chuyen de trac nghiem phuong trinh logarit

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN  Khái niệm: Là phương trình có dạng log a f ( x ) = log a g ( x ) , (1) f ( x ) g ( x ) hàm số chứa ẩn x cần giải  Cách giải: a > 0; a ≠  - Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa  f ( x) >  g ( x) > - Biến đổi (1) dạng sau: (1) ⇔ f ( x) = g ( x) a =1  Chú ý: b ⇔ f ( x) = ab - Với dạng phương trình log a f ( x ) = - Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x n = 2n log a x , x > n log a x = log a x n - Với phương trình sau biến đổi dạng g ( x) ≥ f= ( x ) g ( x ) ⇔   f ( x ) =  g ( x )  a loga x x = log a a x x= ; x log a   = log a x − log a y  y m = log an x m = log a x; log a b n log b a - Các công thức Logarit thường sử dụng: log a ( xy ) = log a x + log a y; Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) log ( x + x + ) = b) log ( x + 1) + log ( x − 3) = Lời giải: x=2 a) Ta có: PT ⇔ x + x + = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 Vậy tập nghiệm phương trình S = {2; -3} b) Điều kiện: x > Khi PT ⇔ log ( x + 1)( x − 3= ) log3 ⇔ x − x −= x = ⇔ x − x − 12 =0 ⇔  −3 x =  Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) log ( x + ) =3 − log x b) 3log8 ( x − ) − log ( 3x + ) + = Lời giải: a) Điều kiện: x > Khi PT ⇔ log ( x + ) + log x =3 ⇔ log  x ( x + )  =3 ⇔ x3 + x =8  x = −2 ⇔ ( x + ) ( x + x − ) =0 ⇔  x =−1 +   x =−1 − Kết hợp ĐK x > Vậy phương trình cho có nghiệm x =−1 + b) Điều kiện: x > Khi PT ⇔ 3log 23 ( x − ) − log 22 ( 3x + ) + = ⇔ log ( x − ) − log ( x + ) + =0 ⇔ log ( x − ) − log ( x + ) + log 27 =0  x = 10 128 ( x − ) 2 ⇔ log =0 ⇔ 128 ( x − ) =( x + ) ⇔ x − 116 x + 260 =0 ⇔  26 ( t / m ) x = ( 3x + )  Vậy nghiệm phương trình = = x 10; x 26 Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) log  x ( x − 1)  = 1 b) log x + log ( x − 1) = c) log ( x − ) − log x − = d) log ( x − 3) + log ( x − 1) = Lời giải: a) Điều kiện: x ( x − 1) > ⇔ x > 1; x < Ta có: PT ⇔ x ( x − 1) =2 ⇔ x − x − =0 ⇔ x =−1; x =2 Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = b) Điều kiện: x > Ta có phương trình tương đương với log  x ( x − 1)  =2 ⇔ x − x − =0 ⇔ x =−1; x =2 Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = c) Điều kiện: x > Ta có: PT ⇔ log ( x − ) + log ( x − ) =2 ⇔ ( x − )( x − ) =4 ⇔ x − 11x + =0 ⇔ x =3; x = Đối chiếu với đk ta nghiệm phương trình x = d) Điều kiện: x > Ta có: PT ⇔ ( x − 3)( x − 1) =8 ⇔ x − x − =0 ⇔ x =−1; x =5 Đối chiếu với đk ta nghiệm phương trình x = Ví dụ 4: Giải phương trình sau: a) lg ( x − ) + lg ( x − 3) =1 − lg b) log8 ( x − ) − log8 ( x − 3) = c) lg x − + lg x + = + lg 0,18 d) log ( x −= ) log ( x − ) + a) Điều kiện: { Lời giải: x−2>0 ⇔ x > x −3 > Ta có: PT ⇔ lg ( x − )( x − 3) = lg ⇔ x − x + = ⇔ x = 1; x = Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm x = b) Điều kiện: { x>2 ⇔ x > x>3 Ta có: PT ⇔ log8 ( x − 2) 2 = ⇔ x − x + 16 =0 ⇔ x =4 (TM ) x −3 Vậy PT có nghiệm x =  x > c) Điều kiện:  ⇔x>  x > −1 Ta có: PT ⇔ lg lg18 ⇔ ( x − )( x + 1) = 18 ⇔ x + x − 328 =⇔ x= 8; x = − ( x − )( x + 1) = Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm x =  x2 − > d) Điều kiện:  ⇔x> x − > Ta có: PT ⇔ log ( x − ) = log 3 ( x − ) ⇔ x − x = ⇔ x = 0; x = Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm x = Ví dụ 5: Giải phương trình sau: a) log ( x + 3) + log ( x − 1) = log b) log x + log (10 − x ) = c) log ( x − 1) − log ( x + ) = d) log ( x − 1) + log ( x += 3) log 10 − a) Điều kiện: { Lời giải: x+3> ⇔ x > x −1 > Ta có: PT ⇔ log ( x + 3)( x − 1) =log ⇔ x + x − =0 ⇔ x =2; x =−4 41 Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm x = b) Điều kiện: { x>0 ⇔ < x < 10 10 − x > Ta có: PT ⇔ log x (10 − x ) = ⇔ x = 2; x = Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm x = c) Điều kiện: { x +1 > ⇔ x > x−2>0 −1 ± 13 Ta có: PT ⇔ log ( x − 1) + log ( x + ) =0 ⇔ log ( x − 1)( x + ) =0 ⇔ x + x − =0 ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = d) Điều kiện: { −1 + 13 x −1 > ⇔ x > x+3> Ta có: PT ⇔ log ( x − 1)( x + 3) =log ⇔ x + x − =0 ⇔ x =2; x =−4 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a) log ( x + ) − log ( x + 26 ) + = b) log x + log c) + lg ( x − x + 1) − lg ( x + = 1) lg (1 − x ) a) Điều kiện: { x + log x = d) log x + log x + log8 x = 16 Lời giải: x +8 > ⇔ x > −8 x + 26 > Ta có: PT ⇔ log 81( x + ) ( x + 26 ) = ⇔ x − 29 x + 28 = ⇔ x = 1; x = 28 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm = x 1;= x 28 b) Điều kiện: x > Ta có: PT ⇔ log x + log x − log x = ⇔ log x = ⇔ x = 27 Vậy PT có nghiệm x = 27 c) Điều kiện: − x < ⇔ x < Ta có: PT ⇔ − lg ( x − 1) − lg ( x + 1) = lg (1 − x ) ⇔ lg ( x + 1) =⇔ x =⇔ x= ±3 2 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = −3 d) Điều kiện: x > Ta có: PT ⇔ 60 1 60 ⇔ x = 217 (TM ) log x − log x + log x = ⇔ log x = 17 60 Vậy PT có nghiệm x = 217 Ví dụ 7: Giải phương trình sau: a) + lg ( x − x + 1) − lg ( x + 19= ) lg (1 − x ) b) log x + log x + log8 x = 11 c) log ( x − 1) + log ( x + 1) =1 + log d) log 2 (7 − x) (5 x +1 − 25 x ) = −2 Lời giải: a) Điều kiện: − x > ⇔ x < Ta có: lg ( x − x + 1= ) lg ( x − 1)= lg (1 − x ) PT ⇔ − lg ( x + 19 ) =0 ⇔ x + 19 = 100 ⇔ x =±9 Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = −9 b) Điều kiện: x > 1 Ta có: PT ⇔ log x + log x + log x = 11 ⇔ log x = 6⇔ x= 64 (TM ) Vậy PT có nghiệm x = 64 x −1 >  c) Điều kiện:  x + > ⇔ < x < 7 − x > Ta có: PT ⇔ log ( x − 1)( x + 1) = log 2 Kiểm tra điều kiện có nghiệm x = −1 ± 73 ( − x ) ⇔ x2 + x − = ⇔ x = −1 + 73 thỏa mãn d) Điều kiện: x +1 − 25 x > ⇔ x ( − x ) > ⇔ < x < ⇔ x < Ta có: PT ⇔ x +1 − 25 = x −2 −2  −21  5 x =  x = log =   = ⇔ ( x ) − 5.5 x + = ⇔  x ⇔  x = log 5 =   Vậy PT có nghiệm x log = = log 5 vµ x Ví dụ 8: Giải phương trình sau: a) log x ( x − x + 12 ) = b) log x ( x − x − ) = c) log x ( x − x + ) = d) log x ( x − ) = Lời giải: 2 x − x + 12 > a) Điều kiện:  ⇔ x >0 x >  x = (TM ) Ta có: PT ⇔ x − x + 12 =x ⇔ x − x + 12 =0 ⇔   x = −4 ( L) Vậy PT có nghiệm x =  + 41  x >  + 41 2 x − 3x − > b) Điều kiện:  ⇔  ⇔x> 41 − x >  x <   x >  x = −1 ( L ) Ta có: PT ⇔ x − x − = x ⇔ x − x − = ⇔   x = (TM) Vậy PT có nghiệm x =  x >   x2 − 5x + > x > c) Điều kiện:  ⇔   x < ⇔  0< x x    x >  −5 + 97 (TM ) x = 2 Ta có: PT ⇔ x − x + = x ⇔ x + x − = ⇔  −5 − 97  ( L)  x = Vậy PT có nghiệm x = −5 + 97  x >   x2 − > d) Điều kiện:  ⇔  x < − ⇔ x > x > x >   x = −1 ( L ) Ta có PT ⇔ x − = x ⇔ x − x − = ⇔   x = (TM ) Vậy PT có nghiệm x = Ví dụ 9: Giải phương trình sau: a) log x +5 ( x + x + ) = c) log x 15 = −2 1− 2x b) log x + ( x + 1) = 1 d) log x2 ( − x ) = f) log x ( x − x + ) = e) log x2 +3 x ( x + 3) = Lời giải:  9 x + x + > x>−   a) Điều kiện: 3 x + > ⇔ 3 x + ≠ x ≠ −  Ta có: PT ⇔ x + x + =( x + ) ⇔ x =− Vậy PT có nghiệm x = − 23 (TM ) 22 23 22  x2 + >  x > −2   b) Điều kiện: 2 x + > ⇔  2 x + ≠  x ≠ − x = −1 Ta có: PT ⇔ x + =2 x + ⇔ x − x − =0 ⇔  (TM ) x = Vậy PT có nghiệm x = −1; x = x >  15 c) Điều kiện:  >0⇔0< x< 1 − x x ≠   x = (TM )  15 Ta có: PT ⇔ = x −2 ⇔ 15 x + x − = ⇔  1− 2x x = − ( L)  Vậy PT có nghiệm x =  x ≠  x2 >   d) Điều kiện: 3 − x > ⇔  x ≠ ±1  x ≠  x <  x = ( L) Ta có: PT ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 (TM ) Vậy PT có nghiệm x = −3  x + 3x >  −3 + 13   e) Điều kiện:  x + > ⇔  x ≠ 2  x + x ≠  x > x =1 Ta có: PT ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 Kiểm tra điều kiện x = nghiệm cần tìm x > x>0  f) Điều kiện: 2 x − x + > ⇔ x ≠1  x ≠ { x =1 Ta có: PT ⇔ x − x + > ⇔  (TM ) x = Vậy PT có nghiệm = x 1;= x Ví dụ 10: Giải phương trình sau: a) log ( x − 5= x + 6) b) log 2 ( x + 3) + log x −1 + log x − log ( x − 1) = log x Lời giải: a) Điều kiện: x > 1; x ≠ Khi PT ⇔ log x − 5= x + log ⇔ x 2= − 5x + ( x − 1) x − ⇔ ( x − 2= )( x − 3) ( x − 1) x − x −1 + log x − ⇔= x − x −1 (1) TH1: x ≥ ta có: (1) ⇔ x − = x − ⇔ x = (loại) TH2: < x < ta có: (1) ⇔ −2 x + = x − ⇔ x = Vậy x = ( tm ) nghiệm PT cho b) Điều kiện: x > 0; x ≠ Ta có: PT ⇔ log ( x + 3) + log x − = log x ⇔ log ( x + 3) x − 1=  log x ⇔ ( x + 3) x − 1= x x = −1 (lo ¹i ) TH1: Với x > ta có: ( x + 3)( x − 1) = x ⇔ x − x − = ⇔  x =  x =−3 + TH2: Với < x < ta có: ( x + 3)(1 − x ) = x ⇔ x + x − = ⇔   x =−3 − (lo ¹i ) Vậy x =3; x =−3 + nghiệm PT cho Ví dụ 11: Giải phương trình sau: x a) lg ( 3x − 24− x ) = + lg16 − lg 4 b) 1 lg ( x + x − 5= lg x + lg ) 5x c) log ( x + x + 1) + log ( x − x= + 1) log ( x + x + 1) + log ( x − x + 1) Lời giải: x a) Điều kiện: 3x − 24− x > Khi đó: PT ⇔ lg ( 3x − 24− x )= lg100 + lg − lg ⇔ 3x − − x = 200 x 216 ⇔ x = 216 ⇔ x= ( tm ) x ⇔ 3x − 24− x = 200.2− x ⇔ 3x = 16.2− x + 200.2− x ⇔ 3x = Vậy x = nghiệm PT cho −1 + 21 x > b) Điều kiện:  ⇔x> x + x − > x = Khi đó: PT ⇔ lg x + x − = lg1 ⇔ x + x − = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 ( lo ¹i ) Vậy nghiệm PT cho x = c) Ta có: PT ⇔ ( x + x + 1)( x − x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 1) ⇔ ( x + 1) + x  ( x + 1) − x  = ( x + 1) + x  ( x + 1) − x  ⇔ ( x + 1) − x = x = ⇔ x + x + = x8 + x + ⇔ x8 = x ⇔   x = ±1 (x + 1) − x Vậy x = 0; x = ±1 nghiệm PT cho Ví dụ 12: Số nghiệm phương trình log ( x + ) =1 − log 25 x là: A B C D Lời giải: Điều kiện: x > Khi PT ⇔ log ( x + ) =1 − log 52 x ⇔ log ( x + ) =log 5 − log x x = ⇔ log  x ( x + )  =log 5 ⇔ x + x =5 ⇔   x = −5 Kết hợp điều kiện suy PT có nghiệm x = Chọn A Ví dụ 13: Số nghiệm phương trình ln ( x + x − 3) + ln ( x + 3)= ln ( x − 1) là: A B C D Lời giải:  x2 + 2x − >  Điều kiện:  x + > ⇔ x > Khi PT ⇔ ln ( x − 1)( x + 3)  + ln ( x + 3)= ln ( x − 1)  x − > 2 ⇔ ln ( x − 1)( x + 3)  =ln ( x − 1) ⇔ ( x − 1)( x + 3) =x − ⇔ ( x − 1) ( x + 3) − 1 =0     x =   x − =0 ⇔ ⇔ x = −4 x + = ( )  x = −2   Kết hợp điều kiện suy PT vô nghiệm Chọn A Ví dụ 14: Gọi n số nghiệm phương trình log ( x − ) + 3log8 ( x − ) − = Khi đó: A n = B n = C n = D n = Lời giải: Ta có: log ( x − ) + 3log8 ( x − ) − =0 ⇔ log ( x − ) + log ( 3x − ) =2 ⇔ ( x − )( 3x − ) =4 ⇔ x − 11x + = ⇔ x = 3; x = Đối chiếu điều kiện loại nghiệm x = , suy PT có nghiệm x = ⇒ n =1 Chọn A Ví dụ 15: Số nghiệm phương trình log ( x + 4= ) − x log ( 2x + 12 ) − là: A B C D Lời giải: 2x + 2x + PT ⇔ log ( + ) − log ( + 12 ) = x − ⇔ log x = x −3 ⇔ x = x −3 + 12 + 12 x Đặt t = x > ⇒ x t+4 t t = −8 ( lo ¹i ) = ⇔ t + 4t − 32 = ⇔  t + 12 t = ⇒ x = Vậy x = nghiệm PT cho Chọn A Ví dụ 16: Số nghiệm phương trình log A x − − log ( 5= − x ) 3log8 ( x − 3) là: B C D Lời giải: Điều kiện: > x > Khi PT ⇔ log 1 22 − x) ( x − 1) + log ( 5= 3log 23 ( x − 3) ⇔ log ( x − 1) + log ( −= x ) log ( x − 3)  + 17 x=  ⇔ ( x − 1)( − x ) = x − ⇔ x − x + = ⇔  − 17   x = (t / m) ( lo¹i ) Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) log x2 + x + = x + 21x + 14 x2 + x + b) x − x + = log 2x +1 ( x − 1) Lời giải: x2 + x + a) Ta có: log = ( x + x + − x − x − 3) 2x + 4x + ⇔ log ( x + x + 3) + ( x += x + 3) log ( x + x + ) + ( x + x + ) Xét hàm số = f ( t ) log t + t khoảng ( 0; +∞ ) ta có: f = '(t ) + > ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t ln x = −1 Do f ( x + x + 3) = f ( x + x + ) ⇔ x + x + = x + x + ⇔ x + x + = ⇔  x = Đáp số: x = −1; x = −2 {  x ≠1 x > − b) Điều kiện: ⇔ 2x +1 >  x ≠ Khi đó: PT ⇔ x − 6= x + log ( x + 1) − log ( x − 1) ⇔ ( x − x + 1) = − x log ( x + 1) − log ( x − 1) 2 ⇔ ( x − 1) + log ( x − 1) = x + + log ( x + 1) − 1 1 2   ⇔ ( x − 1) + log ( x − 1) =  x +  + log  x +  2 2   2 Xét hàm số f ( t= ) 2t + log t ( t ∈ ( 0; +∞ ) ) ta có f ' ( t )= + Do f ( x − 1)  =   > ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t ln 1 3±  f  x +  ⇔ ( x − 1) = x + ⇔ x = (t / m) 2 2  Ví dụ 4: Số nghiệm phương trình log ( x + ) + log ( x + 1) = là: A B C D Lời giải: Điều kiện: x > −2 Xét hàm số: f = ( x ) log ( 3x + ) + log3 ( x + 1) với x > − , f ( ) =4 = f '( x) Ta có: −2 −2 + > ∀x > ⇒ f ( x ) đồng biến ∀x > 3 ( 3x + ) ln ( x + 1) ln Do f ( x= x ) f ( ) ⇔= Vậy x = nghiệm PT cho Chọn A Ví dụ 5: Số nghiệm phương trình log A 2x −1 ( x − 1) = x − x + là: B C D Lời giải: Điều kiện: < x ≠ Khi PT ⇔ log ( x − 1) − log ( x − 1) = x − x + ⇔ log ( 2= x − 1) log ( x − x + 1) + + ( x − x + ) ⇔ log ( x= − 1) log ( x − x + 3) + x − x + − ( x − 1) ⇔ x − + log ( x= − 1) log ( x − x + 3) + x − x + Xét hàm số f ( t ) = t + log t ( t > ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Do f ( x − 1) = f ( x − x + 3) ⇔ x − = x − x + ⇔ x − x + = x = ⇔ ⇒ phương trình có hai nghiệm Chọn B x =  Ví dụ 6: Tập nghiệm phương trình: log A {−1; −3} x2 + x + = x − x + là: x − 3x + B {1; −3} C {−1;3} D {1;3} Lời giải: Phương trình ⇔ log ( x + x + ) − log ( x − x + 5= ) ( 2x − 3x + 5) − ( x + x + ) ⇔ log ( x + x + ) + ( x + = x + ) log ( x − x + ) + ( x − x + ) Xét hàm số f ( t )= log t + t , t > Ta có: f ' (= t) + > ∀t > ⇒ Hàm f đồng biến ( 0; +∞ ) t ln x =1 Do đó: f ( x + x + ) = f ( x − x + ) ⇔ x + x + = x − x + ⇔ x − x + = ⇔  x = Vậy tập nghiệm phương trình cho là: {1;3} Chọn D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải phương trình log ( x − 1) = A x = 101 B = x e + C = x e − D = x π + Câu 2: Giải phương trình log ( x − ) = A x = 29 B x = 87 C x = 25 D x = 11 Câu 3: Phương trình log ( −3 x + x + 17 ) = có tập nghiệm S tập sau đây?  8 A = S 1; −   3  8 B S = −1;   3 8  C = S 2; −  3  8  D S = −1; −  3  Câu 4: Tìm tập nghiệm S phương trình log ( x − x = + 3) log ( x − ) A S = {1;7} B S = {7} C S = {1} D S = {3;7} có tập nghiệm S tập sau đây? Câu 5: Phương trình log x + log ( x + 1) =  −1 ±  A S =     B S = {2}  −  C S =     Câu 6: Số nghiệm phương trình log ( x + 3) − =log A B D S = {1} x bao nhiêu? C D Câu 7: Giải phương trình log x + log x + log8 x = 11 A x = 24 B x = 36 C x = 45 D x = 64 Câu 8: Tổng bình phương nghiệm log x + log x = + log x.log x A 64 B 34 C D Câu 9: Cho hàm= f ( x ) log ( x − x ) Tìm tập nghiệm S phương trình f ' ( x ) = A S = ∅ B S= {1 ± 2} D S = {1} C S = {0; 2} Câu 10: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình log ( x − 3) + log ( x − ) = Tính tổng T= x1 + x2 A T = B T = + C T = − D T= + Câu 11: Giải phương trình log ( x + ) + log ( x + ) = A x = B.= x 35 − C.= x 35 − D = x − Câu 12: Tìm nghiệm phương trình log ( log x ) = A x = B x = C x = Câu 13: Tìm nghiệm phương trình log ( 33 x−1 − 1) = D x = A x = B x = C x = D x = Câu 14: Gọi S tổng nghiệm phương trình x −1 − 3.2 x + = Tính S A S = log B S = 12 C S = 28 D S = log 28 Câu 15: Biết phương trình x +1 − 8.7 x + = có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) Tính T = A T = B T = C T = −1 x2 x1 D T = x Câu 16: Giải phương trình 3x = 8.3 + 15= A { x=2 x = log B { x=2 x=3 C { x=2 x = log 25  x = log D   x = log 25 Câu 17: Phương trình log ( 3.2 x − ) =x − có tổng tất nghiệm bao nhiêu? A B -4 C D Câu 18: Tìm tất nghiệm phương trình log ( x − 1) log ( x+1 − ) = A x = log x = log B x = x = −2 C x = log x = log D x = x = Câu 19: Giải phương trình log ( x + 1) = A x = e +1 B x = e −1 C x = D x = 11 Câu 20: Tìm nghiệm phương trình log ( log x ) = A x = B x = C x = D x = Câu 21: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình log ( x 2= + 1) log ( x − 1) Tính x1 + x2 A x1 + x2 = B x1 + x2 = C x1 + x2 = D x1 + x2 = Câu 22: Tìm tập nghiệm S phương trình log ( x + 1) − log ( x − 1) = A S = {4} B S = {3} C S = Câu 23: Tìm tập nghiệm S phương trình log A S= {2 + } B S= {2 ± } {−2} D S = {1} ( x − 1) + log 0,5 ( x + 1) = C S = {3} D S= {3 + 13} Câu 24: Gọi x1 , x2 hai nghiệm log ( 3x +1 − 1) = x − log Tính tổng= S 27 x1 + 27 x2 A S = 252 B S = 45 C S = Câu 25: Tìm số thực x , biết log x.log x = −36 A x = −63 x = 6−3 B x = 36 x = 3−6 D S = 180 D x = 63 x = −6−3 C x = 336 x = −336 Câu 26: Tìm nghiệm phương trình log x + log 25 x = log 0,2 A x = ± 3 B x = C x = − D x = 3 Câu 27: Phương trình log8 x + 3log8 ( x − 1) = có nghiệm thực? A Vô nghiệm B nghiệm C nghiệm Câu 28: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log ( x + 1= ) + log D nghiệm − x + log8 ( + x ) Tính T= x1 − x2 A T = + B T = C T = D T = Câu 29: Nếu log ( log8 x ) = log8 ( log x ) ( log x ) bao nhiêu? A ( log x ) = B ( log x ) = 3 C ( log x ) = 27 D ( log x ) = 3−1 2 Câu 30: Biết phương trình log 22 x − 5log x + = có hai nghiệm x1 , x2 Tính tích x1 x2 A x1 x2 = 64 B x1 x2 = 32 C x1 x2 = 16 D x1 x2 = 36 Câu 31: Gọi x1 , x2 nghiệm log 22 x − 3log 5.log x + = Tính P= x1 + x2 A P = 20 B P = C P = 36 D P = 25 Câu 32: Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log 3 x.log x = Tính x1 + x2 A x1 + x2 = 28 B x1 + x2 = 26 C x1 + x2 = Câu 33: Tổng bình phương nghiệm phương trình log 22 x − log A 17 B D x1 + x2 = x = C D 65  5.2 x −  log x Câu 34: Cho x thỏa phương trình log  x = − x Tính giá trị biểu thức P = x  +2  A P = B P = C P = D P = Câu 35: Số nghiệm phương trình log ( x ) − log x = A B C D Câu 36: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình log 22 x − 5log x + = Tính tích x1 x2 A x1 x2 = 16 B x1 x2 = 36 C x1 x2 = 22 D x1 x2 = 32 Câu 37: Tính tổng S nghiệm phương trình log 32 x − log ( x ) + = A S = 10 B S = C S = D S = Câu 38: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình log x + log x.log 27 − = Tính tích số = A log x1 + log x2 B A = −3 A A = C A = −2 D A = Câu 39: Tính tổng S nghiệm phương trình log ( x − 1) log ( x+1 − ) = A S = log 15 B S = −1 C S = log 15 D S = Câu 40: Giải phương trình log ( 3x + 1) log ( 3x+ + ) = B x = log A x = log C x = 1, x = −3 D x = − , x= x Câu 41: Phương trình 7= x + có tất nghiệm? A B C D Câu 42: Tổng giá trị tất nghiệm phương trình log x.log x.log 27 x.log81 x = A 82 B 80 C D Câu 43: Biết phương trình log x + 3log x = có hai nghiệm thực x1 < x2 Tính giá trị biểu thức T = ( x1 ) x A T = 64 B T = 32 C T = D T = 16 Câu 44: Tập nghiệm phương trình log ( x − ) = { } A − 15; 15 B {−4; 4} C {4} D {−4} Câu 45: Tích nghiệm phương trình log ( x ) log ( x ) = A B C 27 D Câu 46: Tính tổng nghiệm phương trình log ( x + x= + 1) log ( x + x ) A B C -2 D Câu 47: Số nghiệm phương trình log x.log ( x − 1) = log x A B C D Câu 48: Cho hàm số f ( x= ) x − x ln Phương trình f ' ( x ) = có nghiệm A x = log B x = log C x = D x = log ( ln ) Câu 49: Số nghiệm phương trình log ( x + x ) − log ( x + 3) = A B C D ( Câu 50: Gọi a nghiệm 26 + 15 ) x ( + + ) x ( −2 2− ) x = Khi giá trị biểu thức sau đúng? A a + a = B sin a + cos a = C + cos a = D 3a + 2a = Câu 51: Số nghiệm phương trình log ( log x ) + log ( log x ) = A B C ( D ) Câu 52: Cho phương trình log 2 x + log x − = Khi đặt t = log x , phương trình cho trở thành phương trình đây? A 8t + 2t − = B 4t + t = C 4t + t − =0 D 8t + 2t − = Câu 53: Biết phương trình 3log 22 x − log x − =0 có hai nghiệm a, b Khẳng định sau đúng? A a + b = B ab = − C ab = Câu 54: Tổng tất nghiệm phương trình log 32 x − log A B 27 Câu 55: Phương trình log A 3 C ( x + 3) + log9 ( x − 1) B 3 D a + b = x =2 log x + 82 D 80 = log ( x ) có nghiệm ? C D Câu 56: Xét < a, b, x ≠ Đặt ( log a x ) + ( log b x ) = 13log a x.log b x (*) Chọn câu đúng? 2 A (*) ⇔ a = b3 B (*) ⇔ b = a3 C (*) ⇔ x = ab D (*) ⇔ a + = b5 a 2b (1 + ab ) Câu 57: Giải phương trình A x = 2018.2018! 1 2018 có nghiệm + + + = log x log x log 2018 x B x = 2018 2018! C x = 2017! Câu 58: Tích nghiệm thực phương trình log 22 x − log x.log ( 81x ) + log A 18 B 16 C 17 D x = ( 2018!) 2018 x2 = D 15 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: PT ⇔ x − 1= 102 ⇔ x= 101 Chọn A Câu 2: PT ⇔ x − = 33 ⇔ x = 29 Chọn A  x = −1 Câu 3: PT ⇔ −3 x + x + 17= 32 ⇔  Chọn B x =  4 x − > Câu 4: PT ⇔  ⇔x= Chọn B x − 4x + = 4x − Câu 5: Điều kiện x > PT ⇔ log  x ( x + 1)  =1 ⇔ x ( x + 1) = ⇒ x =1 Chọn D Câu 6: Điều kiện x > PT ⇔ log ( x + 3) − log x =1 ⇔ log x+3 x+3 =1 ⇔ = ⇒ x = Chọn A x x Câu 7: Điều kiện x > 1 PT ⇔ log x + log x + log x = 11 ⇔ log x = 6⇔ x= 26 = 64 Chọn D Câu 8: Điều kiện x > log x =  x = PT ⇔ ( log x − 1)( log x − 1) = ⇔  ⇔ ⇒ x12 + x22 = 34 Chọn B log x 1= x = Câu 9: Ta có f ' ( x ) = 2x − = ⇔ x = Chọn D ( x − x ) ln Câu 10: Điều kiện x > 3, x ≠ 2 2 PT ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) =0 ⇔ log ( x − 3) ( x − )  =0   ( x − 3)( x − ) = 2 ⇔ ( x − 3) ( x − ) =1 ⇔  ⇒ x = + 2; x = thỏa mãn Chọn B x x − − = − ( )( )  Câu 11: Điều kiện x > −2 5 5 8 PT ⇔ log ( x + ) + log ( x + ) = ⇔ log ( x + ) = ⇔ x + =3 ⇔ x =3 − Chọn B Câu 12: Điều kiện { { x>0 x>0 ⇔ ⇔ x > log x > x >1 Phương trình ⇔ log x = ⇔ x = 23 = Chọn A Câu 13: Phương trình ⇔ 33 x −1 − = 23 ⇔ 33 x −1 = ⇔ x − = ⇔ x = Chọn B Câu 14: Phương trình ⇔ ( x ) − 3.2 x + = ⇔ x = ± 2 ⇔ x = log ± 2 ( ( ) ) ( ( )( ) )  log 28 Chọn D ⇒= S log + 2 + log − = log  + 2 − 2=   Câu 15: PT ⇔ ( 7 x = x = − 8.7 x + = ⇔  x ⇔  ⇒T = = Chọn B 7 = −1  x = −1  ) x x  2x x 2 =1  2x  =3 x =  ⇔ ⇔ Câu 16: PT ⇔   − 8.3 + 15 =0 ⇔ x Chọn C = log log 25 x   x 2=    = log 3 = 2 Câu 17: Điều kiện x > PT ⇔ 3.2 x − 8= x −1= 8 ⇔ x > log 3 x 2=  x 8= x ⇔ ⇒ x1 + x2= Chọn C .( ) ⇔  x x = 2 = 1  Câu 18: Ta có log ( x − 1)  log 2 ( x − 1)  =⇔ log ( x − 1) + log ( x − 1) =2 2  ( ) ( )  x − =2  x = log log ( x − 1) =  x  ⇔ ⇔ ⇔ Chọn C x 2 − =  x = log −2 log ( − 1) =   Câu 19: Phương trình ⇔ x + = 10 ⇔ x = Câu 20: Điều kiện { { Chọn C x>0 x>0 ⇔ ⇔ x > log x > x >1 Phương trình ⇔ log x = ⇔ x = 23 = Chọn A x =1 Câu 21: Điều kiện x > Phương trình ⇔ x + = x − ⇔  ⇒ x1 + x2 = Chọn A x = Câu 22: Điều kiện x > Phương trình ⇔ log 2x +1 2x +1 =1 ⇔ =3 ⇔ x =4 Chọn A x −1 x −1 Câu 23: Điều kiện x > PT ⇔ log ( x − 1) − log ( x + 1) =1 ⇔ log 2 ( x − 1) x +1 ( x − 1) =1 ⇔ x +1 = ⇒ x = + Chọn A Câu 24: Ta có log ( 3x +1 − 1) + log = x ⇔ log  ( 3x +1 − 1)  = x ⇔ ( 3x +1 − 1) = 32 x ( ) ⇔ ( 3x ) − 6.3x + = ⇔ 3x = ± ⇔ x = log 3 ± ⇒ S = 180 Chọn D Câu 25: Điều kiện x >  x = 36 log x = Phương trình ⇔ log x ( − log x ) = Chọn B −36 ⇔  ⇔ −6 log x = −6 x = Câu 26: Điều kiện x > PT ⇔ log x + log x = − log ⇔ 3log x = −2 log = − log ⇔ log = x 1 log = log ⇔ = x 3 Câu 27: Điều kiện: { Chọn B 3 x>0 x ≠1 Ta có log8 x + 3log8 ( x − 1) = ⇔ ( log x + 1) + log x − = ⇔ log x + log x − =1 ⇔ log ( x x − ) =1 ⇔ x x − = 2  x ( x − 1) =  x2 − x − =  x = −1 ( l ) ⇔ ⇔ ⇔ Chọn D ( ) −2 x = x − x + =  x ( x − 1) = Câu 28: Điều kiện: { −4 < x < Ta có log ( x + 1= ) + log x ≠ −1 − x + log8 ( + x ) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( + x ) ⇔ log ( x + ) = log (16 − x ) ⇔ x + = 16 − x x =  x = −6 ( l ) 16 − x = ( x + 1)  x + x − 12 =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ T = x1 − x2 = Chọn C  x − x − 20 = = + 2 x l ( ) − = − + 16 x x  ( )    x= −  2 Câu 29: 1  ⇔ log ( log8 x ) = log8 ( log x ) ⇔ log  log x  = log 3  ⇔ log x = 3 ( log x ) log x ⇔ log 32 x = 27 log x ⇔ log 22 x = 27 Chọn B log x = x = Câu 30: log 22 x − 5log x + = ⇔  ⇔ ⇒ x1 x2 = 32 Chọn B log x 4=  x 16 = log x = x = Câu 31: log 22 x − 3log 5.log x + = ⇔ log 22 x − 3log x + = ⇔  ⇔ log = x = x  Do suy P = x1 + x2 = Chọn B Câu 32: log 3 x.log x = ⇔ (1 + log x ) log x = ⇔ log 32 x + log x − = x = 28 log x = ⇔ ⇔ ⇒ x1 + x2 = Chọn B x = log x = −2  Câu 33: log 22 x − log x = ⇔ log 22 x − ( log x − ) = ⇔ log 22 x − log x − =  65 log x = −1  x = ⇔ ⇔ ⇒ x12 + x22 = Chọn D x = log x =   5.2 x −  5.2 x − = − x ⇔ = 23− x ⇔ 5.2 x − = + 24− x Câu 34: log  x  x 2 2 + +   2x = ⇔ 5.2 − 16.2 − 16 = ⇔  x ⇔ x = ⇒ P = x log2 x = Chọn C 2 = − (l )  2x x Câu 35: log ( x ) − log x = ⇔ + log x − = ⇔ log 22 x − log x = log x − log x =  x = nên phương trình có nghiệm Chọn C ⇔ ⇔ log x 2= x = log x = x = Câu 36: log 22 x − 5log x + = ⇔  ⇔ ⇒ x1 x2 = 32 Chọn D log x = =  x 16  log x = x = Câu 37: log 32 x − log ( x ) + = ⇔ log 32 x − log x = ⇔  ⇔ ⇒ S = Chọn D log x = = x  Câu 38: log x + log x.log 27 − =0 ⇔ log x + 3log x − =0 ⇒ A =log x1 + log x2 =−3 Chọn B Câu 39: log ( x − 1) log ( x +1 − ) =1 ⇔ log ( x − 1) log  ( x − 1)  =1 ⇔ log ( x − 1) 1 + log ( x − 1)  = ⇔ log 22 ( x − 1) + log ( x − 1) − =  x − =2  x = log log ( x − 1) = 15  x  ⇔ ⇔ ⇔ log + log = log Chọn C ⇒ x1 + x= x 2 − = 4  x = log −2 log ( − 1) =   Câu 40: log ( 3x + + ) =log 9 ( 3x + 1)  =2 + log ( 3x + 1) x 3 x + =  log 1 + = ( )  x ⇒ log 32 ( 3x + 1) + log ( 3x + 1) = ⇔  ⇔ ⇔ x = log Chọn A x 3 + = −3 log ( + 1) = 27  Câu 41: Xét f ( x ) = x − x − 1, x ∈  ⇒ f ' ( x ) = x ln − = ⇔ x = log (nghiệm nhất) ln  x = Chọn C Từ f ( x ) = có nhiều nghiệm mà f ( = ) f (= 1)  → f (= x) ⇔  x = Câu 42: Điều kiện x > x = 82 1    log x = PT ⇔ log  log x   log x   log x  = ⇔  ⇔ ⇒ x1 + x2 = Chọn A x = log x = −2 2     Câu 43: Điều kiện x > 0; x ≠ PT ⇔ log x + = ⇒ log 22 x − log x + = log x log x = x = ⇔ ⇒= T 1⇔ x= log x =   ( 2= ) 16 Chọn D Câu 44: PT ⇔ x − =32 ⇔ x =±4 Chọn B Câu 45: Điều kiện x > PT ⇔ (1 + log x )( + log x ) =4 ⇒ log x1 + log x2 =−3 ⇔ log ( x1 x2 ) =−3 ⇒ x1 x2 = Chọn C 27  x2 + 2x + = 3t Câu 46: Đặt log ( x + x + 1) =log ( x + x ) =t ⇒  ⇒ 3t =2t + t x + 2x = t t  2 1 ⇔   +   = ⇒ t = ⇒ log ( x + x ) = ⇔ x + x = ⇒ x1 + x2 = −2 Chọn C  3 3 Câu 47: Điều kiện x > log x = =  x 1=  x Chọn A PT ⇔  ⇔ ⇔ log 2 x − = x = − = )  x  3( Câu 48: Ta có f ' ( x ) = x ln − ln = ⇔ x ln − 3ln = ⇔ x = ⇔ x = log Chọn A  x2 + 4x > Câu 49: PT ⇔  ⇔x= Chọn C x + 4x = 2x + ( Câu 50: Xét f ( x ) = 26 + 15 ⇒ f ' ( x= ) ) x ( +2 7+4 ) x ( −2 2− ) x − 1, x ∈  ( 26 + 15 ) ln ( 26 + 15 ) + ( + ) ln ( + ) − ( − ) ln ( − ) > 0, ∀x ∈  x x x Từ f ( x ) = có nghiệm có nghiệm mà f ( = )  →= x ⇒= a Chọn B Câu 51: Điều kiện x > 1 1  PT ⇔ t = log x > ⇒ log t + log  t  = ⇔ log t − + log t = 2 2  ⇔ log t = ⇔ t = ⇒ log x = ⇔ x = 16 Chọn D Câu 52: Điều kiện x > 3 PT ⇔ ( log x ) + log x + −=  → 4t + t −= Chọn D 2 Câu 53: Điều kiện x > 1+ 13  1 ± 13 a = PT ⇔ log= x ⇒ ⇒ = ab Chọn C  1− 13 b =  Câu 54: Điều kiện x >  x = 27 82 log x = ⇔ PT ⇔ log 32 x − log x =−2 log x + ⇔  ⇒ x1 + x2 = Chọn C log x = −1  x =  Câu 55: Điều kiện x > 0; x ≠ log (16 x ) PT ⇔ log ( x + 3) + log ( x= − 1) log= ( 4x) 2 Chọn C 4x ( x + 3)( x − 1) = x = 2 ⇒ ( x + 3) ( x − 1) = 16 x ⇔  ⇒ −4 x = x − ( x + 3)( x − 1) = log x = log b x Câu 56: Ta có ( 3log a x − log b x )( log a x − 3log b x ) = 0⇒  a log a x = log x b3   13  a b3 = a = b 3 5 2 ⇒ ⇔  a = b ⇔ ( a − b )( a − b ) =0 ⇔ a + b =a b (1 + ab ) Chọn D    a = b Câu 57: Điều kiện x > 0; x ≠ PT ⇔ log x + log x + + log x 2018 = 2018 ⇒ 2.3 2018 = x 2018 ⇔ = x 2018 2018! Chọn B Câu 58: Điều kiện x > PT ⇔ log 22 x − log x ( + log x ) + log x = log x =  x = 16 Chọn B ⇔ log x ( log x − ) − log x ( log x − ) =0 ⇔  ⇔ = x x log log x = 