Môn toán lớp 12 dạng bài tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT ù Hàm số F(x) nguyên Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn é ê ëa;bú û é ù hàm hàm số f(x) đoạn ë êa;bû ú Hiệu số F (b) - F (a) gọi tích phân từ a b ị f (x)dx đến b hàm số f(x) Kí hiệu: a b Vậy: ò f (x)dx = F (x) a b a = F (b) - F (a) b Ta gọi ò dấu tích phân; a cận dưới; b cận trên; f (x) hàm số dấu tích a phân; f (x)dx biểu thức dấu tích phân a Chú ý: a) b a ò f (x)dx = ò f (x)dx = - ò f (x)dx a a b b) Tích phân phụ thuộc vào hàm f cận a, b mà khơng phụ thuộc vào biến: b b ị f (x)dx = ị f (t)dt a a Các tính chất tích phân: b Tính chất 1: b ịk.f (x)dx = k.ị f (x)dx a a b Tính chất 2: b a a b Tính chất 3: b ò( f (x) ± g(x)) dx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx c a b ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx a a , c II DẠNG TOÁN Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối b Bài tốn : Tính tích phân I = ị g( x) dx a ( với g(x) biểu thức chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: ù Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối é ê ëa;bú û (a < c < b) Dựa vào dấu để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần b Đặc biệt : Tính tích phân I = ị f (x) dx a Cách giải Cách 1: ù +) Cho f (x) = tìm nghiệm é êa;bú ë û ù, dựa vào dấu f (x) để tách tích phân đoạn +) Xét dấu f (x) é êa;bû ú ë tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) +) Tính tích phân thành phần Cách 2: ùgiả sử nghiệm x ;x ; x +) Cho f (x) = tìm nghiệm é êa;bû ú n ë ( với x1 < x2 < < xn ) x1 x2 x3 b Khi I = ị f (x) dx + ò f (x) dx + ò f (x) dx + + ị f (x) dx Þ I = a x1 x2 xn x1 x2 x3 b ò f (x)dx + ò f (x)dx + ò f (x)dx + + ò f (x)dx a x1 x2 xn +) Tính tích phân thành phần I = ò x - 1dx Ví dụ 1: Tính tích phân A B ta kết : C D Lời giải Cách 1: Cho x - = Û x = ( thỏa mãn) Ta có bảng xét dấu : x - x- + ỉ ổ x2 x2 ữ ỗ ữ ữ Khi ú : I = - ò( x - 1d + x ç ) x + ò( x - 1d ) x = - ỗỗỗỗ - xữ ữ ữ ỗ ữ ố ữ ỗ2 ố ứ ứ 1 = Þ chọn A Cách 2: Cho x - = Û x = ( thỏa mãn) 2 Khí I = ị x - 1dx = ò x - 1dx + ò x - 1dx = 0 1 æ ổ x2 x2 ữ ữ ỗ ữ ữ =ỗ x + x = - 1+ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ2 ố2 ø è ø 1 ) x + ò( x - 1d )x ò( x - 1d ổ ỗ ữ = ị chn A ỗ - 1ữ ữ ữ ỗ ố2 ứ 2 Ví dụ 2: Tính tích phân I = ị x - dx ta kết : - A B C D Lời giải Cách 1: Cho x2 - = Û x = ±1 ( thỏa mãn) ù Bảng xét dấu x2 - đoạn é ê- 2;2û ú ë x -2 -1 + x - - ( ) ( - ) ( + ) I = ò x2 - dx = ò x2 - dx + ò 1- x2 dx + ò x2 - dx - - - 1 ỉ æ ö - æ x3 x3 ö x3 ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ =ỗ x + x + x = Þ chọn B ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷- ố ữ- ố ữ1 ỗ ỗ ỗ3 3ứ è3 ø ø Cách 2: Cho x2 - = Û x = ±1 ( thỏa mãn) - 1 2 Khi đó: I = ị x - dx + ò x - dx + ò x - dx 2 - - = ò( x ) - dx + - - 1 ò( x ) - dx + - - 1 ò( x ) - dx 1 ỉ ỉ ỉ x3 x3 x3 ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ =ỗ x + x + x = ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ç3 ç3 ç3 è ø è ø è ø - - 1 ổ ỗ ỗ ỗ ố 2ử 2 ữ ÷ +- + ÷ ÷ 3ø 3 Þ chọn B 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I = ò x - 3x + dx ta kết : A B C D ổ 2ử ỗ ữ =4 ỗ- ữ ữ ữ ỗ 3ứ ố Li gii Cỏch 1: ộx = ê x x + = Û Cho êx = ( thỏa mãn) ê ë é0;2ù ê ë ú û Bảng xét dấu x2 - 3x + đoạn x + x - 3x + + - Khi : ( ) I = ò x - 3x + dx ổ x3 3x2 2ữ ữ =ỗ + x ç ÷ ç ÷ ç è ø Þ Chọn D ò( x ) - 3x + dx ỉ x3 3x2 ỉ 1ử 2ữ ữ ỗ ữ ữ -ỗ + x = =1 ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ 6 è ø è ø Cách 2: éx = Cho x - 3x + = Û ê êx = (thỏa mãn) ê ë 2 I = ò x - 3x + dx + ò x2 - 3x + dx 1 = ò( x 2 ) - 3x + dx + ò( x ) - 3x + dx 1 ỉ ỉ x3 3x2 x3 3x2 2ữ 2ữ ỗ ữ ữ =ỗ + x + x = + =1 ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç3 ç3 2 6 è ø è ø Þ Chọn D 3p Ví dụ 4: Tính tích phân I = ị sin2x dx ta kết : p A B C Lời giải D p p p £ x£ Û £ 2x £ p Þ sin2x ³ 2 p 3p 3p Nếu : £ x £ Û p £ 2x £ Þ sin2x £ Nếu : 3p p p p 3p Khi đó: I = ò sin2x dx = ò sin2xdx p ò sin2xdx p 3p 1 1 = - cos2x + cos2x = - ( - 1- 0) + ( + 1) = Þ Chọn C 2 2 p p a Ví dụ 5: Tính tích phân I = ị x - x dx ta kết I = - A a = B a = C a = Lời giải 11 , ta có: D a = Nhận xét: từ đáp án Þ a ³ éx = ê x x = Û Cho êx = ( thỏa mãn) ê ë ù Ta có bảng xét dấu x2 - x đoạn é ê ë- 1;aú û x - a + x - x ( ) Khi I = ò x - x dx - æ x3 x2 ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç 2ø è3 - = ò( x 1 - a ) ( + ) - x dx + ò x2 - x dx a ỉ ỉ x3 x2 x3 x2 ÷ ữ ỗ ỗ = 0ữ ữ + ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 3 ố ứ0 ố ứ1 ổ ỗ ỗ ỗ ố 5ử ữ ữ ữ ữ 6ứ ổ ỗ ỗ ỗố ổ 1ử a3 a2 ữ ữ ỗ ữ ữ + ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ3 6ứ ố 2ứ ổ ỗ ỗ ỗố 1ử ữ ữ ữ ữ 6ø a3 a2 + 55 a3 a2 11 I = Û + = Û 2a3 - 3a2 - = 30 6 Û ( a - 2) 2a + a + = Þ a = Do ( ) Þ chọn B Ví dụ 6: Tính tích phân I = ị x + x - x - 1dx ta kết I = - a + b là: a , tổng b A C B D Lời giải ù Do x3 + x2 - x - = ( x - 1) ( x + 1) £ 0, " x Ỵ é ê- 1;1ú ë û 1 ỉ x x x 11 ÷ Khi I = - ị x + x - x - 1dx = - ỗ + - xữ = ỗ ữ ỗ ữ ỗ 12 è4 ø - - Þ a = 4,b = Þ a + b = Þ chọn A ( ) Ví dụ 7: Tính tích phân I = ị - ỉ - 5ư ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ è12 ø x2 - x - dx ta kết I = a + bln2 + c ln3 x- ( với a,b,c số nguyên) Khi giá trị biểu thức T = 2a3 + 3b - 4c là: A.T = - 20 B T = C T = 22 D T = Lời giải éx = - ( x + 1) ( x - 2) x - x- é- 2;0ù nên x = - = 0Û = 0Û ê Cho ú êx = , x Ỵ ê ë û x- x- ê ë x - - - x2 - x - x- + Khi ỉ x2 - x ỗ ỗ ũỗốỗ x - - I =- - ỉ 2ư x2 - x ÷ ç ÷ d x + ç ÷ ịèçç x - ÷ ø - - 2ư ÷ ÷ dx = ÷ ÷ ø ỉ ỉ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ x d x + dx ỗx ữ ũỗỗố x - 1ứữ ũ ữ ữ ỗ x ố ứ - - - ỉ ỉ x2 x2 ữ ữ ỗ ữ ữ = + 4ln2 - 2ln3 =- ỗ 2ln x + 2ln x ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç2 ç2 è ø- è ø - Þ a = 1,b = 4,c = - Þ T = 2a3 + 3b - 4c = 22 Þ chọn C I = ò x x - a dx,a > 0 Ví dụ 8: Tính tích phân 1 f (8) + f  ÷ có giá trị bằng: 2 24 91 A B 91 24 C Lời giải ta kết 17 I = f (a ) D 17 Khi tổng TH1: Nếu a ³ ỉ - x3 ax2 a 11 ÷ ÷ I = - ị x ( x - a) dx = ỗ + = ị f (8) = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2 3 ố ứ 0 TH 2: Nếu < a < I = a a a ị x ( x - a) dx + ò x ( x - a) dx ỉ ỉ ỉư - x3 ax2 x3 ax2 a3 a 1÷ 1 1 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ =ỗ + + = + ị f = - + = ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ 24 ỗ ỗ3 ø è ø 3 2ø è è a   11 91 Þ chọn B Khi f (8) + f  ÷ = + =   24 x -x Ví dụ 9: Tính tích phân I = ò - dx ta kết I = - a ( với a, b số ln b b nguyên dương) Khi J = ∫ x − 3dx có giá trị bằng: a A J = B J = C J = D J = Lời giải Cho x − 2− x = ⇔ −1 = ⇔ 22 x = ⇔ x = x 2x Khi I = - ị( x -x - - ) dx + ò( x -x - ) b  x 2− x   x 2− x  dx = −  + + ÷ + ÷  ln ln  −1  ln ln  1 ⇒ a = 1, b = Khi J = ∫ x − 3dx = ∫ x − dx = Þ chọn A ln a BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1: Tìm mệnh đề mệnh đề sau: = b A ∫ f ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx B ∫ x dx −1 2018 ∫ e ( x + 1) dx = ∫ e ( x + 1) dx x −2 ∫ x dx = −1 a C b x D −2 ∫ 2018 x + x + dx = −1 ∫ (x −1 + x + 1) dx Lời giải Vì x + x + ≥ 0, ∀x ∈ [ −1; 2018] ⇒ 2018 ∫ 2018 x + x + dx = −1 Câu 2: Tính tích phân I = ò x - dx ta kết ∫ (x −1 + x + 1) dx Þ chọn D A Lời giải B C D ỉ x2 ÷ ÷ Do x − < 0, ∀x ∈ [ 0;1] Þ I = - ị( x - 2) dx = - ỗ x = ị chn C ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2 ứ0 THƠNG HIỂU Câu 3: Tính tích phân I = ò x - 3x + dx ta kết - A 19 - B 19 C 28 Lời giải I = ò (x2 - 3x + 2)dx - 1 ổ x3 3x2 ữ ữ =ỗ + x ç ÷ ç ÷ ç è3 ø - Þ chọn B VẬN DỤNG D 19 2 ò(x - 3x + 2)dx +ò(x - 3x + 2)dx 2 ỉ ỉ x3 3x2 x3 3x2 19 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ + x + + x = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ3 ỗ3 2 è ø ø 2 ( ) Câu 4: Tính tích phân I = ị x - x - dx ta kết quả: - A −2 B −1 C Lời giải Cách 1: ( ) I = ò x - x - dx = ò x dx - - =- òx- dx - ò xdx + ò xdx + ò( x - 1) dx - ò( x - 1) dx - - 1 ỉ x2 x2 x2 ữ ỗ ữ I2 =+ +ỗ x ữ ç ÷ ç2 -1 20 è ø - Cỏch 2: ổ x2 ữ ỗ ữ x = ị chn C ỗ ữ ỗ ữ ç2 è ø 1 I = ò ( - x + x - 1) dx + ò( x + x - 1) dx + ò ( x - x + 1) dx - =- x - ( ) + x2 - x Þ chọn C +x = D x Câu 5: Tính tích phân I = ò + x - dx ta kết I = a + b ( với a, b, c ln c số nguyên dương) Khi giá trị biểu thức T = a + 3b + 2c bằng: A 55 B 36 C 38 D 73 Đặt h ( x) = - ( - x) = + x - Bảng xét dấu x hx x Lời giải x ( ) I =- ò( x ) ( + ) + x - dx + ò 3x + x - dx 1 æ3x æ3x x2 x2 ữ ữ ỗ a = 1, b = 4, c = ÷ ÷ =- ç x + + x + = 1+ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ln3 ln3 ln3 è ø è ø ⇒ T = a + 3b + 2c = 55 Þ chọn A ...Dựa vào dấu để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần b Đặc biệt : Tính tích phân I = ị f (x) dx a Cách giải Cách 1:... (x) = tìm nghiệm é êa;bú ë û ù, dựa vào dấu f (x) để tách tích phân đoạn +) Xét dấu f (x) é êa;bû ú ë tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) +) Tính tích phân thành phần Cách 2: ùgiả sử nghiệm... ữ ỗ 12 è4 ø - - Þ a = 4,b = Þ a + b = Þ chọn A ( ) Ví dụ 7: Tính tích phân I = ị - ỉ - 5ư ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ? ?12 ø x2 - x - dx ta kết I = a + bln2 + c ln3 x- ( với a,b,c số nguyên) Khi giá trị biểu