Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận - Chủ đề: Thể tích khối đa diện

Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận - Chủ đề: Thể tích khối đa diện với mục tiêu nhằm giúp học sinh nắm được kiến thức và thuật ngữ về các khối đa diện. Nếu các em không nắm vững những kiến thức này, câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh trong các khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trường Đại học Sư Phạm Huế Khoa Toán XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc SVTT: Trương Vũ Minh Triết Mã SV: 13S1011167 Lớp: Toán 4T Huế, ngày 12 tháng 04 năm 2017 * Bài toán 1: Người ta cắt tờ giấy hình vng cạnh 20cm để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp (như hình vẽ bên dưới) Tính thể tích lớn Vmax hình chóp tứ giác đó? A B E H F O G D  C  Giải: Đặt cạnh đáy hình chóp x ,  x  10 Suy ra, diện tích đáy S  x 2 x  x  Và, chiều cao hình chóp h  10       200  10 x 2 2  x 200  10 x Ta có: f ' ( x)  5 x(8  x) ; f ' ( x)   x  (do  x  10 ) 20  x Do đó, V  f ( x)  Do f (0)  f (10 2)  0, f (8 2)  Vậy, Vmax  256 10 256 10  f max  3 256 10 Nhiệm vụ HS em phải nắm kiến thức thuật ngữ “hình chóp tứ giác đều” Nếu em thất bại bước đầu, câu hỏi tự luận cho ta biết điều khả HS khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu Giả sử kiểm tra thuật ngữ “hình chóp tứ giác đều”, câu hỏi phù hợp sử dụng để kiểm tra kiến thức sau: Câu 1: Cho phát biểu sau hình chóp tứ giác đều: I Hình chóp có tất cạnh II Hình chóp có đáy hình vng III Hình chóp có tất góc tạo cạnh bên mặt đáy IV Hình chóp có tất góc tạo mặt bên mặt đáy V Hình chóp có hình chiếu đỉnh trùng với tâm mặt đáy Chọn số phát biểu đúng? A B C D (* Phương án nhiễu: “I Hình chóp có tất cạnh nhau” Nếu HS khơng nắm tính chất hình chóp tứ giác đều, cụ thể là, hình chóp tứ giác hình chóp có tất cạnh bên nhau, HS chọn phương án A (5 phát biểu đúng) Ngoài ra, phát biểu III IV, HS mơ hồ chưa phân biệt rõ hai định nghĩa góc đường thẳng với mặt phẳng góc hai mặt phẳng lúng túng việc lựa chọn phương án xác câu hỏi trắc nghiệm.) Tiếp theo, ta thấy yêu cầu cụ thể mà toán đặt tính thể tích lớn hình chóp tứ giác tạo Vì vậy, HS chắn phải nắm cơng thức tính thể tích hình chóp tứ giác tốn giải Ta kiểm tra kiến thức thông qua câu hỏi sau: Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy AB  2a , góc ASB  2     900  Gọi V thể tích khối chóp Kết sau sai? A V  B V  C V  D V  4a 4a 4a 3 4a 3 sin 2 sin  cos 2 sin  cot   1 2 sin  (* Phương án nhiễu: Phương án C D Ở câu hỏi này, HS dễ dàng thấy đáp án A B hoàn tồn khác Vì vậy, suy nghĩ HS phương án A B hai phương án C, D sau trình biến đổi đưa phương án A B Đối với câu hỏi này, HS không nắm vững công thức biến đổi lượng giác bản, HS chọn phương án xác, tâm lý phân vân phương án A B.) Tương tự vậy, viết câu hỏi TNKQ liên quan đến khía cạnh khác kiểm tra tốn gốc Câu 3: Cho tam giác ABC vng cân A, AB  AC  a , M trung điểm BC Trong miền tam giác ABM, lấy điểm E cho EB  EA F điểm đối xứng với E qua trục AM (xem hình) Giả sử EF  x Tìm khoảng giá trị x ? A B a 0 x a 0 x 0 xa 0 xa A a a F E B M C C D (* Phương án nhiễu: Phương án A Đối với câu hỏi này, HS không nắm rõ khái niệm miền tam giác lựa chọn phương án A Ngoài ra, đối tượng học sinh “sợ” hình học phẳng, HS chọn phương án C D nhìn trực quan EF nhỏ AB  AC  a ) Câu 4: Từ miếng bìa hình vng có cạnh 5cm, người ta cắt bốn góc bìa bốn tứ giác gập phần cịn lại miếng bìa để khối chóp tứ giác có cạnh đáy x (xem hình) Giả sử chiều cao khối chóp tứ giác Tính x ? x 1 x2 x3 x4 A B C D (* Phương án nhiễu: Câu hỏi không đặt nặng phương án nhiễu mà đòi hỏi HS nhiều trí tượng tượng hình học khơng gian HS phải thiết lập cơng thức tính x định lý Pythagoras thơng qua trí tưởng tượng khơng gian Từ đó, HS tính tốn tìm x Trong q trình tính tốn, HS khơng cẩn thận chuyển vế sai tính phương án C.) Câu 5: Cho hàm số y  x2  x x   ln x  x  Hệ thức hệ 2 thức sau đây? A y  xy ' ln y ' xy ' ln y '  2 C y  xy ' ln y ' xy ' ln y ' D y   2 B y  (* Phương án nhiễu: Đối với câu hỏi tính tốn địi hỏi độ xác kiên trì này, HS thường nhầm lẫn không đủ kiên trì bước tính tốn dẫn đến việc chọn phương án nhiễu A-B-C (đáp án D) Các phương án A-B-C tạo từ sai lầm nhỏ tính tốn HS lộn dấu, cộng trừ sai…) x   3x Câu 6: Tìm giá trị lớn hàm số f ( x)  khoảng (0; ) ? x2  A max f ( x)  (0; ) B max f ( x)  (0; ) (0; ) D max f ( x)  (0; ) C max f ( x)  (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-D Cũng Câu 5, phương án tạo từ sai lầm tính tốn HS, cụ thể đạo hàm hàm thức phân thức Trong câu hỏi này, HS tinh ý giảm tải q trình tính tốn cách biến đổi f ( x) x   3x (nhân lượng liên hợp) HS nhận thấy điều  2x 1  3x  x tránh phương án nhiễu A B.) dạng f ( x)  * Bài tốn 2: Cho hình chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB, SC theo thứ tự M, N Gọi V1 thể tích tứ diện SAMN; V thể tích tứ diện SABC Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tỉ số V1 ? V Giải: Gọi E trung điểm BC Đặt x  Ta có: S SM SN (0  x  1) ,y SB SC V1 SM SN   xy V SB.SC SSMN SSMG  SSNG SSMG SSNG    SSBC SSBC 2SSBE 2SSCE N G SSMN SM SG SN SG    ( x  y) (1) SSBC 2SB.SE 2SC.SE M A E S SM SN  xy (2) Lại có: SMN  SSBC SA.SB B Từ (1) (2) suy ra: xy  ( x  y)  (3x  1) y  x  y  V1 x2  xy   f ( x) Từ Vậy V 3x  Xét hàm số: f ( x)  f '( x)  1  x x   3 3x   0  x  1   x    x  y  3xy x2 1  , x   ;1 3x  2  x   ; f '( x )   x  x   x   3x  1  3x  x 1 f    f 1  ; f 2 2   3 Do đó: max f ( x)  x  1  x ;1 2  Vậy V1 V  ; max  V V C x  ; f ( x)  x  1  x ;1 2  Bài toán nằm chùm “Các toán S tính thể tích khối đa diện dựa vào phân tích khối cần tính thành tổng hiệu khối cách so sánh thể tích với khối đa diện A' khác” Với loại toán này, cụ thể Bài toán 2, C' người ta hay sử dụng kết sau B' Bài tốn bản: Cho hình chóp S.ABC Lấy A ', B ', C ' tương A C ứng cạnh SA, SB, SC Khi đó: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC B Chú ý: Kết điểm A ', B ', C ' có điểm A  A '; B  B '; C  C ' Nhiệm vụ HS em phải nắm toán Nếu em thất bại bước đầu, câu hỏi tự luận cho ta biết điều khả HS khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu Giả sử kiểm tra kiến thức toán trên, câu hỏi phù hợp sử dụng để kiểm tra kiến thức sau: Câu 1: Cho hình chóp S.ABC Lấy A ', B ', C ' tương ứng cạnh SA, SB, SC Hệ thức hệ thức sau đây? VS A ' B 'C ' VS ABC V B S A ' B 'C ' VS ABC V C S A ' B 'C ' VS ABC V D S A ' B 'C ' VS ABC A SA ' SB SC ' SA SB ' SC SA ' SB ' SC  SA SB SC ' SA SB ' SC '  SA ' SB SC SA ' SB ' SC '  SA SB SC  (* Phương án nhiễu: Câu hỏi đòi hỏi khả ghi nhớ HS Vì vậy, phương án nhiễu tạo cách đảo trật tự tỉ số.) Ngoài ra, Bài toán 2, để thiết lập mối quan hệ x y , HS phải biết công thức tính diện tích tam giác theo sin: S  1 ab sin C  ac sin B  bc sin A tính chất 2 trọng tâm tam giác Chúng ta kiểm tra kiến thức thông qua hai câu hỏi sau Câu 2: Trong tam giác I, II, III, IV, tam giác có đủ thơng tin để tính diện tích? Y 700 5cm Y 700 3cm 600 X Z X Z I) II) Y Y 5cm 5cm 600 X 7cm III) Z X Z IV) Câu 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hệ thức hệ thức sau đây? AB  AC AB  AC B AG  3( AB  AC ) C AG  2( AB  AC ) D AG  A AG  (* Phương án nhiễu: Khi gặp câu hỏi liên quan đến tính chất trọng tâm tam giác, HS thường ý đến tỉ số ; ; ;3 Đối với câu hỏi này, HS chọn phương án D 3 hay phương án A C sai sót q trình biến đổi, tính tốn.) Tương tự vậy, viết câu hỏi TNKQ liên quan đến khía cạnh khác kiểm tra tốn gốc Câu 4: Tính đạo hàm hàm số y  x ln x  x  x ln x x ln x  x  B y '  x ln x x ln x  x  C y '  ln x x ln x  x  D y '  ln x x 1 ? ln x A y '  (* Phương án nhiễu: Các phương án A-C-D HS vội vàng chọn phương án C D   u ' u ' v  uv '  thấy mẫu số ln x      Phương án A lựa chọn HS nhớ sai dấu  v  v2   cơng thức tính đạo hàm hàm phân thức.) ( x  1)2  Câu 5: Cho f ( x)  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số x2  y  f ( x) f (1  x) đoạn  1;1 1;1 1;1 25 7 B y   34; max y  1;1  1;1 A y   34; max y   34 ; max y  1;1 1;1 7  34 ; max y  D y  1;1 1;1 C y  (* Phương án nhiễu: Các phương án B-C-D Ta xem xét phương án nhiễu sau: Ta có: y  f ( x) f (1  x)  1 x (1  x)2  x(1  x)   Đặt t  x(1  x)  2;  , x   1;1 , 2 x (1  x)  x(1  x)  4  t  8t  2  34 y Sau q trình tính tốn, y '   t  Do đọc khơng kĩ đề, HS t  2t  nhầm lẫn yêu cầu toán hàm số y  f ( x) f (1  x) đạt cực trị điểm nào? nên HS phân vân phương án C D Tiếp theo, ta có: y(2)  7 1  34 ; y( )  ; y( )   34 HS 25 nhầm lẫn ba giá trị dẫn đến việc lựa chọn phương án A.) * Bài toán 3: Cho khối lăng trụ tam giác A C ABC A ' B ' C ' Các mặt phẳng ( ABC '),( A ' B ' C) chia lăng trụ thành bốn phần Tính tỷ số thể tích bốn M phần đó? B Giải: Gọi V1  VC.MNC ' ;V2  VC '.MNB ' A' N V3  VC.MNBA ;V4  VMNABB ' A' A' C' V thể tích lăng trụ Ta có: VC A' B 'C '  V1  V2 Mặt khác: V1 VC A ' B 'C '  B' CM CN CC ' 1 V V V V   V1   ;V2  V   CA '.CB '.CC ' 4 12 12 V3  VC ' ABC  VC.MNC '  VC A' B 'C '  VC.MNC '  V2 V4  V  V1  V2  V3  5V 12 Vậy V1 : V2 : V3 : V4  1: 3: 3: Tương tự Bài toán 2, nhiệm vụ HS em phải nắm toán đề cập Bài toán Nếu em thất bại bước đầu, câu hỏi tự luận cho ta biết điều khả HS khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu Giả sử kiểm tra kiến thức toán bản, ta sử dụng câu hỏi khác để kiểm tra kiến thức Câu 1: Cho hình chóp S.ABC Lấy A ', B ', C ' S trung điểm SA, SB, SC (xem hình) Tính V tỷ số thể tích A ' B 'C ' ABC ? VS ABC C' V A' A A ' B 'C ' ABC  VS ABC B B' VA ' B 'C ' ABC  VS ABC C VA ' B 'C ' ABC  VS ABC D VA ' B 'C ' ABC  VS ABC C A B (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-C Đối với phương án A, HS nhận xét chủ quan hai khối đa diện có chung đáy ABC chiều cao khối A ' B ' C ' ABC nửa chiều cao khối chóp S.ABC nên lựa chọn phương án A Ngồi ra, HS chọn phương án B C dựa cách nhìn chủ quan mình.) Trở lại Bài tốn 3, thay câu hỏi Tính tỷ số thể tích bốn phần đó?, tách thành các câu hỏi TNKQ nhỏ, tức so sánh thể tích phần so với thể tích hình lăng trụ gốc Việc so sánh thể tích phần nhỏ so với hình lăng trụ gốc gây nhiều khó khăn, nhầm lẫn cho HS Cụ thể, ta có câu hỏi TNKQ sau Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác A C ABC A ' B ' C ' Các mặt phẳng ( ABC '),( A ' B ' C) chia lăng trụ thành bốn phần Tính tỷ số A VMNABB ' A ' ? VABCA ' B 'C ' M B VMNABB ' A '  VABCA ' B 'C ' V B MNABB ' A '  VABCA ' B 'C ' C VMNABB ' A '  VABCA ' B 'C ' 12 D VMNABB ' A '  VABCA ' B 'C ' N A' C' B' (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-D Đối với phương A, HS nhận xét chủ quan khối đa diện MNABB ' A ' khối lăng trụ có chung đáy ABA ' B ' chiều cao khối MNABB ' A ' nửa chiều cao khối lăng trụ nên lựa chọn phương án A Đối với phương án D, HS tính thể tích khối C ABB ' A ' thể tích khối lăng trụ chủ quan việc nhận xét thể tích khối MNABB ' A ' nửa thể tích khối C ABB ' A ' dẫn đến việc lựa chọn phương án D Ngồi ra, phần lớn HS với cách nhìn chủ quan cho thể tích khối MNABB ' A ' thể tích khối lăng trụ nên lựa chọn phương án B.) ...  Bài tốn nằm chùm “Các tốn S tính thể tích khối đa diện dựa vào phân tích khối cần tính thành tổng hiệu khối cách so sánh thể tích với khối đa diện A' khác” Với loại toán này, cụ thể Bài toán. .. nhìn chủ quan mình.) Trở lại Bài tốn 3, thay câu hỏi Tính tỷ số thể tích bốn phần đó?, tách thành các câu hỏi TNKQ nhỏ, tức so sánh thể tích phần so với thể tích hình lăng trụ gốc Việc so sánh thể. .. phương án A Đối với phương án D, HS tính thể tích khối C ABB ' A ' thể tích khối lăng trụ chủ quan việc nhận xét thể tích khối MNABB ' A ' nửa thể tích khối C ABB ' A ' dẫn đến việc lựa chọn phương