CHỦ ĐỀ 7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1) Bất phương trình logarit cơ bản Xét bất phương trình ( Nếu thì ( Nếu thì 2) Các dạng toán và phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp ( Dạng 1 Phương pháp đưa về cùng cơ số Xét bất phương trình ( Nếu thì (cùng chiều khi a > 1) ( Nếu thì (ngược chiều khi ) (Nếu a chứa ẩn thì (hoặc chia 2 trường hợp của cơ số) Ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau a) b) Lời giải a) (1) Điều kiện Khi đó (1) Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là.
CHỦ ĐỀ 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1) Bất phương trình logarit Xét bất phương trình log a x b(a 0, a �1) Nếu a log a x b � x a b Nếu 0 a log a x b � 0 x a b 2) Các dạng toán phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp Dạng Phương pháp đưa số Xét bất phương trình log a f (x) log a g(x) (a 0, a �1) Nếu a log a f (x) log a g(x) � f (x) g(x) (cùng chiều a > 1) Nếu 0 a log a f (x) log a g(x) � f (x) g(x) (ngược chiều 0 a 1) f (x) 0;g(x) � Nếu a chứa ẩn log a f (x) log a g(x) � � (hoặc chia trường hợp số) (a 1) f (x) g(x) � Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) log 5(1 2x) 1 log 5(x 1) b) log 2(1 2log x) Lời giải a) log 5(1 2x) 1 log 5(x 1) (1) � 1 2x �x � � � � 1 x Điều kiện: � �x 1 � �x 1 5(x 1) � Khi (1) � log 5(1 2x) log 5 2log 5(x 1) � log 5(1 2x) log � � � � 6 14 x � 2 � � 1 2x 5(x 2x 1) � 5x 12x � � 6 14 x � � Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình 6 14 x b) log 2(1 2log x) (2) �x �x � Điều kiện � � 1 2log x � 1 log x � �x � �x x (2) � 1 2log 9x � 1 log x � log x 1� x 3 Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình x3 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: �2x 1� b) log x � � �x � log 2(4x 6) � a) log x � � ��1 Lời giải x a) Điều kiện: 6 � x log x x x log 2(4x 6) � Với x log ta có: log x � � ��1� 0 log 2( 6) �x � 1 6 � 4x 2x 6 � 2 2x �x log � �x �� �� 7 �x log �x log � Vậy nghiệm BPT là: log 7 x log 1�x x 1 � � � � b) ĐK: � �2x � 0 � 0 x � �x � TH1: Với x > 1: BPT � 2x 3 3 x � 2x 1 x x � x 3x 1 0� x x 1 2 Kết hợp suy nghiệm BPT 1 x TH2: Với 0 x 3 2x 3 3 : BTP � x � 2x 1 x x � x 3x 1 � x x 1 2 Kết hợp suy nghiệm BPT 3 x 2 �3 1� � 3 �� 1; Vậy nghiệm BPT : x �� � ; 2� � � � �� 5� � � � Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: x x 2 a) log (4 144) log log (2 1) log 3(9x 72) � b) log x � � ��1 Lời giải x x 2 a) log (4 144) log log (2 1) (1) �4x 144� (1) � log (4x 144) log 24 log 5 log 5(2x 2 1) � log � x 2 5) � log 5(52 � 16 � � 4x 144 52 x 5� 4x 202 x 64 � 2x 16� 2 x 16 Vậy nghiệm bất phương trình cho 2 x log 3(9x 72) � b) log x � � ��1 (3) �x 0, x �1 �x 0, x �1 �x 72 � �x � x log 73 1, (*) Điều kiện: � � � log 3(9x 72) � x x x Với điều kiện (*) (3) � log3 (9 72) �x � 72 �3 � 3x �8, x � 72�0 � 8�3 �9� �x �9 � x x x Từ ta x �2 Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm bất phương trình log 73 x �2 Nhận xét: Trong ví dụ trên, số chứa ẩn x điều kiện ta xác định b iểu thức vế trái đồng biến nên tốn khơng phải chia trường hợp Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên bất phương trình log (x 2x 8) �4là: A B C 10 Lời giải D 11 �� �x 2x 8 x2 �� x2 6�x 4 � � � � � 4 x 4 � �� � �� x 4 � � Ta có: BPT � � �1� 2 x �4 �x 2x 8�� � 16 � �6�x �4 � x x � � � � � � Kết hợp x �� � BPT có nghiệm ngun Chọn A Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên bất phương trình log 5(1 2x) 1 log 5(x 1) là: A B C Lời giải D Điều kiện 1 x 2 � x (1 2x) 1 2x � 1� 5� Ta có: BPT � log 5(1 2x) log 5(x 1) 1� log � (x 1) (x 1) x 2 � 2 � �2 x � BPT có nghiệm nguyên Chọn A Kết hợp � � �x �� Ví dụ 6: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log 2(x 3x) �2là B T 6 A T 7 C T 3 Lời giải �� x0 x �1 � �x 3x �� � �� x 3 � � Ta có: log (x 3x) �2 � � 4 �x 3 �x 3x �4 � � 4 �x �1 � D T 4 ; Vậy nghiệm BPT là: x � 4; 3 � 01 Kết hợp x �� � x 4; 1 � T 3 Chọn C Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên bất phương trình log 5(x 11x 43) 2là A B C Lời giải D �x 11x 43 � x 11x 18 � 2 x Ta có: log 5(x 11x 43) � � �x 11x 43 25 Vậy nghiệm BPT là: 2 x Kết hợp x �� � x 3; 4; 5; 6; 7; 8 � BPT có nghiệm nguyên Chọn A Ví dụ 8: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log (x 4x 6) 2 B T A T C T Lời giải D T Điều kiện x 4x � x �� 2 �1� Ta có: log (x 4x 6) 2 � x 4x 6 � � � x 4x 2 � 2 x 2 �2� 2 ; ; 3 � T Chọn B Kết hợp x �� � x 12 x 6x log 2(x 1) (x ) Ví dụ 9: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log B T A T C T Lời giải D T x 6x x 6x log 2(x 1) � log2 log 2(x 1) 2(x 1) 2(x 1) Ta có: log �x 1 �x 1 x 6x � � log log 2(x 1) � �x 6x �� 2(x 1) (x 3) 2(x 1)2 � 2(x 1) x � � �x 1 � �2 � 1 x 2 �x 2x ; ; ; 3 � T Chọn B Kết hợp x �� � x 012 Ví dụ 10: Biết x 2 nghiệm bất phương trình log a (x x 2) log a ( x 2x 3) (*) Khi tập nghiệm bất phương trình (*) là: � 5� 1; � A T � � 2� �5 � B T � ; �� �2 � C T �; 1 Lời giải � 5� 2; � D T � � 2� 2 � � �9� � � 9� � � 3� Vì x nghiệm bất phương trình nên log a � � � 2� log a � � �4� � � 4� � � � � log a 13 201 201 log a � log a � 0 a 16 16 13 �� x2 �x x �� x 12 � �� Khi đó, bất phương trình cho � � 2 �x x 2 x 2x � 2x 3x 5 � �� x2 �� �x 1 � �� � 2 x Chọn D � x � � Ví dụ 11: Tập nghiệm bất phương trình log 3.x (5x 18x 16) 2là: ; ) �(8; �) A S ( 01 �3 � B S � �2 ; 1� ��(8; �) � � �3 � C S � �3 ; 1� ��(8; �) � � D S (8; �) Lời giải � x 0, x � � x2 � � � �x 0, x � � � � �� � x2 ĐK: � � x ,x � � � � 5x 18x 16 � � �� x �� BPT � log � 3x (5x 18x 16) log 3x 3x � 3x 5x 18x 16 3x x 8 � � 3x 2x 18x 16 � � x 1 �3 �3 � � 8; � Chọn C Kết hợp ĐK: Vậy tập nghiệm BPT là: S � �3 ;1� � � � Ví dụ 12: Số nghiệm nguyên bất phường trình A B 2 � là: log 3x log 6x C Lời giải �x �2 �3x � � � � Khi đó: log (6x 2) Điều kiện: � � �6x x � � � D Ta có: BPT ۳ log (6x 2) log (3x 5) log (3x 5) log (6x 2) 0۳ log (6x 2) log (3x 5) log (3x 5) (1) TH1: log (3x 5) � x ta có: �2(6x ��-� 2) - log (3x 5) (1) �log 6x (3x 5) x Kết hợp với điều kiện trường hợp BPT có nghiệm x �3 TH2: log (3x 5) � x2 x �3 � 2 (1) � log (6x 2) �log (3x 5) � 6x �(3x 5) � � x �1 � Kết hợp với điều kiện trường hợp BPT vô nghiệm Vậy nghiệm BPT là: x �(2;3] � BPT có nghiệm nguyên Chọn A Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ Ta làm tương tự dạng đặt ẩn phụ phương trình lưu ý đến chiều biến thiên hàm số Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: b) log x log x �0 a) log5 x log x 125 Lời giải a) ĐK: x 0; x �1 BPT � log5 x log 52 x log x 3 1� 0 log x log x � log x 1 t 1 � � x 2t t � 0� � � �� Đặt t log x � 3 � � � t 0t log x 1 x 5 � � � � 1� 0; �� 1;5 Vậy tập nghiệm BPT là: S � � 5� 6� b) ĐK: x Khi log x �� log� x log x 4 x 16 Vậy tập nghiệm BPT là: S 4;16 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: a) log x log b) log x 2.(2 log x) x2 Lời giải a) ĐK: x Khi đó: BPT � log x log x 2� log x log x 2 log 2x � log x � log x 4 � x 4 Vậy tập nghiệm BPT là: x 4 � �x � b) ĐK: �x �1 Khi đó: BPT � log x log x log 2x log x � �x � � � 0t 2 t t 1 t t 0� 0� � Đặt t log x ta có: t t � t t t t � Với t � log x � x Với t � log x � x 2 Vậy tập nghiệm BPT là: x � 0; 2 2 � 1; Ví dụ 3: Số nghiệm ngun bất phương trình log x log x là: A B C Lời giải D ĐK: x 0, x �1 BPT � log x log x x 1 � � log 22 x 3log x 3 � 0�� �� log x 2 x 8 log x log x � � Vậy tập nghiệm BPT là: S 0;1 � 2;8 Kết hợp x �� � BPT có nghiệm nguyên Chọn A Ví dụ 4: Gọi S tập hợp số nguyên x thuộc khoảng 0;10 thỏa mãn bất phương trình log 22 x log 3.log x �0 Tổng phần tử tập hợp S là: A T=3 B T=33 C T=44 Lời giải D T=54 log x �6 x �64 � � �� ĐK: x BPT � log x log x �0 � � log x �1 x �2 � � �x �� � x 1; 2 � T Chọn A Kết hợp � �x 10 Ví dụ 5: Gọi S tập hợp số nguyên x thỏa mãn log x log 3x �0 Tổng phần tử tập hợp S là: A T=351 B T=27 C T=378 Lời giải Điều kiện: x BPT � log3 x log3 x 1 �0 D T=26 � log�� ��� � x 3 x 2log 3 log x 3 x 27 Kết hợp x �� � x 1; 2;3; 27 � T 27 28.27 378 (cấp số cộng có u1 � ) � d 1 � Chọn C Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên bất phương trình A log 3x 4x log 3x 4x là: B C D Lời giải Ta có BPT � Đặt t log 3x 4x log 3x 4x 1 2 t 1 log 3x 4x t �0 ta có: t 2t � 2t t � 2 3x 4x �1 3x 4x �0 � � �� Do �log 3x 4x � � 3x 4x 3x 4x � � �� x � �1 �� �x � �� � �� x �1 � � � �7 x �1 � � x 1 � �3 �1 � � � ;1��� ; 1� Vậy nghiệm BPT x �� �3 � � � Kết hợp x �� � x 0;1; 2; 1 BPT có nghiệm nguyên Chọn C Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên bất log x 1 log x 1 �0 là: A B C D Vô số Lời giả �x ۳ x Điều kiện: � log x 1 �0 � BPT � log x 1 log x 1 �0 Đặt t log x 1 , t �0 ta có: t2 � �� 3t �0 � ��4� t t log x 1 2 x Kết hợp x �� � x 2;3 BPT có nghiệm ngun Chọn A Ví dụ 8: Tập nghiệm bất phương trình log 22 x là: log x 3 � 1� 0; �� 8; � B � � 2� A 8; � �1 � C � ; �� 8; � �8 � D 0;1 � 8; � Lời giải �x t 3 � t2 t 2t � 2� 0� � ĐK: � 1 Đặt t log x ta có: 3 t 1 t 3 t3 x� � � � +) Với t � log x � x +) Với 3 t 1 ta có: 3 log x 1 � 1 x �1 � Vậy tập nghiệm BPT là: S � ; �� 8; � Chọn C �8 � Dạng Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá… Cho hàm số y f t xác định liên tục D: Nếu hàm số f t đồng biến D u, v �D f u f v � u v Nếu hàm số f t nghịch biến D u, v �D f u f v � u v Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: b) 2x 10x 10 log a) x log x log x 2x x 2 Lời giải a) Điều kiện x 1 1 BPT � x log x 1 log x � g x 2x log x 1 log x 2 g ' x 1 � g x đồng biến 1; � x 1 ln x ln BPT � g x g � x Vậy nghiệm BPT 0; � b) Điều kiện x , x �2 Khi đó: BPT � x log x 2 2x 2x log 2 Xét f t 2t log t t đồng biến khoảng 0; � 2x 2 �2x � g� � x 2 �x � Ta có: f � � � � � Đáp số: x 5 5 ; x 2 x x Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên bất phương trình log 3 log3 �3 là: A B C D Vô số Lời giải x x Xét hàm số f x log 3 log x �� ta có: f Mặt khác f ' x 2x x ln x �� � f x đồng biến � x x ln Do BPT f x f 0 x Vậy nghiệm BPT là: x �0 Chọn D Ví dụ 3: Gọi S tập hợp số nguyên x thỏa mãn log x2 x �x 4x Tổng phần tử tập 2x 3x hợp S là: A T=2 B T=5 C T=3 D T=6 Lời giải 2 2 Bất phương trình � log x x log 2x 3x � 2x 3x x x � log x x x x �log 2x 3x 2x 3x Xét hàm f t log t t, t Ta có: f ' t t � Hàm f đồng biến 0; � t ln 2 x� �f Do đó: f x � 2x�2 3x� x2� x 2� 2x 3x x 4x x Kết hợp x �� � x 1; 2;3 � T Chọn D Ví dụ 4: Giải bất phương trình log x 1 � b c � a; x x ta tập nghiệm S � � �, với a, b, c x 2 � � số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T a b c A T=3 B T=5 C T=8 D T=16 Lời giải Điều kiện x �0 Khi BPT � log x 1 x x log � log x 1 2x log � x 1� � � x 1 � f x f Xét hàm số f t log t 1 2t 0; � ta có: f ' t x 2 x 1 0, t �0 t 1 ln t 1 ln 1, t �0 Do nghịch biến khoảng 0; � Khi BPT � f x f �x �0 � 3 � � x 1 � x x 1 � � 0; � 1 1 � � � x � � � � 2 Suy a=0;b=3;c=5 � T Chọn C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tập nghiệm S bất phương trình log x �3 : �7 � ; �� A S � �2 � � 1� ; � B S � � 2� �5 1� ; � C S � �2 2� �7 1� ; � D S � �2 2� Câu 2: Tập nghiệm S bất phương trình log 0,5 x 1 là: � 5� �; � A S � � 4� � 5� 1; � B S � � 4� �5 � C S � ; �� �4 � D S 1; � � � log x ��0 Câu 3: Tập nghiệm S bất phương trình log � � � � 1� 0; � A S � � 2� � 1� 0; B S � � 2� � 1� � C S � ; � 2� � � 1� 0; � D S � � 4� Câu 4: Giải bất phương trình log 3x 1 log x A x x B x x C x D x 1 Câu 5: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log x log x 10 A B C D Vô số Câu 6: Tập nghiệm S bất phương trình ln x ln x �4 � ; �� A S � �5 � �4 � ; ��\ 0 C S � �5 � B S 1; � \ 0 �4 � ; ��\ 0 D S � �3 � Câu 7: Tập nghiệm S bất phương trình log 0,2 x 1 log 0,2 x A S 1;3 B 1; � C S 1;1 D S �;1 2x x Câu 8: Tập nghiệm S bất phương trình log �1 � A S � ; �� �3 � � 1� 0; � B S � � 3� �1 � C S � ; � �3 � � 1� �; � D S � � 3� Câu 9: Tập nghiệm S bất phương trình 2log x 1 �log x A S 1;5 B S 1;3 C S 1;3 Câu 10: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log x 3 �log A B C D S 3;5 x D Câu 11: Giải bất phương trình 2log x log x �2 A x B x �3 C Vô nghiệm D �x �3 Câu 12: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log x log3 x �1 log x.log3 x A B C D Vơ số Câu 13: Giải bất phương trình log x log x tập nghiệm a; b Hãy tính tổng S ab A S 11 B S 31 C S 28 15 D S Câu 14: Bất phương trình log x �log x 1 tương đương với bất phương trình nào? A log x �log x log B log x �log x 1 C log x �log x 1 D log x �2 log x 1 4 2 2 log x � � � a; b Tính b a Câu 15: Tập nghiệm S bất phương trình log � A B C D Câu 16: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x ln x �4 � ; �� A S � �5 � �4 � ; ��\ 0 C S � �5 � B S 1; � \ 0 �4 � ; ��\ 0 D S � �3 � Câu 17: Tập nghiệm S bất phương trình log x 1 log 3log3 x �1 A S 1;1 � 1; � B S 1; � C S 2;1 � 1; � Câu 18: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log x log A S 2; � B S 1; D S 2; � x log x x C S 0; D S 1; 2 Câu 19: Giải bất phương trình log x log 3x tập nghiệm S a; b , với a, b hai số thực a b Tính giá trị biểu thức T 3a b A T 3 B T C T 11 D T 28 Câu 20: Bất phương trình log x x 1 có tập nghiệm � 3� 0, � A S � � 2� � 3� 1, � B S � � 2� �1 � C S �, �� ; �� �2 � �3 � D S �,1 �� ; �� �2 � Câu 21: Tập nghiệm bất phương trình log 3� � 2; � A S � 2� � B S 2;0 4x �0 là: x C S �; 2 �3 � ;0 D S �\ � �2 � � Câu 22: Tìm tập nghiệm bất phương trình log x 1 log x 1 �1 � A S � ; � �2 � B S 1; C S 2; � D S �; Câu 23: Bất phương trình log x 2019 log x 2018 �0 có tập nghiệm 10;102018 B S � � 10;102018 � A S � � � 2018 D 10;10 C S 1; 2018 x log 3x 1 � Câu 24: Bất phương trình log3 1 � � � có hai nghiệm x1 x2 tỉ số x1 a log x2 b a, b �� a, b có ước chung lớn Tính a b A a b 38 B a b 37 C a b 56 D a b 55 Câu 25: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log x 1 2 x A 2;0 B 1;0 C �;0 D 2; � Câu 26: Bất phương trình log 0,5 x 1 �0 có tập nghiệm � � A S � ; �� � � �1 � B S � , �� �2 � �1 � D S � ;1� �2 � C S 1; � Câu 27: Tập nghiệm bất phương trình log x 1 �1 � B S � ;5 � �2 � A S �;14 � � C S � ;14 � � � �1 � D S � ;14 � �2 � Câu 28: Tập nghiệm bất phương trình log x 1 log x 4 �5 � B � ;6 � �2 � A 1;6 C �;6 D 6; � Câu 29: Gọi S tập nghiệm bất phương trình log x log x 1 Hỏi tập S có phần tử số nguyên dương bé 10? A B 15 Câu 30: Bất phương trình log A 12 C D 10 �1 � x2 x �0 có tập nghiệm S � ; a �� b; � Hỏi M a b �4 � 4x 1 B C D 10 Câu 31: Hỏi bất phương trình log x 1 �log x tương đương với bất phương trình nào? 25 A log x 1 �log x B log x log �log x C log x 1 �2 log x D log x 1 �log x 5 5 25 25 25 Câu 32: Tập nghiệm bất phương trình log x 1 �log x A S 3;5 B S 1;3 C S 3;3 D S 1;5 Câu 33: Giải bất phương trình 6log6 x x log6 x �12 tập nghiệm S a; b Tính ab A ab B ab D ab 1,5 C ab 12 Câu 34: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log x log 3.log x �0 A S �;6 � 66; � B S 6;66 C S 2;6 � 66; � D S �;1 � 3; � Câu 35: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log 22 x 8log 3.log x A B C D Câu 36: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 24 x x �0 A S �;1 C S �;3 B S �;3 D S 3; � Câu 37: Giải phương trình log x log3 x x log3 x log x 3log3 x x Tổng tất nghiệm A 35 B Câu 38: Giải bất phương trình A x �0 C 10 x log x 1 �0 B 1 x �2 Câu 39: Giải bất phương trình log A x �1 D 1 �x �2 C �x �2 x �log 10 x 369 B x � 49 369 C x � 49 x Câu 40: Tìm tập nghiệm S bất phương A S 1; D B S 1; 2 4 369 D �x � 49 ln x C S 2; 1 � 1; D S 1; 2 Câu 41: Tìm tập nghiệm S bất phương log x 25 log 10 x A S � B S �\ 5 C S 0;5 � 5; � D S 0; � 2 Câu 42: Cho hàm số f x ln x x Tìm giá trị x để f ' x A x B x �1 C x �� D x � 2x 1 � log Câu 43: Tìm tập nghiệm S bất phương log � � x 1 � � A S �;1 B S �; 3 C S 1; � Câu 44: Bất phương trình log125 x 3 log A B D S �; 2 x �0 có nghiệm ngun? C Vơ số D 12 � 1� Câu 45: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log x log �x ��1 2� 2 � A Vô số B Không có C D x 1 x x 3 1� Câu 46: Tìm tập nghiệm S bất phương ln � � � A S 1; � 3; � B S �;1 � 2;3 C S 1; � 3; � D S �;1 � 2;3 Câu 47: Tìm tập nghiệm S bất phương log x 1 5log x 1 �0 A S �;1 � 15; � B S 1;15 C S 1;1 � 15; � D S �;1 � 4; � 2 Câu 48: Tìm tập nghiệm S bất phương log m x x 3 �log m x x với m tham số thực dương khác 1, biết x nghiệm bất phương trình cho �1 � A S 2;0 �� ;3� �3 � �1 � B S 1;0 �� ;3� �3 � C S 1;0 � 1;3 �1 � D S 1;0 �� ;3� �3 � Câu 49: Tìm số nghiệm nguyên 22 x A B 15 x 100 2x 10 x 50 C x 25 x 150 D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN � x � 2x � � �� � �x Chọn D Câu 1: log 2x �3 � � 2x �8 2 � �x � � x 1 �x � � � Câu 2: log 0,5 x 1 � � � � � x Chọn B x 1 x � � � � � � �x x � � � � � log x ��0 � � log x � �x � x � Chọn B Câu 3: log � � � � � � �x � log x �1 � � � �x � � �x �x 0x x 1 �� � �� � �� �� Chọn B Câu 4: log 3x 1 log 4x � � 3x 4x 3x 4x � � �� � x �x � �� � �x 4x � � 19 � �� x 10 � x Câu 5: log 4x log x 10 � �x 10 2 � � 19 4x x 10 � �x � Mà x ��� x � 3; 4;5;6 Chọn B �x �0 �x �0 � � � � x 1 � �x 1 Câu 6: ln x ln 4x � � � �2 2 ln x ln 4x �x 4x � � �x �0 �x �0 � � � �x � �x 1 � �x 1 �� Chọn C �3x 5x � � 4 �x �0 � �x �x � �x �x 1 � � 3 x � � x � 1 x Chọn C Câu 7: log 0,2 x 1 log 0,2 x � � �x x �x � � � x 2x � � � 0 0x � � � 2x 1 � x � 0�� �� � �� � x Chọn C Câu 8: log x 2x x 3 � �3x �� 1 �� � x � x x0 �� Câu 9: Điều kiện: x Ta có log x 1 �log x � log x 1 �log 10 2x � x 1 �10 2x � x �0 � 3 �x �3 � x �3 Chọn B Câu 10: Điều kiện: x 3 log Ta có log x �۳۳ x log ۣ ۣ �2x 2�� x 3��� 2x 2��� x Câu 11: Điều kiện: x x 3 x log x x x 3 x2 x 1 Chọn A Ta có log 4x 3 log 2x 3 �2 � log 4x 3 log 2x �2 4x 3 ۣ � log���� 4x 3 2x 2x 16x 42x 18 x Chọn D Câu 12: Điều kiện: x Ta có log x log x �1 log x.log x � log x 1 log3 1 �0 � log x �0 � � �x � � � � log x �0 x �3 � x �2 � � �x �3 � � � � �� �� � Có vơ số nghiệm nguyên Chọn D � � x �2 � x �3 log x �0 � �x �2 � � � � � log x � � � �x �3 � � � �x 3x � � � � 6 5x �� x �1 x Câu 13: log 3x log 5x � � � � 3x 5x � �x � � Do suy a 1, b 11 � a b Chọn A 5 - log 9 x 1 Câu 14: log x �2 log x log x 1 Chọn B �x �x �x � � � log x � log x � �x � �x � x Câu 15: log � � � � � � �x �x log x � � � Do suy a=3, b=4 � b a Chọn A �x �0 �x �0 � � � � x 1 � �x 1 Câu 16: ln x ln 4x � � � �2 2 ln x ln 4x �x 4x � � �x �0 �x �0 � � � �x � �x 1 � �x 1 �� Chọn C �3x 5x � � x � 4 � � �x �x � �x 2 Câu 17: Điều kiện: � �x �1 Ta có log x 1 log 3log x �1 � log x log x �1 x 1 �log � �ۣ x2 x 1 x2 x 2x x �1 � � x 2 � x Chọn B Câu 18: Điều kiện: x Ta có log x log � log 2 x log x x � log x log x log x x 2 x 1 � x2 x2 x x2 x2 x log � �� 0x2 x2 x2 � Kết hợp với điều kiện suy x Chọn B Câu 19: Điều kiện: x 1 BPT � log log x � 1 log x � x � x 27 � a ; b 27 � T 28 Chọn D � x Câu 20: BPT � 2x x � � Chọn C � x0 � � �� x0 �x �0 �� x0 � � � � � �� �4x � x � �� � 2 �x Chọn A x Câu 21: BPT � � � �� 2 � x �3x �� �4x � � 2 �x �0 � �1 � x � � x Câu 22: Điều kiện: x 1 BPT � x 2x � x � x Chọn A 2 Câu 23: Điều kiện: x ۣ� � log x BPT ۣ� 2018 10 x 102018 Chọn A Câu 24: Điều kiện: 3x � x � log3 3x 1 PT � log 1 log 1 � � � log3 3x 1 3 � x x x log 10 � 3x 10 � � 3x 32 � � � �x � x 28 � 28 � � x log 3 33 � � � 27 27 � x1 log 28 x 28 ; x log 10 � log � a 28; b 27 � a b 55 Chọn D 27 x2 27 2x � � Câu 25: Điều kiện: � �x � 1 x �x �1 � � x 2 2 Với x � x nên BPT � 2x x 1 � x 4x � � x 2 � Kết hợp với điều kiện ta 2 x thỏa mãn Chọn A Câu 26: BPT � 2x �1 � x �1 Chọn D Câu 27: BPT � 2x �3 � Câu 28: Điều kiện: x x 14 Chọn D BPT: � x 2x � x Chọn D Câu 29: Điều kiện: x BPT � 2x x � x 6 � x � x � 2;3; 4; ;9 Chọn C � � � �x �4 x � x � x �9 � � � � � � � � �2 � �� � x �9 Câu 30: BPT � � � x �1 �x 6x �1 �x 10x �0 �� �� x �1 � � 4x � 4x �� � a 1; b � a b 10 Chọn D Câu 31: Điều kiện: x BPT � log �2 �2 x 1 �log x � log x 1 �log x � log x 1 �2 log x Chọn C �� 5 5 5 �� Câu 32: Điều kiện: x �2� x 1�-� log �� x� � BPT -�log � � � � Câu 33: Điều kiện: x x 1 2 x x2 x x Chọn B � t � x �� 6t 6t Đặt log x � ����� log �6 x �1�� � x 12 � 6� �� t t a 6t ;b 6 6t 12 6t t2 t ab Chọn A Câu 34: Điều kiện: x 2 BPT � log x 4log x �0 � log x �3 �� � log x �1 � � x �43 � x �4 � x �66 � � x �6 � x �66 � Chọn C � x �6 � Câu 35: Điều kiện: x BPT � log 22 x 8log x � log 22 x log x � log x � x 23 � x � x � 3;4;5;6;7 Chọn A Câu 36: Ta có: Với x � 24 x x Với x �3 � 24 x x �2 � x �3 thỏa mãn Chọn C Câu 37: Điều kiện: x PT � log x log x 1 log x 1 x log x 1 log x � � log3 x 1 log x x � � log x x 0(2) � Với x � VT � loại Với x � VT � loại x 3 � � S Chọn B Với x ta thấy thỏa mãn � � x2 � �4 2x �0 � 1 x �2 Câu 38: Điều kiện: � �x Ta có x 2�� log2 �� x 1�۳0 log x 1 x 20 x Kết hợp với điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình S 0; 2 Chọn C � 3x �0 �1 �x �10 � � 10 x �0 ��3 � �x �10 Câu 39: Điều kiện: � � � � 49 �10 x � 10 x � � Ta có log 3x � 1۳ log 10 x log 3x � ۳� �10 x � 3x 10 x 3x x log 10 x 369 Chọn D 49 Câu 40: Điều kiện: x �0 � � � �x 2x 4 � � � � �2 ln x x 1 � � � � x 4 ln x � � �� � 1 x Ta có 2 � � x 2x 4 � � � �2 � � � ln x � �x � � Kết hợp với điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình S 1; Chọn A � 10x � �x �x �� �� Câu 41: Ta có log x 25 log 10x � � 2 x �x �5 � �x 25 10x Vậy tập nghiệm bất phương trình S 0;5 � 5; � Chọn C ' 4x 2 ln x 2x � Câu 42: Ta có f ' x � � �.ln x 2x x 2x ln x 2x 2 �ln x 1 � Khi f ' x � x 1 ln x 2x mà ln x 2x ln � � � Do đó, bất phương trình trở thành: x � x Vậy tập nghiệm S 1; � Chọn D �2x 0 � 2x �x � 2x � log �1 � x 2 Câu 43: Ta có log � � � � 2x 1 x 1 � x 1 � � log � x 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S �; 2 Chọn D �x � x 3 Câu 44: Điều kiện: � �x �0 Ta có log125 x 3 log x �0 � log x 3 log5 x �0 x 3 ۣ log � �3���0 x4 x 3 x4 x x x 5 � 5 � 3; Kết hợp điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình S � � � � � Vậy có giá trị nguyên x 2 �S Chọn B � 1� �2 x � Câu 45: Điều kiện: x Ta có log x log �x ��1 � log �x ��1 2� 2� 2 � � � x2 x 1 � 1� 1; Chọn D � � 2x x �0 � 1 �x � Vậy S � 2 � 2� � 1 x � Câu 46: Bất phương trình � x 1 x x 3 � � x 3 � Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1; � 3; � Chọn A Câu 47: Điều kiện: x � x 1 � log x 1 �4 Bất phương trình �� log x 1 �1 � � x �24 � x �21 � x �15 � � x �1 � Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;1 � 15; � Chọn C logm log m Câu 48: Vì x nghiệm bất phương trình �� m 0;1 1 �x � � Với m , bất phương trình � 2x x �3x x � � x �3 � 2 �1 � Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;0 �� ;3� Chọn D �3 � Câu 49: Bất phương trình � 22x 15x 100 2x 15x 100 2x 10x 50 x 10x 50 t Xét hàm số f t t hàm đồng biến �; � 2 Do � f 2x 15x 100 f x 10x 50 � x 25x 150 � 10 x 15 Kết hợp với x ή � có tất giá trị nguyên m cần tìm Chọn B ... 46: Bất phương trình � x 1 x x 3 � � x 3 � Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1; � 3; � Chọn A Câu 47: Điều kiện: x � x 1 � log x 1 �4 Bất phương trình. .. x �1 � Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;1 � 15; � Chọn C logm log m Câu 48: Vì x nghiệm bất phương trình �� m 0;1 1 �x � � Với m , bất phương trình � 2x x �3x ... Tập nghiệm S bất phương trình log x �3 : ? ?7 � ; �� A S � �2 � � 1� ; � B S � � 2� �5 1� ; � C S � �2 2� ? ?7 1� ; � D S � �2 2� Câu 2: Tập nghiệm S bất phương trình log 0,5