Chuyên đề nguyên hàm tích phân

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu tham khảo: 01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân hàm số y = f(x) kí hiệu dy cho cơng thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )  x 1 xdx = d   = d x = d x ± a = − d a − x   2   ( ) ( ) ( )  x3  1 x dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3   3   dx d ( ax + b ) dx = = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  sin xdx = − d ( cos2 x ) → a a 1 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  cos xdx = d ( sin x ) → a a ax +b 1 eax +b dx = e d ( ax + b ) = d e ax +b  e2 x dx = d e x → a a dx d ( ax + b ) dx → = d ( tan x ) = = d  tan ( ax + b )     2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos x ( ) ( ) ( dx sin ( ax + b ) = ( ) ) ( ) d ( ax + b ) dx → = − d ( cot x ) = − d cot ( ax + b )     a sin ( ax + b ) a sin x II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C số ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx + C, (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm vế phải nguyên hàm f(x) + g(x) ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ Từ ta có Chứng minh: ( ) ′ Tương tự tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k f ( x)  ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm → ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du d) Tính chất 4: Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà khơng phụ thuộc vào biến IV CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C )′ = ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ du = u + C Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 Thật vậy,  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C n +1  n +1  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ u n du = u n +1 +C n +1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = x + C ← ∫ → =2 u +C x x u dx du + Với n = −2 ⇒ ∫ = − + C ← ∫ = − + C → x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x dx = + C x5 b) ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + x + C c) ∫ − x − x2 x3 x2 x x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x dx − = − + C = 33 x − + C x x 2 ( x + 1) + C u n du → d) I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)  I = 5 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng e) I = ∫ (1 − 3x ) f) I = ∫ (1 − 3x ) + C 2010 u n du dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x )  I = − → 2011 du d ( x + 1) u 1 = ∫  I = − → +C =− +C 2 ( x + 1) 2x + ( x + 1) 2011 2010 dx ( x + 1) g) I = ∫ x + 5dx = Công thức 3: ∫ 3 1 x + 5d ( x + ) ⇒ I = ( x + ) + C = ( x + ) + C 4∫ dx = ln x + C x Chứng minh: dx Thật vậy, ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta du ∫u = ln u + C  dx = ln x + k + C  d ( ax + b ) dx  ∫ 2x + k + ∫ = = ln ax + b + C   → ax + b a ∫ ax + b a  dx = − ln k − x + C ∫ k − x  Ví dụ: 1 dx x  a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C x x x x  du dx d ( 3x + ) u = ∫  I = ln 3x + + C → 3x + 3x + 2x2 + x + 3  dx d ( x + 1)  c) ∫ dx = ∫  x + = x2 + ∫ = x + ln x + + C  dx = ∫ xdx + 3∫ 2x + 2x +  2x + 2x +  b) I = ∫ Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 → ∫ sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − a cos ( ax + b ) + C  ∫ sin xdx = − cos2 x + C a Ví dụ:  dx d ( x − 1)  a) ∫  x x + s inx + = ∫ x dx − cos x + ∫ =  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ 2x −1  2x −1 2x −1  2x = − cos x + ln x − + C  dx d ( x − 3)  = ∫ sin xd ( x ) + ∫ = − cos2 x + ln x − + C b) ∫  sin x +  dx = ∫ sin xdx +3∫ 4x −  4x − 4x −  x   c) ∫  sin + sinx + sin x  dx   1  x x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 T : x x x  x     ∫  sin + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin dx + ∫ sin xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin d   + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x )   Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng x 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 → ∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = a sin ( ax + b ) + C  ∫ cos2 xdx = sin x + C a Ví dụ: 4x −     a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  −  dx = sinx + cos x + x − 5ln x + + C x +1  x +1   x2 b) ∫ ( cos x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin x − cos x − + C 2 − cos2 x 1 1 1  c) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( x ) = x − sin x + C 2 4 2  Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos x Chứng minh: Thật vậy, ( tan x + C )′ = dx ⇒∫ = tan x + C cos x cos x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C dx = tan x + C 2x → ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C  ∫ cos 2 Ví dụ: dx   a) ∫  + cos x − sin x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin xdx = tan x + sin x + cos x + C 2 cos x  cos x    dx dx d ( x − 1) d (5 − 4x) b) I = ∫  + + 2∫ = ∫ − ∫  dx = ∫ 2   cos ( x − 1) − x cos ( x − 1) − 4x  cos ( x − 1) − x  du 1 tan ( x − 1) − ln − x + C 2 du dx d (3 − 2x ) cos u c) I = ∫ =− ∫  I = − tan ( − x ) + C → 2 cos ( − x ) cos ( − x )  = → cos2 u Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin x Chứng minh: Thật vậy, ( − cot x + C )′ = dx ⇒ ∫ = − cot x + C sin x sin x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C dx = − cot x + C 2x → ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C  ∫ sin 2 Ví dụ: Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx x6   a) ∫  cos x − + x5  dx = ∫ cos xdx − ∫ + ∫ x dx = sin x + cot x + + C sin x sin x   du dx d (1 − x ) 1 sin u b) I = ∫ =− ∫  I = − − cot (1 − x )  + C = cot (1 − 3x ) + C →  sin (1 − 3x ) sin (1 − x ) 3  x d  du dx  x sin u c) I = ∫ = ∫    I = −2 cot   + C →  x x 2 sin   sin   2 2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ eu du = eu + C x+k  x+ k +C  ∫ e dx = e ax + b ax + b  ax + b + C   → + ∫ e dx = ∫ e d ( ax + b ) = e a a  e k − x dx = − e k − x + C ∫  Ví dụ:  dx 1 d ( 3x )  −2 x +1 a) ∫  e −2 x +1 − + dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ + 4.2 x  dx = ∫ e sin 3x sin x sin x x x  1 = − e −2 x +1 + cot 3x + x + C b) ∫ ( 4e x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = ∫ e3 x + dx + ∫ cos (1 − x ) dx = 3x+2 ∫ e d ( 3x + 2) − ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x ) = e3 x + − sin (1 − x ) + C 3 Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy,  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a  ln a  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ a u du = a u + C + ∫ a kx + m dx = kx + m kx + m ∫ a d ( kx + m ) = k a + C k Ví dụ: 3x 23 x 32 x a u du d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( x )  I = → + +C 3∫ 3ln 2ln 3 21− x x + − e x + ) dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x + dx = − ∫ 21− x d (1 − x ) − ∫ e x + d ( x + 3) = − + e +C 2ln a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫(x ) + x dx   2) I =  − 3 x  dx x  Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ 3) I = ∫( ) x − x3 + x3 dx Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng  x 4) I =  − x +  dx   x   x ∫ 7) I = ∫ ( ) x −1   13) I13 = ∫  x −  dx x  ( 6) I = ∫ dx x x + x3 − x + 10) I10 = ∫ dx x2 16) I16 = ∫   5) I = ∫  x + dx x  x − 24 x )( x − x ) dx 8) I = ∫ ( x − 1) dx 11) I11 = ∫ 9) I = ∫ x2 − x x − x dx x (x ∫ ∫ ∫ ∫ + 4) dx x2   12) I12 = ∫  −  dx x  x   14) I14 = ∫  x +  dx x  17) I17 = dx (2 x − 3)5 x  x π  19) I19 = sin  +  dx 20) I 20 =  sin x + sin  dx 3 2 7    π x +1 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4    dx dx 26) I 26 = ∫ 27) I 27 = ∫ 2 cos x cos ( x − 1) 29) I 29 = ∫ tan x dx x4 + dx x2 ( x − 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) x x +1 ) dx dx x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx   x 24) I 24 = ∫ sin dx 28) I 28 = ∫ ( tan x + x ) dx dx sin ( x + 3) 30) I 30 = ∫ cot x dx 31) I 31 = ∫   35) I 35 = ∫  sin x −  dx − 5x   x 38) I 38 = ∫ dx − 5x 3x + x + x + 41) I 41 = ∫ dx x+2 44) I 44 = e−2x +3dx   33) I 33 = ∫  x + + cot x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3 x + x + 11 39) I 39 = ∫ dx x+3 x3 + x − 42) I 42 = ∫ dx 2x + 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx     34) I 34 = ∫  x +  dx 3x +   2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + 2x2 − x + 40) I 40 = ∫ dx x −1 x2 + 6x + 43) I 43 = ∫ dx 2x + 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx   47) I 47 = ∫  e− x +  dx sin (3 x + 1)    e− x  48) I 48 = ∫ e x  +  dx cos x   49) I 49 = ∫ ( 21− x − e x + ) dx 32) I 32 = ∫ dx − cos x ∫ 50) I 50 = ∫ dx 2x Học trực tuyến tại: www.moon.vn 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K F '( x) = f ( x) , ∀x ∈ K • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , C ∈ R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K Tính chất • ∫ f '( x)dx = f ( x) + C • ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx • ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k ≠ 0) Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ a x dx = • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx = • x α +1 α +1 ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ cos xdx = sin x + C + C, (α ≠ −1) • ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ x dx = ln x + C • • • ∫ e x dx = e x + C ∫ ∫ cos2 x sin2 x dx = tan x + C dx = − cot x + C • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) a • ∫ eax + b dx = • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) a • 1 ax + b e + C , (a ≠ 0) a ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C Ví dụ Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x) biết  F ( x) = (4 x − 5)e x  a)  x  f ( x) = (4 x − 1)e   F ( x) = tan x + x −  b)   f ( x) = tan x + tan x +    x2 +   F ( x) = ln     x +3 c)  −2 x  f ( x) =  ( x + 4)( x + 3)    F ( x) = ln  d)   f ( x) =   Học trực tuyến tại: www.moon.vn x2 − x + x2 + x + 2( x − 1) x4 + Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Ví dụ Tìm ngun hàm sau 1  1) ∫  x – x +  dx = x  x4 + 2) ∫ dx = x2 3) ∫ x −1 dx = x2 4) ∫ ( x − 1)2 dx = x2 5) ∫ ( ) x + x + x dx =   6) ∫  −  dx = x  x 7) ∫ 2sin x dx = 8) ∫ tan xdx = 9) ∫ cos xdx = 10) ∫ dx = sin x.cos x 11) ∫ cos x dx = sin x.cos x 12) ∫ 2sin x cos xdx = 13) ∫ e x ( e x – 1) dx =  e− x  14) ∫ e x  +  dx = cos x   2x   15) ∫  e3 x +1 +  dx = x −1   Ví dụ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x − x + 5; c) f ( x ) = e) f ( x ) = − 5x ; x x3 − x ; g) f ( x ) = sin x.cos x; F (1) = b) f ( x ) = − cos x; F ( e) = d) f ( x ) = F (−2) = f) f ( x ) = x x + π F '  = 3 h) f ( x ) = Học trực tuyến tại: www.moon.vn x2 + ; x F (π) = F (1) = ; x 3x − x + x2 F (1) = −2 ; F (1) = Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng i) f ( x ) = x3 + 3x + 3x − ( x + 1) ; F (0) = x π π k) f ( x) = sin ; F   = 2 Ví dụ Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; π F  =3 2 b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (π) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F (2) = −2 Ví dụ Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  F ( x ) = mx + (3m + 2) x − x +  a)  Tìm m  f ( x ) = x + 10 x −   F ( x ) = ln x − mx +  b)  Tìm m 2x +  f (x) = x + 3x +   F ( x ) = (ax + bx + c) x − x  c)  Tìm a, b, c  f ( x ) = ( x − 2) x − x   F ( x ) = (ax + bx + c)e x  d)  Tìm a, b, c x  f ( x ) = ( x − 3)e   F ( x ) = (ax + bx + c)e−2 x  e)  Tìm a, b, c −2 x  f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e   F ( x ) = (ax + bx + c)e − x  f)  Tìm a, b, c −x  f ( x ) = ( x − x + 2)e   b c  g)  F ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x Tìm a, b, c  f ( x ) = cos x   F ( x ) = (ax + bx + c) x −  h)  Tìm a, b, c 20 x − 30 x + f (x) =  2x −  Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu tham khảo: 02 PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 xdx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x ) 2 dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin x 1 x dx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 dx =d x sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos x ( x) = d( 10 dx = ( ) ( ) 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a ∫ ( ) ( dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x a) I1 = dx b) I = x(1 + x )10 dx + x2 Hướng dẫn giải:  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a    a) Sử dụng công thức vi phân   du  u = d ( ln u )  ∫ ) x ± a = −d a − x ( c) I = ∫ x dx x3 + ) ) 2 du x d x d x +1 ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C dx = = ←→ I1 = ln x + + C Ta có I1 = 2 2 1+ x 2 1+ x 1+ x  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a    b) Sử dụng công thức vi phân  n +1 u   n u du = d     n +1  ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I = x + x ) 10 dx = ∫ (1 + x ) d ( x 10 ) +1 ( (1 + x ) = ) 11 22   x3   x dx = d   = d x ± a 3   c) Sử dụng công thức vi phân   du 2 u = d u  ( ) + C ) ( ) 3 d ( x + 1) d ( x + 1) x3 + Ta có I = ∫ = ∫ = ∫ = + C x3 + x3 + x3 + Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx a) I = ∫ x − x dx b) I = ∫ 2x −1 x dx Học trực tuyến tại: www.moon.vn c) I = ∫ − x dx Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) dx − 2x ∫ b) ∫ x x − 1dx c) ∫x − x dx Ví dụ 7: Tính tích phân sau: a) 23 ∫ x x − 8dx b) x2 ∫ 1+ x dx c) ∫x x + 9dx Ví dụ 8: Tính tích phân sau: a) dx 1+ x ∫ 1 b) ∫ dx 1+ x c) ∫ ( x − 1) x +1 dx Ví dụ 9: Tính tích phân sau: ∫ a) dx x x +4 ∫ b) dx x x −1 2 ∫ (2 x + 3) c) − dx x + 12 x + Ví dụ 10: Tính tích phân sau: a) ∫x dx x3 + b) ∫ x + 2013dx dx ∫ x + 2013 Ví dụ 11: Tính tích phân sau: a) 2 ∫ x + x dx b) ∫ x2 +1 (1 − x ) dx c) ∫x x2 +1 dx Ví dụ 12: Tính tích phân sau: 2 a) ∫ 1+ x dx 1− x b) 2 dx ∫ (1 + x ) c) ∫ dx (1 − x ) Ví dụ 13: Tính tích phân sau: a) ln dx ∫1+ x + x2 +1 −1 b) ∫ e dx ex +1 c) ∫ 1 + ln x ln x dx x Ví dụ 14: Tính tích phân sau: a) ∫ x5 + x3 1+ x π dx b) ∫ x (e 2x + x + 1)dx c) −1 ∫ cos x + tan x cos x dx cos x Ví dụ 15: Tính tích phân sau: π ln a) ∫ e x dx (e x + 1) ln b) ∫ e x dx ex +1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! c) ∫ sin x + sin x + cos x dx www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Ngun hàm – Tích phân Tài liệu giảng: 13 TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU x2 I = ∫ x − x + 12 dx 2  16  Ta có I = ∫  + − dx = ( x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln x −4 x −3  dx I = ∫ x + x3 1 Ta có: x ( x + 1)  ⇒ I =  − ln x −  I = ∫ 1 x + + x x3 x2 + =− 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x 1 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 1 Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx =  3 0 ( x + 1) ( x + 1) I = ∫ x (1 − x )6 dx 11  t t8  Đặt t = − x ⇒ dt = −3x dx ⇒ dx = ⇒ I = ∫ t (1 − t )dt =  −  = 30   168 3x I = ∫ 1 dx x ( x + 1) Đặt t = x ⇒ I = I = ∫ −dt 2 1 t  ∫  t − t + dt = ln   dx x.( x 10 + 1)2 32 dt Ta có I = ∫ Đặt t = x ⇒ I = ∫ 10 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) I = ∫ x dx − x7 x (1 + x ) dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = ∫ dt t (1 + t ) x (1 + x ) Ta viết lại I dạng I = ∫ (1 − x ).x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng I = dx ∫ x (1 + x ) Đặt : x = ⇒ I =− t 3 ∫ t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +1  ∫ I = ∫ 1+ x 11+ x4 1+ x 1+ x Ta có: dx 1+ x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx   x x2   x2 + x2 = 2  −1  t− ⇒ I=∫ = ∫  t − − t +  dt = 2 ln t + 2 = 2 ln  +    2 1  t −2   1 dt − x2 10 I = ∫ 11+ x4 1− x 1 dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ x + x4 x2 + t2 + x2   x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u Ta có: 2 ⇒I= u2 ∫ du = u1 1− x 11 I = ∫ 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   dx −1 x2 Ta có: I = ∫ dx Đặt t = x + ⇒ I = ln x +x x 12 I = ∫ x4 + x +1 x4 + Ta có: x6 + 1 ⇒ I =∫ dx = x2 + 3 x2 x4 −1 ∫ x6 + dx + 13 I = ( x − x + 1) + x = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π ∫ ( x )2 + dx = + = 30 dx Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 3 Ta có I = ∫ ( x − 1)( x + 1) x xdx 14 I = ∫ x + x +1 dx = 3  ∫ 1  π +   dx = ln(2 − 3) + 12  x − x2 +  1 dt 11 Đặt t = x ⇒ I = ∫ = ∫ t2 + t + dt 15 I = 1+ x2 + ∫ x4 − x2 + 1 Ta có: x +1 x − x +1 ⇒ I =∫ 0t = π dx 1+ =  1  3  t +  +   2   x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = ∫ du = π II BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Tính tích phân sau: x +1 a) ∫ dx x +1 Bài Tính tích phân sau: x4 − a) ∫ dx x +9 a) ∫ (1− x ) b) Bài Tính tích phân sau: x + x +1 a) ∫ dx x +1 Bài Tính tích phân sau: − x4 a) ∫ dx 1+ x Bài Tính tích phân sau: dx a) ∫ x + x +1 ∫ ( 3x + 2) x2 + c) x ∫ (1 + x ) dx x3 + x2 + x + dx ∫ x2 + dx c) ) ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! ∫ ( ∫x c) ) x2 − c) dx b) ∫ 3 x − 4x x4 c) b) dx + x2 + − x 2010 ∫ x + x 2010 dx ( b) ∫x b) ∫ dx x + x3 x dx c) Bài Tính tích phân sau: 1 b) ∫ dx x +1 dx (1 + x ) dx dx − 1) ∫ x( x www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 14 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng Tính tích phân sau: π 1) ∫ sin x dx π π 2) ∫ sin x dx 3) ∫ sin x dx 0 π π π 4) ∫ cos3 x dx 5) ∫ sin x dx 7) π ∫ tan x dx π 10) 8) ∫ tan π tan x ∫ cos4 x dx 11) ∫( x dx ) cot x + dx π π π π π 16) dx ∫ sin x.cos3 x π π sin x π 12) cot x ∫ sin x dx π ∫ 15) ∫ sin x cos3 x dx 17) ∫ sin x cos x dx π 18) ∫ sin x cos5 x dx 0 π π cos x cos x 22) ∫ − sin x dx ∫ + 2sin x dx π 19) ∫ + 3cos x dx 14) x dx π + sin x dx cos x 13) ∫ sin x.cos x dx tan x dx 9) ∫ cos x π ∫ tan π π π 6) π π sin x ∫ cos 3x + dx 20) 23) 0 26) π π 31) ∫ sin x.tan x dx 32) π cos x sin x π ∫ ( sin x + cos x ) dx π 30) ∫ ( cos x − sin x ) dx Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! x π 33) 4sin x ∫ + cos x dx π 36) 38) dx ∫ cos ∫ + cos x dx 35) π 37) ∫ cos x + dx 27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx 34) dx sin x ∫ cos2 x dx π sin x dx x+3 π sin x ∫ + cos x dx π π 0 24) sin x ∫ sin 29) x dx ∫ ( + sin x ) − π 28) ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx π sin x.cos x 25) ∫ dx + cos x sin x ∫ + cos 21) ∫ ( sin ) x + cos3 x dx π 39) ∫ ( cos ) x.sin x dx www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng π 40) dx x x π sin cos 2 ∫ π 43) ∫ π π dx π 41) ∫ sin x (1 + sin x ) dx 42) dx ∫ sin x.cos x π π 44) ∫ sin π π 47) π dx x.cos3 x 45) dx π dx 48) π + sin x + cos x dx sin x + cos x π π π ∫ − 2sin x ∫ + sin x dx π π 50) ∫ sin x (1 + sin x ) ∫ ( tan x − cot x ) − π 49) ∫ cos x.cos x dx π sin x cos x − cos x 46) ∫ dx + cos x 51) sin x ∫ cos x + sin x dx 52) cos x + sin x dx + sin x ∫ 53) ∫ π π sin x − cos x dx + sin x 54) ∫ − cos x sin x.cos5 xdx π 55) ∫ − cos x sin x.cos5 x dx π 56) π π π 58) ∫ sin x cos x − cos x dx ∫ cos x 59) 61) cos x dx + cos x ∫ π 64) cos x − sinx ∫ sinx + cos x dx 62) π 67) sin x ∫ sin x + cos x dx 60) sin x ) π cos x dx e ∫ cos2 x π cos x dx 68) sin x − cos x + ∫π sin x + cos x + dx 69) sin x − 5cos x ∫ ( 3sin x + cos x ) dx π 74) ∫ esin x sin x dx π 72) 75) π ∫( dx π  sin x.sin  x +  6  ∫ π ∫ ) tan x dx cos x e sin(ln x) dx x eπ 79) 2 dx 71) ∫ π  π sin x.cos  x +  4  π 0 76) π 66) π tan x + ( cos x − sin x ) π π π dx 63) ∫ ∫ ( sin x + cos x ) − dx 70) ∫ π  cos x.cos  x +  4  sin x + sin x dx + 3cos x ∫ π dx ∫ + sin x 73) ( cos x + cos x dx + cos x 65) π ∫ ∫ π 2 + cos x π 57) π + cos x dx cos x dx ∫ π tan x π π ∫e sin x sin x cos3 xdx ∫ cos(ln x)dx 77) 80) esin x + cos x cos x dx ln(sin x) dx π cos x ∫ 78) ∫ 81) ∫ sin x.ln(cos x) dx Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng π 82) π dx cos x ∫ sin x + π 85) ∫ ln 83) π 1+ cos x (1 + sin x) + cos x π sin x 88) ∫ dx sin x + cos6 x dx 86) sin xdx (sin x + cos x ) 84) dx 89) ∫ cos x + 4sin x 87) 92) sin x − cos x + ∫ sin x + cos x + dx π cos x ∫ sin x + cos x dx ∫ ( sin 90) x + cos5 x ) dx π sin x + cos x dx + 2sin x 93) ∫ π dx π π π sin xdx ∫ sin x + cos x cos x − 4sin x ∫ (cos x + sin x) π π sin x dx 91) ∫ + sin x ∫ π sin x ∫ cos8 x dx dx 94) ∫ 95) sin x + 2sin x cos x − cos x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I TÍCH PHÂN CÁC HÀM CĨ TRỊ TUYỆT ĐỐI Tính tích phân sau: 1) x − dx ∫ 2) ∫ ∫ 5) ∫x − x − x + dx 6) −1 ∫x ∫x ( x − − x ) dx ∫ −1 8) ∫ x − x + dx 11) ∫ 12) π 14) sin x dx π − 3π ∫ ∫ cos x sin x dx 15) π ∫2 ∫ x − dx cos x + dx π 3π e 17) − x dx ∫ 3π sin 2x dx 4x −1 dx − 3x + x − x + x dx ∫ −1 π 16) 9) −3 13) ∫ ( x + − x − ) dx 10) + x − dx 2 x − dx −4 7) 3) 4) x − x dx ∫ ln x dx 18) e ∫ sin x − cos x dx II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng Miên hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x3 − x + 2; y = 0; x = −1; x = b) y = x + x + 3; y = 0; x = 0; x = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x − x + 3; y = x + b) y = x ln x; y = 0; x = e Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x; y = x + cos x; x = 0; x = π b) y = − x + x; y = x c) y = x + 1; x + y = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x + x − 3; y = − x − x + b) y = x ; y = x +4 Đ/s: S = 64 Đ/s: S = 2π − Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Nguyên hàm – Tích phân c) y = x + 1; x + y = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ln x , y = 0, x = , x = e a) y = x − x − 6, y = 0, x = −2, x = b) y = x e + ln x ln x , y = 0, x = 1, x = e d) y = , y = 0, x = e, x = x x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = ln x , y = 0, x = , x = e b) y = x , y = 0, x = −2, x = e x 1 b) y = , y = 0, x = 0, x = d) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 1− x4 c) y = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: −3 x − a) y = , y = 0, x = b) y = e x , y = 2, x = x −1 1 x2 c) y = , y = e− x , x = d) y = ,y = e−2 x + x2 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x − x , y = − x + x b) y = x + + , y = x c) y = x + 2, y = − x d) y = x + x , y = x + Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 1 a) y = x , y = − x + b) y = − x , y = x − x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng Miên hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số Dạng Miên hình phẳng giới hạn đồ thị đặc biệt Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = − x2 ; y= x2 b) y = − − x ; x + y = Đ/s: S = 2π + Đ/s: S = 4π + 3 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x − x + ; y = Đ/s: S = b) y = x − x + ; y = x + Đ/s: S = 109 c) y = x ; y = − x Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn e a) y = (e + 1) x; y = (1 + e x ) x Đ/s: S = − b) y = x ; y = − x Đ/s: S = π + c) y = x ; x = − y Đ/s: S = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn e a) x + y = 8; y = x Đ/s: S = − b) y = x − ; y = x + Đ/s: S = 73 c) y = x − x + ; y = Đ/s: S = 16 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − 3x tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: , tiệm cận xiên (C), x = x = a) (C ) : y = x + 2x2 x2 + 2x + b) (C ) : y = , y = , tiệm cận xiên (C), x = –1 x = x +2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Ngun hàm – Tích phân c) (C ) : y = x − x + x − 3, y = tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = d) (C ) : y = x − x + 2, x = −1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hồnh độ x = –2 e) (C ) : y = x − x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Nguyên hàm – Tích phân Tài liệu giảng: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng Miên hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số Dạng Miên hình phẳng giới hạn đồ thị đặc biệt Dạng Tính diện tích hình phẳng phương pháp vẽ hình Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x ; y= x2 ; b) y = x − x + 5; y= x y = −2 x + 4; y = x − 11 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x; y = x; y = 0; b) y = x ; y=3 y = x − x − 1; y=2 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x ; x = − y b) y = x ; x + y − = 0; y=0 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x − ; x = b) y = x − x + 2; c) y = x ; y = x + x + 5; y = x − x − 4; y=3 y =8 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x + 1; b) y = x3 ; y = x −1 y2 = x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P4 Thầy Đặng Việt Hùng III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Dạng Tính thể tích vật thể quay quanh trục Ox b b Miền hình phẳng giới hạn y = f ( x); y = 0; x = a; x = b ⇒ V = π ∫ y dx = π ∫ [ f ( x)] dx a a b Miền hình phẳng giới hạn y = f ( x); y = g ( x); x = a; x = b ⇒ V = π ∫ [ f ( x) ] − [ g ( x) ] dx 2 a Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = ln x, y = 0, x = 1; x = e b) y = sin x + cos x , y = 0, x = π ,x = π Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = x3 − x − x + 2, y = b) y = − x − 2, y = −3 x, x = 0, x = Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = x − x, y = − x + x b) y = x3 , y = x, x = −1, x = Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = x; y = x; x = 0; x = b) y = 1 π π ;y= ;x = ;x = 2 sin x cos x Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = x ; y = x b) y = − x ; y = x + c) y = x2 ;y= x2 + Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = sin x , y = 0, x = 0, x = π c) y = sin x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = b) y = π x − x , y = 0, x = 0, x = 3 d) y = x , x = Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) y = x − 1, y = 0, x = −1, x = b) y = x , y = x x2 x3 c) y = ,y= d) y = − x + x , y = x + Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox giới hạn đồ thị: a) y = sin x , y = cos x , x = π π ,x= b) y = x − x + 6, y = − x − x + Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P5 Thầy Đặng Việt Hùng III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Dạng Tính thể tích vật thể quay quanh trục Oy b b Miền hình phẳng giới hạn x = f ( y ); x = 0; y = a; y = b ⇒ VOy = π ∫ x dy = π ∫ [ f ( y ) ] dy a a b Miền hình phẳng giới hạn x = f ( y ); x = g ( y ); y = a; y = b ⇒ VOy = π ∫ [ f ( y )] − [ g ( y ) ] dy 2 a Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox Oy quay hình phẳng giới hạn đồ thị a) y = ( x − 2) ; y = b) y = x ; y = x ; y = Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox Oy quay hình phẳng giới hạn đồ thị a) y = x − x b) x + ( y − 4) = Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox Oy quay hình phẳng giới hạn đồ thị a) y = x, x = b) y = x , y = − x, y = x2 y Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox Oy quay hình phẳng giới hạn ( E ) : + =1 16 Ví dụ Tính thể tích vật thể quay quanh Ox Oy quay hình phẳng giới hạn (C ) : ( x − 4) + y = Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy? a) x = , y = 1, y = b) y = x , y = y c) y = e x , x = 0, y = e d) y = x , y = 1, y = Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox Oy a) y = ( x − 2)2 , y = c) y = , y = 0, x = 0, x = b) y = x , y = x , y = d) y = x − x , y = x +1 Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox Oy a) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e b) y = x ( x > 0), y = −3 x + 10, y = c) y = x , y = x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn ... Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ... Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ... Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ