bat phuong trinh logarit chua tham so

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT CHỨA THAM SỐ f (x, m)  f(x, m)  có nghiệm D ? Bài tốn Tìm m để bất phương trình PHƯƠNG PHÁP Bước Tách tham số m khỏi x và đưa BPT về dạng A( m)  f ( x) hoặc A(m)  f ( x) Bước Khảo sát biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm y  f  x Lưu ý: Cho hàm số xác định và liên tục D max f ( x) f ( x) Trong trường hợp tồn tại xD và xD thì ta có: D  A(m)  max f ( x) xD  Bất phương trình A( m)  f ( x) có nghiệm D  A(m)  f ( x) xD  Bất phương trình A( m)  f ( x) có nghiệm x  D  A(m)  f ( x) xD  Bất phương trình A( m)  f ( x) nghiệm đúng x  D  A(m)  max f ( x) xD  Bất phương trình A( m)  f ( x) nghiệm đúng Nếu f ( x)  ax  bx  c  a   thì a  f ( x )  0, x  ¡     Câu a  f ( x )  0, x  ¡     Có giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log (7 x  7)  log ( mx  x  m) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x ? A B C Vô số D Lời giải Chọn B  mx  x  m  0, x  ¡  2 7 x   mx  x  m, x  ¡  Yêu cầu bài toán thỏa mãn     f  x   mx  x  m  0, x  ¡    g  x     m  x  x   m  0, x  ¡   Ta thấy m  ; m  không thỏa mãn điều kiện đề bài Với m  và m  Khi đó ta có: m   m    m  2        m     m   m  (1) 7  m           m  m   m  m     m  14m  45     m   m  (2) CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Câu BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- m   3;4;5 Từ (1) và (2) suy  m  Do m  ¢ nên Tìm m để bất phương trình log 2 x  2(m  1) log x   có nghiệm x  ( 2; )   m    ;0    B A m  (0; )   m    ;     C Lời giải D m  (; 0) Chọn C   log x   2(m  1) log x   Ta có log 2 x  2( m  1) log x    1  x  ( 2; )  t   ;   t  log x Do 2  Đặt   Khi đó  1 t   1 t  trở thành 2  2(m  1)t   t 1 m   2t 2t (1) 1  t f  t    ;   2t liên tục Xét hàm 1 1  f   t     0, t   ;   f  t   f 2t    12 ;    Ta có f  t   m 1  1  t   ;    ;    2  Khi đó (1) đúng với mọi Câu f  t  1  m Có tất giá trị nguyên thuộc   log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m A 99   B 98  100;100 1    2  m của tham số m để bất phương trình  ;0  nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ? 100 101 C D Lời giải Chọn C x  log   1  m0  m   Điều kiện:  Ta có   log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m  log  3x  1  m   f  x   log  x f ' x  Xét hàm số Ta có Suy hàm số đồng biến tập xác định Trang x ln  x  ¡   1 ln x TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  ;0  Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc m   nên Do m nguyên và thuộc đoạn  m Có tất giá trị nguyên dương của tham số để bất phương trình 100;100 Câu m   1;2;3;4; ;100 log 22 x   m  log8 x  1  16;   ? có nghiệm đúng với mọi x thuộc B C D Lời giải A Chọn C x  x    log x   log x  2log x   Điều kiện xác định:  x   0 x     log x      log x  3 x   Ta có : Do x   16;   Suy Đặt log 22 x   m  log x  1  log 22 x  2log x   m  log x  1  *  *  nên log x   log x   log 22 x  2log x  m log x  t  log x Do x   16;   nên t   4;   Bất phương trình  * t  2t   m t   4;   t 1 trở thành t  2t  f  t  t   4;   t 1 Xét hàm với  2t f ' t    0, t   4;   2 t  2t   t  1 Ta có Suy hàm số f  t nghịch biến khoảng Bảng biến thiên của hàm f  t  4;   sau: CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình cho nghiệm đúng với mọi x thuộc  16;   Câu m  Do m  ¥  m  * Có tất giá trị nguyên thuộc x  x   2m log 4 A Chọn A 4 x  10;10  của tham số m để bất phương trình có nghiệm? B C D x  x   0 x4    x   4   x  Điều kiện xác định:  log 4 Ta thấy  x     x      x  Suy Khi đó bất phương trình x  x   2m log 4  4 x  2m 4 x 20 x  x4 2.log 4 4 x   x  x  log   x f  x   x  x  log   x 0;4 Xét hàm liên tục  m     Ta có     1  1 f ' x     log   x  x  x   x   0;4   2 x x4  2  x   x ln Suy hàm số y  f  x đồng biến    0;4 Để bất phương trình cho có nghiệm thì m   10;10  nên m   2;3; ;9 Do m nguyên và thuộc khoảng Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC m   2;3; ;9 Vậy có giá trị m nguyên cần tìm là : Câu Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có giá trị nguyên  1;3 ? của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng A 35 B 33 C 33 D 36 Lời giải Chọn D  x  x   m  m   x  x  Bpt    2  log   x  x     log  x  x   m  6 x  x   m f  x    x2  x   1;3 Xét hàm liên tục đoạn f   x   2 x   0, x   1;3  f  x   1;3 Ta có nghịch biến đoạn  max f  x   f  1  12  1;3 g  x   x  8x   1;3 Xét hàm liên tục đoạn g   x   12 x   0, x   1;3  g  x   1;3 Ta có đồng biến khoảng  g  x   g  1  23  1;3 m  max f  x   1;3  m   x  x    g  x m  x   1;3  6x  8x   m   1;3  Yêu cầu bài toán thỏa mãn với mọi m   12; 11;  10; ;22; 23 Khi đó ta có 12  m  23 Mà m  ¢ nên Vậy có tất 36 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu Tìm tấtt giá trị của tham số m để bất phương trình 4log 22 x  2log x  m  có  0;1 nghiệm với mọi x thuộc khoảng  1 m   0;   4 A 1  m   ;  4  B C Lời giải m   ;0  1   ;    D Chọn D Điều kiện: x  4log 22 x  2log x  m  Ta có Đặt   log x   log x  m  t  log x , x   0;1  t   ;0  Bất phương trình trở thành t  t  m   m  t  t Xét hàm Ta có f  t   t  t với t   ;0  f   t   2t  f   t    t   , CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- Bảng biến thiên của hàm f  t   t  t sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt thỏa mãn Câu m    ln  ln x   ln mx  x  m Có số nguyên m cho bất phương trình nghiệm là ¡ ? A B C  có tập D Lời giải Chọn A Ta thấy x   0, x  ¡ Ta có        ln  ln x   ln mx  x  m  ln x   ln mx  x  m   5x2  x   f  x m   5 x   x  m x  x2  2   5 x   mx  x  m    m   x  g  x   2 m x    x   mx  x  m  x2      Hàm số f  x có bảng biến thiên sau: Hàm số g  x có bảng biến thiên sau:   Từ bảng biến thiên suy bất phương trình có tập nghiệm là ¡  m  Vậy có giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu Trang  log  x  1  log  mx  x  m  Số giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x là A B C D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: mx  x  m  TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  log  x  1  log  mx  x  m   log 3  x  1  log  mx  x  m  Ta có:   x  1  mx  x  m    m  x  x   m  Ta thấy m  ; m  không thỏa mãn điều kiện đề bài Với m  và m  Khi đó:  mx  x  m  x  ¡    m  x  x   m  x  ¡ x  ¡ Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì  m  m  3  m  m      1 m  2 1  m  m  1; m  1    m   m  2; m   Mà m  ¢ nên m   2021; 2021 cho bất Câu 10 Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên của tham số m thuộc phương trình      log3 x  x  3x  m  log3 3x  Tính số phần tử của tập hợp S A 2020 B 2018 0;3 nghiệm đúng với mọi x đoạn  C 2022 Lời giải D 4040 Chọn B Ta thấy x   0, x  ¡      log x  x  3x  m  log 3x  ; x   0;3 Ta có:  log  3x  3x  x  3m   log  3x  1 ; x   0;3  3x3  x  x  3m  x  1; x   0;3  3m  3x  x  1; x   0;3 Xét hàm số: f  x   3x  x   0;3  x  1  0;3   f   x   9 x  f   x    x  1  0;3 Ta có: , Bảng biến thiên: 3m   m  Từ bảng biến thiên ta có: m   2021; 2021 Mà m  ¢ và nên m  {3; 4;K ; 2020} CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT-  2021; 2021 cho bất Câu 11 Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên của tham số m thuộc phương trình 3log 2 x  12 log x   m  nghiệm đúng với mọi x khoảng số phần tử của tập hợp S A 2018 B 2020 C 2022 Lời giải  2;   Tính D 4040 Chọn B   log 22 x  log x  1  12 log x   m  Ta có: 3log 2 x  12 log x   m   3log 22 x  log x   m   * 1  x  2;   t   ;   log x  t 2  Đặt: , với   2 Khi đó bất phương trình (*) trở thành 3t  6t   m   m  3t  6t  1  f  t   3t  6t  2, t   ;    2  Xét hàm số f   t   6t  f   t    6t    t  Ta có: ; Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy m  1 m   2021; 2021 m   2020;  2019; ;  1 Mà m  ¢ và nên x x Câu 12 Tìm tất giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (5  1).log (2.5  2)  m có nghiệm x  A m  ¡ B m  C m  Lời giải D m  Chọn A x x Với x  thì   0; 2.5   log (5 x  1).log (2.5 x  2)  m Ta có  log (5 x  1).log (2.5 x  2)  m  log (5 x  1) 1  log (5 x  1)   m t  log   1 x Đặt x   t   2;   BPT trở thành: t (1  t )  m  t  t  m Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC t   2;   y  f  t Đặt f (t )  t  t ta có f (t )  2t   với nên hàm số đồng biến và t   2;   x x Do đó để để bất phương trình log (5  1).log (2.5  2)  m có nghiệm thỏa mãn x  thì m¡ liên tục  2;  Suy f  t    6;    2;3 thuộc tập nghiệm của bất Câu 13 Tổng tất giá trị nguyên của tham số m cho khoảng log  x  1  log  x  x  m   phương trình A 13 B 12 là C 12 Lời giải D 13 Chọn D  x2  4x  m x     m   x  x  f ( x ) (1)      m  x  x   g ( x) x2  4x  m   Ta có m  Max f ( x )  12  2;3   g ( x )  13 m  Min x   2;3  2;3 Hệ thỏa mãn  12  m  13 2018;2018 Câu 14 Có số nguyên dương m đoạn  cho bất phương trình  10x m log x 10 11 log x 10  10 A 2022 đúng với mọi B 2021 x   1;100 ? C 2020 Lời giải D 2018 Chọn D Điều kiện x  Ta có  10x m log x 10 11  1010 log x  log x  11   m  log x  1  log x 10  10    log x  10m  log x  1  11log x   10m log x  1  log2 x  10log x  Vì x   1;100 nên log x   0;2 10m log x  1  log2 x  10log x   10m  Do đó 10log x  log2 x log x  t   0;2 Đặt t  log x , Xét hàm số f  t  f   t  Ta có Suy 10t  t2 t  liên tục đoạn 0;2 10  2t  t2  t  1  0, t   0;2  max f (t )  f     0;2 Hàm số f  t đồng biến  0; 2 16 CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- 10m Để bất phương trình 10log x  log2 x log x  đúng với mọi x   1;100 thì 10m 16  m 15 8  m  ;2018  15  hay có 2018 số thỏa mãn Do đó log ( x - 1) > log ( x + x - m ) Câu 15 Tìm tất giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm A m £ B m Ỵ ¡ C m < D Không tồn tại m Lời giải Chọn B ïìï x >1 í ï Điều kiện ïỵ x + x - m > log ( x - 1) > log ( x3 + x - m) Û x - < x3 + x - m Û x +1 > m 2 Bất Phương trình cho  f  x  x 1 f ¢( x) = 3x , f ¢( x ) = Û x = Ï ( 1; +¥ ) Đặt , ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài tốn thỏa mãn Û m Ỵ ¡ Câu 16 Có tất giá trị của tham số m để bất phương trình log  x  mx  m    log  x   A B nghiệm đúng với mọi x  ¡ ? C D Lời giải Chọn D Ta thấy x   x  ¡ Do đó bất phương trình log  x  mx  m    log  x    x  mx  m   x   mx  m      log x  mx  m   log x  Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  ¡ và mx  m  x  ¡  m  Câu 16 Có tất giá trị nguyên của m   2021;2022  log32 3x  log32 x   2log x  2m   A 2021 B 2022 để bất phương trình 1; 3  ? x có nghiệm với mọi thuộc đoạn  C 4043 Lời giải D 4042 Chọn A Trang 10 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Điều kiện BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC x  Ta có log 32 x  log 32 x   2log x  2m      log x   log 32 x   2log x  2m     log x   log 32 x   2m   Đặt t  log32 x   , ta bất phương trình t  t  m    t  t  m   * x  1; 3      log x    t  log x    t   1;2  Ta có f   t   2t   0, t   1;2  f  t  t2  t t   1; 2 Xét hàm Suy hàm số f  t f  1  Ta thấy , với Bất phương trình Ta có  1; 2 là hàm đồng biến và liên tục đoạn f  2  và f  t   2m  t   1; 2 có nghiệm với  f    2m    m   m  m  ¢ , m   2021;2022 Do mãn yêu cầu bài toán  f  x   Câu 18 Cho hàm số m   2, , 2022 nên     3 2x x  ln  Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏa x2   x  Tìm giá trị của tham số m f   x  m   f  x  2x  2  để bất phương trình m A nghiệm đúng với mọi giá trị x  ¡ m C D m   m B Lời giải Chọn D x   x  x   x  nên tập xác định của hàm số cho là D  ¡ Ta có  f  x   Với x  R , ta có  2x   2  2x   ln x  x         ln  x   x            ln  x  x      f  x      f   x   2 x 2x 2 x  f  x Lại có 2x là hàm số lẻ  f   x   2   2x    ln   2   2x   ln   x2   0, x  ¡  Hàm số f  x  nghịch biến ¡ Ta có f   x  m   f  x  x     f  x  x    f  x  m  3 2m   x  x    x2  x   x  m   x  m  x2  2x  2m  x  , x  ¡ CHUN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT-   m   m  2 max(  x  x  1)  3, min( x  1)  ¡ ¡ nên ta có  Do m Vậy không có giá trị nào của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán log 2 Câu 19 Biết a là số thực dương cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  ¡ Mệnh đề nào sau đúng? A a   12;14 B a   10;12 C Lời giải a   14;16 3 x  a x   log D 2 6x  9x  a   16;18 Chọn D Ta có log 2 3 x  a x   log 2 x  x   log 2 3 x  a x   log 2 6 x  9x   3x  a x  x  x  a x  18 x  x  x  3x  18 x  a x  18x  3x  x  1  x  x  1  a x  18 x  3x  x  1  3x  1 Ta thấy 2 x  1  3x  1  0, x  ¡  3x  x  1  x  1  0, x  ¡  * x a     1, x  ¡ x x  * đúng với mọi mọi x  ¡  a  18  0, x  ¡  18  Do đó, a    a  18   16;18 18 Câu 20 Cho hàm số thuộc thuộc A  f  x   log x   x  x   10;10  Có giá trị nguyên của tham số m f  x  m   f   x2  4x  6  để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  1;1 ? B D C 11 Lời giải Chọn A Ta có x 1  x2  x   x 1  Hàm số Ta có  f  x   log x   x  x  f   x   log 1  x   1 f  x   x  1  x 1     x   x   0, x  ¡  xác định ¡     x     log       f  x   x  1   x   x 1  x  1 1  x  1  ln10       x  1  ln10   0, x  ¡  hàm số f  x  đồng biến ¡ f  x  m   f   x2  4x  6   f  x  m    f   x2  4x  6 Ta có: Trang 12 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  f  x  m   f  x  x  8  x  m  x2  x   x  2m  x  x   2m   x  x     2  x  2m   x  x   2m  x  x  u  x   x2  6x  v  x   x2  2x   1;1 ta có bảng biến thiên Xét hàm số và  1;1 thì Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình cho nghiệm đúng với mọi x thuộc 15  m     m  11  Do m nguyên và m   10;10 nên có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán x2  x  f  x  x  Tìm tất giá trị thực của tham số m để bất phương trình Câu 21 Cho hàm số    log  f  x   m f  x   x   0;    có nghiệm 9 m m m 8 A B C Lời giải Chọn C f  x 4 f  x D m x2  x  x  khoảng  0;   Xét hàm số  x2  x 1 f   x  f   x     x2      x  1 ;  x  1  0;   Ta có Bảng biến thiên f  x   f  x   , x   0;   Dựa vào BBT ta thấy   f x 4 f x g  x        log  f  x     f  x     0;   Xét hàm số f  x  g  x  0;   Do nên hàm số xác định khoảng CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT-   1   f  x   f  x 4 f  x  g   x   f   x   f  x    ln  f   x        f  x   ln    f  x    Ta có  f x 4 f x  f  x    g   x   f   x   f  x    2.2     ln    f  x   f  x   ln   f  x  nên g   x    f   x    x  Do Ta có bảng biến thiên Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình cho có nghiệm x   0;   thì log x  x  m  log  x  x  m    1 Câu 22 Cho bất phương trình m và  x  x     Có tất giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình A 254  2 đều là nghiệm của bất phương trình B 255 C 256  1 D 257 Lời giải Chọn B 3  x  1 x  x 1   2   Bất phương trình Suy tập nghiệm của bất phương trình Do đó mọi nghiệm của bất phương trình bất phương trình  1   là:  2 S   1;3 đều là nghiệm của bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x   1;3  1 và  x  x  m   x2  4x  m   log  x  x  m    m   x  x  thỏa mãn x   1;3 Điều kiện:  m  max f  x  f  x    x2  4x   1;3 Khi đó với f  x   x  4x   1;3 Xét hàm số đoạn f   x   2 x    x  Bảng biến thiên: Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Dựa vào bảng biến thiên ta có Ta có  m  max f  x   m   1;3 (3) log x  x  m  log  x  x  m   1 log  x  x  m   log  x  x  m   2 log  x  x  m  Đặt , t  t  2t    t   4; 2  t   0;  Bất phương trình trở thành: log  x  x  m    m   x  x  256 với mọi x   1;3 Với t  ta có t  m  g  x  g  x    x  x  256 với g  x    x  x  256 x   1;3 Xét hàm số với g '  x   2 x    x  Bảng biến thiên:  1;3 m  g  x   m  259  1;3 Dựa vào bảng biến thiên: (4)  3 ,   ta có m   5; 259 thỏa mãn yêu cầu bài toán Từ   đều là Vậy có tất 255 giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình nghiệm của bất phương trình  1 2 x  2 log  x  x    x m log  x  m   Câu 23 Cho bất phương trình với m là tham số thực Biết tập hợp tất giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x   0; 2 là đoạn  a; b Khi đó a  b2 B A bằng: C 16 Lời giải D Chọn B Điều kiện: x  ¡ Ta có 2 x  2 log  x  x    CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 x m log  x  m   Trang 15 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC  2 x  2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- 2 xm log  x      log  x  m    1   y  2t.log  t   Xét hàm số với t  y  2t.log  t    0;    Hàm số xác định và liên tục 2t y  2t.log  t   ln   0, t  t   ln  Ta có y  2t.log  t    0;    Vậy hàm số đồng biến  1  f   x  2   f  x  m    x  2 2  xm Khi đó    x  2   x  m   x  2 2 2m   x  x    0;2  2m  x  x    2m   , x   0; 2   2  m   m  max  x  x     m   2m   x  x  0;2     Vậy tập hợp tất giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x   0; 2 là đoạn  2; 2  a  2; b   a  b  Câu 24 Cho a, b là số nguyên dương nhỏ 2022 Biết với giá trị của b có nhất a b  2b  a  log a 1 b  4b  1000 giá trị của a thỏa mãn  Số giá trị b là A 1021 B 1022 C 1020 D 1023 Lời giải Chọn A 2a b   2b a  log a 1 b  4b    2c   c  log c b  2b   b ,  1  c  a  1, c  Đặt , đó  1 +) b  , không thỏa mãn 2c  2 c 15 b2  ,  2 log c +)  2 ) c  , không thỏa mãn )  c  , hàm Suy 2c  c.ln 2.ln c  1  c.2 c.ln 2.ln c  2 c 2c   c  f  c  , f  c  0 log c c.ln  log c c  f  c   f  3  15 ,  c    a  2021 Do đó b  thỏa mãn c   c 2b  2 b  ,  3  1  ln c ln b +) b  , t t 2 f  t  log t đồng biến với mọi t  và c  không thỏa mãn  3 nên c  Hàm số b    b  1022  3  c  b,  b  3   b  a  2021   2021  b   1000  Do đó Vậy  b  1022 Trang 16 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC m   2022; 2022 Câu 25 Có số nguyên cho thỏa mãn bất ln x ln x m    phương trình x  x x  x , x  0, x  ? A B C Vô số D Lời giải Chọn C 2 x ln x  m 1 Bất phương trình cho tương đương với x  , x  0, x  (1) 2 x ln x f ( x)  x  , x  0, x  Xét hàm số  x2 1  ln x    x2   2[( x  1) ln x  x  1]  f ( x )   ( x  1) ( x  1)( x  1) Ta có x2 1 g ( x )  ln x  x 1 , x  Xét hàm số ( x  1) 0 2 x ( x  1) Ta có , x  , x  ; g ( x)   x  Suy g ( x)  g (1)  x  và g ( x)  g (1)  x  Do đó ta có bảng biến thiên g ( x)  Từ bảng biến thiên suy (1)  m   1  m  Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn Câu 26 Hỏi có tất giá trị thực của tham số m để bất phương trình x  2e x  mx  ln  x  e    A đúng với x  ¡ ? B C Lời giải D Chọn A Bất phương trình cho tương đương với: f  x   x  2e x  mx  ln  x  e    Nhận thấy nhanh rằng: f  0   f  x   f    x  R   f     Suy hàm số thỏa mãn  hàm số đạt cực tiểu tại x  2x f   x   x  2e x  m  x  e có f      m   m  Xét f  x   x  2e x  x  ln  x  e   Thử lại với m  thì CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 17 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT-  f   x   x  2e x   2x   x  x 1    e  1   x  x e  x e f  x   f  0  Đến ta nhận thấy nên suy m  thỏa nên có đúng giá trị m Câu 27 Hỏi có tất giá trị thực của tham số m để bất phương trình m  4m   log  x  2mx  m  1  m log  x  1  B A có nghiệm thực x ? C Lời giải D Chọn B Bất phương trình cho tương đương với:     m   log  x  m    m log  x  1  14 43 42 43 44 43 0 2 0 0  m  2 log   x  m   1  m log  x  1  nên suy bất phương trình 2 Ta nhận thấy: có nghiệm xảy dấu bằng, tức là:    m   log  x  m      m   log  x  m    m log3  x  1     m log  x  1    2   m      m    m  m        log  x  m       x  m    x  m  x      2 m   m  m   m         x   x    x   log  x  1  Suy có giá trị thực m thỏa mãn bài toán   Câu 28 Gọi S là tập chứa tất giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ln x  x   log m có đúng nghiệm nguyên, tổng phần tử của S là B A 108 C.Vô số Lời giải D 89 Chọn B Bất phương trình cho tương đương với: ln x  x   log m  f  x   ln x  x   log m x  f  x   ln x  x  ; x  x     x  Xét hàm số   lim f x  lim ln x  x   ln      x 1   x 1  f  x   lim ln x  x   ln     lim x 3 x 3   x2  x    x    x  x  3  f  x   0 x2 2  x2  x  x  x  Ta có:  Từ đó ta có bảng biến thiên sau:   Trang 18   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Nhận thấy nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán đó là: x  0; 2; Lưu ý hai nghiệm nguyên x  1; x  bị vi phạm điều kiện nên khơng tính mZ f    log m  f    ln  log m  ln  13  m  120 Suy Như có tất 120  13   108 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán  a; b; c; d  với a, b, c, d   3;3 thỏa Câu 29 Có tất số nguyên x x3 ln  x  1    ax  bx  cx  dx mãn điều kiện bất phương trình nghiệm đúng với x   1;   ? 43 A B 71 C 37 D 47 Lời giải Chọn B x x3 f  x   ln  x  1   và g  x   ax  bx  cx  dx qua gốc Ta để ý đồ thị y  f  x f     1; f    tọa độ Do đó ta xét tiếp tuyến tại gốc tọa độ của Ta có nên tiếp y  x tuyến là x x3 ln  x  1    x  x   1;   TABLE ta có Do đồ thị tại O f  x   ln  x  1  x2 x3  đứng dưới đường thẳng y  x và tiếp xúc Xét phương trình hoành độ giao điểm d 1 ax  bx3  cx   d  1 x  có nghiệm kép x  nên g  x   ax  bx3  cx  dx đứng đường thẳng y  x và tiếp xúc tại O ax  bx  c  x   1;   thì điều kiện cần và đủ là đó a  a   a   b    b  c  bx  c  0x   1;    Trường hợp 1:  Có 10 bộ: Đồ thị CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 19 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Trường hợp 2: a   b  4ac BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- Có tất 60 bộ: a   b  4ac a  x  x1   x  x2   0x   1;   x  x2  1 Trường hợp 3: đó b  b  2a b  2a  x1  x2    2  a  c b   a  c  b  x1  1  x2  1   a  a    Do đó a   b  c  Có nhất thỏa mãn  Trang 20 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Kết luận: Có tất 71 số cần tìm f  x Câu 30 Cho hàm số liên tục ¡ và có đồ thị hình vẽ Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình  x 28     log f x      2019    f x 2 m x   4;5 125   2020     nghiệm đúng với mọi ? m   10 m   10 m  10 m  10 A B C D Lời giải Chọn A 4  f  x   4, x   4;5   x 28    f x     , x   4;5     27  x 28 28 125      ,  x   4;5     125 5 Ta có:   x 28   log 2019  f  x      0, x   4;5  125   (*)  x 28     1.log 2019  f  x      0, x   4;5   f  x  2 m 125  2020    Từ (*) ta có: 1    0, x   4;5    1, x   4;5  f  x  2m f  x  2 m 2020 2020 2m  f  x   2m  0, x   4;5   f  x   , x   4;5  m  4  m  10 _ TOANMATH.com _ CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 21 ... VÀ LOGARIT- VD_VDC  ;0  Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc m   nên Do m nguyên và thuộc đoạn  m Có tất giá trị nguyên dương của tham. .. TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC m   2;3; ;9 Vậy có giá trị m nguyên cần tìm là : Câu Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có giá trị nguyên  1;3 ? của tham số... Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT-  2021; 2021 cho bất Câu 11 Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên của tham số m thuộc phương trình 3log 2 x  12 log x  