Chuyên đề câu hỏi phụ khảo sát hàm số

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Công thức : Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) ( ) ; : o o M x y C y f x ∈ = là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o x x y y x x y y y x x f x ′ ′ = − + ⇔ = − +  Các l ư u ý : + N ế u cho x o thì tìm y o = f ( x o ). + N ế u cho y o thì tìm x o b ằ ng cách gi ả i ph ươ ng trình f ( x ) = y o . + Tính y ′ = f ′ ( x ). Suy ra y ′ ( x o ) = f ′ ( x o ). + Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ∆ là: y = f ′ ( x o ).( x – x o ) + y o .  D ạ ng toán tr ọ ng tâm c ầ n l ư u ý : + Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m M thu ộ c đồ th ị hàm phân th ứ c ax b y cx d + = + c ắ t các tr ụ c t ọ a độ Ox, Oy t ạ i các đ i ể m A, B th ỏ a mãn các tính ch ấ t 0 OAB OA kOB S S ∆ =   =  + Kho ả ng cách t ừ tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị hàm s ố ax b y cx d + = + đế n ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m M thu ộ c đồ th ị đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t, ho ặ c b ằ ng m ộ t h ằ ng s ố cho tr ướ c. Ví dụ 1. Cho hàm s ố 3 2 2 2 y x x x = + + + . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i a) giao đ i ể m c ủ a đồ th ị và Ox . b) đ i ể m u ố n c ủ a đồ th ị . Ví dụ 2. Cho hàm s ố 3 2 3 1 y x x x = + + + . Tìm di ể m M thu ộ c đồ th ị hàm s ố sao cho ti ế p tuy ế n t ạ i M v ớ i đồ th ị đ i qua g ố c t ọ a độ O. Đ /s: ( 1;2) M − Ví dụ 3. Cho hàm s ố 1 ( ) 2 x y C x + = − . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số ( C ) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A , B sao cho OA = 3 OB , với O là gốc tọa độ. Đ/s: Một điểm M là (3;4) M Ví dụ 4. Cho hàm số ( ) 1 x y C x = + . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số ( C ) sao cho khoảng cách từ điểm E (1; 2) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 1 . 2 Đ /s: M ộ t đ i ể m M là (0;0) M BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hàm s ố 3 2 2 6 3 y x x x = − + − . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị và Ox. Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Đ/s: 13 1 2 2 y x   = −     Bài 2. Cho hàm số 3 2 2 3 1 y x x = − + có đồ th ị là (C) Tìm trên (C) nh ữ ng đ i ể m M sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M c ắ t tr ụ c tung t ạ i đ i ể m có tung độ b ằ ng 8. Đ /s: ( 1; 4) M − − Bài 3. Cho hàm s ố 2 1 x y x + = − Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố bi ế t ti ế p tuy ế n c ắ t tr ụ c hoành, tr ụ c tung l ầ n l ượ t t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A và B sao cho di ệ n tích tam giác OAB b ằ ng 50 3 (v ới O là gốc toạ độ) Đ/s: (2;4) M Bài 4. Cho hàm số 2 3 1 x y x + = − Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OB = 5 OA (với O là gốc toạ độ) Đ/s: 5 17; 5 3 y x y x = − + = − − Bài 5. Cho hàm số 1 x y x = + Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1) E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 2. Đ/s: (0;0), ( 2; 2). M M − − Bài 6. Cho hàm số 2 1 x y x + = − Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1) E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị lớn nhất. Đ/s: max 2 (0;2), ( 2;0). d M M= ⇔ − Bài 7. Cho hàm số 3 2 1 x y x − = + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm 1 1 ; 2 2 I   −     đến tiếp tuyến tại M bằng 7 2 . 10 Đ /s: 7 11. y x = + Bài 8. Cho hàm s ố 2 5 2 x y x + = − (1) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố (1) bi ế t ti ế p tuy ế n c ắ t tr ụ c hoành, tr ụ c tung l ầ n l ượ t t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A và B sao cho OA = 9OB (v ớ i O là g ố c to ạ độ ) Ví dụ 9. Cho hm s ố 3 1 x y x − = + (C) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố , bi ế t ti ế p tuy ế n c ắ t tr ụ c Ox t ạ i A, c ắ t tr ụ c Oy t ạ i B sao cho OA = 4OB. Ví dụ 10. Cho hàm s ố 2 2 3 x y x + = + (1). Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố (1), bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó c ắ t tr ụ c hoành, tr ụ c tung l ầ n l ượ t t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A , B và tam giác OAB cân t ạ i g ố c t ọ a độ O . LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)  Công thức : Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) ( ) ; : o o M x y C y f x ∈ = là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o x x y y x x y y y x x f x ′ ′ = − + ⇔ = − +  Các l ư u ý : + N ế u cho x o thì tìm y o = f ( x o ). + N ế u cho y o thì tìm x o b ằ ng cách gi ả i ph ươ ng trình f ( x ) = y o . + Tính y ′ = f ′ ( x ). Suy ra y ′ ( x o ) = f ′ ( x o ). + Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ∆ là: y = f ′ ( x o ).( x – x o ) + y o .  D ạ ng toán tr ọ ng tâm c ầ n l ư u ý : Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m M thu ộ c đồ th ị hàm phân th ứ c ax b y cx d + = + c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: + M là trung đ i ể m c ủ a AB + Di ệ n tích tam giác IAB luôn không đổ i, v ớ i I là giao đ iêm c ủ a hai ti ệ m c ậ n + Chu vi tam giác IAB đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. + Bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác IAB d ạ t gái tr ị l ớ n nh ấ t. Ví dụ 1. Cho hàm s ố 2 ( ) 1 x y C x + = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. a) Ch ứ ng minh r ằ ng M là trung đ i ể m c ủ a AB. b) Ch ứ ng minh r ằ ng di ệ n tích tam giác IAB không đổ i, v ớ i I là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị ( I là giao c ủ a hai ti ệ m c ậ n) Ví dụ 2. Cho hàm s ố 2 3 ( ) 2 x y C x − = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Tìm đ i ể m M đề độ dài đ o ạ n AB ng ắ n nh ấ t. Đ/s: (3;3), (1;1) M M Ví dụ 3. Cho hàm s ố 2 1 ( ) 1 x y C x + = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Tìm đ i ể m M đề chu vi tam giác IAB nh ỏ nh ấ t, v ớ i I là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị hàm s ố . Đ/s: 1 3 M x = ± BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hàm s ố 2 3 ( ) 2 x y C x − = − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các ti ệ m c ậ n t ạ i A, B. Tìm đ i ể m M đề đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác IAB có di ệ n tích nh ỏ nh ấ t, v ớ i I là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị hàm s ố . Đ/s: (3;3), (1;1) M M Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông t ạ i I nên đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác IAB có đườ ng kính là A B, suy ra di ệ n tích đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p là 2 2 π π 4 AB S R= = , t ừ đ ó bài toán quy v ề tìm M để độ dài AB ng ắ n nh ấ t. Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Bài 2. Cho hàm số 2 3 ( ) mx y C x m + = − . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác IAB có diện tích bằng 64. Đ/s: 58 2 m = ± Bài 3. Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x − = + . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Đ/s: 2(1 3) y x= + ± Bài 4. Cho hàm số ( ) 1 x y C x = − . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2 2) + . Đ/s: 4 y x y x = −   = − +  Bài 5. Cho hàm s ố 3 2 3 1 y x x = + − . G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đồ th ị hàm s ố . Ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M c ắ t các tr ụ c t ọ a độ t ạ i A, B. Tìm t ọ a độ đ i ể m M bi ế t OB = 3OA, v ớ i O là g ố c t ọ a độ . Đ/s: ( 1;1) M − Bài 6. Cho hàm s ố y = 2 1 1 − − x x . G ọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC  Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox. Kí hiệu k = tanα.  Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.  Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi − = − M N d M N y y k x x  Đường thẳng d đi qua điểm M(x 1 ; y 1 ) và có hệ số góc k thì có phương trình ( ) 1 1 : . = − + d y k x x y Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.  Cho hai đường thẳng 1 1 1 2 2 2 : : d y k x m d y k x m = +   = +  + d 1 và d 2 song song v ớ i nhau thì có cùng h ệ s ố góc : 1 2 1 2 d d k k m m =    ≠   + d 1 và d 2 vuông góc v ớ i nhau thì có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 1 : 1 2 2 1 1 . 1 . = − ⇔ = − d d d d k k k k  Đạo hàm tại một điểm x o thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Tức là ( ) . ′ = tt o k y x Ví dụ 1: Xác đị nh h ệ s ố góc k c ủ a các đườ ng cho d ướ i đ ây ? a) 2 1 2 2 3 1 0 3 2 1 . 3 3 3 − + − = ←→ = − + ⇔ = + → = − x y y x y x k b) 1 3 1 5 3 0 5 3 . 5 5 5 − + + = ←→ = − ⇔ = − → = x y y x y x k c) 2 3 0 2 3 2. + + = ←→ = − → = x y y x k Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 ( 1) 2 3 y x m x mx = + − + + Tìm m để ti ế p tuy ế n a) t ạ i đ i ể m có hoành độ x = –3 song song v ớ i đườ ng th ẳ ng d : 5x – y + 3 = 0 b) t ạ i đ i ể m có hoành độ x = 1 vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d’ : x – 2y + 3 = 0 Ví dụ 3: Cho hàm s ố 4 2 2( 1) 8 2 y x m x m = + − − − Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i các đ i ể m c ố đị nh c ủ a đồ th ị hàm s ố vuông góc v ớ i nhau. Ví dụ 4: Cho hàm s ố 3 x m y x m + = − Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị và tr ụ c Oy vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d : x – 2y + 1 = 0 Ví dụ 5: Cho hàm s ố 3 2 1 y x x x = + − + G ọ i d là đườ ng th ẳ ng đ i qua đ i ể m A(1 ; 2) và có h ệ s ố góc k. Tìm k để d c ắ t đồ th ị (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i B, C vuông góc v ớ i nhau. Ví dụ 6: Cho hàm s ố 3 2 3 3. y x x x = − + + M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2 ; 1) và có h ệ s ố góc k. Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho a) cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt. c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Hướng dẫn giải : Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 2 3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2) − + + = − + ⇔ − + + = − x x x k x x x x k x 2 2 2 ( 2)( 1) ( 2) ( ) 1 0, (1) =  ⇔ − − − = − ⇔  = − − − =  x x x x k x g x x x k a) Hai đồ th ị c ắ t nhau t ạ i duy nh ấ t m ộ t đ i ể m khi (1) vô nghi ệ m 5 0 1 4(1 ) 0 . 4 ⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < − k k Vậy với 4 5 < − k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2. Điều đó xảy ra khi 5 0 1 4(1 ) 0 4 (2) 0 (2) 1 0 1  ∆ > + + > > −    ⇔ ⇔    ≠ = − ≠    ≠  k k g g k k V ậ y v ớ i 4 5 1  > −    ≠  k k thì hai đồ th ị đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t. c) Do nghi ệ m x = 2 > 0 nên để ba giao đ i ể m có hoành đ ô d ươ ng thì (1) ph ả i có hai nghi ệ m d ươ ng phân bi ệ t và khác 2. G ọ i hai nghi ệ m đ ó là x 1 ; x 2 . Khi đ ó ta có 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 + > >   ⇔ ⇔ < −   > − − >   x x k x x k K ế t h ợ p v ớ i di ề u ki ệ n t ồ n t ạ i ba giao đ i ể m ở câu b ta d ượ c 4 1 5 − < < − k là giá tr ị c ầ n tim. Ví dụ 7: Cho hàm s ố 3 2 2 3 1. y x mx mx = − + + a) Tìm m để ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i đ i ể m u ố n song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆: 4x + y + 1= 0. b) Tìm m để ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i đ i ể m x = −2 vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0. H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Ta có 2 3 2 6 6 2 3 1 12 6 0 2  ′ = − +  = − + + →  ′′ ′′ = − → = ⇔ =   y x mx m y x mx mx m y x m y x Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n có h ệ s ố góc là 2 2 3 6. 6 . 2 4 2 2   ′ = = − + = − +     u m m m m k y m m m Đườ ng th ẳ ng ∆ có h ệ s ố góc xác đị nh b ở i :4 1 0 4 1 4. ∆ ∆ + + = ⇔ = − − → = − x y y x k Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n song song v ớ i ∆ nên 2 2 2 3 4 3 2 8 0 4 2 3 ∆ =   = ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔  = −   u m m k k m m m m V ậ y, v ớ i 4 2; 3 = = − m m thì ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n c ủ a đồ th ị song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là ( ) 2 24 12 13 24 ′ = − = + + = + tt k y m m m Đườ ng th ẳ ng ∆′ có h ệ s ố góc xác đị nh b ở i 2 2 2 :2 3 2 0 3 2 2 . 3 3 3 ′ ∆ ′ ∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = − x y y x y x k Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m x = −2 vuông góc v ớ i ∆′ nên ( ) 2 45 . 1 13 24 1 26 48 3 3 26 ′ ∆ = − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = − tt k k m m m Vậy, với 45 26 = −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hàm số 3 2 ( 2) 3. = − − + + y x m x mx a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1. b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0. Bài 2. đồ thị hàm số y = –x 4 + 2mx 2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau. Bài 3. Cho hàm số 3 2 3 2, y x x x = + + + có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k. a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm. b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau. Bài 4. Cho hàm số y = x 4 + mx 2 – m – 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số. Bài 5. Cho hàm số ( ) 3 1 . + − = + m x m y x m Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị hàm s ố v ớ i tr ụ c Ox song song v ớ i đườ ng th ẳ ng (d): y = –x –5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo) Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1 , 1 − = − x y x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3). Ví dụ 2: Cho hàm số 2 , 2 = − x y x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với 2 = AB OA Đ/s: d: x + y – 8 = 0 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); (m là tham s ố). Xác định m để (C m ) c ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) t ại D và E vuông góc với nhau. Đ/s: 9 65 8 − =m Ví dụ 4: (Trích đề thi Đạ i h ọ c kh ố i A n ă m 2011) Cho hàm s ố 1 , 2 1 − + = − x y x có đồ th ị là (C). Ch ứ ng minh r ằ ng đườ ng th ẳ ng d: y = x + m luôn c ắ t đồ th ị (C) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B v ớ i m ọ i giá tr ị c ủ a m. G ọ i k 1 ; k 2 là h ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị (C) t ạ i A, B. Tìm k để t ổ ng 1 2 + k k đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ /s: ( ) 1 2 min 1; 2 = − + = − m k k BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm s ố 1 , 2 + = − x y x có đồ th ị là (C). G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a hai ti ệ m c ậ n c ủ a đồ th ị (C). Tìm đ i ể m M trên đồ th ị sao cho ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i M vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng IM. Bài 2: Cho hàm s ố ( ) 2 1 , . 1 − = + x y C x Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) để ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M v ớ i đườ ng th ẳ ng đ i qua M và giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 9. Bài 3: Cho hàm s ố 3 2 2 3. = − + − y x x M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua M(1 ; −2) và có h ệ s ố góc k. a) Tìm k để đườ ng th ẳ ng d và đồ th ị hàm s ố đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị t ạ i hai đ i ể m A, B vuông góc v ớ i nhau. Bài 4: Cho hàm s ố 3 – 3 1 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d: y = mx + m + 3. Xác đị nh m để d c ắ t (C) t ạ i M(−2; 3), N, P sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc v ớ i nhau. Bài 5: Cho hàm s ố 3 2 – 3 4 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2; 0) có h ệ s ố góc k. Xác đị nh k để d c ắ t (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i B và C vuông góc v ớ i nhau. Bài 6: Cho hàm s ố 3 2 2 5 ( 1) (3 2) 3 3 = − + − + − − y x m x m x có đồ th ị ),( m C m là tham s ố . Tìm m để trên )( m C có hai đ i ể m phân bi ệ t 1 1 1 2 2 2 ( ; ), ( ; ) M x y M x y th ỏ a mãn 1 2 . 0 > x x và ti ế p tuy ế n c ủ a )( m C t ạ i m ỗ i đ i ể m đ ó vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng : 3 1 0. − + = d x y Bài 7: Cho hàm s ố 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 = + − + − + + y x m x m x m (1) v ớ i m là tham s ố . Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1 cos α . 26 = Bài 8: Cho hàm số 3 1 − = + x y x có đồ th ị là (C). Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố , bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó c ắ t tr ụ c hoành t ạ i A, c ắ t tr ụ c tung t ạ i B sao cho OA = 4OB. Bài 9: Cho hàm s ố 3 2 ( ) 6 9 3 = = + + + y f x x x x (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA OB 2011. = . Đ/s: 9 ; 6039. 2 = =k k HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ Bài 1: Cho hàm số 1 , 2 + = − x y x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM. Ta có 2 1 2 3 3 3 1 2 2 2 ( 2) + − + ′ = = = + → = − − − − − x x y y x x x x G ọ i ( ) ( ) 3 3 ; 1 ;1 . 2 2   ∈ ⇒ = + → +   − −   o o o o o o M x y C y M x x x Ta có 2 1 lim 2 1 lim 1 2 → →∞ +  = ∞   −  +  =  −  x x x x x x , từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang. Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ( ) 2 3 ( 2) ′ = = − − tt o o k y x x  Đườ ng th ẳ ng IM có h ệ s ố góc 2 3 1 1 2 3 2 ( 2)   − +   − −   = = = − − − o I M IM I M o o x y y k x x x x  Ti ế p tuy ế n t ạ i M vuông góc v ớ i đườ ng IM khi 2 2 3 3 . 1 . 1 ( 2) ( 2) = − ⇔ − = − − − tt IM o o k k x x 2 2 3 2 3 ( 2) 3 2 3 2 3   − = = + ⇔ − = ⇔ ⇔   − = − = −     o o o o o x x x x x + V ớ i ( ) 3 3 2 3 1 1 1 3 2 3;1 3 2 3 = + ⇒ = + = + = + → + + − o o o x y M x + V ớ i ( ) 3 3 2 3 1 1 1 3 2 3;1 3 2 3 = − ⇒ = + = + = − → − − − − o o o x y M x V ậ y có hai đ i ể m M th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài 2: Cho hàm s ố ( ) 2 1 , . 1 − = + x y C x Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) để ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M v ớ i đườ ng th ẳ ng đ i qua M và giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 9. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có ( ) 2 3 . 1 ′ = + y x G ọ i ( ) 2 1 ; 1 −   ∈   +   a M a C a Ti ế p tuy ế n v ớ i (C) t ạ i M có h ệ s ố góc: ( ) 2 3 ( ) . 1 ′ = = + tt k y a a Giao đ i ể m hai đườ ng ti ệ m c ậ n I(−1; 2). LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 Đường thẳng IM có hệ số góc là ( ) 2 3 . 1 − − = = − + M I IM M I y y k x x a Theo bài ta có ( ) ( ) ( ) 4 2 2 0 3 3 . 9 . 9 1 1 2 1 1 =  − = − ⇔ = − ⇔ + = →  = − + +  tt IM a k k a a a a V ậ y có 2 đ i ể m M th ỏ a mãn đề bài là M(0; − 3), M( − 2; 5). Bài 3: Cho hàm s ố 3 2 2 3. = − + − y x x M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua M(1 ; −2) và có h ệ s ố góc k. a) Tìm k để đườ ng th ẳ ng d và đồ th ị hàm s ố đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị t ạ i hai đ i ể m A, B vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Đườ ng th ẳ ng d qua M(1 ; −2 ) và có h ệ s ố góc k nên có d ạ ng d : y = k(x − 1) − 2. Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a hai đồ th ị : 3 2 3 2 2 3 ( 1) 2 2 1 ( 1) − + − = − − ⇔ − + − = − x x k x x x k x 2 2 2 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 ( ) 1 0, (1) =  ⇔ − − + + = − ⇔  − + + = ⇔ = − + − =  x x x x k x x x k g x x x k Hai đồ th ị c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t khi (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t và khác 1. Ta có đ i ề u ki ệ n 5 0 1 4( 1) 0 4 (1) 0 (1) 1 0 1  ∆ > − − > <    ⇔ ⇔    ≠ = − ≠    ≠  k k g g k k V ậ y v ớ i 4 5 1  <    ≠  k k thì hai đồ th ị đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t, trong đ ó có đ i ể m M(1 ; −2). b) G ọ i A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) ⇒ x 1 ; x 2 là hai nghi ệ m c ủ a g(x) = 0, theo đị nh lí Vi-ét ta có 1 2 1 2 1 1 + =   = −  x x x x k Ti ế p tuy ế n t ạ i A, B l ầ n l ượ t có h ệ s ố góc là ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 3 4 3 4  ′ = = − +   ′ = = − +   A B k y x x x k y x x x Ti ế p tuy ế n t ạ i A và B vuông góc v ớ i nhau khi ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 . 1 3 4 3 4 1 = − ⇔ − + − + = − A B k k x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0 ⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + = x x x x x x x x k k k k k Ph ươ ng trình trên vô nghi ệ m, v ậ y không có giá tr ị k nào th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài 4: Cho hàm s ố 3 – 3 1 = + y x x có đồ th ị là (C) và đườ ng th ẳ ng d: y = mx + m + 3. Xác đị nh m để d c ắ t (C) t ạ i M(−2; 3), N, P sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc v ớ i nhau. H ướ ng d ẫ n gi ả i : • Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a (C) và (d): 3 – ( 3) – – 2 0 + = x m x m 2 2 1 3 ( 1)( – – – 2) 0 ( ) 2 0 = − ⇒ =  ⇔ + = ⇔  = − − − =  x y x x x m g x x x m d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 9 1;3 , , , 0 4 M N P m m − ⇔ > − ≠ Khi đó x N ; x P là các nghiệm của phương trình 2 1 2 0 2 + =  − − − = ⇒  = − −  N P N P x x x x m x x m Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k 1 và k 2 thỏa mãn 2 1 2 2 3 3 3 3  = −  = −  N P k x k x Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi 2 1 2 3 2 2 3 . 1 9 18 1 0 3 2 2 3  − + =   = − ⇔ + + = ⇔ − −  =   m k k m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c 3 2 2 3 m − ± = là các giá tr ị c ầ n tìm. [...]... được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm x0 hay không Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 2) x 2 + (m + 1) x + 3 − m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Dạng 2 Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Hàm số đạt cực đại, cực tiểu... dộ hai điểm cực trị của hàm số 3 a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1 b) Tìm m sao cho biểu thức P = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4: Cho hàm số y = 1 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 3 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1 x1 + x1 + = x1 x2 3 c) hàm số đạt cực đại tại điểm... tức là ∆ ≤ 0 + Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0 Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 + 2mx − 3 + m tùy theo giá trị của tham số m 1 Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số y = − (m +... tiểu tại tại x = 3 2 c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x2 < 10 d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1 Bài 2: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 3) x 2 + 6 ( 5m + 1) x − 4m3 − 1 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2 Bài 3: Tìm m để hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x 2 + ( 2... phân biệt Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0 Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số y = Ta có y′ = x 2 + 2 (1 − m ) x + m 1 3 x + (1 − m ) x 2 − mx − 1 tùy theo giá trị của tham số m 3 Hướng dẫn giải: Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến... vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm xo hay không Cách 2 (sử dụng y’’) :  y ′ ( xo ) = 0  + Hàm số đạt cực đại tại x = xo ⇔   m →  y ′′ ( xo ) < 0   y ′ ( xo ) = 0  + Hàm số đạt cực tiểu tại x = xo ⇔   m →  y ′′ ( xo ) > 0   y ′ ( xo ) = 0  Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại x = xo ⇔   y ′′ ( xo ) ≠ 0  1 Ví dụ mẫu: Cho hàm. .. tham khảo: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Thầy Đặng Việt Hùng Xét hàm số bậc ba : y = ax 3 + bx 3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c DẠNG 1 TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Nếu a = 0 thì y′ = 3bx + c  y ′ = 0 ⇔ x = − → c 3b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị Nếu a ≠ 0 : + Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0 + Hàm số có... x1 + x2 = 12 ( 3m + 1) x 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − − (2m 2 + m) x − 2 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 2 2 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 40 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2 a) Tìm m để đường... liệu bài giảng: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt lí thuyết cơ bản : Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có y′ = 3bx + c ⇒ y′ = 0 ⇔ x = − c 3b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆ + Hàm số không có cực trị khi... qua A  ; −1 đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 3  ( b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 − x 2 ) 2 x+2 2x −1 Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A ( 0; −1) đến đồ thị hàm số y = x3 + x 2 − x + 2 Đ/s: y = 4 x − 1 Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số y = Học trực tuyến tại: www.moon.vn 1 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN . TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Bài 2. Cho hàm số 2 3 ( ) mx y. TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC Cho hàm số y = f(x) có. hàm s ố 3 2 2. = + − + y x x x Đ /s: 4 1 = − y x Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ