THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ 11: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC TƠ I Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với đơi chung điểm góc O Gọi i; j; k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng ( Oxy ) ; ( Oyz ) ; ( Oxz ) đôi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ 2 Chú ý: i; j; k vectơ đơn vị đơi vng góc nên i= j= k= i.= j j.= k k= i II Tọa độ, vectơ 1) Định nghĩa: Nếu u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y j + z.k 2) Các công thức vectơ Cho vectơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ) v = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta có: Tổng hiệu hai vectơ: u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) Tích vectơ với số: ku ( k x1 ; ky1 ; kz1 ) ( k ∈ ) = x1 = x2 Hai vectơ nhau: u =⇔ v y2 y1 = z = z = = = 0;0;0 ) ; i (1;0;0 Chú ý: (= ); k ) ; j ( 0;1;0 ( 0;0;1) x1 = k x2 x y z Hai vectơ u ; v phương với ⇔ u = kv ( k ≠ ) ⇔ y2 = ky2 ⇒ = = x2 y2 z2 z = kz (Với k > u ; v hướng; ngược lại k < u ; v ngược hướng) Tích vơ hướng vectơ kí hiệu: u v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = số x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = ⇒ Hai vectơ u ; v vng góc với ⇔ u ; v =⇔ Độ dài vectơ: u = x12 + y12 + z12 , v = x22 + y22 + z22 x B − x A= k ( xC − xB ) Điều kiện để điểm A, B, C thẳng hàng AB= k AC ⇔ yB − y A= k ( yC − y A ) k ( yB − y A ) A z B − z= Góc vectơ: cos u= ;v ( ) Chú ý: Khi u v > u.v = u.v x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 cos u ; v > ⇒ u ; v ( ) ( ) (với u ; v ≠ ) góc nhọn, ngược lại u v < cos u ; v < ⇒ u ; v góc tù ( ) ( ) III Tọa độ điểm 1) Định nghĩa: Điểm M ( x ; y ; z ) ⇔ OM =x.i + y j + z.k (trong x hoành độ, y tung độ z cao độ) 2) Tính chất: Cho điểm A ( x1 ; y1 ; z1 ) ; B ( x2 ; y2 ; z2 ) ta có: Vectơ AB có tọa độ là: AB = ( x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) ; vectơ BA =( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 ) Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB và: AB = AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) 2 x1 + x2 xM = y + y2 Trung điểm đoạn AB M có tọa độ là: yM = z1 + z2 zM = x + x y + y2 z1 + z2 Khi đó: M ; ; 2 Nếu C ( x3 ; y3 ; z3 ) x1 + x2 + x3 xG = y + y + y3 ABC tạo thành tam giác có trọng tâm G thì: yG = z1 + z2 + z3 zG = Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a = (1; 2;3) ; b = ( 0; −1;1) ; c = (1;5; ) a) Tìm tọa độ vectơ u = a + b − c v = 2a + 3b + c b) Tính a.b ; b.c a.c c) Tính cos a ; b cos b ; c ( ) ( ) Lời giải: a) Ta có: u = (1; 2;3) + ( 0; −1;1) − (1;5; ) = ( 0; −4; ) v = (1; 2;3) + ( 0; −1;1) + (1;5; ) = ( 2; 4;6 ) + ( 0; −3;3) + (1;5; ) = ( 3;6;11) b) Ta có: a b =0 − + =1; b c =−3; a c =17 a b b.c −3 −3 1 c) cos a= = b; c = ;b ; cos = = = + + + + 30 15 a.b b.c ( ) ( ) Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( 0;1; −2 ) ; B ( 2;1;0 ) ; C (1; 4;5 ) a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính cosin góc ABC d) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho MB = MC Lời giải: x A + xB + xC = xG = y + yB + yC a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có: yG= A = ⇒ G (1; 2;1) z A + z B + zC = zG = b) Để ABCD hình bình hành AB =DC ⇔ ( 2;0; ) =(1 − xD ; − yD ;5 − z D ) ⇒ D ( −1; 4;3) c) Ta có: BA = ( −2;0; −2 ) ; BC = ( −1;3;5) BA.BC −4 − 10 Suy cos= ABC cos BA = = = ; BC BA.BC + + + 25 70 ( ) d) Do điểm M ∈ Ox nên ta gọi M ( x;0;0 ) ta có MB =MC ⇔ MB =MC ⇔ ( x − ) + 12 + 02 = ( x − 1) + 42 + 52 ⇔ x − x + = x − x + 42 ⇔ x = 2 −37 37 Vậy M − ;0;0 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho a = ( 2; −5;3) ; b = ( 0; 2; −1) ; c = (1;7; ) ; d = ( 0; −17; −2 ) a) Tìm u =a − 4b − 2c b) Tìm m; n; p biết d = m.a + n.b + p.c Lời giải: a) Ta có: u =( 2; −5;3) − ( 0; 2; −1) − (1;7; ) =( 2; −5;3) − ( 0;8; −4 ) − ( 2;14; ) =( 0; −27;3) b) Ta có: d= m.a + n.b + p.c ⇔ ( 0; −17; −2 )= m ( 2; −5;3) + n ( 0; 2; −1) + p (1;7; ) = 2m + p = m ⇔ −5m + 2n + p =−17 ⇔ n =1 3m − n + p =−2 p =−2 Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ = u v phương ( x ; x − 3; ) và= v ( y ; − 4; 8) Tìm x y để u Lời giải: Để u v phương u = k v ⇔ ( x ; x − 3; ) = k ( y ; − 4; ) 1 = y x 4= k x = ky ⇔ 2 x − =−4k ⇔ 2 x − =−1 ⇔ x =1 2 8= y k k = Vậy= x 1;= y Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;5;3) ; B ( 3;7; ) ; C ( x ; y ;6 ) , tìm x, y để A, B, C thẳng hàng Ta có: AB =(1; 2;1) ; AC =( x − 2; y − 5;3) Lời giải: x−2 k = = k Để A, B, C thẳng hàng AC = k AB ⇔ y − = 2k ⇔ x = 3 k= y 11 = Vậy= x 5;= y 11 Ví dụ 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a = (1;log 5; m ) b = ( 3;log 3; ) Tìm m để a ⊥ b Lời giải: Để a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ + log 5.log + 4m = ⇔ + + 4m = ⇔ m = −1 Ví dụ 7: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ = a (2 ) 2; −1; a) Tìm vectơ b phương với a , biết b = 10 b) Tìm vectơ c phương với a , biết a c = 100 Lời giải: a) Vì b phương với a nên= b k= a (2 Lại có: b = 10 ⇔ 2.k ; −k ; 4k ) ( 2k ) + ( −k ) + 16k = 25k = 10 ⇔ k = ⇔ k = Do = b 2= a ( ; −2;8 ) b = −2 a = ( −4 ; 2; − 8) b) Vì c phương với a nên= c k= a ( 2 k ; − k ; 4k ) Khi a c = 8k + k + 16k = 25k = 100 ⇔ k = ⇒ c = ( ; − 4;16 ) 2 2 ±2 Ví dụ 8: Trong khơng gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho a ; b= 120° , biết ( ) = a 2; = b Tính a + b a − 2b 2 Ta có: a + b = ( Lời giải: 2 2 a + b = a + 2a b + b = + a b cos120° + 9= 13 + 12 cos120°= ) Do a + b =7 2 Lại có: a − b = ( a − 2b ) = 2 2 a − 4a b + b = − a b cos120° + 4.9= 40 − 24 cos120°= 52 Do đó: a − 2b = 52 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u =+ i ( m + 1) j + 2k Tìm giá trị m để u = Khi giá trị m bằng: m = A m = −2 B m = C m = D m = −2 Lời giải: Ta có:= u (1; m + 1; ) m = 2 suy u = 12 + ( m + 1) + 22 = ⇔ ( m + 1) = 1⇔ Chọn A m = −2 Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G Biết A (1; −1; −2 ) , B ( 2;1; −3) , G (1; −2; −3) Khi tọa độ điểm C : 8 A ; − ; − 3 3 B ( 0; −6; −4 ) C ( 4; −2; −8 ) D ( −1; −4; −1) Lời giải: xC= 3.1 − − 2= Giả sử C ( xC ; yC ; zC ) Khi đó: yC =3 ( −2 ) + − =−6 ⇒ C ( 0; −6; −4 ) Chọn B zC =3 ( −3) + + =−4 Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho = a ( 2; −1;10 ) , biết b chiều với a có a b = 10 Chọn phương án A b = ( −6;3;0 ) B b = C = b ( −4; 2;0 ) D = b ( 6; −3;0 ) ( 4; −2;0 ) Lời giải: Ta có: b = k a = ( 2k ; −k ;0 ) ( k > ) ⇒ k = a b = 4k + k = 10 ⇔ ⇒b= k = −2 ( L ) ( 4; −2;0 ) Chọn D Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1; 2; −1) ; B ( 2; −1;3) ; C ( −3;5;1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D ( −4;8; −3) B D ( −2; 2;5 ) C D ( −2;8; −3) D D ( −4;8; −5 ) Lời giải: Vì ABCD hình bình hành nên AB = DC ⇔ (1; −3; ) = ( −3 − xD ;5 − yD ;1 − z D ) ⇒ D ( −4;8; −3) Chọn A Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a =− ( 2; 1;0 ) ; b = (1; 2;3) ; c = ( 4; 2; −1) mệnh đề sau: (1) a ⊥ b (3) a phương với c (2) b c = (4) b = 14 Trong bốn mệnh đề có mệnh đề đúng? A B Ta có a b = − + = ⇒ a ⊥ b (1) +) b c = + − = ⇒ ( ) C Lời giải: D ≠ − ⇒ a không phương với c ( 3) sai +) b = 12 + 22 + 32 = 14 ⇒ ( ) Chọn C +) Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( −1; 2;3) Tìm tọa độ điểm M cho AM = BM 1 A M ; ; 2 C M ( −4;3;5 ) B M (1;3; ) D M ( 5;0; −1) Lời giải: Giả sử M ( a; b; c ) Ta có: AM = BM ⇔ ( a − 2; b − 1; c − 1)= ( a + 1; b − 2; c − 3) a − 2= ( a + 1) a = −4 ⇔ b − 1= ( b − ) ⇔ b= ⇒ M ( −4;3;5 ) Chọn C c = c − 1= ( c − 3) Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −1;1; ) ; N (1; 4;3) ; P ( 5;10;5 ) Khẳng định sau sai? A MN = 14 B Các điểm O, M, N, P thuộc mặt phẳng C Trung điểm NP I ( 3;7; ) D M, N, P ba đỉnh tam giác Lời giải: Ta có: MN ( 2;3;1) ; MP ( 6;9;3) suy MP = 3MN nên M, N, P thẳng hàng suy khẳng định D sai Các khẳng định lại Chọn D Ví dụ 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A (1; 2; −1) , B ( 3;0;3) Tìm tọa độ điểm C cho G ( 2; 2; ) trọng tâm tam giác ABC A C ( 2; 4; ) B C ( 0; 2; ) C C ( 8;10;10 ) D C ( −2; −4; −4 ) Lời giải: a= 3.2 − − 3= Giả sử C ( a; b; c ) Vì G trọng tâm ∆ABC nên b= 3.2 − − 0= ⇒ G ( 2; 4; ) Chọn A c= 3.2 − −1 − 3= ( ) Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A ( 0;0;0 ) , B ( 3;0;0 ) , D ( 0;3;0 ) D′ ( 0;3; −3) Tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’ là: A (1;1; −2 ) B ( 2;1; −1) C (1; 2; −1) D ( 2;1; −2 ) Lời giải: AA′ DD′ ( 0;0; −3) ⇒ A′ ( 0;0; −3) = Từ giả thiết ta có: AB ( 3;0;0 = → G ( 2;1; −2 ) Chọn D ) A′B′ ⇒ B′ ( 3;0; −3) = ) DC ⇒ C ( 3;3;0 ) AB ( 3;0;0 Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc hai vectơ a (1; 2; −2 ) b ( −1; −1;0 ) A a, b= 120° ( ) B a, b= 45° ( ) C a, b= 60° ( ) D a, b= 135° ( ) Lời giải: Gọi α góc hai vectơ Ta có: ( −1) + ( −1) + ( −2 ) −1 = ⇒α = −135° Chọn D cos α = 2 2 2 + + ( −2 ) ( −1) + ( −1) + Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; −1;3) , B ( 2; −3;5 ) , C ( −1; −2;6 ) Biết điểm M ( a; b; c ) thỏa mãn MA + MB − MC = , tính T = a − b + c A T = B T = C T = 11 D T = 10 Lời giải: Ta có: MA + MB − MC =⇔ MA + 2CB =⇔ MA = BC = ( −3;1;1) ⇒ M ( 7; −3;1) Suy T = a − b + c = 11 Chọn C Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) P (1; m − 1; ) Tìm m để tam giác MNP vng N A m = −6 B m = C m = −4 Lời giải: Ta có: NM ( 3; 2; −2 ) , NP ( 2; m − 2;1) Để tam giác MNP vng N NM NP = ⇔ 3.2 + ( m − ) + ( −2 ) = ⇔ m = Chọn B D m = Ví dụ 21: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A B thỏa mãn OA =3i − j − 4k AB = i − j Trung điểm I AB có tọa độ A I ( 2; −2; −2 ) 7 C I ; −3; −4 2 B I ( −2; 2; ) D I ( 7; −3; −4 ) Lời giải: Ta có: A ( 3; −2; −4 ) , OB = OA + AB = 4i − j − 4k suy B ( 4; −4; −4 ) 7 Do trung điểm AB là: I ; −3; −4 Chọn C 2 Ví dụ 22: Vectơ u = ( a; b; c ) có độ dài 2, tạo với vectơ a = (1;1;1) góc 30° , tạo với vectơ b = (1;1;0 ) góc 45° Tìm tất giá trị a A a = B a= ± C a = 2± D a= ± Lời giải: a+b+c Ta có: cos u= ;a = cos 30° ⇒ a + b= + c 3 ( ) c = a+b Lại có: cos u; b = = cos 45° ⇒ a + b = ⇒ 2 a + b = ( ) Mặt khác u = a + b + c = ⇔ a + ( − a ) + = ⇔ 2a − 4a + = ⇔ a = 2± Chọn C Ví dụ 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho a b tạo với góc 120° Biết rằng= a 4; = b 3, giá trị biểu thức A = a − b + a + b A A = 50 2 Ta có: a − b = B A = 50 ( C A = D.= A 37 + 13 Lời giải: 2 2 a − b = a − 2a.b + b = 16 − a b cos120° + 9= 37 2 Tương tự a + b = ) ( 2 2 a + b = a + 2a.b + b = 16 + a b cos120° + 9= 13 ) Do A = a − b + a + b = 37 + 13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ đỉnh A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2;0 ) , B′ ( −2;1;1) , D′ ( 3;5; ) Tọa độ điểm A′ là: A A′ ( −3;3;1) B A′ ( −3; −3;3) C A′ ( −3; −3; −3) D A′ ( −3;3;3) Lời giải: 1 1 Trung điểm AC O ; 2; 2 2 1 5 Trung điểm B’D’ O′ ;3; 2 2 Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên AA′ = OO′ ⇔ ( x A′ + 3; y A′ − 2; z A′ − 1) = ( 0;1; ) ⇔ A′ ( −3;3;3) Chọn D b Ví dụ 25: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ u vng góc với vectơ a = (1;1;1) = (1; −1;3) , u tạo với tia Oz góc tù u = Tọa độ vectơ u là: A ( 2; −1; −1) B ( −4; 2; ) C ( 4; −2; −2 ) D ( 2; 2; −4 ) Lời giải: (1) x + y + z = Gọi u = ( x; y; z ) ta có x − y + 3z = ( 2) x + y += z 2 6= 24 ( 3) Do u tạo với tia Oz góc tù nên u.k < ⇔ z < ( ) −z −2 z x + y = x = Từ (1) (2) ta có: vào (3) ta được: z + z + z = ⇒ 24 −3z y =z x − y = Với điều kiện z < ⇒ z =−2 ⇒ u =( 4; −2; −2 ) Chọn C Ví dụ 26: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; −1) ; B ( 2; −1;3) ; C ( −4;7;5 ) Gọi điểm D ( a; b; c ) chân đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Tính a + b + c A B 22 C Lời giải: Ta= có: AB = 26; BC 26 Theo tính chất đường phân giác ta có: BA DA DA = ⇔ = BC DC DC D 2 (1 − a ) =a + Do D nằm điểm A C nên DA = − DC =C D ⇔ 2 ( − b ) =− b 2 2 ( −1 − c ) = c − a = − 11 ⇔ b= ⇒ a + b + c= Chọn A c = Ví dụ 27: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2;3) ; B ( 5; −2; −1) Tìm tọa độ điểm M ( a; b; c ) thỏa mãn MA.MA = MB.MB Giá trị biểu thức a + b + c A B −2 C − D Lời giải: Ta có: MA.MA = MB.MB ⇒ MA2 MA= 16.MB MB ⇔ MA= 16 MB ⇒ MA = MB Theo đề ta dễ thấy hai vectơ MA; MB chiều 1 − xM = ( − xM ) Do MA =2 MB ⇒ 2 − yM =2 ( −2 − yM ) ⇒ M ( 9; −6; −5 ) ⇒ a + b + c =−2 Chọn B 3 − zM = ( −1 − zM ) Ví dụ 28: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; −1) , B ( 2;3; ) C ( 3;5; −2 ) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 5 A I ; 4;1 2 37 B I ; −7;0 27 C I − ;15; 3 D I 2; ; − 2 Lời giải: Nhận thấy AB (1;1;5 ) ; AC ( 2;3; −1) ⇒ AB AC = nên tam giác ABC vng A trung điểm 5 I ; 4;1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC Chọn A 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong cặp véc tơ sau, cặp véc tơ đối A a = (1; 2; −1) , b = ( −1; −2;1) B a = (1; 2; −1) , b = (1; 2; −1) C a = ( −1; −2;1) , b = ( −1; −2;1) D a = (1; 2; −1) , b = ( −1; −2;0 ) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a vng góc với b A a b = B a , b = C a + b = D a − b = 0 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để hai véc tơ a , b A a b = B a , b = C a + b = D a − b = 0 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để hai véc tơ a , b đối A a b = B a , b = C a + b = D a − b = 0 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a = ( −2;3; −1) Khi a + b có tọa độ (1; 2;3) , b = A ( −1;5; ) B ( 3; −1; ) C (1;5; ) D (1; −5; −2 ) Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a = (1; 2;3) , b = ( −2;3; −1) Kết luận sau đúng? A a + b =( −1;5; ) B a − b = ( 3; −1; −4 ) C b − a = ( 3; −1; ) D a b = Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 2;1; ) , B ( −2; 2;6 ) , C ( 6;0; −1) Khi AB AC A −67 B 27 mệnh đề sai? A a = B c = C 67 D −27 Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho véc tơ a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) Trong mệnh đề sau, C a ⊥ b D b ⊥ c Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; −4; ) , B ( −3; 2;1) , C ( 3; −1; ) Khi trọng tâm G tam giác ABC 7 1 7 1 C G ; −1; D G ; − ; 2 4 5 2 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ a thỏa mãn hệ thức a= 2i − 3k Bộ số tọa độ véc tơ a ? 7 1 A G ; −1; 3 3 B G ( 3; −9; 21) A ( 2;0; −3) B ( 2;0;3) C ( 2; −3;0 ) B ( 2;0;1) C ( 2;1;0 ) D ( 2;3;0 ) Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM= 2i + k Bộ số tọa độ điểm M? A ( 0; 2;1) D ( 0;1; ) Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;3; −2 ) B ( 4; −5; ) Tọa độ véc tơ AB A ( −3;8; −4 ) B ( 3; −8; ) C ( 3; 2; ) D ( −3; 2; ) Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; −3) , B ( 3; −2;1) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I ( 2;0; −1) B I ( 4;0; −2 ) C I ( 2;0; −4 ) D I ( 2; −2; −1) Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3; 2;1) , B ( −1;3; ) , C ( 2; 4; −3) Giá trị tích AB AC A 10 B −6 C −2 D Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm sau nằm trục Oz? A A (1;0;0 ) B A ( 0;1;0 ) C A ( 0;0; ) D A ( 2;1;0 ) Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm sau nằm mặt phẳng Oxy? A A (1; 2;3) B A ( 0;1; ) C A ( 0;0; ) D A ( 2;0;0 ) C mp (Oxy) D mp (Oyz) C mp (Oxy) D mp (Oyz) C mp (Oxy) D mp (Oyz) Câu 17: Điểm M ( −4;0;7 ) nằm A mp (Oxz) B trục Oy Câu 18: Điểm M ( −1; 2;0 ) nằm A mp (Oxz) B trục Oz Câu 19: Điểm M ( 0;1;7 ) nằm A mp (Oxz) B trục Ox Câu 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu A′ điểm A ( 3; 2;1) lên trục Ox có tọa độ A ( 3; 2;0 ) B ( 3;0;0 ) C ( 0;0;1) D ( 0; 2;0 ) Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A′ đối xứng với điểm A ( 3;5; −7 ) qua trục Ox Tọa độ điểm A′ A ( 3;0;0 ) B ( −3;5;7 ) C ( 3; −5; −7 ) D ( 3; −5;7 ) Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với M trung điểm cạnh BC A (1; −2;3) , B ( 3;0; ) , C ( −1; 4; −2 ) Tọa độ véc tơ AM C ( 0; 4; −3) D ( 0;8; −6 ) Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a = 4i + j + 6k b = 2i + j + ( m + 1) k với i, j , k véc tơ đơn vị m ∈ Để hai véc tơ a b phương m A ( 2; −2; ) B ( 0; −4;3) A B −4 C −2 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ= a D (m − 3;6; m ) b = 2i + j + k với i, j , k véc tơ đơn vị m ∈ Để hai véc tơ a b phương A m = m = −3 B m = m = D m = Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a= (1; −3; ) b =2i + m j + pk với i, j , k véc tơ đơn vị m, p ∈ Để hai véc tơ a b phương A m = 6, p = −8 B m = −6, p = −8 m = A m = −1 m = B m = −3 A 19 49 B 49 19 C m = −3 C.= D m = m 1,= p −6, p = Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a = ( m;1; m ) b = 4i + j + mk với i, j , k véc tơ đơn vị m ∈ Để hai véc tơ a b vng góc m = m = −3 C D m = −1 m = −1 Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a b tạo thành với góc 120° Biết = a 3,= b Khi a + b a − b C 19 D 19 Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc tơ a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) Mệnh đề sau đúng? A a + b + c = B a, b, c đồng phẳng C cos b, c = ( ) D a.b = Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( 0; 2; ) , C ( 4; 2;1) Tọa độ điểm D ∈ Ox thỏa mãn AD = BC A ( 0;0;0 ) , ( 6;0;0 ) B ( 2;0;0 ) , ( 6;0;0 ) C ( −3;0;0 ) , ( 3;0;0 ) D ( 0;0;0 ) , ( −6;0;0 ) Câu 30: Cho điểm M (1; −1;1) H ( 0;1; ) Tìm tọa độ điểm N cho đoạn thẳng MN nhận H làm trung điểm A N ( −1;3;3) B N ( −1;3; ) C N ( −1;3;6 ) D N ( −1;3;7 ) Câu 31: Cho a b có độ dài Biết góc a; b= 60° a + b ( ) A B ( C D 22 ) Câu 32: Cho A ( 3;1;0 ) , B −2; 4; Tọa độ M điểm trục tung cách A B A M ( 2;0;0 ) B M ( 0; −2;0 ) C M ( 0; 2;0 ) D M ( 0;0; ) Câu 33: Cho A ( −1; 2;3) , B ( 0;1; −3) Tọa độ điểm M thỏa mãn AM = BA A M ( 3; 4;9 ) B M ( −3; 4;15 ) C M (1;0; −9 ) D M ( −1;0;9 ) Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (1; 2; ) , N ( 2; −1;0 ) , P ( −2;3; −1) Tìm tọa độ điểm Q biết MQ = NP A Q ( −3;6;3) B Q ( 3; −6; −3) C Q ( −1; 2;1) 3 D Q − ; 2; 2 Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A ( −4;3;5 ) , B ( −3; 2;5 ) C ( 5; −3;8 ) Tính cos ABC A − 13 14 B 14 C 13 14 D − 14 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 2;1;1) , B ( 0;3; −1) , C (1;1; ) Mệnh đề sau đúng? A AB ⊥ AC B AB ⊥ BC C BC ⊥ AC D AB = AC Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ a = ( −2;1; −1) Tọa độ (1; 2;3) , b = ( 2; −1; ) , c = véc tơ m = 3a − 2b + c A ( −3;9; ) B ( 5;5;12 ) D ( −3;9; −4 ) Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a ( 4; −2; −4 ) , b ( 6; −3; ) ( 2a − 3b )( a + 2b ) C ( −3; −9; ) có giá trị A 200 B 200 C 2002 Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a = x; 2;1) , b ( 2;1; ) Tìm x biết cos ( a, b ) = (= D x = Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, góc tạo hai véc tơ a ( −4; 2; ) b 2; −2 2;0 A x = B x = D ±200 C x = ( A 45° B 90° C 135° ) D 60° Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;1;1) , B ( 0;3; −1) , C (1;1; ) Khi khẳng định sau nói tam giác ABC? A ∆ABC vuông A B ∆ABC vuông B C ∆ABC vuông C D ∆ABC Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( 0;3; −1) điểm C nằm mặt phẳng Oxy cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Điểm C có tọa độ A (1; 2;3) B (1; 2;1) C (1; 2;0 ) D (1;1;0 ) Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2; −3;5 ) , N ( 4;7; −9 ) , P ( 3; 2;1) , Q (1; −8;12 ) Bộ điểm sau thẳng hàng? A M, N, Q B M, N, P C M, P, Q D N, P, Q Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P ( x; −1; −1) , Q ( 3; −3;1) , biết PQ = 3, giá trị x là: A B −2 −4 C −4 D −2 Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;0;3) , B ( −1;3; −3) , điểm C ( 0; −2; ) Điểm D thỏa mãn hệ thức = DA DB + 3DC có tọa độ là? 3 A D 2;0; 4 3 B D −2;0; 4 3 C D 2;0; − 4 3 D D −2;0; − 4 Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba điểm A ( −3; 4; −2 ) , B ( −5;6; ) C ( −4;7; −1) Tọa độ điểm M thỏa mãn AM = AB + 3BC là: A M ( 4; −11;3) B M ( −4;11; −3) C M ( 4;11; −3) D M ( −4; −11;3) Câu 47: Cho ba điểm A ( −2;0; ) , B (1; 2;3) , C ( x; y − 3;7 ) Biết x;y giá trị để ba điểm A, B, C thẳng hàng Khi tổng x + y A 13 B 26 C D 24 Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) , P (1; m − 1; ) Với giá trị m tam giác MNP vng N? A m = B m = C m = D m = Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) Cho OABC hình bình hành thỏa mãn= OA a= , OB b Khi diện tích hình bình hành OABC bằng: A B C D Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (1;0;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 2;1;1) ABCD hình bình hành tọa độ D A D (1;1; ) B D ( 3;1;0 ) C D ( 3; −1;0 ) D D ( −1;1; ) Câu 51: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh 1, điểm A trùng với gốc tọa độ O, B nằm tia Ox, D nằm tia Oy A’ nằm tia Oz Kết luận sau sai? A A ( 0;0;0 ) B D′ ( 0;1;1) C C ′ (1;1;1) m = −1 A m = −9 m = B m = −9 m = C m = D A′ (1; −1; −1) Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ = b ( 2;1; −1) Biết a ( 3; −2;1) và= 3a + mb ( m ∈ ) Giá trị m để hai véctơ u v vng góc = u ma − 3b v = m = −1 D m = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có (1; 2; −1) =− ( −1; −2;1) ⇒ a =(1; 2; −1) , b =− ( 1; −2;1) đối Chọn A Câu 2: Để a vng góc với b a.b = Chọn A Câu 3: Để hai véc tơ a, b a − b = Chọn D Câu 4: Để hai véc tơ a, b đối a + b = Chọn C Câu 5: a + b = (1; 2;3) + ( −2;3; −1) = ( −1;5; ) Chọn A Câu 6: a + b = (1; 2;3) + ( −2;3; −1) = ( −1;5; ) Chọn A Câu 7: AB = ( −4;1; ) , AC = ( 4; −1; −5 ) ⇒ AB AC = ( −4 ) + ( −1) + ( −5 ) =−27 Chọn D Câu 8: Ta có b.c = ≠ ⇒ b.c khơng vng góc với Chọn D 7 1 Câu 9: Ta có G ; −1; Chọn A 3 3 Câu 10: = a ( 2;0; −3) Chọn A Câu 11: M ( 0; 2;1) Chọn A Câu 12: AB = ( 3; −8; ) Chọn B Câu 13: I ( 2;0; −1) Chọn A Câu 14: AB =( −4;1;1) , AC =( −1; 2; −4 ) ⇒ AB AC =2 Chọn D Câu 15: C ( 0;0; ) ∈ Oz Chọn C Câu 16: D ( 2;0;0 ) ∈ ( Oxy ) Chọn D Câu 17: M ( −4;0;7 ) ∈ ( Oxz ) Chọn A Câu 18: M ( −1; 2;0 ) ∈ ( Oxy ) Chọn C Câu 19: M ( 0;1;7 ) ∈ ( Oyz ) Chọn D Câu 20: A′ ( 3;0;0 ) Chọn B x A′ = x A − y A ⇒ A′ ( 3; −5;7 ) Chọn D Câu 21: Ta có y A′ = z = −z A A′ Câu 22: M (1; 2;0 ) ⇒ AM = ( 0; 4; −3) Chọn C a = ( 4;6;6 ) m +1 ⇒ = = ⇒ m = Chọn A Câu 23: Ta có = b ( 2;3; m + 1) m2 − m Câu 24: Ta có b = ( 2; 2;1) ⇒ = = ⇒ m = Chọn A 2 m p Câu 25: Ta có b = Chọn D ( 2; m; p ) ⇒ = = ⇒ m =−6; p = −3 m = −1 Câu 26: b = ( 4;3; m ) ⇒ a.b = 4m + + m = ⇔ Chọn D m = −3 2 Câu 27: a + b = a + b + 2a.b = + 25 + 2.3.5cos120° = 19 ⇒ a + b = 2 a − b = a + b − 2a.b = + 25 − 2.3.5cos120° = 49 ⇒ a − b = Câu 28: cos b,= c ( ) b.c = b.c = 19 Chọn D Chọn C Câu 29: Giả sử D ( a;0;0 ) a= ⇒ D ( 6;0;0 ) Chọn A Ta có AD = BC ⇔ ( a − 3) + 42 = 42 + 32 ⇔ a= ⇒ D ( 0;0;0 ) −1 x H − xM = xN = Câu 30: Ta có yN =2 yH − yM =3 ⇒ N ( −1;3;7 ) Chọn D z = 2z − z = H M N 2 2 2 2 Câu 31:Ta có: a + b = a + b = a + 2ab + b = a + a b cos 60° + b = ⇒ a + b = ( ) Chọn B Câu 32: Giả sử M ( 0; b;0 ) Ta có MA =MB ⇔ 32 + ( b − 1) =22 + ( b − ) + ⇔ b =2 ⇒ M ( 0; 2;0 ) Chọn C 2 Câu 33: Giả sử M ( x; y; z ) x + 1= ( −1 − ) x = −3 Ta có AM = BA ⇔ y − = ( − 1) ⇔ y = ⇒ M ( −3; 4;15 ) Chọn B z = 15 ( − ( −3) ) z − = x − =−4 MQ =( xQ − 1; yQ − 2; zQ − ) Q Câu 34: Ta có: ⇒ yQ − = ⇒ Q ( −3;6;3) Chọn A NP = − − 4; 4; ( ) zQ − =−1 AB= (1; −1;0 ) AB = AB + BC − AC 13 Câu 35: Ta có: AC =− Chọn A ⇒ = ⇒ = = − 9; 6;3 AC 14 cos ABC ( ) AB BC 14 = ( 8; −5;3) BC = BC AB = ( −2; 2; −2 ) Câu 36: Ta có: ⇒ AB AC = + − = ⇒ AB ⊥ AC Chọn A AC 1;0;1 = − ( ) Câu 37: m = ( 3;6;9 ) + ( −4; 2; −4 ) + ( −2;1; −1) = ( − − 2;6 + + 1;9 − − 1) = ( −3;9; ) Chọn A Câu 38: 2a − 3b a + 2b = 2a − 6b + a.b= 2.36 − 6.49 + ( 24 + − )= 200 Chọn A ( )( Câu 39: Ta có: = ) a.b 2x + + x ≥ −2 ⇔ = a.b x + 5.3 x + = ( x + 2) ⇔= x Chọn D −8 − a.b Câu 40: Ta có: cos a; b = = ⇒ a; b = 135° Chọn C 6.4 a.b ( ) ( ) AB = ( −2; 2; −2 ) AB = Câu 41: Ta có: AC = BC ⇒ AB ⊥ AC Chọn A ( −1;0;1) ⇒ AC =2 ⇒ AB + AC = BC = 14 BC= (1; −2;3) AC = ( a − 2; b − 1; −1) Câu 42: C ( a; b;0 ) ⇒ ( −2; 2; −2 ) AB = a − =−2k a = → = ⇒ C (1; 2;0 ) Chọn C AC kAB ⇔ = b − 2k ⇒ = b −1 =−2k = MN ( 2;10; −14 ) Câu 43: Ta có: ⇒ MN = −2 MQ ⇒ M, N, Q thẳng hàng Chọn A MQ = ( −1; −5;7 ) Câu 44: PQ = ( − x; −2; ) ⇒ PQ = x = Chọn A +8 =3 ⇔ x = Câu 45: Gọi D ( x; y; z ) ⇒ DA = ( − x; − y;3 − z ) ; DB = ( −1 − x;3 − y; −3 − z ) (3 − x ) 2 − x= ( −1 − x ) + ( − x ) = y = x 2; Và DC = ( − x; −2 − y; − z ) Yêu cầu toán ⇔ −= y ( − y ) + ( −2 − y ) ⇔ z = 3 − z= ( − z ) + ( − z ) 3 Vậy D 2;0; Chọn A 4 Câu 46: AB = ( −2; 2; ) , BC = (1;1; −3) ⇒ AB + 3BC = ( −1;7; −1) = Lại có AM x + =−1 x =−4 →y= − ⇔= ( x + 3; y − 4; z + ) y 11 Vậy M ( −4;11; −3) Chọn B z + =−1 z =−3 Câu 47: AB =( 3; 2;1) , AC =( x + 2; y − 3;5 ) x = 13 x + y −3 Để A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = Chọn B = =⇒ k AC ⇔ y = 13 Câu 48: MN =( −3; −2; ) , PN =( −2; − m; −1) Yêu cầu toán ⇔ MN PN = ⇔ − ( − m ) − = ⇔ m = Chọn D Câu 49: OA = ( −1;1;0 ) , OB = (1;1;0 ) ⇒ OA.OB = = OA.OB Chọn A Câu 50: Để ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC = ( −1;0;1) ⇒ D ( 3;1;0 ) Chọn B Suy diện tích tam giác OAB = S ∆OAB Câu 51: Do AA′ = A ≡ O ( 0;0;0 ) , điểm A’ nằm tia Oz ⇒ A′ ( 0;0;1) Tương tự ta có: B ( 0;1;0 ) , C (1;1;0 ) ; D ( 0;1;0 ) Mặt khác AA =′ BB =′ CC =′ DD =′ ( 0;0;1) ⇒ D′ ( 0;1;1) C ′ (1;1;1) Khẳng định sai D Chọn D Câu = 52: a = 14; b a.b = − − = Để hai véctơ u v vng góc u.v = ma − 3b 3a + mb = ( )( ) 2 2 ⇔ 3ma + ( m − ) a.b − 3mb =0 ⇔ 42m + ( m − ) − 18m =0 ⇔ 3m + 24m − 27 =0 m = ⇔ Chọn B m = −9 ... cos120° + 9= 13 + 12 cos120°= ) Do a + b =7 2 Lại có: a − b = ( a − 2b ) = 2 2 a − 4a b + b = − a b cos120° + 4.9= 40 − 24 cos120°= 52 Do đó: a − 2b = 52 Ví dụ... k= a (2 Lại có: b = 10 ⇔ 2.k ; −k ; 4k ) ( 2k ) + ( −k ) + 16k = 25k = 10 ⇔ k = ⇔ k = Do = b 2= a ( ; −2;8 ) b = −2 a = ( −4 ; 2; − 8) b) Vì c phương với a nên= c k= a ( 2 ... −1;3;5) BA.BC −4 − 10 Suy cos= ABC cos BA = = = ; BC BA.BC + + + 25 70 ( ) d) Do điểm M ∈ Ox nên ta gọi M ( x;0;0 ) ta có MB =MC ⇔ MB =MC ⇔ ( x − ) + 12 + 02 = ( x − 1) + 42
Ngày đăng: 13/10/2022, 10:46
Xem thêm:
