Bài tập lớn: Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận - Chủ đề: Câu hỏi phụ khảo sát hàm số đưa ra một vài ví dụ cụ thể về việc xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận trong chủ đề câu hỏi phụ khảo sát hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo.
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN BÀI TẬP LỚN XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ Họ tên sinh viên : NGUYỄN THỊ KIM THOA Giảng viên hướng dẫn: THẦY NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Lớp : Toán 4T Mã sinh viên : 13S1011145 Huế, 04/2017 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán 1: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒎𝒙𝟐 + 𝒎𝟐 + 𝒎 có đồ thị là (𝑪𝒎) Với giá trị 𝒎 đồ thị (𝑪𝒎) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 𝟏𝟐𝟎𝟎 ? Bài giải: Ta có 𝑦′ = 4𝑥 $ + 4𝑚𝑥; 𝑦 % = ⇔ 4𝑥 (𝑥 & + 𝑚) = ⇔ 𝑥=0 𝑥 & = −𝑚 Hàm số cho có ba cực trị ⇔ 𝑦 % = có ba nghiệm phân biệt ⇔ 𝑥 & = −𝑚 có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ 𝑚 < Khi điểm cực trị (𝐶𝑚) là: 𝐴(0; 𝑚& + 𝑚), 𝐵, 𝐶(−√−𝑚; 𝑚) ?????⃗ 𝐴𝐵 = , ?????⃗ 𝐴𝐶 = (−√−𝑚; −𝑚& ) Tam giác ABC cân A nên góc 120' góc A """# """# AB AC - -m -m + m ! A = 120 Û cosA = - Û """# """# = - Û =4 2 m -m AB AC ⇔ 𝑚 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑚 + 𝑚( ( ( ( E = − ⇒ 2𝑚 + 2𝑚 = 𝑚 − 𝑚 ⇔ 3𝑚 + 𝑚 = ⇔ 𝑚( − 𝑚 𝑚=−! √3 Vậy giá trị 𝑚 thoả yêu cầu toán m = - 3 NGUYỄN THỊ KIM THOA TỐN 4T Phân tích: Nhiệm vụ học sinh phải hiểu cực trị hàm số trùng phương, từ tìm 𝑦 % , bước liên quan đến kiến thức cực trị hàm số trùng phương Sau học sinh nhận em có đủ thơng tin để tìm giá trị 𝑚 cho đồ thị (𝐶𝑚) có ba điểm cực trị, nghĩa phương trình 𝑦 % = có ba nghiệm phân biệt Tiếp theo, học sinh cần phải tìm toạ độ điểm cực trị Tiếp theo, học sinh nhận tam giác ABC cân A nên góc 120' góc A, nhiệm vụ học sinh phải tìm 𝑚 để 𝐴J = 120' , học sinh phải nhận em có đủ thơng tin để tìm 𝑚 thơng tin có cơng thức tính cosin góc hai vectơ ?????⃗ 𝐴𝐵, ?????⃗ 𝐴𝐶 công cụ phù hợp để sử dụng Cuối tiến hành q trình tính tốn… Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng câu hỏi cố gắng để làm nhiều thứ lúc Nếu em thất bại bước đầu, học sinh khơng biết muốn tìm m để hàm số có ba cực trị ta phải tính 𝑦 % , câu hỏi tự luận khơng thể cho ta biết điều khả học sinh khía cạnh khác câu hỏi như: tính 𝑦 % để tìm m cho hàm số có ba cực trị, tìm toạ độ điểm cực trị, cơng thức tính cosin góc hai vectơ, Trắc nghiệm khách quan cho hội để tìm phần câu hỏi học sinh trả lời Sau câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra số khía cạnh xuất toán trên: Với khái niệm cực trị, câu hỏi phù hợp sử dụng để kiểm tra kiến thức sau: Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 ( + 2𝑥 & + Hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số cho nghiệm phương trình sau đây? A −4𝑥 $ + 𝑥 = C 𝑥 $ − 𝑥 = B 4𝑥 $ + 𝑥 = D 𝑥 $ + 𝑥 = Muốn làm câu này, học sinh phải biết hoành độ điểm cực trị hàm số trùng phương nghiệm phương trình 𝑦 % = ⇔ −4𝑥 $ + 4𝑥 = ⇔ 𝑥 $ − 𝑥 = Đáp án C NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T Các đáp án nhiễu A, B dễ gây nhầm lẫn cho học sinh học sinh thường đạo hàm biểu thức có chứa −4𝑥 $ Bước thứ hai tốn tìm 𝑚 để đồ thị (𝐶𝑚) có ba điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra kiến thức là: Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 ( + 2𝑚𝑥 & + Giá trị 𝑚 để hàm số cho có ba cực trị là: A 𝑚 < B 𝑚 = C 𝑚 > ( D 𝑚 ≠ ) é x=0 ë x = -m Đầu tiên ta tính: 𝑦′ = 4𝑥 $ + 4𝑚𝑥; y¢ = Û x x + m = Û ê Ở câu hỏi 1, ta biết hoành độ điểm cực trị hàm số trùng phương nghiệm phương trình 𝑦 % = 0, nên câu hỏi 2, học sinh phải hiểu rằng: Hàm số cho có ba cực trị ⇔ 𝑦 % = có ba nghiệm phân biệt ⇔ 𝑥 & = −𝑚 có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ 𝑚 < Đáp án A Bước tốn tìm toạ độ điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra khả là: Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 ( − 2𝑥 & + Toạ độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho là: A (0; 5), (1; −4), (−1; 4) B (0; −5), (1; 4), (−1; −4) C (0; −5), (1; −4), (−1; 4) D (0; 5), (1; 4), (−1; 4) Ta cần tìm nghiệm phương trình 𝑦 % = 0, thay giá trị x tìm vào 𝑦 = 𝑥 ( − 2𝑥 & + ta tìm y Đáp án D Việc nhận dạng tam giác tạo ba điểm cực trị trường hợp quan trọng, giúp ta biết góc 120' góc Lúc tốn trở nên dễ dàng Một cầu hỏi để kiểm tra khía cạnh là: Câu 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 ( + 𝑏𝑥 & + 𝑐 (𝑚 ≠ 0) có ba cực trị Tam giác tạo ba điểm cực trị M, N, P đồ thị hàm số cho có đặc điểm gì? A MNP tam giác vng B MNP tam giác C MNP tam giác cân D MNP tam giác có góc tù NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T Đối với học sinh có lực học trung bình, câu hỏi khó Học sinh nhận đặc điểm tam giác dựa vào toạ độ đỉnh, cụ thể có đỉnh thuộc trục tung, hai đỉnh lại đối xứng qua trục tung Hoặc nhận tam giác tam giác cân dựa vào toán khảo sát hàm số hàm số trùng phương (nếu học sinh học) Đáp án C Bước cuối tốn xác định góc 120' , từ áp dụng cơng thức tính cosin góc hai vectơ để tìm 𝑚 Câu 5: Cho tam giác ABC cân 𝐴 với 𝐴(0; 𝑚& + 𝑚), 𝐵(𝑚; 𝑚), 𝐶 (−𝑚; 𝑚) với 𝑚 ≠ Giá trị 𝑚 để tam giác ABC có góc 120' là: A 𝑚 = ±√3; 𝑚 = ± B 𝑚 = ± √$ $ √$ $ C 𝑚 = √3 D 𝑚 = ±√3 Tam giác ABC cân 𝐴 nên góc 120' góc 𝐴 ?????⃗ 𝐴𝐵 = (𝑚; −𝑚& ), ?????⃗ 𝐴𝐶 = (−𝑚; −𝑚& ) !!!" !!!" AB AC -m + m Aˆ = 1200 Û cosA = - Û !!!" !!!" = - Û = 2 m + m4 AB AC & ( & ( ( & ⇒ −2𝑚 + 2𝑚 = −𝑚 − 𝑚 ⇔ 3𝑚 − 𝑚 = ⇔ E 𝑚 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖) √3 𝑚=± Đáp án B Bài toán 2: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 có đồ thị (𝑪) Gọi 𝒅𝒌 đường thẳng qua điểm 𝑨(−𝟏; 𝟎) với hệ số góc k Tìm k để đường thẳng 𝒅𝒌 cắt đồ thị (𝑪) ba điểm phân biệt A, B, C hai giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài giải: Ta có: 𝑑, : 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ⇔ 𝑘𝑥 − 𝑦 + 𝑘 = NGUYỄN THỊ KIM THOA TỐN 4T Phương trình hồnh độ giao điểm (𝐶) 𝑑, là: -./0 𝑥 $ − 3𝑥 & + = 𝑘𝑥 + 𝑘 ⇔ (𝑥 + 1)[(𝑥 − 2)& − 𝑘] = ⇔ \(-/&) " , 𝑑, cắt (𝐶) ba điểm phân biệt ⇔ (𝑥 − 2)& = 𝑘 có hai nghiệm phân biệt khác −1 ⇔ ] 𝑘>0 𝑘>0 ⇔^ (∗) (−1 − 2)& ≠ 𝑘 𝑘≠9 Khi giao điểm (𝐶) 𝑑, là: 𝐴(−1; 0), 𝐵(2 − √𝑘; 3𝑘 − 𝑘√𝑘), 𝐶(2 + √𝑘; 3𝑘 + 𝑘√𝑘) ?????⃗ 𝐵𝐶 = , 𝐵𝐶 = 2√𝑘 + 𝑘 $ = 2√𝑘√1 + 𝑘 & (vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9) d ( O, BC ) = d ( O, d k ) = k k +1 = k k +1 (vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9) Diện tích tam giác OBC là: S = k + k k k +1 =k k Theo giả thiết: 𝑆 = ⇔ 𝑘√𝑘 = ⇔ (√𝑘)$ = ⇔ 𝑘 = (thoả (∗)) Vậy giá trị 𝑘 cần tìm 𝑘 = Phân tích: Nhiệm vụ học sinh phải xác định vấn đề mà bải toán đặt ra, cụ thể tương giao đồ thị hàm số bậc ba đường thẳng Để làm tốn tương giao trước hết học sinh phải lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị, mà ta chưa có phương trình đường thẳng nên em phải lập phương trình đường thẳng 𝑑, qua điểm 𝐴(−1; 0) với hệ số góc k Sau đó, học sinh lập phương trình hồnh độ giao điểm (𝐶) 𝑑, Từ em tìm giá trị k để (𝐶) 𝑑, cắt ba điểm phân biệt, nghĩa phương trình hồnh độ giao điểm (𝐶) 𝑑, có ba nghiệm phân biệt Tiếp theo, học sinh suy toạ độ giao điểm (𝐶) 𝑑, gồm 𝐴(−1; 0), 𝐵, 𝐶 Sau đó, học sinh tính diện tích tam giác 𝑂𝐵𝐶 (đường thẳng 𝐵𝐶 𝑑, nên việc chọn cạnh đáy tam giác 𝑂𝐵𝐶 𝐵𝐶 giúp cho việc tính tốn dễ dàng hơn) NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T Cuối tiến hành q trình tính tốn để tìm 𝑚 diện tích tam giác 𝑂𝐵𝐶 đối chiếu điều kiện k kết luận Để kiểm kra kiến thức phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc k, sử dụng câu hỏi sau đây: Câu 1: Phương trình đường thẳng qua điểm 𝐴(1; −2) có hệ số góc a là: A 𝑎𝑥 − 𝑦 − 𝑎 − = B 𝑎𝑥 − 𝑦 − 𝑎 + = C −𝑎𝑥 + 𝑦 − 𝑎 − = D −𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑎 − = Phương trình đường thẳng có hệ số góc a có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Đường thẳng qua điểm 𝐴(1; −2) nên: −2 = 𝑎 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = −𝑎 − Đáp án A Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 $ − 3𝑥 & + có đồ thị (𝐶) đường thẳng 𝑑 có phương trình 𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥 − 4𝑚 − Giá trị 𝑚 để (𝐶) cắt 𝑑 ba điểm phân biệt là: A c 𝑚 > −4 𝑚 −& 𝑚 Ûí ỵ f ( ) = - 2m ¹ NGUYỄN THỊ KIM THOA TỐN 4T ì m > ïï ù mạ ùợ ỏp ỏn l A Bước tốn tính diện tích tam giác OBC theo 𝑚, để tính diện tích tam giác OBC học sinh cần tính độ dài đoạn BC khoảng cách từ O đến đường thẳng 𝐵𝐶, câu hỏi để kiểm tra khả Câu Câu 4: Câu 3: Cho 𝑀 (1; 2), 𝑁(−3; 0) Độ dài đoạn 𝑀𝑁 bằng: A 2√3 B 2√5 C 4√3 D 4√5 ???????⃗ 𝑀𝑁 = (−4; −2) ⇒ 𝑀𝑁 = f(−4)& + (−2)& = 2√5 Đáp án B Câu 4: Cho 𝑀(1; 2), 𝑁 (−3; 0) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng 𝑀𝑁 bằng: A B C D ???????⃗ = (−4; −2) Phương trình đường thẳng 𝑀𝑁 là: (𝑥 + 3) − 2(𝑦 − 0) = 𝑀𝑁 ⇔ 𝑥 − 2𝑦 + = 𝑑 (𝑂, 𝑀𝑁 ) = |0 − 2.0 + 3| f1& + (−2)& = √5 Đáp án A Việc tính độ dài đường cao tam giác 𝑂𝐵𝐶 cơng thức tính khoảng cách ngắn gọn, việc nhận thấy đường thẳng 𝐵𝐶 𝑑, Một câu hỏi để kiểm tra kỹ là: NGUYỄN THỊ KIM THOA TỐN 4T Câu 5: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 $ − 3𝑥 & + 4 có đồ thị (𝐶) đường thẳng 𝑑, : 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘 Giá trị k để (𝐶) 𝑑, cắt ba điểm phân biệt M, N cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng MN & là: √ A 𝑘 = −1 B 𝑘 = C 𝑘 = ±1 D 𝑘 ≠ ±1 Phương trình hoành độ giao điểm (𝐶) 𝑑, là: é x = -1 x3 - 3x + = kx + k Û ( x + 1) é( x - ) - k ù = Û ê ë û êë( x - ) = k 𝑑, cắt (𝐶) ba điểm phân biệt ⇔ (𝑥 − 2)& = 𝑘 có hai nghiệm phân biệt khác −1 ⇔] 𝑘>0 𝑘>0 ⇔^ (∗) & (−1 − 2) ≠ 𝑘 𝑘≠9 d ( O, MN ) = d (O, d k ) = 𝑑 (𝑂, 𝑀𝑁 ) = √2 ⇔ k k2 +1 𝑘 √𝑘 & +1 = = √2 k k2 +1 (vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9) ⇔ f𝑘 & + = 𝑘√2 ⇔ 𝑘 & = ⇒ 𝑘 = (vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9) Đáp án B Bài toán 3: Cho hàm số y = 2x - ( C ) x -1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận (𝑪) Tìm điểm M thuộc (𝑪) cho tiếp tuyến (𝑪) M vng góc với đường thẳng MI Bài giải: Giao điểm hai đường tiệm cận (𝐶 ) 𝐼 (1; 2) Gọi 𝑀(𝑎; 𝑏) ∈ (𝐶 ) Þb= 2a - ( a ¹ 1) a -1 ỉ è Phương trình tiếp tuyến d (𝐶 ) M ỗ a; y=- 2a - ữ l: a -1 ø 2a - + (a - 1) ( x - a) a - NGUYỄN THỊ KIM THOA Phương trình đường thẳng MI là: y = d vng góc với MI nên: - ( a - 1) ( a - 1) ( x - 1) + éa = = Û êa = ( a - 1) ë Vậy có hai điểm thoả yêu cầu toán là: 𝑀0 (0; 1), 𝑀& (2; 3) Phân tích: Nhiệm vụ học sinh phải tìm giao điểm I hai tiệm cận (𝐶) Sau học sinh viết phương trình tiếp tuyến d (𝐶) 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) ∈ (𝐶) (lưu ý biểu diễn 𝑦5 theo 𝑥5 ) Tiếp theo học sinh vết phương trình đường thẳng MI Từ giả thiết d vng góc với MI học sinh tìm m để tích hai hệ số góc hai đường thẳng −1, tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến hai đường thẳng 0… Từ tốn tự luận trên, để kiếm tra khía cạnh tốn giao điểm hai đường tiệm cận, phương trình tiếp tuyến, phương trình đường thẳng qua hai điểm, hai đường thẳng vng góc,… ta sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau: Đầu tiên để kiểm tra kiến thức toạ độ giao điểm hai đường tiệm cận, câu hỏi phù hợp sử dụng là: Câu 1: Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (𝐶) Khẳng định sau đúng? x -1 A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = tiệm cận ngang y = - B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = −1 tiệm cận ngang y = C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = - 3 tiệm cận ngang 𝑦 = 2 10 TOÁN 4T NGUYỄN THỊ KIM THOA D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = tiệm cận ngang 𝑦 = Đáp án D Từ hai đường tiệm cận vừa tìm học sinh dễ dàng suy toạ độ giao điểm hai đường tiệm cận toán tự luận Một kỹ thuật đơn giản quan trọng toán gọi toạ độ điểm 𝑀 cách tổng quát, câu hỏi sử dụng để kỹ thuật là: Câu 2: Cho hàm số y = 2x + ( C ) Gọi 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) điểm thuộc đồ thị (𝐶 ) x +1 (𝑥5 ≠ 1) 𝑥5 , 𝑦5 thoả mãn đẳng thức sau đây? A yo + = xo - B yo + = xo - C yo - = xo - D yo - = xo - 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) ∈ (𝐶 ) nên toạ độ điểm 𝑀 thoả mãn y = 𝑦5 = 2x + Suy x -1 2𝑥5 + 3 ⇔ 𝑦5 − = 𝑥5 − 𝑥5 − Đáp án C Bước toán viết phương trình tiếp tuyến (𝐶) 𝑀 Câu hỏi để kiểm tra khả là: Câu 3: Cho hàm số y = 2x + ( C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (𝐶) điểm có x +1 hồnh độ 𝑥5 = là: A 𝑥 + 𝑦 + = B 𝑥 − 𝑦 − = C 𝑥 − 𝑦 + = D 𝑥 + 𝑦 − = Phương trình tiếp tuyến 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) (𝐶) có dạng: y - yo = y¢ ( xo )( x - xo ) Û y - 2.0 + 1 = ( x - 0) Û x - y + = 0 + ( + 1)2 11 TOÁN 4T NGUYỄN THỊ KIM THOA Đáp án C Câu hỏi để kiểm tra hai đường thẳng vng góc là: m2 Câu 4: Cho hai đường thẳng 𝑑0 , 𝑑& có phương trình: y = x+ , 3 𝑥 − 𝑚𝑦 − = Giá trị m để 𝑑0 , 𝑑& vng góc với là: A 𝑚 ∈ {−3; 0} B 𝑚 ∈ {−3; 1} C 𝑚 ∈ {−1; 3} D 𝑚 ∈ {0; 3} m2 d1 : y = x + Û -m x - y + = 3 𝑑0 , 𝑑& vng góc với nên: −𝑚& + (−3) (−𝑚) = ém = Û -m2 + 3m = Û ê ëm = Đáp án D 12 TOÁN 4T ...NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán 1: Cho hàm số