CHỦ ĐỀ 8 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi Khi đó Chú ý Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau ( Cho hàm số liên tục trên đoạn Để tính , đôi khi ta chọn hàm số làm biến số mới, trong đó trên đoạn có đạo hàm liên tục và ( Giả sử có thể viết với liên tục trên đoạn Khi đó, ta có 2) Các dạng toán trọng tâm ( Dạng 1 Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc ( Tro.
CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí: Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b Giả sử hàm số x t có đạo hàm liên tục đoạn ; cho a; b a � t �b với t � ; b a f x dx � f t ' t dt Khi � Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép biến đổi biến số dạng sau: Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b Để tính b f x dx , ta chọn hàm số u u x � làm a biến số mới, đoạn a; b , u x có đạo hàm liên tục u x � ; Giả sử viết f x g u x u ' x , x � a; b , với g u liên tục đoạn ; b u b a u a f x dx Khi đó, ta có � �g u du 2) Các dạng toán trọng tâm Dạng 1: Đổi biến số với hàm vô tỉ quen thuộc Trong biểu thức f x dx có chứa đặt t Trong biểu thức f x dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f x dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 1: Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số: ln dx a) I � 2x 1 3 b) I dx �e x 1 x xdx c) I � dx d) I � x2 Lời giải Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận �x � t a) Đặt t x � t x � dx tdt Đổi cận � �x � t 3 t � � 1 dt t 3ln t Khi I � dt � � � t t � � 1 3.ln 3.ln 3.ln x x x b) Đặt t e � t e � 2tdt e dx � dx 2t dt t 1 2 �x � t dt t 1 , I ln Đổi cận � � t 1 t 1 �x ln � t 2 c) Đặt t x � t x � 3t dt dx Đổi cận ln 3 2 x 1� t x � t 2 2 2 �t t �2 468 Khi I � t t 3t dt � t t dt 3 �7 � � �0 0 �x � t � d) Đặt x 2sin t � dx cos tdt t � 0; Đổi cận � x 1� t � � cos t cos t Khi I � dt � dt � dt 2t 2 cos t 4sin t 0 55 Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho dx a ln b ln c ln11 với a, b, c � x x9 số hữu tỷ 16 Mệnh đề A a b c B a b c C a b 3c Lời giải x 16 � t x 55 � t Đặt t x � t x � 2tdt dx Đổi cận 8 D a b 3c 2tdt 2dt t 3 � ln Khi I �2 t 3 t 3 t t 9 t 5 1 1 ln ln ln ln ln11 11 3 1 Do a ; b ;c � a b c Chọn A 3 dx I � a ln b ln c với a, b, c số hữu tỷ, tính tổng x x Ví dụ 3: Cho A a 4b 12c A A 2 B A 4 C A Lời giải Đặt t x � t x � tdt 2dx Đổi cận Khi I x 6�t 5 x 2�t 3 5 �1 tdt tdt � dt dt � � � � � 2 �t � (t 1) t (t 1) � 3� � � t �2 � ln ln D A � � � ln t � ln t �3 12 � 1 � a 1; b 1; c 12 12 Do A a 4b 12c 4 Chọn B Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn b b b a a a f x dx � f t dt � f u du (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) Chú ý tính chất: � Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn f x dx 12 � f 3x dx Tính tích phân I � A I B I 36 f 3x dx Ta có: I � C I Lời giải D I 1 12 t 3 x f 3x d 3x ��� � � f t dt � f x dx Chọn D � 30 30 30 Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục 1; � A I B I f x dx Tính I � x f x dx � C I Lời giải D I 16 �x � t Đặt t x � t x � 2tdt dx đổi cận � �x � t 2 1 f x dx 2� t f t dt � � t f t dt � � x f x dx Chọn C Khi I � f x dx a �f x dx b Tính tích phân I �f x dx theo a b � Ví dụ 3: Cho x A I a 2b 0 C I a b B I 2a b D I ab Lời giải Ta có: f x dx � x 2f � x d 3 2 t x x ��� �� f t dt a �� f t dt a a f x dx Do � 2 1 2 a 1 u2 x f x dx � f x d x ��� � � f u d u � f x dx b Lại có: � 20 20 20 Do 3 0 f x dx 2b � � f x dx � f x dx � f x dx 2b Chọn A � Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn ln e f e dx f sin x cos xdx � � x 0 f x dx Tính tích phân I � A I Ta có: B I f sin x cos xdx � C I Lời giải D I 1 1 t sin x f sin x d sin x ��� � � f t dt � f x dx 1 � 30 30 30 x �� f x dx 3 ln ln 0 e x f e x dx Lại có: � 2 1 x x u e �� f u du � f x dx �f e d e ��� x 2 0 f x dx � f x dx � f x dx Chọn D Do I � x dx 16 f f x cot xf sin x dx Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục � thỏa mãn � � x f 4x I � x dx Tính tích phân B I A I D I C I Lời giải 4 cos x A� cot xf sin x dx � f sin x dx sin x f t f x A dt � dx 2 � � Đặt t sin x � dt 2sin x cos xdx, đổi cận suy x 2t 1 x dx ���� 16 f Mặt khác B � u x x 4 f u f u f x udu � B du � dx � � � u u x 1 4 f 4x f v dv f v f x v4 x I � dx ��� � I � � dv � dx A B Xét v v x x Chọn D 1 2 Ví dụ 6: Cho khẳng định sau: 1 0 sin x dx � sin xdx (1) � (2) sin x dx sin xdx � � 0 (3) f x dx f sin x cos xdx � 2� 0 (4) f x dx 2� x f x � 1 dx Số khẳng định là: A B C Lời giải D 1 1 0 0 t 1 x sin x dx � sin x d x ��� �� sin tdt � sin tdt � sin xdx Ta có � x x x 0 sin dx 2 � sin d 2 � sin udu 2 � sin xdx � 2 0 1 1 1 f sin x cos xdx � f sin x d sin x � f v dv � f x dx � 20 40 40 40 2 5 1 1 2� x f x 1 dx � f x 1 d x 1 � f z dz � f x dx Số khẳng định Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn x2 f x f tan x dx a �x dx b � 1 f x dx theo a b Tính tích phân I � A I a b a C I b Lời giải B I a b D I a b x 0�t dt Đổi cận Đặt x tan t � dx x 1� t cos t Khi �x Suy 0 f tan x dx � tan � cos x tan t f tan t dx � dt � tan t f tan t dt � tan x f tan x dx b 1 tan t cos t 0 f tan x dx � x f x 2 x f tan x dx � tan x f tan x dx 1 0 � f tan x d tan x � f u du � f x dx f x dx a b Chọn A Do I � Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f x liên tục đoạn a; a Chứng minh rằng: a a a f x dx 2� f x dx f x hàm số chẵn a) � a b) �f x dx f x hàm số lẻ a Lời giải a) Hàm số f x hàm chẵn f x f x 0 0 a a a a a t x f x dx � f x d x ��� � � f t dt � f x dx � f x dx Ta có: � a a a a a 0 f x dx � f x dx � f x dx 2� f x dx Do � b) Hàm số f x hàm lẻ f x f x Ta có: a a a a a a a a a a t x �� f t dt � f x dx �f x dx �f x dx �f x d x ��� a f x dx 0 � Do � a a �f x dx a Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn f x f x cos x , x �� 3 Tính I �f x dx 3 A I 6 B I C I 2 Lời giải Lấy tích phân vế f x f x cos x cận từ 3 3 3 3 3 3 3 3 D I 3 3 � ta có: 2 �f x dx �f x dx � cos xdx �cos x dx 12 (Sử dụng máy tính Casio) 3 3 �t 2 Đặt t x � dt dx đổi cận 3 3 x �t 2 x Khi Suy 3 3 3 3 3 3 �f x dx �f t dt �f t dt �f x dx 3 3 3 3 3 3 �f x dx �f x dx 2I 12 � I Cách 2: Vì cos x cos 2 x ta chọn f x cos x Sau sử dụng Casio để bấm I 3 � 3 2 2cos x dx Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y f x xác định liên tục �, thỏa mãn f x f x cos x, x �� Khi I �f x dx bằng: B 2 A C D Lời giải Lấy tích phân vế f x f x cos x , x �� cận từ � ta có: 6 f x dx � f x dx � cos xdx � cos xd x sin x � � x ,t 6 6 � � 6 t x � dt dx � � f x dx f t dt f t dt f x dx Đặt � � � � � �x , t 6 6 � 6 6 6 3 f x dx � f x dx � f x dx � � f x dx Chọn D Suy � cos x cos x cos x cos x f x � dx ta chọn Cách 2: Vì � 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y= f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f x f x 3x, x �� f x dx Tính tích phân I � A I C I Lời giải B I D I 1 0 f x dx 2� f x dx 3� xdx Cách 1: Ta có f x f x 3x � � x 1 �x 0, t 1 t x � dt dx � � f x dx f t dt f t dt f x dx � � Đặt � � � �x 1, t 0 0 1 0 f x dx � f x dx 3� f x dx Suy � 1 �� f x dx � I Chọn C 2 Cách 2: Ta có f x f x x � f x f x x x �f x f x 3x (1) , lấy 1 , ta Khi � �f x f x 3x f x x 3x � f x 3x 1 � x �1 I f x dx x dx 2x Vậy � � Chọn C � � � �0 0 Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn f x f x x , x �� Tính I �f x dx 1 A I B I 1 D I C I Lời giải 1 1 1 � dx � x 2dx � Ta có f x f x x � � �f x f x � � 1 1 1 1 x dx �f x dx �f x dx � 1 1 �x 1, t 1 �� f x dx � f t dt � f t dt � f x dx Đặt t x � dt dx � � �x 1, t 1 1 1 1 1 1 x3 f x dx � f x dx � x dx � � f x dx Suy � 1 1 1 1 1 �� f x dx Chọn D 1 1 Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục � số thực a dương Biết với x � 0; a f x a dx f x f a x Tính I � 1 f x a A I B I 2a a D I C I a Lời giải Ta có: f x f a x � f x f a x f a x � f a x 1 f x 1 f a x a a f a x dx I dx Lấy tích phân vế ta có: � � f x f a x 0 a a a 1 f a x f t f t dt dx dt dt dt Đặt t a x � dt dx � � � � � f a x 1 f t 1 f t 1 f t a 0 a a dx a a� Khi I a I � I Chọn A a f x a dx x Cách 2: Vì f x f a x ta chọn f x � f a x � I � 2 a a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho 0 f x dx 12 Tính I � f 3x dx � A I Câu 2: Cho B I 36 10 C I D I C I D I C I D I f x dx �f x dx 8 Tính I � A I B I 10 f x dx 10 Tính I � f x dx Câu 3: Cho � A I 10 B I 0 f x dx 12 Tính tích phân I � f 3x dx Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho � A I B I 36 C I 0 D I f x dx 16 Tính tích phân I � f x dx Câu 5: Cho � A I 32 B I C I 16 Câu 6: Cho tích phân f x dx Tính tích phân I f sin x cos 3xdx � � A I Câu 7: Cho B I 10 C I D I C I D I 15 f 3x 1 dx �f x dx 18 Tính I � A I 18 Câu 8: Cho B I 0 f x dx Tính tích phân I � f x dx � A I B I Câu 9: Cho hàm số f x thỏa mãn C I f 2017 x dx 2017 A � 0 f 2017 x dx �f x dx Tính tích phân I � B f 2017 x dx � f 2017 x dx C � D I 2017 D I D f 2017 x dx � 2017 Câu 10: Cho f x hàm số liên tục � f x dx 2017 Tính I f sin x cos xdx � � A I 2017 B I 2017 D I C I 2017 1 2017 x f x 1 dx theo a f x dx a Hãy tính tích phân I � Câu 11: Cho tích phân � A I 2a a C I B I 4a Câu 12: Cho hàm số y f x liên tục � thỏa mãn f x dx A � f ln x dx e Mệnh đề đúng? � x e e f x dx e B � f x dx C � e D Câu 13: Biết F x nguyên hàm hàm số y F F 1 � A I � � � C I a D I ex 0; � Tính x f x dx e � e3 x dx � x B I F F 3 F F 3 F F 3 � D I � � � Câu 14: Cho hàm số f x liên tục � �f x dx Mệnh đề sau sai? 2 A C �f x dx B �f x 1 dx 1 3 �f x dx D 1 f x dx � 2 f ' x dx Câu 15: Cho f x có đạo hàm đoạn 1; 2 , f f 2018 Tính I � A I 1008 Câu 16: Biết B I 2018 A I D I 2018 f x 1 dx 20 Hãy tính tích phân I � f x dx � A I 20 Câu 17: Biết C I 1008 B I 40 27 0 C I 10 D I 60 C I 27 D I f x dx �f x dx 81 Tính I � B I 81 Câu 18: Cho f x liên tục � thỏa mãn f x dx � x f sin x cos xdx � f x dx Tính tích phân I � A I B I C I D I 10 Câu 19: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng 1; 2 thỏa mãn f ' x dx 10 � f ' x �f x dx ln Biết hàm số f x 0, x � 1; 2 Tính f A f 10 B f 20 C f 10 Câu 20: Cho hàm số f x liên tục khoảng 1; � B I C I 16 xf x dx � D I Câu 21: Biết f x dx Tính � A I D f 20 xf x dx Tính f cos x sin xdx � � A I B I C I D I xf x dx Tính sin x f sin x dx Câu 22: Biết � � B I A I f x xdx Tính Câu 23: Biết � A I Câu 24: Biết 1 D I 1 C I D I C I D I f x dx � B I C I f x dx Tính � f x dx � A I B I Câu 25: Cho f x hàm số liên tục � thỏa mãn f x dx 5 � f x dx 10 Tính giá trị � f 3x dx I � A I B I C I D I Câu 26: Biết 1 � dx �f x � � �f x dx 15 Tính � A I 15 Câu 27: Biết B I 37 C I 27 D I 19 C I 1 D I �x � f x dx 3 Tính � f�� dx � �2 � B I A I 6 Câu 28: Cho f x liên tục � tích phân x2 f x dx Tính tích phân � x2 1 f tan x dx � I � f x dx A I B I 2 Câu 29: Biết a �2 x 1dx b C I D I c với a, b, c số nguyên dương Tính a b c A 37 B 11 Câu 30: Biết �6 3xdx a 1 A 31 dx �x A 28 C 12 dx �x A 36 x 1 C 32 � x 1 Câu 33: Biết D 36 a b c với a, b, c �� Tính a b c B 42 D 24 b a với a, b �� Tính tổng a b 3 B 30 Câu 32: Biết x D 27 b với a, b số nguyên dương Tính a b B 18 Câu 31: Biết C 45 C 27 D 54 dx a b a với a, b, c số nguyên dương Tính giá trị biểu x x x 1 thức P b a A P 5 B P 1 C P D P Câu 34: Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn � x 1 dx a b c Tính x x x 1 P a b c A P 24 B P 12 Câu 35: Biết dx � x x x 1 x C P 18 D P 46 a b c với a, b, c �� Tính P a bc A P 16 B P 19 Câu 36: Biết �1 1 dx 1 x A T C P 19 a b với a, b nguyên dương Tính T a 2b 3 B T 4 Câu 37: Biết a �x x 2dx b C T 2 với A 14 D P 16 D T a phân số tối giản Tính tổng a b b B C 17 D 20 2 x x 1dx cách đặt u x 1, mệnh đề đúng? Câu 38: Tính tích phân I � 3 A I �udu B I �udu 1 C I �udu D I udu 2� D I t3 x x dx t x Khẳng định sau sai? Câu 39: Cho I � B I A I t2 3 C I t dt � 0 3 dx m I � dt với m, n Câu 40: Cho tích phân đặt t x 3, ta I � x x t n 2 số nguyên Tính T 3m n A T B T C T D T e 3ln x dx đặt t 3ln x Khẳng định sau đúng? Câu 41: Cho I � x e A I 2 t dt 3� B I tdt 3� C I 2 t dt 3� e D I tdt 3� x dx đặt t x Khẳng định sau đúng? Câu 42: Cho I � x 1 1 2 A I � t t dt B I � 2t 2t dt 2 1 C I � t t dt 2 D I � 2t 2t dt sin x Câu 43: Cho I dx đặt t cos x Khẳng định sau đúng? � cos x 4t 4t dt A I � t 4t 4t dt B I � t 2 C I � t 1 dt Câu 44: Cho I esin x sin x cos xdx đặt t sin x Khẳng định sau đúng? � D I � t dt 1 � 1� t t e dt te dt A I � � � � 2� 0 � 1 � 1� t t e dt te dt B I � � � � 2� 0 � 1 � � t e dt � tet dt � C I � � 0 � � 1 � � t e dt � tet dt � D I � � 0 � � Câu 45: Cho I �1 xdx đặt t x Khẳng định sau đúng? 1 tdt A I 3� t dt B I � t dt C I 3� 0 t dt D I 3� Câu 46: Cho I 2sin x 1 sin xdx đặt t cos x Khẳng định đúng? � 1 t dt A I � 20 B I t dt 2� t dt C I � D I 2 t dt � 2 x x 1dx đặt u x Tìm khẳng định sai? Câu 47: Cho I � 2 27 B I A I �udu C I �udu D I u u e ln x dx đặt t 3ln x Khẳng định đúng? Câu 48: Cho I � x 3ln x dt A I � 31 1 B I �dt 21t e2 tdt C I � 31 e D I t 1 dt 4� t x x dx đặt u x Khẳng định sau đúng? Câu 49: Cho I � 10 u10 du A I 2 � 2u10 du B I � C I 10 u du 2� D I 10 u du 2� ln m Câu 50: Tìm tham số m thỏa mãn I A m B m ln Câu 51: Biết dx �e x x ln A P 10 3 C m D m 0, m 3ln a ln b với a, b số nguyên dương Tìm P ab B P 10 Câu 52: Biết x e x dx ln x � e C P 15 dx a ln b ln với a, b �� Tính a � x 3x D P 20 ab 3b2 A B C D 4 Câu 53: Biết � 3 dx a b ln với a, b �� Mệnh đề đúng? 2x 1 A a b B a b Câu 54: Biết dx a b ln � e 1 x A S Câu 55: Biết ln x � x ln x D a b 1 e với a, b số hữu tỉ Tính S a b3 B S 2 e C a b C S D S dx ln a b với a, b �� Khẳng định sau đúng? A 2a + 3b = B b 1 a C 4a 9b 11 D 2ab = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 2 10 5 1 f x dx � f x d 3x � f x dx 12 Chọn D Câu 1: I � 30 30 1 f x dx � f 5x d 5x � f x dx 8 Chọn B Câu 2: I � 51 55 5 10 1 f x dx � f 2x d 2x � f x dx 10 Chọn B Câu 3: I � 22 24 2 f x dx Câu 4: I � f x dx Câu 5: I � 1 f x d 3x � f x dx 12 Chọn D � 30 30 1 f 2x d 2x � f x dx 16 Chọn B � 20 20 Câu 6: I f sin x cos 3xdx f sin x d sin x f x dx Chọn C � 3� 3� 0 f 3x 1 dx Câu 7: I � 1 f x dx Câu 8: I � 10 1 f x 1 d x 1 � f x dx 18 Chọn B � 31 34 1 1 f 4x d 4x � f x dx Chọn B � 40 40 f 2017 x dx Câu 9: I � 1 f 2017 x d 2017 x � 2017 2017 2017 �f x dx 2017 Chọn D Câu 10: I f sin x cos xdx f sin x d sin x f x dx 2017 Chọn B � 2� 2� 0 x f x 1 dx Câu 11: I � 1 a f x 1 d x 1 � f x dx Chọn C � 20 20 e f ln x dx e � f ln x d ln x e � f x dx e Chọn B Câu 12: � � � x 1 e 3x e d 3x e x dx e3 x dx � F x Câu 13: � � x 3x x 1 2 F F 3 Chọn B 1 f x dx � f 2x d 2x � f x dx nên đáp án C sai Chọn C Câu 14: I � 1 2 1 f ' x dx Câu 15: I � 1 f ' 2x d 2x f 2x � 21 f x 1 dx 20 � Câu 16: � f 4 f 2 1008 Chọn C f x 1 d x 1 20 � � f x dx 60 Chọn D 3� f x dx Câu 17: I � Câu 18: f 27 x dx � f x dx � � �2 x Ta có 1 f x d 9x � f x dx 81 Chọn D � 90 90 x f � x � �f x dx x d 1 0 f sin x cos xdx � � f sin x d sin x � � f x dx � 3 0 f x dx � f x dx � f x dx Chọn C Ta có I � Câu 19: 2 1 f ' x dx 10 � f x � 10 � f f 1 10 d f x f ' x dx ln � � dx ln � ln f x Ta có � f x f x 1 2 ln � ln f 2 f 2 ln � 2 f 1 f 1 Từ suy f 20, f 1 10 Chọn B Câu 20: Đặt t x � t x � 2tdt dx Với x � t 1, x � t Ta có f � 2 0 x 1dx � � f t 2tdt � � xf x dx Chọn D 0 Câu 21: I 2sin x.cos x f cos x dx cos x f cos x d cos x � � 1 � tf t dt � xf x dx Chọn D 2sin x.cos x f sin x dx � sin x f sin x d sin x � t f t dt Chọn D Câu 22: I � Câu 23: Ta có Câu 24: I 1 f x2 d x2 � f t dt I � I Chọn A � 20 20 1 f x dx �f x dx � 2 1 f x dx �f 2 x dx � �t� �u � � f t d � � � f u d � � � f x dx � f x dx Chọn A 20 � 2� �2 � 2 6 �t � f t d � � � f x dx � � f x dx 20 Câu 25: Ta có 10 � �2 � 2 2 6 � 1� �u � f u d � � � f x dx � f x dx f x dx � Chọn B Lại có I � � � 3� �3 � 0 � 1 �5 t � f x dx � dx � f t d � � 7.2 � f x dx 14 19 Chọn D Câu 26: I � 3 � � 0 1 2 1 f t d 2t � f x dx 6 Chọn A Câu 27: I � Câu 28: Ta có f x dx f x dx I f tan t d tan t � � � x2 tan t 0 1 f tan t I � dt I � f tan x dx � I Chọn A tan t cos t 0 Câu 29: I �t � td � � � �2 � 1 t.2tdt � u.2udu � 2t 3 td t � 2u 3 1 1 t3 t.2tdt � u.2udu � 20 3 2 Câu 33: Ta có I � x x 1 x x 1 x Lại có: 54 18 Chọn D 1 � ud u 2 4 2 1 Chọn D 3 x 1 x 1 dx Câu 32: I � 2 2 3 1 Chọn A 2t 2t t dt �3 Câu 31: I � x x dx 3 �6 t � td � Câu 30: I � � �3 � t3 t.tdt � 1 td t 1 � ud u 1 � 20 2 u3 3 2 Chọn A 3 dx x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x � �2 dx d x 1 � � �1 �I � dx � dx �� � � � � x 1 � x x 1 1� x �1 x x � x 1 x x x 1 � a 2; b � P b a Chọn D Câu 34: Ta có I � x x 1 Lại có: x x 1 x dx x 1 x x 1 x � x 1 x x 1 x �2 dx d x 1 � � �1 �I � dx � dx �� � � � � x 1 � x x 1 1� x �1 x x � 2 x 1 x x x 1 32 12 � a 32; b 12; c Vậy a b c 46 Chọn D Câu 35: Ta có I � x x 1 Lại có: x x 1 dx x x 1 x x 1 � x x 1 x x 1 6 �6 dx d x 1 � x x 1 � � �I � dx � dx � � � � � � x� x x 1 5 � x 1 �5 x x � x 1 x 80 24 � a 80; b 24; c Vậy a bc 16 Chọn D Câu 36: Đặt t x � t x � 2tdt dx Đổi cận 1 2tdt � �4 � 2� dt � Khi I � � t 1 � t t �3 � � 0 x 1 � t x � t 1 32 t 1 t � � �0 Do a 8; b 32 � T 82 32.2 Chọn A 4 4 1 � � � � �2 � Câu 37: Ta có �x 2dx �� x dx � � x x � �dx �� x x x� x � �3 �1 � � 1 20 14 a � a b 17 Chọn C 3 b Câu 38: Đặt u x � du xdx Đổi cận x � u 0; x � u Khi I �udu Chọn C Câu 39: Đặt t x � t x � tdt xdx Đổi cận Khi I t tdt � t dt � t3 3 x 1� t x 2�t Khẳng định sai B Chọn B �t 2 Câu 40: Đặt t x � t x � 2tdt 2dx � tdt dx Đổi cận x 3�t x 3 �m tdt 2dt I �2 � �� � T 3m n n t � � t Khi Chọn D � 1� t � �2 � Câu 41: Đặt t 3ln x � t 3ln x � 2tdt x 1� t 1 3dx Đổi cận x e�t x 2 2 t tdt � t dt Chọn C Khi I � 3 1 Câu 42: Đặt t x � t x � 2tdt dx Đổi cận 2 x � t 1 x 3�t 2 t 1 2t 2t dt Chọn D t 1 2tdt � Khi I � 2tdt � 1 t 1 x 0�t Câu 43: Đặt t cos x � t cos x � 2tdt sin xdx Đổi cận x � t 1 2 2 t 1 2tdt Ta có I 2sin x cos xdx t 1 dt Chọn C � � � t cos x x 0�t Câu 44: Đặt t sin x � dt 2sin x cos xdx Đổi cận x �t 1 2 e �1 � Khi I esin x sin x cos x.cos2 xdx et t dt � et dt tet dt � Chọn B � � � � 2 �0 � Câu 45: Đặt t x � t x � 3t dt dx � dx 3t dt Với x � t 1, x � t 0 t 3t dt 3� t 3dt Chọn D Ta có I � Câu 46: Đặt t cos x � dt 2 sin xdx Với x � t 1, x 0 �t 0 Khi I 2sin x 1 sin xdx cos x.2 cos x sin xdx t dt Chọn C � � � Câu 47: Đặt u x � du xdx Với x � u 0, x � u 3 Ta có I �x 1.2 xdx �udu u u 3 27 Do đáp án A sai Chọn A 2 Câu 48: Đặt t 3ln x � t 3ln x � 2tdt ln x dx Với x � t 1, x e � t x e 2 ln x tdt 1 dx � � dt Chọn A Ta có I � t x 3ln x 1 1 x x dx Câu 49: Đặt u x � du 2 xdx Ta có I � 10 ln m e x dx Câu 50: Ta có �x e 2 ln m d ex 2 �e x 2 ln e ln m x 10 u du Chọn D 2� ln m ln ln m2 ln m e x dx m2 m2 ln � ln ln � ln � m Chọn C Mà �x e 2 3 ln ln d ex dx e x dx ex ln Câu 51: Ta có �x x x e 2e x ln� e x 3e x ln� ex 1 ln 3 e 1 e ln ln ln ln ln 3ln ln Do suy a 2, b � P ab 10 Chọn A 2tdt 3dx � � Câu 52: Đặt t x � t x � � t Với x � t 2, x � t �x � 2tdt 4 dx 2tdt t 1 �2 � ln Ta có I � t 1 t 1 t 1 x 3x t ln ln ln ln 5 Do suy a 2, b 1 � a ab 3b Chọn B Câu 53: Đặt t x � t x � 2tdt 2dx � dx tdt Với x � t 1, x � t 3 tdt � � dx � � 1 dt t 3ln t Ta có � � � 3t � 3 t � 2x 1 3ln Do suy a 2, b � a b Chọn D 1 d ex dx e x dx ex ln Câu 54: �x � x x x x e 1 � ex 0 e e 1 e e 1 1 ln e 2e 1 e ln ln ln e 1 e 1 Do suy a 1, b 1 � S a b3 Chọn C e Câu 55: Ta có � x ln x ln xd ln x � � dx � d ln x � � � �ln x ln x � ln x 1� � e ln x e �e 3 1 � � ln ln x � ln ln � a , b � b Chọn B ln x �1 3 2 a � ... Chọn B Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn b b b a a a f x dx � f t dt � f u du (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) Chú ý tính chất: � Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên... Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f x liên tục đoạn a; a Chứng minh rằng: a a a f x dx 2� f x dx f x hàm số chẵn... 6: Cho tích phân f x dx Tính tích phân I f sin x cos 3xdx � � A I Câu 7: Cho B I 10 C I D I C I D I 15 f 3x 1 dx �f x dx 18 Tính I � A I 18 Câu 8: Cho B