Dạng 2 tích phân đổi biến số

Những phần bơi vàng có sửa lại CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN A – LÝ THUYẾT B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI II Phương pháp đổi biến số Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2: Đặt x  u  t  (Đổi biến qua lượng giác) b Bài tốn: Tính I   f(x)dx a Phương pháp: Đặt x  u  t   dx  u '  t  dt Đổi cận: x  a  u   xbu  b Suy I   f  u (t )  u '(t )dt a Dấu hiệu  Nếu hàm f  x  có chứa a  x  Nếu hàm f  x  có chứa a  x  Nếu hàm f  x  có chứa x  a  Nếu hàm f  x  có chứa ax ax Đặt dx  d  a sin t   a cos t dt đặt x  a sin t   2 2  a  x  a  a sin t  a cos t adt  dx  d  a tan t   cos t  đặt x  a tan t    a  x  a  a tan t  a  cos t a cos tdt  dx   sin t a   đặt x  sin t  x  a  a cos t  sin t dx  d  a cos 2t   2a sin 2tdt  đặt x  a cos 2t   a  x  cos t cos t     cos t sin t  ax 1 dx  x Ví dụ 1: Tính I   A  B  12 C Lời giải Chọn A    Đặt x  tan t, t    ;  dx    tan t  dt  2  Đổi cận: x   t  ; x   t  Suy ra:      tan t  dt   dt   tan t 0 I   D   Ví dụ 2: Tính I   A dx x 3   B C   D  D   Lời giải Chọn B    Đặt x  tan t, t    ;  dx    tan t  dt  2  Đổi cận: x   t  ; x   t  Suy ra:   1    tan t  dt   dt   tan t 0 I Ví dụ 3: Tính I   A dx 4x  4x    B  12 Lời giải C Chọn C     tan t  dt Đặt x   tan t, t    ;  2dx    tan t  dt  dx    2   Đổi cận: x   t  ; x   t  Suy ra:  I   3   tan t  dt   dt    tan t 12  Ví dụ 4: Tính I   A  3 x dx x 1 B   12 Lời giải C D  16 Chọn D    3 Đặt x  tan t t    ;  x dx    tan t  dt  x dx    tan t  dt 2    Đổi cận: x   t  ; x   t  Suy ra:   1    tan t  dt   dt   tan t 4 16 0 I  Ví dụ 5: Tính I    x dx A  B   C 3  D   Lời giải Chọn A    Đặt x  sin t, t    ;   dx  cos tdt  2  Đổi cận: x   t  ; x   t  Suy ra:       cos 2t   sin x costdt   cos tdt   dt  t  sin 2t  2 4 0 I  2 Ví dụ 5: Tính I   4 x  x  1dx   Giải Chọn A A B 1 0   C 3  D   I   4 x  x  1dx     x  1 dx    cos tdt Đặt x   sin t, t    ;   dx   2   Đổi cận: x   t   ; x   t  4 Suy ra: I      2sin x costdt       cos 2t   cos tdt   dt  t   sin 2t      4 4 Ví dụ 6: Tính I   x  x dx A  B  C 3 D  12 Lời giải Chọn B 1 I   x  x dx     x  1 dx 2 0    Đặt x   sin t, t    ;   dx  cos tdt  2  Đổi cận: x   t   ; x   t  Suy ra: 0 0  cos 2t 1  2 I    sin x costdt   cos tdt   dt  t  sin 2t   2  4        2 2 Ví dụ 7:Tính  I x x2   A B dx  12 C 3 D   12   D   Lời giải Chọn A  cos t    , t    ;  \  0  dx  dt sin t sin t  2    t  ; x 2 t  Đổi cận: x  3 Đặt x    sin t cost  dt   dt  sin t  1 sin t Suy ra: I    2 Ví dụ 8: Tính I  x dx 0  x   12 A B   12 C Lời giải Chọn A Đặt x  sin t  dx  cos tdt x Đổi cận t I     x dx  x2 sin t.cos tdt t  0;    cos t     sin t  sin t.cos tdt cos t 0     sin t.cos tdt   sin tdt     cos 2t  dt cos t 20 0   1 1   1      t  sin 2t     sin  0  sin   2  2 0 2  12 Ví dụ 9: Tính I   A  xdx  x2  2 B 2  C 2  Lời giải Chọn B Đặt x  tan t  dx  Đổi cận x dt    tan t  dt cos t D 2  t  I  tan t.2   tan t  dt   tan t     2 tan t   tan t  d   tan t     2 tan t   tan t  dt     sin t t  0;   cos t    tan t dt  dt 0 cos t cos t  4 cos t Đặt u  cos t  du   sin tdt   du  sin tdt t Đổi cận  u 2 2 I 2  du   2 u u1 1 x Ví dụ 10: Tính I    1 x A    1  2  dx B C D 1 Lời giải Chọn C 1 1 x Ta có I    1 x 1 x dx 1 x  1 x dx   dx  d  cos 2t   2sin 2tdt  Đặt x  cos 2dt    x  cos t sin t     cos t cos t  1 x x Đổi cận t   I     sin t 2sin 2tdt dt   tan t   tan t.d  tan t  2 cos t   cos 2t  cos t 0  1  1  tan t  tan  tan  3 3 Bài tập NHẬN BIẾT Câu 1: Tích phân   x dx  A  sin t.dx   B sin t.dt   C  cos t.dt   D cos t.dt  Lời giải Chọn D Đặt x  sin t  dx  cos tdt , t :     0    x dx    sin t.cos tdt   cos tdt THÔNG HIỂU Câu 2: Đổi biến x  2sin t tích phân dx  A trở thành:  x2    tdt  C dt 0 t B dt   D dt  Lời giải Chọn B Đặt x  2sin t  dx  cos tdt  Đổi cận: x   t  ; x   t  Khi đó:  dx   x2  2cos tdt   4sin t   sin t Câu 3: Khi đổi biến x  tant tích phân I  x 0 cos t    dt dx trở thành tích phân sau đây? 5  B I  0 dt A I  5dt   cos tdt    2cos tdt C I  5tdt   D I  dt 0 t Lời giải: Chọn B Đổi biến số x  tan t  dx  5(1  tan t)dt Đổi cận x   t  I trở thành     tan t  dt tan t  2 Câu 4: Tính I  x A 2  ;x  0 t  dx x2 1     tan t  dt 5(tan t  1)  5dt B  C  Lời giải Chọn D   12 D  12  cos tdt  dx   sin t  x   đặt sin t  x  12  cos t  sin t x Đổi cận t  I    cos tdt  cos tdt 2 dx sin t       sin t t   ;   cos t  2 cos t x x 1  cos t  6 4 4 sin t sin t sin t sin t      dt   t    Câu 5: Tích phân             12 dx  x2 25  A   dt  B dt  C   dt  D  dt  6 Lời giải Chọn B 3 dt Đặt x  tan t  dx  5 cos t Đổi cận:   t Với x   Với x   t     3 4 2 dx 5 cos t cos t    dt   dt   dt 9 9   x2   tan t   tan t  6 25 25 25 25 VẬN DỤNG Câu 6: Tích phân I   A  x x 3 dx bằng: B  C Lời giải Chọn A   D  3.cos t    ; t    ;  \  0 Suy : dx   dt sin t sin t  2 Đặt x  Đổi cận:  I    Câu 7: x t  3   3     3 sin t  sin t  Tích phân a  dx a x 2   3 cos t    dt   dt  t 3    3  sin t 3 6 sin t 3.cos t dt   sin t  với a    A dt   B dt  C dt  D  12  dt Lời giải Chọn C Đặt x  a sin t  dx  a cos tdt , Đổi cận: Với x   t  a  Với x   t  a  dx a2  x2  a cos tdt  a  a sin t     a cos tdt    dt a   sin t  a cos t a cos tdt a Câu 8: Tích phân : I = x a  x dx; với a > bằng: A a 4 B a 4 C Lời giải Chọn C    Đặt x  a sin t với t    ;   2 * x0  t0  * xa  t  x2 a  x dx  a sin t a (1  sin t).a cos tdt  a sin t cos tdx  a4 a4 sin 2tdt  (1  cos 4t)dt a 4 16 D a 4 32   I= a a 4 0 (1  cos 4t)dt  16 VẬN DỤNG CAO Câu 9: Tính tích phân sau : I =  x dx  x4  B 12 A   Lời giải: D 2 C Chọn B    Đặt x  sin t , t    ;   2 Đổi cận : x   t   x t 1    xdx  cos tdt ;  1 x  sin t cos t xdx 1 x  dt   I  dt   0 12 Câu 10: Tích phân sau: I   1   A     4 1 x dx bằng: 1 x B    C 4(1  ) Lời giải: Chọn A   Đặt x  cos t , t   0;  suy dx  2sin t.dt  2 Đổi cận:   Với x   t  Ta có: Với x  1  t  1 x  cos t dx  1 x  cos t  2sin t dt   cott  2sin 2tdt   4 cos t.dt  2   cos t  dt Khi đó:  /2  /2     I   (1  cos 2t)dt   t  sin 2t   1   4    /4   /4 D   Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  E  có phương trình  C  : x  y  A ab  7 Để diện tích elip  E  gấp lần diện tích hình trịn  C  B ab  49 C ab  Lời giải: Chọn B x2 y b   1,  a, b    y  a  x2 a b a Diện tích  E  a S E  a b a  x dx b  4   a  x dx a a0    Đặt x  a sin t, t    ;   dx  a cos tdt  2  Đổi cận: x   t  0; x  a  t  a S E  x2 y   1,  a, b   đường tròn a b2 a b   a cos tdt  2ab   1+cos2t  dt   ab a0 Mà ta có S C    R  7 Theo giả thiết ta có S E   7.S C    ab  49  ab  49 D ab  ... sin 2t     sin  0  sin   2? ??  2? ?? 0 2? ??  12 Ví dụ 9: Tính I   A  xdx  x2  ? ?2 B 2  C 2  Lời giải Chọn B Đặt x  tan t  dx  Đổi cận x dt    tan t  dt cos t D 2 ...  cos 2t   2sin 2tdt  Đặt x  cos 2dt    x  cos t sin t     cos t cos t  1 x x Đổi cận t   I     sin t 2sin 2tdt dt   tan t   tan t.d  tan t  2 cos t   cos 2t ... cos tdt THÔNG HIỂU Câu 2: Đổi biến x  2sin t tích phân dx  A trở thành:  x2    tdt  C dt 0 t B dt   D dt  Lời giải Chọn B Đặt x  2sin t  dx  cos tdt  Đổi cận: x   t  ; x