THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa: Vectơ không gian đoạn thằng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ cịn kí hiệu a , b , c ,… Các quy tắc vectơ Quy tắc điểm: AC = AB + BC AC = BC − BA Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta có: AC = AB + AD Quy tắc trung điểm: Nếu M trung điểm AB MA + MB = Quy tắc trung tuyến: Nếu AP trung tuyến tam giác ABC thì= AP AB + AC BA + BC = BN Tương tự hình bên ta có: 2CM CB + CA = ( ) Quy tắc trọng tâm: Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Khi với điểm M ta có: MA + MB + MC = 3MG Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ AB + AD + AA ' = AC ' Chứng minh: Ta có: ACC’A’ hình bình hành nên AC =' AC + AA ' Tương tự: AC = AB + AD suy AC ' = AB + AD + AA ' Chú ý: Nếu G tâm tứ diện ABCD, ta có: GA + GB + GC + GD = Sự đồng phẳng vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng a b phương tồn số m, n cho= c m.a + n.b Định lí 2: Nếu a , b , c ba vectơ không đồng phẳng với vectơ d khơng gian, ta tìm số m, n, p cho Tích vơ hướng vectơ Góc vectơ a b khác định nghĩa góc AOB với OA = a ; OB = b Nếu a b ta quy ước góc chúng nhận giá trị tùy ý Tích vơ hướng vectơ a b số, kí hiệu a.b xác định a.b = a b cos a; b từ suy cosin góc vectơ a b ( ) a.b cos a; b = a.b ( ) Đặc biệt a ⊥ b ⇔ cos a; b = ⇔ a.b = ( ) Tính chất: Cho vectơ a , b , c số thực k Khi ta có: i) a.b = b.a ii) a b + c = a.b + a.c ( iii) = k a b k a.b + a kb ( ) ) 2 iv) a = a ( ) ( ) Vectơ phương đường thằng: Vectơ a ≠ gọi vectơ phương đường thằng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ phương a đường thẳng d Ứng dụng tích vơ hướng Tính độ dài đoạn thẳng AB: = AB AB = AB a.b Xác định góc hai vectơ: cos a; b = a.b ( ) II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh đằng thức vectơ, chứng minh vectơ đồng phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng cách: • Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai số m n cho= c m.a + n.b vectơ a , b , c đồng phẳng Để biểu diễn vectơ x theo vectơ a , b , c khơng đồng phẳng ta tìm số m, n, p cho x = m.a + n.b + p.c • Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD a) Hãy biểu diễn vectơ IJ theo vectơ AB , AC , AD b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Hãy biểu diễn vectơ AG theo vectơ AB , AC , AD Lời giải a) Ta có: = IJ − AI = − AB ( IA + AJ ) , mặt khác IA = = AJ AC + AD (tính chất trung điểm) Do IJ = − AB + AC + AD 2 AB = AG + GB b) Ta có: AC = AG + GC cộng vế theo vế ta được: = AG + GD AD 3AG + GB + GC + GD = AB + AC + AD ( ) AB + AC + AD Mặt khác GB + GC + GD = (do G trọng tâm tam giác BCD) Do AG = Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N thuộc AD BC cho AM = 3MD , NB = −3 NC Biết AB = a , CD = b a) Hãy biểu diễn vectơ MN theo a b b) Gọi P Q trun điểm AD BC Chứng minh ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng c) Gọi G trung điểm PQ, chứng minh G trọng tâm tứ diện ABCD a) Ta có: MN = MD + DC + CN (1) Lại có: MN = MA + AB + BN ( ) Lấy ( ) + (1) ta MN = AB + 3DC Lời giải Do MN = a− b 4 MN = MP + PQ + QN b) Ta có: ⇒ MN = PQ + DC MN = MD + DC + CN Suy ra= MN PQ + DC ⇒ ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng GA + GD = 2GP c) Theo tính chất trung điểm ta có: ⇒ GA + GB + GC + GD= GP + GQ 2GQ GB + GC = Mặt khác GP + GQ =⇒ GA + GB + GC + GD = ⇒ G trọng tâm tứ diện ABCD ( ) ( ) Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có AA ' = a , AB = b , AC = c Gọi I J trung điểm BB' A'C', điểm K thuộc B'C cho KC ' = −2 KB ' a) Hãy biểu thị vectơ B ' C ; CI BJ qua vectơ a , b , c b) Biểu thị vectơ AK theo vectơ AI AJ từ suy vectơ AK , AI , AJ đồng phẳng Lời giải a) Ta có: B = ' C B ' C ' + B ' B (theo quy tắc hình bình hành) Suy B ' C = BC + A ' A = AC − AB − AA ' = c − b − a Lại có: CI = CB + BI = AB − AC + BB ' = b − c + a 2 ( ) Mặtkhác: c BJ =BA + AA ' + A ' J =− AB + A 'C' =−b + a + AC =−b + a + 2 b) Ta có: AK = AI + IB ' + B ' K (1) AK = AJ + JC ' + C ' K ( ) Lấy (1) + ( ) ta được: AK = AI + AJ + IB ' + JC ' + 2 B ' K + C ' K = AI + AJ + BB ' + A ' J = AI + AJ + AJ Vậy= AK AI + AJ ( ) Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Đặt BA = a , BB ' = b , BC = c Gọi M N hai điểm nằm AC DC’ cho MN//BD’ Tính tỷ số MN BD ' Lời giải Giả sử: MC = n AC , C ' N = mC ' D Ta có: BD ' = BD + DD ' = BA + BC + DD ' = a+b+c Lại có: MN= MC + CC ' + C 'N= n AC + b + mC ' D = n BC − BA + b + m C ' C + CD = ( ) ( n ( c − a ) + b + m ( −b + a )= ) ( m − n ) a + (1 − m ) b + nc Khi MN / / BD ' ⇒ MN = k BD ' m= m − n 1− m n MN k⇔ k= = = = ⇒ = 1 B'D' n = Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABB'A' K giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCC'A Biểu thị vectơ BD theo vectơ IK C ' B ' từ suy ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Ta có: BD = BC + CD = −C ' B + AD − AC ( Lời giải ) = −C ' B ' + B ' C ' − IK (vì AC = IK ) Suy BD = −2C ' B ' − IK Do ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Ví dụ 6: Trong không gian cho tam giác ABC Chứng minh có điểm O khơng gian cho OM = xOA + yOB + zOC , đồng thời , x + y + z = điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) Lời giải Ta có: OM = xOA + yOB + zOC ⇔ ( x + y + z ) OM = xOA + yOB + zOC ⇔ xMA + yMB + zMC = Nếu x= ⇒⇔ yMB + zMC= ⇒ M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng − y z Nếu x ≠ ⇒ = MA MB − MC ⇒ A, B, C, M đồng phẳng x x Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi P P trung điểm cạnh AB CD Trên cạnh AB CD lấy điểm M, N cho PN đồng phẳng AM BN = = k ( k > ) Chứng minh vectơ PQ , PM , AC BD Lời giải AC − AP + BD − BP Ta có: PQ= PC + PD = 2 AM + BN = AC + BD − AP + BP = 2 k AM = AP + PM Lại có: nên = PQ PM + PN 2k = BP + PN BN ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) (Do AP + BP = 0) Do = PQ PM + PN ⇒ M, N, P, Q đồng phẳng 2k ( ) Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, góc hai vectơ, chứng minh đường thẳng vng góc Phương pháp giải: • Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: = AB AB = AB , để tính độ dài vectơ u ta 2 sử dung cơng thức u = u • a.b Để tính góc vectơ ta sử dụng công thức: cos a; b = a.b • Để chứng minh đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng minh: AB.CD = ( ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc hai vectơ AB SC Lời giải Do SB = SC = a; BC = a ⇒ ∆SBC vuông cân S Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: AB = SB − SA Ta có: AB.SC = SB − SA SC = SB.SC − SA.SC ( ) a2 = a cos 900 − a cos 600 = − 2 − a AB.SC = −1 Do cos AB; SC = = AB.SC a.a AB; SC = 1200 ( ( ) ) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB.CD + AC.DB + AD.BC = b) Từ đẳng thức suy tứ diện ABCD có AB ⊥ CD AC ⊥ DB AD ⊥ BC Lời giải a) Lấy điểm A làm điểm gốc Ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC AB AD − AC + AC AB − AD + AD AC − AB = ( ( ) ( ) ) b) Do AB.CD + AC.DB + AD.BC = AB.CD = AB ⊥ CD Mặt khác: ⇔ ⇒ AD.BC = AC ⊥ DB AC.DB = Do AD ⊥ BC Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900 Chứng minh rằng: a) AB ⊥ CD b) Nếu I J trung điểm AB CD IJ ⊥ AB Lời giải a) Lấy điểm A điểm gốc ta có = AB.CD AB AD − AC ( ) = AB AD − AB AC = a cos 600 − a cos 600 =⇒ AB ⊥ CD b) Ta có: IJ =+ IA AJ = − AB + AC + AD 2 Do IJ AB =− AB + AC + AD AB ( ) ( ( ( ( ) ) ) = − − AB + AC AB + AD AB 2 = − −a + a cos 600 + a cos 600 =⇒ IJ ⊥ AB ) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC , SB ⊥ AC SC ⊥ AB Lời giải Giả sử ASB = BSC = CSA = α SA = SB = SC = a Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: = SA.BC SA SC − SB ( ) = SA.SC − SA= SB a cos α − a cos = α Tương tự chứng ta có SB ⊥ AC SC ⊥ AB Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi P Q trung điểm AB CD Biết AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Chứng minh AB PQ vng góc với Lời giải AB AC = Ta có: AB ⊥ AC , AB ⊥ BD ⇒ AB.BD = Lại có: PQ =+ PA AQ = − AB + AC + AD 2 ( ) Do AB.PQ = AB − AB + AC + AD AB AB AD AB AB = + = AD − AB = BD = 2 2 ( ( ) ) Do AB ⊥ PQ Ví dụ 6: Trong không gian cho vectơ a b tạo với góc 1200 Biết a = b = Tính a + b a − b 2 Ta có: a + b = a + b ( ) Lời giải 2 2 = a + 2a.b + b = a + a b cos a; b + b = 32 + 2.3.5.cos1200 + 52 = 19 ( ) Do a + b =19 2 Lại có: a − b = a − b ( Do a − b = ) 2 2 = a − 2a.b + b = a − a b cos a; b + b = 32 − 2.3.5.cos1200 + 52 = 49 ( ) Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc hai vectơ AC DA' Lời giải Ta có: AC = AB + AD DA ' = DA + DD ' = − AD + AA ' Đặt AB =⇒ a AC = a 2= DA ' Mặt khác AC '.DA ' = AB + AD − AD ' + AA ' = − AD = −a ( )( ) −a Suy cos AC ; DA ' = = − ⇒ AC ; DA ' = −1200 2a ( ) ( ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Xét vectơ = x 2a − b , y = −3b − 2c Chọn khẳng định dúng? −4a + 2b ; z = A Hai vectơ y , z phương B Hai vectơ x , y phương, C Hai vectơ x , z phương D Ba vectơ x , y , z đồng phẳng Câu 2: Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Xét vectơ = −3b − 2c Chọn x 2a + b , y= a − b , z = khẳng định đúng? A Ba vectơ x , y , z đồng phẳng C Hai vectơ x , b phương B Hai vectơ x , a phương D Ba vectơ x , y , z đôi phương Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 = a , AB = b , AC = c , BC = d , đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A a + b + c + d = B a + b + c = d C b − c + d = D a= b + c Câu 4: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A AC1 + A1C = B AC1 + CA1 + 2CC1 = D CA1 + AC = AC C AC1 + A1C = AA1 CC1 Câu 5: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình hình hành D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Câu 6: Trong không gian cho điềm O bốn điểm A, B, B, c, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, c, D tạo thành hình bình hành là: A OA + OB = OC + OD 2 C OA + OC = OB + OD B OA + OC = OB + OD 2 D OA + OC + OB + OD = Câu 7: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M, N cho AM = 3MD, BN = 3NC Gọi P, Q trung điểm cùa AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Các vectơ BD, AC , MN không đồng phẳng C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng Câu 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: A AD + CD + BC + DA = a B AB AC = C AC AD = AC.CD D AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = Câu 9: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A TỪ AB = AC ta suy BA = −3CA B Nếu AB = BC B trung điểm đoạn AC C Vì AB = −2 AC + AD nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng D Tìr AB = −3 AC ta suy BC = AC Câu 10: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD G trung điểm MN Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A MA + MB + MC + MD = MG C GA + GB + GC + GD = B GA + GB + GC = GD D GM + GN = Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi G điểm thòa mãn: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? GS + GA + GB + GC + GD = A G, s, O không thẳng hàng B GS = 4OG C GS = 5OG D GS = 3OG Câu 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C’ có AA ' = a , AB = b , AC = c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC ' qua vectơ a , b , c B BC ' =−a + b − c C BC ' =−a − b + c D BC ' = a − b + c A BC ' = a + b − c Câu 13: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:= MN k AC + BD ( A k = B k = ) Câu 14: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có B ' C qua vectơ ã,b, C A B ' C = a + b − c B B ' C =−a + b + c C k = D k = AA ' = a , AB = b , AC = c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ C B ' C = a + b + c D B ' C =−a − b + c Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm cùa AC BD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu SA + SB + SC + SD = SO ABCD hình thang B Nếu ABCD hình bình hành SA + SB + SC + SD = SO C Nếu ABCD hình thang SA + SB + SC + SD = SO D Nếu SA + SB + SC + SD = SO ABCD hình bình hành Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A'B’C'D' có tâm O Đặt AB = a , BC = b M điểm xác định OM = a − b Khẳng định sau đúng? ( ) A M trung diểm BB’ B M tâm hình bình hành BCC'B' C M tâm hình bình hành ABB’A ’ D M trung điểm CC' Câu 17: Gọi M, N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: PI= k PA + PB + PC + PD ( ) A k = B k = C k = D k = Câu 18: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn đẳng thức sai? A BC + BA = B1C1 + B1 A1 B AD + D1C1 + D1 A1 = DC D BA + DD1 + BD1 = C BC + BA + BB1 = BD1 BC Câu 19: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng? A.= PQ BC + AD ( ) B.= PQ BC + AD ( ) C.= PQ BC − AD ( ) D PQ = BC + AD Câu 20: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , AC = c , AD = d Khẳng định sau đúng? A MP= c+d +b ( ) B MP d +c −b = ( ) C MP= c+b−d ( ) D MP= c + d −b ( ) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tacó: y = −2 2a − b = −2 x vectơ x , y phương Chọn B ( Câu 2: Ta có: x= 2a + b= ) ( a − b − c ) − ( −3b − 2c )= 2y − z Do vectơ x , y , z đồng phẳng Chọn A Câu 3: Ta có b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = Chọn C Câu 4: Ta có: AC1 + A1C = AA1 + A1C + A1C = AA1 + A1C Mặt khác A1C ≠ dó đẳng thức câu C sai Chọn C Câu 5: Ta có: SB + SD = SA + SC ⇔ SB − SA = SC − SD ⇔ AB = DC Do dó ABCD hình bình hành Chọn C Câu 6: A, B, C, D tạo thành hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ AO + OB = DO + OC ⇔ OB − DO = OC − AO ⇔ OB + OD = OC + OA Chọn C Câu 7: Các vectơ AB, DC , PQ không đồng phẳng nên C sai Chọn C Câu 8: Ta có AD ≠ CD ⇒ AC AD ≠ AC.CD Chọn C Câu 9: Vì AB = −2 AC + AD nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Chọn C Câu 10: Do G trung điểm cùa MN nên GA + GB + GC + GD = ⇒ MA − MG + MB − MG + MC − MG + MD − MG = ⇔ MA + MB + MC + MD = MG Chọn A ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 11: GS + GA + GB + GC + GD =0 ⇔ GS + 2GO =2GO =0 ⇔ GS =4GO Chọn B Câu 12: BC ' = BC + CC ' = BA + AC + CC ' = AA ' − AB + AC = a − b + c Chọn D Câu 13: MN = MC + CN = MA + AC + CN = − AB + CD + AC 2 ⇒ MN = − AC + CB + CB + BD + AC = AC + BD → MN = k AC + BD ⇔ k = Chọn D 2 2 Câu 14: B ' C = B ' C ' + C ' C =− BC CC ' =+ BA AC − CC ' = − AA ' − AB + AC = −a − b + c Chọn D ( ) ( ) ( Câu 15: Dựa váo đáp án, ta có nhận xét sau: ) ( ) SA + SC = SO • ABCD hình bình hành O trung điểm AC BD, SO SB + SD = ⇒ SA + SB + SC + SD = SO điều ngược lại • Tương tự, SA + SB + SC + SD = SO ABCD hình thang điều ngược lại khơng Chọn C Câu 16: Ta có a − b = AB − BC = AB + CB = − BA + BC = − BD =DB 2 2 2 ( ( ) ) ( ) ( ) OM / / BD Mặt khác OM = Mà O trung điểm DB’ suy M trung a − b ⇒ OM = DB ⇒ 2 OM = BD ( ) điểm BB’ Chọn A Câu 17: Vì I trung điểm MN ⇒ IM + IN = Ta có PA + PB + PC + PD = PI + IA + IB + IC = PI + IM + IN = PI Khi PI = PA + PB + PC + PD ⇔ PI = k PA + PB + PC + PD ⇒ k = Chọn C ( ) Câu 18: Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: • BC + BA = B1C1 + B1 A1 • AD + D1C1 + D1 A1 = AD + DC + DA = DC • BC + BA + BB1 = BD + BB1 = BB1 + B1 D1 = BD1 • BA + DD1 + BD1 =BA + AA1 + BD1 =BA1 + BD1 Chọn D Câu 19: Ta có PQ = PC + CQ = PB + BC + CD = AB + BC + CD 2 ⇒ PQ= AD + DB + BC + CB + BD= AD − BD + BC − BC + BD= AD + BC 2 2 2 ( ) ( ) ( Chọn B Câu 20: Ta có MP = AP − AM = AC + AD − AB = c + d − b Chọn D 2 ( ) ( ) ) ... Do ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Ví dụ 6: Trong không gian cho tam giác ABC Chứng minh có điểm O khơng gian cho OM = xOA + yOB + zOC , đồng thời ,... AB AB AD AB AB = + = AD − AB = BD = 2 2 ( ( ) ) Do AB ⊥ PQ Ví dụ 6: Trong không gian cho vectơ a b tạo với góc 1200 Biết a = b = Tính a + b a − b 2 Ta có:... giác ABCD hình hình hành D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Câu 6: Trong không gian cho điềm O bốn điểm A, B, B, c, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, c, D tạo thành
Ngày đăng: 13/10/2022, 10:46
Xem thêm: