Chủ đề 9 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 9 CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức tích phân từng phần Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì Hay II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1 Sử dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 1 Cho tích phân và Khẳng định nào sau đây đúng? A B C D Lời giải Ta có Chọn D Ví dụ 2 Cho tích phân Tính A B C D Lời giải Đặt Suy ra Chọn B Ví dụ 3 Cho tích phân với Tính A B C D Lời giải Đặt Khi đó Xét tích phân , ta đặt Khi đó Vậy Chọn C Ví dụ 4.

CHỦ ĐỀ 9: CƠNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tích phân phần: Nếu u = u ( x ) v = v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn b b b [ a; b] ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x )  a − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx a b a b Hay ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a a II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng cơng thức tích phân phần π Ví dụ 1: Cho tích phân I = ∫ x cos xdx u = x ; dv = cos xdx Khẳng định sau đúng? π π A I = x sin x − ∫ x sin xdx π π π C I = x sin x + ∫ x sin xdx π B I = x sin x + ∫ x sin xdx π π D I = x sin x − ∫ x sin xdx 0 Lời giải π π u = x  du = xdx ⇒ ⇒ I = x sin x − 2∫ x sin xdx Chọn D Ta có   dv = cos xdx v = sin x Ví dụ 2: Cho tích phân ∫ ( x + 1) e dx = ae x + be + c ( a, b, c Ô ) Tớnh S = a + b + c A S = 13 B S = 10 C S = Lời giải D S = 2 u = x + du = 2dx x x ⇒ ⇒ ∫ ( x + 1) e dx = ( x + 1) e − ∫ e x dx = ( x − 1) e x = 3e + Đặt  x x 0  du = e dx v = e 0 Suy a = 3; b = 0; c = ⇒ S = a + b + c = 10 Chọn B π Ví dụ 3: Cho tích phân I = ( x + 1) sin xdx = aπ2 + bπ + c với a, b, c Ô Tớnh T = a + b + c ∫ A T = B T = 12 C T = Lời giải u = x + du = xdx ⇔ Đặt  v = − cos x  dv = sin xdx π π π 0 Khi I = − ( x + 1) cos x + x cos xdx − + x cos xdx ∫ ∫ D T = 10 π u = x du = dx ⇔ Xét tích phân J = x cos xdx , ta đặt  ∫0  dv = cos xdx v = sin x π π Khi J = x sin x − sin xdx = π + cos x = π − ∫0 2 π a =  Vậy I = π − ⇒ b = ⇒ T = Chọn C  c = −1  Ví dụ 4: Cho tích phân I = ∫ ( x + 1) ln xdx = a ln + b ln + c vi a, b, c Ô Khng định khẳng định đúng? A a = 3b B a = −3b C a + b = 40 Lời giải D a − b = 20 dx  u = ln x du = ⇔ ⇒ I = x + x ln x − x + 1) x Đặt  ( ) (  ∫ 2 v = x + x  dv = ( 3x + 1) dx   x3  22 = 30 ln − 10 ln −  + x ÷ = 30 ln − 10 ln − ⇒ a = 30; b = −10; c = −3b Chọn B  2 Ví dụ 5: Cho I = ∫ ( ln ) dx = a.ln + b.ln + c , vi a, b, c Ô , tng a + b + c x +1 x A B ( ) C 12 Lời giải dx  u = ln x + du =    x x +1 ⇔ Đặt  , I = dx v =  x  v = x + ( ( =2 ( ) ( x + ln ) x +1 ) ) ( D ) ( x + ln ) x +1 4 −∫ dx x a =  − x = 6.ln − 4.ln − = a.ln + b.ln + c ⇒ b = −4  c = −2  Vậy tổng a + b + c = − − = Chọn D π Ví dụ 6: Cho tích phân I = ∫ x sin x ( + cos x ) dx = a a phân số tối giản Khẳng định π − c với a, b, c ∈ ¥ b b sau đúng? A a + b = 3c B a + 2b = c C a + b = 2c Lời giải D a + 2b = 3c π π u = x  du = dx 2 x dx   ⇒I= −∫ Đặt  dv = x sin x dx ⇒  1 + cos x 0 + cos x  v = + cos x ( + cos x )  π π dx x2 = π−∫ = π − tan = π − ⇒ a = 1; b = 2; c = x 2 2 0 cos Do a + b = 3c Chọn A Dạng 2: Tích phân phần với hàm ẩn Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx B I = A I = −12 u = x +  du = dx ⇔ Đặt  ,  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) D I = −8 C I = 12 Lời giải ∫ ( x + 1) 1 0 f ' ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx ⇔ 10 = f ( 1) − f ( ) − I ⇔ I = f ( 1) − f ( ) − 10 = − 10 = −8 Chọn D Ví dụ 2: Cho 0 ∫ ( − x ) f ′ ( x ) dx = f ( ) + f ( ) = 2016 Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng: A 4032 B 1008 C Lời giải D 2016 Xét tích phân ∫ ( − 2x ) f ′ ( x ) dx 2 u = − x du = −2dx ⇒ ⇒ I = ( − x ) f ( x ) + ∫ f ( x ) dx Đặt   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 2 0 = f ( ) + f ( ) + 2∫ f ( x ) dx ⇒ 2016 = −2016 + ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2016 0 Xét J = ∫ f ( x ) dx , đặt t = x ⇒ dt = 2dx , đổi cận suy J = ∫ f ( t ) Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn điều kiện ∫ f ( x) ∫ ( x + 1) 2 dt = f ( x ) dx = 1008 Chọn B 2 ∫0 f ′( x) dx = f ( 1) − f ( ) = Tính tích phân x +1 dx A B C D Lời giải     dx u = x +1 ⇔  du = − Đặt  , ( x + 1)  dv = f ′ ( x ) dx    v = f ( x)  ∫ f ′( x) f ( x) f ( x) dx = +∫ dx x +1 x + 0 ( x + 1) f ( x)  f ( 1)  1 + I ⇒ I = 1−  − f ( )  = −  f ( 1) − f ( )  = − = Chọn A Suy = x +1 2   Ví dụ 4: Cho F ( x ) = x + ln x nguyên hàm hàm số A I = e + 3e B I = e + f ( x) Tính tích phân x C I = −e + e Lời giải e ∫ f ′ ( x ) ln xdx D I = e +  e u = ln x f ( x) e  du = dx x ⇒ I = ln x f ( x ) − ∫ ⇒ dx Đặt  x  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  e ⇒ I = ln xf ( x ) − x − ln x  = f ( e ) − e − + = f ( e ) − e  3ln x  ′ f x = xF x = x x + ( )  Mặt khác ( ) ÷ ⇒ f ( e ) = 2e + x   Do I = e + Chọn B 3x x 3x Ví dụ 5: Cho F = ( x + x ) e nguyên hàm hàm số f ( x ) e Tính tích phân I = ∫ f ′ ( x ) e dx A I = e B I = e + C I = −e + Lời giải D I = −e u = e3 x du = 3e3 x dx ⇒ Đặt    dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) ⇒ I = e f ( x ) − 3∫ e f ( x ) dx = e f ( x ) − ( x + x ) e  3x 3x Trong f ( x ) = 3x 3x F ′ ( x ) x3 + x + x = ⇒ I = e x ( −2 x + x + x ) = e Chọn A 3x 2x e e Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục dương ¡ Biết f ( 1) = 2, x2 f ′ ( x ) dx phân I = ∫ f ( x) xdx ∫ f ( x ) = ln Tính tích B I = − + ln A I = + ln C I = − − ln Lời giải D I = −2 + ln u = x du = xdx   ⇒ f ′( x) Đặt  v = − dv = dx   f ( x) f ( x)   1 − x2 x −1 ⇒I = + 2∫ = + 2ln = − + ln Chọn B f ( x) f ( x ) f ( 1) Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  dx = dx = ∫ x f ( x ) dx = A Tích phân 23 B ∫ f ( x ) dx C D 19 Lời giải  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Đặt  , x2 dv = xdx  v =  1 x2 x2 x f x dx = f x − ( ) ( ) ∫0 ∫0 f ′ ( x ) dx 2 f ( 1) x − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = Suy = 2 0 1 1 0 2 Ta chọn k cho: ∫  f ′ ( x ) + kx  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2k ∫ f ′ ( x ) x dx + k ∫ x dx = 2 k2 x3 2 ′ ′ = + 2k + = ⇒ k = −5 ⇒ ∫  f ( x ) − x  dx = ⇒ f ( x ) = x ⇒ f ( x ) = +C 13 x 13 19 + ⇒ ∫ f ( x ) dx = Chọn D Do f ( 1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = 3 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  1 ∫0 x f ( x ) dx = Tích phân I = ∫0 f ( x ) dx A I = B I = C I = Lời giải D I =  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Đặt  x2  dv = xdx v =  1 1 x2 1 1 Do ∫ x f ( x ) dx = f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx = 20 20 0 1 Suy ∫ x f ′ ( x ) dx = ; ∫ x dx = 5 6k k 2 ′   f x + kx dx = + + = ⇒ k = −3 Chọn k cho: ∫  ( )  5 2 Như ∫  f ′ ( x ) − x  dx = ⇒ f ′ ( x ) = 3x ⇒ f ( x ) = x + C 1 0 Do f ( 1) = ⇒ C = ⇒ I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫ x f ( x ) dx = A ∫  f ′ ( x )  dx = 37 Tích phân I = ∫  f ( x ) − 1dx 180 15 B − 15 C − 10 D 10 Lời giải du = f ' ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Đặt  x4 dv = x dx v =    4 x f ′( x) x4 x −∫ dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = − Do ∫ x f ( x ) dx = f ( x ) − ∫ f ′ ( x ) dx = 4 20 0 0 1 Lại có: ∫ x dx = 1 −2 k ′   f x + kx dx = + k + =0⇒k = ( ) ta chọn k cho: ∫   9 9 4 Như ∫  f ′ ( x ) + x  dx = ⇒ f ′ ( x ) = −2 x ⇒ f ( x ) = Do f ( 1) = −2 x +C 3 −2 −2 −1 ⇒ = + C ⇔ C = ⇔ f ( x ) −1 = x ⇒ ∫  f ( x ) − 1 dx = Chọn B 5 5 15 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;3] thỏa mãn f ( 3) = , ∫  f ′ ( x )  dx = 27 3 42 ∫ x f ( x ) dx = Tích phân I = ∫ f ( x ) dx 0 A B C D Lời giải du = f ' ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Đặt  x4  dv = x dx v =  3 x4 x4 x f x dx = f x − ( ) ( ) ∫0 ∫0 f ′ ( x ) dx 45 81 f ( 3) x4 = − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −9 Suy 4 0 3 3 Ta chọn k cho: ∫  f ′ ( x ) + kx  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2k ∫ f ′ ( x ) x dx + k 2 0 ∫ x dx 1 − x5 = − 2.9k + 2187 k = ⇒ k = ⇒ f ′( x) = − x ⇒ f ( x) = + ⇒ ∫ f ( x ) dx = Chọn C 27 243 243 1215 Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục Đào Tạo 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  dx = A B 1 ∫ x f ( x ) dx = C Tích phân ∫ f ( x ) dx D Lời giải 1 du =′ ( x ) dx u = f ( x ) 3 ⇒ Đặt  , ∫ 3x f ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx 0  dv = x dx v = x 1 3 Suy I = f ( 1) − ∫ x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇔ ∫ 14 x f ′ ( x ) dx = −7 Mà 0 1 0 ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ x f ′ ( x ) dx + ∫ 49 x dx = ⇔ ∫  f ′ ( x ) + x  dx = 0 2 Vậy f ′ ( x ) + x = ⇒ f ( x ) = − x + C 7 Mà lại có: f ( 1) = ⇒ f ( x ) = ( − x ) ⇒ ∫ f ( x ) dx = Chọn A ∫ 49 x dx = suy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Với u v hàm số xác định liên tục đoạn [ a; b ] Công thức biểu diễn tích phân phần cho cơng thức sau đây? b b b A ∫ udv = uv a − ∫ udv b a b a b a b a b C ∫ udv = uv a + ∫ udv b b B ∫ udv = uv a − ∫ vdu a b D ∫ udv = uv a − ∫ vdu a b a a Câu 2: Cho tích phân I = ∫ ln xdx , biểu thức sau thể cách tính I theo cơng thức tích phân phần A I = ( x ln x ) − ∫ dx 3 2 C I = ( x ln x ) − ∫ ln xdx 3 B I = ( x ln x ) + ∫ xdx D I = ( x ln x ) + ∫ ln xdx 2 b ∫ x sin xdx cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân Câu 3: Khi tính tích phân a phần? u = sin x A   dv = xdx u = x B   dv = sin xdx u = sin x C   dv = x u = x D   dv = sin x b Câu 4: Khi tính tích phân ∫ x ln xdx cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân a phần? u = x A   dv = ln xdx u = ln x B   dv = x u = ln x C   dv = xdx u = x D   dv = ln x b ∫ x sin xdx cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân Câu 5: Khi tính tích phân a phần? u = x A   dv = sin x u = sin x B   dv = xdx u = sin x C  v = x u = x D   dv = sin xdx Câu 6: Trong đẳng thức sau, đẳng thức nói tích phân π ∫ xcos xdx π π 2 A I = x sin x + cos x π π 2 B I = x sin x + cos x 2 π π π 2 C I = x sin x + cos x 4 π 2 D I = x sin x − cos x x 0 π Câu 7: Trong đẳng thức sau, đẳng thức nói tích phân I = x sin xdx ∫ π π 2 A I = x cos x − sin x 0 π π π π π 2 B I = − x cos x + sin x 0 π 2 C I = − x cos x + sin x 2 0 2 D I = − x cos x − sin x 0 π x ∫ cos xdx Câu 8: Trong đẳng thức sau, đẳng thức nói tích phân π A I = − ( x tan x ) + ln ( cos x ) π C I = ( x tan x ) + ln ( cos x ) π π π B I = ( x tan x ) − ln ( cos x ) π π D I = − ( x tan x ) − ln ( cos x ) π e Câu 9: Cho tích phân I = ∫ x ln xdx Mệnh đề đúng? e A I = e 2 x ln x + ∫ x ln xdx 1 e e D x ln x − ∫ x ln xdx 1 2 C I = x ln x − ∫ x ln xdx Câu 10: Cho tích phân e e e e 2 B I = x ln x + ∫ x ln xdx π ∫ ( x − 1) sin xdx Mệnh đề đúng? π π A I = − ( x − 1) cos x + cos xdx ∫0 π π C I = ( − x ) cos x + cos xdx 2 ∫0 Câu 11: Cho tích phân π ∫ ( − x ) sin xdx π B I = − ( x − 1) cos x − cos xdx ∫ π π D I = ( − x ) cos x − cos xdx 2 ∫0 đặt u = − x, dv = sin xdx Hỏi khẳng định sau đúng? π π A I = − ( − x ) cosx − cosxdx ∫ π π B I = − ( − x ) cosx − cosxdx ∫ π π C I = ( − x ) cosx + cosxdx ∫ D I = ( − x ) π π + ∫ cosxdx b Câu 12: Biết ∫ ln ( x + 1) dx = a + ln b với a, b số nguyên Tính ( a + 3) A 25 B e Câu 13: Biết a C 16 c ∫ ( x + 1) ln xdx = b + d e A B với D a c a c hai phân số tối giản Tính + b d b d C D x Câu 14: Biết ∫ ( 3x − 1) e dx = a + be với a, b số nguyên Tính S = a + b A S = 12 B S = 16 e Câu 15: Biết ∫ x ln xdx = A a c + =− b d C S = D S = 10 a c a c a c e + với hai phân số tối giản Tính + b d b d b d B a c + = b d C a c + =− b d D a c + =− b d e Câu 16: Biết ∫ x ( + ln x ) dx = ae + b với a, b số nguyên Tính M = ab + ( a + b ) A M = −5 B M = −2 C M = D M = −6 Câu 17: Biết ln x b c dx = + a ln với a ∈ ¡ hai phân số tối giản Tính 2a + 3b + c x c d ∫ B −6 A Câu 18: Biết π π x C D ∫ cos x dx = a + b ln với a, b số thực khác Tính P = a + b B P = A P = 2x Câu 19: Biết ∫ 3xe dx = A C P = D P = a c a c a c + e với hai phân số tối giản Tính + b d b d b d B C D a a Câu 20: Biết ∫ x ln ( + x ) dx = − + c ln với a, b, c ∈ ¡ phân số tối giản b b A B C 15 D 12 Câu 21: Biết ∫ ln ( x + 1) dx = a ln + b với a, b Ô Tớnh S = 3a b A S = Câu 22: Biết B S = 11 π C S = x ∫ cos x dx = aπ − ln với a ∈ ¡ D S = Hỏi phần nguyên a − bao nhiêu? B −2 A π Câu 23: Biết x ∫ sin π x dx = mπ + n ln với m, n ∈ ¡ Tính P = 2m + n B P = 0, 75 A P = D −1 C C P = 0, 25 D P = Câu 24: Biết ∫ ln ( x + 1) dx = a ln + b ln + c với a, b, c ∈ ¢ Tính S = a + b + c A S = B S = Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn A I = −12 C S = 1 0 ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = Tính ∫ f ( x ) dx B I = ∫ B I = D I = −8 C I = Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( 1) = A I = D S = −2 π f ( t ) dt = Tính sin x f ′ ( sin x ) dx ∫ C I = D I = Câu 27: Cho hàm số f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) đoạn [ 1; 2] , F ( ) = −2 ∫ F ( x ) dx = Tính ∫ ( x − 1) f ( x ) dx A I = −3 B I = C I = −4 D I = Câu 28: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm [ 1; 2] thỏa mãn f ( 1) = 0, f ( ) = ∫ f ( x ) dx = Tính ∫ x f ′ ( x ) dx A I = C I = B I = Câu 29: Cho f ( x ) liên tục ¡ f ( ) = 16, ∫ f ( x ) dx = Tính A I = 13 B I = 12 C I = 20 D I = ∫ x f ′ ( x ) dx D I = Câu 30: Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 1 0 [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f ( 1) = 6, ∫ x f ′ ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = −1 Câu 31: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn A I = 10 D I = C I = 11 1 0 ∫ x f ′′ ( x ) dx = 12 f ( 1) − f ′ ( 1) = −2 Tính I = ∫ f ( x ) dx C I = B I = 14 D I = 3 f ( x) f ( x) Câu 32: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ x f ′ ( x ) e dx = f ( 3) = ln Tính I = ∫ e dx A I = C I = − ln B I = 11 D I = + ln x2 Câu 33: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos tdt Hỏi khẳng định sau đúng? A G′ ( x ) = xcos x B G′ ( x ) = x cos x Câu 34: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn D G′ ( x ) = x sin x 0 ∫ f ( x ) dx = f ( ) = Tính I = ∫ f ′ ( B I = A I = C G′ ( x ) = x cos x C I = Câu 35: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ) x dx D I = b ∫ x f ′′ ( x ) dx = a, b số thực dương, đồng thời a f ′ ( a ) = −2; f ′ ( b ) = f ( a ) = f ( b ) Tìm giá trị nhỏ P = A P = 23 20 B P = Câu 36: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn C P = 784 391 4a 9b + 3b + 2a + D P = 2 ∫ f ′ ( x ) ln  f ( x )  dx = f ( 1) = 1, f ( ) > Tính f ( ) A f ( ) = B f ( ) = C f ( ) = e D f ( ) = e Câu 37: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f ( ) = , ∫  f ′ ( x )  2 ∫ x f ( x ) dx = A I = 2 152 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx 21 B I = 23 C I = 26 D I = dx = Câu 38: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;3] thỏa mãn f ( 3) = , ∫  f ′ ( x )  dx = 3 ∫ x f ( x ) dx = A 567 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx B 45 C D Câu 39: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  dx = 1 ∫0 x f ( x ) dx = Tích phân I = ∫0 f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Câu 40: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f ( ) = , ∫  f ′ ( x )  ∫ x f ( x ) dx = A I = 19 40 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = C I = 42 D I = 29 dx = 14 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN b b Câu 1: Ta có ∫ udv = uv a − ∫ vdu Chọn D b a a 3 Câu 2: I = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ xd ( ln x ) = x ln x − ∫ dx Chọn A 3 2 u = x Câu 3: Đặt  Chọn B  dv = sin xdx u = ln x Câu 4: Đặt  Chọn C  dv = xdx u = x Câu 5: Đặt  Chọn D  dv = sin xdx π ∫ xcos xdx = Câu 6: Ta có π π π π π π 1 1 + Chọn A xd sin x = x sin x − sin xdx = x sin x cos x ( ) ∫ 0 ∫0 2 0 π π π π π 2 Câu 7: x sin xdx = − xd ( cos x ) = − xcos x + cos xdx = − x cos x + sin x Chọn B ∫0 ∫ ∫ 20 20 0 π π π 4 π π π x Câu 8: − tan xdx = ( x tan x ) − ln ( cos x ) Chọn C dx = xd tan x = x tan x ( ) ∫0 cos x ∫0 ∫0 0 e e e e e e 1 Câu 9: ∫ x ln xdx = ∫ ln xd ( x ) = x ln x − ∫ x d ( ln x ) = x ln x − ∫ x ln xdx Chọn D 21 2 1 1 Câu 10: π π ∫ ( x − 1) sin xdx = − ∫ ( x − 1) d ( cos2 x ) = ( − x ) cos x Câu 11: Ta có π π 0 ∫ ( − x ) sin xdx = ∫ ( x − ) d ( cos x ) = ( x − ) cosx π π + π cos xdx Chọn C ∫0 π − ∫ cosxdx Chọn A 1 u = ln ( x + 1) xdx   ⇒ ln x + dx = x ln x + − dx = ln − ( ) ( )0 ∫ Câu 12: Đặt  1 − ÷dx ∫ ∫ x + x +    dv = dx 0 = ln  x − ln x +  = −1 + ln Do suy a = −1, b = ⇒ ( a + 3) = 24 = 16 Chọn C b e e e e 1 Câu 13: ∫ ( x + 1) ln xdx = ∫ ln xd ( x + x ) = ( x + x ) ln x − ∫ ( x + ) dx = 21 1 e e + 2e  e + 2e    5 = −  x + 2x ÷ = −  e + e ÷+ = + e 2 22 1 4  4 ⇒ a c a c = , = ⇒ + = Chọn A b d b d 2 x x x  2x  Câu 14: ∫ ( 3x − 1) e dx = 2∫ ( x − 1) d  e ÷ = ( x − 1) e − ∫ e dx = 10e + − 12e   0 0 2 x = 10e + − 12e + 12 = 14 − 2e ⇒ a = 14, b = −2 ⇒ a + b = 12 Chọn A e Câu 15: ∫ x ln xdx = Do suy e e e e 1 1 1 1 ln xd ( x3 ) = x ln x − ∫ x dx = e3 − x = e3 − e3 + = + e3 ∫ 31 31 9 9 a c a c = , = ⇒ + = Chọn C b d b d e e Câu 16: ∫ x ( + ln x ) dx = ∫ ( + ln x ) d ( x 0 ) = x ( + ln x ) e e − ∫ xdx = 4e − − x e = 4e − − e + = 3e2 − ⇒ a = 3; b = −1 ⇒ M = ab + ( a + b ) = Chọn C 2 2 ln x ln x dx ln 1 1 + ∫ =− − = − ln Câu 17: ∫ dx = − ∫ ln xd  ÷ = − x x 1x x1 2 x 1 Do suy a = − , b = 1, c = ⇒ 2a + 3b + c = Chọn A π π π x π Câu 18: − tan xdx = dx = xd tan x = x tan x + ln cos x ( ) ∫0 cos x ∫0 ∫1 π = π π + ln = − ln 4 4 Do suy a = 4, b = −4 ⇒ P = a + b = Chọn C 1 1 3 3 3 3 3 Câu 19: ∫ 3xe dx = ∫ xd ( e x ) = xe x − ∫ e x dx = e − e x = e − e + = e + 20 20 4 4 0 2x Do suy a c a c = , = ⇒ + = Chọn A b d b d 1 1 1 Câu 20: ∫ x ln ( + x ) dx = ∫ ln ( + x ) d ( x + 1) = ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ xdx 20 20 0 1 = ln − x = − ln ⇒ a = 1, b = 2, c = ⇒ S = a + b + c + abc = Chọn B 2 3dx  du = 1  3x + u = ln ( x + 1)  3x + ⇒ ⇒I= ln ( 3x + 1) − ∫ dx Câu 21: Đặt   dv = dx 0 v = x + = x +  3  a = = ln − ⇒  ⇒ S = 3a − b = Chọn D b = −1 π π u = x 3 π d ( cos x ) du = dx  ⇒ I = x tan x − ∫ tan xdx = π+ ∫ Câu 22: Đặt  dx ⇒  cosx v = tan x 0  dv = cos x = π + ln cos x π = 3 π + ln = π − ln ⇒ a = ⇒ phần nguyên a − −1 Chọn D 3 π π u = x du = dx π cos x π d ( sin x )   dx = + ∫ Câu 23: Đặt  dx ⇒  − cos x ⇒ I = − x cot x π2 + ∫ π sin x π sin x  dv = sin x v = − cot x = sin x 4 = π + ln sin x π π = π π 1 − ln = + ln ⇒ m = ; n = 4 2 Do P = 2m + n = Chọn A dx  2 u = ln ( x + 1)  du = ⇒ x + ⇒ I = ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ dx Câu 24: Đặt   dv = dx v = x + = 3ln − ln − ⇒ a = 3; b = −2; c = −1 ⇒ S = a + b + c = Chọn B u = x + du = dx ⇒ Câu 25: Đặt  ,  dv = f ′ ( x ) dx v = f ′ ( x ) 1 ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx 0 ⇔ 10 = f ( 1) − f ( ) − I ⇔ I = f ( 1) − f ( ) − 10 = − 10 = −8 Chọn D 1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = Câu 26: Ta có π π π 0 Lại có: sin x f ′ ( sin x ) dx = sin x.cosx f ′ ( sin x ) dx = sin x f ′ ( sin x ) d ( sin x ) ∫ ∫ ∫ π π 0 u =sin x  → 2∫ u f ′ ( u ) du = ∫ x f ′ ( x ) dx = I u = x du = dx 1 ⇒ ⇒ I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − = Đặt  3  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) π Do sin x f ′ ( sin x ) dx = Chọn A ∫0 Câu 27: Theo giả thiết ta có F ′ ( x ) = f ( x ) u = x −  du = dx ⇒ ⇒ I = x − F x − ( ) ( ) ∫ F ( x ) = F ( ) − = −4 Chọn C Đặt    dv = f ( x ) dx v = F ( x ) u = x du = dx ⇒ Câu 28: Đặt   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) ⇒ I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − f ( 1) − = − − = Chọn C 1 Câu 29: I = ∫ x f ′ ( x ) dx = 2 1 t =2 x x f ′ ( x ) d ( x )  → ∫ t f ′ ( t ) dt = ∫ x f ′ ( x ) dx ∫ 40 40 40 2 1 1 u = x du = dx ⇒ ⇒ I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − Đặt  40  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) = 16 − = Chọn D 1 u = x du = dx ⇒ ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − I Câu 30: Đặt  0  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Suy I = f ( 1) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − = Chọn A 1 u = x du = xdx 2 ⇒ ⇒ ∫ x f ′′ ( x ) dx = x f ′ ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx Câu 31: Đặt  0  dv = f ′′ ( x ) dx v = f ′ ( x ) 2 0 = f ′ ( 1) − ∫ x f ′ ( x ) dx = 12 ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = f ′ ( 1) − 12 1 u = x  du = xdx ′ ⇒ ⇒ x f x dx = x f x − f x dx = f − ( ) ( )0 ∫ ( ) ( ) ∫ f ( x ) dx Đặt   ∫ v = f x ′ dv = f x dx ( ) ( )  0   1 f ′ ( 1) − 12 f ′ ( 1) − 12 f ( 1) − f ′ ( 1) + 12 = f ( 1) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − = Khi 2 0 = −2 + 12 = Chọn D Câu 32: Ta có e f ( x ) ′ = e f ( x ) f ′ ( x )   3 u = x du = dx f ( x) f ( x) ′ ⇒ ⇒ ∫ x f ( x ) e dx = xe − ∫ e f ( x ) dx Đặt  f ( x) f ( x) 1  dv = f ′ ( x ) e dx v = e ⇒ = 3e f ( 3) = 3eln − I = − I ⇒ I = Chọn A Câu 33: Giả sử F ( t ) = ∫ cos tdt ⇒ F ′ ( t ) = cos t x2 ′ 2 Ta có: G ( x ) = ∫ cos tdt = F ( x ) − F ( ) ⇒ G ′ ( x ) =  F ( x )  = x.F ′ ( x ) = x.cos x = xcos x Chọn A x = → t = Câu 34: Đặt t = x ⇔ t = x ⇔ dx = 2tdt  x = → t = 2 u = t  du = dt I = Do ∫0 2t f ′ ( t ) dt Đặt dv = f ′ ( t ) dt ⇔ v = f ( t )   ⇒ 2 I = t f ( t ) − ∫ f ( t ) dt = f ( ) − ∫ f ( x ) dx = 2.2 − = ⇒ I = Chọn A 0 b b b u = x du = dx ⇒ ⇒ ∫ x f ′′ ( x ) dx = x f ′ ( x ) a − ∫ f ′ ( x ) dx Câu 35: Đặt  a a  dv = f ′′ ( x ) dx v = f ′ ( x ) = b f ′ ( b ) − a f ′ ( a ) − f ( x ) a = 3b − ( −2a ) −  f ( b ) − f ( a )  = 2a + 3b = ⇔ u + v = b 2 2a 3b u + v) 42 Ta có P = ( ) + ( ) = u + v ≥ ( = = Vậy P = Chọn B 3b + 2a + v + u + u + v + 4 + 2  f ′( x) u = ln  f ( x )  dx  du = f ( x) ⇔ Câu 36: Ta có  v = f x  dv = f ′ ( x ) dx ( )  2 Suy I = ∫ f ′ ( x ) ln  f ( x )  dx = f ( x ) ln  f ( x )  − ∫ f ′ ( x ) dx 1 = f ( ) ln  f ( )  − f ( 1) ln f ( 1)  −  f ( ) − f ( 1)  = f ( ) ln  f ( )  − f ( ) + Mà I = → f ( ) ln  f ( )  − f ( ) = ⇔ f ( ) = e Chọn C  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Câu 37: Đặt  , x3 dv = x dx v =   2 2 x3 x3 x f x dx = f x − ( ) ( ) ∫0 ∫0 f ′ ( x ) dx 2 152 x3 16 = f ( ) − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x3 f ′ ( x ) dx = Suy 21 3 0 2 2 0 3 Ta chọn k cho: ∫  f ′ ( x ) + kx  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2k ∫ f ′ ( x ) x dx + k ∫ x dx = 2 2 32 128k −1  x3 x4  = + k+ =0⇒k = ⇒ ∫  f ′ ( x ) − x  dx = ⇒ f ′ ( x ) = ⇒ f ( x ) = +C 7 8  32  Do f ( ) = ⇒ C = x4 26 ⇒ f ( x) = + ⇒ ∫ f ( x ) dx = Chọn C 32 du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Câu 38: Đặt  , x4  dv = x dx v =  3 x4 x4 ∫0 x f ( x ) dx = f ( x ) − ∫0 f ′ ( x ) dx 567 81 f ( 3) x4 = − f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −81 Suy ∫ 4 0 3 3 3 0 4 Ta có: ∫  f ′ ( x ) + kx  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2k ∫ f ′ ( x ) x dx + k ∫ x dx 2 3 − 2.81k + 2187 k = ⇒ k = 1 − x 39 45 ⇒ f ′ ( x ) = − x4 ⇒ f ( x ) = + ⇒ ∫ f ( x ) dx = 27 27 135 Chọn B  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Câu 39: Đặt  , x2 dv = xdx  v =  1 x2 x2 x f x dx = f x − ( ) ( ) ∫0 ∫0 f ′ ( x ) dx 2 f ( 1) x − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = Suy = 2 0 1 Ta chọn k cho: ∫  f ′ ( x ) + kx  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2k ∫ f ′ ( x ) x dx + k 2 2 ∫ x dx = 2 k2 x3 = + k+ = ⇒ k = −1 ⇒ ∫  f ′ ( x ) − x  dx = ⇒ f ′ ( x ) = x ⇒ f ( x ) = + C 5 x3 Do f ( 1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = + ⇒ ∫ f ( x ) dx = Chọn B 3  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Câu 40: Đặt  , x3  dv = x dx v =  Suy 2 x3 x3 x f x dx = f x − ( ) ( ) ∫0 ∫0 f ′ ( x ) dx 2 40 x3 = f ( ) − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = 16 3 0 2 Ta chọn k cho: ∫  f ′ ( x ) + kx  dx = ∫  f ′ ( x )  dx + 2k ∫ f ′ ( x ) x dx + k 2 0 = 14 + 32k + 2 ∫ x dx = 128k −7  x3 x4  =0⇒ k = ⇒ ∫  f ′ ( x ) − x3  dx = ⇒ f ′ ( x ) = ⇒ f ( x) = +C 8 32   Do f ( ) = ⇒ C = 7 x4 42 ⇒ f ( x) = + ⇒ ∫ f ( x ) dx = Chọn C 32 ... với phương pháp tích phân Câu 3: Khi tính tích phân a phần? u = sin x A   dv = xdx u = x B   dv = sin xdx u = sin x C   dv = x u = x D   dv = sin x b Câu 4: Khi tính tích phân ∫ x ln... với phương pháp tích phân a phần? u = x A   dv = ln xdx u = ln x B   dv = x u = ln x C   dv = xdx u = x D   dv = ln x b ∫ x sin xdx cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân. .. Do a + b = 3c Chọn A Dạng 2: Tích phân phần với hàm ẩn Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx B I = A I =