THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b ] Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [ a; b ] Hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b hàm số f(x) Kí hiệu: b ∫ f ( x)dx a b Vậy: ∫ f ( x )dx = F ( x ) b a = F (b) − F (a ) a b Ta gọi ∫ dấu tích phân; a cận dưới; b cận trên; f ( x) hàm số dấu tích phân; f ( x )dx biểu a thức dấu tích phân a Chú ý: ∫ a) b ∫ f ( x) dx = a a a f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b b) Tích phân phụ thuộc vào hàm f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến: b b a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt Các tính chất tích phân: b b a a ∫ k f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx Tính chất 1: b b ∫( Tính chất 2: b f ( x ) ± g ( x) ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx a a a b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Tính chất 3: , (a < c < b) II DẠNG TOÁN Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] α ≤ u ( x) ≤ β Giả sử viết f ( x) = g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục đoạn [α ; β ] b u (b) a u (a ) Khi đó, ta có: I = ∫ f ( x )dx = ∫ g (u )du Dạng 1: Đổi biến số dạng b Bài tốn : Tính tích phân I = ∫ g [ u ( x)] u ′( x)dx a Cách giải: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ′( x )dx x = a ⇒ t = u (a) Đổi cận: Khi I = ∫ g (t )dt x = b ⇒ t = u ( b ) u (a ) Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cận Dấu hiệu chung: Nếu hàm số chứa ⇒ đặt t = u (b ) Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t = mẫu Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t = biểu thức chứa lũy thừa bậc cao Dấu hiệu cụ thể: Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ t= I =∫ x dx Đặt t = x + x +1 Có Có (ax + b)n t = ax + b I = ∫ x ( x + 1) 2018 dx Đặt t = x + Có a f ( x ) t = f ( x) I =∫4 Có t = ln x biểu thức chứa ln x I =∫ + 3ln x ln x dx Đặt t = + 3ln x x t = e biểu thức I =∫ e f ( x) dx ln x x f ( x) 0 −1 π e tan x +3 dx Đặt t = tan x + cos x e ln x x Có e x dx Có sin xdx t = cos x I =∫3 Có cos xdx t = sin xdx I = ∫ sin x cos xdx Đặt t = sin x dx Có cos x t = tan x I =∫4 dx Có sin x t = cot x I = ∫π4 chứa e x π sin x dx Đặt t = 2cos x + 2cos x + π π π 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx cos x cos x Đặt t = tan x π π ecot x ecot x dx = ∫π4 dx Đặt t = cot x − cos x 2sin x x dx ta kết quả: x +1 Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫0 A 4e x − 3.dx Đặt t = 4e x − 36 B 76 15 C 36 D 15 76 Lời giải Chọn B Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 2t dt x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = Khi I = ∫ (t ) − 2tdt t ( ) 2 ( ) = 2.∫ t − dt = 2.∫ t − 2t + dt 1 (đã sửa) t 2t 92 16 76 = − +t÷ = − = 5 15 15 15 xdx ta kết quả: ( x + 1)3 Ví dụ 2: Tính tích phân J = ∫ A B C D Lời giải Chọn A Đặt t = x + ⇒ dx = dt x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 2 Khi J = ∫ ( t − 1) dt = t3 −1 1 ∫1 ( t − t ) dt = − t + 2t ÷ = − − ÷ = −2 −3 Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫−1 x ( x + 1) 2018 dx ta kết : 4078380 A 2018 B C − 4078380 D − 2018 Lời giải Chọn C Đặt t = x + ⇒ dx = dt x = −1 ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 1 Khi I = ∫ ( t − 1) t = dt = ∫ ( t 2019 −t 2018 t 2020 t 2019 ) dt = 2020 − 2019 ÷ 0 1 − =− 2020 2019 4078380 Ví dụ 4: Tính tích phân I = ∫ 1+ A 1 2018 3 + 3ln 2 B dx ta kết quả: x +1 3 − 3ln 2 C 3 + 3ln D − 3ln 3 Lời giải Chọn A 2 Đặt t = + x + ⇒ t - 3t + 3t -1 = x + ⇒ dx = ( 3t − 6t + ) dt x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 3 Khi I = ∫ ( 3t 2 − 6t + 3) t e Ví dụ 5: Tính tích phân I = ∫ A B − 3 t2 1 3 dt = 3.∫ t − + ÷.dt = − 2t + ln t ÷ = + 3ln ÷ t 2 2 2 2 + 3ln x ln x dx ta kết quả: x 116 135 Lời giải C − Chọn D 2t Đặt t = + 3ln x ⇒ t = + 3ln x ⇒ dx = dt x D 116 135 x = ⇒ t = Đổi cận: x = e ⇒ t = 2 Khi I = ∫ (t t 2 − 1) 2t t5 t3 112 −4 116 − dt = ∫ ( t − t ) dt = − ÷ = ÷= 135 135 135 3 ln Ví dụ 6: Tính tích phân I = ∫0 e x 4e x − 3.dx ta kết quả: A 48 B 93 10 C 93 80 D Lời giải Chọn B x x x Đặt t = 4e − ⇒ t = 4e − ⇒ e dx = t.dt t2 + e x = x = ⇒ t = Đổi cận: x = ln ⇒ t = ln x Khi I = ∫ e 4e − 3.e dx ⇒ I = ∫ x x (t +3 ) t tdt 3 1 t5 189 93 = ∫ ( t + 3t ) = + t ÷ = − ÷= 81 8 20 20 10 π Ví dụ 7: Tính tích phân I = ∫ sin x cos xdx ta kết quả: A B − C D -3 Lời giải Chọn A Đặt t = sin x ⇒ cos xdx = dt x = ⇒ t = Đổi cận: π x = ⇒ t = 1 1 Khi I = ∫ t dt = t = 4 π Ví dụ 8: Tính tích phân I = ∫ dương) Khi ta có: A a = 5, b = a sin x dx , ta kết I = − − ln (với a, b số nguyên 16 b 2cos x + B a = 1, b = C a = 1, b = Lời giải Chọn C t −1 Đặt t = cos x + ⇒ sin xdx = − dt cos x = 2 D a = 3, b = x = ⇒ t = Đổi cận: π x = ⇒ t = π π Khi I = sin x.sinx.dx = ∫ ∫ 2cos x + t − 2 1 − ÷÷ ( − cos x ) sinx.dx ÷ − .dt ⇒I =∫ 2cos x + ÷ t 2 2 t − 2t − 3 t2 = ∫ dt = ∫ t − − ÷.dt = − 2t − 3ln 83 t 3 t 8 π Ví dụ 9: Tính tích phân I = ∫04 t ÷ = − − ln 16 3 a a dx , ta kết I = ( với phân số tối giản a, b ∈ Z ) b b cos x Khi ta có tổng a + b bằng: A B C Lời giải D Chọn C π Ta có I = ∫04 π 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx cos x cos x dx cos x x = ⇒ t = Đổi cận: π x = ⇒ t = Đặt t = tan x ⇒ dt = t3 Khi I = ∫ ( + t ) dt = t + ÷ = ⇒ a = 4, b = ⇒ a + b = 0 π Ví dụ 10: Tính tích phân I = ∫π4 ( ecot x dx ta kết − eb − e − cos x a Khi giá trị biểu thức T = 2018a + b 2018 − 2017c bằng: A −2014 B C −2017 Lời giải Chọn A π Ta có I = ∫π4 π c ) với a, b, c số nguyên dương D 2018 π ecot x ecot x ecot x dx = ∫π4 d x = dx − cos x ∫π6 sin x 2sin x Đặt t = cot x ⇒ dt = − dx sin x π x = ⇒ t = Đổi cận: x = π ⇒ t = Khi I = − 1 t t ∫ e dt = − e =− ( e−e ) ⇒ a = 2, b = 1, c = ⇒ T = 2018a + b 2018 − 2017c = 2018.2 + 12018 − 2017.3 = −2014 Ví dụ 11: Tính tích phân: I = ∫ dx ta kết I = a ln + b ln ( với a, b số nguyên) Khi x 3x + giá trị 2a + b là: A B -3 C D.5 Lời giải Chọn D Đặt t = 3x + ⇒ t = 3x + ⇒ dx = 2t t −1 dt x = 3 x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 4 Ta có 2t dt = 2∫ dt 1 − t −1 = ∫ ÷.dt = ( ln t − − ln t + ) t −1 t t −1 t +1 ÷ 2 I =∫ = ( ln − ln ) − ( − ln 3) = ln − ln ⇒ a = 2, b = −1 ⇒ 2a + b = 5 2x -1 dx = a + b ln + cln + d ln với a, b, c số nguyên Tính 2x + 2x -1 + 1 Ví dụ 12: Biết I = ∫ 4a + 3b3 + 2c − 2018d A 8171 B 8132 Lời giải C −3202 Chọn A t +1 Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ dx = t.dt x = x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 3 Ta có: 3 t t2 3t + t d t = dt = ∫ 1 − ÷.dt 2 ∫ t + + 3t + t + 3t + t + 3t + 1 1 I =∫ 3 = ∫ 1 + − ÷.dt = ( t + ln t + − ln t + ) = + ln − ln + ln t +1 t + 1 ⇒ a = 2, b = 1, c = 4, d = −4 ⇒ 4a + 3b3 + 2c − 2018d = 8171 BÀI TẬP NHẬN BIẾT D −7022 Câu 1: Biết ∫ f ( x ) dx = 12 Tính I = ∫ f ( x ) dx ta kết quả: A B C Lời giải D 36 Chọn C Đặt t = x ⇒ dt = dx x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 3 1 Ta có I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = 12 = 30 Câu 2: Biết ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( − x ) dx ta kết quả: A C Lời giải B 10 D Chọn A Đặt t = − x ⇒ −dt = dx x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 0 1 Ta có I = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = THÔNG HIỂU Câu 3: Cho I = ∫ x − x dx Nếu đặt t = − x I 1 A ∫ t ( − t ) dt C ∫ t ( − t B ∫ t ( − t ) dt 2 ) 2 dt Chọn C Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ xdx = −tdt x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 0 1 2 2 Ta có I = ∫ x − x xdx = − ∫ ( − t ) t.tdt = ∫ ( − t ) t dt 2 Câu 4: Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = π Khi giá trị tích phân ∫ f (2sin x) cos xdx ∫( t Lời giải D − t ) dt A −6 B Lời giải C −3 D Chọn D Đặt t = 2.s inx ⇒ dt = cos x.dx x = ⇒ t = Đổi cận: π x = ⇒ t = 2 1 Ta có I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = = 20 Câu 5: Tích phân I = ∫x + x dx bằng: A 4− B 8−2 4+ Lời giải C D 8+ 2 Chọn B Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ xdx = tdt x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = t3 I = t t d t = t d t = Ta có ÷ ∫ ∫ 3 2 2 = 2 8− 2 x3 1 ln ( với a số nguyên) Tính a Câu 6: Biết ∫ dx = − x + a + A a = B a = C a = D a = Lời giải Chọn A dt x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 2 Đặt t = x + ⇒ xdx = ( t − 1) dt = 1 − = t − ln t = 1 − ln = − ln ⇒ a = x xdx =∫ Ta có ∫ ) ( ) 2( ÷ x +1 t ∫1 t 2 1 2 ... = dt x = ⇒ t = Đổi cận: π x = ⇒ t = 1 1 Khi I = ∫ t dt = t = 4 π Ví dụ 8: Tính tích phân I = ∫ dương) Khi ta có: A a = 5, b = a sin x dx , ta kết I = − − ln (với a, b số nguyên 16 b 2cos... ∫ t − − ÷.dt = − 2t − 3ln 83 t 3 t 8 π Ví dụ 9: Tính tích phân I = ∫04 t ÷ = − − ln 16 3 a a dx , ta kết I = ( với phân số tối giản a, b ∈ Z ) b b cos x Khi ta có tổng a + b bằng:... Tính tích phân: I = ∫ dx ta kết I = a ln + b ln ( với a, b số nguyên) Khi x 3x + giá trị 2a + b là: A B -3 C D.5 Lời giải Chọn D Đặt t = 3x + ⇒ t = 3x + ⇒ dx = 2t t −1 dt x = 3 x = ⇒ t = Đổi
Ngày đăng: 21/10/2022, 11:14
Xem thêm: