CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Phương trình mũ cơ bản Phương trình (với ) Với , ta có Với , phương trình đã cho vô nghiệm 2) Các phương pháp giải phương trình mũ Phương pháp 1 Đưa về cùng cơ số Nếu thì phương trình Phương trình dạng , với ta sẽ giải như sau II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1 Giải các phương trình sau a) b) Lời giải a) Ta có Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là b) Ta có Ví dụ 2 Giải các phương trình sau a) b) Lời giải a) b) Do Do đó (ĐK ).
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Phương trình mũ Phương trình: a x b (với a 0; a �1 ) x Với b , ta có a b � x log a b Với b �0 , phương trình cho vơ nghiệm 2) Các phương pháp giải phương trình mũ Phương pháp Đưa số f x a g x � f x g x Nếu �a phương trình: a Phương trình dạng: a f x b g x , với a.b 1 �a; b ta giải sau: a f x b g x �a f x g x g x �1 � � � a 1 a g ( x) � f x g x a �� II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 3x x 1 b) 1,5 x 1 3 x7 x 1 �2 � �� �3 � Lời giải x a) Ta có: x 1 x 1 � 32 x 1 � x x x � x2 3x � � x2 � Vậy phương trình cho có nghiệm x 1; x x 7 b) Ta có: 1,5 x 7 x 1 x 1 1 �2 � �3 � � �3 � � �� ��� � � �� �3 � �2 � � �2 � � 5 x �3 � �� �2 � � x 5 x � x � x Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) x x 1 x x 2.5 x 1 b) 52 x 1 Lời giải a) PT � x 2.2 x 4.22 x 5x � 7.2 x x 5 x 2x 1 �2 � � x � � � � x log 5 �5 � 5 b) Do 52 1� Do PT � � � � 1 x 1 � � � 52 52 x 1 x 1 2 1 2 1 x 2 x 1 x 1 (ĐK x �1 ) 52 x 1 x 1 x 1 � x 1 � x2 x 1 � x2 x � � x 2 x 1 � � 1 x Vậy nghiệm phương trình x 1; x 2 Ví dụ 3: Giải phương trình x x 1 x x 2.5 x 1 Lời giải x x 1 x x x 1 x x x x x Ta có 2.5 � 2 2 2.5 x � 2�x �5 � � 4 2x � 1 � � 7.2 x x � � � � x log 5 � 5� �2 � Vậy phương trình cho có nghiệm x log 5 Ví dụ 4: Giải phương trình sau a) x 3 x x b) 16 x 1 4 x 243 Lời giải x a) 2 3 x 16 x1 � x 3 x x2 � 24 x � x x x � x x � � x 3 � Vậy phương trình cho có nghiệm x x 3 x b) 4 x x 1 � � 3 x x 35 � x x 5 � � x5 243 � Vậy phương trình cho có nghiệm x 1; x Ví dụ 5: Giải phương trình sau x 10 x 5 x x b) a) 16 x 10 0,125.8 x 15 1 5x 1 3x 2 Lời giải �x 10 �0 �x �10 �� a) Điều kiện: � �x 15 �0 �x �15 Do 16 ;0,125 � x 10 x5 x 10 x5 23 ;8 23 nên ta có PT � x 10 23.2 x15 � 3 x 10 x 15 x0 x 10 � 60 � x x 150 15 x 150 � � x 20 x 10 x 15 � Vậy phương trình có nghiệm x 0; x 20 x x b) 1 5x 1 3x x2 2 �5 x2 2 2 2 2 2 3.3x 5x 3x � 5x x 3.3x 3x 9 x2 3 25 �5 � 125 �5 � �5 � � x 3x � � � � � � � �� x � �3 � 27 �3 � �3 � Vậy phương trình cho có nghiệm x � Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x x �2 � �9 � 27 a) � � � � �3 � �8 � 64 b) 4.9 x 1 22 x 1 Lời giải x x x x �2 � �9 � 27 �2 � �3 � �3 � �3 � a) � � � � � � � � �� � � � �� x �3 � �8 � 64 �3 � �4 � �4 � �4 � Vậy phương trình cho có nghiệm x 4.9 x 1 x 1 x 1 � b) 4.9 3.2 x 3 � 32 x 3.2 x 1 2 x 1 � 32 x 3 2 3 x 1 3 �3 � �3 � � � � � �� x Vậy phương trình cho có nghiệm x 2 �2� �2� x Cách khác: 4.9 2x x 1 3 2 x 1 x 1 � 16.81 9.2 x 1 81x �81 � 18.81 � 16 9.2.4 x � � � 81 �4 � 16 3 �9 � �9 � � � � � �� x �2 � �2 � Ví dụ 7: Giải phương trình sau: � a) � 2 � �x 1 x � 4 � x 3 b) 3 x2 5 x 3 Lời giải � a) � 2 � x 3 (1) � x x 1 �x �x 1 x , (1) Điều kiện: � � �x �1 � x 1 22 � x x 1 x 1 � 2x x � x � x Vậy phương trình cho có nghiệm x b) Do 3 3 2 � x2 5 x 3 , (2) 1� x 5 x 3 3 6 3 3 1 x2 � � x2 5x � � x3 � Vậy phương trình cho có nghiệm x x Ví dụ 8: Số nghiệm phương trình x A B 3 x 16 x 1 là: C Lời giải D PT � x 24 3 x 2 x 1 � 2x 3 x 2 24 x � x x x x3 � � x2 x � � Chọn C x2 � Ví dụ 9: Tổng bình phương nghiệm phương trình A T 1 x x 1 x x 1 1 1 B T 125 x Ta có: PT � 4 x D T 13 x0 � � x x 1 � � � T 12 Chọn B x 1 � x Ví dụ 10: Tổng lập phương tất nghiệm phương trình A T 124 là: C T 10 Lời giải B T Ta có: PT � 1 4 x 243 C T 126 Lời giải D T 26 x 1 � 35 � x x 5 � x x � � x5 243 � Do T 1 53 124 Chọn A Ví dụ 11: Biết phương trình x x 1 x 2x 1 có nghiệm x a log b log (trong a; b ��) Giá trị T a b là: A T B T C T 2 Lời giải x x x x x x x Ta có: PT � 4.4 2.2 � 5.4 3.2 � D T 3 � x log log log 5 Khi a 1; b 1 � T a b Chọn A Ví dụ 12: Nghiệm phương trình A A 10 B A x 1 2 x 7 x x0 giá trị A x0 C A D A 2 Lời giải 1 x 1 Do � Ta có: x 1 1 Vậy A 1 2 x7 � 2 2 5 x � x 5 x � x 1 2 Chọn D Phương pháp Lấy logarit hai vế phương trình (logarit hóa) Phương trình dạng: a f x a g x , với a.b 1 �a; b ta giải sau: f x log a a g x � f x g x log a b Lấy logarit vế với số a ta được: log a a Ví dụ 1: Giải phương trình sau � 1� x 1 � a) x.27� � x� 3087 b) x 36.32 x Lời giải � x 1 � � x � a) ĐK: x �0 Ta có: x.27� � 2 73.32 � x 3 Logarit số vế ta được: log x 3 log 3 3 x 3 x � x 3 x3 x x 3 x x3 � x3 � x 3 � � x 3 log �� 1 1�� � x log � x � � log 3x 3x 3x b) ĐK: x �2 , PT � x 22.32.32 x � x 34 x � x 34 x x4 � x4 � x log � Logarit số vế ta được: � x2 log � x 2 log �x Vậy phương trình cho có nghiệm là: x 4; x 2 log Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) 3x.2 x1 72 c) 73 x 9.52 x 52 x 9.7 x b) x.3x Lời giải a) 3x.2 x 1 72 � 3x.2 x 1 � 3x 2.2 x � 6x 2 � x 9.8 Vậy phương trình có nghiệm x x x x x b) � log log � log 3 x log 3x � x log x x0 � � x log x � � x log � Vậy phương trình cho có hai nghiệm x x log 3x 2x 2x 3x 3x 2x 3x 2x 3x 2x c) 9.5 9.7 � 8.7 8.5 � � lg lg � x.lg x.lg � x 3lg lg � x Vậy phương trình cho có nghiệm x Ví dụ 3: Giải phương trình sau a) x.8 a) x.8 x 1 x x 1 x 500 500 , (1) Điều kiện: x �0 1 � x x 1 b) x.2 x 1 50 Lời giải x 1 x � x 3 x 3 x 5 � x x � x3 � log � � log 53 x � x log x � � x3 � �1 � � � x 3 � log � � � x log �x � log � � x 1 b) x.2 x 1 50 , (2) Điều kiện: x �1 � x x 1 x 1 x 2 � 2 x 1 1 x 1 �x 2 2xx11 1 � � log � � log � � x2 � 2x 1 x log � x x x 1 log � � x 1 log x 1 � x2 � � �� log 5 x � log lg � Vậy phương trình có hai nghiệm x 2; x lg Ví dụ 4: Giải phương trình sau a) x 3 5x 5 x x 3 x a) 5 x b) x 2lg x 10 x Lời giải � log 2x 3 log 5x 5 x � x3 x x log x3 � x3 � � � x 3 � x log � � log 50 � � � � � x log 50 x log 2log � � � log Vậy phương trình có hai nghiệm x 3; x log 50 b) x 2lg x 10 x , (4) Điều kiện: x � lg x 2lg x lg x � � lg 10 x � lg x lg x � 1� � lg x � 2 x 10 � � x 10 � Vậy phương trình có hai nghiệm x 10; x 10 Ví dụ 5: Gọi x1 x2 nghiệm phương trình x 3 3x 5 x Tính P x1 x2 A P log 3 B P log C P log Lời giải Logarit số vế ta được: x 3 log x x x3 � � � x 3 log x 3 x � � x3 � x log � � � x log � � D P log Suy P x1 x2 log log 3 Chọn A 2 Ví dụ 6: Gọi x1 x2 nghiệm phương trình x 5 x x 3 Biết x1 x2 , tính P x1 x2 A P log B P log5 C P log Lời giải D P log Logarit số vế ta được: x x x 3 log x3 x3 � � � x x 3 x 3 log � � �� x log x log � � Vì x1 x2 nên x1 3; x2 log � P log log Chọn B Ví dụ 7: Biết tổng nghiệm phương trình x 3 x A a b B a b 1 x 3 a b log với a; b �� Tính a b C a b 5 Lời giải D a b Logarit số vế ta được: x 3 log x x x 1 x 3 x 3 � �� � x1 x2 2 log � a 2; b � a b 1 Chọn B x log � x log � Phương pháp Đặt ẩn phụ Loại 1: Phương trình dạng: m.a f x n.a f x p f x Ta đặt t a t đưa dạng phương trình ẩn t ta được: PT � m.t n.t p f x Với phương trình: m.a f x n.a f x p.a f x q ta đặt t a t đưa phương trình bậc ẩn t 2f x Loại 2: Phương trình dạng: m.A n AB Chia vế phương trình (2) cho B PT � m.A f x f x �A � Đặt t � � �B � n AB t 0 f x p B f x f x f x p B f x 0 ta f x �A � � m � � �B � f x �A � n � � p �B � suy m.t n.t p Với phương trình: m.A f x n A2 B f x p AB f x q B f x ta chia vế phương trình �A � cho B f x đặt t � � (với t ) �B � Loại 3: Phương trình dạng: m.A f x n.A f x g x p.A g x PT � m.A f x n.A f x g x p.A g x � m.A 2� �f x g x � � n A f x g x p f x g x Đặt t A t � mt nt p Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 3 x x 4 b) 23 x 1 7.22 x 7.2 x Lời giải a) Do x � Đặt t = x 1� x 2= x � t PT x 3 3 � x 1 3 3 Với t � � t 2 � t 2 � t t Với t � x x x 1 � x 1 � � t2 x 1 � � � x t 1 � � x0 b) Đặt t PT � 2t 7t 7t � � � � x 1 � t � � Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) 3.9 x 7.6 x 6.4 x b) 2.32 x 17.3x Lời giải x x 2x x x 1 x �9 � �6 � �3 � �3 � a) Ta có: PT � � � � � � � � � � �4 � �4 � �2 � �2 � � x x t �3 � 2 �3 � � � � � � x 1 Đặt t � � t ta có: 3t 7t � � �2 � �2 � t 3 loai � b) PT � 2.32 x 17.3x Đặt t 3x x x 9.32 x � 2.32 x 2 x 17.3x x 9 � t loai x2 � � �� ta có: 2t 17t � � x 1 � t 3x x � x x � � Vậy nghiệm phương trình x 2; x 1 A Chọn B Ví dụ 3: Tập nghiệm phương trình x 5.3x là: A S log 2;1 B S log 2; 2 C S log 3;1 Lời giải D S log 3; 2 � x log3 t2 3x � � �� Đặt t t � t � t 5t � � � �x Chọn A t 3 x 1 3 � � � x x 2 Ví dụ 4: Tính tích nghiệm phương trình x 3.24 x 16 là: A P log 24 B P log 48 x Ta có: PT � C P log 144 Lời giải D P log � x2 2x � 16 x x 16 � 16.2 48 � �� �x x x log 12 2 12 � � Do P log 12 log 144 Chọn C Ví dụ 5: Tính tổng nghiệm phương trình 25 x 7.5 x 10 A log B log 10 C log 20 Lời giải D � x log t2 5x � � �� Đặt t ta có: t 7t 10 � � � �x t 5 x 1 5 � � � x Do P log5 log 10 Chọn B Ví dụ 6: Tổng tất nghiệm phương trình x A T 1 PT � x x 1 10.3x x2 1 C T Lời giải B T 2 x 1 D T 10 x2 x 1 Đặt t 3x2 x 1 (với t ) t 3 � � x2 x 1 x 1; x 2 � 10 � � �2 �� Khi PT � t t � � x 1; x t x x 1 � � � Do T 2 Chọn B Ví dụ 7: Gọi a nghiệm phương trình 32 x 2.32 x 27 Giá trị A a 2a là: A A A B A C A 1 D A Lời giải Ta có: PT � 32 1 x 6.31 x 27 1 x Đặt t � t � 31 x � x � x 1 t t 27 � � t 3 loai � a Do a Chọn B 2 Ví dụ 8: Số nghiệm phương trình x A B 2 x 22 x x là: C Lời giải D PT � x x 4.2 x x Đặt t x x t � t 1 loai � t 3t � � t t4 � x 1 � Khi x x � � Chọn B x2 � Ví dụ 9: Số nghiệm phương trình 27 x 32 x1 16 là: A B C Lời giải D Ta có: PT � 33 x 3.32 x 16 Đặt t 3x ta có: t 3t 16 � t � x log3 Chọn A Ví dụ 10: Số nghiệm phương trình 2 A B Ta có: 2 2 Đặt t x 2 x là: C Lời giải D x 1 x � t 1 1 � x Chọn A Khi PT � t 2t � � � t loai � Ví dụ 11: Tích tất nghiệm phương trình A P Ta có: Đặt t B P x 1 x 1 2 C P 1 Lời giải 1 Do PT � 1 x D P x 1 2 � t 1 x 2 PT � t 2 � t 2t � � t t 1 � Với t � x Với t 1 � x 1 Do tích nghiệm phương trình P 1 Chọn C Ví dụ 12: Tổng tất nghiệm phương trình A B x x 1 C Lời giải x x1 x � � � 1 � Ta có: PT � � � � � � � � � � � � � x x x x � � � 1 � � 1 � � � � Do � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � x � 1 � t � t 2t � t 1 � t Đặt t � � � � t ta có: t � � D x � 1 � Suy � � � � � x Chọn A � � Ví dụ 13: Tổng tất nghiệm phương trình 22 x A 2 B 1 1 9.2 x x 2 x C D Lời giải Ta có: 22 x 1 9.2 x x 22 x � 2.22 x 9.2 x Chia vế cho 22 x ta được: 2.22 x x 9.2 x 2 x 4.22 x x 40 � t4 � 2x x � x2 x 2 � � t t t � � � ta có: �2 � � t x x 1 2x x � � � � 2 Đặt t x x x 1 � � x2 x � � � Tổng tất nghiệm phương trình Chọn D x2 � Ví dụ 14: Số nghiệm phương trình 34 x 32 A B Đặt t Với t � Với t �3 4.32 x x 1 là: C Lời giải ĐK: x �1 Khi PT � 32 x 1 x x 1 1 x 1 x 4.3 x 1 x t 1 � � t ta có: 3t 4t � � t � x 1 x x 1 x �x �0 17 � x 1 2x � � �x �x x x �0 � � � x x 1 � � � x �x x 1 Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 15: Giải phương trình: 17 ; x Chọn C 2x 18 x 1 1 x x 1 x 1 2 Lời giải Viết lại phương trình dạng: x 1 1 x 1 1 � u x 1 Đặt � 1 x , u, v 1 v 1 � x 1 1 x x 1 1 x Ta có u.v 1 1 u v x 1 18 21 x D 18 uv2 �8 � u 8v 18 � � � �� Phương trình tương đương với hệ �u v u v � � u v uv u 9; v � � � u v uv � � � x 1 � x 1 Với u v , ta được: �1 x 1 � Với u 9; v u v , ta được: � x 1 � �1 x � x4 1 � � Vậy phương trình cho có nghiệm x x Ví dụ 16: Giải phương trình 22 x x Lời giải Đặt u x ; u Khi phương trình trở thành u u Đặt v u , điều kiện v � � v u Khi phương trình chuyển thành hệ � u2 v u v � � � u v2 u v � u v u v � � �2 u v 1 v u 6 � � u 3 � � 2x � x Với u v ta được: u u � � u 2 l � � 1 21 u � 21 21 2 � � 2x � x log Với u v ta được: u 5 � 2 � 1 21 u l � � Vậy phương trình có nghiệm x x log 21 Phương pháp Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá Để giải toán phương pháp ta cần ghi nhớ số kiến thức sau: Kiến thức hàm số: Hàm số f t đồng biến nghịch biến D (trong D khoảng, đoạn, nửa khoảng) u; v �D; f u f v � u v Bất đẳng thức AM-GM: Cho số thực không âm a1 ; a2 ; ; an ta có: a1 a2 an �n n a1.a2 an Dấu xảy � a1 a2 an Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho số thực a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có: a a22 an2 b12 b22 bn2 � a1b1 a2b2 anbn Dấu xảy � n a a1 a2 n b1 b2 bn Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a b �a b , dấu xảy � ab Ví dụ 1: Giải phương trình sau (phương pháp hàm số) a) x x x 3 x x x x x x x b) 22 32 x 3x 1 x Lời giải a) PT � x x 3x x x 24 x 6 36 x x � x x x x x x x 36 x x Đặt u x x, v x ta có: 2u 3u u 2v 3 v v (1) t t t 2t ln 3t ln t �� Xét hàm số: f t t t ta có: f � x 1 � Do (1) f u f v � u v � x x x � � x6 � Vậy phương trình có nghiệm x 1, x x x b) Ta có: PT � 22 32 x x 1 3x 1 x t t t 2t ln 3t ln t �� Xét hàm số: f t t t �� ta có: f � x x x Khi đó: f f x 1 � x � g x x � x x ln 1, g � x x ln x x �� Ta có: g � � x nên phương trình có tối đa nghiệm, mặt khác ta thấy g g 1 Do g � Vậy phương trình có nghiệm x 0, x Ví dụ 2: Giải phương trình sau (phương pháp phân tích nhân tử) a) x x 2x x 2 x x a) PT � � 4 2x b) x2 x 21 x2 2 x 1 Lời giải 4x 2x x2 x x2 22 x 22 � 22 x x x 1 22 x x 1 � 22 x x 1 � 1 � � �� x 1, x 2x x � � Vậy phương trình có nghiệm x 0, x 2 u v u v u v b) Đặt u x x, v x � PT � � 1 1 � � 2u � u0 2x2 2x x0 � � �v �� �� �� v0 x �1 1 � 1 x � � � Vậy phương trình có nghiệm x 0, x �1 Ví dụ 3: Giải phương trình sau (phương pháp đánh giá): x x a) x x x3 x � x x 2� b) 2cos � � � � Lời giải 11 a) Áp dụng BĐT: a b �a b (dấu xảy � ab ) x x x x x x Ta có: VP �4 x x Dấu đẳng thức xảy � 1 �0 11 � 1� Mặt khác ta có: x x �x ��3 �VT � VT=VP � x � 2� Vậy x nghiệm phương trình cho x b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: VP x3 x � x 2� � � cos � � VT 3x 3x � � �x x0 x � � � � � � �x x � � x Dấu đẳng thức xảy � � � � x x cos � � � cos � 1 � � � � � � � � � Vậy x nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) x x a) x 3 x 2 x x b) x 4.3 x 6.3 Lời giải 2 2 a) Đặt t 3x ta có: t x 3 t x Khi đó: x 3 2 x x x x 1 2 � x2 x2 t 2 � Do đó: � � x x 1 t x2 � � 2 Với t � 3x � x � log Với t � 3x x Ta có: VT 3x �30 �VP nên VT VP � x 2 Vậy nghiệm phương trình là: x 0, x � log 2 x x b) PT � x 4.3 x 6.3 Khi đó: 8.3x 16.9 x 6.3x 1 144.9 x 24.3x 12.3 x 1 � 2.3x 12.3x 1 x � � Do � x x �x 12.3 12.3 6.3x � � x (2) � g x x 6.3 (3) x 6.3x ln x �� Ta có: g � Do dó hàm số g x đồng biến � ta có: (3) g x g 1 � x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x , x 1 Ví dụ 5: Số nghiệm phương trình x x là: A B C Lời giải x Xét hàm số f x x tập � ta có: f � x x ln � x log D x0 ln � f x lim f x � f x0 f � log Lại có: xlim � � � � x � � � ln � Suy BBT: – Do phương trình cho có nghiệm Chọn C Ví dụ 6: Số nghiệm phương trình x 1 x A B Ta có: PT � x 1 x x x x x 1 là: C Lời giải D x x (*) t t 2t ln t �� � f t hàm đồng biến � Xét hàm số f t t � f � 2 Khi (*) � f x 1 f x x � x x x � x Chọn B Ví dụ 7: Số nghiệm phương trình x A Ta có: PT � x B x 1 3 x 1 x x 1 x là: C Lời giải D x x x x (*) t t 2t ln t �� � f t hàm đồng biến � Xét hàm số f t t � f � x 1 � 2 Khi (*) � f x 3x 1 f x � x 3x x � x x � � Chọn C x3 � Ví dụ 8: Số nghiệm phương trình A 1 x x2 1 x 2 B 1 ĐK: x �0 Khi PT � � 2x 1 x2 1 x2 x là: 2x C Lời giải 2 x2 x D 1 x �1 � �1 � � 1� x x � � �x �x x� � 1 t Xét hàm số f t t � f � t 2t ln t �� � f t hàm đồng biến � 2 1 �1 � �1 � Khi (*) � f � 1� f � �� � 1 � x Chọn B x� x x x x �x � �x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải phương trình x A x log 28 B x log Câu 2: Tìm tập nghiệm S phương trình x A S 1; 2 C x log 3 x 10 B S 5; 2 D x log 45 1 C S 5; 2 D S 2;5 C x D x x 1 �1 � Câu 3: Giải phương trình � � 125 x �25 � A x B x � x có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1 x2 Câu 4: Cho f x e3x x Biết phương trình f � A x1 x2 B x1 x2 C x1 x2 D x1 x2 Câu 5: Giải phương trình 3x.5x1 A x log15 35 B x log 21 C x log 21 35 D x log15 21 C x log D x log Câu 6: Giải phương trình 3x 5 3x 121 A x log B x log Câu 7: Tìm nghiệm phương trình 41 64a với a số thực cho trước A x 3a Câu 8: Phương trình 22 x A B x 3a 7 x5 C x a D x a có nghiệm thực? B C D � x có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1 x2 Câu 9: Cho hàm số Cho f x e x x Biết phương trình f � A x1 x2 B x1 x2 C x1 x2 D x1 x2 32 x 6 Câu 10: Tìm nghiệm phương trình x 27 A x B x x Câu 11: Phương trình A C x D x có nghiệm dương? 9x B C D Câu 12: Tìm tập nghiệm S phương trình x 1 4x 1 272 A S 1 B S 3 C S 2 Câu 13: Tính tích t nghiệm phương trình 2 A t B t x2 x C t 1 D S 5 3 2 x3 D t Câu 14: Cho hàm số f x 3x.2 x Khẳng định sau khẳng định đúng? 2 A f x � x.log x B f x � x.log x C f x � x.log x D f x � x.log x Câu 15: Tìm tập nghiệm S phương trình 7.3x 1 x 3x x 3 A S 1 B S 1 Câu 16: Tìm tích P phương trình A P C S 2 x 1 D S 2 x 1 2 C P B P 1 D P Câu 17: Tìm tập nghiệm S phương trình x 1 53 x 26 A S 3;5 B S 1;3 Câu 18: Biết phương trình x A T log 1 C S 2; 4 D S � 3x 1 có hai nghiệm a b Tính T a b ab B T log D T log C T 1 Câu 19: Tìm tập nghiệm thực phương trình 3x.2 x A S 0;log 6 B S 0;log 3 1� � 0;log � D S � � C S 0 Câu 20: Cho phương trình x x1 Khi đặt t x ta phương trình nào? A 2t B t t C 4t Câu 21: Phương trình x 3.3x có hai nghiệm x1 , x2 A B log D t 2t x1 x2 Tính x1 3x2 C 3log D log Câu 22: Phương trình 52 x 1 13.5x có hai nghiệm x1 , x2 Tính tổng S x1 x2 A S log B S log C S log D S log Câu 23: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x 1 5.0, x 26 Tính S x1 x2 A S B S C S D S Câu 24: Số nghiệm phương trình 6.9 x 13.6 x 6.4 x A B C D Câu 25: Cho phương trình x 1 13.6 x 6.4 x Phát biểu sau đúng? A Phương trình có nghiệm ngun B Phương trình có nghiệm dương C Phương trình có nghiệm dương D Phương trình có nghiệm vơ tỉ Câu 26: Tìm tích T tất nghiệm phương trình A T B T 1 x 1 C T x 1 2 D T 2 Câu 27: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x x 1.3x x 27 Giá trị x1 x2 x1 x2 A -1 B C D 2 Câu 28: Tính tích nghiệm phương trình 3x x A Câu 29: Gọi x1 , x2 A 7 B hai nghiệm 17 7 C Câu 30: Tính tổng bình phương nghiệm x A 1 C B -3 x1 x2 2 x B 2x 2 3x 1 D x 1 3x 17 x 1 x 1 1 4.2 x x1 x2 1 22 x C 10 B x1 x2 1 Giá trị D x D 13 Câu 31: Phương trình 32 x 1 4.3x có hai nghiệm x1 , x2 A x1.x2 1 x1 x2 Chọn câu đúng? C x1 x2 D x1 x2 2 Câu 32: Tìm tập nghiệm S phương trình 2.e x 2.e x � 1� ln � A S � � B S ln 2 C S 1 D S �ln 2 Câu 33: Tìm tích số tất nghiệm thực phương trình x A -1 C B x x 49 D x1 �4 � �7 � Câu 34: Tập nghiệm S phương trình � � � � 49 �7 � �4 � � 1� A S � � �2 � 1� C S �� � �2 B S 2 Câu 35: Tổng tất nghiệm thực phương trình 22 x A B 10 x 1 Câu 36: Phương trình x 1 0, 25 A B 1 5.2 x �1 � ; 2� D S � �2 3 x 26 x 1 C 2 7x D có tích nghiệm bằng? C D Câu 37: Tính tổng nghiệm x � 0; 2 phương trình 9sin x 9cos x A 2 B 4 �x x 1 x x Câu 38: Biết phương trình 27 27 16 � � a ��, b c Tỉ số A 3; � C 3 D 5 � � có nghiệm x a, x log b x log c với � b thuộc khoảng sau đây? c � 3� 1; � B � � 2� �3 � C � ; � �2 � �5 � D � ;3 � �2 � Câu 39: Biết phương trình 3 3 x x có nghiệm dạng x log 2 a b với a, b số dương Tổng a b A 13 B Câu 40: Tích nghiệm phương trình A B 13 C 1 1 x 3 x 3 2 C 13 D 11 x 3 x x x D 1 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: PT � x log5 � x log Chọn C x2 � 2 Câu 2: PT � x x 10 log � x 3x 10 � � Chọn B x 5 � x 1 x x x Câu 3: PT � 25 125 � 25 125 � 3125x 1 x � 25.125 25 25 1 � x log 3125 Chọn A 25 25 2 � e3 x x x x e3 x x � f � x 2e3 x x x e3 x x � �3 x � Câu 4: f � � 2 � Do f � x � x � x 12 x � x1 x2 2 Chọn B Câu 5: PT � 3x.5x 7.5 � 3.5 35 � x log15 35 Chọn A x x x x x Câu 6: PT � 3 121 � 1 121 � 1 � x log log Chọn B 2 Câu 7: PT � x 1 43 43 a � x 3a � x 3a Chọn A a x 1 � � Câu 8: PT � x x log � Chọn D � x � 2 2 � e3 x x x x e x x � f � x 2e x x x e3 x x � x 2� Câu 9: f � � � 2 2 � Do f � x � x � x x � x1 x2 Chọn A Câu 10: PT � 3x.32 x 6 27 � 3x x 33 � x � x Chọn D x0 � 3x � x x � � Câu 11: PT � x x � 3.2 � �x � Chọn A � x log3 3 � � Câu 12: PT � 4.4 x Câu 13: PT � 3 2 4x 17 272 � x 272 � x 64 43 � x Chọn B 4 � 3 2 x x x3 x2 x 3 2 x3 � 3 2 x2 x2 3 2 x3 1 x0 � � 1� x x x � 1 � � t Chọn A � x � x x Câu 14: f x � log 2 � log log x 2 x2 � x.log x Chọn A x �3 � 100 Câu 15: PT � 7.3.3 5 3 5 � 60.3 100.5 � � � � x 1 Chọn B �5 � 60 x Câu 16: PT � 1 x x x x x x x x 2 � � � 2 � � � � x 1 1 � 1 x 1 � xx � �� �� � P 1 Chọn B x x � � 1 1 � � x 125 53 x3 � x 125 x x �� Câu 17: PT � x 26 � 26.5 125 � �x Chọn B x 1 5 5 5 � � x 1 2 Câu 18: PT � x log � x x 1 log � x x log log x 1 � �� � T log log 1 Chọn C x log � x x Câu 19: PT � log 2 � log log x 2 x0 � x � x log x � � Chọn D x log � Câu 20: PT � x 2.2 x � t 2t Chọn D � x0 3x � x x � 3.3 � �� Câu 21: PT Chọn D �x x log 3 2 � � Câu 22: PT � x x log � 5x � � � 13.5 � x � � � x log 5 � � 5 � x1 x2 log log x log log Chọn D 5 x 2 Câu 23: PT � 5x 25 �1 � � � 26 � 5x x 26 � x 26.5 x 125 5 5 �5 � � x 125 53 x 3 � � �x �� � x1 x2 Chọn D x � � x x x x � �9 � �6 � �3 �� �3 � Câu 24: PT � � � 13 � � � � � �� 13 � � �4 � �4 � �2 �� �2 � � x � �3 � � � � �2 � � � �3 x �� � � � � �2 � x 1 � �� Chọn A x 1 � x x x x � �9 � �6 � �3 �� �3 � Câu 25: PT � � � 13 � � � � � �� 13 � � �4 � �4 � �2 �� �2 � � x � �3 � � � � x0 � �2 � �� x �� Chọn A �3 x 2 � � � � � � � � � � � �2 � �3 � Câu 26: PT �1 � �� �1 � Câu 27: x 1 x x 1 x x 1 x 27 � 5x x 1 3 x x 1 Câu 28: x 1 x 1 � x x � x1 x2 x1 x2 Chọn B x2 x2 x 1 � �� � T 1 Chọn B x 1 � 1 3x x 2 � �1 � 2 � � � � x 2 x2 3 x 1 �3 � �3 � � 3x x � � � � �� x 3 �2 � �2 � � x � � x1 x2 3 Chọn B Câu 29: � 17 x 1 3x 17 x 1 x 1 � 17 x 1 3x 17 1 x x 1 2x 1 1 x 1� x 7 � x x 3 x x � x x � x � Chọn B 3x x 1 x2 x Câu 30: 2 x 4.2 x x 22 x � x x 2 2x 22 x � 22 x x x 1 � 22 x 2x x 1 � � ��2 � �2 �� Chọn A x x x0 x x0 1 � � � � 3x x 1 � x 1 x 2x x � Câu 31: Ta có 4.3 � 3.3 4.3 � � Chọn A � � x 1 3x � � � ex x ln � x x 2x x �� Câu 32: 2.e 2.e � 2.e 5.e � � Chọn D x � x ln e � � Câu 33: x2 x x 49 � x 1 x2 x � x2 x 1 x � x x � x1 x2 1 Chọn A 2 16 �4 � �7 � �4 � �4 � Câu 34: � � � � � � � � �� x � x Chọn A 49 �7 � �4 � �7 � �7 � 2x Câu 35: 2 1 5.2 x 3 x 2 26 x1 � 2.22 x 5.2 x 23 x 2.26 x � 2.2 x 23 x 2 x2 2.23 x � � � 2.2 x 23 x x x3 x x 3x � �2 ��2 � �2 � tổng tất nghiệm Chọn C x 3x x x 1 x x � � 2.2 � � � 2 x 1 Câu 36: x 1 0, 25 7x x 3 7x � x 1 2 2 � 6x x � x x 12 x x 1 x 1 � � � 7x 9x � Chọn C � x � 2 2 Câu 37: Ta có 9sin x 9cos x �2 9sin x.9cos x 9sin x cos x 6 � 3 5 � k � x �� ; ; ; � �4 4 2 Xảy sin x cos x � cos x � x Do tổng nghiệm 4 Chọn B 1 x Câu 38: Ta có 27 27 x �x 16 � x � 3 � �x � �x � �x � x � � x � 16 � x � � � � � � � � � � � � �x 3 � x x 1 � � � 3 13 �x � �x � �� x � � x � � � 3x x � � x log � � � � � � � � 3 21 � � 3x x 3 x log � � � 13 Do suy b ,c Câu 39: Ta có 3 21 x 2 x b c 2,91 Chọn D � 2 2x 2 x �2 � 6 � � 2 � � x x 2 3 l � x log 2 � a 3, b � a b 13 Chọn A Câu 40: Ta có 1 1 x 3 x x 3x 1 1 1 Xét hàm số f t t 1 x x 32 2 x 3 x 1 x 3 x x 3 x x2 3x x 3x x 3x t 1 Ta có f � t t x 3 x t ln � hàm số đồng biến 2 2 Mà f x x f x x � x x x x � x x � x 3x � x x � tích nghiệm 1 Chọn D ... biểu sau đúng? A Phương trình có nghiệm ngun B Phương trình có nghiệm dương C Phương trình có nghiệm dương D Phương trình có nghiệm vơ tỉ Câu 26: Tìm tích T tất nghiệm phương trình A T B T ... phương trình x A -1 C B x x 49 D x1 ? ?4 � �7 � Câu 34: Tập nghiệm S phương trình � � � � 49 �7 � ? ?4 � � 1� A S � � �2 � 1� C S �� � �2 B S 2 Câu 35: Tổng tất nghiệm thực phương. .. x x 2 Ví dụ 4: Tính tích nghiệm phương trình x 3. 24? ?? x 16 là: A P log 24 B P log 48 x Ta có: PT � C P log 144 Lời giải D P log � x2 2x � 16 x x 16 � 16.2 48 � ��