Đang tải... (xem toàn văn)
Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập I LÝ THUYẾT Chú thích 1V =Thể tích cũ, 2V =Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy) 1 Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a) Song song với đáy[.]
Tỉ số thể tích khối đa diện cách giải tập I LÝ THUYẾT Chú thích V1 = Thể tích cũ, V2 = Thể tích (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh đáy) Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a) Song song với đáy V1 = V2 = Bh b) Cắt đáy d A; P S V1 ( ( ) ) đ d ( A; ( P ) ) IB = = = V2 d B; P S d ( B; ( P ) ) IA ( ( )) đ Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) V1 S1 ;với S1 diện tích đáy cũ; S2 diện tích đáy = V2 S2 Chú ý: + Đưa hai khối đa diện đỉnh; hai đáy cũ nằm mặt phẳng (thường đáy cũ chứa đáy mới) Áp dụng cơng thức tính diện tích đa giác để so sánh tỉ số đáy cũ đáy + Nếu tăng (hoặc giảm) cạnh đa giác (tam giác, tứ giác), k lần diện tích đa giác tăng (hoặc giảm) k2 lần Một số kết quan trọng: Kết 1: Cho tam giác OAB, cạnh OA chọn A’, cạnh OB chọn B’ Lúc đó: SOA 'B' OA ' OB' = SOAB OA OB Kết 2: Cho hình chóp S ABC, cạnh SA chọn A’, cạnh SB chọn B’ cạnh SC chọn C’ Lúc đó: VS.A 'B'C' SA ' SB' SC' = VS.ABC SA SB SC S B’ A’ C’ A B C Kết 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Trên cạnh bên AA’, BB’, CC’ lấy điểm M, N, P Giả sử Khi đó: A 'M B' N C'P = x; = y; =z A 'A B'B C'C VA 'B 'C '.MNP x + y + z = VA 'B 'C '.ABC Kết 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy điểm M, N, P, Q cho M, N P, Q đồng phẳng Giả sử A 'M B' N C'P D'Q = x, = y, = z, =t A 'A B'B C'C D'D Khi đó: x + z = y + t VA 'B'C 'D '.MNPQ VA 'B'C 'D '.ABCD = x+y+z+t II PHƯƠNG PHÁP Dạng Tỉ số thể tích hình chóp tam giác +) Tỉ số thể tích hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao) - Nếu hai khối chóp chung đáy tỉ số thể tích tỉ số độ dài hai chiều cao - Nếu hai khối chóp chung đường cao tỉ số thể tích tỉ số diện tích hai đáy +) Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác: - Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để tính Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có VS.ABC = 6a Gọi M, N, Q điểm cạnh SA, SB, SC cho SM = MA, SN = NB, SQ = 2QC Tính VS.MNQ Hướng dẫn giải: Ta có: VS.MNQ VS.ABC = SM SN SQ 1 = = SA SB SC 2 1 VS.MNQ = VS.ABC = 6a = a 6 Vậy thể tích khối chóp S MNQ a Ví dụ 2: Hình chóp S ABC có M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC Đặt V k = MNPABC Khi giá trị k VSABC A 7 B C D Hướng dẫn giải Ta có VSMNP SM SN SP 1 1 = = = VSABC SA SB SC 2 VMNPABC VSABC − VSMNP V = = − SMNP = VSABC VSABC VSABC Vậy k = Chọn B Dạng Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác: +) Tỉ số thể tích hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao) - Nếu hai khối chóp chung đáy tỉ số thể tích tỉ số độ dài hai chiều cao - Nếu hai khối chóp chung đường cao tỉ số thể tích tỉ số diện tích hai đáy +) Tỉ số thể tích hai khối chóp tứ giác: - Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác - Sử dụng cơng thức tính tỉ số thể tích hình chóp tam giác, kĩ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy để tính tốn thể tích khối chóp tam giác - Kết luận lại tỉ số khối chóp tứ giác ban đầu Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tỉ số thể tích khối chóp S.MNPQ khối chóp S.ABCD bằng: A B 16 C D Lời giải Tỉ số Tỉ số VS.MNP SM SN SP 1 1 = = = VS.ABC SA SB SC 2 VS.MPQ VS.ACD = SM SP SQ 1 1 = = SA SC SD 2 1 1 VS.MNPQ = VS.MNP + VS.MPQ = VS.ABC + VS.ACD = ( VS.ABC + VS.ACD ) = VS.ABCD 8 8 V 1 VS.MNPQ = VS.ABCD S.MNPQ = VS.ABCD Chọn A Dạng Tỉ số thể tích hình lăng trụ tam giác +) Gọi V thể tích khối lăng trụ, V(4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ (4 đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện), V(5) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V( ) = V ; V(5) = 2V +) Nếu mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác, ta áp dụng cơng thức tính nhanh kết Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ Gọi M, N trung điểm VABCMN CC’ BB’ Tính tỉ số VABC.A 'B 'C ' A B C D Hướng dẫn giải: Xét hai đa diện ABCMN ABC A’B’C’ Ta đặt: x= AA BM CN = 0, y = = ,z= = AA ' BB' CC' Ta có Tức VABCMN x+y+z = = VABC.A 'B'C ' 0+ 1 + 2 =1 3 VABCMN = VABC.A 'B 'C ' Chọn B Dạng Tỉ số thể tích hình hộp Nếu mặt phẳng cắt cạnh bên khối hộp ta áp dụng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích kết Ngoài cần vận dụng thêm phép lắp ghép đa diện (cộng – trừ thể tích đa diện) để giải dạng tốn Ví dụ 5: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ tích 2110 (đvtt) Biết A’M = MA, DN = 3ND’, CP = 2PC’ Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ A 7385 18 B 5275 12 C 8440 D 5275 Hướng dẫn giải: Giả sử (MNP) cắt BB’ Q Đặt: x= AM DN CP BQ = , y= = ,z= = ,t= AA ' DD' CC' BB' Vì x + z = y + t t = x + z − y = Ta có VABCD.MNPQ VABCD.A 'B'C'D ' VABCD.MNPQ = + − = 12 + + + x + y + z + t 12 = = = 4 12 7 7385 VABCD.A 'B'C 'D ' = 2110 = 12 12 Mặt khác VA 'B'C 'D '.MNPQ + VABCD.MNPQ = VABCD.A 'B'C 'D ' VA 'B'C 'D '.MNPQ = VABCD.A 'B'C 'D ' − VABCD.MNPQ = 2110 − Vậy thể tích khối đa diện nhỏ Chọn D IV BÀI TẬP ÁP DỤNG 5275 (đvtt) 7385 5275 = 6 Câu 1: Cho tứ diện MNPQ Gọi I, J, K trung điểm cạnh MN, MP, V MQ Tỉ số thể tích MIJK VMNPQ B C D A Câu Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, 1 C’ cho SA = SA ; SB = SB , SC = SC Gọi V V’ thể tích 2 V khối chóp S ABC S A’B’C’ Khi tỷ số V A B 12 C D 16 Câu Cho tứ diện ABCD, hai điểm M N hai cạnh AB AD AM AN V = ; = , tỉ số ACMN cho VABCD MB AD A 15 B C 12 D 16 Câu Cho hình chóp S ABC, gọi M, N trung điểm SA, SB Tính V tỉ số S.ABC VS.MNC A B C D Câu Cho khối chóp O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm V A’, B’, C’ cho 2OA’ = OA, 4OB’ = OB, 3OC’ =OC Tính tỉ số O.A ' B 'C ' VO.ABC A 12 B 24 C 16 D 32 Câu Cho tứ diện ABCD có B’ trung điểm AB, C’ thuộc đoạn AC thỏa mãn 2AC’ = C’C Trong số đây, số ghi giá trị tỉ số thể tích khối tứ diện AB’C’D phần lại khối tứ diện ABCD? A B C D Câu Cho khối chóp S ABC Gọi G trọng tâm giác SBC Mặt phẳng ( ) qua AG song song với BC cắt SB, SC I, J Gọi VS.AIJ , VS.ABC tích khối tứ diện S AIJ S ABC Khi khẳng định sau đúng? V A S.AIJ = VS.ABC V B S.AIJ = VS.ABC V C S.AIJ = VS.ABC V D S.AIJ = VS.ABC 27 Câu Cho khối chóp S ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ trung điểm SA, SB, SC, SD Khi tỉ số tích khối chóp S A’B’C’D’ S ABCD A B C D 16 Câu Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng A B C D Câu 10 Cho tứ diện ABCD tích V Gọi V’ thể tích khối tứ diện có V' đỉnh trọng tâm mặt khối tứ diện ABCD Tính tỉ số V V' = A V 27 V ' 23 = B V 27 V' = C V 27 V' = D V 27 Câu 11 Cho tứ diện tích V Gọi V’ thể tích khối đa diện có V đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V V = A V V = B V V = C V V = D V Câu 12 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB, N điểm cạnh SC cho NS = 2NC Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối chóp V A BMNC S AMN Tính tỉ số V2 V A = V2 V B = V2 V C = V2 V1 = V2 Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’, M trung điểm CC’ Mặt phẳng (ABM) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện V chứa đỉnh C V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V2 D B C 2 D Câu 14: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có M, N trung điểm AA’ CC’ Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh A V2 thể tích khối đa diện V cịn lại Tính tỉ số V2 A B C D BẢNG ĐÁP ÁN A Câu 10 11 12 13 14 Đáp D B C A B B C C D C A C A C án ... đường cao tỉ số thể tích tỉ số diện tích hai đáy +) Tỉ số thể tích hai khối chóp tứ giác: - Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác - Sử dụng cơng thức tính tỉ số thể tích hình... cao - Nếu hai khối chóp chung đường cao tỉ số thể tích tỉ số diện tích hai đáy +) Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác: - Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để tính Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC... Dạng Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác: +) Tỉ số thể tích hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao) - Nếu hai khối chóp chung đáy tỉ số thể tích tỉ số độ dài hai chiều cao - Nếu hai khối