tứ diện là: 1 1 V V  d  G1 ;  G2G3G4   SG2G3G4  d  A;  BCD   S ABC  VABCD  3 27 27 Câu 32 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D tích V Gọi M điểm thuộc cạnh BB cho BM  2MB Mặt phẳng ( ) qua M vng góc với AC  cắt V1 V   cạnh DD , DC , BC N , P, Q Gọi thể tích khối đa diện CPQMNC Tính tỷ số V 31 A 162 35 B 162 34 C 162 Lời giải 13 D 162 Chọn B Theo giả thiết ( )  DD  N , ( )  CD  P, ( )  BC  Q Từ tính chất hình lập phương ta có ( ACC )  BD suy BD  AC  BD //( ) , từ ta suy MN //BD; PQ //BD ta có DN  ND Trang 35  AB  BC  BC  ( ABC )  BC  AC     BC BC P , Q  Ta xác định vị trí sau: Ta có ( )//BC MQ //BC , ta BQ  2QC , theo PQ //BD ta lại có DP  PC Vậy điểm M , N , P, Q hoàn toàn xác định Gọi S điểm cạnh CC  thỏa mãn CS  SC  R điểm đường thẳng CC  thỏa mãn MBCR hình bình hành Khi ta có R nằm mặt phẳng ( ) ( MNS )//( ABC D) Đặt V0  VRCPQ ;V2  VC MSN V1  VRMNS  VC MSN  VRCPQ Đặt cạnh hình lập phương AB  3x ta có V  (3 x)3  27 x3  V SN SM SR  x RMNS     3x3  V  SM SN SC   C MSN 3 x3  x  x   x V1 2  35 V  CP CQ CR    RCPQ 6 27 x 162 V V1 35  Vậy V 162 Câu 33 A (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện ABCD tích 18 Gọi trọng tâm tam giác BCD ;  P  mặt phẳng qua A cho góc  P  mặt phẳng  BCD  600 Các P AA1 B ;C ; D đường thẳng qua B; C; D song song với cắt   1 Thể tích khối tứ diện A1 B1C1 D1 A 12 bằng? B 18 C Lời giải D 12 Chọn B C1 B1 A D1 A1 B D C A BC D Từ giả thiết trọng tâm tam giác BCD nên ta suy A trọng tâm tam giác 1 V  3VA A1BC  3VB AA1C V  3VA1 AB1C1  3VB1 AA1C1 Do A BCD A1 B1C1D1 Trang 36 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  d  B ; AA1CC1    d  B1 ; AA1CC1    VB AA1C  VB1 AA1C1  S  S   AA C  AA C 1 Mặt khác quan hệ song song nên  V  VA BCD  18 Vậy nên A1 B1C1D1 Câu 34 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, ( SCD ) cho tổng cạnh bên a Xét điểm M thay đổi mặt phẳng Q = MA2 + MB2 + MC + MD + MS2 nhỏ Gọi V1 thể tích khối chóp S.ABCD V2 V2 thể tích khối chóp M ACD Tỉ số V1 11 22 11 A 140 B 35 C 70 Lời giải Chọn C 11 D 35 uur uu r r Gọi O tâm hình vng ABCD I điểm đoạn thẳng SO cho 4IO + IS = uuur uur uuur uur uuur uuu r uuur uuu r uuur Q = MO +OA + MO +OB + MO +OC + MO +OD + MS Ta có: uuur uuur uuur uur uuur uu r2 = 4MO + MS + 4OA2 = MI + IO + MI + IS + 4OA2 = 5MI + 4IO2 + IS2 + 4OA2 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) 2 Vì 4IO + IS + 4OA = const nên Q nhỏ Û MI nhỏ Û M hình chiếu I (SCD) Gọi E trung điểm CD, H hình chiếu O trờn (SCD) ị M , H ẻ SE SO = Ta có a a 3a ,SE = , SH = 2 12a 11a SM SI Þ ME = SE - SM = = = Þ SM = 10 Vì SH SO d M ,(ABCD)) SACD V2 ( 11 11 = = = d( M ,(ABCD)) ME 11 35 70 = = Þ V1 d( S,(ABCD)) S ABCD d( S,(ABCD)) SE 35 Ta có Trang 37 Câu 35 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên tạo với đường o cao góc 30 , O trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp thứ hai O A ' B ' C ' có S tâm tam giác A ' B ' C ' cạnh bên hình chóp O A ' B ' C ' tạo với đường cao góc 60 cho o V cạnh bên SA, SB, SC cắt cạnh bên OA ', OB ', OC ' Gọi phần thể tích phần V1 V chung hai khối chóp S ABC O A ' B ' C ', thể tích khối chóp S ABC Tỉ số V2 bằng: 9 27 A 16 B C 64 D 64 Lời giải Chọn A Gọi E  OA ' SA; F  OB ' SB; G  OC ' SC V  VSEFGO ;V2  VS ABC Theo hình vẽ thể tích Đặt SO  x SO   ABC  Do S ABC hình chóp O tâm tam giác ABC nên OS   A ' B ' C '  Do O A ' B ' C ' hình chóp S tâm tam giác A ' B ' C ' nên  ABC  / /  A ' B ' C '  OA / / SA ' SO  OA; OS  SA ' Từ ta có Trang 38 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 o · o · Ta có theo kiện tốn ta có ASO  30 ; A ' OS  60 Ta có SE x x   SE   OE  SO 2 SO 2x   SA  SA SO   OA '  x OA ' OA SA x   OA   SA 2 SA '   SA '  x SO Ta có:  OA  AB  OA  x 3 A ' B '  SA '  A ' B '  SA '  3x Ta có: AB x x3 V2  VS ABC  x  12  3x  x3 3  x  4 VO A ' B 'C ' Ta có: VS EFG VS ABC  x  SE SF SG  SE    27 27 x 3      VS EFG    SA SB SC  SA   x  64 64 12     VO EFG VO A ' B ' C '  x  OE OF OG  OE    1 x 3    VO.EFG  VO A ' B 'C '      OA ' OB ' OC '  OA '   x  64 64 64   Trang 39 V1  VS EFG  VO EFG Câu 36 3 x3 3x V    364  64 V2 x 16 12 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , tâm đáy O Gọi M , N tương ứng trung điểm cạnh SA , SC Gọi E giao điểm SD mặt phẳng  BMN  Tính thể tích V khối chóp O.BMEN A V a3 18 B V a3 24 V C Lời giải a3 12 D V a3 36 Chọn D Gọi K  MN  SO , BK cắt SD E Kẻ OO / / BE Do MN đường trung bình SAC nên K trung điểm SO Suy VO BMEN  VS BMEN VS BME SM SE SE VS BNE SN SE SE     V SA SD SD V SC SD SD S BAD S BCD Ta có: SE VS BMEN  VS BME  VS BNE  VS ABCD SD Suy   Vì OO / / BE  O trung điểm ED Mặt khác: KE / / OO  E trung điểm SO SE   SD Do SE  EO  OD VS BMEN  VS ABCD Suy Ta có: S ABCD  a 2 a 2 a  BD  SO  SA  OA  SA       a        Xét SOA vng O có: a VS ABCD  S ABCD SO  Do đó: Trang 40 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 a a VS BMEN   6 36 Vậy (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với Câu 37 o o P đáy góc 60 Mặt phẳng   chứa AB tạo với đáy góc 30 cắt SC , SD M N Tính thể tích V khối chóp S ABMN theo a A V a3 B V 5a 3 48 V C Lời giải a3 D V a3 16 Chọn D AC  BD   O  SO   ABCD  Gọi (vì S ABCD hình chóp đều) Gọi I , J hình chiếu vng góc O DC , AB gọi SO   P    E    SDC  ,  ABCD    SOI  60 o   P  ,  ABCD    EJO  30 o Khi tam giác SIJ Mà E JO  30o  SJI  JE SI  1 phân giác góc SJI  F trung điểm (với JE  SI   F  ) Mặt khác CD //AB  CD //  P   CD //MN   Từ  1 SBC   2 suy MN đường trung bình tam giác SM SN   SC SD 1 VS ABM SM    VS ABM  VS ABC  VS ABCD V SC 2  S ABC  1 VS AMN  SM SN    V VS ACD  VS ABCD S AMN  V SC SD 2 4 Khi ta có  S ACD 1  VS ABMN  VS ABM  VS AMN  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD  * 8 Tam giác SIJ cạnh a  SO  a 1 a a3  VS ABCD  SO.S ABCD  a  3  2* a 3 a3 V   S ABMN 2* * 16 Thay   vào   ta Câu 38 (Nguyễn Huệ - Phú n - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao diện tích đáy 11 Gọi M trung điểm AA, N điểm cạnh BB cho BN  3BN P MNP  điểm cạnh CC  cho 6CP  5C P Mặt phẳng  cắt cạnh DD Q Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q Trang 41 88 A B 42 C 44 Lời giải 220 D Chọn B Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:  AM BN CP  VABC MNP     .VABC ABC   AA BB CC   Cho hình lăng trụ hình vẽ, Chứng minh: VABC MNP  VN ACB  VN ACPM VN ACB  VN ACPM VB ACC A BN BN VB ' ACB  VABC AB C  BB BB S ACPM  CP  AM   CP AM        S ACC A AA  CC  AA   CP AM   VN ACPM     VABC ABC   CC  AA  Từ ta suy điều phải chứng minh Bây ta áp dụng vào giải toán Trang 42  ADDA  //  BCC B    MQ   MNP    ADDA   NP //MQ   NP   MNP    BCC B  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: , tương tự ta có MN //PQ Do MNPQ hình bình hành Ta có OI đường trung bình hai hình thang AMPC BNQD suy 2OI  MA  PC  DQ  NB  MA PC BN DQ    AA CC  BB DD Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần cắt mặt phẳng VADB ADB  VBDC  BDC  44  BDDB  Do VABCD.MNPQ  VABD.MNQ  VBCD NPQ  MA BN DQ   CP BN DQ      VABD ABD      .VBCD BC D  AA BB DD   CC  BB DD   MA BN DQ CP BN DQ          VABC ABC  AA BB DD CC  BB DD     MA CP      VABC ABC  3.2   AA CC     MA CP     .VABC ABC   AA CC   1     .88  42  11  Câu 39 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, mặt bên  SAB  tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy  ABCD  có diện tích 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB song song với mặt đáy  ABCD  chia khối chóp S ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V  B V  24 C V  36 D V  12 Lời giải Chọn D Trang 43  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  Gọi H trung điểm AB Do SAB Ta có SSAB  AB 27 AB 3 3   SH    4  AB  3 2   1 81  VS ABCD  S ABCD SH  AB SH  3  3 2 (đvtt) Gọi G trọng tâm tam giác SAB , qua G kẻ đường thẳng song song với AB , cắt SA SB M , N Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P , qua M kẻ đường  MNPQ  mặt phẳng qua G song song thẳng song song với AD cắt SD Q Suy  ABCD  với SM SN SP SQ SG      Khi SA SB SC SD SH VS MNP SM SN SP   8      VS MNP  VS ABC  VS ABCD  VS ABCD SA SB SC   27 27 27 27 Có VS ABC VS MPQ Có VS ACD Vậy Câu 40 SM SP SQ   8      VS MPQ  VS ACD  VS ABCD  VS ABCD SA SC SD   27 27 27 27 VS MNPQ  VS MNP  VS MPQ  4 8 81 VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD   12 27 27 27 27 (đvtt) (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao 0 góc 30 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 45 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho?     3 a  a3 A 64 B 32  C Lời giải Chọn C Trang 44   64  27  a  a3 D 64 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Hai hình chóp A.BCD A.BC D hai hình chóp đều, có chung đường cao AA , A tâm tam giác BC D A tâm tam giác BCD ·  BCD  //  BC D ; AB  AC  AD  a ; BAA    ; ·AAB   Ta có: Do AB cắt AB M nên AB // AB Gọi N giao điểm AC AC  ; P giao điểm AD AD Tương tự ta có: AC  // AC , AD // AD Từ suy cạnh BCD BC D song song với đôi  MB AB  MA  AB   NC AC   NA AC     AB  AC  ; AB  AC MB NC    MA NA  MN // BC Ta có:  Tương tự ta có: NP // CD MP // BD  MNP  , H tâm tam giác Suy ra: MNP tam giác Gọi H giao điểm OO MNP  1 Trong tam giác AAD có: AA  AD.cos   a.cos  Đặt x  MH Hai tam giác AHM tam giác AHM vuông H cho:  AH  MH cot   x.cot   AA  x  cot   cot     2  AH  MH cot   x.cot  Từ  1  2 suy ra: a.cos   x  cot   cot    x  a.cos  cot   cot  Tam giác MNP có cạnh MN  x nên: SMNP MN 3 3x 3 a cos     4  cot   cot   Phần chung hai hình chóp A.BCD A.BC D hai hình chóp đỉnh A A có chung mặt đáy tam giác MNP Do thể tích là: Trang 45 1 a 3.cos3  V  S MNP  AH  AH   S MNP AA  3  cot   cot   V Với   30   45 Câu 41 32  9a  1     a3 64 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành có  ABCD  4a Gọi L trọng tâm diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng  LTV  chia tam giác ACD ; gọi T V trung điểm cạnh SB SC Mặt phẳng hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S 20a A B 8a 28a C Lời giải 32a D Chọn C V  VS ABCD  12a 4a  16a 3  LTV  cắt AB, CD M N cho MN / / BC / /TV Mặt phẳng  Đặt V  VS ADNMTV  VS ABMN  VS TVMN VS ADNM  V Ta có : Xét khối chóp S MNCB có đáy hình bình hành : SM SN SB SC a  1; b   1; c   2; d  2 SM SN ST SV VS TVMN a  b  c  d    VS TVMN  V  V 4abcd 8 Khi VS MNBC 1 7 28 V   V  V  V  16a  a 3 12 12 Do Câu 42 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) Trang 46 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 B C 12 Lời giải D Chọn A Gọi O tâm hình vng ABCD ta có SO chiều cao hình chóp Trong mặt phẳng ( SAD) gọi I giao điểm MN SD ta suy I trọng tâm tam SI NI   giác SAN SD NM Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi J giao điểm BN CD ta suy J trung điểm CD BN 1 d ( M , ( ABCD ))  SO VMABN  VS ABCD S  S ABCD 2 Ta có ABN suy (1) V  VS ABCD  VABM DJI Từ giả thiết ta có ( H ) (2) Xét khối chóp N ABM áp dụng cơng thức tính tỷ số thể tích ta có VNDJI NI ND NJ 1 5    VNDJI  VNABM VABM DJI  VNABM  VMABN VNABM NM NA NB 6 6 (3) Từ (1), (2) (3) ta tích ( H ) V( H )  VS ABCD  VS ABCD  12 ( H ) Vậy thể tích khối đa diện 12 Câu 43 (Tiên Lãng - Hải Phịng - 2020) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P, Q, R trung điểm cạnh AB, AD, AC , DC , BD G trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V Trang 47 V A V B V C Lời giải 2V D Chọn C Ta có VMNPQRG  VG MPQR  VN MPQR VG MPQR  VB MPQR  VB.PQR 3 2  VP BQR  VA.BQR 3 1  VA.BCD  V 12 VN MPQR  2VN MPR  2.VP.MNR 1  VC MNR  VC ABD  V Vậy Câu 44 VMNPQRG  1 V V V 12 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC  tích Gọi M , N P điểm nằm cạnh AB , BC  BC cho M trung điểm AB , BN  BC  BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' BP  Trang 48 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 23 B 23 A 59 C 12 Lời giải 19 D Chọn C EB EQ EP BP     Ta có EB EM EN BN d  E ,  ABC     d  B,  ABC    Suy S BMN BN BM   C  BA S B    A B C Mà ta lại có VE MBN  d  E ,  MBN   S MBN  VABC ABC   16 Và VE QPB EQ EP EB  EB       Ta lại có VE MNB EM EN EB  EB  27 26 VBQP.BMN  VE MBN  VEBQP  VE MBN 27 Suy Vậy  VAQPCAMNC   VABC ABC   VBQP BMN   26 59  27 12 Trang 49 ... tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A 12... A BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 20 C Lời giải B 14 D Chọn B Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  V  42  16 V Gọi thể tích khối đa diện lồi có đỉnh... tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) Trang