Bài 5 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT – bất PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Mục tiêu  Kiến thức Biết cách giải dạng phương trình lơgarit Biết cách giải dạng bất phương trình lơgarit  Kĩ Giải số phương trình mũ phương trình lơgarit đơn giản phương pháp đưa số, lơgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số Nhận dạng phương trình bất phương trình lơgarit Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình lơgarit �  a �1 Dạng 1: log a f  x   log a g  x  � � �f  x   g  x   Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f  x   g  x   tùy thuộc vào độ phức tạp f  x   g  x   �0  a �1 Dạng 2: log a f  x   b � � b �f  x   a Bất phương trình lơgarit y  log a x   a �1 � a 1 � � �  f  x  g  x � � Dạng 1: log a f  x   log a g  x  � � �  a 1 � � � �f  x   g  x   � � � a 1 � �  f  x   ab � � Dạng 2: log a f  x   b � �  a 1 �� � b � � �f  x   a �� a 1 �� b � �f  x   a Dạng 3: log a f  x   b � � �  a 1 � �  f  x   ab � � � SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình lơgarit Bài tốn Biến đổi dạng phương trình  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log x  x    log  x  1  A Hướng dẫn giải Ta có: B  C D � �x  2 x 1  � � log3  x  x  1  log3  x  1 � � �� � x3 x0 �x  x   x  �� � � x3 �� Nên phương trình có nghiệm x  Chọn D Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số Ví dụ 2: Số nghiệm phương trình log x  log3 x  log x  log 20 x A B C Hướng dẫn giải Ta có: log x  log3 2.log x  log 2.log x  log 20 2.log x D � log x   log  log  log 20   � log x  � x  Nên phương trình có nghiệm Chọn A Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số log x  log 2.log x log 20 x  log 20 2.log x Ví dụ 3: Cho phương trình log  x  1   log  x  log8   x  Tổng tất nghiệm phương trình A  Hướng dẫn giải B C D �  x  1  �x �1 � 4  x  � � �  x  � �x  � � Điều kiện: � �x �1 � �   x   �x  4 � Ta có: log x   log  log   x   log   x  � x   16  x � �x �1 � � � x  2  �4 x   16  x � �� �� (thỏa mãn điều kiện) x 1 x  2 � � � � � �4 x   16  x � Tổng tất nghiệm phương trình x   Chọn A Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số log a x  log a x Trang Ví dụ 4: Cho phương trình log  log  log x    Gọi a nghiệm phương trình, biểu thức sau đúng? A log a  10 B log a  C log a  D log a  Hướng dẫn giải Điều kiện x  0;log x  0;log  log x   suy x  9 Khi log  log  log x    � x  � a  � log a  Chọn D Ví dụ 5: Tìm nghiệm phương trình log x  log x A S   1; � B S   0; � C S   1;10 D S   1; � Hướng dẫn giải �x  � x  (*) Điều kiện � �x  log ۳۳�� x log � x log x Khi log x � log x x x  1;  Kết hợp với (*) ta x � 1; � thỏa mãn Vậy S   1; � Chọn D Bài tốn Phương trình theo hàm số lôgarit  Phương pháp giải Bước Sử dụng cơng thức lơgarit biến đổi Ví dụ: Phương trình log x  3log x  log x  lơgarit số có hai nghiệm x1 , x2 Khi x1  x2 A 2 C 1 2 2 B 1 D  2 Hướng dẫn giải Ta có: log 2 x  3log x  log x   � log 2 x  log x   Bước Áp dụng phương pháp giải dạng  Ví dụ mẫu log x  1 � � x �� �� � � log x  x � � Khi x1  x2   Chọn A x x1 Ví dụ 1: Phương trình log   1 log   3  có A hai nghiệm dương C phương trình vơ nghiệm Hướng dẫn giải B nghiệm dương D nghiệm kép x x 1 x x Ta có: log3   1 log3   3  � log3   1 log3  3.3  3  x � � log  3x  1 log �  x  1 �  log  x  1 � � � � log   1 � � � log  3x  1  � �� log   1 � � � log   1   � � log  3x  1  3 � x x x  log 10 � � 3x   3x  10 � � � � � x 28 � �x 28 � � � x  log 3 1   � � 27 27 � 27 Chọn A x Chú ý: Biến đổi phương trình có ẩn log   1 Bài toán Phương pháp hàm số  Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu hàm số  Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến)  a; b  số nghiệm phương trình f  x   k  a; b  không nhiều f  u   f  v  � u  v, u , v � a; b   Tính chất Nếu hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y  g  x  liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến) D số nghiệm D phương trình f  x   g  x  khơng nhiều  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình log  x    log  x    có nghiệm? A Hướng dẫn giải B C D Điều kiện x   Ta có: log  x    log  3x     Đặt f  x   log3  x    log  x    f�  x  1   0, x    x   ln  3x   ln Nên phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f  1  nên phương trình có nghiệm x  Chọn A 2 Ví dụ 2: Phương trình ln  x  x  1  ln  x  1  x  x có tổng bình phương nghiệm A Hướng dẫn giải B 25 C D 2 Ta có: ln  x  x  1  ln  x  1  x  x Trang � ln  x  x  1   x  x  1  ln  x  1   x  1 Xét hàm số f  t   ln t  t  0; � , ta có f �  t     0, t � 0; � t x0 � 2 2 Mà f x  x   f x  � x  x   x  � x  x  � � x 1 � Vậy tổng bình phương nghiệm phương trình Chọn D Ví dụ 3: Số nghiệm phương trình ln  x  1  x2 A B C Hướng dẫn giải �x  1, x �2 � PT � � ln  x  1  0 � x2 � Xét hàm số y  ln  x  1  x2 1 y�    0, x � 1; � \  2 x   x  2     D Lập bảng biến thiên hàm số D   1;  � 2; � Suy phương trình có nghiệm phân biệt Chọn A   2 Ví dụ 4: Số nghiệm phương trình log x  x  log x  x  A Hướng dẫn giải B C D Điều kiện: x �0; x � 2 Đặt t  x  x � x  x   t  � log t  log  t   Đặt log t  log  t    u � log t  u �t  3u � � 5u   3u 5u  3u  � � u u � �   � � � � �u �u log  t    u �   3u   5u t   5u � � � � 5u  3u  (1) � u u �� �3 � �1 �  � � � �  (2) � �5 � �5 � � + Xét (1): 5u  3u  Ta thấy u  nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u  Với u  � t  1 � x  x   , phương trình vơ nghiệm u u �3 � �1 � + Xét (2): � � � � �5 � �5 � Ta thấy u  nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u  Với u  � t  � x  x   , phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x �0; x � Chọn B 1009 Ví dụ 5: Biết phương trình log   x   2018log x có nghiệm x0 Khẳng định đúng? 1 A 31008  x  31006 B x  31009 1 C  x  31008 D 31007  x  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1009 Đặt t  log   x   2018log x Khi t  � x1009  2t � � � 2018  3t �x �   1  �   t t t  3 t � t t � � �1 � 1  � �  � (*) �2 � � � � � � �   t t t t � � �1 � Ta thấy hàm số f  t   � � nghịch biến liên tục  0; � f    nên phương �2 � � � � � � � trình (*) có nghiệm t  � x1009  hay x0  31009 1  nên  x  31008 1009 1008 Chọn C Ví dụ 6: Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 Tính giá trị nhỏ S S  2a  3b Mà  A Smin  30 B Smin  25 C Smin  33 D Smin  17 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t  ln x , u  log x Khi ta at  bt   (1), 5u  bu  a  Phương trình có nghiệm phân biệt �   � b  20a  � b  20a b Với t  ln x � x  et � x x  et1 et2  et1 t2  e  a b Với u  log x � x  10u � x x  10u1.10u2  10u1 u2  10  b b Ta có: x x  x x � e  a  10 Lấy lôgarit số e hai vế ta b b   ln10 � ab ln10  5b � a ln10  � a  (do a, b nguyên dương) 5 ln10 Smin � amin , bmin Mà amin  � b  60 � bmin   Trang � S  2a  3b  2.3  3.8  30 Chọn A Bài tốn Mũ hóa lấy lơgarit hai vế  Phương pháp giải Các lí thuyết sử dụng  a �1, b  � f  x b� � + a �f  x   log a b a + f  x b g  x � log a a f  x � f  x   g  x  log a b    logb b Hoặc log b a  Ví dụ mẫu f x g  x  A Hướng dẫn giải g x � f  x  logb a  g  x  log x 8 Ví dụ 1: Phương trình  log a b    x   có tất nghiệm phân biệt? B C D � x  2 2 Điều kiện xác định: x   � � x2 � Điều kiện có nghiệm x   � x  Nên phương trình có nghiệm nghiệm phương trình thỏa mãn x  2  log x 8 Ta có:   x  � log x   log x      2 8 x  2 � � log  x    log  x   � x   x  � � x3 � So với điều kiện, ta nhận x  nghiệm phương trình Chọn C Ví dụ 2: Phương trình x  22.x log5 15  5.3log5 x  có tất nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện x  Ta có: x  22.x1 log  5.31 2log x  � 5x  22.x1log  5.3.32log x  t Vì x log 15  x1loc  x.x loc  x.3log x Đặt t  log x � x  5 5 5 5 Phương trình trở thành:  5t   22.5t.3t  15  3t   2 t � �5 � � 2t t � � �3 � �5 � �5 � � � � �  22 � � 15  � � t  1 �5 t �3 � �3 � � � � � � 5 �3 � � Nên log x  1 � x  Chọn C Bài toán Đặt ẩn phụ  Phương pháp giải t Bước 1: Đặt t  log a f  x  � f  x   a � log na f  x   t n , log f  x  a  , t �0 t Ví dụ: Biết phương trình log x  log x 64  có hai nghiệm phân biệt Khi tích hai nghiệm A B 1 C D Hướng dẫn giải �x  Điều kiện � �x �1 Với điều kiện phương trình cho trở thành log x  log x  � log x  1 log x �  log x   log x   Bước 2: Chuyển phương trình phương trình ẩn t Bước 3: Giải phương trình kết hợp điều kiện Có thể đặt ẩn phụ hồn tồn khơng hồn tồn để giải phương trình Đặt t  log x , phương trình trở thành t2  t   t 3 � �� t  2 � log x  � �� log x  2 � x 8 � �� � x � Chọn A  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log x  log 3x   A 35 B 84 Hướng dẫn giải �x  �x  �۳� Điều kiện � log x �0 �x �1 � C 65 D 28 x Phương trình log x  log 3 x   � log x  log3  log x   � log x  log x   Đặt t  log x ;  t   Phương trình trở thành: log x  x 3 t 1 � � � t  3t   � � � � � �1 � x1  x2  84 t2 log x  x2  81 � � � Chọn B Trang Ví dụ 2: Phương trình log x   x  12  log3 x  11  x  có tất nghiệm? A Hướng dẫn giải Điều kiện: x  B C D Phương trình log3 x   x  12  log x  11  x  phương trình bậc hai theo ẩn log x tham số x log x  � Giải phương trình tham số x , ta được: � log x  11  x (*) � Giải phương trình (*), ta có: log x  x  11  Đặt f  x   log x  x  11  0; � , ta có: f �  x   0; �   nên hàm số f  x  đồng biến x ln Do đó, phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f    nên x  nghiệm (*) Tóm lại phương trình có hai nghiệm: x  , x  Chọn B Bài toán Phương trình tích  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng nghiệm phương trình log x  ln x  ln x.log x  log x số có dạng với a, b số nguyên dương Giá trị a  b A 11 B 13 C D Hướng dẫn giải Ta có: log x  log x  ln x  2ln x.log x � log x  log x  1  ln x  log x  1  � � x log x   � � �  2log x  1  log x  ln x   � � 10 � � log x  ln x  log e.ln x  ln x  � � 1 � � x x � � � 10 � � 10 � ln x  x 1 � � Nên tổng nghiệm phương trình  a 1 � 1  10  �� � a  b  11 b  10 10 10 � Chọn A Bài tốn Phương trình lơgarit chứa tham số  Phương pháp giải a b b Câu 70: Cho phương trình log 22 x  log x   m  log x  3 với m tham số thực Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc  16; � A  m �2 B  m � C �m � D �m � Câu 71: Có giá trị m nguyên thuộc  2017; 2017  để phương trình log  mx   log  x  1 có nghiệm nhất? A 2017 B 4014 C 2018 D 4015 4x  Câu 72: Tìm giá trị tham số m để phương trình log x  m  có nghiệm 1 A m  B 1  m  C m �1 D 1  m  x 1 x m Câu 73: Cho phương trình 2  log  x  x  3  log  x  m   với m tham số thực Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt � � �3 � A m ���; ��� ; �� � � �2 � � 1� � � �; ��� ; �� B m �� � 2� � � C m � �; 1 � 1; � D m � �;1 � 1; �   Câu 74: Cho phương trình log x  4mx  log  x  2m  1  với m tham số thực Gọi S tập tất giá trị m để phương trình có nghiệm nhất, S có dạng  a; b  � c với a  b  c Tính P  2a  10b  c A P  B P  15 C P  2 D P  13 Dạng Bất phương trình lơgarit Bài tốn Biến đổi dạng bất phương trình  Phương pháp giải Áp dụng lý thuyết � a 1 � � �  f  x  g  x � � Dạng 1: log a f  x   log a g  x  � � �  a 1 � � � �f  x   g  x   � � � a 1 � �  f  x   ab � � Dạng 2: log a f  x   b � �  a 1 �� � b � � �f  x   a �� a 1 �� b �f  x   a � Dạng 3: log a f  x   b � � �  a 1 � �  f  x   ab � � �  Ví dụ mẫu � � b � b� a; �, với log x ��0 có dạng S  � Ví dụ 1: Tập nghiệm bất phương trình log � phân số tối c � c� � � giản a số nguyên Tính a  b  c A Hướng dẫn giải C 2 B � � log x ��۳� log �1 x Ta có: log � � � Nên a  0, b  1, c  , a  b  c  D x Chọn A log   x  � Ví dụ 2: Tập nghiệm bất phương trình log � � � S   a; b  \  0 Tính a  3b A Hướng dẫn giải C 2 B D 2 log   x  � Ta có: log � � � �  log   x   �   x  2 1  x  � �x  � �2 �� Nên a  1; b  Do a  3b  �x �0 �x  Chọn B log � x 3� � Ví dụ 3: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log � A Hướng dẫn giải B C D �x �3 �x �3 x4 � �� �� Điều kiện: � log x   x2 � �x   � log �� 3� �� Ta có: log � x  � log3 x � �x  �3 � �x   1  x  �3  x �6 � � �� �� � x � 0;  � 4;6 1  x  �3 �  x �0 � Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình Chọn B � � log3 x, log x � có tập nghiệm Ví dụ 4: Bất phương trình max � � �1 � A  �; 27  B  8; 27  C � ; 27 � �8 � Hướng dẫn giải Điều kiện: x  �x  27 log x  � � � � � log x, log x � � � Ta có max � log x  � �x  �  x  27 � � � � � �1 � Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S  � ; 27 � �8 � Chọn C Bài tốn Bất phương trình theo hàm số lơgarit  Phương pháp giải D  27; � A Vô số C Hướng dẫn giải Ta có: B D log 2  x   log  x   �0 Bước Sử dụng công thức lôgarit biến đổi lôgarit số Bước Giải dạng � log 22  x   log  x   �0 1 2x 4 Bất phương trình có nghiệm nguyên Chọn B ����� log 2� x  2� Ví dụ: Số nghiệm nguyên bất phương trình log 2  x   log  x   �0 x  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tập nghiệm bất phương trình 1   S   a; eb  \  e c  , với a, b, c �� Tính  ln x ln x a bc A B C Hướng dẫn giải  ln x   ln x  ln x  ln x   � 0 Ta có:   ln x  ln x   ln x  ln x D Bảng xét dấu:  ln x  �  x  e2 � �� Do đó: � nên a  1, b  2, c  suy a  b  c  ln x �1 � �x �e Chọn C Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x  log x �3 A Hướng dẫn giải Ta có: log x  B log 36 3x C 11  � log x  D 3  log x log 32 x  log x    � ۣ log x  � log x  1 �  x  nên khơng có giá trị ngun thỏa mãn tốn log x log 32 x  log3 x   0, x  Chọn B   Ví dụ 3: Bất phương trình log 2 x  x   có tập nghiệm  a; b  � c; d  Tính tổng a  b  c  d 3 Hướng dẫn giải A B C D  17   Ta có log 2 x  x   � x   �x  � � 2x  x 1  � �� ��  17  17 2x  x 1  � � x � 4 � �  17  17 1 x a ;b   � � � 2� �� � �  17  17 � 1 x  c  1; d  � � � � Vậy a  b  c  d  Chọn C Bài tốn Mũ hóa lấy lơgarit hai vế  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Bất phương trình x 2 log x  1000 có tất nghiệm nguyên? A 999 B 1000 C Vô số D 1001 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Ta có: x 2 log x  1000 � log  x 2 log x   log1000 �  log x   log x  � log x  log x   � 1  log x  �  x  1000 nên bất phương trình có 999 nghiệm nguyên 10 Chọn A Chú ý: số a  , giữ nguyên chiều bất phương trình;  a  đảo chiều bất phương trình log  x   � � � khoảng  a; b  Tính b  a Ví dụ 2: Biết tập nghiệm S bất phương trình log  � A Hướng dẫn giải B C D �x  �x  �x   �� �� � x3 Điều kiện: � log  x    �x   �x  � log  � log3  x   � � � � log3  x    � x   � x  So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S   3;5  Do đó: b  a    Chọn A Bài toán Đặt ẩn phụ  Phương pháp giải t Bước Đặt t  log a f  x  � f  x   a � log na f  x   t n , log f  x  a  , t �0 t Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Xét phương trình: log x  5log3 x   �   log x   5log x   Bước Chuyển phương trình phương trình ẩn t Bước Giải phương trình kết hợp điều kiện �  log x   5log x   (1) Đặt t  log x (1) � t  5t   �  t    t  3  t2 � �� t 3 � log x  � �� log x  � Ví dụ: Có giá trị nguyên x � 0;30  thỏa mãn bất phương trình log x  5log x   ? x9 � �� (thỏa mãn) x  27 � Do x � 0;30  nên có 10 giá trị thỏa mãn A C 26  Ví dụ mẫu B 10 D 27 Chọn B x Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm S bất phương trình  log x �1 log x log x  log   � 1� 0; � 1; � A � �� 2; � � 2� � � 1� � 0; �� 2; � C � � 2� � � 1� 0; �� 1; � B � � � 2� � 1� 0; � 1; � D � � 2� �  Hướng dẫn giải �x  �2 �  x �2 Điều kiện: �x  � log  �0 � x 2  log x �1 � log x   log x �1 log x log  log x log  log Đặt t  log x Bất phương trình trở thành t  2t � �  � t t 1 2t  t  t  t  1 + Với t  1: log x  � x  1 + Với  t � :  log x � �  x  2 t 1 � � � t � � t �1 � �log 2 x + Với t -�1: x  � 1� 0; �� 1; � Kết hợp với điều kiện, bất phương trình cho có tập nghiệm S  � �� 2; � � 2� Chọn A x Ví dụ 2: Biết bất phương trình log     2.log  5x    có tập nghiệm S   log a b; � , với a, b số nguyên dương nhỏ a �1 Tính P  2a  3b A P  11 B P  16 C P  18 Hướng dẫn giải x x  (*) Ta có log   2.log  5x  2  � log   log x     x Đặt t  log     Khi (*) trở thành t    D P    � t  3t   � t  (do t  ) t x x Với t  log      log 2 �  � x  log5 �a  � P  2a  3b  16 Suy � b2 � Chọn B Bài toán Bất phương trình tích  Ví dụ mẫu Ví dụ: Tập nghiệm bất phương trình log  x  1 log  x  1 �log 20  x  1 S� a  c; d � � �với a, b, c, d số nguyên dương Tính tổng a  b  c  d A 11 B 13 C 12 D Hướng dẫn giải Điều kiện: x  , bất phương trình trở thành: log ab b log  x  1 log  x  1  log 20 4.log 20  x  1 �0 � log  x  1 � � � � log  x  1 � � � log  x  1 � log x   log � � �   � 20 � � � log  x  1 � � � �log x   � 5 � �0 �log 20 �0 �log 20 � �x � � log 20 1 �x �5 � �� � 5log 20  �x �2 �x �2 � � log 20 � 1 �x �5 � Nên a  5, b  4, c  1, d  Từ ta có: a  b  c  d  12 Chọn C Bài tốn Bất phương trình lơgarit chứa tham số  Phương pháp giải có dạng  log x   log x  m �0 nghiệm với x � 1;64  Bước Đặt ẩn phụ A C 10 Hướng dẫn giải Điều kiện: x   Ta có: log x Bước Sử dụng định lý Vi-ét, cô lập m , xét hàm f  t  , lập bảng biến thiên để tìm m B 11 D   log x  m �0 � log 22 x  log x  m �0 (*) Đặt log x  t Lại có  x  64 �  log x  �  t  Bất phương trình (*) có dạng t  t  m �0 � t  t � m Ta tìm m để t  t �m có nghiệm với  t  Xét hàm f  t   t  t f�  t   2t  1, f �  t  � t   Lập bảng biến thiên ta có: Ví dụ: Có giá trị nguyên tham số m � 10;10  để bất phương trình Vậy phương trình t  t �m có nghiệm với  t  � m  � m  Chọn D  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Có giá trị nguyên tham số m � 10;10  để bất phương trình ln x  m ln x  m  �0 nghiệm với x  A B C D Hướng dẫn giải Ta có: ln x  +m ln �� x m�+  m  ln x 1 ln x t2  Đặt t  ln x; t �ln Ta xét hàm số f  t   t 1 f t  t2  4  t 1 � f� ;  t   1 t 1 t 1  t  1 f�  t   � 1  t  1 t 3 � 0� � t  1 � m ln x  ln x  Vậy bất phương trình nghiệm với x  m �6 có giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn B 2 Ví dụ 2: Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình log  log  x  1 �log  mx  x  m  nghiệm với x A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: m0 � m0 � � mx  x  m  0, x ��� � � �� m2 �m2 16  4m  �� � m  2 �� log  log  x  1 �log  mx  x  m  � log  x  1 �log  mx  x  m  �  x  1 � mx  x  m  �   m  x  x   m �0, x �� 5m  � � -��� � �- 16    m  �0 � � �m  � �4 �  m  m5 � � �2 m �  m �2 � m5 � � �m � m �3 � m Có hai giá trị nguyên thỏa mãn m � 3; 4 Chọn A  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giải bất phương trình log  x    log   x  tập nghiệm  a; b  Hãy tính tổng S  ab 26 11 28 A S  B S  C S  D S  5 15   Câu 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log  x   log   x   4 A S   1;  B S   �; 1 � 2; � C S   �;1 � 2; � D S   2; � Câu 3: Bất phương trình log  x  1  log  x   có tập nghiệm A  3; � B  �;3 �1 � C � ;3 � �2 � D  2;3 C  �; 4  � 1;  D  1;  Câu 4: Tập nghiệm bất phương trình log 0,8  x  x   log 0,8  2 x   A  �; 4  � 1; � B  4;1   Câu 5: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log x   log  x  2 � 1� 0; �� 1; � A S  � � 3� �1 � C S  � ;1� �3 � � 1� �; �� 1; � B S  � � 3� � 1� 0; � � 1; � D S  � � 3� A  �;0 � 8; � B  0;1 � 2;8 �2 �  ;0 � 8; � C � �5 � � D  8; � Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình ln  x  3x   �ln  x   Câu 7: Bất phương trình log  x    log  x  1 có tập nghiệm A  1;  B  1;  C  5; �  12  x  C  0;9  Câu 8: Tập nghiệm bất phương trình log x  log A  0;12  B  9;16  D  �;1 D  0;16  Câu 9: Với m tham số thực dương khác Hãy tìm tập nghiệm S bất phương trình log m  x  x  3 �log m  x  x  , biết x  nghiệm bất phương trình �1 � A S   2;  �� ;3� �3 � �1 � B S   1;  �� ; � �3 � �1 � C S   1;  �� ;3� �3 � D S   1;  � 1;3 Câu 10: Tập xác định hàm số y  ln  x  1  ln  x  1  A  1; � B �;   D � � 2; � C � Câu 11: Bất phương trình log x �log  x  1 tương đương với bất phương trình sau đây? A log x �log x  log B log x �log  x  1 C log x �log  x  1 D log x �2 log  x  1 4 2 2 2 Câu 12: Tất giá trị m để bất phương trình log  x   �log  mx  x  m  có nghiệm với giá trị x A m �5 B  m �5 C m �7 D �m �5 Câu 13: Có số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện log  x  40   log  60  x   ? A 20 B 18 C 21 Câu 14: Tập nghiệm bất phương trình log  x  1 �log   x   A  1;5  B  1;3 C  1;3 D 19 D  3;5 Câu 15: Bất phương trình log3  x  3  log  x  3 �2 3 � � A � ; �� � � �3 � B � ; �� �4 � �3 � C � ;3� �4 � � � D � ;3� � � Câu 16: Bất phương trình log x  log x  log x  log 20 x có tập nghiệm A  1; � B  0;1 C  0;1 D  1; � Câu 17: Tập nghiệm bất phương trình log  x    log  x    10 � � A � ; �� �3 � B  2; � A  4; 2  � 1; � B  2;1 C  2; � D  2;  Câu 18: Tập nghiệm bất phương trình log  x  x  3  log  x    log  x  1  C  1; � D � Câu 19: Bất phương trình log  x  1  log  x   �1 có tập nghiệm A  2; � � 5� 2; � C � � 2� B  2;3 � � D � ;3� � � Câu 20: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log  x    log A S   2; � B S   1;   x   log  x  x   D S   1; 2 C S   0;  Câu 21: Cho bất phương trình log 0,2 x  log  x    log 0,2 Nghiệm bất phương trình cho A x  B �x  D  x  C x �2 � 1� Câu 22: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x  log �x  ��1 2� 2 � A Vô số B C Câu 23: Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log x  log 20 A  5;  B  �; 5  D C  �; 5  � 4; � D  4; � Câu 24: Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log   x    log  x   chứa khoảng đây? A  1;  B  4;3 C  2;3 D  2;5  Câu 25: Bất phương trình 3log  x  1  log 3  x  1 �3 có tập nghiệm A  1; 2 �1 �  ;2 C � �2 � � B  1; 2 �1 � D � ; � �2 � Câu 26: Nghiệm bất phương trình log x  log 0,2 x  log 25 x �7 A x �25 B  x �25 D  x �10 C x �10 Câu 27: Nghiệm bất phương trình log x  �2  log  x   A  x �3 B x  2 Câu 28: Nghiệm bất phương trình log A x �1 369 B x � 49  C  x    D 2  x  3 x    �log  10  x 369 C x � 49 369 D �x � 49 Câu 29: Nghiệm bất phương trình log x  x   log x   log  x   3 A x  B x  C  x  D x  10 2 Câu 30: Giá trị tham số m bất phương trình log  x  2mx  m  2m     log  x   nghiệm với x ��? A m  1 �m  B 1  m  C m  D m  1 Câu 31: Tập nghiệm S bất phương trình log x  5log x  �0 � � A S  � ; 64� � � � 1� 0; � B S  � � 2� � 1� 0; �� 64; � D S  � � 2� C S   64; � Câu 32: Nghiệm bất phương trình log x  log x  5 x  32 � A � x 1 � x5 � B � x 1 � x  32 � C � 0 x2 � x �32 � D � x �1 � Câu 33: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log   x   log   x  �5 63 � � A S   �;0 �� ; � 32 � � 63 � � B S   �; 0 �� ; �� 32 � � C S   2; � D S   �; 0 Câu 34: Nghiệm bất phương trình  ln x   ln x  1 �x �e A � �x  B x �1 C x ��\  1 D x �� Câu 35: Nghiệm bất phương trình log  3log x �2 A  x  B  x  C �x �4 Câu 36: Tập nghiệm bất phương trình ln x  3ln x  �0 A  �;1 � 2; � e ; � B � � e ; � C  �; e  �� � D �x �2 e2 ; � D  0; e �� � x3   log x Câu 37: Tập nghiệm bất phương trình log log x  log x A  0; � � 3� 0; B � � � �� 1; � � � �3 � C � �8 ;1� � � � �1 � D � ;1� �27 � Câu 38: Tập nghiệm bất phương trình log x  log x   �1 � A � ;16 � �2 � B  1;  C  1;16  �1 � D � ; � �2 � Câu 39: Tập xác định hàm số y  ln x  3ln x  e ; � A  0; e  �� � B  �;1 � 2; � � � A S  � ; � � � B S   �; 2 e ; � C  �; e  �� � e ; � D � � C S   2; 2 D S   0; 2 2 Câu 40: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log  x   log  x   �0 Câu 41: Tập nghiệm bất phương trình log x  10 log x   A  2; � � �  � ; B � �� 2; � � � � 14 � 0; �� 2; � C � � � � 14 � 0; � D � � � Câu 42: Tập nghiệm bất phương trình log x  log8 x � log 16 �1 � � 1� �1 � 0; �� 2; � A � ; � B � C � ; �� 16 � 16 � � 16 � � � D  2; � Câu 43: Tập nghiệm bất phương trình log   x   8log 0,25   x   �0 63 � � � 63 � �; � A  �;0  �� ; � B � 32 � � � 32 � C  �; 5 � 1; � D  �;  Câu 44: Tập nghiệm bất phương trình log x  5log x   � 14 � A �2 ; � � � � 14 � 0; �� 2; � B � � � C  2; � D  0;  �x � Câu 45: Cho bất phương trình log x.log  x   log � � Nếu đặt t  log x , ta bất phương �2 � trình sau đây? A t  11t   B t  11t   C t  14t   D t  14t   Câu 46: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log3 x  25log3 x  750 �0 A 925480 B 38556 C 378225 x Câu 47: Tập nghiệm bất phương trình log   1 log D 388639 3x  � 16 A  1; 2 � 3; � B  1;1 � 4; � C  0; 4 � 5; � D  0;1 � 2; � Câu 48: Bất phương trình log x.log x  log x  log x   có nghiệm A x  B x  C x  D x 3 có nghiệm nguyên đoạn  1;5 A B C D Câu 50: Nghiệm bất phương trình log x 100  log100 x  Câu 49: Bất phương trình log x  log x � A  x  102 � x 2 � B � 10 �  x  102 � C  x  102 � 0 x 2 � 10 D � �  x  102 � Câu 51: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x  log x 125  A B C 10 Câu 52: Số nghiệm nguyên bất phương trình log3 x  log x 27 �3 A B C ln x   ta tập nghiệm ln x  � 1� B  �;e  C ��; � � e � D 11 D 11 Câu 53: Giải bất phương trình �1 � A � ; e � �e � D  e; � Câu 54: Mệnh đề sau phát biểu bất phương trình  1  log x  3log x A Tập xác định bất phương trình cho T   0; � B Tập xác định bất phương trình cho T   0; � � � �8 � 0; ��� ; �� 4; � C Tập xác định bất phương trình cho T  � � 27 � �27 �     3 D Tập xác định bất phương trình cho T  0; � 9; � 4; � Câu 55: Tập nghiệm bất phương trình A  �;  � 1; e  � e ; � C  1; e  \  e Câu 56: Tập nghiệm bất phương trình 1    ln x ln x B  �;1 D  �; e  � e ; � 1   log e log 4 x e log 3 x e A  3; 2  � 3;  B  3;  � 3;  C  �; 2  � 3; � D  �; 3 � 4; � Câu 57: Tập nghiệm bất phương trình 1� � 1� � 0; ��� ; �� 2;  � 4; � A � 2� � 16 � � 1� � 1� � 0; ��� ; �� 2; 4 � 4; � C � 2� � 16 � � Câu 58: Tập nghiệm bất phương trình    � � �1 � 0; ��� ; � � 2;  � 4; � B � � 16 � �4 � 1� � 1� � 0; ��� ; �� 4; � D � 2� � 16 � � 16 log x 3log x   log x  log x  �1 1� ; �� 1; � B � �2 2 � A  0;1 � 2; � �1 1� ; �� 1;  C � �2 2 �  �1  log x  log x    �1 � ;1�� 2; � D � �2 � Câu 59: Tìm m để bất phương trình log x  m log x  m  �0 có nghiệm x  m  3 � A � m �6 � B 3  m �6 A � B � C m  3 D m �6 log  3x   � Câu 60: Tập nghiệm bất phương trình log x � � � C  3; � D  log 10; � log  x   � Câu 61: Tập nghiệm bất phương trình log x � � ��1 A � B � C  log 5; � D  2; � Câu 62: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x  x  x    A B C D   Câu 63: Tập nghiệm bất phương trình log x x  x  16 �0 A  3; � \  4 B  3; � C  5; � A  �;0  B  0; � C  �;0 x x Câu 64: Bất phương trình log   1  log    �2 có tập nghiệm   D  3; � \  5 D  0; � x Câu 65: Giải bất phương trình log x log3   72  �1 ta được: A x �2  x �2 � B � �x �1 C log 72 �x �2 B  1;  C  1;0  D log 73 �x �2 x x Câu 66: Tập nghiệm bất phương trình log  7.10  5.25   x  A  1;0     D  1;0  x x Câu 67: Bất phương trình log 9   log 28  2.3 �x có tập nghiệm A  �; 1 � 2; log 14 B  �; 1 � 2;log 14  � 12 � 2; C  �; 1 �� � 5� � D  �;log 14 Câu 68: Với giá trị tham số m bất phương trình log m  x  x  m    có vơ số nghiệm A m  B  m  C m �1 D m  ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Phương trình lơgarit 1- D 11- B 21- B 31- D 41- C 51- B 61- D 71- C 2- D 12- D 22- A 32- A 42- A 52- C 62- A 72- A 3- B 13- D 23- A 33- B 43- C 53- D 63- B 73- A 4- A 14- C 24- A 34- C 44- A 54- C 64- B 74- C 5- B 15- A 25- B 35- D 45- C 55- B 65- A 6- D 16- A 26- A 36- B 46- D 56- D 66- C 7- D 17- D 27- C 37- A 47- A 57- A 67- B 8- C 18- B 28- D 38- C 48- A 58- C 68- B 9- D 19- B 29- A 39- C 49- B 59- B 69- A 10- B 20- D 30- C 40- D 50- A 60- A 70- B 4- C 14- C 24- C 34- A 44- A 54- D 64- C 5- A 15- C 25- A 35- C 45- D 55- C 65- D 6- C 16- D 26- B 36- D 46- A 56- A 66- B 7- B 17- A 27- A 37- D 47- D 57- D 67- B 8- C 18- D 28- D 38- A 48- D 58- C 68- A 9- C 19- C 29- C 39- A 49- A 59- A 10- D 20- B 30- B 40- A 50- D 60- D Dạng Bất phương trình lơgarit 1- B 11- B 21- A 31- A 41- C 51- C 61- C 2- D 12- B 22- B 32- C 42- B 52- A 62- C 3- C 13- B 23- D 33- A 43- A 53- A 63- D ... Vì x log 15  x1loc  x.x loc  x.3log x Đặt t  log x � x  5 5 5 5 Phương trình trở thành:  5t   22.5t.3t  15  3t   2 t � ? ?5 � � 2t t � � �3 � ? ?5 � ? ?5 � � � � �  22 � � 15  � �... THỐNG HĨA PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình lơgarit Bài tốn Biến đổi dạng phương trình  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log... , ta bất phương �2 � trình sau đây? A t  11t   B t  11t   C t  14t   D t  14t   Câu 46: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log3 x  25log3 x  750 �0 A 9 254 80 B 3 855 6 C 3782 25 x Câu