CHỦ ĐỀ 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I QUY TẮC XÉT DẤU VÀ CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐÃ HỌC 1) Quy tắc xét dấu biểu thức Để xét dấu cho biểu thức ta làm như sau ( Bước 1 Điều kiện Tìm tất cả các nghiệm của p(x); q(x) và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số Ox ( Bước 2 Cho để xác định dấu của g(x) khi ( Bước 3 Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau Quy tắc Qua nghiệm bội lẻ thì g(x) đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì g(x) không đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi.
CHỦ ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I QUY TẮC XÉT DẤU VÀ CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐÃ HỌC 1) Quy tắc xét dấu biểu thức Để xét dấu cho biểu thức g(x) = p(x) ta làm sau: q(x) Bước 1: Điều kiện: q(x) ≠ Tìm tất nghiệm p(x); q(x) xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần điền vào trục số Ox Bước 2: Cho x → +∞ để xác định dấu g(x) x → +∞ Bước 3: Xác định dấu khoảng lại dựa vào quy tắc sau: Quy tắc: Qua nghiệm bội lẻ g(x) đổi dấu cịn qua nghiệm bội chẵn g(x) khơng đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu) (x − 4).(x − 5) Ví dụ: Xét dấu biểu thức f (x) = (x + 2)(x + 1) Bước 1: Ta thấy nghiệm biểu thức −2; −1; 4;5 xếp thứ tự tăng dần trục số Bước 2: Khi x → +∞ (ví dụ cho x = 10000) ta thấy f(x) nhận giá trị dương Bước 3: Xác định dấu khoảng lại Do (x − 5) mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua biểu thức không đổi dấu, (x − 4)1 mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua biểu thức đổi dấu… ta bảng xét dấu f(x) sau: −2 −1 −∞ x − f(x) + 0 2) Các dạng bất phương trình học − + Dạng 1: f (x) > g(x) ⇔ f (x) > g(x) ≥ f (x) < g(x) ≥ Dạng 2: f (x) < g(x) ⇔ f (x) ≥ g(x) > f (x) II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Xét bất phương trình a x > b, (a > 0, a ≠ 1) Nếu b ≤ tập nghiệm bất phương trình S = ¡ a x > 0(∀x ∈¡ ) Nếu b > thì: x - Với a > bất phương trình a > b ⇔ x > log a b x - Với < a < bất phương trình a > b ⇔ x < log a b III MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa số +∞ + Xét bất phương trình a f ( x) > a g(x ) Nếu a > a f (x ) > a g(x ) ⇔ f (x) > g(x) (cùng chiều a > 1) Nếu < a < a f (x ) > a g(x ) ⇔ f (x) < g(x) (ngược chiều < a < 1) f (x) > a g(x ) ⇔ (a − 1) [ f (x) − g(x) ] > (hoặc xét trường hợp số) Nếu a chứa ẩn a Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 8x 2−17x +11 1 a) ÷ 3 7− 5x − x x 1 ≥ ÷ 3 2x 1 b) ÷ ≥ 2x+1 4 Lời giải < nên BPT ⇔ 8x − 17x + 11≤ 7− 5x − x ⇔ 9x − 12x + ≤ a) Do > ⇔ (3x − 2)2 ≤ ⇔ x = 3 Vậy nghiệm BPT x = 2x 2x b) ĐK: x ≠ −1 BPT ⇔ ( −2−2 ) > 2x +1 ⇔ 2−2x > 2x +1 x x < −2 2x 2x 2x + 4x ⇔ 2x + < 0⇔ < 0⇔ x +1 x +1 x +1 −1< x < Do > nên BPT ⇔ −2x > ; ) Vậy nghiệm BPT x ∈ ( −∞; −2) ∪ ( −10 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: a) ( ) 10 + x −3 x −1 < ( ) 10 − x +1 x +3 b) Lời giải x 2− 2x ≤ 2x −1 a) ĐK: x ≠ 1, x =≠ −3 Do ( )( ) 10 + 10 − = 1⇒ Khi BPT ⇔ ⇔ ( ) ( x −3 10 + x −1 < ) ( ) 10 − = ( ) 10 + x +1 10 + x + ⇔ x −3 x +1 x − x +1 x −1 x −1 x2 + x − ⇔ x − 1+ ≥ 0⇔ ≥ 0⇔ x +1 x +1 x +1 −2≤ x < − Kết hợp x ∈¢ ⇒ x = { −2; −1} ⇒ BPT có nghiệm nguyên âm Chọn B Ví dụ 7: Gọi S tập hợp nghiệm ngun bất phương trình 1÷ 3 x − 3x −10 > 32− x Tìm số phần tử S A 11 B C Lời giải D x ≥ x ≥ x − 3x − 10≥ , x − 2> x ≥ ⇔ x ≤ −2 ⇔ x ≤ −2 ⇔ BPT ⇔ x < 14 2 x − 3x − 10 < x − x − 3x − 10 < x − x − 3x − 10< x − 4x + ⇒ 5≤ x < 14⇒ có phần tử Chọn C Dạng 2: Phương pháp logarit hóa Xét bất phương trình dạng: a f ( x ) > b g( x ) (*) với ≠ a; b > Lấy logarit vế với số a > ta được: (*) ⇔ log a a f ( x) > log a b g(x ) ⇔ f (x) > g(x) log a b Lấy logarit vế với số < a < ta được: (*) ⇔ log a a f ( x) < log a b g(x ) ⇔ f (x) < g(x) log a b Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) 3x − 5x + > 2x −2 b) 72 x > 167 x −1 c) 2x Lời giải a) Logarit số vế ta có: BPT ⇔ log 3x − 5x + > log 2x − ⇔ x − 5x + 6> (x − 2) log x > 3+ log ⇔ (x − 2)(x − 3− log 2) > 0⇔ x < Vậy nghiệm BPT : x < 2; x > 3+ log b) Logarit số vế ta có: BPT ⇔ 2x −4 > 7x − ⇔ x − > (x − 2) log x > ⇔ (x − 2)(x + 2− log 7) > 0⇔ x < log 7− 2 2 2x 3x c) BPT ⇔ + 42 x < 3x + ⇔ 2x < 3x 3 −1 + 2x +2 < 3x + 3x −1 ( ) 2x −3 < 3x −3 ⇔ x2 − < x2 − log2 x > ⇔ (x 2− 3)(1− log 3) < 0⇔ x 2− 3> 0⇔ x < − Ví dụ 2: Tập nghiệm S bất phương trình 3x < 2x là: A S = ( 0; +∞ ) B S = (0;log 3) C S = (0;log 2) Lời giải D S = (0, 1) 2 Lấy logarit số vế ta có: x < x log ⇔ x − x log 2< ⇔ 0< x < log Chọn C Ví dụ 3: Số nghiệm ngun bất phương trình 3x.5x < : A B C Lời giải ( D ) x x Lấy logarit số vế ta có: log 3 < log 31⇔ x + x log 5< ⇔ − C f (x) < 1⇔ x log 2+ x < D f (x) < ⇔ x ln + x ln < Lời giải log (2x.3x ) < log 1 x log 2− x > 3 x x2 Ta có f (x) < 1⇔ log 2(2 ) < log ⇔ x + x log 3< x x2 log 3(2 ) < log 31 x log 2+ x < x x2 x ln 2+ x ln 3< ln(2 ) < ln Đáp án sai B Chọn B Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) = A f (x) > 1⇔ 3x 7x −1 Khẳng định sau sai? x x2 − > 1+ log 1+ log B f (x) > 1⇔ x log 3> (x − 1) log 2 C f (x) > 1⇔ x > (x − 1) log Ta có: f (x) > 1⇔ 3x > 7x ⇔ −1 ⇔ log 21 3x > log 21 7x D f (x) > 1⇔ x ln 3> (x 2− 1) ln Lời giải −1 ⇔ x log 21 3> (x − 1) log 21 x x2 − x x2 − > ⇔ > log 21 log 21 1+ log 1+ log Tương tự lấy logarit số e vế ta f (x) > 1⇔ x > (x − 1) log f (x) > 1⇔ x ln 3> (x − 1) ln Đáp án sai B Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) = 2x.7x Khẳng định sau sai ? A f (x) < 1⇔ x + x log 7< B f (x) < 1⇔ x ln 2+ x ln 7< D f (x) < 1⇔ 1+ x log 7< Lời giải C f (x) < 1⇔ x log 2+ x < 2 Ta có: f (x) < ⇔ x.7 x < ⇔ log (2 x.7 x ) < log 2 ⇔ log 2x + log 7x < ⇔ x + x log 7< 0⇒ A f (x) < 1⇔ ln(2x.7x ) < ln 1⇔ x ln 2+ x ln 7< 0⇒ B f (x) < 1⇔ log 7(2x.7x ) < ⇔ x log 2+ x < 0⇒ C Đáp án sai D Chọn D Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Ta làm tương tự dạng đặt ẩn phụ phương trình lưu ý đến chiều biến thiên hàm số Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: +1 x x a) ÷ + ÷ > 12 3 3 b) 3x + 9.3− x − 10 < Lời giải a) Điều kiện: x ≠ 2 x x x x BPT ⇔ ÷ + ÷ > 12 ⇔ ÷ + ÷ − 12 > 3 3 3 3 t > x Đặt t = ÷ ( t > ) ta t + t − 12 > ⇔ t < −4 ( loai ) 3 1 −1 x 1+ x x Với t > ⇒ ÷ > ⇔ ÷ > ÷ ⇔ < −1 ⇔ t = ⇔ ⇒ < 3x < ⇔ 30 < 3x < 33 ⇔ < x < b) Ta có + 9.3 − 10 < ⇔ 1 < t < t − 10t + < −x x Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 1 a) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x ≤ b) 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ Lời giải x x a) Điều kiện: x ≠ Khi chia vế cho ta có: ⇔ ÷ − 13 ÷ + ≤ 2 2 x x t > t = ÷ > → 2 ⇔ 2 ≤ t ≤ 6t − 13t + ≤ x +1 x ≥0 x x ≤ −1 3 ⇒ ÷ ≤ ÷ ≤ ⇔ −1 ≤ ≤ ⇔ ⇔ x 3 2 x ≥1 x −1 ≥ x x x 25 5 b) Ta có: 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ ⇔ + ÷ − ÷ ≤ 2 x t > x t = ÷ 5 → 2 ⇔ ⇒1≤ ÷ ≤ ⇔ ≤ x ≤1 2 1 ≤ t ≤ 2t − 7t + ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [ 0;1] Ví dụ 3: Số nghiệm nguyên khoảng ( −20; 20 ) có bất phương trình 16 x − 5.4 x + ≥ A 19 B 20 C 39 Lời giải D 40 t ≥ x Đặt t = ( t > ) ta có: t − 5t + ≥ ⇔ t ≤ 4x ≥ x ≥ ⇔ Suy x x ≤ 4 ≤ x ∈ ¢ ⇒ có 39 nghiệm Chọn C Kết hợp x ∈ ( −20; 20 ) Ví dụ 4: Biết S = [ a; b ] tập nghiệm bất phương trình 3.9 x − 10.3x + ≤ Tìm b − a A T = C T = B T = 10 D T = Lời giải x Đặt t = ( t > ) ta có t − 10t + ≥ ⇔ ≤ t ≤ ⇒ 3−1 ≤ 3x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Suy S = [ −1;1] ⇒ b − a = Chọn D Ví dụ 5: Tìm tổng nghiệm nguyên bất phương trình x −1 − 36.3x −3 + ≤ A T = B T = C T = Lời giải t =3 > Ta có: BPT ⇔ 32( x −1) − 4.3x −1 + ≤ → t − 4t + ≤ ⇔ ≤ t ≤ x −1 D T = Khi đó: 30 ≤ 3x −1 ≤ ⇔ ≤ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp x ∈ ¢ ⇒ x = { 1; 2} ⇒ T = Chọn B Ví dụ 6: Tìm tổng nghiệm nguyên bất phương trình A T = B T = D T = C T = Lời giải x 2.3x − x + 3x − x 2.3x − x + ≤1 3x − x 3 ÷ − x x 2.3 − 4.2 ≤1⇔ ≤ ⇔ x ≤1⇔ x x −2 3 ÷ −1 2 x 3 t = ÷ > 2 x 3 ÷ −3 2 ≤0 x 3 ÷ −1 2 x t −3 3 →⇔ ≤ ⇔ < t ≤ ⇒ < ÷ ≤ ⇔ < x < log 3 t −1 2 Kết hợp x ∈ ¢ ⇒ x = { 1; 2} ⇒ T = Chọn D ( Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên bất phương trình − A B x − x2 3− BPT ⇔ ÷ ÷ x − x2 3+ Đặt t = ÷ ÷ ) x − x2 ( + 3+ ) x− x2 ≤ 21− x C Lời giải x − x2 3+ + ÷ ÷ +2 x D − + ÷ ÷ ≤ Nhận xét ÷ ÷= x − x2 3− ( t > ) suy ÷ ÷ = t x = 2 Ta có t + ≤ ⇔ t − 2t + ≤ ⇔ ( t − 1) ≤ ⇔ t = ⇔ x − x = ⇔ t x = Vậy nghiệm BPT là: x = 0; x = Chọn A Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá Cho hàm số y = f(t) xác định liên tục D: Nếu hàm số f(t) đồng biến D ∀u, v ∈ D f (u) > f(v) ⇔ u > v Nếu hàm số f(t) nghịch biến D ∀u, v ∈ D f (u) > f(v) ⇔ u < v Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) 32− x + − x >0 4x − b) 4x + x − >0 2x + x − Lời giải a) ĐK: x ≠ 2− x 2− x Xét g ( x ) = + − x với x ∈ ¡ ta có: g ' ( x ) = −3 ln − < 0∀x ∈ ¡ Do hàm số g(x) nghịch biến ¡ ta có: g ( x ) > ⇔ g ( x ) > g ( ) ⇔ x < x < g ( x ) > x x > − > ⇔ ⇔ < x Khi BPT ⇔ g ( x ) < x > 4 x − < x < 1 Vậy nghiệm BPT là: ; ÷ 2 x x b) Xét g ( x ) = + x − f ( x ) = + x − ¡ ta có: g ' ( x ) = x ln + > 0, f ( x ) = x ln + > Do hàm số f ( x ) , g ( x ) đồng biến ¡ g ( x ) > g ( x ) > g ( 1) f ( x ) > f ( x ) > f ( ) x > ⇔ ⇔ Khi BPT ⇔ x ; x < Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: a) ( ) +1 x +1 ( − 3+ 2 ) x +1 ≥ x b*) x + x − ≥ − x + x +1 − x + Lời giải a) BPT ⇔ ( ) +1 Xét hàm số f ( t ) = x +1 ( − ( ) +1 ) 2x +1 ≥ x ⇔ ( t ) +1 +1 + t ( t ∈ ¡ ) , f '( t ) = ( x +1 + x +1 ≥ ) ( t + ln ( ) +1 2x + 2x ) +1 +1 > Do hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Ta có: f ( x + 1) ≥ f ( x ) ⇔ x + ≥ x ⇔ x ≤ Vậy nghiệm BPT là: x ≤ b) Đặt y = x +1 − x + ⇒ − x = y − − x +1 Khi BPT ⇒ x + x − ≥ y − − x +1 + y ⇔ x + 3.2 x + ≥ y + y ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ≥ y + y Xét hàm số f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) Do BPT ⇔ f ( x + 1) ≥ f ( y ) ⇔ x + ≥ y ⇔ x + ≥ x +1 − x + x ⇔ x + x +1 + ≥ x +1 − x + ⇔ x + x ≥ Xét hàm số g ( x ) = + đồng biến ¡ BPT ⇔ g ( x ) ≥ = g ( 1) ⇔ x ≥ Vậy x ≥ nghiệm PT Ví dụ 3: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình 25.2 x − 10 x + x ≥ 25 là: A T = B T = C T = Lời giải D T = x x x x x Ta có: 25.2 − 10 + ≥ 25 ⇔ 25 ( − 1) ≥ ( − 1) ⇔ ( x − 1) ( 25 − x ) 2 x − ≥ 2 x ≥ 20 x x 25 − ≥ 5 ≥ ≥0⇔ ⇔ ⇔0≤ x≤2 x x − ≤ ≤ 25 − 5x ≤ 52 ≤ x Kết hợp x ∈ ¢ ⇒ x = { 0;1; 2} ⇒ T = Chọn B Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên bất phương trình 3x A Ta có: BPT ⇔ 3x B − x −6 − x −6 − 3x + + x − x − ≤ là: C Lời giải D + x − x − ≤ 3x + + x + t Xét hàm số f ( t ) = + t tập ¡ t Khi f ' ( t ) = ln + > ( ∀x ∈ ¡ ) suy f ( t ) đồng biến ¡ 2 Do f ( x − x − ) ≤ f ( x + ) ⇔ x − x − ≤ x + ⇔ x − x − ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇒ BPT có nghiệm ngun Chọn C Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên bất phương trình x A B Ta có: BPT ⇔ x − x +7 −4 x+7 − 25 x −7 + x − x + 14 ≤ là: C Lời giải D + x − x + ≤ 25 x − + x − t Xét hàm số f ( t ) = + t tập ¡ t Khi f '(t) = ln2 + 1> 0( ∀x∈ ¡ ) suy f(t) đồng biến ¡ 2 Do f ( x − x + ) ≤ f ( x − ) ⇔ x − x + ≤ x − ⇔ x − x + 14 ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ BPT có nghiệm ngun Chọn B Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên bất phương trình 2017 2x + A B x +1 − 20172 + x +1 + 2018x ≤ 2018 C Lời giải D Điều kiện x ≥ −1 BPT ⇔ 2017 2x + x +1 + 1004(2x + x + 1) ≤ 20182+ x +1 + 1004(2 + x + 1) (*) ; ] Hàm số f(t) = 2017t + 1004t đồng biến ¡ nên (*) ⇔ 2x + x + 1≤ 2+ x + ⇔ x ∈ [ −11 Do BPT có nghiệm nguyên Chọn C BÀI TẬP TỰ LUYỆN x − 4x −12 Câu 1: Bất phương trình ÷ 3 A > 1có tất nghiệm nguyên? B C 3x+1 Câu 2: Tập nghiệm bất phương trình ≥ A x ∈ [ 1; +∞ ) D Vô số 25 B x ∈ [ −1; +∞ ) C x ∈ ( −∞; −3] D x ∈ ( −∞; 3] Câu 3: Tập nghiệm bất phương trình 102x < 10x+ A (0, 6) B (−∞; 6) 2x +1 1 Câu 4: Giải bất phương trình ÷ 2 A S = (−∞; 3) C (0; 64) D (6; +∞) C S = (−∞; −3) D S = (− ; 3) 3x − 1 1 A S = 0; ÷ 3 1 C S = ; +∞ ÷ 3 ; ) B S = (01 1 D S = −∞; ÷ 3 Câu 6: Tập nghiệm S bất phương trình x < 2là ; ) A S = [ 01 B S = (−∞; 1) Câu 7: Tập nghiệm S bất phương trình ÷ 3 A S = ( 2; +∞ ) ; ) A S = ¡ \ (−31 > 3− x ; ] C S = ( 12 ( 3) x +1 ; ] B S = ¡ \ [ −31 Câu 9: Tập nghiệm S bất phương trình A S = ( −∞; 1] x +2 ; ) B S = ( 12 Câu 8: Tập nghiệm S bất phương trình B S = [ 1; +∞ ) D S = (1; +∞) C S = ¡ D S = [ 2; +∞ ) ≤ 3− x + ; ] C S = [ −31 ( 5+2 ) x −1 ≤ ( −2 ) ; ) D S = (−31 x −1 C S = (−∞; 1) D S = (1; +∞) Câu 10: Tập nghiệm S bất phương trình 2x > 3x+1 A ∅ B −∞;log 3÷ C ( −∞;log 3] D log 3; +∞ ÷ Câu 11: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 32x −1 > 243 A S = (−∞; 3) B S = (3; +∞) C S = (2; +∞) − x + 3x Câu 12: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ÷ 2 < D S = (−∞; 2) A S = (−∞; 1) ; ] C S = [ 12 ; ) B S = (12 D S = (2; +∞) Câu 13: Nghiệm bất phương trình 32x +1 > 33− x A x > − B x > C x > 9x −17x +11 Câu 14: Nghiệm bất phương trình ÷ 2 A x = B x > 3 D x < D x ≤ 7− 5x 1 ≥ ÷ 2 C x ≠ Câu 15: Tập nghiệm bất phương trình x −1 > 4là A S = (9; +∞) B S = [ 9; +∞ ) C S = ( −∞; 9] D S = (−∞; 9) x Câu 16: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 2x −1 > ÷ 16 A S = (2; +∞) B S = (−∞; 0) C S = (0; +∞) D S = (−∞; +∞) Câu 17: Tập nghiệm bất phương trình 16x − 54 x + ≥ 0là A S = ( −∞; 1) ∪ (4; +∞) B S = ( −∞; 1] ∪ [ 4; +∞ ) C S = ( −∞; 0) ∪ (1; +∞) D S = ( −∞; 0] ∪ [ 1; +∞ ) Câu 18: Số nghiệm nguyên bất phương trình 3x + 93 − x < 10là A Vô số B C D Câu 19: Tập nghiệm bất phương trình 9x − 26 x + 4x > A S = (0; +∞) C S = ¡ \ { 0} B S = ¡ D S = [ 0; +∞ ) 2x +1 Câu 20: Cho hai hàm số f (x) = g(x) = 5x + 4x.ln Tập nghiệm bất phương trình f’(x) > g’(x) A S = ( −∞; 0) B S = (1; +∞) Câu 21: Cho hàm số f (x) = 3x − 7x −4 ; ) C S = (01 D S = (0; +∞) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? A f (x) > ⇔ (x − 2).log − (x − 4).log > B f (x) > ⇔ (x − 2).log 0,3 − (x − 4).log 0,3 > C f (x) > ⇔ (x − 2).ln − (x − 4).ln > D f (x) > ⇔ (x − 2) − (x − 4).log > Câu 22: Cho hàm số f (x) = x 2e − x Bất phương trình f '(x) ≥ có tập nghiệm A S = [ −2; 2] B S = ( −∞; −2] ∪ [ 0; +∞ ) C S = ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) D S = [ 0; 2] Câu 23: Giải bất phương trình 3x < 2x A x ∈ (0; +∞) B x ∈ (0;log 3) C x ∈ (0;log 2) D x ∈ (0;1) Câu 25: Tập nghiệm bất phương trình (2 − 3) x > (7 − 3)(2 + 3) x +1 1 A S = −∞; ÷ 2 1 B S = ; +∞ ÷ 2 1 C S = −2; ÷ 2 1 D S = ; ÷ 2 2x Câu 26: Giải bất phương trình ( − 2) x −1 ≤ ( + 2) x A S = ( −∞; −1] ∪ [ 0;1] B S = [ −1;0] C S = ( −∞; −1) ∪ [ 0; +∞ ) D S = [ −1;0] ∪ (1; +∞) x x Câu 27: Tìm tập nghiệm S bất phương trình π ÷ < π ÷ 3 3 +5 2 A S = −∞; − ÷ 5 2 B S = −∞; − ÷∪ (0; +∞) 5 C S = (0; +∞) D S = − ; +∞ ÷ Câu 28: Tập nghiệm bất phương trình 5x A S = (2; +∞) −x < 25 B S = ( −∞;1) ∪ (2; +∞) C S = (−1; 2) D S = ¡ x −1 Câu 29: Tập nghiệm bất phương trình ÷ < 16 2 A S = (2; +∞) B S = ( −∞;0 ) C S = (0;1) 5 D S = 1; ÷ 4 Câu 30: Tìm tập nghiệm bất phương trình 32x > 3x + A S = (0; 4) B S = ( −∞; ) 2x − 3 Câu 31: Giải bất phương trình ÷ 4 A S = [ 5; +∞ ) C S = (4; +∞) D S = (−4; +∞) C S = ( −∞; −1) D S = ( −1; ) x +1 3 > ÷ 4 B S = ( −∞;5 ) Câu 32: Tìm tập nghiệm S bất phương trình (2 + 3)3− x > − A S = (−∞;5) B S = (5; +∞) C S = (1; +∞) D S = (−∞;1) Câu 33: Xét bất phương trình 52x − 3.5x + + 32 < Nếu đặt t = 5x bất phương trình trở thành bất phương trình sau đây? A t − 3t + 32 < B t − 16t + 32 < C t − 6t + 32 < D t − 75t + 32 < Câu 34: Biết S = [ a; b ] tập nghiệm bất phương trình 3.9 x − 10.3x + ≤ Tìm b - a A B C 10 D Câu 35: Giải bất phương trình x −1 − x − − ≤ tập nghiệm S = ( −∞;a ) ∪ (b; +∞) , với a, b 1 số thực a < b Tính a + 2b A a + 2b = -4 B a + 2b = C a + 2b = 3− x D a + 2b = x +1 Câu 36: Số nghiệm nguyên bất phương trình ( 10 − 3) x −1 > ( 10 + 3) x +3 A B C D Câu 37: Tìm tập nghiệm bất phương trình x +1 > 3x + 9 A S = −∞;log ÷ 2 9 B S = −∞;log ÷ 2 9 C S = −∞;log 2 D S = log ; +∞ ÷ 32 Câu 38: Biết tập nghiệm bất phương trình 2.4 x − 5.2 x + ≤ S = [ a; b ] Tính b − a A b − a = B b − a = C b − a = D b − a = Câu 39: Tìm nghiệm nguyên dương lớn bất phương trình x −1 − 2x − ≤ A x = B x = C x = D x = x 1 Câu 40: Cho hàm số f (x) = ÷ 5x Khẳng định sai? 2 A f (x) > ⇔ x + x log > B f (x) > ⇔ x − x log < C f (x) > ⇔ x − x log > D f (x) > ⇔ −x ln + x ln > Câu 41: Tập nghiệm bất phương trình 2.7 x + + 7.2 x + ≤ 351 14 x có dạng S = [ a; b ] Giá trị b − 2a thuộc khoảng đây? A (3; 10) B (−4; 2) C ( 7; 10) 49 D ; ÷ 9 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ; ; ; ; 3; 4; 5} Chọn C Câu 1: BPT ⇔ x − 4x − 12< 0⇔ −2< x < 6⇒ x ∈ { −1012 Câu 2: BPT ⇔ 53x +1 ≥ 5−2 ⇔ 3x + 1≥ −2 ⇔ x ≥ −1 Chọn B Câu 3: BPT ⇔ ( 10x ) − 106.10x < ⇔ 10x < 106 ⇔ x < Chọn B Câu 4: BPT ⇔ 2x + 1> 3x − ⇔ x < Chọn A Câu 5: Ta có f (x) = x e 3x − x.3e3x 1− 3x ⇒ f '(x) = = 3x > 0⇔ x < Chọn D 3x 3x e (e ) e x ≥ ⇔ 0≤ x < Chọn A Câu 6: BPT ⇔ x < x ≥ −2 x ≥ −2 x ≥ −2 ⇔ x > ⇒ x > Chọn A Câu 7: BPT ⇔ 1 x + 1 x ⇔ > ÷ x + < x ÷ x > x + 3 3 x +1 Câu 8: BPT ⇔ ≤ 32− x ⇔ 2− x ≥ x −1 Câu 9: BPT ⇔ (2+ 5) ≤ x2 + ⇔ −3≤ x ≤ Chọn C ⇔ (2+ 5) x −1.(2+ 5) x −1 ≤ x −1 (2+ 5) ⇔ (2+ 5) x −1 ≤ 1⇔ x − 1≤ ⇔ x ≤ Chọn A x 2 Câu 10: BPT ⇔ > 3.3 ⇔ ÷ > ⇔ x < log Chọn B 3 x x Câu 11: BPT ⇔ 2x − > log 243 = ⇔ x > Chọn B Câu 12: BPT ⇔ − x + 3x > 2⇔ 1< x < Chọn B x Câu 13: BPT ⇔ ( ) > 27 ⇔ ( 3x ) > 32 ⇔ 3x > ⇔ x > Chọn C x 3 2 Câu 14: BPT ⇔ 9x − 17x + 11≤ 7− 5x ⇔ (3x − 2) ≤ ⇔ x = Chọn A x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x > Chọn A Câu 15: BPT ⇔ x − 1> x > Câu 16: BPT ⇔ 2x −1 > ( 2−4 ) x = 2x ⇔ x − 1> − Câu 17: BPT ⇔ ( ) x x Câu 18: BPT ⇔ + x2 − x + ⇔ > 0⇔ x > Chọn C x x 4x ≥ x ≥ − 54 + 4≥ 0⇔ x ⇔ Chọn D 4 ≤ x ≤ x x < ⇔ − 103 x + 9< ⇔ 1< 3x < 9⇔ 0< x < 2⇒ x = Chọn D ( ) x x x x 3 x 9 6 3 Câu 19: BPT ⇔ ÷ − ÷ + 1> 0⇔ ÷ − ÷ + 1> 4 4 2 2 x 3 x 3 ⇔ ÷ − 1 > ⇔ ÷ ≠ 1⇔ x ≠ Chọn C 2 2 2x +1 ln 5;g '(x) = 5x ln 5+ 4ln Câu 20: Ta có f '(x) = 25 → f '(x) > g'(x) ⇔ 52x +1 > 5x + ⇔ 5.(5x ) − 5x − > ⇔ 5x > 1⇔ x > Chọn D Câu 21: Ta có f (x) > 1⇔ 3x −2 > 7x +) f (x) > ⇔ 3x −2 > x −4 −4 ⇔ log 3x −2 > log 7x ⇔ log 0,3 3x − < log 0,3 x +) f (x) > 1⇔ 3x −2 > 7x −4 ⇔ ln 3x − > ln 7x +) f (x) > 1⇔ 3x −2 > 7x −4 ⇔ log 3x −2 > log 7x −4 −4 −4 ⇔ (x − 2) log 3> (x − 4) log ⇔ (x − 2) log 0,3 < (x − 4) log 0,3 ⇔ (x − 2) ln 3> (x − 4) ln −4 ⇔ x − > (x − 4) log Chọn B x2 2xe x − x 2e x 2x − x = ≥ ⇔ 0≤ x ≤ Chọn D Câu 22: BPT ⇔ f (x) = x ⇔ f '(x) = e (e x )2 ex Câu 23: BPT ⇔ log 3x < log 2x ⇔ x < x log ⇔ 0< x < log Chọn C x Câu 25: BPT ⇔ (2− 3) > (2− 3) 1 ⇔ (2− 3) x −1 > 1⇔ 2x − 1< ⇔ x < x +1 (2− 3) Chọn A Câu 26: Điều kiện x ≠1 BPT ⇔ (2+ 5) 2x x −1 ≤ (2+ 5) x ⇔ − x > 2x x2 + x ≤x⇔ ≥ 0⇔ Chọn D x −1 x −1 −1≤ x ≤ x > x ≠ x ≠ ⇔ Câu 27: BPT ⇔ ⇔ 2+ 5x Chọn B x < − < + > x x x Câu 28: 5x −x < 25⇔ x − x < ⇔ x − x − 2< 0⇔ −1< x < Chọn C x −1 Câu 29: Điều kiện x ≠ Ta có 1÷ < ⇔ > ⇔ 4x − < ⇔ 1< x < Chọn D 16 x − x −1 2 Câu 30: 32x > 3x + ⇔ 2x > x + ⇔ x > Chọn C 2x − 3 Câu 31: ÷ 4 x +1 3 > ÷ 4 ⇔ 2x − 4< x + 1⇔ x < Chọn B Câu 32: (2+ 3)3− x > 7− ⇔ (2+ 3) 3− x > (2+ 3) −2 ⇔ 3− x > −2⇔ x < Chọn A Câu 33: 52x − 3.5x + + 32 < ⇔ ( 5x ) − 75.5x + 32 < ⇒ t − 75t + 32 < Chọn D x − 103 x + 3≤ ⇔ (33 x − 1)(3x − 3) ≤ ⇔ Câu 34: 39 x ≤ ≤ 3⇔ −1≤ x ≤ Do suy a = −1, b = 1⇒ b − a = Chọn D −1 x Câu 35: −2 x −2 x≥ x1 x1 2x − x − 3≤ ⇔ ÷ − − 3≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ 0⇔ 4 x x x < Do suy a = 0, b = Câu 36: ⇔ ( ) 10 − 3− x x −1 > ⇒ a + 2b = Chọn B ( ) 10 + x +1 x +3 ⇔ ( ) 10 + x −3 x −1 > ( ) 10 + x +1 x +3 ⇔ x − x +1 > x −1 x + < ⇔ −3< x < 1⇒ x ∈ { −2; −10 ; } Chọn D (x − 1)(x + 3) x x +1 Câu 37: x +2 >3 9 2 ⇔ ÷ > ⇔ x < log Chọn B 3 32 x − 52 x + 2≤ ⇔ (22 x − 1)(2x − 2) ≤ ⇔ Câu 38: 24 x ≤ ≤ ⇔ −1≤ x ≤ Chọn D x x x −1 x −2 x Câu 39: − ≤ 3⇔ (2 ) − − 3≤ ⇔ ≤ ⇔ x ≤ Chọn B 4 Câu 40: Ta có đáp án A sai Chọn A x x 7 7 Câu 41: 27 x + + 72 x + ≤ 351 14x ⇔ 987 x − 351 14x + 282 x ≤ ⇔ 98 ÷ − 351 ÷ + 28≤ 2 2 x 7 x 7 7 x 7 ⇔ ÷ − ÷ − ≤ ⇔ ≤ ÷ ≤ ⇔ −2≤ x ≤ 1⇒ b − a = Chọn A 49 2 2 2 2 49 ... S = (−∞;1) Câu 33: Xét bất phương trình 52x − 3.5x + + 32 < Nếu đặt t = 5x bất phương trình trở thành bất phương trình sau đây? A t − 3t + 32 < B t − 16t + 32 < C t − 6t + 32 < D t − 75t + 32... D x ∈ ( −∞; 3] Câu 3: Tập nghiệm bất phương trình 102x < 10x+ A (0, 6) B (−∞; 6) 2x +1 1 Câu 4: Giải bất phương trình ÷ 2 A S = (−∞; 3) C (0; 64 ) D (6; +∞) C S = (−∞; −3) D S = (− ; 3)... D S = (−∞; 9) x Câu 16: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 2x −1 > ÷ 16? ?? A S = (2; +∞) B S = (−∞; 0) C S = (0; +∞) D S = (−∞; +∞) Câu 17: Tập nghiệm bất phương trình 16x − 54 x + ≥ 0là A