Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
197,13 KB
Nội dung
www.MATHVN.com TỔNG HỢP 50 CÂU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 2x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B mà x−2 √ tam giác OAB thỏa mãn AB = OA Giải Cách Gọi M(xo ; yo ), (xo = 2) thuộc đồ thị hàm số Pt tiếp tuyến d M có dạng: 2xo −4 y− (x − xo ) = xo − (xo − 2)2 √ Do tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A, B tam giác OAB có AB = OA nên tam giác OAB vuông cân O Lúc tiếp tuyến d vuông góc với đường phân giác y = x y = −x +TH1: d vuông góc với đường phân giác y = x xo = ⇒ pt d : y = −x (loại) −4 2=4⇔ = −1 ⇔ (x − 2) Có: o (xo − 2)2 xo = ⇒ pt d : y = −x + +TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x −4 (−1) = −1 pt vô nghiệm Có (xo − 2)2 Vậy có tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán d : y = −x + OA π Cách nhận xét tam giác AOB vuông O nên ta có : sin(ABO) = = √ = sin AB nên tam giác AOB vuông cân O phương trình tiếp tuyến (C) điểm M = (xo ; yo ) có dạng : −4 2xo (x − x ) + y= o (xo − 2)2 xo − 2 xo 2xo dễ dàng tính A = ; B = 0; (xo − 2)2 yêu cầu toán lúc tương đương với việc tìm xo nghiệm phương trình 2xo2 xo2 ⇔ xo3 (xo − 4) = = (xo − 2)2 +) với xo = ta có phương trình tiếp tuyến : y = −x (loại) +) với xo = phương trình tiếp tuyến : y = −x + Bài 1 Tìm giá trị m để hàm số y = x3 − m.x2 + m2 − x có cực đại x1 , cực tiểu x2 đồng thời x1 ; x2 độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh huyền Giải Cách Mxđ: D = R Có y′ = x2 − mx + m2 − y′ = ⇔ x2 − mx + m2 − = Hàm số có cực đại x1 ,cực tiểu x2 thỏa yêu cầu toán pt y′ = có nghiệm phân biệt dương, triệttiêu đổi dấu qua nghiệm ∆ > 4 − m > −2 < m < √ ⇔ S>0 ⇔ m>0 ⇔ < m < (∗) ⇔ m>0 √ √ P > m2 − > m < − ∨ m > x + x = m Theo vi-et có: x1 x2 = m2 − √ 14 Mà x12 + x22 = ⇔ 2(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = ⇔ 2m2 − 4(m2 − 3) = ⇔ m = ± 2 www.mathvn.com √ www.MATHVN.com 14 thỏa yêu cầu toán Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m = Bài Tìm tất giá trị m cho đồ thị (Cm ) : y = mx3 + (m − 1)x2 + (4 − 3m)x + tồn điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (L) : x + 2y − = Giải Cách 1: Có y′ = mx2 + 2(m − 1)x + − 3m = −1 có nghiệm dương phân biệt Từ yêu cầu toán dẫn đến pt: y′ · − ⇔ mx2 + 2(m − 1)x + − 3m = có nghiệm dương phân biệt m = m=0 m=0 4m2 − 4m + > ∆′ > m = 0 0 < m < P>0 m Vậy m ∈ 0; ∪ giá trị cần tìm m ; 2 Cách 2: Có y′ = mx2 + 2(m − 1)x + − 3m = −1 có nghiệm dương phân biệt ⇔ mx2 + 2(m − 1)x + Từ yêu cầu toán dẫn đến pt: y′ · − 2 − 3m = (1) có nghiệm dương phân biệt Th1: m = từ (1) ta có x = −1 (loại) Th2: m = từ (1) ta có x = ±1 (loại) 2 − 3m Th3: m = 0; m = từ pt (1) có nghiệm x = ∨ x = m − 3m Điều kiện toán dẫn đến: : >0⇔0 Lúc :⇔ ⇔ < k = (∗′ ) g(2) = − k = x + x = −2 B C Theo vi-et ta có : Mà B,C thuộc d nên yB = kxB − 2k + 4; yC = kxC − 2k + xB xC = − k √ Có BC = 2 ⇔ BC2 = ⇔ (xB − xC )2 + k2 (xB − xC )2 = ⇔ (xB + xC )2 − 4xB xC (1 + k2 ) = ⇔ k3 + k − = ⇔ k = (thỏa đk (∗′ )) ⇒ pt d : y = x + Vậy đường thẳng d cần tìm có pt: y = x + www.mathvn.com www.MATHVN.com Bài Cho hàm số y = 4x3 − 6mx2 + 1, m tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + cắt đồ thị hàm số điểm A(0; 1), B,C B,C đối xứng qua đường phân giác thứ Giải Giao (C) (d) có hoành độ nghiệm phương trình: 4x3 − 6mx2 + = −x + ⇔ x(4x2 − 6mx + 1) = Để pt có n0 phân biệt 4x2 − 6mx + = có nghiệm phân biệt −2 ⇒ ∆′ = 9m2 − > ⇔ m > , m < 3 Gọi 1),C(x2 ; −x2 + 1) Để B C đối xứng qua đường phân giác thứ thì: B(x1 ; −x1 + x = −x + x = y 2 ⇔ ⇔ x1 + x2 = ⇔ m = ⇔ m = x2 = −x1 + y1 = x2 So sánh với đk, thấy không tìm m thỏa mãn Bài đề thi thử lần LQĐ Bình Định 2 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − 4,m tham số thực.Xác định m để hàm số cho có cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải Mxđ: D = R Có y′ = 4x3 − 4mx y′ = ⇔ 4x3 − 4mx = ⇔ x = ∨ x2 = m Hàm số có cực trị ⇔ m > (∗) √ √ 2 Gọi A(0; 2m − 4); B( m; m − 4);C(− m; m − 4) điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy A thuộc Oy nên ∆ABC cân A Kẻ AH⊥BC có S∆ABC = AH.BC ⇔ = |yB − yA | |2xB | √ ⇔ = 2m2 m ⇔ m = Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = giá trị cần tìm Bài x−2 Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B x+1 cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn Giải Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đường thẳng x = −1 tiệm cận ngang đường thẳng y = Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1; 1) Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị điểm có hoành độ x0 − (x − x0 ) + x0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: y = x0 + (x0 + 1) x0 − Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 điểm A −1; , cắt tiệm cận đứng điểm B (2x0 + 1; 1) x0 + x0 − −1 = ; IB = |2x0 + − (−1)| = 2|x0 + 1| Ta có:IA = |x0 + 1| x0 + 1 |x0 + 1| = 12 Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S = IA.IB = Nên: IA.IB = |x0 + 1| S Gọi p nửa chu vi tam giác IAB, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:r = = p p Bởi vậy, r lớn p nhỏ Mặt khác, tam giác IAB vuông I nên: √ √ √ √ √ 2p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB2 ≥ IA.IB + 2IA.IB = = + √ Dấu ’=’ xảy IA = IB ⇔ (x0 + 1)2 = ⇔ x = −1 ± √ √ - Với x = −1 − ta có tiếp tuyến: d1 : y = x + + √ √ - Với x = −1 + ta có tiếp tuyến: d1 : y = x + − Bài www.mathvn.com www.MATHVN.com 2mx + Gọi I giao điểm tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến hàm số cắt hai x−m tiệm cận A, B cho diện tích tam giác IAB 64 Giải Dễ thấy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận đứng đường thẳng x = m đường tiệm cận ngang y = 2m Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I (m; 2m) 2mx0 + (với x0 = m) điểm thuộc đồ thị hàm số cho Gọi M x0 ; x0 − m 2m2 + 2mx0 + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm là: y = − (x − x0 ) + x0 − m (x0 − m) 2mx0 + 2m + cắt tiệm cận ngang B (2x0 − m; 2m) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng A m; x0 − m 4m2 + 2mx0 + 2m2 + − 2m = ; IB = |2x0 − m − m| = |x0 − m| Ta có: IA = x0 − m x0 − m Nên diện tích tam giác IAB là: S = IA.IB = 4m2 + √ 58 Bởi vậy, yêu cầu toán tương đương với: 4m + = 64 ⇔ m = ± Bài Tìm m cho đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + m cắt trục hoành điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành có phần phần Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) Ox:x4 − 4x2 + m = (1) Đặt t = x2 ≥ Lúc có pt: t − 4t + m = (2) Để (C) cắt Ox điểm phân biệt pt (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiêm phân biệt t > ′ ∆ = − m > ⇔ S=4>0 ⇒ < m < (i) P = m > Cho hàm số y = Gọi t1 ;t2 (0 < t1 < t2 ) nghiệm pt (2) Lúc pt(1) có nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: √ √ √ √ x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 Do tính đối xứng đồ thị (C) nên có: x3 x4 x5 4x3 (x4 − 4x2 + m) dx = (−x4 + 4x2 − m) dx ⇒ − + mx4 = ⇒ 3x44 − 20x42 + 15m = x3 x4 − 4x2 + m = (3) Từ có x4 nghiệm hpt: 3x4 − 20x2 + 15m = (4) 4 9m2 20 3m 3m Thay x42 = vào (3) có: − 5m = ⇒ m = ∨ m = 2 20 Đối chiếu điều kiện (i) có m = giá trị cần tìm Bài 10 Cho hàm số y = x4 − 2(1 − m2 )x2 + m + Tìm m để hàm số cho có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải ′ y = 4x3 − 4x(1 − m2 ) = ⇔ x = 0, x2 = − m2 Hàm số có cực trị ⇔ −1 < m < Khi đó, tọa độ điểm cực đại A(0; + m), √ √ √ √ tọa độ điểm cực tiểu B(− − m2 ; − m2 );C( − m2 ; − m2 ) Lấy 3.(3) − (4) ⇒ x42 = www.mathvn.com www.MATHVN.com Diện tích tam giác ABC là: SABC = d(A; BC).BC = (1 − m2 ) ≤ Dấu = xảy m = Đáp số: m = Bài 11 −x + Cho hàm số y = có đồ thị (H) Tìm (H) điểm M để tiếp tuyến M có hệ số góc lớn x−3 √ tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − = góc có giá trị 25 Giải Vì chỉ√biết công thức tính cos góc từ vecto cho trước, cho kết cos đẹp cos( ) ≈ 0, 9999 ≈ nên em nghĩ áp dụng công thức tính cos góc vecto 25 − ; −1) Vecto phương dt ∆ : 3x+4y−1 = Gọi vecto phương pt tiếp tuyến M là: → u1 ( (x − 3)2 | + 3| (x − 3)2 → − → − → − là: u2 (4; −3) Có: cos ( u1 ; u2 ) = = ⇔ |8+3(x−3)2 | = + (x − 3)4 ⇔ (x−3)2 = ⇔ + (x − 3)4 x =? => M =? Bài 12 x+3 Cho hàm số y = có đồ thị (H) Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + hai điểm phân biệt x−2 A, B cho AOB nhọn Giải x+3 = −x + m + ⇔ x2 − (m + 2)x + 2m + = Giao (H) d có hoành độ nghiệm pt: x − m2 − 4m + 16 > Để pt có nghiệm pb ∆ > 0, x = ⇔ ⇒ m =? 22 − 2(m + 2) + 2m + = Gọi A(x1 ; −x1 + m + 1), B(x2 ; −x2 + m + 1) giao điểm (H) d Để AOB nhọn : AB2 < OA2 + AB2 ⇔ 2(x2 − x1 )2 < (−x1 + m + 1)2 + (−x2 + m + 1)2 ⇔ −2x1 x2 + (m + 1)(x1 + x2 ) − (m + 1)2 < ⇔ m > −3 Kết hợp với đk ban đầu để suy giá trị m Bài 13 x Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (H) hàm số cho biết tiếp tuyến x−1 √ tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi 2(2 + 2) Giải xo −1(x − xo ) + Cách đường tiệm cận đồ thị x = 1, y = Gọi pttt (H) M(xo ; yo ) là: y = (xo − 1) xo − xo + xo + Khi x = ⇒ y = ⇒ A(1; ) Khi y = ⇒ x = 2xo − ⇒ B(2xo − 1; 1), I(1; 1) xo − xo − √ xo + xo + ⇒ P(ABC) = IA + IB + AB = − + 2xo − + (2xo − 2)2 + (1 − ) = 2(2 + 2) xo − xo − √ ⇔ + 2(xo − 1)2 + (xo − 1)4 + = 2(2 + 2)(xo − 1) x − = (loại) o ⇔ √ √ √ −2(1 + 2)(xo − 1)2 + (2 + 2)2 (xo − 1) − 2(2 + 2) = Cách - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = −1 a a ), phương trình tiếp tuyến M: y = (x − a) + - Gọi M(a; a−1 (a − 1) a−1 www.mathvn.com www.MATHVN.com a+1 - Tọa độ giao điểm tiếp tuyến tiệm cận đứng là: A(1; ) a−1 - Tọa độ giao điểm tiếp tuyến tiệm cận ngang là: B(2a − 1; 1) √ - Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB + AB = 2, dấu + 2|a − 1| + (a − 1)2 + ≥ + |a − 1| (a − 1)2 = xảy |a − 1| = tức a = 0; a = - Với a = ⇒ y = −x - Với a = ⇒ y = −x + Kết luận: y = −x, y = −x + tiếp tuyến cần tìm Bài 14 2x − m (1) Chứng minh với m = đồ thị hàm số (1) cắt (d) : y = 2x − 2m Cho hàm số: y = mx + điểm phân biệt A, B thuộc đường (H) cố định Đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy điểm M, N Tìm m để SOAB = 3SOMN Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) đường thẳng d: 2x − m (2) = 2x − 2m ⇔ 2mx2 − 2m2 x − m = x = − mx + m Do m = nên (2) ⇔ f (x) = 2x2 − 2mx − = x = − (∗) m Để tồn điểm A, B pt (∗) phải có nghiệm phân biệt xA ; xB khác − m ′ ∆ = m + > ⇔ ⇔ ∀m = f (− ) = + = m m2 Mặt khác có xA xB = nên A, B thuộc đường (H) cố định |−2m| Kẻ OH⊥AB ⇒ OH = d(O,d) = √ Lại có A, B ∈ d ⇒ yA = 2xA − 2m; yB = 2xB − 2m xA + xB = m Theo viet có: xA xB = √ Có: AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = 5(xA − xB )2 = 5(xA + xB )2 − 20xA xB ⇔ AB = 5m2 + 10 Vì M, N giao điểm d với Ox, Oy nên M(m; 0); N(0; 2m) |−2m| √ Theo giả thiết :SOAB = 3SOMN ⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔ √ 5m2 + 10 = |xM | |yN | √ |−2m| √ ⇔ √ 5m + 10 = |m| |2m| ⇔ m2 + = |m| ⇔ m2 + = 9m2 ⇔ m = ± Vậy với m = ± giá trị cần tìm Bài 15 −x + Tìm (H) : y = điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB đường thẳng AB x−2 vuông góc với đường thẳng y = x Giải Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành độ giao điểm (H) đường thẳng AB: −x + = −x + m ⇔ g(x) = x2 − (m + 3)x + 2m + = (x = 2) (1) x−2 Để tồn điểm A, Bthì pt(1) cần có nghiệm phân biệt xA ; xB khác ∆ (m + 3)2 − 4(2m + 1) > g(x) > ⇔ ⇔ ⇔ (m − 1)2 + > 0; ∀m g(2) = 4 − (m + 3)2 + 2m + = www.mathvn.com x + x = m + B A Theo viet có xA xB = 2m + www.MATHVN.com Lại có: yA = −xA + m; yB = −xB + m Mà AB = ⇔ AB2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 + (yA − yB )2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 = ⇔ (xB + xA )2 − 4xA xB = ⇔ (m + 3)2 − 4(2m + 1) = ⇔ m2 − 2m − = ⇔ m = −1 ∨ m = √ √ +Với m = thay vào pt (1) có:x2 − 6x + = ⇔ x = ± ⇒ y = ± Lúc tọa độ điểm A, B √ √ √ √ √ √ √ √ A(3 + 2; − 2); B(3 − 2; 2) B(3 + 2; − 2); A(3 − 2; 2) √ √ +Với m = −1 thay vào pt (1) có: x2 − 2x − = ⇔ x = ± ⇒ y = −2 ± Lúc tọa độ điểm √ √ √ √ √ √ √ √ A, B A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) B(1 + 2; −2 − 2); A(1 − 2; −2 + 2) Vậy A, B điểm thỏa yêu cầu toán Bài 16 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − mx2 + m − cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ lớn −2 Giải √ Xét:x4 − mx2 + m + = ∆ = (m − 2)2 => ∆ = |m − 2| ⇒ x2 = m − 1(m > 1), x2 = √ √ Vậy giao điểm đồ thị (C) với trục hoành là: A(−1; 0), B(− m − 1; 0),C(1; 0), D( m − 1; 0) Để điểm có hoành độ >-2 thì: √ TH1:− m − > −1 ⇔ m < 2, kết hợp với đk ⇒ < m < √ TH2:−2 < − m − < −1| ⇔ < m < Vậy :m ∈ (1; 2) ∪ (2; 5) giá trị cần tìm Bài 17 x+3 Cho hàm số y = có đồ thị (H) Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) hai điểm x+2 −→ −→ phân biệt cho OA.OB = −4 với O gốc tọa độ Giải x+3 = 2x + 3m ⇒ 2x2 + 3(1 + m)x + 6m − = (1) có nghiệm phân biệt khác -2 - Xét phương trình: x+2 ∆ = 9m2 − 30m + 33 > điều xảy với m - Gọi nghiệm phương trình (1) x1 , x2 A(x1 , 2x1 + 3m), B(x2 , 2x2 + 3m) 12m − 15 −→ −→ - Có: OA.OB = −4 ⇒ x1 x2 + (2x1 + 3m)(2x2 + 3m) = −4 ⇒ = −4 ⇒ m = 12 Bài 18 3x − Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác đồ thị y = cho tam giác ABC vuông x−1 cân A(2; 1) Giải − → Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY phép tịnh tiến OI với I(1; 3) x = X + Công thức đổi trục: y = Y + Trong hệ tọa độ pt hàm số viết lại :Y = (1) điểm A trở thành A(1; −2) X 2 Xét điểm B a; ;C b; (a < < b) thuộc đồ thị hàm số (1) a b Gọi H, K hình chiếu B,C lên đường thẳng y = −2 ⇒ H(a; −2); K(b; −2) Có BAH + CAK = 900 = CAK + ACK ⇒ BAH = ACK AH = CK Vậy ∆AHB = ∆CKA (cạnh huyền_góc nhọn)⇒ (∗) BH = AK www.mathvn.com www.MATHVN.com 2 (1 − a) = + (2) b Lúc từ (∗) có hpt: + = |b − 1| (3) a 3b + −b − 2 −a − − =0⇔a= ∨a = Từ (2) có − a + b b b b 3b + 9b + = 0(4) 8b + 3b + từ (3) có = |b − 1| ⇒ Với a = b 3b + 3b2 + 7b + = 0(5) + Với (4) pt có nghiệm b = −1 ∨ b = −2 không thỏa b > + Với (5) pt có nghiệm b = − ∨ b = −2 không thỏa b > b2 + b − = 0(6) −b − Với a = từ (3) có = |b − 1| ⇒ b b+2 b2 + b + = 0(7) +Với (7) pt vô nghiệm +Với (6) pt có nghiệm b = ∨ b = −3 (loại) Khi b = ⇒ B(−2; −1);C(2; 1) ngược lại Lúc điểm B,C toán cần tìm là: B(−1; 2);C(3; 4) ngược lại Bài 19 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + m (1) Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho AOB = 120o Giải - Phương trình y′ = ⇔ x = 0, x = −2 - Tọa độ điểm cực trị đồ thị a(0; m), B(−2; m + 4) - Yêu cầu toán dẫn đến giải phương trình: √ −→ −→ √ 132 −12 + OA.OB = − ⇔ −2m(m + 4) = |m| m2 + 8m + 20 ⇔ m = 0, m = OA.OB 2√ −12 + 132 Đáp số: m = 0, m = Bài 20 đề thi thử đại học THPT Thanh Thủy lần tỉnh Phú Thọ 2x − có đồ thị (C) Cho hàm số y = x+1 √ Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: 2x − = x + m ⇔ f (x) = x2 + (m − 1)x + m + = (1) (x = −1) x+1 Để d cắt (C) điểm phân biệt A, B phương trình (2) có nghiệm phân biệt xA , xB khác −1 ∆ = (m − 1)2 − 4(m + 1) > x + x = − m B A (∗) Theo vi-et có : ⇔ f (−1) = − m + + m + = xA xB = m + √ Lại có A, B ∈ d ⇒ yA = xA + m; yB = xB + m Do AB = 2 ⇔ AB2 = ⇔ (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = ⇔ (xA + xB )2 − 4xA xB = ⇔ (1 − m)2 − 4(m + 1) = ⇔ m2 − 6m − = ⇔ m = −1 ∨ m = Đối chiếu điều kiện (∗) ta có m = −1; m = giá trị cần tìm Bài 21 3x − (C) Gọi I giao đường tiệm cận đồ thị Cho hàm số y = x+1 Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B thỏa mãn cos BAI = √ 26 Giải www.mathvn.com www.MATHVN.com Xét điểm M(xo ; yo ), (xo = −1) ∈ (C) tiếp điểm tiếp tuyến d 3xo − Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y − = (x − xo ) xo + (xo + 1)2 Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng , tiệm cận ngang A, B ∆IAB có cos BAI = √ 26 1 ⇒ tan BAI = ⇒ tan ABI = |5| nên tan BAI = −1 = |5| 25 cos2 BAI Lại có tan ABI hệ số góc tiếp tuyến d mà y′ (xo ) = >0 (xo + 1)2 nên = ⇔ (xo + 1)2 = ⇒ xo = ∨ xo = −2 (xo + 1) Với xo = có pt tiếp tuyến d : y = 5x − Với xo = −2 có pt tiếp tuyến d : y = 5x + Vậy có tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán có pt Bài 22 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + có đồ thị (Cm ).Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm ) có ba ; điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm D 5 Giải √ ′ y = 4x3 − 4mx = ⇔ x = 0, x = ± m (m > 0) Vậy điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp điểm √ √ Gọi I(x; y) tâm đường tròn(P) ; cực trị là: A(0; 2), B(− m; −m2 + 2),C( m; −m2 + 2), D 5 2 3x − y + = IA = ID √ √ ⇒ IB2 = IC2 ⇔ 2x m = −2x m ⇔ x = 0, y = 1, m = 0(loại), m = (x + √m)2 + (y + m2 − 2)2 = x2 + (y − 2)2 IB2 = IA2 Vậy m = giá trị cần tìm Bài 23 x4 Cho hàm số y = − 3x2 + có đồ thị (C) điểm A ∈ (C) với xA = a 2 Tìm giá trị thực a biết tiếp tuyến (C) A cắt đồ thị (C) điểm phân biệt B,C khác A cho AC = 3AB (B nằm A C) Giải a4 thuộc đồ thị (C) Cách Xét A a; − 3a2 + 2 a4 3a4 5 2 Phương trình tiếp tuyến A : y − = (2a − 6a)(x − a) ⇔ y = 2a(a − 3)x − − 3a + + 3a2 + 2 2 3a x4 + 3a2 + Phương trình hoành độ giao điểm (C) tiếp tuyến A − 3x2 + = 2a(a2 − 3)x − 2 2 x=a ⇔ (x − a)2 (x2 + 2ax + 3a2 − 6) = ⇔ f (x) = x2 + 2ax + 3a2 − = (1) Để tiếp tuyến A cắt (C) điểm khác A pt (1) cần có nghiệm phân biệt xB ; xC khác a B,C √ ∆′ = a2 − (3a2 − 6) > − < a < √3 ⇔ ⇔ (∗) f (a) = 6a2 − = a = ±1 − → − → Do AB = 3AC ⇒ AC = 3AB ⇒ xC − 3xB = −2a (2) x + x = −2a (3) B C Lại theo vi et có: xB xC = 3a2 − (4) √ Từ (2) (3) ⇒ xB = 0và xC = −2a Thế vào (4) có: 3a2 − = ⇔ a = ± ( thỏa (∗)) www.mathvn.com Kiểm tra: www.MATHVN.com √ √ 21 √ ; B 0; ;C −2 2; ⇒ AC = 3AB có A 2; − 2 √ √ √ 21 +Với a = − có A − 2; − ; B 0; ;C 2; ⇒ AC = 3AB 2 √ Vậy a = ± giá trị cần tìm a Cách Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số cho điểm A với xA = a là: a4 y = 2a3 − 6a (x − a) + − 3a2 + 2 PT hoành độ giao điểm tiếp tuyến với đồ thị (C): a4 x4 − 3x2 + = 2a3 − 6a (x − a) + − 3a2 + ⇔ (x − a)2 x2 + 2ax + 3a2 − = 2 2 Để có giao điểm A, B,C phương trình: √ − < a < √3 x2 + 2ax + 3a2 − = (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a ⇔ a = ±1 x + x = −2a B C Khi hoành độ B,C hai nghiệm phương trình (∗) nên: ⇔ xB xC = 3a2 − − → − → Mặt khác: AC = 3AB (B nằm A C) ⇔ AC = 3AB ⇔ xC − 3xB = −2a xB = xC − 3xB = −2a √ Ta có hệ: xB + xC = −2a ⇔ xC = −2a ⇔ a = ± thỏa mãn điều kiện xB xC = 3a2 − 3a2 − = √ Vậy giá trị cần tìm m là: a = ± Bài 24 Câu I ý đề thi thử đại học Vinh lần Cho hàm số y = x − (3m + 1)x2 + 2(m + 1) (m tham số) Tìm m để hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ O Giải y′ = x3 − 2(3m + 1)x = ⇔ x = 0, x2 = 2(3m + 1) Hàm số có cực trị m > − , tọa độ điểm cực trị đồ thị √ √ A(0; 2m + 2), B(− 6m + 2; −9m2 − 4m + 1),C( 6m + 2; −9m2 − 4m + 1) Tam giác ABC có trọng tâm O khi: −18m2 − 6m + = ⇔ m = − , m = 3 Đáp số: m = Bài 25 Câu I ý đề thi thử đại học lần THPT Trung Giả Cho hàm số y = mx + (m − 1)x2 + (3m − 4)x + có đồ thị (Cm ).Tìm tất giá trị m cho (Cm ) có điểm mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : y = x + 2011 Giải ′ y = mx2 + (m + 1)x + 3m − Để tiếp tuyến vuông góc với (d) y′ = −1 ⇔ mx2 + (m + 1)x + 3m − = 0(1) có nghiệm với x thuộc R −3 Vậy m = thỏa mãn TH1: m = ⇒ pt trở thành: −2x − = ⇔ x = TH2: m = ⇒ (1) phương trình bậc 2, để phương trình có nghiệm thì: 1 ∆ = −2m2 + m + ≥ ⇔ − ≤ m ≤ 1, m = Vậy − ≤ m ≤ giá trị cần tìm 2 Bài 26 +Với a = www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương Giải Đặt f (x) = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) Có y′ = 3x2 − 6mx + 3(m2 − 1) x1 = m − y′ = ⇔ x2 = m + Do hệ số x2 pt y′ = m − < m + nên hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương ta phải có: ∆y′ > ∀m ∈ R √ − y y < √ < m < (m2 − 1)(m2 − 3)(m2 − 2m − 2) > − < m < −1 ⇔ m−1 > ⇔ √ x1 > √ < m < 1+ m+1 > x2 > m > f (0) < 1−m < √ √ √ √ ⇒ < m < + Vậy giá trị m thỏa yêu cầu toán m ∈ 3; + Bài 27 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + trục hoành có phần nằm phía trục hoành phần nằm phía trục hoành Giải Bài 28 −x − Tìm đồ thị hàm số y = điểm A, B cho tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A song x+2 √ song với tiếp tuyến điểm B AB = Giải −a − −b − Xét điểm A a; ; B b; (a = b = −2) thuộc đồ thị hàm số cho a+2 b+2 −1 Tiếp tuyến A có hệ số góc: f ′ (a) = (a + 2)2 −1 Tiếp tuyến B có hệ số góc : f ′ (b) = (b + 2)2 f ′ (a) = f ′ (b) Theo ta có hpt: √ AB = 1 a=b = − − (a + 2)2 (b + 2) a + b = −4 ⇔ ⇔ −a − −b − √ = (a − b) + a + − b + =8 (a − b)2 + ab + 2(a + b) + 4 a = −2 − √3 √ a + b = −4 a = −4 − b a + b = −4 b = −2 + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ ab = b2 + 4b + = =8 a = −2 + (16 − 4ab) + ab − √ b = −2 − √ √ √ √ Vậy điểm A, B cần tìm A −2 − 3; + ; B −2 + 3; − √ √ √ √ A −2 + 3; − ; B −2 − 3; + Bài 29 www.mathvn.com 11 www.MATHVN.com Gọi D đường thẳng qua A(1; 0) có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị y = x+2 điểm phân x−1 biệt M, N thuộc nhánh khác đồ thị AM = 2AN Giải Do D đường thẳng qua A(1; 0) có hệ số góc k nên pt D : y = k(x − 1) Phương trình hoành độ giao điểm D đồ thị hàm số cho là: x+2 = k(x − 1) ⇔ kx2 − (2k + 1)x + k − = 0(x = 1) (1) x−1 Đặt t = x − ⇒ x = t + Lúc pt (1) trở thành: k(t + 1)2 − (2k + 1)(t + 1) + k − = ⇔ kt − t − = (2) Để D cắt đồ thị hàm số cho điểm M, N thuộc nhánh khác đồ thị pt (1) phải có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1 < < x2 ⇔ pt (2) có nghiệm t1 ;t2 thỏa t1 < < t2 ⇔ −3k < ⇔ k > (∗) −→ −→ Vì điểm A luôn nằm đoạn MN AM = 2AN ⇒ AM = −2AN ⇒ x1 + 2x2 = (3) x1 + x2 = 2k + (4) k−1 k+2 k Từ (3) (4) ⇒ x2 = ; x1 = Theo vi-et có : k − k k x1 x2 = (5) k (k + 2)(k − 1) k − Thay x1 ; x2 vào (5) có pt: = ⇔ 3k − = ⇔ k = k k Đối chiếu đk (∗) có k = giá trị cần tìm Bài 30 Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính A, B mà diện tích tam giác IAB lớn Giải - Có: y′ = 3x2 − 3m có nghiệm phân biệt m > Khi đó, tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: √ √ √ √ M( m, − 2m x), N(− m, + 2m x) - Phương trình đường thẳng MN là: 2mx + y − = - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I A, B mà tam giác IAB có 2.SIAB = IA.IB sin AIB ≤ 1, dấu = xảy AIB = 90o , lúc đó, khoảng cách từ I đến MN √ √ √ |2m − 1| 1 3 , m = 1− = √ ⇒ m = 1+ Do ta có phương trình: d(I, MN) = √ ⇔ √ 2 2 4m2 + Bài 31 x+3 Cho hàm số y = có đồ thị (H).Viết phương trình tiếp tuyến M (H) cho tiếp 2(x + 1) tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B đồng thời đường trung trực AB qua gốc tọa độ O Giải Do tam giác OAB vuông O mà trung trực AB lại qua O nên tam giác OAB phải vuông cân, điều có nghĩa AB tạo với trục hoành góc 45o , tức hệ số góc AB −1 −4 = −1 ⇔ x = 0, x = −2 Vậy thì, hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình: 4(x + 1)2 Với x = ta có tiếp tuyến là: y = −x + Với x = −2 ta có tiếp tuyến là: y = −x − Bài 32 1 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + mx (m tham số) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : 72x − 12y − 35 = Giải www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Ta có: y′ = x2 − (m + 1)x + m y′ = ⇔ x2 − (m + 1)x + m = ⇔ x = ∨ x = m Vì thế, để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, điều kiện là: y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m = 1 1 Mặt khác: y = x − (m + 1) y′ − (m − 1)2 x + m(m + 1) 6 Nên đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu đường thẳng d qua hai cực trị có dạng: 1 y = − (m − 1)2 x + m(m + 1) 6 35 Đường thẳng d viết lại là: y = 6x − Nên hai cực trị đối xứng qua đường thẳng d, điều kiện đầu 1 ′ tiên d ⊥ d Hay: − (m − 1) = −1 ⇔ m = ∨ m = * Với m = 0, hàm số cho trở thành: 1 y = x3 − x2 y′ = x2 − x 1 ∈ / d nên hai điểm cực ;− Hai điểm cực trị có tọa độ: A (0; 0); B 1; − , trung điểm AB I 12 trị không đối xứng qua đường thẳng d * Với m = 2, hàm số cho trở thành: y = x3 − x + 2x y′ = x2 − 3x + Hai điểm cực trị có tọa độ C 1; ; D 2; , trung điểm CD 3 J ∈ / d nên hai điểm cực trị không đối xứng với qua đường thẳng d ; 12 Vậy giá trị m thỏa mãn toán Bài 33 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C).Chứng minh m thay đổi đường thẳng d : y = m(x + 1) cắt đồ thị (C) điểm A cố định tìm m để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B,C đồng thời B,C với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Xét phương trình: x3 − 3x2 + = m(x + 1) ⇔ (x + 1)(x2 − 4x + − m) = ⇔ x = −1; g(x) = x2 − 4x + − m = (1) Đường thẳng y = m(x + 1) cắt đồ thị hàm số cho A(−1; 0), để cắt đồ thị điểm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác -1 Điều kiện là: ∆ > 0, g(−1) = ⇔ < m = Khi (1) có nghiệm phân biệt đường thẳng cho cắt đồ thị thêm √ √ √ √ B(2 + m; m(3 + m));C(2 − m; m(3 − m)) |m| Khoảng cách từ O đến BC là: d(O; BC) = √ Độ dài BC là: BC = m(1 + m2 ) m2 + √ Có: SOBC = d(O; BC).BC = m m = ⇔ m = Đáp số: m = Bài 34 Đề Thử sức THTT - Tháng 5/2011 x3 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số: y = − (m + 3) x2 − (m + 1) x + có hai điểm cực trị với hoành độ lớn Giải Ta có: y′ = x2 − (m + 3) x − (m + 1) y′ = ⇔ x2 − (m + 3) x − (m + 1) = (∗) Có: ∆ = (m + 3)2 + (m + 1) = m2 + 14m + 17 > 0, ∀x ∈ R Nên đồ thị hàm số có hai cực trị có hoành độ x1 x2 nghiệm phương trình (∗) Yêu cầu toán tương đương với tìm điều kiện tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1 x2 www.mathvn.com 13 www.MATHVN.com x > x − > (x − 1) + (x − 1) > 1 thỏa mãn: ⇔ ⇔ x2 > x2 − > (x1 − 1) (x2 − 1) > x + x − > (m + 3) − > m > −1 ⇔m∈∅ ⇔ ⇔ ⇔ x1 x2 − (x1 + x2 ) + > −2 (m + 1) − (m + 3) + > m < − Vậy giá trị m thỏa mãn đề Bài 35 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = x3 − 3x + cho tiếp tuyến A, B có hệ số góc đường thẳng qua A, B vuông góc với đường thẳng x + y + 2011 = Giải Cách Xét A(a; a3 − 3a + 2); B(b; b3 − 3b + 2)(a = b) thuộc đồ thị hàm số cho Tiếp tuyến A có hệ số góc kA = 3a2 − Tiếp tuyến B có hệ số góc kB = 3b2 − Do tiếp tuyến A B có hệ số góc nên kA = kB ⇔ 3a2 − = 3b2 − ⇔ (a − b)(a + b) = ⇔ a = −b − → Từ có AB = (b − a; b3 − 3b + − a3 + 3a − 2) = (2b; 2b3 − 6b) − Mặt khác đường thẳng d : x + y + 2011 = có → u = (1; −1) b = ⇒ a = 0(l) − →− Vì AB⊥d nên AB.→ u = ⇔ 2b(b2 + 4) = ⇔ b = ±2 ⇒ a = ±2 Vậy có điểm A, B với A(−2; 0), B(2; 4) ngược lại thỏa yêu cầu toán Cách -Điều kiện (1): Phươngtrình f ′ (x) = k có hai nghiệm phân biệt (Tự tìm) y = x3 − 3x + -Tọa độ A, B nghiệm hệ k = 3x2 − k −2 x+2 - Suy phương trình đường thẳng AB y = - Điều kiện vuông góc suy k = - Tìm giao điểm đường thẳng AB đồ thị ta có A(2; 4)., B(−2; 0) Bài 36 Trích đề chọn đội tuyển quốc gia Hà Tĩnh năm 2008 - 2009 Giả sử đồ thị hàm số y = x − 6x + 9x + d cắt trục hoành điểm phân biệt x1 < x2 < x3 Chứng minh rằng: < x1 < < x2 < < x3 < Giải PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục Ox x3 − 6x2 + 9x + d = ⇔ d = −x3 + 6x2 − 9x (∗) Đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 9x + d cắt trục hoành điểm phân biệt nên PT (∗) có ba nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = d căt đồ thị hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x ba điểm phân biệt ⇔ −4 < d < (vẽ đồ thị để thấy rõ) Đặt f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d Với −4 < d < f (0) = d < 0, f (1) = d + > 0, f (3) = d < 0, f (4) = d + > từ f (0) f (1) < 0, f (1) f (3) < 0, f (3) f (4) < 0, từ tính liên tục hàm số ta có đpcm Bài 37 Trích đề học sinh giỏi Hà Nội năm 2008 - 2009 Chứng minh với m phương trình x + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + = có nghiệm Giải Xem pt :x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + = (1) phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + (∗) trục hoành Có y′ = 3x2 + 6(m + 1)x + 3(m2 + 1) Thực phép chia y cho y′ ta www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com m+1 y′ − 2mx + m3 − m2 x+ 3 Suy pt đường thẳng qua cực tri y = −2mx + m3 − m2 Để pt (1) có nghiệm đồ thị hàm số (∗) cắt trục hoành điểm ′ ∆ ≤0 18m − ≤ ′ ⇔ ⇔ (∗∗) ∆ >0 18m − > ycd yct > (−2mxcd + m3 − m2 )(−2mxct + m3 − m2 ) > x + x = −2(m + 1) ct cd Theo vi-et thì: xcd xct = m2 + m≤ m≤ ⇒ ∀m ⇔ Lúc hpt (∗∗) trở thành: m > m> 4m2 (m2 + 1) + (m − 1)2 m3 (4m + 1) > y= Vậy ∀m pt cho có nghiệm Bài 38 Trích đề học sinh giỏi Thái Bình năm 2008 - 2009 Gọi d đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) : y = |x|3 − 3|x| − điểm phân biệt Giải Bài 39 Trích đề học sinh giỏi Thái Bình năm 2009 - 2010 Tìm m để điểm A(3; 5) nằm đường thẳng nối điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m + 6)x + Giải ′ y = 3(x2 − 2mx + m + 6) Hàm số có cực trị ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = m2 − (m + 6) > ⇔ m ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞) Ta có: y = (x − m)y′ + 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + Hoành độ đỉêm cực trị hàm số nghiệm y′ = nên tung độ cục trị thoả mãn: y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + Do pt đthẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số Theo đề ta có: A(3; 5) ∈ (d): y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + ⇔ = 6(−m2 + m + 6) + m2 + 6m + m=4 ⇔ 5m2 − 12m − 32 = ⇔ Đối chiếu đk ta nhận m = m=− Bài 40 Trích đề học sinh giỏi Hà Nội năm 2009 - 2010 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = (x − 1)(x3 + x2 + 1) biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị điểm phân biệt Giải Ta cóy = f (x) = x4 − x2 + x − ⇒ f ′ (x) = 4x3 − 2x + Gọi (d) tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số hai tiếp điểm A(a; f (a)), B(b; f (b)), a = b f (b) − f (a) hsg đường thẳng (d) Ta có f ′ (a) = f ′ (b) = b−a f ′ (a) = f ′ (b) ⇔ 4a3 − 2a + = 4b3 − 2b + ⇔ (a − 1)(2(a2 + ab + b2 ) − 1) = ⇔ 2(a2 + ab + b2 ) − = (1)(do a = b) f (b) − f (a) f ′ (a) + f ′ (b) f (b) − f (a) Từ ta có f ′ (a) = ⇔ = b−a b−a www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com (4a3 − 2a + 1) + (4b3 − 2b + 1) ⇔ = (a2 + b2 )(a + b) − (a + b) + ⇔ 2(a3 + b3 ) − (a + b) + = (a2 + b2 )(a + b) − (a + b) + 1 ⇔ (a + b)(a − b)2 = ⇔ a− = b thay vào (1) ta a = ± √ Đến suy PTtt (d) Bài 41 Cho hàm số y = x3 − 2(m + 2)x2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa x12 + x22 + x32 + 3x1 x2 x3 > 53 Giải Bài 42 Trích đề học sinh giỏi Đà Nẵng 2010 Với tham số m ∈ R, gọi (Cm ) đồ thị hàm số: y = x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 (1) CMR: m thay đổi, đường thẳng (∆m ) : y = mx − m2 cắt (Cm ) điểm A có hoành độ không đổi Tìm m để (∆m ) cắt (Cm ) hai điểm khác A tiếp tuyến (Cm ) hai điểm song song với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) đường thẳng ∆m x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 = mx − m2 x=1 ⇔ (x − 1)(x2 − 3mx + 2m2 ) = ⇔ f (x) = x2 − 3mx + 2m2 = 0(∗) Với x = ⇒ y = m − m2 ⇒ A(1; m − m2 ) cố định Để ∆m cắt (Cm ) điểm B,C khác điểm A pt (∗) phải có nghiệm phân biệt xB ; xC khác ∆ = 9m2 − 8m2 > (i) ⇔ ⇒ m = 0; ; f (1) = − 3m + 2m = x + x = 3m B C Lúc theo vi-et có: xB xC = 2m2 Tiếp tuyến B có hệ số góc kB = 3xB2 − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) Tiếp tuyến C có hệ số góc kC = 3xC2 − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) Vì tiếp tuyến B,C song song nên kB = kC ⇔ 3xB2 − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) = 3xC2 − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) ⇔ 3(xB + xC ) = 2(3m + 1) xB = xC ⇔ 3m = ⇔ m = thỏa đk (i) Vậy m = giá trị cần tìm Bài 43 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (m − 2)x + 3m (m tham số) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 55 đồ thị hàm số cho qua điểm A 1; − 27 Giải ta có : tiếp tuyến hàm bậc có hệ số góc nhỏ tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) ý nhận xét với bạn học chương trình cũ ) với chương trình ta phải thêm tí sau : y′ = 3x2 − 4x + m − tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tương đương với việc ta phải tìm điểm mà y′min đặt y′ = g(x) ta có : g′ (x) = 6x − 2 11m 52 g′ (x) = ⇒ x = lập bảng biến thiên thấy gmin (x) x = Điểm uốn I = ; − 3 3 27 www.mathvn.com 16 www.MATHVN.com phương trình tiếp tuyến điểm uốn : y = m − điểm a ∈ (d) nên ta có phương trình m − 10 10 11m 52 x− + − (d) 3 27 11m 1 + =− ⇔ m= 3 Bài 44 x+2 Cho hàm số y = có đồ thị (H) Tìm điểm M thuộc (H) cho tiếp tuyến M cắt đường x−1 tiệm cận (H) điểm A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ với I giao điểm hai đường tiệm cận Giải đường tiệm cận x = 1, y = Giao đường tiệm cận I(1; 1) Gọi M(xo ; yo ) Suy phương trình −3(x − xo ) xo + tiếp tuyến M là: y = + Phương trình tiếp tuyên cắt đường tiệm cận điểm: (xo − 1)2 xo − xo + ), B(2xo − 1; 1) A(1; xo − AO2 = IO2 (x − 1)2 = (x − 2xo + 1)2 ⇔ Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI O(x; y) ⇒ ⇔ BO2 = IO2 (y − 1)2 = (y − xo + )2 xo − x = xo y = xo + xo − xo + 9 Vậy O(xo ; ) ⇒ R2 = IO2 = (xo − 1)2 + Theo cô-si: (xo − 1)2 + ≥6 xo − (xo − 1) (xo − 1)2 √ √ √ 3, x = − ⇔ x = + Vậy Rmin = ⇔ (xo − 1)2 = o o (xo −√1)2 √ √ 3+ √ 3−3 ⇒ M(1 + 3; √ ), M(1 − 3; √ ) 3 Bài 45 Cho hàm: y = x4 + 4mx3 + (m + 1) x2 + Tìm m để hàm số có cực tiểu mà cực đại Giải Điều kiện: x ∈ R Khi đó: f ′ (x) = 2x3 + 6mx2 + 3(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3m + 3) x=0 f ′ (x) = ⇔ 2x2 + 6mx + 3m + = 0(1) f ′ (x) = có x = nghiệm nên để f (x) có cực tiểu (1) có nghiệm kép vô nghiệm tức ⇔ ∆′ ≤ ⇔ (3m)2 − 2(3m + 3) ≤ ⇔ 3m2 − 2m − ≤ √ √ 1− 1+ ; ⇔m∈ 3 Bài 46 Trích đề thi thử Trung Giã lần x+1 điểm Tìm giá trị m để đường thẳng: d : 2mx − 2y + m + = cắt đồ thị hàm số y = 2x + phân biệt A, B cho biểu thức: P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ Giải xét phương trình tương giao (d) (C) : x+1 m−1 m+1 = ⇔ 2mx2 + 2mx + = (1) mx + 2x + −1 hàm số có cực trị ⇔ (1) có nghiệm phân biệt thảo mãn x1 = x2 = ⇔m>0 √ √ m m 1 = ⇒ x1 = − x2 = − − (1) ⇔ 2x x + 4m 2m 2m www.mathvn.com 17 √ √ www.MATHVN.com m m 1 − ; −√ 2m 2 m + 2m + 4m dễ dàng tính P = OA2 + OB2 = = f (m) 2m xét hàm f (m) (0; + ∝) ta MIN f (m) = = f ( Bài 47 x2 + x + Tìm trục tung điểm mà qua có đường tiếp tuyến đến đồ thị Cho hàm: y = x−1 hàm số Giải x2 + x + Mxđ: D = R \ {1} Có y = = x+2+ x−1 x−1 Xét điếm A(0; a) ∈ Oy Phương trình đường thẳng d điqua A có hệ số góc k: y = kx + a x + + = kx + a (1) x − Để d tiếp tuyến đồ thị hàm số cho hệ pt : có nghiệm 1 − = k (2) (x − 1)2 Từ (1) có :x + + = k(x − 1) + k + a (3) x−1 k+a−3 +k+a ⇔ = (x − 1) − = (4) Thay (2) vào (3) : x + + x−1 (x − 1) x−1 k+a−3 = k ⇔ 36 − 3(k + a − 3)2 = 36k Thay (4) vào (2) có :1 − ⇔ f (k) = k2 + 2(a + 3)k + a2 − 6a − = (∗) Để từ A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số cho pt (∗) có nghiệm kép khác − a có nghiệm phân − a có nghiệm biệt a = −1 12a + 12 = ∆′ = f a=2 f (3 − a) = −12a + 24 = a = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ′ a=2 a > −1 12a + 12 > ∆f > f (a = 2) −12a + 24 = f (3 − a) = ta có : A= m m 1 ; − ; +√ 2m 2 m B= − Vậy có điểm A thỏa yêu cầu toán A (0; −1) ; A (0; 2) Bài 48 mx − 4m + Cho hàm số y = (Cm ) x−m 1) Tìm điểm cố định họ (Cm ) 2) Từ điểm cố định họ đồ thị viết đường thẳng qua chúng với hệ số góc k = tích hình phẳng giới hạn đường thẳng vừa lập trục Ox Giải Gọi K(xo ; yo ) điểm cố định mà đồ thị hàm số qua ∀m = mxo − 4m + có nghiệm ∀m = Lúc pt: yo = xo − m ⇔ xo yo − myo = mxo − 4m + , ∀m = ⇔ (xo + yo − 4)m + − xo yo = , ∀m = x = o x + y − = x = − y yo = o o o o ⇔ ⇔ ⇔ 3 − xo yo = y2 − 4yo + = xo = o yo = Vậy đồ thị hàm số qua điểm cố định : K1 (1; 3) ; K2 (3; 1) www.mathvn.com 18 tính diện www.MATHVN.com 3 3 ⇒pt d1 : y = (x − 1) + = x + 2 2 3 Gọi d2 đường thẳng qua K2 có hệ số góc k = ⇒pt d2 : y = (x − 3) + = x − 2 2 Nhận xét thấy d1 ; d2 song song Diện tích hình phẳng giới hạn cần tính diện tích hình thang ; ; K4 = d1 ∩ Ox ⇒ K4 (−1; 0) K1 K2 K3 K4 với K3 = d2 ∩ Ox ⇒ K3 (K1 K4 + K2 K3 ) h Có SK1 K2 K3 K4 = √ −3− √ 10 13 2 Với h = d(d1 ,d2 ) = d(K1 ,d2 ) = = √ K1 K4 = 13; K2 K3 = 13 + (−1)2 √ √ 10 13 √ 13 + 13 20 Do SK1 K2 K3 K4 = = (đvdt) Bài 49 Cho hàm số y = x3 − 3(2m2 − 1)x2 + 3(m2 − 1)x + − m3 (m tham số) có đồ thị (Cm ) Tìm m để đồ thị (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ Giải x + x = a b +) Gọi điểm cần tìm A = (xa ; ya ); B = (xb ; yb ) ta có ya + yb = Gọi d1 đường thẳng qua K1 có hệ số góc k = từ phương trình ta có : xa3 + xb3 − 3(2m2 − 1)(xa2 + xb2 ) + 3(m2 − 1)(xa + xb ) + − 2m3 = m3 − ⇔ 6(2m2 − 1)xa xb + − 2m3 = (vì xa + xb = 0) ⇔ xa xb = 6m2 − 3 m −1 dễ thấy xa ; xb lúc nghiệm phương trình : X + = (1) 6m − m3 − [...]... tuyến tại C có hệ số góc kC = 3xC2 − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) Vì tiếp tuyến tại B,C song song nên kB = kC ⇔ 3xB2 − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) = 3xC2 − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) 2 ⇔ 3(xB + xC ) = 2(3m + 1) vì xB = xC ⇔ 3m = 2 ⇔ m = thỏa đk (i) 3 2 Vậy m = là giá trị cần tìm 3 Bài 43 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (m − 2)x + 3m (m là tham số) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 55 của đồ thị hàm số đã cho đi... 2 Đến đây là suy ra được PTtt (d) Bài 41 Cho hàm số y = x3 − 2(m + 2)x2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa x12 + x22 + x32 + 3x1 x2 x3 > 53 Giải Bài 42 Trích đề học sinh giỏi Đà Nẵng 2010 Với mỗi tham số m ∈ R, gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số: y = x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 (1) CMR: khi m thay đổi,... CMR: khi m thay đổi, đường thẳng (∆m ) : y = mx − m2 luôn cắt (Cm ) tại một điểm A có hoành độ không đổi Tìm m để (∆m ) còn cắt (Cm ) tại hai điểm nữa khác A và tiếp tuyến của (Cm ) tại hai điểm đó song song với nhau Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và đường thẳng ∆m x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 = mx − m2 x=1 ⇔ (x − 1)(x2 − 3mx + 2m2 ) = 0 ⇔ f (x) = x2 − 3mx + 2m2 = 0(∗) Với x =... 3m + 4 và trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm phía dưới trục hoành Giải Bài 28 −x − 1 Tìm trên đồ thị hàm số y = các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A song x+2 √ song với tiếp tuyến tại điểm B và AB = 8 Giải −a − 1 −b − 1 Xét 2 điểm A a; ; B b; (a = b = −2) thuộc đồ thị hàm số đã cho a+2 b+2 −1 Tiếp tuyến tại A có hệ số góc: f ′ (a) = (a + 2)2 −1 Tiếp tuyến... 18 3 tính diện 2 www.MATHVN.com 3 3 3 3 ⇒pt d1 : y = (x − 1) + 3 = x + 2 2 2 2 3 3 7 3 Gọi d2 là đường thẳng đi qua K2 và có hệ số góc k = ⇒pt d2 : y = (x − 3) + 1 = x − 2 2 2 2 Nhận xét thấy d1 ; d2 song song Diện tích hình phẳng giới hạn cần tính chính là diện tích hình thang 7 ; 0 ; K4 = d1 ∩ Ox ⇒ K4 (−1; 0) K1 K2 K3 K4 với K3 = d2 ∩ Ox ⇒ K3 3 (K1 K4 + K2 K3 ) h Có SK1 K2 K3 K4 = 2 3 7 √ −3− √ 10... có 2 nghiệm phân biệt và đường thẳng đã cho cắt đồ thị thêm tại √ √ √ √ B(2 + m; m(3 + m));C(2 − m; m(3 − m)) |m| Khoảng cách từ O đến BC là: d(O; BC) = √ Độ dài BC là: BC = 2 m(1 + m2 ) m2 + 1 √ 1 Có: SOBC = d(O; BC).BC = m m = 1 ⇔ m = 1 2 Đáp số: m = 1 Bài 34 Đề Thử sức trên THTT - Tháng 5/2011 x3 1 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số: y = − (m + 3) x2 − 2 (m + 1) x + 1 có hai điểm cực 3... (∗) Có: ∆ = (m + 3)2 + 8 (m + 1) = m2 + 14m + 17 > 0, ∀x ∈ R Nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị có hoành độ x1 và x2 là nghiệm của phương trình (∗) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm điều kiện của tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1 và x2 www.mathvn.com 13 www.MATHVN.com x > 1 x − 1 > 0 (x − 1) + (x − 1) > 0 1 1 1 2 thỏa mãn: ⇔ ⇔ x2 > 1 x2 − 1 > 0 (x1 − 1) (x2 − 1) > 0 ... điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình: 4(x + 1)2 3 Với x = 0 ta có tiếp tuyến là: y = −x + 2 5 Với x = −2 ta có tiếp tuyến là: y = −x − 2 Bài 32 1 1 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + mx (m là tham số) 3 2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : 72x − 12y − 35 = 0 Giải www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Ta có: y′ = x2 − (m + 1)x + m y′ = 0 ⇔ x2 − (m + 1)x + m = 0 ⇔... h = d(d1 ,d2 ) = d(K1 ,d2 ) = = √ K1 K4 = 13; K2 K3 = 3 13 3 2 + (−1)2 2 √ √ 10 13 √ 13 + 3 13 20 Do đó SK1 K2 K3 K4 = = (đvdt) 2 3 Bài 49 Cho hàm số y = x3 − 3(2m2 − 1)x2 + 3(m2 − 1)x + 1 − m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm ) Tìm m để đồ thị (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ Giải x + x = 0 a b +) Gọi 2 điểm cần tìm là A = (xa ; ya ); B = (xb ; yb ) khi đó ta có ya + yb =... 3 3 m −1 dễ thấy xa ; xb lúc này là nghiệm của phương trình : X 2 + 2 = 0 (1) 6m − 3 m3 − 1