bat phuong trinh mu khong chua tham so

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ (KHÔNG CHỨA THAM SỐ) Nhắc lại kiến thức cũ :  Đạo hàm : a u ′ = u ′.a u ln a PHƯƠNG PHÁP ( )  Nếu hàm số f đồng biến khoảng D ∀x, y ∈ D : f ( x ) > f ( y ) ⇔ x > y  Nếu hàm số f nghịch biến khoảng D ∀x, y ∈ D : f ( x ) > f ( y ) ⇔ x < y Bước : Đặt điều kiện bpt (nếu có) Bước : Các phương pháp giải  Phương pháp : Dùng tính đơn điệu hàm số  Phương pháp : Dùng phương pháp đồ thị hàm số  Phương pháp : Đánh giá Câu Có giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình 3x B 11 A 10 Chọn B Xét bất phương trình 3x − 25 C Lời giải − 25 + ( x − 25 ) x + 2021 ≤ D + ( x − 25 ) x + 2021 ≤ 1(1) Ta có: x + 2021 > 0, ∀x ∈  TH1: Xét x − 25 = 0⇔ x= ±5 ta có VT (1)= ≤ (Đúng) nên bpt (1) có nghiệm x = ±5  x < −5 TH2: Xét x − 25 > ⇔  x > 3x − 25 > 30 = Ta có  ⇒ VT (1) > nên bpt (1) vô nghiệm x + 2021 − > x 25 ( )  TH3: Xét x − 25 < ⇔ −5 < x < 3x − 25 < 30 = Ta có  ⇒ VT (1) < nên bpt (1) có nghiệm −5 < x < x + 2021 − < x 25 ) (  Vậy nghiệm bpt cho x ∈ [ −5;5] Vì x nguyên nên x ∈ {±5; ±4; ±3; ±2; ±1;0} có 11 giá trị Câu Giải bất phương trình − 3x +1 10 ta tập nghiệm S = ( a; b ) Tính giá trị biểu thức > x 2x −1 P 10b − 3a = A P = B P = Chọn A Điều kiện x ≠ 0; x ≠ C P = Lời giải D P = ( *) CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  x >  x >   (1)  6 − 3x +1 > 10 x  3x +1 < x − x +1   6−3 10   2x −1 2x −1 Với điều kiện (*) , ta có: > ⇔ ⇔ 2x −1 x   x <   x <    x +1 x − ( ) 10 x x +1  6 − <  3 > 2x −1 2x −1   2x − Gọi ( C ) ( H ) theo thứ tự đồ thị hàm số= = y f= y g= ( x) ( x ) 3x +1 2x −1 ; hệ bpt ( ) vô nghiệm  1 Vậy tập nghiệm bpt cho S =  0;  suy ra= nên P = 10b − 3a = a 0;= b  2 Dựa vào đồ thị, ta có: hệ bpt (1) có nghiệm < x < Câu Tập nghiệm bất phương trình 21− x − x + ≥ 2x −1 B ( 0;1] A [ 0;1] D ( 0; 2] C ( −1;0] Lời giải Chọn B Điều kiện: x − ≠ ⇔ x ≠ Xét hàm số f ( x ) =21− x − x + =−2 x + + 2.ln có f ′ ( x ) =−2 − x < , ∀x x 2 Do hàm số nghịch biến  Vậy 21− x − x + > ⇔ f ( x ) > f (1) ⇔ x < ⇔ − x > tức f ( x ) dấu với − x Xét hàm số g ( x= g ′ ( x ) x.ln > , ∀x Do hàm số đồng biến  ) x − có = Vậy x − > ⇔ g ( x ) > ⇔ x > tức g ( x ) dấu với x Suy bất phương trình cho tương đương với Vậy tập nghiệm BPT S = ( 0;1] Câu Trang 2 Bất phương trình 2sin x + 3cos x ≥ 4.3sin x 1− x ≥ ⇔ < x ≤ x có nghiệm nguyên [ −2021π ; 2022π ] TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC A 4043 B 2021 C 4044 Lời giải D 2022 Chọn C Đặt t sin x ( ≤ t ≤ 1) thay vào bất phương trình cho ta có = t t 1−t +3 t 2 1 ≥ 4.3 ⇔ + t ≥ 4.3t ⇔ 6t + ≥ 4.9t ⇔   +   ≥ (1) 3 9 t t t t t t 1 2 2 1 = f ′ ( t )   ln +   ln < 0, ∀t ∈ [ 0;1] t )   +   , ≤ t ≤ Có Xét hàm số f (= 9 3 3 9 Suy hàm số f ( t ) nghịch biến [ 0;1] t t 2 1 Do ln có f ( t ) ≤ f ( ) hay   +   ≤ (2) 3 9 t t 2 1 Từ (1) (2) suy ra:   +   = ⇔ t = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈  ) 3 9 Do −2021π ≤ x ≤ 2022π ⇒ −2021π ≤ kπ ≤ 2022π ⇔ −2021 ≤ k ≤ 2022 ( k ∈  ) Suy k ∈ {−2021; −2020; ; 2021; 2022} , có tất 4044 giá trị k Vậy bất phương trình có tất 4044 nghiệm nguyên Câu Cho hàm số= f ( x) x +1 (2 x − 2− x ) Gọi S tổng giá trị x nguyên dương thỏa mãn bất  228  phương trình f ( x + 22 ) + f   ≤ Tính S ?  x −9 A S = 36 B S = 45 C 30 Chọn A Xét hàm số = f ( x) 2 x Ta có : f ( − x ) = = Mặt khác f ′ ( x ) f ′ ( x ) =2 x +1 + x +1 − x −2 x +1 + x −2 x +1 − x x +1 + x có tập xác định D =  nên ∀x ∈  ⇒ − x ∈  = − f ( x ) nên hàm số cho hàm số lẻ  x  + 1 − ln   x +1  x +1 + x D  x2 + + x    ln +  x +   x +1 − x  x  − 1 ln   x +1  x +1 − x  x2 + − x    ln >  x +   x2 + > x2 = x ⇒ x2 + ± x > ) ( Vì Do hàm số f ( x ) đồng biến   228   228   228  Từ suy f ( x + 22 ) + f   ⇔ f ( x + 22 ) ≤ f   ≤ ⇔ f ( x + 22 ) ≤ − f    x −9  x −9 9− x  x ≤ −10 228 x + 13 x + 30 ⇔ x + 22 ≤ − ⇔ ≤0⇔ x −9 x −9  −3 ≤ x < Vậy số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình x ∈ {1; 2;3; 4;5;6;7;8} ⇒ S =1 + + + = 36 Câu Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình ( 2x + y ) 25 x + xy + y −3 + ( x − y) ≤ ? CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT A BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC B C Lời giải Chọn D Từ ( x + y ) 25 x = a Đặt  b= + xy + y −3 D + ( x − y ) ≤ ⇔ ( x + y ) 2( x + y ) 2 2 + ( x − y ) −3 + ( x − y ) − ≤ ( ∗) ( 2x + y ) ( x − y ) − ≥ −3 Khi bất phương trình ( ∗) có dạng: a.2a +b + b ≤ ⇔ a.2a + b ≤ ⇔ a.2a ≤ ( −b ) 2− b b Vì a ≥ ⇒ −b ≥ nên ta xét trường hợp sau đây: a > −b ≥ ⇒ a.2a > ( −b ) 2− b khơng thoả mãn bất phương trình TH1: Nếu a > −b ≥ ⇒  a −b 2 > ≥ 0 ≤ a ≤ −b ⇒ a.2a ≤ ( −b ) 2− b thoả mãn bất phương trình TH2: Nếu ≤ a ≤ −b ⇒  a −b 0 < ≤ Vậy bất phương trình a.2a ≤ ( −b ) 2− b ⇔ a ≤ −b ⇔ a + b ≤ Suy ( x + y ) + ( x − y ) − ≤ ⇔ ( x + y ) + ( x − y ) ≤ 2 2 Với giả thiết x, y ∈ Z nên ( 2x + y ) ( x − y ) xảy trường hợp sau: 2 Vậy có tất cặp ( x; y ) thoả mãn Câu Có số nguyên đoạn [ 0; 2021] thỏa mãn bất phương trình : x − x − ≤ ( x − ) 2021x A 2016 B 2017 Chọn B Đặt a = x − x + , = b 3x − Bất phương trình có dạng : −6 x + + ( x − x + ) 20213 x − C 2020 Lời giải D 2021 a + b ≤ b.2021a + a.2021b ⇔ a (1 − 2021b ) ≤ b ( 2021a − 1) (1) TH1: a = b = nghiệm bất phương trình cho  x= ±  x2 − 6x + =  Bất phương trình cho tương với  ⇔ x = 3 x − =  a a > 2021 − > ⇒ ⇒ VT (1) < ; VP (1) > TH2: Nếu  b b > 1 − 2021 < Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Khi bất phương trình ln  x > +    x2 − 6x + >  Vậy bất phương trình tương đương với  ⇔   x < − ⇔ x > + 3 x − >  x >  a a < 2021 − < ⇒ ⇒ VT (1) < ; VP (1) > TH3: Nếu  b b < 1 − 2021 > Khi bất phương trình ln Vậy bất phương trình tương đương với 3 − < x < +  x2 − 6x + <  ⇔ ⇔ 3− < x <  3 x − < x <  a a > 2021 − > ⇒ ⇒ VT (1) > ; VP (1) < TH4: Nếu  b b < 1 − 2021 > Trường hợp bất phương trình vơ nghiệm a a < 2021 − < ⇒ ⇒ VT (1) > ; VP (1) < TH5: Nếu  b b > 1 − 2021 < Trường hợp bất phương trình vơ nghiệm 4  Từ trường hợp trên, bất phương trình cho có tập nghiệm S= 3 − 7;  ∪ 3 + 7; +∞ 3  ) Các số nguyên thỏa mãn bất phương trình x ∈ {1;6;7; ; 2020; 2021} Vậy bất phương trình có 2017 nghiệm nguyên đoạn [ 0; 2021] CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG (KHÔNG CHỨA THAM SỐ) PHƯƠNG PHÁP Bước : Biến đổi bất phương trình dạng f ( a ) < f (b) ( f ( a ) > f (b) ; f ( a ) ≤ f (b) ; f ( a ) ≥ f (b)) (1) Bước : Xét hàm số y = f ( x ) , chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến Bước : Do hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến suy f ( a ) < f ( b ) ⇔ a < b f ( a ) < f ( b ) ⇔ a > Câu Số nghiệm nguyên bất phương trình sau là: 22 x A −15 x +100 − 2x +10 x −50 B Chọn A Ta có 22 x ⇔ 22 x 2 −15 x +100 −15 x +100 − 2x − 2x 2 +10 x −50 +10 x −50 + x − 25 x + 150 < C Lời giải D + x − 25 x + 150 < + x − 15 x + 100 − ( x + 10 x − 50 ) < Đặt a = x − 15 x + 100 , b =x + 10 x − 50 Khi bất phương trình trở thành: 2a − 2b + a − b < ⇔ −2a − a > −2b − b (1) Xét hàm số f ( t ) = −2t − t có f ′ ( t ) =−2t ln − < với ∀t ∈  Suy f ( t ) nghịch biến  Bất phương trình (1) ⇔ f ( a ) > f ( b ) ⇔ a < b ⇔ x − 15 x + 100 < x + 10 x − 50 ⇔ x − 25 x + 150 < ⇔ 10 < x < 15 Mà x ∈  nên x ∈ {11;12;13;14} Câu Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên Cho bất phương trình x + x + x ≤ x − x ( x + 1) + Số nghiệm nguyên dương bất phương trình cho A B C Lời giải Chọn C Tập xác định D = ( −∞ ; − 1] ∪ [ 0; + ∞ ) Ta có: ⇔2 x2 + x x2 + x +x≤ − x ( x + 1) + ⇔ 2x + x + x ≤ 23 − x + − x x2 + x D + x ≤ 23 − x − x + x + (1) ′ ( t ) 2t.ln + > 0, ∀t ∈  Xét hàm số f ( t= ) 2t + t , có f = Vậy hàm số f ( t ) đồng biến  (1) ⇔ f CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 ( ) x2 + x ≤ f (3 − x ) ⇔ x2 + x ≤ − x Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  x ≤ x ≤    x ≤ −1  x ≥  x ≥ ⇔  ⇔  ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 x x ≤ − ≤ −      x x x + ≤ − ( )  x ≤  Do x nguyên dương, x ∈ {1} Vậy bất phương trình cho có nghiệm nguyên dương Câu ( ) Tập nghiệm bất phương trình 33 x − 53 x + 3x − x > B ( −∞;0] A ( −∞;0 ) D [ 0; +∞ ) C ( 0; +∞ ) Lời giải Chọn A ( ) ( ) Bất phương trình cho tương đương với 33 x + 3.3x > 53 x + 3.5 x ⇔ f 3x > f x Xét hàm số f ( t )= t + 3t khoảng ( 0; +∞ ) , ta có: f ′ ( t )= 3t + > 0, ∀t > Suy hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) x 5 Do từ f 3x > f x ta có 3x > x ⇔   < ⇔ x < 3 (*) Thử giá trị chọn đáp án ( ) ( ) ( Ta có: VT = 33 x − 53 x + 3x − x ) Thử với x = VT = ⇒ x = không thỏa mãn bất phương trình Do loại B D Thử với x = VT = −104 ⇒ x = khơng thỏa mãn bất phương trình Do loại C Vậy lại đáp án A Câu Có số nguyên x ∈ ( −2021; 2022 ) 26 x − 24 x − 23 x + 22 x − x+ − < A 2021 B 2020 Chọn A Bất phương trình cho tương đương với thỏa mãn C 2022 Lời giải bất phương trình D 2019 23 x + 3.22 x + 3.2 x + − ( 22 x + 2.2 x + 1) + ( x + 1) > ( 22 x ) − ( 22 x ) + 3.22 x ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) + ( x + 1) > ( 22 x ) − ( 22 x ) + 3.22 x ⇔ f ( x + 1) > f ( 22 x ) 3 Xét hàm số f ( t ) = t − t + 3t khoảng ( 0; +∞ ) , ta có: f ′ ( t )= 3t − 2t + > 0, ∀t > Suy hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Do từ f ( x + 1) > f ( 22 x ) ⇔ x + > 22 x ⇔ 22 x − x − < ⇔ 1− 1+ < 2x < 2  1+  ⇔ x < log   ≈ 0, 69   Mà x ∈ ( −2021; 2022 ) x ∈  nên ta có x ∈ {−2020; −2019; ;0} Vậy có 2021 số nguyên x thỏa mãn ycbt Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Câu BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC + 52 x − x − x − > 2x 5  x > log B ≤ x ≤ log C  x < Lời giải Tập nghiệm bất phương trình A < x < log  x ≥ log D  x ≤ Chọn C Bất phương trình cho tương đương với    x x x  x +  −  x +  > − ⇔ f  x +  > f ( 3) 5  5  5  ( Suy hàm số đồng biến khoảng ( ) 2; +∞ ) Xét hàm số f ( t = ) t − t khoảng 2; +∞ , ta có: f ′ ( t ) = 2t − > 0, ∀t > 2 5 x < x <   Do từ f  x + x  > f ( 3) ⇔ x + x > ⇔ 52 x − 3.5 x + > ⇔  x ⇔ log x > 5 > 5    (*) Cách 2: Đề xuất GVPB2     Bất phương trình cho tương đương với  x + x  −  x + x  − > 5  5  5 x < x < 2x x x ⇔ x + > ⇔ − 3.5 + > ⇔  x ⇔  x > log 5 > Câu Phương trình 2021 a, b ∈  Tính b − a A x −8 + − 2021x +1 = x − x − − có nghiệm x= a + b với B −11 Chọn C D −9 C 11 Lời giải  x ≤ −2 Điều kiện: x − ≥ ⇔  x ≥ 2021 x −8 + − 2021x +1 = x − x − − ⇔ 2021 x −8 + + x − + = 2021x +1 + x + (1) Xét hàm số = Có f ′ ( t ) 2021t ln 2021 + > 0, ∀t ⇒ hàm số đồng biến  f ( t ) 2021t + t = Khi (1) ⇔ f ( ) x − + 2= f ( x + 1) x ≥ ⇔ x − + =x + ⇔  ⇔ x =−1 + 10 − = − + x x x  Do a =−1, b = 10 ⇒ b − a = 11 Câu Tìm số nghiệm phương trình π sin x − π cos x = cos x khoảng ( 0;10π ) A 19 B 15 2 D 17 C 20 Lời giải Chọn C 2 2 π sin x − π cos x = cos x ⇔ π sin x − π cos x = cos x − sin x ⇔ π sin x + sin x = π cos x + cos x ′ ( t ) π t ln π + > 0, ∀t ∈ R ⇒ hàm số đồng biến  Xét hàm số f ( t= ) π t + t có f= CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC ( ) ( ) Khi (1) ⇔ f sin x = f cos x ⇔ sin x = cos x ⇒ cos x = ⇒ x = + kπ kπ 39 < 10π ⇔ − < k < 2 k ∈  ⇒ k ∈ {0;1; 2; ;19} Vậy phương trình có 20 nghiệm Kết hợp với x ∈ ( 0;10π ) suy < Câu π π + Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn ≤ y ≤ 2021 2021x x 2021y + y − += +1 A 45 B 89 Chọn B 2021x x 2021y + y − ⇔ 2021x += +1 D 20 C 11 Lời giải +1 + x 2= + 2021y + y (1) Xét hàm số = Có f ′ ( t ) 2021t ln 2021 + > 0, ∀t ⇒ hàm số đồng biến  f ( t ) 2021t + t= ( ) f ( y ) ⇔ y = x2 + Khi (1) ⇔ f x + = Ta có với x nguyên y nguyên Mà ≤ y ≤ 2021 ⇒ ≤ x + ≤ 2021 ⇒ −44 ≤ x ≤ 44 Vậy có 89 ( x; y ) nguyên thỏa mãn Câu Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x + x + x ≤ 23− x − x + A B C D Lời giải Chọn A Ta có x +x + x ≤ 23 − x − x + ⇔ x +x + x + x ≤ 23− x + − x (1) ′ ( t ) 2t.ln + > 0, ∀t ∈  Xét hàm số f ( t ) =2t + t , t ∈  , có f = Vậy hàm số f ( t ) đồng biến  ( ) Ta có (1) ⇔ f x + x ≤ f ( − x ) ⇔ x + x ≤ − x ⇔ −3 ≤ x ≤ Vậy có giá trị nguyên x thỏa mãn ycbt Câu 10 Tổng tất nghiệm nguyên dương x x x x nhỏ bất phương trình: x 27 − − 3.4 + 2.3 − 5.2 − ≥ A 15 B 12 C 13 Lời giải Chọn A D 19 ( ) ( ) Ta có 27 x − x − 3.4 x + 2.3x − 5.2 x − ≥ ⇔ 27 x + 2.3x ≥ x + 3.4 x + 3.2 x + + 2 x + ⇔ ( 3x ) + 2.3x ≥ ( x + 1) + ( x + 1) 3 (1) Xét hàm số f ( t )= t + 2t  ta có f ′ (t = ) 3t + > 0, ∀t ∈  Vậy hàm số f ( t )= t + 2t đồng biến  x x  2 1 Mà (1) ⇔ f ( ) ≥ f ( + 1) ⇔ ≥ + ⇔   +   ≤ ( )  3 3 x x x x x x x x 2  2 1 1 Xét hàm số g= có g ′ ( x )   ln   +   ln   < 0, ∀x ∈  ( x )   +   =  3 3 3  3 3 3 Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC x x Vậy hàm số g= ( x )   +   nghịch biến   3 3 Mà ( ) ⇔ g ( x ) ≤ g (1) ⇔ x ≥ Vậy tập hợp nghiệm nguyên dương nhỏ bất phương trình {1, 2, 3, 4, 5} Tổng tất nghiệm nguyên dương nhỏ bất phương trình: + + + + = 15 Câu 11 Tìm số nghiệm nguyên dương bất phương trình sau: 3x A 2022 ( ) x 1 − 3x   5 2− x B C Lời giải Chọn C Theo đề ta có x ∈  x > Bất phương trình x ⇔ ( ) x 1 −  5 2− x ( 5) x + ≥ 3x − x 1 − 3x   5 D 2021 2− x + ≥ 3x − x 3x − x − ≥ ⇔ 3x ( ) x 1 −  5 2− x ≥ x−2− 1 ⇔ x + ≥ x − + x − ( ∗) 3x 3x Xét hàm số g ( t = ) 5t + t có g ′= ( t ) 5t ln + > , t ∈  nên hàm số g ( t ) đồng biến  ( ∗) ⇔ 3− 3+   ≥ x − ⇔ 3x − x − ≤ ⇔ ≤x≤ g   ≥ g ( x − 2) ⇔ 3x 3  3x  Theo đề ta có x ∈  x > nên x ∈ {1; 2} tức nghiệm nguyên dương từ bpt Câu 12 Tìm số nghiệm nguyên thuộc [ −2021; 2022] bất phương trình 2022 A 2024 x −1 − 20222− x + x − + x3 − x + 15 x − 11 ≤ B 2023 C 2021 D 2022 Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có bất phương trình tương đương với: 2022 x −1 − 20222− x + x − + x3 − x + 15 x − 11 ≤ ⇔ 2022 x −1 + x − + x − ≤ 20222− x − x + x − 13 x + 10 ⇔ 2022 x −1 + ( ) x − + x − ≤ 20222− x + ( − x ) + − x (1) Xét hàm số f = ( t ) 2022t + t + t ⇒ f ′= ( t ) 2022t.ln 2022 + 3t + > 0, ∀t ⇒ f ( t ) hàm đồng biến  Từ (1) ta có f ( ) x − ≤ f ( − x ) ⇔ x − ≤ − x ⇔ x − ≤ − 12 x + x − x ⇔ x3 − x + 14 x − ≤ ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) ≤ ⇔ x ≤ Vì x nguyên x ∈ [ −2021; 2022] ⇒ −2021 ≤ x ≤ nên có 2023 giá trị nguyên x Câu 13 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2021; 2021] để nghiệm bất phương trình 52 x + − x2 + x +3 − 54 + − x2 + x +3 + ( x − ) ≤ x ( x − 3) − (1) nghiệm bất phương trình x − ( m − ) x − 2m + ≤ ( ) A 2019 B 2020 CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 C 2021 D 2018 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Lời giải Chọn A 52 x + − x2 + x +3 + ( x − ) ≤ x ( x − 3) − (1) − x2 + x +3 − 54 + Điều kiện −1 ≤ x ≤ (1) ⇔ 52 x + ⇔5 − x2 + x +3 x + − x2 + x +3 − 54 + − x2 + x +3 + 3x − ≤ ( 2x + − x2 + 2x + + ) ≤5 4+ − x2 + x +3 + ( + − x2 + 2x + ) ( *) 3 Xét hàm số f ( t ) = 5t + t , t ∈  ⇒ f ′ ( t ) = 5t.ln + > 0, ∀t ∈  2 ⇒ Hàm số đồng biến  ( *) ⇔ ) ( ( f 2x + − x2 + 2x + ≤ f + − x2 + 2x + ) ⇔ x + − x + x + ≤ + − x + x + ⇔ −1 ≤ x ≤ Theo yêu cầu tốn x − ( m − ) x − 2m + ≤ 0, ∀x ∈ [ −1; 2] ⇔m≥  x2 + x +  x2 + 2x + , ∀x ∈ [ −1; 2] ⇒ m ≥ max   x∈[ −1;2] x+2 x +   Đặt g ( x ) = x2 + 2x + Ta có g ′ ( x )= x+2  x = ∈ [ −1; 2] = ⇔  ( x + 2)  x =−4 ∉ [ −1; 2] x2 + 4x  x2 + 2x +  g (= −1) 3; g= ( ) 2; g= ( ) , suy xmax   = ∈[ −1;2]  x+2  ⇒ m ≥ , m ∈ [ −2021; 2021] ⇒ ≤ m ≤ 2021 Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m Câu 14 Có bao ( 3x − y ) nhiêu 310 x cặp −8 xy + y − A nghiệm Chọn D 2 thỏa mãn bất phương trình ≤ − x + xy − y ? B Từ ( x − y ) 310 x ( x; y ) nguyên −8 xy + y − C Lời giải D ≤ − x + xy − y ⇔ ( x − y ) 3(3 x − y ) 2 +( x − y ) −4 ≤ − ( x − y ) (*) a = ( x − y )2 ≥ Đặt  (*) đưa về: a.3a +b ≤ −b ⇔ a.3a ≤ ( −b ) 3− b b= ( x − y ) − ≥ −4 Vì a ≥ ⇒ −b ≥ Xét hàm số = f ( t ) t.3t , t ∈ [ 0; +∞ ) có f ′ ( t = ) 3t + t.3t.ln > 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) Suy f ( a ) ≤ f ( −b ) ⇔ a ≤ −b ⇔ a + b ≤ Suy ( x − y ) + ( x − y ) − ≤ ⇔ ( x − y ) + ( x − y ) ≤ 2 2 Với giả thiết x, y số nguyên nên ( 3x − y ) ( x − y ) nguyên nên xảy 2 trường hợp sau: Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT 3x − y x− y 0 x y BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 0 1 2 1 − − −1 − − −1 −1 −1 −2 −1 −1 0 −1 1 −1 −1 −2 −1 −2 −3 −1 Vậy có tất cặp nghiệm thỏa mãn Câu 15 Tính tổng nghiệm nguyên dương bất phương trình sau 5x B A Chọn A Ta có x +1 +1 + x − x − ≤ 25 x + C + x − x − ≤ 25 x + ⇔ x +1 + ( x + 1) ≤ 52( x + 2) + ( x + ) D ( *) Xét hàm số f ( t = ) 5t + 2t TXĐ: D =  f ′ (= t ) 5t ln + > với ∀t ∈  ⇒ f ( t ) hàm số đồng biến ( −∞ ; + ∞ ) ( *) ⇔ f ( x + 1) ≤ f ( ( x + ) ) ⇔ x + ≤ ( x + ) ⇔ x − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Mà x ∈  nên x ∈ { − 1;0;1; 2;3} Vậy tổng nghiệm nguyên dương phương trình cho Câu 16 Hãy xác định số nghiệm nguyên âm bất phương trình sau: 9.3x B A −3 x − Chọn A Ta có 9.3x −3 x − − 3x +10 + x − x ≤ 30 C Lời giải − 3x +10 + x − x ≤ 30 ⇔ 3x −3 x −5 D + ( x − x − ) ≤ 3x +10 + ( x + 10 ) (*) Xét hàm số f ( t = ) 3t + 2t TXĐ D =  f ′= ( t ) 3t ln + > 0, ∀ t ∈  ⇒ f ( t ) hàm số đồng biến  ( *) ⇔ f ( x − x − ) ≤ f ( x + 10 ) ⇒ x − x − ≤ x + 10 ⇔ − 19 ≤ x ≤ + 19 ⇒ x ∈ {−2; − 1;0; ;5;6} Số nghiệm nguyên âm bất phương trình cho Câu 17 Tích nghiệm nguyên âm lớn nghiệm nguyên dương nhỏ bất phương trình x +1 + x − x − > 16 x + bao nhiêu? A −8 B −3 Chọn A Ta có x +1 + x − x − > 16 x + ⇔ x CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 +1 C Lời giải D + 2( x + 1) > 42 x + + 2(2 x + 4) (1) Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Xét hàm số f (t= ) 4t + 2t TXĐ D =  ′ ( t ) 4t.ln + > 0, ∀ t ∈  ⇒ f ( t ) đồng biến  f=  x < −1 (1) ⇔ f ( x + 1) > f ( x + ) ⇔ x + > x + ⇔ x − x − > ⇔  x > Do nghiệm nguyên âm lớn −2 nghiệm nguyên dương nhỏ Tích chúng −8 Câu 18 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình 2021 x −5 x + − 20215 x + + x − x + ≤ x + Tổng phần tử S A 55 B Chọn A Ta có 2021 x −5 x + ⇔ 2021 C Lời giải D 25 − 20215 x + + x − x + ≤ x + x −5 x + + x − x + ≤ 20215 x + + x + (1) Xét hàm số f= ( t ) 2021t + t ⇒ f ′= ( t ) 2021t.ln 2021 + > 0, ∀t ∈  ⇒ f ( t ) hàm đồng biến  ( ) Từ (1) ta có f x − x + ≤ f ( x + ) ⇔ x − x + ≤ x + 2  5 x + ≥  x ≥ −  x ≥ −  ⇔ x ∈ [ 0;10] ⇔ ⇔  x − 5x + ≤ 5x + ⇔   x − 10 x ≤  x ∈ [ 0;10]      x − x + ≥ −5 x −   x + ≥  x≥−  x + ≥     x ≥ − ⇔  x − x + ≤ x + ⇔  x − 10 x ≤ ⇔  ⇔ ≤ x ≤ 10  x − x + ≥ −5 x −  x2 + ≥ 0 ≤ x ≤ 10    Yêu cầu toán x ∈  ⇒ S = {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10} Vậy tổng phần tử S + + + + + + + + + + 10 = 55 Câu 19 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình 21+ x −3 x −10 − x −1 + x − x − 10 < x − Số phần tử S A B Chọn A Ta có 21+ ⇔2 x −3 x −10 x −3 x −10 C Lời giải D 15 − x −1 + x − x − 10 < x − + x − x − 10 < x − + x − (1) Xét hàm số f ( t= ( t ) 2t ln + < với ∀t ∈  ) 2t + t có f ′= Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Suy f ( t ) đồng biến  Bất phương trình (1) ⇔ f ( ) x − x − 10 < f ( x − ) ⇔ x − x − 10 < x −   x ≤ −2   x − x − 10 ≥  x ≥   ⇔ x − > ⇔  x > ⇔ ≤ x < 14   x < 14  x − x − 10 < ( x − )   Mà x ∈  nên S = {5;6;7;8;9;10;11;12;13} Vậy số phần tử S Câu 20 Biết S= (a ;b + bất phương x − 3x ⋅ trình ) x3 − x − x2 < 24 x + 32 có tập nghiệm c + d , với a, b, c, d ∈  Tính giá trị biểu thức T = 4abcd A T = 75 B T = 80 C T = 81 Lời giải Chọn C Ta có D T = 82 x ( x − 3) x − x= Với điều kiện xác định trên, bất phương trình cho tương đương với Bất phương trình cho xác định với x ≥ 4x − ⋅ x3 − x − x2 ⇔ 4x − ⋅  3x +  < 8  ⇔ 4x − ⋅  x  ( 2) 4 x −3 Xét hàm số f ( t ) = t ′ (t ) Ta có f= ( ) t2  3x +  ⇔ x > Khi đó: (*) ⇔ x + 1.2 ( x +1 )  x −6   x   x −   ≤   x  2 Xét hàm số f ( t ) = t.2t với t > Ta có f ′ ( t )= 2t + 2t ⋅ 2t ⋅ ln > 0, ∀t > 2 Vậy f ( t ) hàm đồng biến ( 0; +∞ ) , từ bất phương trình ta có f ( 4x −  4x −  x +1 ≤ f   ⇔ x +1 ≤ x  x  ) ⇔ x x + ≤ x − ⇔ x ( x + 1) ≤ 16 x − 48 x + 36 x ≤ − ⇔ x3 − 15 x + 48 x − 36 ≤ ⇔ ( x − 3) ( x − 12 x + 12 ) ≤ ⇔  3 ≤ x ≤ + Kết hợp với điều kiện x > suy TH-1 có nghiệm là: ≤ x ≤ + ▸ TH-2: −1 ≤ x < : (*) ⇔ x + 1.2 ⇔ f ( ( x +1 )  x −6   x   x −   ≥   x  4x −  4x −  x +1 ≥ f   ⇔ x +1 ≥ x  x  ⇔ x +1 ≥ ) 16 x − 48 x + 36 ⇔ x ( x + 1) ≥ 16 x − 48 x + 36 x2 6 − ≤ x ≤ ⇔ x3 − 15 x + 48 x − 36 ≥ ⇔ ( x − 3) ( x − 12 x + 12 ) ≤ ⇔  x ≥ +  Kết hợp với điều kiện −1 ≤ x < suy TH-2 vô nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình là= S 3;6 +  Suy a= 3, c= 2, b= d= Do a + b + c + d = 17 Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Câu 22 Có giá trị nguyên dương tham số m nhỏ 2018 để phương trình m + m + x > 22 x có nghiệm thực? A 2017 B 2018 Chọn A C 2016 Lời giải D 2015 m + m + x > 22 x ⇔ ( m + x ) + m + x > 22 x + x (1) Ta có m + x ≥ 0, x > Xét hàm đặc trưng f ( t = ) t + t [ 0; +∞ ) f ′ ( t= ) 2t + ≥ 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f (t ) đồng biến khoảng [ 0; +∞ ) (1) ⇔ f ( ) m + 2x > f ( 2x ) ⇔ m + 2x > 2x ⇔ m > 22 x − x Đặt = a x , a > Ta có ⇔ m > g ( a ) = a − a mà m nguyên dương nhỏ 2018 nên m ∈ {1; 2;3;…; 2017} Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Bất phương trình cho có nghiệm ⇔ m > − Câu 23 Có số nguyên x cho tồn số thực dương y thỏa mãn 2 x + y < 2.2 y − x ? A B C Lời giải Chọn B Ta có: x + y2 < 2.2 y − x ⇔ x + y2 D < y − x +1 ⇔ x + y < y − x + ⇔ y − y < − x − x + (*) Yêu cầu toán  x ∈ ; y >  x ∈ ; y >   2 2 ⇔  1  1 ⇔ 1  1  1 − x +  < y < + −  x +  ( *)  −  x +  +  y −  < 2  2 2  2 2  2  2 −1 − −1 + suy x = −1 x = ≤x≤ 2 Thay vào thấy có tồn số thực y > Nhận xét: x ∈ ; Vậy có số nguyên x thỏa mãn để phương trình (*) có nghiệm thực y > CHUN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN (KHƠNG CHỨA THAM SỐ) PHƯƠNG PHÁP Đặt T = a với T > Bất phương trình biến đổi dạng AT + g ( x ) T + h ( x ) > AT + g ( x ) T + h ( x ) < u ( x)  Bước : Giải phương trình AT + g ( x ) T + h ( x ) =  Bước : Lập bảng xét dấu AT + g ( x ) T + h ( x )  Bước : Từ bảng kết luận Câu Tập nghiệm bất phương trình x − ( x + ) 3x + ( x + 1) ≥ A [ 0;1] ∪ [ 2; + ∞ ) B ( −∞;1] ∪ [ 2; + ∞ ) C [1; 2] D ( −∞;0] ∪ [ 2; + ∞ ) Lời giải Chọn A Đặt 3x = t , t > bất phương trình trở thành t − ( x + ) t + ( x + 1) ≥ ( *) (1) Xét phương trình: t − ( x + ) t + ( x + 1) = Ta có ∆′ = ( x + ) − ( x + 1) = x − x + 16 = ( x − ) 2 t 2x +1 = Do phương trình (1) ln có nghiệm  t = Khi (*) trở thành ( 3x − )( 3x − x − 1) ≥ (**) Xét phương trình 3x = ⇔ x = (1) 3x = x + ⇔ 3x − x − 1= ( ) Đặt f ( x ) = 3x − x − hàm số liên tục  ; ta có f ′= ( x) 3x ln > 0, ∀x ∈  ( x ) 3x ln − ⇒ f ′′= Suy phương trình ( ) có tối đa hai nghiệm phân biệt Lại có f= ( ) f= (1) Vậy phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt x = , x = Bảng xét dấu [0;1] ∪ [ 2; + ∞ ) Tập nghiệm bất phương trình 25 x − ( x + ) x + 20 x + ≤ A [ 0;1] B [1; + ∞ ) C ( −∞;0] S Tập nghiệm bất phương trình cho là:= Câu Chọn C D ( −∞;1] Lời giải Đặt x = t , t > , bất phương trình trở thành t − ( x + ) t + 20 x + ≤ (*) CHUN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC (1) Xét phương trình: t − ( x + ) t + 20 x + = Ta có ∆=′ ( 4x + 6) − ( 20 x + 5= ) 16 x − 32 x + 16= 16 ( x − 1) t 4x +1 = Do phương trình (1) ln có nghiệm  t = Khi (*) trở thành ( x − )( x − x − 1) ≤ (**) Xét phương trình x = ⇔ x = (1) x = x + ⇔ x − x − 1= ( ) Đặt f ( x ) = x − x − hàm số liên tục  ; ta có ( x) x ln > 0, ∀x ∈  f ′= ( x ) 5x ln − ⇒ f ′′= Suy phương trình ( ) có tối đa hai nghiệm phân biệt Lại có f= ( ) f= (1) nên phương trình 5x − x − =0 có hai nghiệm phân biệt x = , x =1 Bảng xét dấu ( −∞; 0] Cho bất phương trình 22 x − x.2 x + x + > x + − x (*) có tập nghiệm = S ( a; b ) ∪ ( c; +∞ ) Tập nghiệm bất phương trình cho là: S = Câu tính T =a + 2b − c A log B log 2 C log D log Lời giải Chọn A Ta có 22 x − x.2 x + x + > x + − x ⇔ 22 x − ( x + ) x + x + > Đặt t = x , t > Bất phương trình cho trở thành t − ( x + ) t + ( x + 1) > ( 2) Xét phương trình: t − ( x + ) t + ( x + 1) = Ta có ∆= ( x + 4) − 12 ( x + 1)= x − x + 4= ( x − 2) nên phương trình ( ) ln có nghiệm x + 2x = x +1 t = t = ⇔  x =   +) x = ⇔ x = log +) Xét hàm số f ( x ) = x − x − , liên tục  Ta có f ′= ( x ) x ln − ⇒ f ′′= ( x ) x ln 2 > 0, ∀x ∈  Suy phương trình f ( x ) = , có khơng q nghiệm  Mặt khác f= ( ) f= (1) nên phương trình f ( x ) = có hai nghiệm x = , x = Vậy phương trình ( ) có nghiệm x = , x = x = log Bảng xét dấu VT bất phương trình là: Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT x BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC -∞ VT(*) - + = S Tập nghiệm bất phương trình (*) Vậy T = a + 2b − c = log Câu log23 0 (1) Số nghiệm nguyên thuộc bất phương trình (1) A 1011 B 2022 Chọn D Đặt x = t , t > (1) + ( 0;1) ∪ ( log 3; +∞ ) Cho bất phương trình 3.4 x − ( x + ) x + 14 x + ≥ ( −2022; 2022 ) - +∞ C 4042 Lời giải D 2021 trở thành 3t − ( x + ) t + 14 x + ≥ ( 2) Xét phương trình: 3t − ( x + ) t + 14 x + = Ta có = ∆ ( x + 9) − 12 (14 x + 6= ) 49 x − 42 x += ( x − 3) nên phương trình ( ) ln có nghiệm  x  x +1 2= = + t x  ⇔  x  t =  = +) x = ⇔ x = +) Xét hàm số f ( x ) =2 x − x − , liên tục  Ta có f ′= ( x ) x ln − ⇒ f ''= ( x ) x ln 2 > 0, ∀x ∈  ⇒ phương trình f ( x ) = , có khơng q nghiệm  Mặt khác f= ( ) f= ( 3) Suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm x = , x = Vậy phương trình ( ) có nghiệm x = , x = x = Bảng xét dấu VT BPT (1) cho là: T Ta tập nghiệm bất phương trình (1) là:= [0;1] ∪ [3; +∞ ) Số nghiệm nguyên thuộc ( −2022; 2022 ) BPT (1) 2021 Câu Cho bất phương trình e x − ( x + 1) e x + x + x ≥ (1) Số nghiệm nguyên thuộc [ −20; 20] bất phương trình (1) CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT A 41 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC B 40 C 20 Lời giải D 19 Chọn A Đặt e x = t , t > Khi Bất phương trình (1) trở thành: t − ( x + 1) t + x + x ≥ Xét tam thức bậc hai f ( t , x ) = t − ( x + 1) t + x + x Ta có = ∆ ( x + 1) − ( x + x= ) t ≥ x + t = x Vậy f ( t , x ) ≥ ⇔  hay f ( t , x )= ⇔  t ≤ x t= x + e x ≥ x +  x e ≤ x Xét hàm số g ( x ) = e x − x − , liên tục  Ta có: f ′ ( x ) = e x − = ⇔ x = Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: e x ≥ x + ⇔ e x − x − ≥ 0, ∀x ∈  Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) T =  nên số nghiệm nguyên thuộc [ −20; 20] bất phương trình (1) 41 Câu Cho hàm số y = f ( x )− f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ y O Bất phương trình f = S Trang ( x )− f ( x ) − x.3 f ( x )− f ( x ) + 18 x ≥ 10.3 x f ( x )− f ( x ) − (*) có tập nghiệm là: [ a ; b] ∪ [c ; + ∞ ) Tính a + b + c TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC A B C Lời giải Chọn A Đặt t = f ( x )− f ( x ) D , t > Bất phương trình cho trở thành: t − ( x + ) t + ( x + 1) ≥ (**) Xét phương trình: t − ( x + ) t + ( x + 1) = Ta có ∆′ = ( x + ) − ( x + 1) = x − x + 16 = ( x − ) nên phương trình (**) ln có nghiệm 2 f ( x )− f ( x ) = x + (1) t x + 3 =  ⇔ t = 3 f ( x ) − f ( x ) =  ( )  y O x f + Nghiệm ( ) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = ( x )− f ( x ) đường thẳng có phương trình y = Dựa vào đồ thị có f ( x )− f ( x ) =9 ⇔ x = +) Nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x )− f ( x ) đường thẳng = y x + Dựa vào đồ thị có f ( x )− f ( x ) ( Khi (*) trở thành x = = 2x +1 ⇔  x = f ( x )− f ( x ) )( − 3f ( x )− f ( x ) ) − 2x −1 ≥ Bảng xét dấu x -∞ 3f 2(x)-f (x) 3f 2(x)-f (x) -9 - 2x-1 VT(*) - - +∞ - + - + - + - S Tập nghiệm bất phương trình (*) là= CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 + + + [0;1] ∪ [ 2; +∞ ) Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Câu BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Vậy a + b + c = Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [ −20; 20] bất phương trình sau: ) ( ) ( 24 x + − 18.23 x +1 + x + x − + 85 22 x − x + x − + 2 x + x + x − ≥ A 36 B 38 Chọn A  x ≤ −3 Điều kiện: x + x − ≥ ⇔  x ≥ Biến đổi bất phương trình cho dạng: (2 x +1 ( D 17 ) − 9.2 x ) + x + x − + ( 22 x +1 − 9.2 x ) + x + x − ≥ Đặt = t 22 x +1 − 9.2 x ta có: ) ( C 18 Lời giải ) ( t + x2 + x − + t + x2 + x − ≥ ⇔ t + x2 + 2x − (t + 2) ≥ ( *) + TH1: Nếu 20 ≥ x ≥ x Khi = x (2 x +1 − 9) > ⇒ t + > t + x + x − > Suy (*) t 22 x +1 − 9.2= Vậy trước mắt ta có 18 nghiệm nguyên thỏa mãn toán + TH2: Nếu x = , suy t = −10 thay vào (*) ta có −10 ( −10 + ) ≥ ⇔ 80 ≥ nên x = nghiệm bất phương trình ban đầu + TH3: Với x = suy t = −4 thay vào (*) ta có − ≥ vơ lý nên x = khơng nghiệm bất phương trình cho + TH4: Với −20 ≤ x ≤ −4 ta có: h( x)= x + x − ⇒ h′ ( x )= x + < 0, ∀x ∈ [ −20; −4] h( x) = h ( −4 ) = ⇒ x + x − ≥ , ∀x ∈ [ −20; −4] [ −20;−4] Mặt khác= t 22 x +1 − 9.2 x ⇒= t ′ x ( 4.2 x − ) ln < 0, ∀x ∈ [ −20; −4] Suy t = t ( −4 ) = [ −20;−4] −71 128 71 71 185 > t + > − = > nên (*) 128 128 128 Dễ thấy x = −3 khơng nghiệm Suy có 17 nghiệm ngun thỏa mãn Vậy bất phương trình có 18 + + 17 =36 nghiệm nguyên thỏa mãn yêu cầu đề Cho hàm số y = f ( x) liên tục  có đồ thị hình vẽ Do t + x + x − ≥ − Câu Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Tập nghiệm bất phương trình x − ( x + f ( x ) + 1) x + ( x + 1) f ( x ) ≥ (*) A ( −∞; 0] ∪ [ 2; +∞ ) B [ 0;1 ] − ] ∪ [ 2;  +∞ ) C ( −∞; 1 D [ −1; 2] Lời giải Chọn D Đặt t = x , t > Bất phương trình cho trở thành: t − ( x + f ( x ) + 1) t + ( x + 1) f ( x ) ≥  x = f ( x ) (1) t = f ( x ) 0⇔ Xét phương trình: t − ( x + f ( x ) + 1) t + ( x + 1) f ( x ) = ⇔ x t= x +  = x + ( ) + Nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x đồ thị y = f ( x )  x = −1 x = x Dựa vào đồ thị có= f ( x) ⇔  x =  x = CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC +) Xét hàm số g ( x ) = x − x − , liên tục  Ta có g ′= ( x ) x ln − ⇒ g ′′= ( x ) x ln 2 > 0, ∀x ∈  Suy phương trình g ( x ) = , có khơng q nghiệm  Mặt khác g= ( ) g= (1) nên phương trình g ( x ) = có hai nghiệm x = , x = Khi (*) trở thành ( x − x − 1) ( x − f ( x ) ) ≥ Bảng xét dấu x -∞ -1 2x- f (x) - 2x- x-1 VT(*) + - + + + - + - + + + Tập nghiệm bất phương trình (*) S = +∞ + - [ −1; 2] _ TOANMATH.com _ Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA