Chủ đề 4 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN tìm NGUYÊN hàm

Chủ đề 4 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên ta có công thức nguyên hàm từng phần Chú ý Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng trong đó và là 2 trong 4 hàm số Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ Để tính nguyên hàm từng phần ta làm như sau – Bước 1 Đặt (trong đó là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số ) – Bước 2 Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có Chú ý Khi và và là 2 trong 4 hàm.

Chủ đề 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K ta có cơng thức nguyên hàm phần: ∫ udv = uv − ∫ vdu Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm phần nguyên hàm có dạng I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx, f ( x ) g ( x ) hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ Để tính nguyên hàm ∫ f ( x ) g ( x ) dx phần ta làm sau: u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx ⇒ – Bước Đặt  (trong G ( x ) nguyên hàm hàm số  dv = g ( x ) dx v = G ( x ) g ( x) ) – Bước Khi theo cơng thức ngun hàm phần ta có: ∫ f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) G ( x ) − ∫ G ( x ) f ' ( x ) dx Chú ý: Khi I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) g ( x ) hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức) Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ) Tức hàm số đứng trước câu nói ta đặt u hàm Ví dụ: u = f ( x ) • Nếu f ( x ) hàm log, g ( x ) hàm lại, ta đặt   dv = g ( x ) dx u = g ( x ) • Tương tự f ( x ) hàm mũ, g ( x ) hàm đa thức, ta đặt   dv = f ( x ) dx Một số dạng nguyên hàm phần thường gặp  Dạng 1: I = ∫ P ( x ) ln ( mx + n ) dx, P ( x ) đa thức u = ln ( mx + n ) Theo quy tắc ta đặt   dv = P ( x ) dx sin x   Dạng 2: I = ∫ P ( x )   dx, P ( x ) đa thức cos x  u = P ( x )  Theo quy tắc ta đặt  sin x   dv = cos x  dx    ax + b  Dạng 3: I = ∫ P ( x ) e dx, P ( x ) đa thức u = P ( x ) Theo quy tắc ta đặt  ax + b  dv = a dx sin x  x  Dạng 4: I = ∫   e dx  cos x   sin x  u =   Theo quy tắc ta đặt   cos x   x  dv = e dx B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I1 = ∫ x sin xdx 3x b) I = ∫ xe dx c) I = ∫ x cos xdx Lời giải: d) I = ∫ x ln xdx a) I1 = ∫ x sin xdx u = x du = dx ã Cỏch 1: t  sin xdx = dv v = − cos x  → I1 = ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C • Cách 2: I1 = ∫ x sin xdx = − ∫ xd ( cos x ) = −  x cos x − ∫ cos xdx  = − x cos x + sin x + C 3x b) I = ∫ xe dx du = dx u = x  ¬ → • Cách 1: Đặt  x 3x e dx = dv v = e  → I = ∫ xe3 x dx = 3x 3x 1 1 xe − ∫ e dx = xe3 x − ∫ e3 x d ( 3x ) = xe3 x − e3 x + C 3 9 • Cách 2: I = ∫ xe3 x dx = 1 1 1   1 xd ( e3 x ) =  xe3 x − ∫ e3 x dx  =  xe3 x − ∫ e3 x d ( 3x )  =  xe3 x − e3 x ÷+ C ∫ 3 3 3   3 c) I = ∫ x cos xdx u = x  du = xdx ¬ → • Cách 1: Đặt  v = sin x cos xdx = dv 2 Khi I = ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ x sin xdx = x sin x − J Xét J = ∫ x sin xdx Đặt u = x du = dx  → J = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x   → v = − cos x sin xdx = dv ¬   → I = x sin x − ( − x cos x + sin x ) + C 2 2 • Cách 2: I = ∫ x cos xdx = ∫ x d ( sin x ) = x sin x − ∫ sin xd ( x ) = x sin x − ∫ x sin xdx = x sin x + ∫ xd ( cos x ) = x sin x + x cos x − ∫ cos xdx = x sin x + x cos x − 2sin x + C d) I = ∫ x ln xdx dx  du =  u = ln x x2 x dx x x2  x ¬ →  → I = x ln xdx = ln x − = ln x − + C • Cách 1: Đặt  ∫ ∫2 x 2  xdx = dv v = x  • Cách 2: Ta có:  x2  x2 x2 x2 x dx x x2 I = ∫ x ln xdx = ∫ ln xd  ÷ = ln x − ∫ d ( ln x ) = ln x − ∫ = ln x − + C 2 x  2 Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số sau: b) I = ∫ x ln ( x + 1) dx a) I = ∫ x ln xdx ) ( c) I = ∫ ln x + + x dx x d) I = ∫ e sin xdx Lời giải: a) I = ∫ x ln xdx • Cách 1: dx  du =  u = ln x x3 x dx x x3  x ¬ →  → I = x ln xdx = ln − = ln x − + C Đặt  ∫ ∫3 x 3  x dx = dv v = x  • Cách 2:  x3  x3 x3 x3 x3 dx x x3 I = x ln xdx = ln xd = ln x − d ln x = ln x − = ln x − + C ( ) Ta có ∫  ÷ ∫ ∫3 ∫3 x 3  3 b) I = ∫ x ln ( x + 1) dx x Ta có I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ∫ ln ( x + 1) d   2 =  x2 x2 = ln ( x + 1) − ∫ d ( ln ( x + 1) ) ÷ ÷ 2  x2 x 2 ln ( x + 1) x2 x2 x2 ln ( x + 1) − ∫ dx = ln ( x + 1) − ∫ ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) − J 2 x +1 x +1 x − 1) + ( x2   Xét J = ∫ ln ( x + 1) dx = ∫ ln ( x + 1) dx = ∫  x − + ÷ln ( x + 1) dx = x +1 x +1 x +1   = ∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ∫ ln ( x + 1)  x2  dx = ∫ ln ( x + 1) d  − x ÷+ ∫ ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) = x +1   ln ( x + 1)  x ln ( x + 1)  x2   x2   x2 − x =  − x ÷ln ( x + 1) − ∫  − x ÷d ( ln ( x + 1) ) + =  − x ÷ln ( x + 1) − ∫ dx + 2 x +1       Xét K = ∫ x2 − x  x2  dx = ∫  x − + dx = − 3x + 3ln x + ÷ x +1 x +1    x2   ln ( x + 1)  x2  → J =  − x ÷ln ( x + 1) −  − x + 3ln x + ÷+ + C 2 2    Từ ta I = x ln ( x + 1)  x   ln ( x + 1)  x2 −  − x ÷ln ( x + 1) +  − x + 3ln x + ÷− + C 2 2    ) ( c) I = ∫ ln x + + x dx ) ( Ngầm hiểu u = ln x + + x ; v = x ta có ) ( ) ( ) ( 1+ x + x xdx I = x ln x + + x − ∫ xd ln x + + x  = x ln x + + x − ∫   x + + x2 ( = x ln x + + x ) −∫ xdx + x2 ( = x ln x + + x ) d ( x + 1) − ∫ = x ln x + + x − + x + C 2 1+ x ) ( ) ( 2 Vậy I = x ln x + + x − + x + C x d) I = ∫ e sin xdx I = ∫ e x sin xdx = ∫ sin xd ( e x ) = e x sin x − ∫ e x d ( sin x ) = e x sin x − ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ cos xd ( e x ) = e x sin x − ∫ cos xd ( e x ) = e x sin x − e x cos x − ∫ e x d ( cos x )  = e x sin x − e x cos x + ∫ e x sin xdx  = e x sin x −  e x cos x + I  = e x sin x − e x cos x − I  → I8 = e x sin x − e x cos x + C Nhận xét: Trong nguyên hàm I thấy rõ việc tính ngun hàm gồm hai vịng lặp, vòng ta quán đặt u hàm lượng giác (sinx cosx) việc tính tốn khơng thể tính trực tiếp Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ ln ( x − 1) ( x + 1) dx b) I10 = ∫ ln ( x + 1) ( − 3x ) dx x 2e x d) I12 = ∫ c) I11 = ∫ x.sin x.cos xdx ( x + 2) dx Lời giải  u = ln ( x − 1) du = dx  − ln ( x − 1) x −1 dx   +∫ ⇒ Khi đó: I = a) Đặt  −1 ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1)  dv = x + dx v = ( )  ( x + 1)  − ln ( x − 1)  − ln ( x − 1)  x −1 + ∫ − + ln +C ÷dx = ( x + 1)  x − x +  ( x + 1) x + 1  u = ln ( x + 1) du = dx  − ln ( x + 1) 2x +1 dx   +∫ ⇒ Khi đó: I10 = b) Đặt  −1 ( 3x − 1) ( x + 1) ( x − 1)  dv = − x dx v = ( )  ( x − 1)  − ln ( x + 1)  − ln ( x + 1)  3x − + ∫ − + ln +C ÷dx = ( x − 1) 15  x − x +  ( x − 1) 15 x + du = dx u = x  − x cos3 x ⇔ c) Đặt  Khi I = + ∫ cos3 xdx  − cos x 11 dv = sin x cos xdx 3  v =  − x cos3 x cos 3x + 3cos x − x cos3 x sin 3x sin x = + ∫ dx = + + +C 3 36 u = x e x du = x ( x + ) e x dx   dx ⇒  d) Đặt  −1 dv = v=   ( x + 2) x+2   ⇒ I12 = − x 2e x − x 2e x x 2e x + ∫ xe x dx = + ∫ xe x dx = − + xe x − e x + C x+2 x+2 x+2 Ví dụ 4: Tính nguyên hàm sau: a) I13 = ∫ x ln ( x + 1) dx b) I14 = ∫ x tan xdx 2 c) I15 = ∫ x ln ( x + 1) dx d) I16 = ∫ x sin xdx Lời giải u = ln ( + x a) I13 = ∫ x ln ( x + 1) dx Đặt   xdx = dv ⇒ I13 = ∫ x ln ( + x ) (x dx = + 1) 2 ) xdx   du = + x ⇒ v = x +  ln ( + x ) − ∫ (x + 1) x x + 1) ( dx = ln ( + x ) − ∫ xdx 2 1+ x 2 ⇒ I13 (x = + 1) x + 1) ln ( + x ) − x ( x2 ln ( + x ) − + C = +C 2 2  x  dx b) I14 = ∫ x tan xdx = ∫ x 1 − ÷dx = ∫ xdx − ∫ cos x  cos x  u = x du = dx x  ⇒ dx Đặt  Ta tính J = ∫ cos x  cos x dx = dv v = tan x ⇒ J = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x − ∫ ⇒ I14 = d ( cos x ) sin xdx = x tan x + ∫ = x tan x + ln cos x + C cos x cos x x2 + x tan x + ln cos x + C 2 xdx  du =   u = ln + x ( ) ⇒  + x2  2 c) I15 = ∫ x ln ( x + 1) dx Đặt    x dx = dv v = x  ⇒ I15 = ∫ x ln ( x + 1) dx = Ta tính K = ∫ x3 x3 x x3 x4 ln ( x + 1) − ∫ dx = ln ( x + 1) − ∫ dx 3 x +1 3 x +1 x4 dx + x2 Đặt x = tan t ⇒ dx = dt x4 x − 3x 2 x + = tan x + = ⇒ K = dx = arctan x + +C ∫ + x2 cos t cos t Do đó: I15 = ∫ x ln ( x + 1) dx = 2 x ln ( x + 1) 2 x3 − 3x  +  arctan x + ÷+ C 3  d) I16 = ∫ x sin xdx Đặt x = t ⇒ dt = u = t  du = dt ⇒ xdx ⇒ 2dt = dx ⇒ I16 = ∫ 2t sin tdt Đặt  sin tdt = dv v = − cos t ⇒ I16 = ∫ 2t sin tdt =  −t cos t + ∫ cos t  = −2t cos t + 2sin t + C ⇒ I16 = −2 x cos x + 2sin x + C Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I = ∫ ln ( x + ) dx A I = x ln ( x + ) − x + C C I = x ln ( x + ) + + C x+2 B I = ( x + ) ln ( x + ) − x + C D I = x ln ( x + ) − Lời giải: + C x+2 dx  u = ln ( x + ) du = ⇒ x + (Ta chọn v = x; v = x + , nhiên ta nên chọn v = x + để Đặt   dv = dx v = x + tính tốn dễ dàng hơn) Khi I = ( x + ) ln ( x + ) − ∫ dx = ( x + ) ln ( x + ) − x + C Chọn B Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I = ∫ x ln ( x − 1) dx A I = x2 x2 x ln ( x − 1) − + + C B I = x2 −1 x2 x ln ( x − 1) − + + C C I = x2 −1 x2 x ln ( x − 1) + + + C D I = x2 −1 x2 x ln ( x − 1) − − + C Lời giải: dx  du = x − u = ln ( x − 1) ⇒ Đặt  2  dv = xdx v = x − = x − = ( x − 1) ( x + 1)  2 2 Khi I = x2 −1 x +1 x2 −1 x2 x ln ( x − 1) − ∫ dx = ln ( x − 1) − − + C Chọn D 2 x Ví dụ 7: Tính nguyên hàm I = ∫ ( x − ) e dx x A I = ( x − 3) e + C x B I = ( x − 1) e + C C I = xe x + C Lời giải: x D I = ( x + 1) e + C u = x − du = dx ⇒ ⇒ I = ( x − ) e x − ∫ e x dx = ( x − ) e x − e x + C = ( x − 3) e x + C Chọn A Đặt  x x  dv = e dx v = e Ví dụ 8: Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) sin x Biết F ( ) = 3, tìm F ( x ) A F ( x ) = ( x + 1) cos x + 2sin x + B F ( x ) = − ( x + 1) cos x + 2sin x + C F ( x ) = ( x + 1) cos x − 2sin x + D F ( x ) = − ( x + 1) cos x − 2sin x + Lời giải: u = x + du = 2dx ⇒ Ta có: F ( x ) = ∫ ( x + 1) sin xdx Đặt   dv = sin xdx v = − cos x ⇒ F ( x ) = − ( x + 1) cos x + ∫ 2sin xdx = − ( x + 1) cos x + 2sin x + C Mặt khác F ( ) = −1 + C = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − ( x + 1) cos x + 2sin x + Chọn B Ví dụ 9: Tìm ngun hàm I = ∫ ln xdx ( x + 1) A I = ln x − ln x + + C x +1 B x ln x − ln x + + C x +1 C I = x ln x − ln x + + C x +1 D I = x ln x + ln x + + C x +1 Lời giải: dx  u = ln x du =  x ln x dx x ln x   x ⇒I= −∫ = − ln x + + C Chọn C Đặt  dv = dx ⇒  x x +1 x +1 x +1   v=− +1 = ( x + 1)   x +1 x +1 Ví dụ 10: Tìm ngun hàm I = ∫ ( − x ) cos xdx A I = ( − x ) sin x + cos x + C B I = ( − x ) sin x − cos x + C C I = ( − x ) cos x − sin x + C D I = ( − x ) cos x + sin x + C Lời giải: u = − x  du = − dx ⇒ ⇒ I = ( − x ) sin x + ∫ sin xdx = ( − x ) sin x − cos x + C Chọn B Đặt   dv = cos xdx v = sin x x Ví dụ 11: Tìm ngun hàm I = ∫ ( x + 1) dx ta được: A I = C x.3x + C ln ( x + 1) 3x + 3x + C ln x + 1) 3x ( I= − 3x + C ln B I = x + 1) 3x ( I= − 3x + C D ln ln ln Lời giải: du = dx u = x + ( x + 1) 3x − 3x dx ⇒ I = ( x + 1) 3x − 3x + C  x ⇒ I = ⇒ Đặt  Chọn D  ∫ ln x ln ln ln  dv = dx v = ln  Ví dụ 12: Cho nguyên hàm ∫ x cos xdx = m.x + n.x sin x + p.cos x + C m; n, p; C ∈ ¡ Tính giá trị P = m + n + p A P = Ta có: I = ∫ x B P = C P = Lời giải: + cos x 1 dx = ∫ xdx + ∫ x cos xdx 2 D P =  du = dx u = x x sin x sin xdx x sin x cos x  ⇒ −∫ = + +C Đặt  sin x ⇒ ∫ x cos xdx = 2  dv = cos xdx v =  ⇒I= 1 x + x sin x + cos x + C ⇒ m + n + p = Chọn D 4 8 Ví dụ 13: Cho F ( x ) = f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số x cos x f ' ( x ) tan x A ∫ f ' ( x ) tan xdx = − x + sin x + C x3 B ∫ f ' ( x ) tan xdx = x + sin x + C x3 C f ' ( x ) tan xdx = − x + cos x + C x3 D f ' ( x ) tan xdx = x + cos x + C x3 ∫ ∫ Lời giải: Tính nguyên hàm I = ∫ f ' ( x ) tan xdx dx  u = tan x f ( x ) dx du = cos x ⇒ I = f ( x ) tan x − ∫ ⇒ = f ( x ) tan x − + C Đặt  cos x x  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  Mặt khác f ( x) −2 x −2 −2 cos x = F ' x = = ⇒ f x = ( ) ( ) cos x x4 x3 x3 Do I = −2 cos x − sin x tan x − + C = − + C Chọn A x x x3 x  x2  Ví dụ 14: Cho F ( x ) =  − ÷cos x + x sin x nguyên hàm hàm số f ( x ) sin x Nguyên hàm 2  hàm số f ' ( x ) cos x là: A cos x − x sin x + C B sin x + x cos x + C C cos x + x sin x + C D sin x − x cos x + C Lời giải: Tính nguyên hàm I = ∫ f ' ( x ) cos xdx u = cos x du = − sin xdx ⇒ Đặt   dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  x2  ⇒ I = f ( x ) cos x + ∫ f ( x ) sin xdx = f ( x ) cos x + 1 − ÷cos x +x sin x 2   x2  x sin x = f ( x ) sin x Mặt khác F ' ( x ) = − x cos x −  − ÷sin x + sin x + x cos x = 2  x2 Do f ( x ) = ⇒ I = cos x + x sin x Chọn C x Ví dụ 15: Cho F ( x ) = e + x nguyên hàm hàm số f ( x) x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) ln x x x A x ( e + x ) ln x − e − x + C x x B x ( e + 1) ln x − e − x + C x x C x ( e + 1) ln x − e + x + C x x D x ( e + x ) ln x + e + x + C Lời giải: Tính nguyên hàm I = ∫ f ' ( x ) ln xdx dx  f ( x ) dx u = ln x du = x ⇒ I = f ( x ) ln x − ∫ ⇒ = f ( x ) ln x − e x − x + C Đặt  dv = f ' x dx x ( )  v = f ( x )  Mặt khác f ( x) = F ' ( x ) = e x + ⇒ f ( x ) = x ( e x + 1) x x x Suy I = x ( e + 1) ln x − e − x + C Chọn B x Ví dụ 16: Cho F ( x ) = x sin x nguyên hàm hàm số f ( x ) e x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e A x ( sin x + cos x ) + sin x + C C x ( cos x − 2sin x ) + sin x + C x B e ( cos x − sin x ) + sin x + C D x ( cos x − sin x ) + sin x + C Lời giải: u = e x du = e x dx ⇒ ⇒ I = ∫ f ' ( x ) e x dx = e x f ( x ) − ∫ f ( x ) e x dx Đặt   dv = f ' ( x ) dx v = f ( x ) = f ( x ) e x − x sin x + C x Lại có: f ( x ) e = F ' ( x ) = sin x + x cos x ⇒ I = sin x + x cos x − x sin x + C = x ( cos x − sin x ) + sin x + C Chọn D Ví dụ 17: Cho F ( x ) = x + nguyên hàm hàm số f ( x) Tìm nguyên hàm f ' ( x ) ln x x A ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x + 1) + C B ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( − ln x ) + C C ∫ f ' ( x ) ln xdx = − x ( ln x + 1) + C D ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x − 1) + C 2 dx  u = ln x  du = x suy ⇔ Đặt   dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = Do Lời giải: 2 ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x f ( x ) − ∫ f ( x) dx x f ( x) f ( x) ⇔ 2x = ⇔ f ( x ) = 2x2 x x ∫ f ′ ( x ) ln xdx = x ln x − x 2 − + C = x ( ln x − 1) + C Chọn D Ví dụ 18: Cho F ( x ) = ln x nguyên hàm xf ( x ) Tìm nguyên hàm f ' ( x ) ln x  1 ln x + ÷+ C  2  B ∫ f ' ( x ) ln xdx = x  ln x + ÷ + C  1 ln x + ÷+ C  2  D ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x + 1) + C A ∫ f ' ( x ) ln xdx = x C ∫ f ' ( x ) ln xdx = x 1 1 Lời giải: dx  u = ln x  du = x suy ⇔ Đặt   dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = x f ( x ) ⇔ Do ∫ f ′ ( x ) ln xdx = ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x f ( x ) − ∫ f ( x) dx x 1 = x f ( x ) ⇔ f ( x ) = x x ln x dx ln x − ∫ + C = + + C Chọn A x x x 2x Ví dụ 19: Cho F ( x ) = ln x nguyên hàm f ( x) Tìm nguyên hàm f ' ( x ) ln x x3 A ∫ f ' ( x ) ln xdx = x 1   − ln x ÷+ C 2  B ∫ f ' ( x ) ln xdx = x C ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x − 1) + C D ∫ f ' ( x ) ln xdx = x 2 1   ln x + ÷+ C 2  1   ln x − ÷+ C 2  Lời giải: dx  u = ln x  du = x suy ⇔ Đặt   dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x f ( x ) − ∫ f ( x) f ( x) ⇔ = ⇔ f ( x ) = x2 x x x f ( x) dx x Do ∫ f ′ ( x ) ln xdx = x ln x − ∫ xdx = x ln x − x2 + C Chọn D Ví dụ 20: Cho F ( x ) = x tan x + ln cos x nguyên hàm hàm số f ( x) Tìm nguyên hàm hàm cos x số f ' ( x ) tan x A ∫ f ' ( x ) tan xdx = ln cos x + C B ∫ f ' ( x ) tan xdx = ln sin x + C C ∫ f ' ( x ) tan xdx = − ln cos x + C D ∫ f ' ( x ) tan xdx = − ln sin x + C Lời giải: dx  u = tan x f ( x)  du = cos x ⇒ ∫ f ' ( x ) tan xdx = f ( x ) tan x − ∫ ⇔ dx Đặt  cos x  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = Do f ( x) f ( x) x ⇔ cot x + − tan x = ⇔ f ( x ) = x 2 cos x cos x cos x ∫ f ′ ( x ) tan xdx = x.tan x − x.tan x − ln cos x + C = − ln cos x + C Chọn C Ví dụ 21: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ln x thỏa mãn điều kiện F ( 1) = Tính giá trị F ( e) biểu thức T = + log 3.log  F ( e )  A T = B T = dx  u = ln x du = ⇔ x suy Đặt   dv = dx v = x C T = Lời giải: D T = 17 ∫ f ( x ) dx = x.ln x − ∫ dx = x.ln x − x + C →1.ln1 − + C = ⇔ C = Vậy T = 17 Chọn D Mà F ( 1) =  1 2x Ví dụ 22: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe thỏa mãn F  ÷ = 2 5 Tính ln F  ÷ 2 5 A ln F  ÷ = −2 2 5 B ln F  ÷ = 2 5 C ln F  ÷ = 2 Lời giải: 5 D ln F  ÷ = 2  du = dx u = x x.e x e2 x x.e x e x  2x ⇒ ⇔ f x dx = − dx = − +C ( ) Đặt   e ∫ ∫ 2x 2 dv = e dx v =    x.e x e x 5 1 → C =  → F( x) = − Vậy ln F  ÷ = Chọn C Mà F  ÷ =  2 2 −x Ví dụ 23: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.e thỏa mãn F ( ) = −1 Tính tổng S nghiệm phương trình F ( x ) + x + = A S = −3 B S = C S = Lời giải: D S = −1 u = x du = dx ⇔ ⇒ ∫ f ( x ) dx = − x.e − x + ∫ e − x dx = − x.e − x − e − x + C Đặt   −x −x  dv = e dx v = − e → C − = −1 ⇔ C =  → F ( x ) = − x.e − x − e − x Mà F ( ) = −1   x = −1 −x −x −x Chọn D Do F ( x ) + x + = ⇔ − x.e − e + x + = ⇔ ( x + 1) ( − e ) = ⇔  x = Ví dụ 24: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x sin x thỏa mãn F ( π ) = 2π Tính giá trị biểu thức T = F ( ) − F ( 2π ) A T = 6π B T = 4π C T = 8π Lời giải: D T = 10π u = x du = dx ⇔ ⇒ ∫ x.sin xdx = − x.cos x + ∫ cos xdx = − x.cos x + sin x + C Đặt   dv = sin xdx v = − cos x → C = 4π Do F ( x ) = − x.cos x + sin x + 4π Mà F ( π ) = 2π  Vậy T = 2.4π − 8.2π = −8π Chọn C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x cos x thỏa mãn F ( π ) = 2017 A F ( x ) = x sin x − cos x + 2019 B F ( x ) = x sin x + cos x + 2018 C F ( x ) = − x sin x + cos x − D F ( x ) = − x sin x − cos x + 2017 Câu 2: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x cos x A − x cot x − ln cos x + C B x tan x + ln cos x + C C − x cot x + ln cos x + C D − x tan x + ln cos x + C Câu 3: Tìm nguyên hàm y = xe x A ∫ f ( x ) dx = x e C ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) e x + C x + C B ∫ f ( x ) dx = xe D ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) e C x2 ln x − x + C x + C x + C Câu 4: Tìm nguyên hàm y = x ln x A x2 ln x + x + C 2 B x ln x − x + C D x ln x + x + C Câu 5: (THPT Chuyên Bến Tre 2017) Tìm nguyên hàm f ( x ) = ln x A x ln x + C B x − x ln x + C C x ln x + x + C D x ln x − x + C π  Câu 6: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x sin x thỏa mãn F  ÷ = 2019 2 A F ( x ) = x sin x + cos x + 2019 B F ( x ) = sin x − x cos x + 2018 C F ( x ) = x sin x − cos x + 2019 D F ( x ) = sin x + x cos x + 2018 Câu 7: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) sin x A ( x + 1) cos x + sin x + C B − ( x + 1) cos x + sin x + C C − ( x + 1) cos x − sin x + C D ( x + 1) cos x − sin x + C −x Câu 8: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 1) e −x A − ( x + 1) e + C −x B − ( x − 1) e + C −x C − ( x + 3) e + C −x D − ( x − 3) e + C Câu 9: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) cos x A ( x + 1) sin x − cos x + C B ( x + 1) sin x + cos x + C C − ( x + 1) sin x − cos x + C D − ( x + 1) sin x + cos x + C Câu 10: Một nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ln x thỏa mãn F ( 1) = Tính F ( e ) A F ( e ) = B F ( e ) = C F ( e ) = D F ( e ) = −x Câu 11: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x.e thỏa mãn F ( ) = −x A − ( x + 1) e + −x B − ( x + 1) e + −x C ( x + 1) e + −x D ( x + 1) e + 2 x Câu 12: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + x ) e x A ( x + ) e B x e x x C ( x + x ) e x D ( x − x ) e x Câu 13: (THPT Chuyên Đại học Vinh 2017) Cho y = f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = ( x + 1) e ∫ f ( x ) dx = ( ax + b ) e x A a + b = + c, với a, b, c ∈ ¡ Tính a + b B a + b = C a + b = D a + b = 2x Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) e 2x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e A ∫ f ' ( x ) e 2x dx = − x + x + C B ∫ f ' ( x ) e C ∫ f ' ( x ) e 2x dx = x − x + C D ∫ f ' ( x ) e 2x dx = − x + x + C 2x dx = −2 x + x + C x Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F ( x ) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ( x ) e x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e x A ∫ f '( x) e 2x dx = ( x − ) e x + C B ∫ f '( x) e C ∫ f '( x) e 2x dx = ( − x ) e x + C D ∫ f '( x) e Câu 16: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F ( x ) = − 2x 2x dx = 2− x x e + C dx = ( − x ) e x + C f ( x) nguyên hàm hàm số 3x x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) ln x A ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x + + C x3 x5 B ∫ f ' ( x ) ln xdx = C ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x + + C x3 x3 D ∫ f ' ( x ) ln xdx = − Câu 17: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F ( x ) = ln x − + C x3 x ln x + + C x3 x3 f ( x) nguyên hàm hàm số 2x x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) ln x   ln x + ÷+ C x 2x  A ∫ f ' ( x ) ln xdx = −  C ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x + + C x 2x ln x + + C x2 x2 B ∫ f ' ( x ) ln xdx = D ∫ f ' ( x ) ln xdx = −   ln x  + ÷+ C x2 x2  Câu 18: Cho F ( x ) = f ( x) Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) ln x nguyên hàm x x  ln x  + ÷+ C x2 x  A ∫ f ' ( x ) ln xdx = ln x + + C x2 x B ∫ f ' ( x ) ln xdx = −  C f ' ( x ) ln xdx = ln x − + C x2 x D ∫ f ' ( x ) ln xdx = −  ∫ Câu 19: Cho F ( x ) = ln x nguyên hàm  ln x  − ÷+ C x2 x  f ( x) Tìm nguyên hàm f ' ( x ) ln x x2 A ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x + 1) + C B ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x − 1) + C C ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( ln x − x ) + C D ∫ f ' ( x ) ln xdx = x ( − ln x ) + C Câu 20: Cho F ( x ) = f ( x) Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) ln x nguyên hàm x x A ∫ f ' ( x ) ln xdx = − 3ln x + + C x 2x B ∫ f ' ( x ) ln xdx = 3ln x − + C x 2x C ∫ f ' ( x ) ln xdx = − 3ln x − + C x 2x D ∫ f ' ( x ) ln xdx = 3ln x + C x2 2x2 Câu 21: Cho F ( x ) = f ( x) Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) x ln x nguyên hàm x x 1 A ∫ f ' ( x ) x ln xdx = −4  x − C ∫ f ' ( x ) x ln xdx =  x − 1 Câu 22: Cho F ( x ) = A ∫ f '( x) ( x C ∫ f '( x) ( x A C ln x  ÷+ C x2   ln x  + ÷+ C x2 x  B ∫ f ' ( x ) x ln xdx =  D ∫ f ' ( x ) x ln xdx = −4   ln x  + ÷+ C x2 x  f ( x) Tìm nguyên hàm f ' ( x ) ( x + 1) nguyên hàm x x + C x2 + 1) dx = x + + 1) dx = −4 x − Câu 23: Cho F ( x ) = ln x  ÷+ C x2  + C x2 B ∫ f '( x) ( x D ∫ f '( x) ( x 3 + 1) dx = x − + 1) dx = x + + C x2 + C x2 f ( x) x2 nguyên hàm Tìm nguyên hàm f ' ( x ) ln x x ∫ x2  1 f ' ( x ) ln xdx =  ln x − ÷+ C 2 2 ∫ f ' ( x ) ln xdx = x2    ln x − ÷+ C 2 2x  B D ∫ x2  1 f ' ( x ) ln xdx =  ln x + ÷+ C 2 2 ∫ f ' ( x ) ln xdx = x2    ln x + ÷+ C 2 2x  x 2x 2x Câu 24: Cho F ( x ) = − xe nguyên hàm f ( x ) e Tìm nguyên hàm f ' ( x ) e A ∫ f '( x) e 2x dx = ( − x ) e x + C B ∫ f '( x) e 2x dx = 1− x x e + C C ∫ f '( x) e 2x dx = ( x − 1) e x + C D ∫ f '( x) e 2x dx = ( x − ) e x + C x x Câu 25: Cho F ( x ) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e f ( ) = Tìm nguyên hàm x hàm số f ( x ) e ∫ f ( x ) e dx = ( x C ∫ f ( x ) e dx = ( x A x − x + 1) e x + C x − x + ) e x + C ∫ f ( x ) e dx = ( x D ∫ f ( x ) e dx = ( x B x + x − ) e x + C x + x − 1) e x + C LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN u = x  du = dx ⇒ ⇒ F ( x ) = ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx Câu 1: Đặt   dv = cos xdx v = sin x = x sin x + cos x + C Lại có F ( π ) = π sin π + cos π + C = −1 + C = 2017 ⇒ C = 2018 Do F ( x ) = x sin x + cos x + 2018 Chọn B u = x du = dx  ⇒ ∫ f ( x ) dx = x tan x − ∫ tan xdx Câu 2: Đặt  dx ⇒  v = tan x  dv = cos x = x tan x − ∫ d ( cos x ) sin x dx = x sin x + ∫ = x sin x + ln cos x + C Chọn B cos x cos x u = x du = dx ⇒ Câu 3: Đặt   x x  dv = e dx v = e Khi ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe x x x x − e x + C = ( x − 1) e x + C Chọn D dx  du =  u = ln x  x ln x x x ln x x  x ⇒ ⇒ ∫ x ln xdx = − ∫ dx = − + C Chọn C Câu 4: Đặt  2 2  dv = xdx v = x  dx  u = ln x du = ⇒ x ⇒ ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C Chọn D Câu 5: Đặt   dv = dx v = x  u = x du = dx ⇒ ⇒ ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx Câu 6: Đặt   dv = sin xdx v = − cos x = − x cos x + sin x + C ⇒ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = sin x − x cos x + C π π π π  Lại có: F  ÷ = − cos + sin + C = + C = 2019 ⇒ C = 2018 2 2 Vậy F ( x ) = sin x − x cos x + 2018 Chọn B u = x + du = dx ⇒ ⇒ ∫ f ( x ) dx = − ( x + 1) cos x + ∫ cos xdx Câu 7: Đặt   dv = sin xdx v = − cos x = − ( x + 1) cos x + sin x + C Chọn B u = x − du = 2dx ⇒ Câu 8: Đặt   −x −x  dv = e dx v = −e Khi ∫ ( x − 1) e −x dx = − ( x − 1) e x + ∫ 2e − x dx = ( − x ) e − x − 2e − x + C = ( −1 − x ) e − x + C = − ( x + 1) e − x + C Chọn A u = x +  du = dx ⇒ ⇒ ∫ ( x + 1) cos xdx = ( x + 1) sin x − ∫ sin xdx Câu 9: Đặt   dv = cos xdx v = sin x = ( x + 1) sin x + cos x + C Chọn B dx  u = ln x du = ⇒ x ⇒ F ( x ) = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C Câu 10: Đặt   dv = dx v = x  Lại có: F ( 1) = 1.ln1 − + C = ⇒ C = ⇒ F ( e ) = e ln e − e + = Chọn C u = x du = dx ⇒ Câu 11: Đặt   −x −x  dv = e dx v = −e −x −x −x −x −x −x Khi F ( x ) = ∫ xe dx = − xe + ∫ e dx = − xe − e + C = − ( x + 1) e + C −x Mặt khác F ( ) = −1 + C = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − ( x + 1) e + Chọn B u = x + x du = ( x + ) dx ⇒ ⇒ ∫ f ( x ) dx = ( x + x ) e x − ∫ ( x + ) e x dx Câu 12: Đặt  x x  dv = e dx v = e Xét nguyên hàm ∫ ( x + ) e dx x u1 = x +  du1 = 2dx ⇒ ⇒ ∫ ( x + ) e x dx = ( x + ) e x − 2∫ e x dx Đặt  x x  dv1 = e dx v1 = e = ( x + ) e x − 2e x = xe x + C Do ∫ f ( x ) dx = ( x Câu 13: Ta có + x ) e x − xe x + C = x 2e x + C Chọn B ∫ f ( x ) dx = ( ax + b ) e x + c Đạo hàm vế ta  ∫ f ( x ) dx ′ = ( ax + b ) e x + c ′     ⇔ f ( x ) = ae x + ( ax + b ) e x = ( ax + a + b ) e x x x x x Tiếp tục đạo hàm vế ta được: f ' ( x ) = ae + ( ax + a + b ) e = ( ax + 2a + b ) e = ( x + 1) e a = ⇒ a + b = Chọn A Đồng vế ta có:   2a + b = u = e x du = 2e x dx ⇒ ⇒ ∫ f ' ( x ) e x dx = e x f ( x ) − ∫ 2e x f ( x ) dx Câu 14: Đặt   dv = f ' ( x ) dx v = f ( x ) = e2 x f ( x ) − x + C 2x 2x Mặt khác f ( x ) e = F ' ( x ) = x ⇒ ∫ f ' ( x ) e dx = x − x + C Chọn D u = e x du = 2e x dx ⇒ ⇒ ∫ f ' ( x ) e x dx = e x f ( x ) − ∫ 2e x f ( x ) dx Câu 15: Đặt    dv = f ' ( x ) dx v = f ( x ) = e x f ( x ) − ( x − 1) e x + C 2x x x x Mặt khác f ( x ) e = F ' ( x ) = e + ( x − 1) e = xe ∫ f ' ( x ) e 2x dx = xe x − ( x − 1) e x + C = ( − x ) e x + C Chọn C dx  u = ln x f ( x) du = x ⇒ ∫ f ' ( x ) ln xdx = f ( x ) ln x − ∫ ⇒ dx Câu 16: Đặt  x  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  = f ( x ) ln x + Lại có: Do +C 3x3 f ( x) −3 x 1 ln x = F ' ( x ) = − = ⇒ f ( x ) = ⇒ f ( x ) ln x = x x x x x ∫ f ' ( x ) ln xdx = Câu 17: Ta có f ( x) x ln x + + C Chọn C x3 x = F '( x) = −1 −1 ⇒ f ( x ) = suy f ' ( x ) ln x = ln x x x x  du = dx u = ln x  ln x dx − ln x   x ⇒ ⇒ ∫ f ' ( x ) ln xdx = − + ∫ = − + C Đặt  x x x 2x  dv = x dx v = −1  x dx  u = ln x f ( x ) dx du = x ⇒ ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ln x − ∫ ⇒ Cách 2: Đặt  x  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )  = f ( x ) ln x − Mặt khác Do +C 2x2 f ( x) −1 −1 − ln x = F ' ( x ) = ⇒ f ( x ) = ⇒ f ( x ) ln x = x x x x   ln x + ÷+ C Chọn A x 2x  ∫ f ' ( x ) ln xdx = −  dx  u = ln x f ( x)  du = x ⇒ ∫ f ′ ( x ) ln xdx = f ( x ) ln x − ∫ ⇔ dx Câu 18: Đặt  x  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = − f ( x) 2 =  → f ( x ) = − Vậy x x x  2.ln x  + ÷+ C x2 x  ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  Chọn B dx  u = ln x  du = x suy ⇔ Câu 19: Đặt   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  ∫ f ′ ( x ) ln xdx = ln x f ( x ) − ∫ f ( x) dx x Ta có F ′ ( x ) = Do f ( x) f ( x) ⇔ = ⇔ f ( x) = x x x x ∫ f ′ ( x ) ln xdx = x.ln x − ∫ dx = x ( ln x − 1) + C Chọn B dx  f ( x) u = ln x  du = x ⇒ ∫ f ′ ( x ) ln xdx = f ( x ) ln x − ∫ ⇔ dx Câu 20: Đặt  x  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = − Vậy f ( x) 3 =  → f ( x) = − x x x  2.ln x  + ÷+ C Chọn B x2 x  ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  u = x.ln x du = ln x + f ( x) ⇔ ⇒ ∫ f ′ ( x ) x ln xdx = f ( x ) x ln x − ∫ dx Câu 21: Đặt  x  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Ta có F ′ ( x ) = − Vậy f ( x) 2 =  → f ( x) = − x x x  2.ln x  + ÷+ C Chọn B x2 x  ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  u = x +  du = x dx ⇔ ⇒ ∫ f ′ ( x ) ( x + 1) dx = ( x + 1) f ( x ) − ∫ 3x f ( x ) dx Câu 22: Đặt    dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Ta có F ′ ( x ) = Khi ∫ f ( x) f ( x) 2 ⇔− = ⇔ f ( x) = − x x x x f ′ ( x ) ( x + 1) dx = − ( x + 1) x + ∫ 6dx = x − dx  u = ln x  du = x suy ⇔ Câu 23: Đặt   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  Ta có F ′ ( x ) = Do ∫ + C Chọn B x2 ∫ f ′ ( x ) ln xdx = ln x f ( x ) − ∫ f ( x) dx x f ( x) x f ( x) x2 ⇔ = ⇔ f ( x) = x x f ′ ( x ) ln xdx = x ln x x x ln x x − ∫ dx = − + C Chọn A 2 2x du = 2e x dx u = e ⇔ ⇒ ∫ f ′ ( x ) e x dx = f ( x ) e x − ∫ f ( x ) e x dx Câu 24: Đặt  ′  dv = f ( x ) dx v = f ( x ) 2x x ′ 2x x 2x Ta có F ′ ( x ) = f ( x ) e ⇔ ( − x.e ) = f ( x ) e ⇔ −e ( x + 1) = f ( x ) e ⇔ f ( x ) = − Khi ∫ f ′( x) e 2x  x +1 dx = e x  − x ÷− ( − x.e x ) + C = ( x − 1) e x + C Chọn C  e  x +1 ex u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇔ ⇒ ∫ f ( x ) e x dx = f ( x ) e x − ∫ f ′ ( x ) e x dx Câu 25: Đặt   x x  dv = e dx v = e Ta có F ′ ( x ) = f ′ ( x ) e x ⇔  ( x − 1) e x ′ = f ′ ( x ) e x ⇔ x.e x = f ′ ( x ) e x ⇔ f ′ ( x ) = x → C = ⇒ f ( x ) = x2 Lại có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ xdx = x + C mà f ( ) =  Do ∫ f ( x ) e dx = x e x x − ( x − 1) e x + C = ( x − x + ) e x + C Chọn C  ... Tính a + b B a + b = C a + b = D a + b = 2x Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) e 2x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e A ∫ f ' ( x ) e 2x dx = − x... ( ) cos x x4 x3 x3 Do I = −2 cos x − sin x tan x − + C = − + C Chọn A x x x3 x  x2  Ví dụ 14: Cho F ( x ) =  − ÷cos x + x sin x nguyên hàm hàm số f ( x ) sin x Nguyên hàm 2  hàm số f ' (... xdx v =  ⇒I= 1 x + x sin x + cos x + C ⇒ m + n + p = Chọn D 4 8 Ví dụ 13: Cho F ( x ) = f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số x cos x f ' ( x ) tan x A ∫ f ' ( x ) tan xdx = − x +