Chủ đề 7 các CÔNG THỨC cơ bản về TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 7 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Khái niệm hình thang cong Cho hàm số liên tục, không đổi dấu trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được gọi là hình thang cong 2 Tích phân là gì? Định nghĩa Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Vậy Ta gọi là dấu tích.

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hình thang cong Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không đổi dấu đoạn  a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b gọi hình thang cong Tích phân gì? Định nghĩa: Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn  a; b  Giả sử F( x) nguyên hàm f ( x) đoạn  a; b  Hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn  a; b  ) hàm số f ( x) , kí hiệu b f  x  dx � a Ta cịn dùng kí hiệu Vậy F x f  x  dx  F  x  � b b a a b a để hiệu số F  b   F  a   F  b  F  a  b Ta gọi �là dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f  x  dx biểu thức dấu tích phân f ( x ) a hàm số dấu tích phân  Chú ý: Trong trường hợp a  b a  b , ta quy ước a b a a a b f  x  dx 0 ; � f  x  dx   � f  x  dx � b  Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu f  x  dx � b hay a f  t  dt Tích phân � a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t Tức là: b b b a a a f  x  dx  � f  t  dt  � f  u  du �  Ý nghĩa hình học tích phân Nếu hàm số f ( x) liên tục không âm đoạn  a; b  , tích phân b f  x  dx � a thang cong giới hạn đồ thị f ( x) , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b b f  x  dx Vậy S  � a b b a a kf  x  dx  k � f  x  dx (với k số) - Tính chất 1: � diện tích S hình b b b a a a � f  x  dx �� g  x  dx - Tính chất 2: � �f  x  �g  x  � �dx  � - Tính chất 3: b c b a a c f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  a  c  b  � Chú ý: Mở rộng tính chất b c1 c2 b a a c1 cn f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  a  c1  c2   cn  b  � II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Tích tích phân sau: 1 x  3x  I  dx B � x  x x  x dx A I  �  xe C I  � x 1   dx sin x D I  dx �  cos x Lời giải 1 1  x2 a) I   �2  x d  x   � 20 20    2 x      d  2 x  2    x2   2 1   2 2 d x2  x x  3x  x x 2x  b) I  � dx  �2 dx  �2 dx  � dx  � dx   ln x  x   ln x x x x x x x x 1 1  xe c) I  � x 1  �x e3 x 1 � e dx  �  �   �0 3e �2   d  cos x  sin x d) I  dx     ln  cos x � �  cos x  cos x 0   ln Ví dụ 2: Tính tích phân sau: ln 2 dx A I  � x  x3 x x 3 C I  e e � B I    dx   x x  x  16 dx D I  � x x  1dx � 0 Lời giải   2 x   x dx dx x3  x I    dx a) � � � x  x  x  x  x   x 1   1 12 � x  d x   x dx  �     � � 31 31 �    x  3   3� x � 5 2 7 �1  ln b) I  e e � x x  ln  dx  x x  1dx  c) I  �  1 d ex 1  x   ex 1 ln  3 2 x 1 d x 1  �    3 e �      x  1 3  � 3x x  x  16 dx  � x dx  3� x x  16dx  �x3  d) I  � � 0 Ví dụ 3: Biết  3 � x  16 �  88 �0  x dx  a ln  b ln , a, b �� � x 1 2 Tính giá trị biểu thức S  4ab  a  b A S  C S  B S  D S  Lời giải � a � d x  x 1 � 2  ln x   ln  ln  ln � � Ta có �2 dx  � 2 x 1 2 x 1 2 2 � b � 3   3 Suy S     Chọn A 2 Ví dụ 4: Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x  đoạn  a; b  3F  a    3F  b  b f  x  dx Tính tích phân I  � a A I  2 C I  B I  2 D I  2 Lời giải 2 F  b  F  a  � Ta có: 3F  a    3F  b  � � � � 2 � F  b   F  a   b f  x  dx  F  b   F  a    Chọn D Do I  � a Ví dụ 5: Cho tích phân 3 3 �f  x  dx  2; �f  t  dt  Tính B I  A I  Ta có: 2 3 3 3 �f  x  dx  �f  y  dy 2; �f  t  dt  5 3 3 f  y  dy � C I  2 Lời giải D I  6 �f  y  dy  (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) 3 f  y  dy  � f  y  dy  � f  y  dy � I    Chọn A Lại có: � Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đoạn  1; 2 ; f  1  1 f    � 2x  f � Tính tích phân I  �  x � � �dx A I  C I  B I  11 D I  Lời giải 2 1 xdx  � f� Ta có: I  �  x  dx  x  f    f  1    Chọn D Ví dụ 7: Cho   0 � f  x  dx  Tính I  � � �f  x   2sin x � �dx B I   A I   D I    C I  Lời giải     0 0  Ta có I  � � f  x  dx  � sin xdx  � f  x  dx  cos x �f  x   2sin x � �dx  �  Chọn A 2 1 1 1 � g  x  dx  1 Tính I  � x  f  x   3g  x  � �f  x  dx  � � �dx Ví dụ 8: Cho tích phân A I  B I  C I  17 D I  11 Lời giải 2 2 1 1 1 1 � x  f  x   3g  x  � xdx  � f  x  dx  � g  x  dx Ta có I  � � �dx  � x2  2 17  2.2   1      Chọn C 2 1 Ví dụ 9: Biết 3x  a c dx  3ln  � x  6x  b a, b hai số nguyên dương a phân số tối giản b Khẳng định sau đúng? A a  b  2c B a  b  4c C a  b  5c Lời giải D a  b  c 1� 3x  10 � 10 � � � � dx  �  d  x  3  � 3ln x    3ln  Ta có: �2 � �x   x  3 � x  6x  x3� � 0� � Do a  4; b  3; c  � a  b  5c Chọn C �x  � Ví dụ 2: Biết � � �dx  a  b ln  c ln  a, b, c �� Đẳng thức sau đúng? x  � � A  a  b  c   B  a  b  c   C  a  b  c   Lời giải D  a  b  c   2 1 � � � � �x  � � � 1 1  dx  �x  ln x   � � Ta có � � �dx  � � �dx  � � x2� x2� x  x  �0 x  �   0� 0� � � � � � � 2 a  b  c  a � � �x  � �� �� Chọn D � �dx   ln  ln � � x2� 2 a  b  c  29   0� � � b  6, c  6 � f  x  dx   1  2, � Ví dụ 11: Cho hàm số f  x   a.sin   x   b biết f � Tính giá trị biểu thức P  a.  b A B – C.1 Lời giải D Ta có f  x   a.sin   x   b � f �  x   a. cos   x  � f �  1  a.  � a    � cos   x  � � f  x  dx  � � a.sin   x   b � b.x  Mà � �  2b  � b  Chọn D � �dx  � a  0 � �0 2 Ví dụ 12: Cho hàm số f  x  ln dương có đạo hàm đoạn  1;  Biết f�  x  dx  �   �f  x  dx  ln Tính f   f �x A f    B f    C f    Lời giải D f    Ta có f�  x  dx  f    f  1   1 � d� �f  x  � � ln �f x �2  ln �f � ln �f � ln f    ln dx  � � �   �1 � � � � f  x f  x f  1 1 Lại có Do f�  x f  2 f  1  eln  � f    f  1 (2) Từ (1) (2) suy f    6; f  1  Chọn B Ví dụ 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục Đào tạo 2017) Biết �  x  1 dx  a  b  c với a, b, x  x x 1 c số nguyên dương Tính P  a  b  c A P  24 B P  12 C P  18 Lời giải D P  46 Ta có I  � x  x  1 Lại có  x 1  x   dx x 1  x   x 1  x  1�  x 1  x x 1  x 2 �2 dx d  x  1 � x 1  x � �1 �I � dx  �  dx  � � � � � � x x  x x x  � �   1 x 1 � �1   x  x 1      32  12  � a  32; b  12; c  Vậy a  b  c  46 Chọn D BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x  liên tục �, thỏa mãn f    Câu 1: Biết hàm số f  x  có đạo hàm f �  f�  x  dx  2 �  tích phân Tính f    A f     3 B f     2 C f     5 D f     3 2  x  liên tục � f     , Câu 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f � �f � x  dx  6 Tính f  2  A f  2   6 B f  2   7 C f  2   5 D f  2   x f�  x  dt Câu 3: Biết f  x  có đạo hàm liên tục � có f    Tính I  � A I  f  x   B I  f  x  1 C I  f  x  D I  f  x   Câu 4: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x  Khi hiệu số F  1  F   2 A f  x  dx �  f  x  dx B � 1  F  x  dx C � 2  F  x  dx D � Câu 5: (Đề thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  1;  , f  1  f    Tính I  � f�  x  dx A I  B I  1 C I  D I  x f�  t  dt Câu 6: Cho f  x  hàm số có đạo hàm liên tục � có f    Tính I  � A I  f  x   B I  f  x  1 C I  f  x  D I  f  x   Câu 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  1;3 thỏa mãn f  1  f  3  m Tìm giá trị tham số m để tích phân f�  x  dx  � A m  B m  C m  D m  4 Câu 8: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  2; 4 thỏa mãn f  2   4 f    Tính tích phân I  �f � x  dx 2 A I  B I  6 C I  D I  2 Câu 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  3;5 thỏa mãn f  3  f    Tính tích phân I� 4f�  x  dx 3 A I  40 B I  32 C I  36 D I  44 Câu 10: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  1;  thỏa mãn f  1  f�  x  dx  Tính giá trị � f   A f    B f    C f    Câu 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  1;3 thỏa mãn f  3  D f    f�  x  dx  Tính giá trị � f  1 A f  1  1 B f  1  11 C f  1  11 D f  1  10 Câu 12: Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x  đoạn  a; b  F  a    F  b  Tính b f  x  dx tích phân I  � a A I  1 B I  C I   D I  Câu 13: Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  đoạn �f  x  dx  1  1; 2 F  1  1 Tính F   1 A F    B F    C F    D F    Biết �f  x  dx  Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho tích phân 1 2 1 1 � g  x  dx  1 Tính I  � x  f  x   3g  x  � � � �dx A I  B I  C I  17 D I  11  f  x  dx  Tính tích phân � Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho tích phân  � I� �f  x   2sin x � �dx B I   A I  Câu 16: Cho  D I    C I  3 3 1 � f  x  dx  � g  x  dx  Tìm I  � 1008 f  x   g  x  � � � �dx A I  2017 B I  2016 C I  2019 D I  2018 Câu 17: Cho f  x  , g  x  hai hàm số liên tục � Chọn mệnh đề sai? A b b a a f  x  dx  � f  y  dy � f  x  dx  � b a a a b b b a a a � f  x  dx � g  x  dx D � �f  x  g  x  � �dx  � a Câu 18: Cho b � f  x  dx  � g  x  dx B � �f  x   g  x  � �dx  � a C b   f  x  cos x  Tính tích phân f x dx  a I  dx theo a   � � cos x 0 A I  a  B I  a  C I  a Câu 19: Biết f  x  hàm số liên tục � thỏa mãn D I  a  6 f  x  dx  4; � f  t  dt  3 Hãy tính tích � phân � � �f  v   3� �dv A I  B I  f  x  dx  10 Câu 20: Cho � A I  D I  C I  4 2 � g  x  dx  Tính tích phân I  � f  x   5g  x  � � � �dx B I  15 C I  5 D I  10 Câu 21: Cho b b a c f  x  dx  � g  x  dx  với a  b  c � B I  A I  2 Câu 22: Cho A I  5 1 B I  Câu 23: Cho tích phân A I  5 g  u  du  � 1 10 a D I  1 � Tính I  � �f  x   g  x  � �dx 1 C I  22 D I   4 2 2 20 f  y  dy �f  x  dx  1, �f  t  dt  4 Tính I  � B I  3 Câu 24: Biết f  x  dx Tính tích phân I  � C I  f  t  dt  2 �f  x  dx  5; � c C I    0 D I  � f  x  dx  Tính tích phân I  � � �f  x   2sin x � �dx B I   A I     2 4 4 C I  D I  C I  e  D I  e3 f  x  dx  Tính I  � e f  x  dx Câu 25: Cho � A I  2e B I  e3  Câu 26: Cho �f  x  dx  10 1 A I  6 4 1 1 � g  x  dx  3 Tính I  �  f  x   2g  x  � � � �dx B I  f  x  dx  Câu 27: Cho � C I  10 D I  1 � e  f  x � � � �dx  e x a  b với a, b số nguyên Khẳng định sau đúng? A a  b B a  b C a  b Câu 28: Cho hàm số f  x  xác định liên tục  0; 4 thỏa D ab  f  x  dx  � f  x  dx  Tính tích � f  x  dx phân I  � A I  Câu 29: Cho hàm số B I  1 C I  f  x  xác định liên tục �có D I  f  x  dx  � I � f  x  dx f  x  dx  Tính � A I  B I  Câu 30: Cho f  x  liên tục � A I  4023 3 4 f  x  dx  2016 , � f  x  dx  2017 Tính I  � f  x  dx � B I  1 Câu 31: Biết x �   x dx   A D I  6 C I  12 D I  C I  1 m m với m, n �� phân số tối giản Tính m  n n n B C – D k Câu 32: Để  k  x  dx  3k   giá trị nguyên k bao nhiêu? � A k  B k  C k  D k  Câu 33: Có số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân x dx  � a A Khơng có B Ba C Một Câu 34: Có hai giá trị số thực a a1 , a2  a1  a2  thỏa mãn D Hai a  x  3 dx  � Hãy tính T  2a1  2a2  log  a1a2  A T  13 B T  14 C T  20 D T  56 C I   b  a  D I  2  b  a  b xdx Câu 35: Cho b  a  Tính I  � a A I    b  a  B I   b  a  b   3x  2ax  dx với a, b tham số Câu 36: Tính tích phân I  � A I  3b  2ab B I  b3  b a  b C I  b3  b Câu 37: Giải phương trình  t  log x  dt  log � A x  B x � 1; 4  3t � với ẩn x x C x � 0; � x Câu 38: Cho bất phương trình 2 D I  a  D x � 1; 2   8t  dt �x,  x   Tính tổng nghiệm ngun bất phương trình A B C D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: f  x  Câu 2: f  x    2 � f     f    2 � f     2 5 Chọn C  6 � f  2   f    6 � f  2   5 Chọn C Câu 3: I  f  x   f  x   f    f  x   Chọn D x 2 f  x  dx � F  1  F    � f  x  dx   � f  x  dx Chọn B Câu 4: F  x   � Câu 5: I  f  x   f    f  1  Chọn A Câu 6: I  f  t   f  x   f    f  x   Chọn D x Câu 7: f  x   � f  3  f  1  � m   � m  Chọn A Câu 8: I  f  x  2 Câu 9: I  f  x   f    f  2   Chọn A 3  4� �f    f  3 � � 32 Chọn B Câu 10: f  x   � f    f  1  � f    Chọn B Câu 11: f  x   � f  3  f  1  � f  1  1 Chọn A Câu 12: Ta có I  F  b   F  a    Chọn C Câu 13: Ta có F    F  1  � F    Chọn B x2 Câu 14: I  2  2.2   1  1 17 Chọn C  Câu 15: Ta có I   cos x  Chọn A Câu 16: Ta có I  1008.2  2.1  2018 Chọn D Câu 17: Theo tính chất tích phân A, B, C D sai Chọn D   5 Câu 18: I  � f  x  dx  � dx  a  tan x cos x 0   a  Chọn B Câu 19: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến 2 6 f  x  dx  3 � I  � f  x  dx  3x  � f  x  dx  � f  x  dx      Chọn A Do � Câu 20: I  3.10  5.5  Chọn A Câu 21: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến Do b b c c a b f  x  dx  � I  � f  x  dx  � f  x  dx    1 Chọn D � �I  1 1 1 4 1 f  x  dx  2; � g  x  dx  � Câu 22: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến Do 1 g  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx      �f  x  dx  � 3 22 Chọn C Câu 23: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến Do 4 2 2 2 2 f  x  dx  �f  x  dx  4 � I  � �f  x  dx  �f  x  dx  1   5 Chọn A    0  Câu 24: I  � � f  x  dx  � 2sin xdx    2 cos x  �f  x   2sin x � �dx  �    Chọn C 2 4 4 e f  x  dx  e � f  x  dx  e 2  2e Chọn A Câu 25: I  � 4 4 1 1 1 1 �  f  x  2g  x � 3dx  � f  x  dx  � g  x  dx Câu 26: I  � � �dx  �  x 1  10   3  15  16  1 Chọn D 2 0 � ex  f  x  � e x dx  � f  x  dx  e x   e  Câu 27: � � �dx  � Do a  2; b  � a  b Chọn C 4 3 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx � I  � f  x  dx    Chọn C Câu 28: � 7 2 4 3 1 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx    12 Chọn C Câu 29: I  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  2016  2017  1 Chọn C Câu 30: I  � 1 �x3 � x  x dx  �  x �   � m  2; n  � m  n  Chọn A Câu 31: � �3 �0   k Câu 32: Ta có  k  x  dx  3k   �  kx  x  � k  1 � �  k  2k   � � Chọn D k 3 � k  3k   �  k  k   3k   x4 x dx  Câu 33: � a  4 a a4  � a4  � a  � 2 Vậy có giá trị a thỏa mãn Chọn D a Câu 34: a 1 �  a  3a   � � a2 �  x  3 dx   x  3x  � a a a Do T   2  log  a1a2     log   b 13  Chọn A 2 xdx  x  b  a   b  a   b  a    b  a  Chọn B Câu 35: I  � a b a b    x  2ax  dx  x  ax  x Câu 36: I  �  b  b3  ab  b Chọn B Câu 37: ĐK: x  2 �t � 2 t  log x dt  log � Ta có �  �  t log x �  2log 2  x x �2 �0 �  log x  log 2 � 2� �  2log �x � (Đúng với x  ) x � x� Do nghiệm phương trình là: x � 0; � Chọn C x Câu 38:  3t �    8t  dt �x � t  4t  4t  x �x � x3  x  x �x � x  x  3x �0 � x  x  1  x  3 �0  * ��  ���� � x x�  x Với x  ta có:  * ۣ  1; 2;3 T Chọn C  ... (Đề thi THPT Quốc gia năm 20 17 – Mã đề 102) Cho tích phân 1 2 1 1 � g  x  dx  1 Tính I  � x  f  x   3g  x  � � � �dx A I  B I  C I  17 D I  11  f  x  dx  Tính tích phân. .. I  B I  C I  17 D I  11  f  x  dx  Tính tích phân � Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 20 17 – Mã đề 104) Cho tích phân  � I� �f  x   2sin x � �dx B I   A I  Câu 16: Cho  D I...   4 f    Tính tích phân I  �f � x  dx 2 A I  B I  6 C I  D I  2 Câu 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  3;5 thỏa mãn f  3  f    Tính tích phân I� 4f�  x  dx