Sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

s SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hằng * Mã sáng kiến: 0552 BÁO CÁO KẾT QUẢ Vĩnh Phúc, Năm 2020 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Chúng ta sống kỉ 21, kỉ khoa học, công nghệ hội nhập tri thức, kỹ người nhân tố vô quan trọng phát triển xã hội, giáo dục đóng phần to lớn việc trang bị tri thức cho người Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng, việc rèn luyện kỹ giải toán cho học học sinh có vai trị quan trọng vì: Đó mục tiêu dạy học phổ thông Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải toán điều kiện để thực mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức học vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Trong Chương trình phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, tích phân ứng dụng rộng rãi thực tế tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, sở để nghiên cứu Giải tích đại Ngồi phép tính tích phân cịn ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 có mặt hầu hết kỳ thi thi THPT- QG, thi học sinh giỏi cấp Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn u cầu rộng đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh phải tư cao hơn, chất Mặc dù học kỹ phương pháp tính tích phân, đứng trước yêu cầu tính tích phân hàm ẩn đa số em nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải toán dạng Đặc biệt sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân, nhiều em nắm phương pháp khơng sử dụng tính tích phân hàm ẩn Muốn học sinh học tốt tích phân người Giáo viên khơng phải truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách giập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế biết kết hợp phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp Vì lí đó, tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số” Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Hằng - Địa tác giả sáng kiến: Số nhà 38B ngõ Chùa hà, Vĩnh yên, Vĩnh phúc - Số điện thoại:.0963325970 E_mail: hangnguyen.nth.edu@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Hằng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Công tác giảng dạy môn Tốn trường THPT đặc biệt ơn thi THPT quốc gia Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 01/12/2018 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: 7.1.1 Các kiến thức bản: Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học a Định nghĩa Cho hàm số liên tục nguyên hàm đến kí hiệu đoạn hai số thuộc hiệu số Nếu gọi tích phân Trong trường hợp , ta gọi từ tích phân Người ta dùng kí hiệu nguyên hàm để hiệu số Như Nếu b Tính chất Giả sử liên tục ; ba số thuộc ; ; Chú ý Khi ta có với với c Phương pháp đổi biến số Tính tích phân ,trong hàm số xác Giả sử có đạo hàm định viết dạng , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp hai số thuộc Khi Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức 7.1.2 Các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân hàm ẩn thường gặp DẠNG 1: ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức * Nếu với , * Các cơng thức đạo hàm * Bảng nguyên hàm mở rộng * Cho ta đặt tính cho tính áp dụng Tóm lại: Đối với dạng tác giả cho hàm đặt Các ví dụ minh họa VD1: Cho A Tính B C Hướng dẫn giải D Chọn D Xét tích phân Đặt ta có Khi ; Do VD2: Cho hàm số liên tục Tính tích phân A thỏa mãn B Chọn B Đặt Với C Hướng dẫn giải D Ta có VD3: Cho hàm số liên tục R, thỏa mãn Tính A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt Đổi cận: (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) VD4: Cho hàm số Biết A liên tục thỏa mãn Giá trị tích phân B C Hướng dẫn giải , bao nhiêu? D Chọn A Xét tích phân Với , đặt , Ta có Mặt khác, ta có VD5: Cho A Khi B bằng: C Hướng dẫn giải D Chọn D Đặt Đổi cận: , Khi đó: Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên: VD6: Cho A Khi B C Hướng dẫn giải D Chọn D Đặt Đổi cận: ; Khi đó: VD7: Cho hàm số A liên tục B và Tính C Hướng dẫn giải D Chọn C Đặt Đổi cận: , Ta có: VD8: Cho hàm số liên tục Tính A thỏa B C Hướng dẫn giải D Chọn B + Xét Đặt ; ; Nên + Xét Đặt ; ; Nên + Xét * Tính Đặt Khi , ; ; * Tính Đặt Khi , ; ; Vậy VD9: Cho hàm số liên tục thỏa Khi tích phân A B C Hướng dẫn giải D Chọn B Xét Đặt Đổi cận: ; Suy VD10: Tìm tất giá trị dương để , với A B C Hướng dẫn giải D Chọn D + Từ + Tính tích phân :  Đặt , ,  Do Ta có Thay giá trị đáp án, nhận giá trị Chú ý: - Việc giải phương trình không cần thiết nên chọn phương pháp đáp để làm trắc nghiệm - Để giải phương trình ta xét hàm với chứng minh phương trình có nghiệm DẠNG 2 : ĐỞI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Cho hàm số thỏa mãn : +) Với +) Với Trong đề thường bị khuyết hệ số *Nếu liên tục *Thực chất việc kết đơn giản ta áp dụng tính chất cụ thể: Ta có : + (do ta đặt ) + Thay vào (*) Ta Các ví dụ minh họa VD1: TH Xét hàm số liên tục thỏa mãn Tính giá trị tích phân A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: Ta có: thỏa mãn Khi áp dụng cơng thức có: Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ +) Đặt ; với Khi Đặt ; Với Khi đó: Suy DẠNG 3 : ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Cách giải: Lần lượt đặt có ẩn ) để suy hàm số để giải hệ phương trình hai ẩn (trong (nếu cần đặt lần ) Các kết đặc biệt: Cho với ) đó: (*) +) Hệ (*): +) Hệ (*): với hàm số chẵn Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số Tính A liên tục B C D Hướng dẫn giải Chọn A 13 Đặt, Hay điều kiện trở , kết hợp với điều kiện thành Suy ra : Chọn B VD2: Cho hàm số liên tục thỏa mãn , A Tính B C theo D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt Khi Đổi cận Mà Nên Đặt Khi (*) Đổi cận 14 VD3: Xét hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện Tính tích phân A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng cơng thức) Với ta có Suy ra: Áp dụng kết “Cho (Với ) ” Ta có: Suy ra: Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ Đặt ; Với Suy thay vào , ta được: VD4: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính giá trị 15 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức) Với ta có Suy Cách 2: (Dùng công thức) Áp dụng Hệ 1: Ta có: (Casio) VD5: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính giá trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng cơng thức) Với ta có Suy Đáp án C Cách 2: Áp dụng Hệ 2: với hàm số chẵn 16 Ta có Đáp án C DẠNG 4 : ĐỔI BIẾN LOẠI Khi giả thiết bài toán có Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức * TINH CHÂT HÀM CHẴN Nếu hàm chẵn Nếu hàm chẵn *TÍNH CHẤT HÀM LẺ Nếu hàm lẻ Nếu hàm chẵn Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số A hàm lẻ liên tục Tính biết B C Hướng dẫn giải D Chọn B Cách 1: Sử dụng công thức: với hàm số lẻ đoạn tính chất Áp dụng, ta có:   17 Suy ra: Cách 2: Xét tích phân Đặt Đổi cận: ; Do hàm số hàm số lẻ nên Do Xét Đặt Đổi cận: ; Do VD2: Cho hàm số chẵn A liên tục B Tính C Hướng dẫn giải D Chọn D Ta có Đặt , Suy 18 Vậy VD3: Cho Kết A hàm số chẵn liên tục đoạn B C Hướng dẫn giải D Chọn A Xét Đặt , đổi cận: , Lại có Suy ra: VD4: Cho hàm số chẵn liên tục Biết Giá trị A B C Hướng dẫn giải D Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn Ta có: , với hàm số chẵn liên tục Áp dụng ta có: 19 Cách 2: Do Mặt khác hàm số chẵn, liên tục Xét Đặt Suy DẠNG 5 : ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Bài toán: Cho hàm số thỏa mãn (luôn đồng biến nghịch biến) hàm đơn điệu Hãy tính tích phân Cách giải: Đặt Đổi cận Suy Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số A liên tục B thỏa mãn C Tính D Hướng dẫn giải 20 Chọn D Đặt Đổi cận Khi đáp án D VD2: Cho hàm số liên tục Tính tích phân A thỏa mãn , B C D , D Hướng dẫn giải Chọn B Đặt Đổi cận: với Khi VD3: Cho hàm số Tính A liên tục thỏa mãn B C Hướng dẫn giải Chọn A Đặt Đổi cận: Với ; Khi đó: DẠNG 6 : ĐỞI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Bài tốn: 21 Cho , Cách giải: Đặt ; Khi Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số liên tục nhận giá trị dương với A Biết Tính giá trí B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: Xét Đặt Đổi cận: ; Khi Mặt khác hay VD2: Cho hàm số liên tục , ta có Vậy Giá trị tích phân A B C Hướng dẫn giải D Chọn C 22 ta có VD3: Cho hàm số Biết có đạo hàm, liên tục , A tính tích phân B C D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt ; (do ) VD4: Cho hàm số liên tục Tính tích phân A B thỏa mãn Biết C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt Khi ; đó: Suy ra: VD5: Cho hàm số ( A ) Biết x  [0; a] có đạo hàm liên tục R , tính tích phân B C D Hướng dẫn giải: 23 (1) Đặt Đổi cận: (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) (1) + (2) Chọn A VD6: Cho hàm liên tục đoạn Khi , thỏa mãn hai số nguyên dương phân số tối giản có giá trị thuộc khoảng đây? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Cách Đặt Đổi cận Lúc Suy Do Cách Chọn hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 24 Giáo viên cần có nhận thức sâu sắc bồi dưỡng học sinh thi THPTQG rèn học sinh làm tập mức độ vận dụng vận dụng cao Cần có trình độ chun mơn sâu rộng, nhìn nhận vấn đề cách tồn diện, khơng cứng nhắc, máy móc Phải có tinh thần trách nhiệm cao cơng tác giáo dục, chịu khó tìm tịi, học hỏi, tự bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến: Theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: + Tác động tích cực hiệu giảng dạy thân, trình độ chuyên môn củng cố + Ý tưởng đưa vào giảng dạy cụ thể cho sinh và kết quá thu được khá tốt Cụ thể kết thu với lớp thực nghiệm đối chứng sau: Kết kiểm tra: Bảng 10.1: Kết kiểm tra thực nghiệm Lớp ĐC TN Tổng số 45 45 Số đạt điểm 0-2 10 0 3 11 6 Bảng 10.2: Bảng so sánh định lượng kết lớp thực nghiệm lớp đối chứng Lớp ĐC TN Số Điểm – giỏi kiểm tra HS Tỉ lệ 45 19 42% 45 26 58% Trung - bình HS Tỉ lệ 20 44,5% 16 35% Yếu - HS Tỉ lệ 13,5% 7% 10.3: Biểu đồ cột kết điểm số lớp thực nghiệm lớp đối chứng 25 Qua số liệu thống kê cho thấy: - Tỉ lệ học sinh đạt điểm - giỏi lớp thực nghiệm 58% cao rõ rệt so với lớp đối chứng 42% Một số lượng lớn học sinh trung bình nắm bắt kiến thức tốt hơn, điểm kiểm tra học sinh cao Tỉ lệ điểm giỏi tăng lên - Tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu - lớp thực nghiệm có 7% thấp so với lớp đối chứng 13,5% Kết cho thấy qua tác động biện pháp dạy học “Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số”, học sinh yếu có tiến Phần lớn em nắm kiến thức học lớp (Thể tỉ lệ 93% học sinh đạt từ trở lên), biết vận dụng kiến thức để làm tập đơn giản (58% học sinh đạt từ trở lên) Như vậy, từ kết kiểm tra cho thấy nhận định cho sở xác định lực cần phát triển cho học sinh việc sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân hàm ẩn, đề xuất biện pháp phù hợp phát triển kỹ giải toán về việc tính tích phân hàm ẩn cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn hồn tồn có sở 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Lớp 12A3 Tên tổ chức/cá nhân Trường THPT nguyễn Thái Học Nguyễn Trường THPT Thị Nguyễn thái Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến HỌC TẬP Lớp 12A3 DẠY ÔN THI THPTQG Nguyễn Thị Hằng 26 Hằng Học , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) , ngày tháng năm Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) 27