phuong trinh logarit chua tham so

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP f  x, m   có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D phương trình logarit chứa tham số: f x  A m Bước Tách m khỏi biến số và đưa về dạng   f  x Bước Khảo sát biến thiên của hàm số D y  A m Bước Dựa vào bảng biến thiên đê xác định giá trị của tham số m đê đường thẳng Tìm m đê nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x f x  A m Bước Kết luận giá trị cần tìm của m đê phương trình   có nghiệm (hoặc k có nghiệm) D  Lưu ý Nếu hàm số y  f  x có giá trị lớn và giá trị nhỏ D thì giá trị A m cần tìm là f  x   A  m   max f  x  xD những m thỏa mãn: xD Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số đê phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên đê xác định cho đường thẳng y  A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x tại k điêm phân biệt Lưu ý quan trọng: Các bước giải phương trình logarit có tham số cần ý:  Bước Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga): ĐK log  f  x    f  x  a    mũ lẻ 0  a  ĐK  log a b   ĐK  f  x  log a  f  x   b  mũ chẵn và  Bước Dùng công thức và biến đổi đưa về phương trình rồi giải  Bước So với điều kiện và kết luận giá trị tham số cần tìm Câu Cho hàm số 3log8  x   2m  3 x   2m   log  x  x   6m   Số giá trị nguyên x  x  15 của m đê phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn là: A m 13 m B 2 13 2 m m D C Lời giải Chọn C Ta có: 3log8  x   2m  3 x   2m   log  x  x   6m    log  x   2m  3 x   m   log  x  x   6m   x  x   6m   2 2 x   2m  3 x   2m  x  x   6m CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-  x  x   6m    x   2m   x  4m   x  x   6m     x  2m  1   x   * Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và chỉ phương trình (1) có hai nghiệm  4m  2m   6m   m  8m    2   2    6m   m  m    2m   phân biệt thỏa mãn (*) 13 17 x1  x2  15   2m    225  4m  8m  221   m 2 Theo giả thiết Câu 13 2 m Do đó log x  log  x  1  log m  m Cho phương trình ( là tham số thực) Có tất m giá trị nguyên của đê phương trình đã cho có nghiệm? A m  B m  C  m  Lời giải D m Chọn C  x    m  Điều kiện: log x  log  x  1   log m  1 Xét phương trình: 5x  5x 1  log m   m  5  m  1  log x  log  x  1   log m  log x x x 1  f  x    ;   x khoảng  Xét Có f  x   2 1 1    0, x   ;    lim f  x   lim     x  x x 5  và x   Ta có bảng biến thiên của hàm số : x có nghiệm và chỉ phương trình   có nghiệm Từ bảng biến thiên suy phương trình   có nghiệm và chỉ  m  Phương trình Trang  1 f  x TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Câu MŨ - LOGARIT- Tìm tất giá trị nguyên của tham số thực m đê phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng A B Chọn A Ta có:  log x     log x  m   0;1  log x  m   log x  log x D C Lời giải   log x  m    log x   log x   m  1 t   ;0  Đặt t  log x với  1  t  t  m f t  t2  t Xét   f '  t   2t  f ' t    t   Bảng biến thiên 1   m    m  Dựa vào bảng biến thiên m Vậy không có giá trị nguyên nào thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu Tìm giá trị thực của tham số m đê phương trình log x  3log x  2m   có hai x  x   72 nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn     A m 61 B m  C Lời giải m D m Chọn C Tập xác định: D   0;   t  3t  2m    * Đặt t  log3 x Phương trình đã cho trở thành * Đê phương trình đã cho có hai nghiệm thì phương trình   có hai nghiệm 37     3   2m     m  t1  t   t t  m  * ,   t , t Gọi là hai nghiệm của phương trình ta có  CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Giả sử MŨ - LOGARIT-  x1  3t1 t1  log x1    t  x2  t2  log x2     x  3  x2  3  72  3t1  3t2   72 Theo đề bài ta có  3t1 t2  3.3t1  3.3t2  63  3t1  3t2  12  t1   t1  t2  2 t1 t1   12.3  27      t  t1    t2  t1t2  2m    2m   m  Mặt khác Câu Có tất giá trị nguyên của tham số m đê phương trình log  x  3  m log A 15 x 3  16 có hai nghiệm thỏa mãn 2  x1  x2 B 17 D 16 C 14 Lời giải Chọn A Tập xác định: Phương trình D   3;   \  2  log  x  3  4m  16 log  x  3 4m t  16  t  16t  4m   * t  log  x  3 , t Đặt phương trình trở thành Với x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn 2  x1  x2   x1   x2    log  x1  3  log  x2   * Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m đê phương trình   có hai nghiệm phân biệt thỏa     64  4m    b t2  t1      16    m  16 a  c  a  4m  mãn m   1; 2;K ;15 Mà m  ¢ nên Vậy có 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán Câu Cho hai số thực a, b  thỏa mãn a  b  2021 Gọi m, n là hai nghiệm của phương trình log a x logb x  log a x   Giá trị nhỏ của biêu thức mn  4a bằng A 8080 B 2032 C 1015 Lời giải D 3626 Chọn A Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Điều kiện: x  Ta có log a x.log b x  log a x    log b a.log a x  log a x   log b a.t  2t    1 Đặt t  log a x, phương trình trở thành    logb a   log b  nên  1 có hai nghiệm t1 , t2 với t1  t2   log a b  log a b log b a t1 t t1  t  a loga b  b Xét hai nghiệm m và n , ta có mn  a a  a mn  4a  b   2021  b   b  4b  4.2021   b    8080  8080 Do đó Câu Dấu "  " xảy và chỉ b  2, a  2019 m   20; 20  log x  log  m  x   Có số nguyên đê phương trình có nghiệm thực A 15 B 14 C 24 D 21 Lời giải Chọn A x   Điều kiện:  m  x  x   t  log    log   4  m x Đặt: x t  x  4.2t        3t  m  x  t  m   4.2t  t  ¡    m  x 3t f  t   t  4.2t  t  ¡  Xét phương trình: f ' t    ln  4.ln 2.2t t ;  ln   t  log    f ' t    ln  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi: m  4,56 m  ¢ , m   20; 20   m   5;6;7; ;19 Mà 15 Vậy có số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Câu MŨ - LOGARIT- Số giá trị nguyên của tham số m đê phương trình nghiệm phân biệt là A B Vô số C Lời giải Chọn D Điều kiện: x  log ( x  1)  log ( mx  8) có hai D log ( x  1)  log (mx  8)  log ( x  1)  log (mx  8)  ( x  1)  mx  Ta có:  x  x   mx x2  2x   m x Do x  nên suy x2  x  f ( x)  x Xét hàm số khoảng (1;  ) x2  x , f ( x )   x  3 Bảng biến thiên f ( x)  Nhìn vào BBT ta thấy, từ yêu cầu của bài toán tìm  m  m   5;6;7 Do m nguyên nên Vậy có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu log  x  3  m log Có giá trị nguyên của m đê phương trình nghiệm thỏa mãn 2  x1  x2 A 17 B 16 C 14 Lời giải x 3  16 có hai D 15 Chọn D Điều kiện xác định: x  3 và x  2 log  x  3  4m log  x 3  16  Biến đổi phương trình đã cho về phương trình sau:  log  x  3  16 log  x  3  4m  (1) log  x  3  t t  16t  4m    Đặt , phương trình   trở thành: t log  x  3  t  x   Ta có: t Theo điều kiện đề bài thì x  2 nên   2  t  log  x  3  m log x 3  16 Vậy đê phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2  x1  x2 thì phương trình   phải có hai nghiệm t dương phân biệt Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-    64  4m    t1  t2  16      m  16  4m   t1 t2  4m  m Vậy có 15 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 10 Có giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ 2022 đê phương trình   log m  m  x  x  có nghiệm thực? 2018 B C 2021 Lời giải A 2022 D 1011 Chọn A Phương trình đã cho tương đương với phương trình :   x x 2x x m  m  x  52 x  m   m    Ta có m  x  , 5x  Xét hàm đặc trưng f  t  t2  t  0;    f   t   2t   0, t   0;     f  f  t  đồng biến khoảng  0;    đó  1   m  5x  f  5x   m  5x  5x  m  52 x  x x  m  g  a   a2  a Đặt a  , a  Ta có Phương trình đã cho có nghiệm m   1; 2;3; ; 2022 m mà m nguyên dương nhỏ 2022 nên Vậy có 2022 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 11: Cho phương trình  m  1 log 21  x  1 2   m  5 log  4m   x 1 Hỏi có giá     ;1 trị m nguyên âm đê phương trình có nghiệm thực đoạn   ? CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- A B D C Lời giải Chọn D     ;1 Trên đoạn   thì phương trình xác định Với m nguyên âm ta có m  , đó phương trình đã cho trở thành  m  1 log 21  x  1   m   log  x  1  4m     m  1 log 2  x  1   m  5 log  x  1  m     x    ;1   thì 1  t  Ta có phương trình Đặt , với t  5t  2  m   m  1 t   m  5 t  m    m t  t   t  5t  t  t   * t  5t  f  t  t  t  với 1  t  Xét hàm số t  log  x  1  f  t   Ta có f  1  Do đó t  4t   t  1 ; f   t    t  1 , f  1  3 f  t   3  1;1 và max f  t    1;1     ;1 * Phương trình đã cho có nghiệm thực đoạn   và chỉ phương trình   có f  t   m  max f  t   3  m  t   1;1   1;1  1;1 nghiệm m   3; 2; 1 Do m nguyên âm nên 10;10  Câu 12 Có giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng  đê phương trình x 1  log 27  x  3m   m có nghiệm? A B C 10 D Lời giải Chọn C Điều kiện: x  3m  Ta có 3x 1  log 27  x  3m   m  3x  log  x  3m   3m 3x  t  3m  3x  x  3t  t  t t  log  x  3m   x  3m Đặt , ta có ta có  f u  3u  u f  u  3x ln    f  u  Xét   có   đồng biến, ta có x t  x   t  f  x   f  t   x  t  x  log  x  3m   3x  x  3m  * g  x   3x  x Xét hàm số Bảng biến thiên: Trang  g   x   3x ln  g  x    x  log ln có ; TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC  * Phương trình MŨ - LOGARIT- có nghiệm log Câu 13 Cho phương trình 3m  log  x  m   log S   m | m  49; m  ¢  1  m  log  m   0;1; 9 ln 3 ln  2x 0 (1) Với m là giá trị của tập đê phương trình (1) có nghiệm Tính tổng lập phương tất phần tử của S A 1382975 B 1382976 C 1382977 D 1382978 Lời giải Chọn A log Ta có:  x  m   log Vì x  nên   2x 0  log  x  m   log  x    m x  2x   m  2m 2 Kết hợp với m  ¢ , m  49 Khi đó   m  49 m   1; 0;1 48 Vì m  ¢ nên có 50 giá trị Vậy tổng S giá trị của m đê phương trình có nghiệm là: S   1  03   13  23  33   283   1  482.492  1382975 Câu 14 Cho phương trình log  x   m  3 x   m   log 2 x  x   3m   Số giá trị nguyên của m đê 2 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  20 là: A 13 Chọn D log Ta có: B C 14 Lời giải  x   m  3 x   m   log CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 x D  x   3m   Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC  log MŨ - LOGARIT-  x   m  3 x   m   log x  x   3m   x  x   3m   2 2 x   m  3 x   m  x  x   3m  x  x   3m   *  x  x   3m   *     x  m  x   m   x  2m  (1)  x   Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và chỉ phương trình (1) có hai nghiệm  m  m   3m   m  4m         3m     m  2   3m  m   phân biệt thỏa mãn (*) 2 2 Theo giả thiết x1  x2  20 hay m   20  m  16  4  m  Do đó 4  m   Vậy số giá trị nguyên của m thỏa mãn là ln ln  cos x  m   m   cos x (1) Câu 15 Cho phương trình  Tìm tất giá trị của m đê phương trình (1) có nghiệm 1 A  m  e  B e 1   m  e 1  C 1  m  D  m  e  Lời giải Chọn D Đặt u u  ln  m  cos x  e  m  cos x    cos x ln  m  u   cos x e  m  u u  ln  cos x  m  ta hệ phương trình: eu  u  ecos x  cos x  * Từ hệ phương trình ta suy ra: f t  et  t f ' t  et   0, t  ¡ Xét hàm số   có   f t ;   Hàm số   đồng biến   *  f  u   f  cos x   u  cos x ln m  cos x   cos x  e cos x  cos x  m  ** Khi đó ta được:  ; z z  cos x, z   1;1 ** e  z  m  ** Đặt Phương trình   trở thành: g z  ez  z 1;1 Xét hàm số:    g z  ez  z 1;1 g '  z   e z  1; g '  z    e z    z  Hàm số   liên tục  ; và có Bảng biến thiên Do đó Trang 10 max g  z   g  1  e  1, g  z   g     1;1  1;1 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Phương trình đã cho có nghiệm phương trình  2 có nghiệm  1;   \  0 m  m  Từ bảng biến thiên suy   m   1;  2; ; 2017 m   2017; 2017    m   Vì có 2018 giá trị m thỏa mãn Câu 23 Cho phương trình  xm log x 2  x  3  22 x  x log  x  m    với m là tham số Tổng tất giá trị của tham số m đê phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là A B C D Lời giải Chọn B  xm log Ta có: 4  xm  2.4 log  x m 22 x 2 x  x  3  22 x  x log  x  m    2  x  3  2 x  x log 21  x  m    log  x  x  3  2 x  x log  x  m     2.4 x  m log  x  x  3  2 x  x log  x  m    2.log  x  x  3  2.2 x  23.2 x  2x 2 x 2 x  x2  log  x  m    x m log  x  x  3  22 x  m log  x  m   log  x  x  3  22.2 2 x xm log  x  m   log  x  x  3  22 x  m  2.log  x  m    x 3 y  f  t   2t.log t (1) f   t   2t.ln 2.log t  2t  0, t  t ln với t  , có y  f  t   2t.log t 2;   Suy hàm số đồng biến nửa khoảng  Khi đó Xét hàm số  1  f  x  x  3  f  x  m    x2  2x   x  m   x2  2x    x  m    x  x    m  x   x    2m      x  2m   3 Trang 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Trường hợp 1: Phương trình (3) có nghiệm kép và phương trình (2) có nghiệm phân biệt   m   2m     m  2m   m    khác Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (3) có nghiệm phân biệt  m   2m        2m     m   m  2  2m      m   khác m Vậy tổng tất giá trị của tham số đê phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là  2 2  x m log x  x  3   x 2 x log  x  m    Câu 24 Cho phương trìn Tìm tất giá trị của tham số m đê phương trình có hai nghiệm thực phân biệt A m m Chọn A  xm log 1 x  m 2 x log  x  3  2 x x B 2 x  x  3  m C Lời giải m D m m log  x  m     x2  x log  x  m    log 2 x  2  x  3 3 x  x 3   log  x  m   3  x  m   1 u 2u  log u 2u log u  f  u    log u.ln   f  u   3 u  8 u.ln  u  2 Xét hàm số với Ta có u  Suy hàm số f  u  đồng biến  2;   nên  x  x   2m   1 2 f  x  x  3  f  x  m     x  1  x  m    x   2m    phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt TH1: Phương trình (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm suy 3  2m   m   I   2m   TH2: Phương trình (2) có nghiệm hai nghiệm phân biệt, phương trình (1) vô nghiệm suy 3  2m   m   II   2m   TH3: Phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm này giống CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 17 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- 3  2m    m   III   2 2m   a  b   a ; b ( b  a ) Gọi là hai nghiệm của phương trình (1), theo định lý viet ta có a.b  2m  Vì a  b   a; b cung là nghiệm của phương trình (2) nên  a.b  2m  suy vô lý vậy m   (III) m m Vậy từ (I) ; (II) và (III) suy Câu 25 Cho phương trình giá trị m nguyên  m  1 log  x  1   m   log 3  4m    1 x 1 Hỏi có     ; 2 âm đê phương trình (1) có nghiệm thực đoạn ? A B D C Lời giải Chọn D Ta có  1   m  1 log  x  1   m   log  x  1  4m     m  1 log 3  x  1   m   log  x  1  m   3   t  log  x  1 x   ; 2   thì 1  t  ta có phương trình: Đặt với t  5t   m  1 t   m  5 t  m    m  t  t  1  t  5t   m   2 t  t 1 t  4t  f  t   0 t  5t  f  t  t  1  t  t  1 t  t  với 1  t  Ta có Xét hàm số 7 f  t   3; max f  t   f  1  ; f  1  3  1;1  1;1 Do đó     ;  Phương trình đã cho có nghiệm thực đoạn và chỉ phương trình (2) có nghiệm t   1;1  f  t   m  max f  t   3  m   1;1  1;1 3; 2; 1 Như vậy giá trị nguyên âm của m cần tìm là  Câu 26 Gọi S là tập chứa tất giá trị thực của tham số m đê tồn tại log 22  x  y   4m log  x  y   15  3m  x; y   số thực thỏa mãn Tính tổng bình S phương giá trị tất phần tử của tập đó 144 45 225 41 A 289 B C 256 D 16 Lời giải Trang 18 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Chọn C  x; y  thỏa Áp dụng quy tắc cần và đủ, ta nhận thấy vai trò của hai ẩn x và y là Nếu  y; x  thỏa mãn Vì vậy, muốn số  x; y  thỏa mãn là thì tất biến mãn thì phải bằng Suy x  y Phương trình trở thành sau:  log 22  x   4m log  x   15  3m     log x   4m   log x   15  3m   log 22  x    m  1 log x  16  m  m     4m  1   16  m      m  15 16  Đê có nghiệm thực x thì Ta thử lại: log 22  x  y   log  x  y   12  Với m  , ta có: y   log 22  x   log  x   12   log 22  x   8log  x   12  Dê thấy cho Do phương trình có hai nghiệm nên suy trường hợp này loại 15 15 285 m log 22  x  y   log  x  y   0 16 , ta có: 16 Với Đánh giá thông qua bất đẳng thức Bunyakovsky, ta nhận thấy:   x  y   285 15 285 15 2 2  log  x  y   log  x  y    log  x  y   log     16 16   2 15 225  15  15   log  x  y   log  x  y    log  x  y     log  x  y    16  4 x  y  15  x y 4 16 x  y   Dấu bằng xảy và chỉ  (thỏa mãn)  15  225 S    16  Tổng bình phương bằng: 256 Suy Câu 27 Gọi S là tập chứa tất giá trị thức của tham số m đê tồn tại ba số thực 2  x; y; z  log 22  x  y  z   2m log  x  y  z   thỏa mãn điều kiện phần tử của tập S tương ứng bằng: A B 16 C Lời giải Tích tất D 12 Chọn A Điều kiện x  y  z  x  y  z  2 x  y  z  2 x2  y2  z 4x  y  2z  2x2  y  z Ta có hay  x  y  z Dấu đẳng thức xảy 2 x  y  z  x  y  z  log  x  y  z    log  x  y  z  Khi đó  log  x  y  z   log  x  y  z    CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 19 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- log 22  x  y  z   2m log  x  y  z   2m log  x  y  z   log 22  x  y  z   log  x  y  z    2  t    2mt  2t   m   t   t  log  x  y  z  Đặt ta 2   m    64  2t   m   t   Yêu cầu bài toán  có giá trị t m    m  16  log  x  y  z    x  y  z  * Khi m  thì t  x yz  x  y  z Mặt khác dấu đẳng thức xảy nên x yz 32 Vậy S   0; 16 * m  16 tương tự 2 y x  log y 1 x Câu 28 Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức Hỏi có tất giá trị nguyên m   40; 40 2 đê tồn tại số thực x thỏa mãn hệ thức y  10 x  mx   ? B 52 C 53 D 31 Lời giải  0, x; y nên với y  thì log y 1 x   x  A 51 +) Vì 2 y  x2 x   Do đó điều kiện của bài toán là  y  +) Khi đó  2 y 1 2x 2 y  x2  log y 1 x  2.2 y x2  log y 1 x  2 log x 2 y 1  2 log  y  1  x log x log  y  1 f t  log t 1;   Xét hàm đặc trưng    , ta có f t 1;   Do đó hàm   đồng biến  t Khi đó, y 1 x  log y 1 x f   t   2t.ln 2.log t  f  y  1  f  x   y   x  y   x  1 2t  0, t  t ln y  10 x  mx     x  1  10 x  mx   +) Ta có  x  12 x  mx   x  12 x  m (do x  ) 2 2 g x  x  12 x  g   x   3x  12 g   x    x  2 Xét hàm   , Bảng biến thiên: Trang 20 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Từ bảng biến thiên của hàm g  x 2 suy phương trình y  10 x  mx   có m   11; 40 nghiệm và chỉ , đó có tất 52 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 29 Cho số thực x, y, z thỏa mãn log  x  y   log  x3  y   log z  x, y  Có bao giá trị nguyên của z đê có hai cặp thỏa mãn đẳng thức A B 211 C 99 Lời giải D Chọn B ĐK x   2 x  y   y   z  log3  x  y   log  x3  y  Ta có 2 x  y  3t  1    log z  t   x3  y  7t    t  3   z  10 t    x  thay vào  1 ta + Nếu y  + Nếu y  2t 2.7  3t  t  log 3 49 log đó z  10 3 49   x 3     2  y     Từ  1 &   suy  x  y   27t t t x3  y     49   49      ,  *     27    x 2   27  x2  y2   x3  y   49t    2  1    y     u  2 f  u   2u  1 x  u, u   Đặt y Xét Ta có bảng biến thiên  f  u   6u  u    u    2u  1 u     u   u    x, y  thỏa mãn bài toán đó Nhận xét với giá trị u tương ứng với cặp t  4 1 log 49   log 49    49   33  8      10 27  z  10 27 Yêu cầu bài toán tương đương 33  27  Vì z là số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 21 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Câu 30 Cho phương trình sau: x   2mx  x 2 4 x m      x  x  m  1 22 x  mx  1  Hỏi có tất giá trị thực của tham số m đê phương trình đã cho có nghiệm thực x? A B C D Lời giải Chọn A x   2mx  x 2 4 xm      x  x  m  1 22 x  2x Nhân vế với 2:   4mx  x 4 x m  mx  1     2  b     x  x  m  1 22 x Đặt: a  x  4mx , b  x  x  m  2   a 2x 4 xm  mx x  mx   1  1   * 2b 1  2  2a 1  b a Nếu a  0, b  thì (vô lý) x   x  2mx   a    x  2m b   tm      x  4x  m    x2  4x  m 1     Suy ra: Đê có nghiệm thực phân biệt thì (1) có nghiệm:  x   m 1  x  2m  m   65 + nghiệm kép  m  Câu 31 Tổng tất số nguyên a đê tồn tại số thực b thỏa mãn 4b  a   a   3b A B C 3 Lời giải Chọn C D 2  a  2  b a2 Điều kiện  Đặt a   t,  t  0  a  t  , phương trình trở thành  b 9b  4b b b b    1 4  t   2.3 t  t t  t  4b  t  t  3b  4b  t  3b  t   b  3  t  3b  t   Đê phương trình (1) có nghiệm: b 4         2.4        b  log  b  log 2 9 b b Khi đó tổng hai nghiệm t1  t2  Đê có nghiệm t  thì phương trình (1) phải có hai nghiệm b b b b b không b b âm     b  Trang 22 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Khi đó ta có hai trường hợp nghiệm của phương trình t  2.4  Ta có  3b  2.4b  9b 3b  2.4b  9b a2  a  2  t  2.4  Ta có  3b  2.4b  9b 3b  2.4b  9b a2  a  2  b b b   2     2   Trường hợp 1:  b  log a   1;0 a   2;1 Với ta thấy mà a nguyên nên b b b Trường hợp 2:  b  log a   2;  a   1; 2 Với ta thấy mà a nguyên nên Vậy tổng tất số nguyên a thỏa mãn là 1    3 x   a.2 x log  x  x  b  Câu 32 Cho phương trình Có số  a, b  thỏa mãn điều kiện 100a  ¢,100b  ¢ , 100  a, b  100 cho phương trình có nghiệm A 15 B C D Lời giải Chọn B x   a.2 x log 2 x  x  b  x  22  x  a log  x   x   b  Ta có Ta nhận thấy x  x0 là nghiệm thì x   x0 là nghiệm Do đó đê có nghiệm thì   p q a ,b  x0  Khi đó thay vào ta được:  a log  b  1  a  b  Đặt 100 100 với p, q  ¢ Khi đó: 400 p  b 1  400 q q Â Ô 100 Chỳ ý 100 nên p Ta có tình huống: 400  ¢   p   1; 2; 4;5;8;10;16; 20; 25; 40;50;80;100; 200; 400 Trường hợp 1: p 400 p 400 400  log 101  p   60 p   80;100; 200; 400 p log 101 Vì vậy    a; b    ;31;  1;15  ;  2;3 ;  4;1     Với số  a; b  tương ứng đều có Khi đó ta có: nghiệm vì ta có đánh giá:  b   101   x  2 x  2 x 2 x   a log  b  1  a log b    x  1  400  ¢ Trường hợp 2: Nếu p đó vế trái có dạng phân số với mẫu số có dạng lũy thừa của Vì vậy vế phải phải vậy tức là qM25 Lại có đó  Với 1 400 p  b 1  q  25  400 p  q    100  q  q   25; 50; 75 100  p¢ (Loại) CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 23 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC  Với MŨ - LOGARIT- q  50  Khi đó: x 1 1  p  400  a  4, b   2 1   4 log  x   x     Dùng TABLE ta thấy có nghiệm  x  22 x q  75   400 p 400 p Với Khi đó: x 1 x  22 x   p  200  a  2, b   4 3   2 log  x   x     Dùng TABLE ta thấy có nghiệm    a; b  Kết luận: Có tất số  thỏa mãn điều kiện  22l o g x l o g x  41 l o g x x    m  3x  2m  Câu 33 Cho phương trình sau: (với m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên dương của m đê phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Tổng của phần tử nhỏ và phần tử lớn của S bằng 100 A  100 B  99 D  99 C Lời giải Chọn A x   x m Điều kiện:  2 Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4 2    2   m  Ta có: 2lg x  lg x 1 lg x 3 x  m  2l o g x  l o g x  41 l o g x   x  100   x   10  *  x  log m, m  ¢  x 2l o g x  l o g x  41l o g x    2  x x  m  x log x    log x   3x  m   x   log x  log x   2log x 3  m Trường hợp 1: Với m  thì x  100, x  10 biệt x  log m  (loại) Do đó phương trình đã cho có nghiệm phân x  log m  nên phương trình đã cho nhận nghiệm Trường hợp 2: Với m  thì x  log3 m 100  10 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Mà  log m  100  10 Trang 24 10  m  3100 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-     m  2;3; 4; ,3100  S  2;3; 4; ,3100  Do m nguyên dương, m  nên Vậy 100 Suy tổng của phần nhỏ và phần tử lớn của S bằng  xm f ( x)  x  Gọi S là tập hợp số nguyên dương Câu 34 Cho hàm số m  cho với số thực a, b, c   2;3 thì ln f (a ) , ln f (b) , ln f (c) là độ dài ba cạnh của tam giác Tổng phần tử của S là A 10 B 15 C 16 Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có với m  S , x   2;3 f ( x)  D 14 xm 0 2x  thì f ( x)  2m g ( x )    0, m  S , x   2;3 g ( x )  ln f ( x ), f ( x ) ( x  m )(2 x  1) Xét hàm số ta có vậy ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x) sau m3 0m4 a, b, c   2;3 ln f (a ) , TH1: , lúc này xét số thực cho g ( x)  max g ( x) ln f (b) , ln f (c) x 2;3 là độ dài ba cạnh của tam giác đó ta cần có x 2;3  19  29 m  10  5m  19m  53     19  29 m3 m   m3  m2  ln  ln   m    10  , ln m   6; 7 kết hợp với m  S ta có m2 ln 0 m3 a, b, c   2;3 ln f (a ) , TH2: , lúc này xét số thực cho ln f (b) , ln f (c ) là độ dài ba cạnh của tam giác đó ta cần có m3 m2   m2  m3 2 max g ( x)   g ( x)  ln  ln   x 2;3 x 2;3  m  3m  47     3  53 3  53 m m   1; 2 14 14 , kết hợp với m  S ta có CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 25 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-  m2 ln   3 m   ln m      2;3 TH3:  đó tồn tại đê ln f ( )  đó chọn a, b   2;3 ln f (a ) , ln f (b) , ln f ( ) ba số a, b,  với thì không thê là độ dài của cạnh của tam giác S   1; 2;6;7 Từ trường hợp ta có đó tổng phần tử của S là 16 f ( x)  log x 2.log   x   m Câu 35 Cho hàm số Hỏi có giá trị nguyên dương của tham số m đê phương trình f A   x  2 x  B có tổng tất nghiệm bằng C D Lời giải Chọn D  t   2;  + Đặt t  x   x x   x  t0  * Giả sử t0 là nghiệm của phương trình f (t )  đó: Dễ thấy pt (*) chỉ có tối đa nghiệm vì bình phương thoát hết chỉ phương trình bậc hai + Nếu x0 là nghiệm của phương trình (*) thì  x0 là nghiệm của (*) vì:  x0     x0   t0  x0   x0  t0 Mà x0    x0    x0  Đê phương trình f  nên suy x  2 x   có tổng nghiệm bằng    Phương trình f (t )  có nghiệm  2;  log t 2.log   t   m  + Xét phương trình f (t )   ln ln   t   m ln t ln  ln   t   2m ln t * ln  t   2m ln t   t  t m  t m  t   Vì m  ¥ nên ta có:  2m + Xét hàm số g (t )  t  t  t   2;    g (t )  2mt m 1      * m  ¥    Phương trình g (t )  có nhiều nghiệm  2;  g (t )  g  m     m  ¥ * Mặt khác Suy phương trình g (t )  vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán     x   log3    3m log x  2m  2m     Câu 36 Cho phương trình  Có giá trị nguyên của tham số m lớn 2021 cho phương trình đã cho có hai nghiệm Trang 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC phân biệt A 2020 x1 , x2 thoả MŨ - LOGARIT- x1  x2  10 ? B 2019 C 2020 Lời giải D 2021 Chọn A Điều kiện: x    x  2  log3    3m log x  2m  2m     log x  1  3m log x  2m  2m      t  log x Đặt Phương trình trở thành  t  1 t   m  3mt  2m  2m    t   3m   t  2m2  2m    t  2m   x  3 m  2 m  x  x1  x2  10  3 m  32 m   10  9.32 m  3 m  10   3 m   m   m  m   2020; 2019; ; 1 Vì m  ¢ và m  2021 nên Câu 37 Hỏi có tất giá trị nguyên của tham số m   24; 24  đê ba   x 3x x 1 x   1; 2 9.2  ;  m  ;  3.2 số hạng sau theo thứ tự tạo thành cấp số cộng, với : A B C 17 D Lời giải Chọn A Đê ba số lập thành cấp số cộng thì  9.2 x   1   23x  3.22 x 1   2m  23 x  6.22 x  9.2 x  2m  Đặt t  x   21 ; 22    2; 4 Khi đó f  t   t  6t  9t  2m  Suy t   2; 4  f  t   t  6t  9t   2m   max  f  t   t  6t  9t   2;4  2;4   2m    Câu với  m   m   1; 2 2 Hỏi có tất giá trị nguyên của tham số phương trình A   m  1  3m   2x x B 18 m   18;18 đê có hai nghiệm thỏa  x1    x2 C 11 D 12 Lời giải Chọn D x Đặt t   Phương trình trở thành: CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 t   m  1 t  3m    m  t  2t  2t  Trang 27 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Hai nghiệm thỏa mãn:   t1    t2 Xét hàm số y  f  t   x1    x2  20  x1  t1  21  23  x2  t2 t  2t  2t  có bảng biến thiên sau: Suy m    m  18 tức có tất 12 giá trị nguyên m thỏa m   2022; 2022 Câu 38 Gọi S là tập hợp chứa tất giá trị nguyên của log 2 x   2m  1 log  x   2m   cho phương trình  x1  x2  Số phần tử của S là A 2021 B 2019 có hai nghiệm cho thỏa mãn C 18 Lời giải D 2023 Chọn A f  t   t   2m  1 t  2m   t  log x Đặt Phương trình trở thành: (1) Hai nghiệm phân biệt thỏa mãn  x1  x2   t1  t  log     2m  1  2m   4m  6m  2 Ta xét phương trình (1) có:  3  17 m    4m  6m      3  17 m   Khi thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: t   2m  1  4m  6m  1 t   2m  1  4m  6m  2 Đến ta chỉ cần điều kiện t2   2m  1  4m  6m   là bài toán giải quyết m    2m     m  m  8m   m  m  m   3  17 m  mZ ; m 2022;2022    2022  m  2  3  17 m  Kết hợp với điều kiện   , suy ra:  Trang 28 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Như vậy có tất 2021 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 39 Hỏi có tất giá trị nguyên của tham số phương trình sau có nghiệm m   20; 20 đê   log x  m  x x    2m   x     2m  x  B 23 A 12 C 25 D 10 Lời giải Chọn B Phương trình tương đương với:   log x  m  x x    2m   x     2m  x     log 2 x  2m  x x    2m   x    2m  x     log  x  x      log     16 x 4x   2   m     2m   x    m  x      2m      2m      x   x  8x Đặt t  x   x , ta thấy lim x  x   x  0; lim x   t2 t 4t x   x    t   0;    x   16   2m   t  log      2m  t  t   Phương trình trở thành   t 16   2m   t t2  log  16   2m   t    log  t   t t u 1 y  f (u )  log u  f  u   0 t có u ln t Xét hàm đặc trưng (xem t là tham số) Suy f (u ) đồng biến  f  16   2m   t   f  t   16   2m   t  t  t  16  2m 16 mZ ,m 20;20   m    20  m   2m Do nên suy Như vậy ta kết luận có tất 23 giá trị nguyên của tham số m Chọn B t   0;   t2  x y y  2   x  y  1  x y 2   m  2  y    Câu 40 Cho hệ phương trình  , m là tham số  1 có nghiệm Tập S có phần Gọi S là tập giá trị m nguyên đê tử? A C B D Lời giải Chọn B Điều kiện y   y   1;1 CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 29 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-  1 ta có x  y   x  y   y  y   Từ phương trình thứ của hệ y  f  t   2t  t Xét hàm số với t  ¡ t y  f  t Dễ thấy y  ln   với t  ¡ nên hàm số đồng biến ¡   tương đương với x  y  y  x  y Do đó phương trình    1 ta y   m2  2 y  y  3 Thay x  y vào phương trình thứ hai của hệ  3 phải có nghiệm y   1;1 Đê hệ đã cho có nghiệm thì phương trình y0    m   y0  y02 Giả sử y0   1;1 Khi đó 4 y0    m   2 y0    y0   y0    m   y0  y02  3 là nghiệm của thì  3 nghiệm của  3 ta m  Suy y0   y0  y0  Thay y  vào Thử lại: với m  Ta có VT     3 thì viết thành 2y  y   2.2 y  y  y  nên  y0 là   y2  4 y  y  VP    2y ; , dấu bằng y  , dấu bằng   có nghiệm là y  Suy phương trình Vậy m  thỏa mãn (1 giá trị m thỏa) _ TOANMATH.com _ Trang 30 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ... 1 f  x TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Câu MŨ - LOGARIT- Tìm tất giá trị nguyên của tham số thực m đê phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng A B... CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Câu MŨ - LOGARIT- Số giá trị nguyên của tham số m đê phương trình nghiệm phân biệt là A B Vô số C Lời giải Chọn D... THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-    64  4m    t1  t2  16      m  16  4m   t1 t2  4m  m Vậy có 15 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 10 Có giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ