Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
511,9 KB
Nội dung
CHỦ ĐỀ 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1) Bất phương trình logarit Xét bất phương trình log a x > b(a > 0, a ≠ 1) Nếu a > log a x > b ⇔ x > a b Nếu < a < log a x > b ⇔ < x < a b 2) Các dạng toán phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp Dạng Phương pháp đưa số Xét bất phương trình log a f (x) > log a g(x) (a > 0, a ≠ 1) Nếu a > log a f (x) > log a g(x) ⇔ f (x) > g(x) (cùng chiều a > 1) Nếu < a < log a f (x) > log a g(x) ⇔ f (x) < g(x) (ngược chiều < a < 1) f (x) > 0;g(x) > Nếu a chứa ẩn log a f (x) > log a g(x) ⇔ (hoặc chia trường hợp số) (a − 1) [ f (x) − g(x) ] > Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) log 5(1− 2x) < 1+ log (x + 1) b) log (1− 2log x) < Lời giải a) log 5(1− 2x) < 1+ log (x + 1) (1) 1− 2x > x < Điều kiện: ⇔ ⇔ −1< x < x + 1> x > −1 Khi (1) ⇔ log 5(1− 2x) < log 5+ 2log 5(x + 1) ⇔ log 5(1− 2x) < log 5(x + 1)2 −6 + 14 x > ⇔ 1− 2x < 5(x + 2x + 1) ⇔ 5x + 12x − > ⇔ −6 − 14 x < Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình −6 + 14 x > x > ⇔ ⇔ → 0< x < Điều kiện 1− 2log x > 1− log x > x < (2) ⇔ 1− 2log 9x < ⇔ 1− log x < ⇔ log x > −1 ⇔ x > Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình ⇔ x > log Với x > log ta có: log x log (4x − 6) ≤ ⇔ < log (4x − 6) ≤ x ⇔ 1< 4x − < 2x 4x − 2x − < −2 < 2x < x < log ⇔ x ⇔ ⇔ x > log x > log 4 > Vậy nghiệm BPT là: log < x < log 1 ≠ x > x > b) ĐK: ⇔ 2x − ⇔ x − > < x < TH1: Với x > 1: BPT ⇔ 2x − 3− 3+ > x ⇔ 2x − > x − x ⇔ x − 3x + 1< ⇔ x − x ⇔ x − 3x + 1< ⇔ 0, x ≠ Điều kiện: 9x − 72 > ⇔ x ⇔ x > log 73 > 1, (*) − > 72 log (9x − 72) > Với điều kiện (*) (3) ⇔ log (9 x − 72) ≤ x ⇔ x − 72 ≤ 3x x 3 ≥ −8, ∀x ⇔ − − 72 ≤ ⇔ −8 ≤ ≤ ⇔ x 3 ≤ x x x Từ ta x ≤ Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm bất phương trình log 73 < x ≤ Nhận xét: Trong ví dụ trên, số chứa ẩn x điều kiện ta xác định biểu thức vế trái đồng biến nên tốn khơng phải chia trường hợp Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên bất phương trình log (x + 2x − 8) ≥ −4 là: A B C 10 D 11 Lời giải x > x + 2x − > x > −6 ≤ x < −4 −4 Ta có: BPT ⇔ x < −4 ⇔ x < −4 ⇔ 1 16 x + 2x − ≤ = −6 ≤ x ≤ 2 < x ≤ x x + − ≤ 24 Kết hợp x ∈ ⇒ BPT có nghiệm nguyên Chọn A Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên bất phương trình log 5(1− 2x) < 1+ log (x + 1) là: A B C D Lời giải Điều kiện −1< x < 2 x>− (1− 2x) 1− 2x Ta có: BPT ⇔ log 5(1− 2x) − log 5(x + 1) < ⇔ log < 1⇔ < 5⇔ (x + 1)2 (x + 1)2 x < −2 2 −2 < x < − Kết hợp ⇒ BPT có nghiệm nguyên Chọn A x ∈ Ví dụ 6: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log (x + 3x) ≤ A T = −7 B T = −6 C T = −3 Lời giải D T = −4 x > x + 3x > 0 < x ≤ Ta có: log (x + 3x) ≤ ⇔ ⇔ x < −3 ⇔ x + 3x ≤ −4 ≤ x ≤ −4 ≤ x < −3 Vậy nghiệm BPT là: x ∈ [ −4; −3) ∪ ( 0; 1] Kết hợp x ∈ ⇒ x =− { 4;1} ⇒ T =−3 Chọn C Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên bất phương trình log 5(x − 11x + 43) < A B C D Lời giải x − 11x + 43 > Ta có: log 5(x − 11x + 43) < ⇔ ⇔ x − 11x + 18 < ⇔ < x < x − 11x + 43 < 25 Vậy nghiệm BPT là: < x < Kết hợp x= ∈ ⇒ x {3; 4; 5; 6; 7; 8} ⇒ BPT có nghiệm ngun Chọn A Ví dụ 8: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log (x − 4x + 6) > −2 A T = B T = C T = D T = Lời giải Điều kiện x − 4x + > ⇔ x ∈ −2 1 Ta có: log (x − 4x + 6) > −2 ⇔ x − 4x + < = ⇔ x − 4x + < ⇔ − < x < + 2 2 Kết hợp x ∈ ⇒= x T {1; 2; 3} ⇒= Chọn B x + 6x + Ví dụ 9: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log < − log (x + 1) 2(x + 1) A T = B T = C T = Lời giải Ta có: log x + 6x + x + 6x + < − log (x + 1) ⇔ − log < − log (x + 1) 2(x + 1) 2(x + 1) x + 1> x > −1 x + 6x + ⇔ log > log (x + 1) ⇔ x + 6x + ⇔ 2 2(x + 1) 2(x + 1) > x + (x + 3) > 2(x + 1) x > −1 ⇔ ⇔ −1 < x < + 2 x − 2x − < ⇒x Kết hợp x ∈= ⇒T {0;1; 2; 3}= Chọn B D T = Ví dụ 10: Biết x = nghiệm bất phương trình log a (x − x − 2) > log a (− x + 2x + 3) (*) Khi tập nghiệm bất phương trình (*) là: 5 B.= T ; +∞ 2 5 A T = −1; 2 C T = ( −∞; −1) 5 D T = 2; 2 Lời giải Vì x = 9 nghiệm bất phương trình nên log a − − 2 > log a − + + 3 4 ⇔ log a 13 201 201 > log a ⇔ log a < 0⇔ 0< a < 16 16 13 x > x − x − > Khi đó, bất phương trình cho ⇔ ⇔ x < 12 x − x − < − x + 2x + 2x − 3x − < x > x < −1 ⇔ ⇔ < x < Chọn D x − < < Ví dụ 11: Tập nghiệm bất phương trình log 3.x (5x − 18x + 16) > 2là: B S = ; 1 ∪ (8; +∞) A = S (0; 1) ∪ (8; +∞) C S = ; 1 ∪ (8; +∞) D = S (8; +∞) Lời giải x 0, x > ≠ x > x > 0, x ≠ ĐK: ⇔ x > ⇔ 0 < x < , x ≠ 5x − 18x + 16 > x < BPT ⇔ log ⇔ ( 3x (5x − 18x + 16) > log 3x 3x ⇔ ( x > 3x − ( 2x − 18x + 16 ) > ⇔ < x Kết hợp ĐK: Vậy tập nghiệm BPT là: S = ;1 ∪ ( 8; +∞ ) Chọn C Ví dụ 12: Số nghiệm nguyên bất phường trình A 1 là: ≥ log ( 3x − ) log ( 6x − ) B C D Lời giải x ≠ 1 ≠ 3x − > Điều kiện: ⇔ ⇔ Khi đó: log (6x − 2) > > x 1 ≠ 6x − > Ta có: BPT ⇔ log (6x − 2) − log (3x − 5) log (6x − 2) − log (3x − 5) ≥0⇔ ≥ (1) log (3x − 5) log (6x − 2) log (3x − 5) TH1: log (3x − 5) > ⇔ x > ta có: (1) ⇔ log (6x − 2) ≥ log (3x − 5) ⇔ 6x − ≥ (3x − 5) ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện trường hợp BPT có nghiệm < x ≤ TH2: log (3x − 5) < ⇔ Khi đó: BPT ⇔ log x − log x>2⇔ log x − log x > 2 ⇔ − log x > ⇔ log x < −4 ⇔ < x < −4 Vậy tập nghiệm BPT là: < x < −4 x > b) ĐK: x ≠ Khi đó: BPT ⇔ log x ( + log x ) > log ( 2x ) = + log x x ≠ 0 < t < 2 + t − t (1 + t ) −t + Đặt t = log x ta có: ( + t ) > + t ⇔ >0⇔ >0⇔ t t t t < − Với < t < ⇒ < log x < ⇔ < x < Với t < − ⇒ log x < − ⇔ < x < 2− ( Vậy tập nghiệm BPT là: x ∈ 0; 2− 2 ) ∪ (1; ) Ví dụ 3: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x + log x − < là: A B C D Lời giải ĐK: x > 0, x ≠ BPT ⇔ log x + log x < x < log 22 x − 3log x + 4 −3< ⇔ BPT ⇔ log 22 x − log x + ≥ ⇔ 0 < x ≤ log x ≤ x ∈ Kết hợp ⇒= x x < 10 {1; 2} ⇒ T= Chọn A Ví dụ 5: Gọi S tập hợp số nguyên x thỏa mãn log 32 x − log ( 3x ) − ≤ Tổng phần tử tập hợp S là: A T=351 B T=27 C T=378 D T=26 Lời giải Điều kiện: x > BPT ⇔ log 32 x − ( log x + 1) − ≤ ⇔ log 32 x − log x − ≤ ⇔ −1 ≤ log x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 27 Kết hợp x ∈ ⇒ x ={1; 2;3; 27} ⇒ T =1 + + + 27 = u = 28.27 ) = 378 (cấp số cộng có d = Chọn C Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên bất phương trình A B log ( 3x + 4x + ) + > log ( 3x + 4x + ) là: C D Lời giải Ta có BPT ⇔ = Đặt t log ( 3x + 4x + ) + > log ( 3x + 4x + ) −1 log ( 3x + 4x + ) ( t ≥ ) ta có: t + > 2t ⇔ 2t − t − < ⇔ < t Điều kiện: ⇔x≥2 log ( x − 1) ≥ t log ( x − 1) , ( t ≥ ) ta có: BPT ⇔ log ( x − 1) + log ( x − 1) − ≤ Đặt= t + 3t − ≤ ⇔ −4 ≤ t ≤ ⇒ ≤ t ≤ ⇒ ≤ log ( x − 1) ≤ ⇔2≤x≤3 Kết hợp x ∈ ⇒ x = {2;3} BPT có nghiệm ngun Chọn A Ví dụ 8: Tập nghiệm bất phương trình A ( 8; +∞ ) log 22 x + > là: log x + 1 1 C ; ∪ ( 8; +∞ ) 8 2 1 B 0; ∪ ( 8; +∞ ) 2 D ( 0;1) ∪ ( 8; +∞ ) Lời giải x > t > t2 + t − 2t − ĐK: Đặt ta có: > ⇔ >0⇔ t = log x −1 t +3 t +3 −3 < t < −1 x ≠ +) Với t > ⇔ log x > ⇔ x > +) Với −3 < t < −1 ta có: −3 < log x < −1 ⇔ 1 f ( v ) ⇔ u > v Nếu hàm số f ( t ) nghịch biến D ∀u, v ∈ D f ( u ) > f ( v ) ⇔ u < v Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) x + log x + + log x + > b) 2x − 10x + 10 > log 2x − ( x − 2) Lời giải a) Điều kiện x > −1 1 BPT ⇔ x + log ( x + 1) + log ( x + ) > ⇔ g ( x ) = 2x + log ( x + 1) + log ( x + ) > 2 g '( x ) = + 1 + > ⇒ g ( x ) đồng biến ( −1; +∞ ) ( x + 1) ln ( x + ) ln BPT ⇔ g ( x ) > g ( ) ⇔ x > Vậy nghiệm BPT ( 0; +∞ ) b) Điều kiện x > , x ≠ 2 Khi đó: BPT ⇔ ( x − ) + log ( x − ) > 2 2x − 2x − + log 2 2t + log t ( t > ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Xét f ( t ) = 2x − 2 2x − Ta có: f ( x − ) > g ⇔ ( x − 2) > Đáp số: x > 5+ 5− ; >x> 2 Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên bất phương trình log ( x + 3) + log ( x + ) ≤ là: A B C D Vô số Lời giải Xét hàm số f= ( x ) log ( 2x + 3) + log3 ( 4x + ) ( x ∈ ) ta có: f ( ) = Mặt khác f '= (x) 2x x ln + > ( ∀x ∈ ) ⇒ f ( x ) đồng biến x + ( x + ) ln Do BPT ⇔ f ( x ) ≤ f ( ) ⇔ x ≤ Vậy nghiệm BPT là: x ≤ Chọn D Ví dụ 3: Gọi S tập hợp số nguyên x thỏa mãn log x2 + x + ≥ x − 4x + Tổng phần tử tập 2x − 3x + hợp S là: A T=2 B T=5 C T=3 D T=6 Lời giải Bất phương trình ⇔ log ( x + x + ) − log ( 2x − 3x + ) ≥ ( 2x − 3x + ) − ( x + x + ) ⇔ log ( x + x + ) + ( x + x + ) ≥ log ( 2x − 3x + ) + ( 2x − 3x + ) Xét hàm f ( t = ) log t + t, t > Ta có: f ' (= t) + > ∀t > ⇒ Hàm f đồng biến ( 0; +∞ ) t ln Do đó: f ( x + x + ) ≥ f ( 2x − 3x + ) ⇔ x + x + ≥ 2x − 3x + ⇔ x − 4x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp x ∈ ⇒ = x T {1; 2;3} ⇒= Chọn D Ví dụ 4: Giải bất phương trình log ( x + 1) b+ c > x − x ta tập nghiệm S = a; , với a, b, c x +2 ( ) số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T = a + b + c A T=3 B T=5 C T=8 D T=16 Lời giải ( ) Điều kiện x ≥ Khi BPT ⇔ + log ( x + 1) > x − x + log ⇔ log ( x + 1) − 2x > log ( ) x + + 1 − ( ) x +1 ⇔ f ( x ) > f = f '( t ) Xét hàm số f = ( t ) log ( t + 1) − 2t [0; +∞ ) ta có: ( ( x +2 ) ) x +1 − < 0, ∀t ≥ ( t + 1) ln ( t + 1) ln > 1, ∀t ≥ Do nghịch biến khoảng [0; +∞ ) Khi BPT ⇔ f ( x ) > f ( x ≥ 3+ x + ⇔ x < x + ⇒ 1 − + ⇔ 0; < x< 2 ) Suy a=0;b=3;c=5 ⇒ T = Chọn C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tập nghiệm S bất phương trình log (1 − x ) ≤ : A S = − ; +∞ 1 B S = − ; 2 1 C S = − ; 2 1 D S = − ; 2 Câu 2: Tập nghiệm S bất phương trình log 0,5 ( x − 1) > là: 5 A S = −∞; 4 5 C.= S ; +∞ 4 5 B S = 1; 4 D S= (1; +∞ ) Câu 3: Tập nghiệm S bất phương trình log log x ≥ 1 A S = 0; 2 1 B S = 0; 2 1 D S = 0; 4 1 1 C S = ; 4 2 Câu 4: Giải bất phương trình log ( x + 1) > log ( x ) A x < x > B < x < x > C < x < D < x log ( x + 10 ) A B C D Vô số Câu 6: Tập nghiệm S bất phương trình ln x < ln ( x + ) A S = − ; +∞ B S = D S = − ; +∞ \ {0} C S = − ; +∞ \ {0} ( −1; +∞ ) \ {0} Câu 7: Tập nghiệm S bất phương trình log 0,2 ( x + 1) > log 0,2 ( − x ) A S = ( −1;3] B ( −1; +∞ ) C S = ( −1;1) D S = ( −∞;1) 1− 2x > x Câu 8: Tập nghiệm S bất phương trình log 1 A.= S ; +∞ 3 1 B S = 0; 3 1 D S = −∞; 3 1 1 C S = ; 3 2 Câu 9: Tập nghiệm S bất phương trình log ( x − 1) ≤ log ( − x ) + A S = (1;5 ) B S = (1;3] Câu 10: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log ( x + 3) − ≥ log A D S = [3;5] C S = [1;3] B C x D Câu 11: Giải bất phương trình log ( x − 3) + log ( x + 3) ≤ 2 A x > B < x≤3 D − ≤ x ≤ C Vơ nghiệm Câu 12: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log x + log x ≥ + log x.log x A B C D Vô số Câu 13: Giải bất phương trình log ( x − ) > log ( − x ) tập nghiệm ( a; b ) Hãy tính tổng S= a + b A S = 11 B S = 31 C S = 28 15 D S = Câu 14: Bất phương trình log x ≤ log ( x − 1) tương đương với bất phương trình nào? B log x ≤ log ( x − 1) A log x ≤ log x − log 4 C log x ≤ log ( x − 1) D log x ≤ log ( x − 1) 2 Câu 15: Tập nghiệm S bất phương trình log π log ( x − ) > ( a; b ) Tính b − a A B C D Câu 16: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x < ln ( x + ) A S = − ; +∞ B S = ( −1; +∞ ) \ {0} C S = − ; +∞ \ {0} D S = − ; +∞ \ {0} Câu 17: Tập nghiệm S bất phương trình log ( x − 1) − log 3log ( x + ) ≤ A S = [ −1;1) ∪ (1; +∞ ) B S = [ −1; +∞ ) C S = ( −2;1) ∪ (1; +∞ ) Câu 18: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log ( x + ) − log A = S B S = (1; ) ( 2; +∞ ) D = S [ 2; +∞ ) x > log ( x − x ) − D S = (1; 2] C S = ( 0; ) Câu 19: Giải bất phương trình log 32 x − log ( x ) − < tập nghiệm S = ( a; b ) , với a, b hai số thực a < b Tính giá trị biểu thức T= 3a + b A T = −3 B T = C T = 11 D T = 28 Câu 20: Bất phương trình log ( x − x + 1) < có tập nghiệm 3 A S = 0, 2 C S = 3 B S = −1, 2 ; +∞ 2 ( −∞, ) ∪ D S = ; +∞ 2 ( −∞,1) ∪ Câu 21: Tập nghiệm bất phương trình log 3 A S = −2; − 2 B S = 4x + ≤ là: x [ −2;0 ) C S = ( −∞; 2] D.= S \ − ;0 Câu 22: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) < log ( x − 1) 1 A S = ; 2 B S = ( −1; ) C = S ( 2; +∞ ) D S = ( −∞; ) Câu 23: Bất phương trình log x − 2019 log x + 2018 ≤ có tập nghiệm A S = 10;102018 B S = 10;102018 ) C S = [1; 2018] D (10;102018 ) Câu 24: Bất phương trình log ( 3x − 1) 1 + log ( 3x − 1) = có hai nghiệm x1 < x2 tỉ số x1 a = log x2 b a, b ∈ ∗ a, b có ước chung lớn Tính a + b A a + b = 38 B a + b = 37 C a + b = 56 D a + b = 55 Câu 25: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log x +1 ( −2 x ) > A ( − 2;0 ) B ( −1;0 ) C ( −∞;0 ) D ( − 2; +∞ ) Câu 26: Bất phương trình log 0,5 ( x − 1) ≥ có tập nghiệm 1 A.= S ; +∞ 2 1 B.= S , +∞ 2 C S= (1; +∞ ) 1 D S = ;1 2 Câu 27: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) < A S = ( −∞;14 ) 1 C S = ;14 2 1 B S = ;5 2 1 D S = ;14 2 Câu 28: Tập nghiệm bất phương trình log π ( x + 1) > log π ( x − ) A ( −1;6 ) 5 B ;6 2 C ( −∞;6 ) D ( 6; +∞ ) Câu 29: Gọi S tập nghiệm bất phương trình log ( x + ) > log ( x − 1) Hỏi tập S có phần tử số nguyên dương bé 10? A B 15 C D 10 x2 − 6x + 1 Câu 30: Bất phương trình log S ; a ∪ [b; +∞ ) Hỏi M= a + b ≥ có tập nghiệm= 4x −1 4 A 12 B C D 10 Câu 31: Hỏi bất phương trình log ( x + 1) ≥ log x tương đương với bất phương trình nào? 25 A log ( x + 1) ≥ log x B log x + log ≥ log x 25 5 D log ( x + 1) ≥ log x C log ( x + 1) ≥ log x 25 5 25 Câu 32: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) ≤ log ( − x ) + A S = [3;5] B S = (1;3] [ −3;3] C S = D S = (1;5 ) Câu 33: Giải bất phương trình 6log6 x + x log6 x ≤ 12 tập nghiệm S = [ a; b ] Tính ab A ab = B ab = C ab = 12 D ab = 1,5 Câu 34: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 24 ( x − ) − log 3.log ( x − ) + ≥ A S = ( −∞;6] ∪ [66; +∞ ) B S = [ 6;66] ( 2;6] ∪ [66; +∞ ) C = S D S = ( −∞;1] ∪ [3; +∞ ) Câu 35: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log 22 x − 8log 3.log x + < A B C D Câu 36: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 24− x − x + ≥ A S = ( −∞;1] B S = ( −∞;3) ( −∞;3] C S = D S= [3; +∞ ) Câu 37: Giải phương trình log x log x + x log x + = log x + 3log x + x Tổng tất nghiệm A 35 B Câu 38: Giải bất phương trình A x ≥ C 10 − x log ( x + 1) ≥ B −1 < x ≤ Câu 39: Giải bất phương trình log A x ≤ B x ≤ ( C ≤ x ≤ ) ( x + + − ≥ log − 10 − x 369 49 C x ≥ ( Câu 40: Tìm tập nghiệm S bất phương x A S = (1; ) D B S = {1; 2} −4 D −1 ≤ x ≤ ) 369 49 D ≤ x ≤ 369 49 ) − ln x < C S =( −2; −1) ∪ (1; ) D S = [1; 2] Câu 41: Tìm tập nghiệm S bất phương log ( x + 25 ) > log (10 x ) A S = B S = \ {5} = S C ( 0;5) ∪ ( 5; +∞ ) S D = ( 0; +∞ ) Câu 42: Cho hàm số f ( = x ) ln ( x − x + ) Tìm giá trị x để f ' ( x ) > A x > B x ≠ C x ∈ D x > 2x +1 Câu 43: Tìm tập nghiệm S bất phương log log >1 x −1 A S = ( −∞;1) B S = ( −∞; −3) C S= (1; +∞ ) D S = ( −∞; −2 ) Câu 44: Bất phương trình log125 ( x + 3) + log x + ≤ có nghiệm nguyên? A B C Vô số D 12 1 Câu 45: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log x + log x + ≥ 2 2 A Vơ số B Khơng có C D Câu 46: Tìm tập nghiệm S bất phương ln ( x − 1)( x − )( x − 3) + 1 > A = S (1; ) ∪ ( 3; +∞ ) B S = ( −∞;1) ∩ ( 2;3) C = S (1; ) ∩ ( 3; +∞ ) D S = ( −∞;1) ∪ ( 2;3) Câu 47: Tìm tập nghiệm S bất phương log 22 ( x + 1) − 5log ( x + 1) + ≥ A S = ( −∞;1] ∪ [15; +∞ ) B S = [1;15] C S = ( −1;1] ∪ [15; +∞ ) D S = ( −∞;1] ∪ [ 4; +∞ ) Câu 48: Tìm tập nghiệm S bất phương log m ( x + x + 3) ≤ log m ( x − x ) với m tham số thực dương khác 1, biết x = nghiệm bất phương trình cho A S = ( −2;0 ) ∪ ;3 3 B S = ( −1;0 ) ∪ ;3 3 C S = ( −1;0 ) ∪ (1;3] D S = ( −1;0 ) ∪ ;3 3 Câu 49: Tìm số nghiệm nguyên 22 x A B −15 x +100 − 2x −10 x −50 C + x − 25 x + 150 < D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN x < 1 − 2x > Câu 1: log (1 − 2x ) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ x < Chọn D 2 1 − 2x ≤ x ≥ − x − > x > Câu 2: log 0,5 ( x − 1) > ⇔ 1⇔ ⇔ < x < Chọn B x< x − < 4 x > > x Câu 3: log log x ≥ ⇔ log x > ⇔ x < ⇔ < x ≤ Chọn B log x ≥ x ≤ 12 x > x > x > x > 0 < x < Câu 4: log ( 3x + 1) > log ( 4x ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chọn B 3x + > 4x 3x − 4x + > x < x > x> − > 4x 19 Câu 5: log ( 4x − ) > log ( x + 10 ) ⇔ x + 10 > ⇔ x > −10 ⇔ < x < 2 4x − < x + 10 19 x < Mà x ∈ ⇒ x ∈ {3; 4;5;6} Chọn B x ≠ x ≠ Câu 6: ln x < ln ( 4x + ) ⇔ x > −1 ⇔ x > −1 2 2 x < ( 4x + ) ln x < ln ( 4x + ) x ≠ x ≠ x > − ⇔ x > −1 ⇔ x > −1 ⇔ Chọn C 3x + 5x + > 4 x ≠ )( ) ( x > − ∨ x < − x + > x > −1 Câu 7: log 0,2 ( x + 1) > log 0,2 ( − x ) ⇔ 3 − x > ⇔ x < ⇔ −1 < x < Chọn C x + < − x x < 1 < < x 1 − 2x x > 0 < x < − 2x 1 Câu 8: log >0⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < x < Chọn C x 3 1 − 2x < 3x − > x > x x x < Câu 9: Điều kiện: < x < Ta có log ( x − 1) ≤ log ( − x ) + ⇔ log ( x − 1) ≤ log (10 − 2x ) ⇔ ( x − 1) ≤ 10 − 2x ⇔ x − ≤ ⇔ −3 ≤ x ≤ ⇒ < x ≤ Chọn B Câu 10: Điều kiện: x > Ta có log ( x + 3) − ≥ log x ⇔ log x +3 x +3 ≥ log x ⇔ ≥ x2 2 ⇔ 2x ≤ x + ⇔ 2x − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Câu 11: Điều kiện: x > 3 ⇒ < x ≤ ⇒ x ∈ {1} Chọn A 2 Ta có log ( 4x − 3) + log ( 2x + 3) ≤ ⇔ log ( 4x − 3) − log ( 2x + 3) ≤ 2 ⇔ log ( 4x − 3) 2x + ( 4x − 3) ≤2⇔ ≤ ⇔ 16x − 42x − 18 ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Chọn D 2x + Câu 12: Điều kiện: x > Ta có log x + log x ≥ + log x.log x ⇔ ( log x − 1)( log − 1) ≥ log x − ≥ x ≥ x ≥ 0 < x ≤ log x − ≥ x ≥ ⇒ Có vô số nghiệm nguyên Chọn D ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ log x − ≤ x ≤ x ≤ x ≥ log x − ≤ x ≤ x > 3x − > 6 ⇔ x < ⇔ < x < Câu 13: log ( 3x − ) > log ( − 5x ) ⇔ 6 − 5x > 5 3x − > − 5x x > Do suy a = 1, b = 11 Chọn A ⇒a+b= 5 Câu 14: log x ≤ log ( x − 1) ⇔ log x ≤ log ( x − 1) Chọn B 2 x − > x − > x > Câu 15: log π log ( x − ) > ⇔ log ( x − ) > ⇔ x − > ⇔ x > ⇔ < x < x − < x < log ( x − ) < Do suy a=3, b=4 ⇒ b − a = Chọn A x ≠ x ≠ Câu 16: ln x < ln ( 4x + ) ⇔ x > −1 ⇔ x > −1 2 2 ln x < ln ( 4x + ) x < ( 4x + ) x ≠ x ≠ x > − ⇔ x > −1 ⇔ x > −1 ⇔ Chọn C 3x + 5x + > 4 x ≠ ) )( ( x > − ∨ x < − x > −2 Câu 17: Điều kiện: x ≠ Ta có log ( x − 1) − log 3log ( x + ) ≤ ⇔ log x − − log ( x + ) ≤ ⇔ log x −1 x+2 ≤1⇔ x ≥ −1 ≤ ⇔ x − ≤ 2x + ⇔ ⇒ x ≥ −1 Chọn B x+2 x < −2 x −1 Câu 18: Điều kiện: x > Ta có log ( x + ) − log ⇔ log 2 x > log ( x − x ) − ⇔ − log ( x + ) + log x > log ( x − x ) − −2 < x < −1 x2 x2 − x x2 x2 − x > log ⇔ > ⇔ x+2 x+2 0 < x < Kết hợp với điều kiện suy < x < Chọn B Câu 19: Điều kiện: x > BPT ⇔ log 23 − (1 + log x ) − < ⇔ −1 < log x < ⇔ 3−1 < x < 33 ⇔ ⇒a= ; b = 27 ⇒ T = 28 Chọn D x> Câu 20: BPT ⇔ 2x − x + > ⇔ Chọn C x < < x < 27 x > x ≠ x > x < − 4x + Câu 21: BPT ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ x < − Chọn A x 1 BPT ⇔ x + > 2x − ⇔ x < → < x < Chọn A 2 Câu 23: Điều kiện: x > BPT ⇔ ≤ log x ≤ 2018 ⇔ 10 ≤ x ≤ 102018 Chọn A Câu 24: Điều kiện: 3x > ⇔ x > log ( 3x − 1) = PT ⇔ log ( − 1) + log ( − 1) − = ⇔ log ( 3x − 1) = −3 x x 3x 10 x = log 10 3x − =32 = ⇔ x ⇔ x 28 ⇒ −3 3 = x = log 28 − = 27 27 ⇒ x1 = log x 28 28 ; x = log 10 ⇒ = log ⇒ a = 28; b = 27 ⇒ a + b = 55 Chọn D 27 x2 27 −2x > Câu 25: Điều kiện: ⇔ x + > ⇔ −1 < x < x + ≠ x > −2 + Với x < ⇔ x + < nên BPT ⇔ −2x < ( x + 1) ⇔ x + 4x + > ⇔ x < −2 − Kết hợp với điều kiện ta −2 + < x < thỏa mãn Chọn A Câu 26: BPT ⇔ < 2x − ≤ ⇔ < x ≤ Chọn D Câu 27: BPT ⇔ < 2x − ≤ 33 ⇔ Câu 28: Điều kiện: x > < x < 14 Chọn D BPT: ⇔ x + < 2x − ⇔ x > Chọn D Câu 29: Điều kiện: x > BPT ⇔ 2x + > x − ⇔ x > −6 → x > ⇒ x ∈ {2;3; 4; ;9} Chọn C 1 x≠ 1 x ≥ x ≠ x ≠ Câu 30: BPT ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ ⇔ 1 < x ≤1 x 6x x 10x − + − + ≥1 ≥0 4 < x ≤ 4x − 4x − ⇒ a = 1; b = ⇒ a + b = 10 Chọn D Câu 31: Điều kiện: x > BPT ⇔ log 2 5 ( x + 1) ≥ log x ⇔ log ( x + 1) ≥ log x ⇔ log ( x + 1) ≥ log x Chọn C 5 5 Câu 32: Điều kiện: < x < BPT ⇔ log ( x − 1) ≤ log ( − x ) ⇔ ( x − 1) ≤ ( − x ) ⇔ x ≤ ⇔ −3 ≤ x ≤ → < x ≤ Chọn B 2 Câu 33: Điều kiện: x > Đặt log x =t ⇒ x =6 t → t + ( t ) ≤ 12 ⇔ t + t ≤ 12 ⇔ t ≤ ⇔ t ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ → −1 ≤ log x ≤ ⇔ t 2 1 ; b = ⇒ ab = Chọn A ≤ x ≤ ⇒ a= 6 Câu 34: Điều kiện: x > BPT ⇔ log 24 ( x − ) − log ( x − ) + ≥ log ( x − ) ≥ x − ≥ 43 x ≥ 66 x ≥ 66 Chọn C ⇔ ⇔ ⇔ → x ≤ 2 < x ≤ log ( x − ) ≤ x − ≤ Câu 35: Điều kiện: x > BPT ⇔ log 22 x − 8log x + < ⇔ log 22 x − log x + < ⇔ < log x < ⇔ < x < 23 ⇔ < x < ⇒ x ∈ {3; 4;5;6;7} Chọn A Câu 36: Ta có: Với x > ⇒ 24− x − x + < − + = Với x ≤ ⇒ 24− x − x + ≥ − + = → x ≤ thỏa mãn Chọn C Câu 37: Điều kiện: x > PT ⇔ log x ( log x − 1) − ( log x − 1) + x ( log x − 1) = log x = ⇔ ( log x − 1)( log x − + x ) = ⇔ 0(2) log x + x − = Với x > ⇒ VT ( ) > + − =0 ⇒ loại Với x > ⇒ VT ( ) < + − =0 ⇒ loại x = Với x = ta thấy thỏa mãn → ⇒ S = + = Chọn B x = 4 − 2x ≥ Câu 38: Điều kiện: ⇔ −1 < x ≤ + > x − x log ( x + 1) ≥ ⇔ log ( x + 1) ≥ ⇔ x + ≥ 20 ⇔ x ≥ Ta có Kết hợp với điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình S = [ 0; 2] Chọn C 3x + ≥ − ≤ x ≤ 10 Câu 39: Điều kiện: ⇔ 10 − x ≥ ⇔ ⇔ − ≤ x ≤ 10 49 ≥ 10 − x 7 − 10 − x ≥ Ta có log ⇔ ( ) ( ) 3x + + − ≥ log − 10 − x ⇔ log 3x + + ≥ log − 10 − x ( ) 3x + + 369 Chọn D ≥ − 10 − x ⇔ 3x + + 10 − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ 49 Câu 40: Điều kiện: x ≠ 2 x − − > x − > 2 < ln x x < Ta có x − − ln x < → ⇔ ⇔1< x < 2 x −4 − < x −1 < 2 2 x > ln x > ( ) Kết hợp với điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình S = (1; ) Chọn A x > 10x > x > Câu 41: Ta có log ( x + 25 ) > log (10x ) ⇔ ⇔ ⇔ x ≠ ( x − ) > x + 25 > 10x Vậy tập nghiệm bất phương trình = S ( 0;5) ∪ ( 5; +∞ ) Chọn C ' 4x − Câu 42: Ta có f '= + 5) ln ( x − 2x + ) ( x ) ln ( x − 2x + 5) ln ( x − 2x = x − 2x + Khi f ' ( x ) > ⇔ ( x − 1) ln ( x − 2x + ) > mà ln ( x − 2x + 5= ) ln ( x − 1)2 + 4 ≥ ln > Do đó, bất phương trình trở thành: x − > ⇔ x > Vậy tập nghiệm S = (1; +∞ ) Chọn D 2x + x − > 2x + 2x + Câu 43: Ta có log log ⇔1< < ⇔ x < −2 >1⇔ x −1 x −1 0 < log 2x + < x −1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞; −2 ) Chọn D x + > Câu 44: Điều kiện: ⇔ x > −3 x + ≠ Ta có log125 ( x + 3) + log x + ≤ ⇔ log ( x + 3) − log x + ≤ ⇔ log −5 + x +3 x +3 ≤0⇔ ≤ ⇔ x + ≥ x + ⇔ −4 ≤ x ≤ x+4 x+4 −5 + Kết hợp điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình S= −3; Vậy có giá trị nguyên x =−2 ∈ S Chọn B 1 x Câu 45: Điều kiện: x > Ta có log x + log x + ≥ ⇔ log x + ≥ 2 2 2 ⇔ x2 + x 1 1 ≤ ⇔ 2x + x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy S = −1; Chọn D 2 2 1 < x < Câu 46: Bất phương trình ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3) > ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình = S (1; ) ∪ ( 3; +∞ ) Chọn A Câu 47: Điều kiện: x + > ⇔ x > −1 log ( x + 1) ≥ x + ≥ 24 x ≥ 15 Bất phương trình ⇔ ⇔ → x ≤ log ( x + 1) ≤ x + ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −1;1] ∪ [15; +∞ ) Chọn C Câu 48: Vì x = nghiệm bất phương trình ⇒ log m ≤ log m ⇒ m ∈ ( 0;1) −1 ≤ x < Với < m < , bất phương trình ⇔ 2x + x + ≥ 3x − x > ⇔