Những phần bơi vàng có sửa lại CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN A – LÝ THUYẾT B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI II Phương pháp đổi biến số Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2: Đặt x u t (Đổi biến qua lượng giác) b Bài tốn: Tính I f(x)dx a Phương pháp: Đặt x u t dx u ' t dt Đổi cận: x a u xbu b Suy I f u (t ) u '(t )dt a Dấu hiệu Nếu hàm f x có chứa a x Nếu hàm f x có chứa a x Nếu hàm f x có chứa x a Nếu hàm f x có chứa ax ax Đặt dx d a sin t a cos t dt đặt x a sin t 2 2 a x a a sin t a cos t adt dx d a tan t cos t đặt x a tan t a x a a tan t a cos t a cos tdt dx sin t a đặt x sin t x a a cos t sin t dx d a cos 2t 2a sin 2tdt đặt x a cos 2t a x cos t cos t cos t sin t ax 1 dx x Ví dụ 1: Tính I A B 12 C Lời giải Chọn A Đặt x tan t, t ; dx tan t dt 2 Đổi cận: x t ; x t Suy ra: tan t dt dt tan t 0 I D Ví dụ 2: Tính I A dx x 3 B C D D Lời giải Chọn B Đặt x tan t, t ; dx tan t dt 2 Đổi cận: x t ; x t Suy ra: 1 tan t dt dt tan t 0 I Ví dụ 3: Tính I A dx 4x 4x B 12 Lời giải C Chọn C tan t dt Đặt x tan t, t ; 2dx tan t dt dx 2 Đổi cận: x t ; x t Suy ra: I 3 tan t dt dt tan t 12 Ví dụ 4: Tính I A 3 x dx x 1 B 12 Lời giải C D 16 Chọn D 3 Đặt x tan t t ; x dx tan t dt x dx tan t dt 2 Đổi cận: x t ; x t Suy ra: 1 tan t dt dt tan t 4 16 0 I Ví dụ 5: Tính I x dx A B C 3 D Lời giải Chọn A Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 Đổi cận: x t ; x t Suy ra: cos 2t sin x costdt cos tdt dt t sin 2t 2 4 0 I 2 Ví dụ 5: Tính I 4 x x 1dx Giải Chọn A A B 1 0 C 3 D I 4 x x 1dx x 1 dx cos tdt Đặt x sin t, t ; dx 2 Đổi cận: x t ; x t 4 Suy ra: I 2sin x costdt cos 2t cos tdt dt t sin 2t 4 4 Ví dụ 6: Tính I x x dx A B C 3 D 12 Lời giải Chọn B 1 I x x dx x 1 dx 2 0 Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 Đổi cận: x t ; x t Suy ra: 0 0 cos 2t 1 2 I sin x costdt cos tdt dt t sin 2t 2 4 2 2 Ví dụ 7:Tính I x x2 A B dx 12 C 3 D 12 D Lời giải Chọn A cos t , t ; \ 0 dx dt sin t sin t 2 t ; x 2 t Đổi cận: x 3 Đặt x sin t cost dt dt sin t 1 sin t Suy ra: I 2 Ví dụ 8: Tính I x dx 0 x 12 A B 12 C Lời giải Chọn A Đặt x sin t dx cos tdt x Đổi cận t I x dx x2 sin t.cos tdt t 0; cos t sin t sin t.cos tdt cos t 0 sin t.cos tdt sin tdt cos 2t dt cos t 20 0 1 1 1 t sin 2t sin 0 sin 2 2 0 2 12 Ví dụ 9: Tính I A xdx x2 2 B 2 C 2 Lời giải Chọn B Đặt x tan t dx Đổi cận x dt tan t dt cos t D 2 t I tan t.2 tan t dt tan t 2 tan t tan t d tan t 2 tan t tan t dt sin t t 0; cos t tan t dt dt 0 cos t cos t 4 cos t Đặt u cos t du sin tdt du sin tdt t Đổi cận u 2 2 I 2 du 2 u u1 1 x Ví dụ 10: Tính I 1 x A 1 2 dx B C D 1 Lời giải Chọn C 1 1 x Ta có I 1 x 1 x dx 1 x 1 x dx dx d cos 2t 2sin 2tdt Đặt x cos 2dt x cos t sin t cos t cos t 1 x x Đổi cận t I sin t 2sin 2tdt dt tan t tan t.d tan t 2 cos t cos 2t cos t 0 1 1 tan t tan tan 3 3 Bài tập NHẬN BIẾT Câu 1: Tích phân x dx A sin t.dx B sin t.dt C cos t.dt D cos t.dt Lời giải Chọn D Đặt x sin t dx cos tdt , t : 0 x dx sin t.cos tdt cos tdt THÔNG HIỂU Câu 2: Đổi biến x 2sin t tích phân dx A trở thành: x2 tdt C dt 0 t B dt D dt Lời giải Chọn B Đặt x 2sin t dx cos tdt Đổi cận: x t ; x t Khi đó: dx x2 2cos tdt 4sin t sin t Câu 3: Khi đổi biến x tant tích phân I x 0 cos t dt dx trở thành tích phân sau đây? 5 B I 0 dt A I 5dt cos tdt 2cos tdt C I 5tdt D I dt 0 t Lời giải: Chọn B Đổi biến số x tan t dx 5(1 tan t)dt Đổi cận x t I trở thành tan t dt tan t 2 Câu 4: Tính I x A 2 ;x 0 t dx x2 1 tan t dt 5(tan t 1) 5dt B C Lời giải Chọn D 12 D 12 cos tdt dx sin t x đặt sin t x 12 cos t sin t x Đổi cận t I cos tdt cos tdt 2 dx sin t sin t t ; cos t 2 cos t x x 1 cos t 6 4 4 sin t sin t sin t sin t dt t Câu 5: Tích phân 12 dx x2 25 A dt B dt C dt D dt 6 Lời giải Chọn B 3 dt Đặt x tan t dx 5 cos t Đổi cận: t Với x Với x t 3 4 2 dx 5 cos t cos t dt dt dt 9 9 x2 tan t tan t 6 25 25 25 25 VẬN DỤNG Câu 6: Tích phân I A x x 3 dx bằng: B C Lời giải Chọn A D 3.cos t ; t ; \ 0 Suy : dx dt sin t sin t 2 Đặt x Đổi cận: I Câu 7: x t 3 3 3 sin t sin t Tích phân a dx a x 2 3 cos t dt dt t 3 3 sin t 3 6 sin t 3.cos t dt sin t với a A dt B dt C dt D 12 dt Lời giải Chọn C Đặt x a sin t dx a cos tdt , Đổi cận: Với x t a Với x t a dx a2 x2 a cos tdt a a sin t a cos tdt dt a sin t a cos t a cos tdt a Câu 8: Tích phân : I = x a x dx; với a > bằng: A a 4 B a 4 C Lời giải Chọn C Đặt x a sin t với t ; 2 * x0 t0 * xa t x2 a x dx a sin t a (1 sin t).a cos tdt a sin t cos tdx a4 a4 sin 2tdt (1 cos 4t)dt a 4 16 D a 4 32 I= a a 4 0 (1 cos 4t)dt 16 VẬN DỤNG CAO Câu 9: Tính tích phân sau : I = x dx x4 B 12 A Lời giải: D 2 C Chọn B Đặt x sin t , t ; 2 Đổi cận : x t x t 1 xdx cos tdt ; 1 x sin t cos t xdx 1 x dt I dt 0 12 Câu 10: Tích phân sau: I 1 A 4 1 x dx bằng: 1 x B C 4(1 ) Lời giải: Chọn A Đặt x cos t , t 0; suy dx 2sin t.dt 2 Đổi cận: Với x t Ta có: Với x 1 t 1 x cos t dx 1 x cos t 2sin t dt cott 2sin 2tdt 4 cos t.dt 2 cos t dt Khi đó: /2 /2 I (1 cos 2t)dt t sin 2t 1 4 /4 /4 D Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E có phương trình C : x y A ab 7 Để diện tích elip E gấp lần diện tích hình trịn C B ab 49 C ab Lời giải: Chọn B x2 y b 1, a, b y a x2 a b a Diện tích E a S E a b a x dx b 4 a x dx a a0 Đặt x a sin t, t ; dx a cos tdt 2 Đổi cận: x t 0; x a t a S E x2 y 1, a, b đường tròn a b2 a b a cos tdt 2ab 1+cos2t dt ab a0 Mà ta có S C R 7 Theo giả thiết ta có S E 7.S C ab 49 ab 49 D ab ... sin 2t sin 0 sin 2? ?? 2? ?? 0 2? ?? 12 Ví dụ 9: Tính I A xdx x2 ? ?2 B 2 C 2 Lời giải Chọn B Đặt x tan t dx Đổi cận x dt tan t dt cos t D 2 ... cos 2t 2sin 2tdt Đặt x cos 2dt x cos t sin t cos t cos t 1 x x Đổi cận t I sin t 2sin 2tdt dt tan t tan t.d tan t 2 cos t cos 2t ... cos tdt THÔNG HIỂU Câu 2: Đổi biến x 2sin t tích phân dx A trở thành: x2 tdt C dt 0 t B dt D dt Lời giải Chọn B Đặt x 2sin t dx cos tdt Đổi cận: x t ; x