Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế và biết kết hợp các phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp.
s SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hằng * Mã sáng kiến: 0552 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Chúng ta đang sống trong thế kỉ 21, thế kỉ của khoa học, cơng nghệ và hội nhập. tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vơ cùng quan trọng trong sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục đóng phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con người Trong việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường trung học phổ thơng, việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học học sinh có vai trị quan trọng vì: Đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thơng. Việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải tốn là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, u cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Trong Chương trình phổ thơng, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Tốn học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, nó là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngồi ra phép tính tích phân cịn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT QG, thi học sinh giỏi các cấp. Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn được u cầu rộng hơn và địi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm ẩn đã được đưa vào để u cầu học sinh phải tư duy cao hơn, bản chất hơn. Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước u cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em cịn nhiều lúng túng và thậm chí là khơng định hình được lời giải các bài tốn dạng này. Đặc biệt khi sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân, nhiều em đã nắm rất chắc phương pháp này nhưng vẫn khơng sử dụng được trong bài tính tích phân hàm ẩn Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên khơng phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách giập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ khơng cao. Nó là một trong những ngun nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày u cầu của giáo dục hiện nay địi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế và biết kết hợp các phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp. Vì những lí do đó, tơi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số” 2. Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số” 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Nguyễn Thị Hằng Địa chỉ tác giả sáng kiến: Số nhà 38B ngõ 4 Chùa hà, Vĩnh n, Vĩnh phúc Số điện thoại:.0963325970 E_mail: hangnguyen.nth.edu@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Hằng 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Cơng tác giảng dạy mơn Tốn trong trường THPT đặc biệt ơn thi THPT quốc gia 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 01/12/2018 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Về nội dung của sáng kiến: 7.1.1. Các kiến thức cơ bản: Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học a. Định nghĩa Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân của f từ b b a đến b và kí hiệu là f ( x)dx Trong trường hợp a < b , ta gọi f ( x)dx là tích a a phân của f trên đoạn [ a; b ] b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b) − F (a ) Như vậy Nếu F là b b một nguyên hàm của f trên K thì f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) a b. Tính chất Giả sử f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có a b a b c c a a b a b a f ( x)dx = − � f ( x)dx ; 3) � f ( x)dx + � f ( x)dx = � f ( x)dx 1) f ( x)dx = ; 2) � b b b b b a a a a a f ( x)dx + � g ( x)dx ; 5) � kf ( x)dx =k � f ( x)dx với k [ f ( x) + g ( x)] dx = � 4) � Chú ý là nếu F ( x) = f ( x) với mọi x K thì F ( x) = R f ( x)dx c. Phương pháp đổi biến số b Tính tích phân I = g ( x)dx Giả sử g ( x) được viết dưới dạng f [ u ( x)] u ( x) a ,trong đó hàm số u ( x) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f [ u ( x)] xác định K a, b hai số thuộc K Khi đó b u (b ) a u ( a) f [ u ( x)] u ( x)dx = �f (u )du � Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x Như vậy tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức là b b b a a a f ( x)dx = � f (u )du = � f (t )dt = � 7.1.2. Các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân hàm ẩn thường gặp DANG 1: ĐÔI BIÊN LOAI 1 ̣ ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức * Nếu F ( x) = f ( x) với mọi x b b b a a a K thì F ( x) = f ( x)dx , f ( x)dx = � f (u )du = � f (t )dt = � * Các công thức về đạo hàm * Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng b b b b a a a a * Cho f ( x)dx = M tính f (u )dx hoặc cho f (u )dx = M tính f ( x)dx khi b b b a a a f ( x)dx = � f (u )du = � f (t )dt = đó ta đặt t = u ( x ) rồi áp dụng � Tóm lại: Đối với dạng này khi tác giả cho hàm f ( u ) dx thì đặt t = u ( x ) Các ví dụ minh họa ( ) VD1: Cho f ( x ) dx = 16 Tính f x dx 0 A. 16 B. C. 32 D. Hướng dẫn giải Chọn D Xét tích phân f ( x ) dx ta có Đặt 2x = t � dx = dt Khi x = thì t = ; khi x = thì t = 2 4 1 f ( x ) dx = � f ( t ) dt = f ( x ) dx = 16 = Do đó � 20 20 VD2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn f ( x ) dx = −5 dx Tính tích phân � �f ( − x ) + � � A. 27 B. 21 C. 15 D. 75 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = − 3x � dt = −3dx Với x = t = và x = 2 t = −5 2 −5 dt dx = � f ( − x ) dx + � 9dx = �� f t Ta có � ( ) �f ( − x ) + � � � �−3 + x 0 1 = �� f ( x) � dx + 18 −5 � = + 18 = 21 VD3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R, thỏa mãn f ( x ) dx = Tính I = π ( tan + 1) f ( tan x ) dx A. I = C. I = B. I = −1 π D. I = − π Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt t = tan x � dt = ( + tan x ) dx Đổi cận: 1 0 �I =� f ( t ) dt = � f ( x ) dx (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) = VD4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa mãn f ( x ) = f ( x ) , ∀x ﾡ Biết rằng f ( x ) dx = Giá trị của tích phân I = f ( x ) dx bằng bao nhiêu? A. I = B. I = C. I = D. I = Hướng dẫn giải Chọn A Xét tích phân J = f ( x ) dx , đặt x = 2t � dx = 2dt Với x = � t = , x = � t = 1 1 0 0 f ( 2t ) 2dt = � f ( 2t ) dt = � f ( t ) dt = � f ( t ) dt = f ( x ) dx = Ta có J = � 2 0 f ( x ) dx = � f ( x ) dx + � f ( x ) dx Mặt khác, ta có J = � 2 1 0 �I =� f ( x ) dx = � f ( x ) dx − � f ( x ) dx = J − � f ( x ) dx = VD5: Cho f ( x + 1) xdx = Khi đó I = f ( x ) dx bằng: 2 A. C. −1 B. 1 D. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x + � dt = xdx Đổi cận: x = � t = , x = � t = 5 f ( x + 1) xdx = � f ( t ) dt � � f ( t ) dt = 2� f ( x + 1) xdx = Khi đó: � 22 2 5 2 f ( x ) dx = � f ( t ) dt = Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên: I = � VD6: Cho f ( x + 1) xdx = Khi đó I = f ( x ) dx bằng A. C. −1 B. 1 D. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x + � dt = xdx Đổi cận: x = � t = ; x = � t = 5 1 f ( t ) dt = � f ( x ) dx � I = � f ( x ) dx = Khi đó: = � 22 22 VD7: Cho ham sô ̀ ́ y = f ( x ) liên tuc trên ̣ ́ I= ﾡ va ̀ f ( x ) dx = Tinh A. B. 16 C. 8 xf ( x ) dx D. 32 Hướng dẫn giải Chọn C Đăt ̣ x = 2t � xdx = 2dt � xdx = dt Đôi cân: ̉ ̣ x = � t = , x = � t = Ta co: ́ I = f ( 2t ) dt = 0 VD8: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa f ( x ) dx = và f ( x ) dx = 14 Tính −2 f ( x + ) dx A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 Hướng dẫn giải Chọn B + Xét f ( x ) dx = Đặt u = x � du = 2dx ; x = � u = ; x = � u = Nên = f ( x ) dx = 2 f ( u ) du � f ( u ) du = 20 + Xét f ( x ) dx = 14 Đặt v = x � dv = 6dx ; x = � v = ; x = � v = 12 Nên 14 = f ( x ) dx = + Xét −2 f ( x + ) dx = * Tính I1 = −2 12 f ( v ) dv � 12 f ( v ) dv = 84 0 −2 f ( x + ) dx �f ( x + ) dx + � f ( x + ) dx Đặt t = x + Khi −2 < x < , t = −5 x + � dt = −5dx ; x = −2 � t = 12 ; x = � t = 12 2 � 1� −1 f t d t − f t d t I1 = f ( t ) dt = � ( ) ( ) �= ( 84 − ) = 16 � � 5� 12 0 � * Tính I1 = f ( x + ) dx Đặt t = x + Khi < x < , t = x + � dt = 5dx ; x = � t = 12 ; x = � t = 12 12 � 1� f ( t ) dt − � f ( t ) dt �= ( 84 − ) = 16 I2 = f ( t ) dt = � � �0 52 � Vậy −2 f ( x + ) dx = 32 VD9: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa 2018 f ( x ) dx = e2018 −1 Khi đó tích phân A. ( ) x f ln ( x + 1) dx bằng x +1 B. 1 C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Xét I = e 2018 −1 ( ) x f ln ( x + 1) dx x +1 2 Đặt t = ln ( x + 1) � dt = 2x dx Đổi cận: x = � t = ; x = e 2018 − x +1 � t = 2018 Suy ra I = 2018 �f ( t ) dt = 2018 f x d x = = ( ) � 10 � m � VD10: Tìm tất cả các giá trị dương của m để x ( − x ) dx = − f � �, với �9 � f ( x ) = ln x15 A. m = 20 B. m = C. m = D. m = Hướng dẫn giải Chọn D 15 x14 15 + Từ f ( x ) = ln x � f ( x ) = 15 = � f x x 15 ( x) = −15 do đó x2 10 � −243 � f � �= �9 � 20 + Tính tích phân I = x ( − x ) dx : m Đặt t = − x � x = − t , dx = −dt , Do đó I = ( − t ) t m ( −dt ) = x t 3 3 m +1 m+ ( 3t m − t m+1 ) dt = 3t − t m +1 m + 0 3m+ 3m+ 243 10 � m � = = Ta có x ( − x ) dx = − f � � � m + m + 20 � � ( m + 1) ( m + ) ( ) ( ) � 3m+ 35 = ( m + 1) ( m + ) 4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m = Chú ý: 3m 33 = Việc giải phương trình khơng cần thiết nên chọn ( m + 1) ( m + ) 4.5 phương pháp thế đáp để làm trắc nghiệm trong bài này. 3m 33 = Để giải phương trình ta xét hàm trên ( m + 1) ( m + ) 4.5 f ( m) = 3m 33 − với m > thì chứng minh được phương trình có ( m + 1) ( m + ) 4.5 nghiệm duy nhất m = DẠNG 2 : ĐÔI BIÊN LOAI 2 ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A f ( x ) + B u f ( u ) + C f ( a + b − x ) = g ( x ) +) Hệ quả 1 của (*): A f ( x ) + B f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = A.g ( x ) − B.g ( − x ) A2 − B +) Hệ quả 2 của (*): A f ( x ) + B f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = g ( x) A+ B với g ( x ) là hàm số chẵn Các ví dụ minh họa �1 � VD1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và f ( x ) + f � �= 3x �x � Tính I = A. I = f ( x) dx x C. I = B. I = D. I = −1 Hướng dẫn giải Chọn A t = Đặt, 1 �x= x t điều kiện trở thành �� �1 � f ��+ f ( t ) = � f ( x ) + f � �= t t �� �x � x �1 � Hay f ( x ) + f � �= , kết hợp với điều kiện f ( x ) + f �x � x �1 � � �= 3x Suy ra : �x � 2 f ( x) �2 � �−2 � f ( x) dx = � − x �1 = f ( x ) = − 3x � = − � I = � dx = � � − 1� x x � �x � x x x 1� 2 Chọn B VD2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ \ { 0} và thỏa mãn �2 � 15 x �1 � f ( x ) + f � �= − dx theo k , f ( x ) dx = k Tính I = f � � x �x � � � A. I = − 45 + k B. I = 45 − k C. I = 45 + k D. I = 45 − 2k Hướng dẫn giải Chọn A 14 �t =1 dx = dt Đổi cận x = �t =3 x= Đặt t = x Khi đó I = 21 �2 � f�� dx �t � �2 � 15 x Mà f ( x ) + f � �= − �x � �2 � x f � �= − − f ( 3x ) �x � 3 3 � 5x 1 � − − f ( 3x ) � dx = − � x dx − � f ( 3x ) dx = −5 − � f ( 3x ) dx (*) Nên I = � � 21� 41 31 31 � Đặt u = 3x x =1 �u = dx = dx Đổi cận x = 3� t = 9 k 45 + k f ( t ) dt = −5 − = − Khi đó I = −5 − 93 9 VD3: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f ( − x ) = x − x Tính tích phân I = f ( x ) dx A. I = − 15 B. I = 15 C. I = 75 D. I = 25 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f ( x ) + f ( − x ) = x − x ta có A = 2; B = 1 Casio f ( x ) dx = x − xdx = 0,05 ( 3) = Suy ra: � � + 30 75 Áp dụng kết quả “Cho A f ( ax + b ) + B f ( −ax + c ) = g ( x ) (Với A2 B ) khi đó �x − b � �x − c � A.g � �− B.g � � a � −a �” � � f ( x) = A2 − B Ta có: f ( x ) + f ( − x ) = x − x = g ( x ) � f ( x ) = = g ( x ) − 3g ( − x ) 22 − 32 2x − x − 3( − x ) x −5 15 Casio 2x − x − 3( − x ) x f ( x ) dx = � dx = 0,05 ( 3) = Suy ra: I = � −5 75 0 1 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 0 f ( x ) dx + 3� f ( − x ) dx = � x − xdx Từ f ( x ) + f ( − x ) = x − x � � Casio = 0, ( ) = ( ∗) Đặt u = − x � du = −dx ; Với x = � u = và x = � u = 15 1 0 f ( − x ) dx = � f ( u ) du = � f ( x ) dx thay vào ( ∗) , ta được: Suy ra � 2 4 5� f ( x ) dx = � � f ( x ) dx = 15 75 0 VD4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x Tính giá trị của I = f ( x ) dx −1 e −1 A. I = 2019e e2 − B. I = 2018e e2 − D. I = e C. I = Hướng dẫn giải Chon A ̣ Cách 1: (Dùng công thức) Với f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x ta có A = 1; B = 2018 1 1 x e2 − e x dx = e Suy ra I = f ( x ) dx = = + 2018 2019 2019e − −1 −1 Cách 2: (Dùng công thức) Áp dụng Hệ quả 1: A f ( x ) + B f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = A.g ( x ) − B.g ( − x ) A2 − B Ta có: 2018e x − e − x f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e � f ( x ) = 20182 − x 1 �� f ( x ) dx = 2018e x − e − x ) dx ( � 2019.2017 −1 −1 1,164.10 −3 e2 − (Casio) 2019e 16 VD5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính giá trị của I = A. I = 2019 B. I = 1009 C. I = π π − f ( x ) dx 2019 D. I = 1009 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ta có A = 1; B = 2018 Suy ra I = π π − f ( x ) dx = 1 + 2018 π Casio x sin xdx = π − 2019 Đáp án C Cách 2: Áp dụng Hệ quả 2: A f ( x ) + Bf ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = với g ( x ) là hàm số chẵn Ta có f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x � f ( x ) = I= π π − f ( x ) dx = 2019 π x sin xdx g ( x) A+ B x sin x 2019 Đáp án C π − DẠNG 4 : ĐÔI BIÊN LOAI 4 ̉ ́ ̣ Khi trong gia thiêt bai toan co ̉ ́ ̀ ́ ́ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức * TINH CHÂT HAM CHĂN ̀ ̃ a a −a f ( x ) dx 1. Nếu hàm f ( x ) chăn thì ̃ �f ( x ) dx = 2� f ( −x) = f ( x) 2. Nếu hàm f ( x ) chăn thì ̃ *TÍNH CHẤT HÀM LẺ 1. Nếu hàm f ( x ) le thì ̉ a f ( x ) dx = −a f ( −x) = − f ( x) 2. Nếu hàm f ( x ) chăn thì ̃ 17 Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ −4;4] biết f ( − x ) dx = −2 và f ( −2 x ) dx = Tính I = f ( x ) dx A. I = −10 B. I = −6 C. I = D. I = 10 Hướng dẫn giải Chọn B x2 x f ( ax + b ) dx = � f ( ax ) dx và tính chất Cách 1: Sử dụng cơng thức: � a x1 x1 a −a f ( x ) dx = với f ( x ) là hàm số lẻ trên đoạn [ − a; a ] Áp dụng, ta có: 4=� f ( −2 x ) dx = − 2= −4 −2 f ( x ) dx = �f ( x ) dx � � −2 −4 2 0 �f ( − x ) dx = − �f ( x ) = �f ( x ) � −2 −2 −4 f ( x ) dx = f ( x) = −2 −4 −4 −2 2 −2 Suy ra: = �f ( x ) dx = �f ( x ) dx + �f ( x ) dx + �f ( x ) dx � =8+ ( �f ( x ) dx − �f ( x ) dx ) + I � = + ( − 2) + I � I = −6 Cách 2: Xét tích phân f ( − x ) dx = −2 Đặt − x = t � dx = −dt Đổi cận: khi x = −2 thì t = ; khi x = thì t = do đó 0 2 f ( t ) dt = �f ( − x ) dx = − � −2 2 0 f ( t ) dt � f ( t ) dt = � f ( x ) dx = Do hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ nên f ( −2 x ) = − f ( x ) 2 1 f ( −2 x ) dx = − � f ( x ) dx � f ( x ) dx = −4 Do đó � Xét f ( x ) dx 1 Đặt 2x = t � dx = dt 18 f ( x ) dx = � f ( t ) dt = −4 Đổi cận: khi x = thì t = ; khi x = thì t = do đó � 22 4 � f ( t ) dt = −8 � f ( x ) dx = −8 2 4 0 f ( x ) dx + � f ( x ) dx = − = −6 Do I = f ( x ) dx = � f ( 2x) dx = Tính f ( x ) dx VD2: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và x + −1 A. B. C. 8 D. 16 Hướng dẫn giải Chọn D f ( 2x) f ( x) dx = 16 Ta có � x dx = � � x 1+ 2 −1 −2 + Đặt t = − x � dt = −dx , khi đó 16 = I = f ( x) � 1+ f ( −t ) −2 t f ( t) dx = − � dt = � dt −t t 2 2 1+ 1+ x −2 Suy ra I = −2 f ( x) � 1+ −2 −2 x f ( x) 2 dx + � dx = � f ( x ) dx = � f ( x ) dx x 2 1+ −2 x Vậy f ( x ) dx = 16 VD3: Cho f ( x ) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [ −1; 1] và f ( x ) dx = −1 Kết quả I = f ( x) dx bằng x + e −1 B. I = A. I = C. I = D. I = Hướng dẫn giải Chọn A f ( x) f ( x) f ( x) I = � x dx = � x dx + � x dx = I1 + I 1+ e 1+ e 1+ e −1 −1 Xét I1 = f ( x) dx + ex −1 Đặt x = −t � dx = −dt , đổi cận: x = � t = , x = −1 � t = 1 t f ( x) e f ( x) I1 = � − t ( −dt ) = � t dt 1+ e 1+ e 0 19 x et f ( t ) e f ( x) Lại có � t dt = � x dx 1+ e 1+ e 0 Suy ra: t 1 1 + et ) f ( t ) f ( x) e f ( t) f ( t) ( I = � x dx = � t dt + � t dx = � dt = � f ( t ) dt = � f ( t ) dt = t + e + e + e + e −1 0 0 −1 VD4: Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên ﾡ Biết f ( x ) dx = � 2 f ( x) f x d x = dx bằng ( ) Giá tr ị c ủ a 2� 3x + 1 −2 A. 1 B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a f ( x) dx = � f ( x ) dx , với f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên [ − a; a ] Ta có: �x b + −a a Áp dụng ta có: 2 f ( x) dx = � f ( x ) dx = � f ( x ) dx + � f ( x ) dx = + = x � + −2 0 Cách 2: Do f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx = � f ( x ) dx =1 và f ( x ) dx = 21 1 2 �� f ( x ) dx + � f ( x ) dx = f ( x ) dx = f ( x) f ( x) f ( x) dx + �x dx và y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên dx = �x Mặt khác x + + + − −2 tục trên ﾡ � f ( − x ) = f ( x ) ∀x �ﾡ Xét I = f ( x) dx Đặt t = − x � dx = −dt 3x + −2 0 f ( x) f ( −t ) dx = − −t dt = Suy ra I = x + + −2 2 f ( −t ) t x dt = f ( t ) dt = f ( x ) dx 3t + 3x + +1 0 t 20 2 x f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) d x + d x = d x + dx = � d x = � � � � 3x + 3x + 3x + 3x + 3x + −2 0 −2 2 (3 x + 1) f ( x ) 3x + dx = f ( x ) dx = DẠNG 5 : ĐƠI BIÊN LOAI 5 ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức Bài tốn: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn g � �f ( x ) � �= x và g ( t ) là hàm đơn điệu (ln đồng biến hoặc nghịch biến) trên R.Hãy tính tích phân I = b a f ( x ) dx Cách giải: Đặt y = f ( x ) � x = g ( y ) � dx = g ( y ) dy Đổi cận x = a � g ( y) = a � y = α x = b � g ( y) = b � y = β b β a α Suy ra I = �f ( x ) dx = �yg ( y ) dy Các ví dụ minh họa VD1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn f ( x ) + f ( x ) = x, ∀x R Tính I = f ( x ) dx B. I = A. I = C. I = D. I = Hướng dẫn giải Chọn D Đặt y = f ( x ) � x = y + y � dx = ( y + 1) dy Đổi cận x = � y3 + y = � y = x = � y3 + y = � y = y ( y + 1) dy = � Khi đó I = �f ( x ) dx = � ( y + y ) dy = 1 0 đáp án D VD2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa mãn f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ﾡ Tính tích phân I = f ( x ) dx A. I = B. I = C. I = 12 D. I = Hướng dẫn giải Chọn B 21 Đặt y = f ( x ) � x = y − y + y � dx = ( y − y + 1) dy Đổi cận: với x = � y − y + y = � y = và x = � y3 − y + y = � y = 1 f ( x ) dx = � y.6 ( y − y + 1) dy = Khi đó I = � 0 (y − y + y ) dy = VD3: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa mãn x + f ( x ) + f ( x ) = , ∀x ﾡ Tính I = f ( x ) dx −2 A. I = B. I = C. I = D. I = Hướng dẫn giải Chọn A Đặt y = f ( x ) � x = − y − y + � dx = ( −3 y − ) dy Đổi cận: Với x = −2 � − y − y + = −2 � y = ; x = � − y3 − y + = � y = Khi đó: I = y ( −3 y − ) dy = DẠNG 6 : ĐÔI BIÊN LOAI 6 ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức Bài toán: Cho f ( x ) f ( a + b − x ) = k , khi đó I = b dx b−a = k + f ( x) 2k a Cách giải: dt = − dx Đặt t = a + b − x f ( x) = k và x = a � t − b ; x = b � t = a f ( t) b b b dx dx f ( x ) dx I =� =� = k2 k + f ( x) a k� k + f ( x) Khi đó a a k+ f ( t) b b dx f ( x ) dx 1 b−a 2I = � + � = dx = ( b − a ) � I = k + f ( x) k a k + f ( x) k a k 2k a b Các ví dụ minh họa 22 VD1: Cho hàm số f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] Biết [ 0;1] Tính giá trí I = f ( x ) f ( − x ) = với ∀x A. B. dx 1+ f ( x) C. 1 D. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 1 + f ( x ) = f ( x ) f ( − x ) + f ( x ) Xét I = f ( x) = 1+ f ( x) f ( 1− x) +1 dx 1+ f ( x) Đặt t = − x � x = − t � dx = −dt Đổi cận: x = � t = ; x = � t = 1 f ( x ) dx dt dt dx I = − = = = Khi đó � 1+ f (1− t) � 1+ f (1− t ) � 1+ f ( 1− x) � 1+ f ( x) 0 1 f ( x ) dx 1 + f ( x ) dx + = d x = dx = hay I = Vậy I = Mặt khác � � � � + f ( x ) + f ( x ) + f (t ) 0 VD2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ , ta có f ( x ) > và f ( ) f ( 2018 − x ) = Giá trị của tích phân I = 2018 A. I = 2018 dx 1+ f ( x) B. I = C. I = 1009 D. 4016 Hướng dẫn giải Chọn C 2018 ta có I = 2018 − dx = = 1009 1+ f ( x) 2.1 VD3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên ﾡ và f ( x ) > x Biết f ( x ) f ( − x ) = tính tích phân I = , A. I = B. I = [ 0;5] dx 1+ f ( x) C. I = D. I = 10 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x = − t � dx = −dt x = � t = ; x = � t = 23 f ( t ) dt dt f ( − t) = I = −� =� (do ) 1+ f − t f ( t) ( ) 1+ f ( t) � 2I = dt = � I = VD4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn f ( − x ) = f ( x ) Biết 3 xf ( x ) dx = Tính tích phân f ( x ) dx 1 A. B. C. D. 11 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = − x � dt = −dx và x = � t = ; x = � t = Khi 3 1 xf ( x ) dx = � 5 = � ( − t ) f ( − t ) dt đó: =� ( − x ) f ( − x ) dx = � ( − x ) f ( x ) dx 1 3 1 xf ( x ) dx + � Suy ra: 10 = � ( − x ) f ( x ) dx = f ( x ) dx = VD5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và f ( x ) > khi x [0; a] ( a > ). Biết f ( x ) f ( a − x ) = , tính tích phân I = A. I = a a dx 1+ f ( x) C. I = B. I = 2a a D. I = a Hướng dẫn giải: I= a dx (1) Đặt t = a − x � dt = −dx Đổi cận: 1+ f ( x) 0 a a dt 1 �I =� − =� dt = � dx (2) + f a − t + f a − t + f a − x ( ) ( ) ( ) a 0 (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) � � + (1) + (2) � I = � �dx 1+ f ( x) 1+ f ( a − x) � 0� a 24 a 1+ f ( a − x) +1+ f ( x) + f ( a − x) + f ( x) = dx = � dx = � dx = a 1+ f ( x) f ( a − x) + f ( x) + f ( a − x) + f ( a − x) + f ( x) 0 �I = a Chọn A VD6: Cho f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn [ 0;a ] thỏa mãn f ( x) f ( a − x) = f ( x ) > 0, ∀x [ 0; a ] a và dx ba b = , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số tối 1+ f ( x) c c giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. ( 11;22 ) B. ( 0;9 ) C. ( 7;21) D. ( 2017;2020 ) Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Đặt t = a − x � dt = −dx Đổi cận x = � t = a; x = a � t = a a a f ( x ) dx dx −dt dx dx I =� =� =� =� =� Lúc đó 1+ f ( x) a 1+ f ( a − t ) 1+ f ( a − x) 1+ 1+ f ( x) 0 f ( x) a a f ( x ) dx a dx + = 1dx = a Suy ra I = I + I = � 1+ f ( x) � 1+ f ( x) � 0 a Do đó I = a � b = 1; c = � b + c = Cách 2. Chọn f ( x ) = là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được I = a � b = 1; c = � b + c = 8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng co.́ 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Giáo viên cần có nhận thức sâu sắc trong bồi dưỡng học sinh thi THPTQG và rèn học sinh làm bài tập mức độ vận dụng và vận dụng cao. Cần có trình độ chun mơn sâu rộng, nhìn nhận vấn đề một cách tồn diện, khơng cứng nhắc, máy móc Phải có tinh thần trách nhiệm cao trong cơng tác giáo dục, chịu khó tìm tịi, học hỏi, tự bồi dưỡng về chun mơn, nghiệp vụ sư phạm 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến: 25 Theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: + Tác động tích cực hiệu quả giảng dạy của bản thân, trình độ về chun mơn được củng cố. + Ý tưởng trên tơi đã đưa vao giang day cu thê cho sinh va kêt qua thu đ ̀ ̉ ̣ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ược kha tôt ́ ́ Cụ thể kết quả tôi thu được với 2 lớp thực nghiệm và đối chứng như sau: Kết quả bài kiểm tra: Bảng 10.1: Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm Tổng Lớp Số bài đạt điểm số 0 2 10 ĐC 45 3 11 TN 45 Bảng 10.2: Bảng so sánh định lượng kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng Lớp Số bài Điểm khá – giỏi Tỉ lệ kiểm tra HS Trung bình HS Tỉ lệ Yếu kém HS Tỉ lệ ĐC TN 45 45 20 16 19 26 42% 58% 44,5% 35% 13,5% 7% 10.3: Biểu đồ cột về kết quả điểm số của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 26 Qua các số liệu thống kê cho thấy: Tỉ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi của lớp thực nghiệm là 58% cao hơn rõ rệt so với lớp đối chứng 42%. Một số lượng khá lớn học sinh trung bình đã nắm bắt kiến thức tốt hơn, điểm kiểm tra các học sinh đó đã cao hơn. Tỉ lệ điểm khá giỏi cũng vì thế tăng lên Tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu kém của lớp thực nghiệm chỉ có 7% thấp hơn so với lớp đối chứng 13,5%. Kết quả này cho thấy qua sự tác động của biện pháp dạy học “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số”, những học sinh yếu kém đã có tiến bộ. Phần lớn các em đã nắm được kiến thức cơ bản của bài học ngay tại lớp (Thể hiện tỉ lệ 93% học sinh đạt từ 5 trở lên), biết vận dụng kiến thức để làm bài tập đơn giản (58% học sinh đạt từ 7 trở lên) Như vậy, từ kết quả kiểm tra cho thấy nhận định cho rằng trên cơ sở xác định được những năng lực cần phát triển cho học sinh về viêc s ̣ ử dung ph ̣ ương phap đôi biên đê tinh tich phân ham ân, n ́ ̉ ́ ̉ ́ ́ ̀ ̉ ếu đề xuất các biện pháp phù hợp thì phát triển được kỹ năng giải tốn vê viêc tinh tich phân ham ân cho h ̀ ̣ ́ ́ ̀ ̉ ọc sinh, nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn là hồn tồn có cơ sở 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá Địa chỉ nhân Lớp 12A3 Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT nguyễn Thái HỌC TẬP Học Nguyễ Trường THPT DAY ÔN THI THPTQG ̣ Lớp 12A3 Nguyễn Thị Hằng 27 n Thị Nguyễn thái Hằng Học , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG , ngày tháng năm Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) 28 ... ? ?Rèn? ?luyện? ?kĩ? ?năng? ?tính? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn? ?bằng? ?phương? ?pháp? ?đổi? ?biến? ?số? ?? 2. Tên? ?sáng? ?kiến: ? ?Rèn? ?luyện? ?kĩ? ?năng? ?tính? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn? ?bằng? ?phương? ?pháp? ?đổi biến? ?số? ?? 3. Tác giả? ?sáng? ?kiến: Họ và tên: Nguyễn Thị Hằng Địa chỉ tác giả? ?sáng? ?kiến: ? ?Số? ?nhà 38B ngõ 4 Chùa hà, Vĩnh n, Vĩnh phúc... biết kết hợp các? ?phương? ?pháp? ?dạy học? ?tích? ?cực cho phù hợp. Vì những lí do đó, tơi đã chọn đề tài? ?sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?của mình là: ? ?Rèn? ?luyện? ?kĩ? ?năng? ?tính? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn? ?bằng? ?phương? ?pháp? ?đổi? ?biến? ?số? ??... dụng? ?phương? ?pháp? ?đổi? ?biến? ?số để tính? ?tích? ?phân, nhiều em đã nắm rất chắc? ?phương? ?pháp? ?này nhưng vẫn khơng sử dụng được trong bài? ?tính? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn Muốn học sinh học tốt được? ?tích? ?phân? ?thì mỗi người Giáo viên khơng phải chỉ