Thông tin tài liệu
s SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hằng * Mã sáng kiến: 0552 BÁO CÁO KẾT QUẢ Vĩnh Phúc NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Chúng ta sống kỉ 21, kỉ khoa học, công nghệ hội nhập tri thức, kỹ người nhân tố vô quan trọng phát triển xã hội, giáo dục đóng phần to lớn việc trang bị tri thức cho người Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng, việc rèn luyện kỹ giải tốn cho học học sinh có vai trị quan trọng vì: Đó mục tiêu dạy học phổ thơng Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải toán điều kiện để thực mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức học vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Trong Chương trình phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, tích phân ứng dụng rộng rãi thực tế tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, sở để nghiên cứu Giải tích đại Ngồi phép tính tích phân cịn ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 có mặt hầu hết kỳ thi thi THPT- QG, thi học sinh giỏi cấp Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn u cầu rộng đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh phải tư cao hơn, chất Mặc dù học kỹ phương pháp tính tích phân, đứng trước yêu cầu tính tích phân hàm ẩn đa số em nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải toán dạng Đặc biệt sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân, nhiều em nắm phương pháp không sử dụng tính tích phân hàm ẩn Muốn học sinh học tốt tích phân người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách giập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế biết kết hợp phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp Vì lí đó, tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số” Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Hằng - Địa tác giả sáng kiến: Số nhà 38B ngõ Chùa hà, Vĩnh yên, Vĩnh phúc - Số điện thoại:.0963325970 E_mail: hangnguyen.nth.edu@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Hằng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Cơng tác giảng dạy mơn Tốn trường THPT đặc biệt ôn thi THPT quốc gia Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: 7.1.1 Các kiến thức bản: Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học a Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b) F (a ) gọi tích phân f từ a b f ( x)dx Trong trường hợp a b , ta gọi đến b kí hiệu � a b f ( x)dx � tích phân a f đoạn a; b b Người ta dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số F (b) F ( a) Như Nếu F b nguyên hàm f K f ( x)dx F ( x) � b a F (b ) F ( a ) a b Tính chất Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1) f ( x)dx ; 2) � a b 4) b a f ( x)dx � f ( x)dx ; 3) � a b c b c f ( x) dx � f ( x )dx � f ( x )dx � b b b a b a a a a b f ( x)dx � g ( x)dx ; 5) � kf ( x)dx k � f ( x)dx f ( x) g ( x) dx � � a ( x) f ( x) với x �K Chú ý F � với k �R a F ( x) � f ( x)dx c Phương pháp đổi biến số b g ( x) dx Giả sử g ( x) viết dạng f u ( x) u� ( x) Tính tích phân I � a ,trong hàm số u ( x) có đạo hàm K , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp f u ( x) xác định K b u (b) a u (a) a, b hai số thuộc K Khi f u ( x) u� ( x)dx �f (u )du � Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x b b b a a a f ( x)dx � f (u )du � f (t )dt Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức � 7.1.2 Các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân hàm ẩn thường gặp DẠNG 1: ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức f ( x) dx , ( x) f ( x ) với x �K F ( x) � * Nếu F � b b b a a a f ( x)dx � f (u )du � f (t )dt � * Các công thức đạo hàm * Bảng nguyên hàm mở rộng b * Cho f ( x)dx M � b tính a b f (u )dx � cho a ta đặt t u x áp dụng f (u )dx M � b tính a b b b a a a f ( x)dx � a f ( x)dx � f (u ) du � f (t ) dt � Tóm lại: Đối với dạng tác giả cho hàm f u dx đặt t u x Các ví dụ minh họa VD1: Cho �f x dx 16 Tính �f x dx 0 A 16 B C 32 Hướng dẫn giải Chọn D Xét tích phân �f x dx ta có Đặt 2x t � dx dt Khi x t ; x t 2 4 1 f x dx � f t dt � f x dx 16 Do � 20 20 VD2: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn D �f x dx 5 � Tính tích phân � �f 3x 9� �dx A 27 B 21 C 15 D 75 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t x � dt 3dx Với x � t x � t 5 2 5 dt � dx � f x dx � 9dx � � Ta có � �f x � � �f t � �3 x 0 1 � �f x � dx 18 � 5 � 18 21 VD3: Cho hàm số y f x liên tục R, thỏa mãn f x dx � Tính I tan 1 f tan x dx � A I C I B I 1 D I Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt t tan x � dt tan x dx Đổi cận: 1 0 �I � f t dt � f x dx (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) VD4: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn f x f x , x �� Biết f x dx Giá trị tích phân I � f x dx � A I B I bao nhiêu? C I Hướng dẫn giải D I Chọn A f x dx , đặt x 2t � dx 2dt Xét tích phân J � Với x � t , x � t 1 1 0 f 2t 2dt 2� f 2t dt 2� f t dt � f t dt � f x dx Ta có J � 0 2 f x dx � f x dx � f x dx Mặt khác, ta có J � 2 0 �I � f x dx � f x dx � f x dx J � f x dx VD5: Cho fx � 1 xdx Khi I � f x dx bằng: A B C 1 Hướng dẫn giải D Chọn D Đặt t x � dt xdx Đổi cận: x � t , x � t 5 2 f x 1 xdx � f t dt � � f t dt � f x 1 xdx Khi đó: � 22 5 2 f x dx � f t dt Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên: I � VD6: Cho fx � A 1 xdx Khi I � f x dx B C 1 Hướng dẫn giải D Chọn D Đặt t x � dt xdx Đổi cận: x � t ; x � t 5 1 f t d t f x d x � I f x dx Khi đó: � � 2� 2 2 VD7: Cho hàm số y f x liên tục � f x dx Tính I � B 16 A C Hướng dẫn giải xf x dx � D 32 Chọn C Đặt x 2t � xdx 2dt � xdx dt Đổi cận: x � t , x � t f 2t dt Ta có: I � VD8: Cho hàm số f x liên tục � thỏa 0 f x dx � f x dx 14 � Tính �f x dx 2 A 30 B 32 C 34 Hướng dẫn giải D 36 Chọn B + Xét f x dx � Đặt u x � du 2dx ; x � u ; x � u 2 f x d x f u d u � f u du Nên � � � 0 + Xét f x dx 14 � Đặt v x � dv 6dx ; x � v ; x � v 12 12 12 f x dx � f v dv � � f v dv 84 Nên 14 � 60 0 2 2 2 + Xét f x dx �f x dx �f x dx � * Tính I1 �f x dx 2 Đặt t x Khi 2 x , t 5 x � dt 5dx ; x 2 � t 12 ; x � t 12 2 � 1� 1 f t d t f t d t I1 f t d t � � 84 16 � � 5� 12� 0 � f x dx * Tính I1 � Đặt t x Khi x , t x � dt 5dx ; x � t 12 ; x � t 12 12 � 1� f t d t f t d t I2 � f t dt � � 84 16 � � 5� 52 0 � Vậy �f x dx 32 2 VD9: Cho hàm số f x liên tục � thỏa 2018 �f x dx e Khi tích phân 2018 x f ln x 1 dx 1 B C Hướng dẫn giải �x A 1 D Chọn B Xét I e 2018 1 �x x f ln x 1 dx 1 Đặt t ln x 1 � dt 2x dx Đổi cận: x � t ; x e 2018 x 1 � t 2018 Suy I 2018 f t dt � 2018 �f x dx 2 10 � m � � x x dx f � VD10: Tìm tất giá trị dương m để � � �, với �9 � f x ln x15 A m 20 B m C m Hướng dẫn giải D m Chọn D 15 + Từ f x ln x � f � x 15 15 x14 15 � � f� x 15 x x x 10 � 243 � � f� � � �9 � 20 x x dx : + Tính tích phân I � m Đặt t x � x t , dx dt , 3t t Do I � m dt 3m Ta có m 1 m x t � 3t t m 3 m 1 m 1 m dt 3t t m 1 m 3m 243 10 � m � � � � x x dx f � � � 20 �9 � m 1 m 3m 35 � m 1 m 4.5 Thay giá trị m đáp án, nhận giá trị m Chú ý: 3m 33 - Việc giải phương trình khơng cần thiết nên chọn phương m 1 m 4.5 pháp đáp để làm trắc nghiệm 3m 33 - Để giải phương trình ta xét hàm m 1 m 4.5 3m 33 f m với m chứng minh phương trình có nghiệm m 1 m 4.5 m DẠNG : ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức f u C f a b x g x Cho hàm số f x thỏa mãn : A f x B.u� b b � u a a � f x dx g x dx +) Với � � A BC � u b b � a a b b � u a b � f x dx g x dx +) Với � � A B C � u b a � a a Trong đề thường bị khuyết hệ số A, B, C *Nếu f x liên tục a; b b f a b x dx � a b f x dx � a *Thực chất việc kết đơn giản ta áp dụng tính chất b b b a b a a f ( x)dx � f (u )du � f (t )dt cụ thể: � b � A f x B.u � f u C f a b x � dx � g x dx � � � a a Ta có : + b b a b a f a b x dx � f x dx � f (u )u� dx +� a (do ta đặt t a b x ) b f x dx Thay vào (*) Ta � a b b � A f x B.u � f u C f a b x � dx � g x dx � � � a a b b � A B C � f x dx � g x dx a a b b g x dx A B C � a a Các ví dụ minh họa � u a a � VD1: TH � u b b � Xét hàm số f x liên tục 1;2 thỏa mãn �� f x dx f x xf x f x x Tính giá trị tích phân I �f x dx 1 A I B I C I Hướng dẫn giải D I 15 Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f x x f x f x x Ta có: � u 1 1 � A 1; B 1; C u x thỏa mãn � u 2 � Khi áp dụng cơng thức có: 2 x4 I� f x x dx � 1 1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ f x xf x f x x 2 2 1 1 �� f x dx � x f x dx � f x dx � x 3dx 1 1 * +) Đặt u x � du xdx ; với x 1 � u 1 x � u Khi x f x � 1 dx 2 1 1 �f u du �f x dx 1 +) Đặt t x � dt dx ; Với x 1 � t x � t 1 Khi 2 1 1 �f x dx �f t dt �f x dx 1 2 1 1 f x dx 15 � � f x dx Thay 1 , vào * ta được: � � u a b � VD2: TH � Xét hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn u b a � 1 f x dx f x xf x f x Tính giá trị tích phân I � x 1 A I ln 2 B I ln C I Hướng dẫn giải D I Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Với: f x 2 x f x f x x Ta có: � u 0 � 1 A ; B ; C u x thỏa mãn � u 1 � Khi áp dụng cơng thức ta có: 1 dx 1 2 � I � f x dx � � x ln x ln 1 � � 9 � 2� Cách 2: (Dùng công thức đổi biến không nhớ công thức) Từ f x xf x f x x 1 1 1 �� f x dx � xf x dx 3� f x dx � dx ln x 10 ln (*) x 1 0 0 +) Đặt u x � du 2 xdx ; Với x � u x � u 1 1 xf x d x f u d u f x dx (1) Khi � � � 0 u x x � t x � t � du xdx ; Với +) Đặt 1 0 xf x dx � f t dt � f t dt (2) Khi � Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1 1 f x dx � f x dx 3� f x dx ln � � f x dx ln � � f x dx ln � 20 20 0 VD3(Khuyết A): Xét hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn điều kiện f x dx xf x f x 1 x Tích phân I � 2 A I B I C I 20 Hướng dẫn giải D I 16 Chọn C Từ: 1 0 x f x f x 1 x � 2� xf x dx 3� f x dx �1 x dx 2 +) Đặt u x � du xdx ; Với x � u x � u 1 0 1 0 xf x dx � f u du � f x dx Khi � 1 +) Đặt t x � dt dx ; Với x � t x � t Khi f x dx � f t dt � f x dx � Thay 1 , vào ta được: 2� f x dx 3� f x dx �1 x dx � � f x dx �1 x dx 20 0 0 1 1 VD4(Khuyết B): Xét hàm số f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f x dx � f x f x x Tích phân A B C 15 D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t x � dx dt Suy 0 1 f x dx � f t dt � f t dt � f x dx � 1 f x dx �1 xdx f x f x x � 5� 0 Suy 1 x f x dx � 15 Chú ý: Ta dùng cơng thức x2 ax2 b x1 ax1 b �f ax b dx � f x dx Khi đó: 10 1 f x dx 3� f x dx �1 xdx Từ f x f x x suy ra: 2� 0 2 �� f x dx 0 15 x VD5(Khuyết C): Cho hàm số y f x thỏa mãn f x x f x x 1 1 � 2� f x dx 3�f x dx �1 xdx � 5� f x dx f x dx Tích phân I � A a b a b với a, b, c �� ; tối giản Tính a b c c c c B 4 C D 10 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức) x3 Biến đổi f x x f x x2 � f x 2. x f x x3 x2 với A 1; B 2 1 � x3 � x 3dx dx � � �2 2 � x 1 � x 1 0� Đặt t x � t x � tdt xdx ; Với x � t x � t f x dx Áp dụng cơng thức ta có: � 1 x2 t 1 f x dx xdx � tdt Khi đó: � � t x2 0 2 �t � t 1 dt �3 t � � � � 1 2 a b c Suy a 2; b 1; c � a b c Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) x3 0 Từ f x x f x x 1 1 x3 �� f x dx 2� x f x dx � dx (*) x 0 Đặt u x � du x dx ; Với x � u x � u 1 4x f x dx � f u du � f x dx thay vào (*), ta được: Khi � 1 0 0 x f x dx � f x dx � � x x3 dx � � f x dx � dx x2 0 Đặt t x � t x � tdt xdx ; Với x � t x � t 1 x2 1 t 1 f x dx � xdx � tdt Khi đó: � t x2 0 2 �t � t dt � t� � �3 � 1 2 a b c 11 Suy a 2; b 1; c � a b c DẠNG : ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Cách giải: Lần lượt đặt t u x t v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có ẩn f x ) để suy hàm số f x (nếu u x x cần đặt lần t v x ) Các kết đặc biệt: Cho A f ax b B f ax c g x với A2 �B ) đó: �x b � �x c � A.g � � B.g � � a � a �(*) � � f x A2 B A.g x B.g x +) Hệ (*): A f x B f x g x � f x A2 B g x +) Hệ (*): A f x B f x g x � f x A B với g x hàm số chẵn Các ví dụ minh họa �1 � VD1: Cho hàm số y f x liên tục � f x f � � 3x �x � f x Tính I �x dx A I C I B I D I 1 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt, t 1 �x x t điều kiện trở thành �� �1 � f �� f t � f x f � � t t �� �x � x �1 � Hay f x f � � , kết hợp với điều kiện f x f �x � x �1 � � � 3x Suy : �x � 2 f x �2 � �2 � f x dx � x �1 f x 3x � � I � dx � � 1� x x � � �x � x x x 1 2 Chọn B 12 VD2: Cho hàm số y f x liên tục �\ 0 thỏa mãn �2 � 15 x f 3x f � � , �x � 45 k A I B I �1 � f x dx k Tính I � f�� dx theo k � �x � 45 k 45 k C I 9 Hướng dẫn giải D I 45 2k Chọn A �t 1 Đặt t x � dx dt Đổi cận x �t 3 �2 � f�� dx Khi I � �t � �2 � 15 x �2 � x � f � � f 3x Mà f 3x f � � �x � �x � x 3 3 � 5x 1 � f 3x � dx � x dx � f 3x dx 5 � f 3x dx (*) Nên I � � 21� 41 31 31 � x 1 � u Đặt u 3x � dx dx Đổi cận x 3� t 9 Khi I 5 k 45 k f t d t 9� 9 VD3: Xét hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn điều kiện f x dx f x f x x x Tính tích phân I � A I 15 B I 15 C I 75 D I 25 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f x f x x x ta có A 2; B 1 Casio f x dx x xdx 0,05 3 Suy ra: � � 2 30 75 Áp dụng kết “Cho A f ax b B f ax c g x (Với A2 �B ) �x b � �x c � A.g � � B.g � � a � a �” � � f x A2 B 13 Ta có: f x f x x x g x � f x g x 3g x 22 32 2x x 3 x x 5 1 Casio 2x x 3 x x f x dx � dx 0,05 3 Suy ra: I � 5 75 0 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Casio 0, Suy 1 0 � 2� f x dx 3� f x dx � x xdx Từ f x f x x x Đặt u x � du dx ; Với x � u x � u 15 1 0 f x dx � f u du � f x dx � thay vào , ta được: 4 5� f x dx � � f x dx 15 75 0 x VD4: Cho hàm số y f x liên tục � thỏa mãn f x 2018 f x e Tính giá trị I �f x dx 1 e2 A I 2019e e2 B I 2018e C I e2 D I e Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức) x Với f x 2018 f x e ta có A 1; B 2018 1 1 x e2 x I f x dx e dx e Suy � 2018 � 2019 1 2019e 1 Cách 2: (Dùng công thức) A.g x B.g x Áp dụng Hệ 1: A f x B f x g x � f x A2 B Ta có: 2018e x e x f x 2018 f x e x � f x 20182 1 1 �� f x dx 2018e x e x dx � 2019.2017 1 1 e2 �1,164.103 � (Casio) 2019e 14 VD5: Cho hàm số y f x liên tục � thỏa mãn f x 2018 f x x sin x Tính giá trị I �f x dx A I 2019 B I 2 C I 1009 2019 Hướng dẫn giải D I 1009 Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f x 2018 f x x sin x ta có A 1; B 2018 Suy I 1 2018 �f x dx Casio x sin xdx � � Đáp án C 2019 Cách 2: Áp dụng Hệ 2: A f x Bf x g x � f x với g x hàm số chẵn Ta có f x 2018 f x x sin x � f x 2 g x A B x sin x 2019 �f x dx 2019 �x sin xdx � Đáp án C I DẠNG : ĐỔI BIẾN LOẠI Khi giả thiết tốn có Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức * TINH CHÂT HÀM CHẴN Nếu hàm f x chẵn a a a f x dx �f x dx 2� Nếu hàm f x chẵn f x f x *TÍNH CHẤT HÀM LẺ Nếu hàm f x lẻ a �f x dx a Nếu hàm f x chẵn f x f x Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số y f x hàm lẻ liên tục 4;4 biết �f x dx 2 f x dx f 2 x dx Tính I � � 15 A I 10 B I 6 C I Hướng dẫn giải D I 10 Chọn B x2 x f ax b d x f ax dx tính chất Cách 1: Sử dụng công thức: � � a x1 x1 a hàm số lẻ đoạn a; a �f x dx với f x a Áp dụng, ta có: 2 4 2 f x dx �f x dx � �f x dx � 4 2 4 f 2 x dx 4 � 0 2 0 �f x dx �f x �f x � �f x 2 2 2 4 f x dx �f x dx �f x dx �f x dx Suy ra: � 4 4 2 � 8 �f x dx �f x dx I � I � I 6 2 2 0 Cách 2: Xét tích phân �f x dx 2 Đặt x t � dx dt Đổi cận: x 2 t ; x t 0 2 2 0 f t dt � � f t dt � � f x dx f t dt � �f x dx � Do hàm số y f x hàm số lẻ nên f 2 x f x 2 1 f 2 x dx � f x dx � � f x dx 4 Do � Xét f x dx � 1 Đặt 2x t � dx dt 2 f x dx Đổi cận: x t ; x t � 4 f t dt 4 2� �� f t dt 8 � � f x dx 8 2 4 0 f x dx � f x dx � f x dx 6 Do I � f 2x f x dx VD2: Cho hàm số chẵn y f x liên tục � � x dx Tính � 1 A B C D 16 Hướng dẫn giải 16 Chọn D f 2x f x d x � dx 16 Ta có � x x � 2 1 2 Đặt t x � dt dx , 16 I f x 2 � 1 Suy I 2 x f t 2 t f t dx � dt � dt t t 2 1 1 f x 2 � 1 x dx 2 x f x �1 2 x dx 2 2 f x dx �f x dx 2� Vậy f x dx 16 � VD3: Cho f x hàm số chẵn liên tục đoạn 1; 1 f x dx � ex 1 B I �f x dx 1 Kết I A I C I Hướng dẫn giải D I Chọn A 1 f x f x f x I � x dx � x dx � x dx I1 I 1 e 1 e 1 e 1 1 f x dx � ex 1 Xét I1 Đặt x t � dx dt , đổi cận: x � t , x 1 � t 1 t f x e f x I1 � t dt � t dt 1 e 1 e 1 x et f t e f x Lại có � t dt � x dx 1 e 1 e 0 Suy ra: 1 t 1 1 et f t f x e f t f t I � x dx � t dt � t dx � dt � f t dt � f t dt t e e e e 1 0 0 1 VD4: Cho y f x hàm số chẵn liên tục � Biết f x dx � f x dx Giá trị � 21 A B f x dx � 3x 2 C Hướng dẫn giải D Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn 17 a f x dx � f x dx , với f x hàm số chẵn liên tục a; a Ta có: �x b 1 a Áp dụng ta có: 2 f x d x f x d x f x d x f x dx x � � � � 2 0 a 1 f x dx � f x dx 1 f x dx � � Cách 2: Do � 21 0 2 f x dx � �� f x dx � f x dx � f x dx f x dx Mặt khác �x 1 2 2 f x f x d x dx y f x hàm số chẵn, liên tục � � 3x 3x 2 0 � � f x f x x �� f x dx Đặt t x � dx dt x � 2 Xét I f t t x f t f x f x f t d t = � d t = dx dx �t dt = Suy I �x � � 3t 3x 1 1 1 0 t 2 2 x 2 f x f x f x f x f x dx �x dx �x dx �x dx � �x dx �x 1 1 1 1 1 2 0 2 3 x � 1 f x 3x dx f x dx � DẠNG : ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Bài toán: Cho hàm số y f x thỏa mãn g � �f x � � x g t hàm đơn điệu b f x dx (luôn đồng biến nghịch biến) R.Hãy tính tích phân I � a y dy Cách giải: Đặt y f x � x g y � dx g � � �x a � g y a � y Đổi cận � �x b � g y b � y b f x dx �yg y dy Suy I � a Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số f x liên tục R thỏa mãn f x f x x, x �R Tính I �f x dx A I B I C I 2 Hướng dẫn giải D I 18 Chọn D Đặt y f x � x y y � dx y 1 dy � �x � y y � y Đổi cận � �x � y y � y � đáp án D VD2: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn f x f x f x x , f x dx � y y 1 dy � Khi I � y3 y dy 0 1 f x dx x �� Tính tích phân I � A I B I 5 C I 12 Hướng dẫn giải D I Chọn B Đặt y f x � x y y y � dx y y 1 dy Đổi cận: với x � y y y � y x � y3 y2 y � y 1 1 f x dx � y.6 y y 1 dy � Khi I � y y y dy 0 VD3: Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn x f x f x , x �� Tính I �f x dx 2 A I B I 7 C I Hướng dẫn giải D I Chọn A Đặt y f x � x y y � dx 3 y dy Đổi cận: Với x 2 � y y 2 � y ; x � y3 y � y DẠNG : ĐỔI BIẾN LOẠI Phương pháp: Ta sử dụng kiến thức Bài toán: y 3 y dy Khi đó: I � b dx ba Cho f x f a b x k , I � k f x 2k a Cách giải: 19 dt dx � � k x a � t b ; x b � t a Đặt t a b x � � �f x f t � b b b dx dx f x dx I � � k2 k f x � k a k f x Khi a a k f t b b dx f x dx 1 ba 2I � � � dx b a � I k f x k a k f x k a k 2k a b Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số f x liên tục nhận giá trị dương 0;1 Biết dx f x f x với x � 0;1 Tính giá trí I � 1 f x A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: f x f x f x f x � f x 1 f x f 1 x 1 dx Xét I � f x Đặt t x � x t � dx dt Đổi cận: x � t ; x � t 1 f x dx dt dt dx � � � Khi I � 1 f 1 t f 1 t f 1 x f x 1 f x dx 1 f x dx � � dx � dx hay I Vậy I Mặt khác � f x f x f (t ) 0 VD2: Cho hàm số f x liên tục �, ta có f x f f 2018 x 2018 Giá trị tích phân I dx �1 f x A I 2018 B I C I 1009 Hướng dẫn giải D 4016 Chọn C 2018 ta có I 2018 d x 1009 � f x 2.1 VD3: Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục � f x x � 0;5 dx Biết f x f x tính tích phân I � , 1 f x 20 A I 5 B I C I Hướng dẫn giải D I 10 Chọn C Đặt x t � dx dt x � t 5; x � t 0 f t dt dt f t I � � (do ) 1 f t f t 1 f t � 2I � dt � I VD4: Cho hàm số y f x liên tục � thỏa mãn f x f x Biết 3 1 xf x dx Tính tích phân � f x dx � A B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x � dt dx x � t ; x � t Khi đó: 3 1 5� xf x dx � t f t dt � x f x dx � x f x dx 3 1 xf x dx � f x dx x f x dx 4� Suy ra: 10 � VD5: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục R f x x [0; a] a dx ( a ) Biết f x f a x , tính tích phân I � 1 f x A I a B I 2a C I a D I a Hướng dẫn giải: a dx I � (1) Đặt t a x � dt dx Đổi cận: 1 f x 0 a a dt 1 �I � � dt � dx (2) 1 f a t 1 f a t 1 f a x a (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) a � � (1) + (2) � I � � �dx 1 f x 1 f a x � 0� 21 a 1 f a x 1 f x f a x f x dx � dx � dx a 1 f x f a x f x f a x f a x f x 0 a Chọn A �I � f x f a x VD6: Cho f x hàm liên tục đoạn 0; a thỏa mãn � �f x 0, x � 0; a a dx ba b , b , c hai số nguyên dương phân số tối giản � 1 f x c c Khi b c có giá trị thuộc khoảng đây? A 11;22 B 0;9 C 7;21 Hướng dẫn giải Chọn B Cách Đặt t a x � dt dx Đổi cận x � t a; x a � t D 2017;2020 a a a f x dx dx dt dx dx I � � � � � Lúc 1 f x a 1 f a t 1 f a x 1 1 f x 0 f x a a f x dx a dx 1dx a Suy I I I � 1 f x � 1 f x � 0 a a � b 1; c � b c Cách Chọn f x hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I a � b 1; c � b c Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Giáo viên cần có nhận thức sâu sắc bồi dưỡng học sinh thi THPTQG rèn học sinh làm tập mức độ vận dụng vận dụng cao Cần có trình độ chun mơn sâu rộng, nhìn nhận vấn đề cách tồn diện, khơng cứng nhắc, máy móc Phải có tinh thần trách nhiệm cao công tác giáo dục, chịu khó tìm tịi, học hỏi, tự bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến: Theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: + Tác động tích cực hiệu giảng dạy thân, trình độ chun mơn củng cố + Ý tưởng đưa vào giảng dạy cụ thể cho sinh kết thu tốt Cụ thể kết thu với lớp thực nghiệm đối chứng sau: Kết kiểm tra: Do I Bảng 10.1: Kết kiểm tra thực nghiệm 22 Tổng Số đạt điểm Lớp số 0-2 10 ĐC 45 3 11 TN 45 Bảng 10.2: Bảng so sánh định lượng kết lớp thực nghiệm lớp đối chứng Lớp ĐC TN Số Điểm – giỏi HS Tỉ lệ kiểm tra 45 19 42% 45 26 58% Trung - bình HS Tỉ lệ 20 44,5% 16 35% Yếu - HS Tỉ lệ 13,5% 7% 10.3: Biểu đồ cột kết điểm số lớp thực nghiệm lớp đối chứng Qua số liệu thống kê cho thấy: - Tỉ lệ học sinh đạt điểm - giỏi lớp thực nghiệm 58% cao rõ rệt so với lớp đối chứng 42% Một số lượng lớn học sinh trung bình nắm bắt kiến thức tốt hơn, điểm kiểm tra học sinh cao Tỉ lệ điểm giỏi tăng lên - Tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu - lớp thực nghiệm có 7% thấp so với lớp đối chứng 13,5% Kết cho thấy qua tác động biện pháp dạy học “Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số”, học sinh yếu có tiến Phần lớn em nắm kiến thức học lớp (Thể tỉ lệ 93% học sinh đạt từ trở lên), biết vận dụng kiến 23 thức để làm tập đơn giản (58% học sinh đạt từ trở lên) Như vậy, từ kết kiểm tra cho thấy nhận định cho sở xác định lực cần phát triển cho học sinh việc sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân hàm ẩn, đề xuất biện pháp phù hợp phát triển kỹ giải tốn việc tính tích phân hàm ẩn cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn hồn tồn có sở 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Trường THPT Lớp nguyễn Thái 12A3 Học Nguyễn Trường THPT Thị Nguyễn thái Hằng Học , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến HỌC TẬP Lớp 12A3 DẠY ÔN THI THPTQG Nguyễn Thị Hằng , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) , ngày tháng năm Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) 24 ... hợp phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp Vì lí đó, tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: ? ?Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số? ?? Tên sáng kiến: ? ?Rèn luyện kĩ tính tích. .. cầu tính tích phân hàm ẩn đa số em nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải toán dạng Đặc biệt sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân, nhiều em nắm phương pháp khơng sử dụng tính. .. phát triển cho học sinh việc sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân hàm ẩn, đề xuất biện pháp phù hợp phát triển kỹ giải tốn việc tính tích phân hàm ẩn cho học sinh, nâng cao chất lượng
Ngày đăng: 19/03/2022, 15:07
Xem thêm:
