Chuyên đề nguyên hàm tích phân

Nếu Px có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của Px như trên để Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tí

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx

Ví dụ:

d(x2

– 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và

được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )

Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫f x dx( ) =F x( )+C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2

+ C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( f x dx( ) )′=(F x( ))′= f x( )⇒

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,

mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

x d

113

1 Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F x'( )= f x( ), ∀x ∈ K

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là ∫ f x dx( ) =F x( )+C, C ∈ R

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4

32( )

x

F x

x x

3 5

Tìm m x

x x

( ) ( 3 2)

x x

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

3 sinx dx= −d(cos )x = −d(cosx± =a) d a( −cos )x 8 e dx x =d e( ) (x =d e x ±a)= −d a( −e x)

4 cosx dx=d(sin )x =d(sinx± = −a) d a( −sin )x 9 dx d( ) (lnx d lnx a) d a( lnx)

2

11

d n u

x x

x dx

Ví dụ 6 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 3cos

x dx I

x

=+

d u u

2

dx

x u

tancos

1

1 tancos

dx

x

x x

cotsin

2

dx

x u

Ta có 25 2 2 ( ) 2 25 2

Vậy

2 ln 3

2 ln 3 32

1

.2

x

=

−

∫ 3) I9=∫ 5 2− xdx 10)

x

=+

1 Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn

∫

Dạng 1 Đổi biến số cho các hàm vô tỉ

1

x dx I

Tài liệu bài giảng:

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

2

22

t x

dx tdt x

2

2

11

2

1

x x

+

∫

Dạng 2 PP lượng giác hóa

Tài liệu bài giảng:

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

29

11

x

t t

sin 3 cot3

=

−

∫

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

43

Tài liệu bài giảng:

04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1

Thầy Đặng Việt Hùng

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2

Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số

Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên

Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để

Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi tách

thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây)

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta

có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2

C u u

Tài liệu bài giảng:

04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2

Thầy Đặng Việt Hùng

Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để

giải

Nhận xét:

Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

dx I

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3

Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích và

đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào

biểu thức của tử số là bậc mấy)

( )( ) ax

150

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3

TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép

Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến

Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Tài liệu bài giảng:

04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P3

Thầy Đặng Việt Hùng

Ta có

125

Q x ax bx cx d x x mx nx p , trong đó mx2+nx+ =p 0 vô nghiệm

Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:

1 1

- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

=+

I KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỮA NGHIỆM CỦA MẪU SỐ

II KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CỦA MẪU

−

=+

+

=+

∫ x dx

I x

Tài liệu bài giảng:

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P2

Thầy Đặng Việt Hùng

I KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỮA NGHIỆM CỦA MẪU SỐ

II KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CỦA MẪU

III KĨ THUẬT XỬ LÍ NGUYÊN HÀM CÓ MẪU BẬC 6

Tài liệu bài giảng:

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P3

Thầy Đặng Việt Hùng

I KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỮA NGHIỆM CỦA MẪU SỐ

Tài liệu bài giảng:

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P1

Thầy Đặng Việt Hùng

1) Khái niệm về phân thức đơn giản

Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau

Bằng phép đồng nhất hệ số tương ứng ta tìm được các giá trị A1; A2…

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp gán các giá trị đặc biệt

Ví dụ 1: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản

1 4

Ví dụ 3: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản

x x

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG

Các hằng đẳng thức lượng giác:

2 2

2 2

1

1 tancos

1

1 cotsin

x x

x x

sin 2 2sin cos

2

1 cos 2sin

2

x x

x x

- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: sin 2 2sin cos2 2 2 2

21

Tài liệu bài giảng:

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Công thức biến đổi tổng thành tích:

2

2sin

t x t

III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được 1( )

9 2

sin3sin 4 sin 6 3sin 2

a) I1=∫sin cos 2x x dx b) I2=∫sin 3 cosx x dx

c) I3=∫(2sin2x−sin cosx x−cos2x dx )

III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin

sincos

3 2

Tài liệu bài giảng:

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

Thay t = cosx vào ta được 3 1 1 1ln1 cos

4sin

1 cos

x dx I

x

=+

x dx I

c) I3=∫(sin3x+cos3x dx)

Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin (tiếp theo)

sin 3 sin

1 cos 3

−

=+

x

Tài liệu bài giảng:

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P3

Thầy Đặng Việt Hùng

Dạng 3 Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot

Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết

cách nào đúng, cách nào sai Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết quả

Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan 2 x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính

Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau:

Tài liệu bài giảng:

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4

Thầy Đặng Việt Hùng

x x

3

tantan

x x

Trong cả hai nguyên hàm I 5 và I 6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số

có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều!

dx I

=

∫

Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta

cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự Chia cả tử và mẫu số

tan

Bình luận:

Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một

cách giải đặc biệt khác Thật vậy, cos 3 sin 2 1cos 3sin 2 cos π

x

1 sin 2

dx I

x

=+

Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên

Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin 2n x thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích

1 2

d A sin x B cos x C Acos x B sin x dx

d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx

Cách giải:

Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( )2

x

=+

Do cos2xdx=1 d sin 2x( )=1 d 1 sin 2x( + )

2 2 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau:

(sin 2 cos )

dx I

sin 3 sin

1 cos 3

−

=+

x

Dạng 5 Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân

d( A sin x B cos x C ) ( A B ) sin 2 x dx

d sin x cos x sin 4 x dx

Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân của

mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ?

Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa 6 + 6 = −3 2

sin x cos x 1 sin 2x.

Tài liệu bài giảng:

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P5

Thầy Đặng Việt Hùng

++

44

Nếu mẫu số có chứa sina.sinb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b)

Nếu mẫu số có chứa cosa.cosb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b)

Nếu mẫu số có chứa sina.cosb thì ta phân tích tử số theo cos(a – b)

Dạng 7 Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  ←→ ←→  + 

2 2

I

dx x

2 2 2

1 tan

22

1cos1

Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t

Tài liệu bài giảng:

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6

Thầy Đặng Việt Hùng

Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ đã xét

2 2 2

1 tan

22

1cos1

2 2 2

1 tan

22

1cos1

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:

Công thức nguyên hàm từng phần I =∫P x Q x dx( ) ( ) =∫udv=uv−∫vdu

Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u:

Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ

Nếu I có chứa lnn[g x thì đặt ( )] u=lnn[g x( )]→du=(lnn[g x( ) '] )

 Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)

 Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng lặp

Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau

Chú ý:

Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng udv∫ ) mà không cần đặt u, v Tuy nhiên cách giải nhanh chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Khi đó I3 =∫x2cosx dx=x2sinx−∫2 sinx x dx=x2sinx−2J

 Cách 2: I3=∫x2cosx dx=∫x d2 (sin )x =x2sinx−∫sinx d x( 2)=x2sinx−∫2 sinx x dx

Tài liệu bài giảng:

08 PP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM

Thầy Đặng Việt Hùng

x x

++

1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp

2) Một số các dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp

Tài liệu bài giảng:

09 NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ

Thầy Đặng Việt Hùng

∫ thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên

Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau

++ −

ln( )

x t x

dt t

dx t

x t x

dt t

dx t

x− x

x dx

x dx x

0cos

dx x

π

3 2 4

tancos

x dx x

π

π

2 3 4 0

tancos

x dx x

dx

x x

dx x

− +

−

2 1

ln

e

x dx x

2 1

1 1

cos 2 −sin

6 2

0cos2

π

3sin2

π

6

cotsin

∫ x dx x 10)

4

02 +1

2 1

1

−+

∫ x dx

2 0

ln 2 2 0

143

3

.2

x dx

x +

19

3 2 0

.8

sin 4x cos4x dx.

π

4 4 0

tan

.cos

x dx x

.cos

2 0

π 4

cos

∫ x dx

π 2 0

cos sin

∫ x x dx

3 0

sin cos

∫ x x dx 15)

π

3 3 2 0

tancos

∫ x dx x

π

4

cotsin

sin

1 3cos+

∫ x dx x 22) 2

+

∫ e x x dx 25)

cos 1 4sin+

2 1

cos2sin +1

I =∫x +x dx e)

1 2 5 0

2lnln

3 0

∫e x x

DẠNG 1 PP LƯỢNG GIÁC HÓA

cotsin

a x t

6 6

3

3 1 tancos

2

2cossin2

sin

tdt dx

t x

2

0 1−

∫ x dx x

c)

1 2

1−

∫ x dx x

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau :

3 2 2

2

0 9−

∫ x dx x

2 0

2 2

− +

∫ x dx x

2 0

11

dx x

1

dx x

−

5 2

x dx

x +

∫

DẠNG 2 PP ĐẶT ẨN PHỤ

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t

12

13

tdt

x dx tdt x dx

t x

2

4 2 4

x dx x

−

−

3 3 4

4

x dx x

8 4xdx−

1 2 0

1

x x + dx

∫

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

2 −1

2

2 0

+

4 2 0

x dx x

−+

2013+

2 2

1 x dx

0

3 2

) 1

+

+

3 1

2 2 2

1

1

dx x

x x

1

lnln31

0 1

3 2

)1

2 0

cos 2

2 3 tancos

2

1

x x

e

dx e

0 1 3 cos

sin 2 sin

π

dx x x x

11

11

II BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Tính các tích phân sau:

Bài 3 Tính các tích phân sau:

1

++

∫ x dx

2 0

2010 1

11

−+

4 3

2 2

2

4 1

3 −4

∫ dx

4 2

2 ( −1)

∫ x x dx

π 2 5 0

sin

π 3 2 π 4

tan

π 3 4 2 0

tan os

cot sin

∫ x dx x

1 sin 2cos

+

∫ x dx

π 2

2 0

2 0

sin cos 1 cos +

0cos

∫ dx x 31)

sincos

∫ x dx

π 3 2 0

2 0

Tài liệu bài giảng:

14 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

Thầy Đặng Việt Hùng

3 2 0

sin 2 1 sin+

π 3 4 π 6

π 4

3 2 0

2 π

0

1 2 sin

1 sin 2

−+

π 6

∫ x x dx

π 2

2 π

π 2

2 0

1 3cos

++

3 0

cos 2sin +cos

2 0

−+

ln(sin )cos

∫ x dx

π 3 0

sin ln(cos )

∫ x x dx

3 0

sin sin + 3 cos

84)

π 2

3 0

−+

3 2 sin

++

sincos

∫ x dx x

π

I TÍCH PHÂN CÁC HÀM CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI

x −x dx

2 2 0

π 4

sinx−cosx dx

∫

II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1 Miên hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1 ,

21

II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1 Miên hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Dạng 2 Miên hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị đặc biệt

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y= x − x và tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=2 3

Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1 ( ) :

Tài liệu bài giảng:

15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

c) ( ) :C y=x3−2x2+4x−3,y=0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2

d) ( ) :C y=x3−3x+2, x= −1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2

e) ( ) :C y=x2−2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)