SKKN kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn cho học sinh thi THPTQG

I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Là giáo viên toán THPT dạy lớp 12 nên tơi ln trăn trở tìm tịi dạng tốn , phương pháp dạy Tốn tích lũy kinh nghiệm giúp học sinh u thích mơn học giúp em học sinh lớp 12 vượt qua kì thi THPTQG cách dễ dàng với kết cao Đây thi có tầm ảnh hưởng định đời em nội dung đề thi sử dụng cho hai mục đích : xét tốt nghiệp đại học nên việc ôn thi không đơn giản Vừa phải ôn luyện cho học sinh yếu đạt mức điểm định, vừa phải nâng cao cho em giỏi đạt kết cao Vì đặt cho người thầy ôn thi THPTQG phải khéo léo kết hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hệ thống tập từ dễ đến khó , chia nhỏ dạng tốn để rèn luyện kĩ cho em.Để phù hợp với tính chất hình thức thi, nội dung đề thi THPTQG có thay đổi tích cực nhằm phân loại khả đối tượng học sinh Cách đề linh hoạt với nhiều dạng toán hay , lạ khai thác , mở rộng từ tốn đơn giản chương trình SGK dần thầy cô em đam mê tìm tịi, phát triển Bài tốn tích phân hàm ẩn toán hay lạ Nó có xu xuất nhiều đề thi với mức độ từ đễ đến khó hầu hết em ngại giải loại em quen với việc cho tường minh hàm số biểu thức cụ thể Vì vậy, tơi nhận thấy việc hình thành cho học sinh kiến thức kĩ trình giải tốn tích phân hàm ẩn nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý tơi chọn đề tài ‘‘Kinh nghiệm rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn cho học sinh thi THPTQG’’ Mục đích nghiên cứu: Trong thực tế giảng dạy trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn liên quan hàm ẩn nói chung tích phân hàm ẩn nói riêng em quen với việc cho hàm số cơng thức Ngồi chương trình em gặp dạng tốn này.Khi gặp loại tốn này, tơi nhận thấy em thường lúng túng, thụ động, đâu, khơng biết phân tích tốn Chính dẫn đến thực trạng hầu hết em sợ, hứng thú chấp nhận bỏ qua tốn tích phân hàm ẩn Để khắc phục hạn chế trên, định hướng em tư logic, phát triển trí thơng minh, tơi mạnh dạn đưa số hướng tiếp cận với tốn tích phân hàm ẩn, hy vọng em học sinh tự định hướng cách giải cho hứng thú học tích phân hàm ẩn nói riêng mơn Tốn nói chung Đối tượng nghiên cứu Đề tài đưa nghiên cứu hướng rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn cho em học sinh học lớp 12 Các bạn u thích tốn học, thầy cô giáo, em học sinh trường THPT làm tài liệu tham khảo tiếp tục phát triển Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp điều tra, phương pháp đối chứng phương pháp nghiên cứu tài liệu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận -Trong tốn tích phân hàm ẩn thường gặp đề thi tốn phổ thơng, ta thường gặp phương pháp tính tích phân kết hợp với kĩ biến đổi khéo léo, linh hoạt kết hợp nhiều phương pháp Một phần lớn tốn tính tích phân hàm ẩn giải việc vận dụng định nghĩa, tính chất phương pháp đổi biến số, tích phân phần - Có tốn mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh khó giải, khó nhận biết phương hướng giải, ta chuyển tốn từ tình khó biến đổi trạng thái dễ biến đổi Đó sở phương pháp đổi biến số Ngoài ra, giải toán trắc nghiệm, số tích phân dùng phương pháp đổi biến số ta áp dụng kĩ chọn hàm số để đưa tích phân đơn giản - Đối với tích phân sử dụng phương pháp tích phân phần phức tạp, ta thường phân tích hợp lí kết hợp tích phân truy hồi để giải phương trình tìm tích phân cần tính Trên sở đó, tơi mạnh dạn đưa số định hướng để giải tốn tích phân hàm ẩn sau Thực trạng vấn đề: - Tích phân hàm ẩn kiến thức vừa dễ lại vừa khó, vừa lạ lại vừa quen thiếu vốn kiến thức học sinh phổ thông, học sinh giỏi Tuy nhiên, giảng dạy lớp, ôn luyện đề gặp số tập tích phân hàm ẩn tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc làm tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tàitrước áp dụng để đưa vào giảng dạy hai lớp 12C6,12C8, thu kết sau: Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm Điểm tbình Điểm yếu 12C6 40 12 14 10 12C8 43 10 15 11 Trước vấn đề thấy việc hướng dẫn học sinh số kĩ tính tích phân hàm ẩn việc cần thiết để giúp học sinh có thêm kiến thức tích phân,xử lí tốn tích phân đề thi cách hứng thú, hiệu cao Ngồi ra, hỗ trợ tốt cho loạt dạng tập liên quan đến hàm ẩn, phương trình hàm đạo hàm, phương trình, bất phương trình, Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để giải tốn tích phân, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất tích phân, cịn phải nắm phương pháp tính định hướng biến đổi tích phân Nếu khơng dễ bị dẫn đến khó khăn, bế tắc Có nhiều kĩ để tính tích phân nên ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi tốn tính tích phân áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Sau đây, tơi trình bày số tốn tích phân hàm ẩn ứng với phương pháp tính tích phân chương trình lớp 12 Trong đề tài này, tơi nghiên cứu kĩ : Biến đổi tích phân hàm ẩn tính chất định lí SGK lớp 12, đổi biến số ,chọn hàm số , tích phân phần 3.1 – CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI CƠ BẢN : 3.1.1.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN : Định lí : Giả sử hàm số f , g liên tục K a, b, c số thuộc K Khi ta có : a �f  x  dx  ; )a b a f x dx     � �f  x  dx ; a b 2) b c c f x dx  f x dx  �  �  �f  x  dx ; a a b 3) b b b � f x dx  g x dx  f x dx        �� � �g  x  dx ; � a� a a 4) b b �kf  x  dx  k �f  x  dx , k �� a a 5) 3.1.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý : Để giải dạng toán này, trước hết em học sinh cần nắm vững số ý sau Nắm vững tính chất: Yêu cầu tất học sinh phải thuộc hiểu cách vận dụng tính chất qua ví dụ tích phân hàm số đượccho công thức cụ thể Phân loại dạng tập: Biết xác định tính chất sử dụng cho ví dụ cụ thể 3.Sử dụng MTCT : Biết sử dụng MTCT tính tích phân đơn giản 3.1.3.KĨ NĂNG VẬN DỤNG CÁC TÍCH CHẤT CƠ BẢN 2 � dx �f  x  dx  � �f  x   � � Ví dụ Cho Tính tích phân Giải 2 f x  dx  f x dx  2dx    � �     � � � � � 0 5 �f  x  dx  4 , �f  x  dx  �f  x  dx Ví dụ Cho Tính tích phân Giải 5 f x dx  f x dx      � � �f  x  dx    10 2 Ví dụ Cho f  x   g  x  � dx � � � � 5 f x dx   , f x dx  5, g  x  dx      � � � Tính tích phân Giải 5 � � f x  g x dx  f x dx  g  x  dx        � � � � � 1 � �5 ��f  x  dx  �f  x  dx � � g  x  dx   3  5   2 � � � �1 4 �f  x  dx  , �f  z  dz  �f  t  dt 0 Ví dụ Cho Tính tích phân Giải 4 �f  t  dt  �f  t  dt  �f  t  dt   �f  x  dx  �f  z  dz  3   3 0 Ví dụ Cho f , g hai hàm số liên tục  1;3 thỏa mãn điều kiện 3 � � � � � f x  g x dx  10 , f x  g x dx  dx         � � � � � � � �f  x   g  x  � � 1 Tính Giải : 3 3 � � � � dx  10 ��f  x  dx  � g  x  dx  10 ��f  x  dx  �� �f  x   3g  x  � � � � � 1 � �1 � �1 � 3 � �3 � � � f x  g x dx  f x dx  g x dx  g  x  dx          � �� �� �� � � 1 � �1 � 3 � dx  �f  x  dx  � g  x  dx    � �f  x   g  x  � � 1 Nhận xét:   Có thể sử dụng tính chất kết hợp nhiều tính chất b b f x dx    � �f  t  dt a Chú ý rằng: a Bài tập tương tự:   Bài 1: Cho hàm số liên tục 12 12 f x dx  9, f x dx  3, f x dx        � � � �f  x  dx 4 Tính � f x dx  10  f  x �   � � � �dx Bài 2: Cho Tính tích phân f x �thỏa mãn   liên tục đoạn Bài 3: Cho hàm số 10 10 f x dx  7, f x dx  P  f x dx        � � � �f  x  dx Tính f x 0;10 � � � �thỏa mãn 3.2 CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN SỐ : 3.2.1.CÔNG THỨC ĐỔI BIỂN SỐ : ub b ' u  x � u  x  dx  � f  u  du �f � � � a u a  � � � � rong hàm số T � � � � u  u  x có đạo hàm liên tục K, hàm số y  f  u f� u  x � liên tục cho hàm hợp � �xác định K; a, b hai số thuộc K 3.2.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý : Để giải dạng toán này, trước hết em học sinh cần nắm vững số ý sau Nắm vững bảng đạo hàm nguyên hàm bản.: Yêu cầu tất học sinh phải thuộc bảng đạo hàm bảng nguyên hàm hàm số thường gặp Tính tích phân đơn giản hàm số thường gặp bảng f� u  x � Xác định hàm số � � 3.Sử dụng MTCT 3.2.3.KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN SỐ  �f  x  dx 2018 f  x Ví dụ 1.Cho hàm số liên tục �thỏa mãn Tính tích  2   dx I  �xf x phân Giải Đặt t  x � dt  xdx x  0�t  x   � t  x2  12 I  �xf x2 dx  �f  t  dt  2009 0   f x Ví dụ Cho hàm số   liên tục �thỏa mãn 10 I  �f  x  dx Tính tích phân   f x3  x   3x 1 Giải Đặt   t  x3  x  � dt  3x  dx   f x3  x   x  � f  t   x  t 1� x 1 t  10 � x  10 135 I  �f  t  dt  �  3x 1 3x2  dx  1 Nhận xét:    Trong toán dùng kĩ thuật đổi cận ngược Ví dụ Cho hàm số f  x liên tục f  x I� dx � x �1 � � f  x   f � � 3x , x �� ;2 � � Tính tích phân �x � � Giải 1 dt t  � dt   dx � dx   x x2 t2 Đặt x  �t  2 x  2�t  2 f  x I� dx x 1� � �1 � f�� � f  x 2f� t x I� dx  � � �dt  � � �dx x t x 2 �thỏa mãn �1 � f  x  f � x� � �dx � 3I  3dx � 3I  � I  I  2I  � � x 2 1 2 Nhận xét:  Trong toán dùng kĩ đổi biến số kết hợp với tích phân truy hồi Bài tập tương tự: 3 xdx  f x I  � �f  x  dx 0 Bài 1: Cho Tính : Bài 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm � đồng thời thỏa mãn f x I  �f '  x  e dx f    f  1  Tính   � � � : � � � Bài 3: Cho hàm số f  x  liên tục � đồng thời thỏa mãn I  �f  x  dx f  x   f  x   x , x �� Tính : Trong số tốn tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến số, ta sử dụng kĩ chọn hàm số hàm để đưa tích phân cần tính ban đầu phức tạp tích phân đơn giản dùng MTCT để tiết kiệm thời gian 3.3 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG KĨ NĂNG CHỌN HÀM SỐ: 3.3.1.CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Trong số toán sử dụng kĩ đổi biến số có dạng : cho b d �f  x  dx  A �f  u  dx f x a , tính c với A số ta chọn hàm số   đơn giản để việc tính tích phân đỡ nhiều thời gian b �f  x  dx  A f  x thỏa mãn a nên ta chọn Ta thấy có nhiều hàm số d d A A A f  x  � f  u  � �f  u  dx  � dx ba ba c c ba 3.3.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý : Để giải dạng toán này, trước hết em học sinh cần nắm vững số ý sau Xác định dạng toán: Yêu cầu tất học sinh nhận biết dạng tập sử dụng kĩ 2.Sử dụng MTCT 3.3.3.KĨ NĂNG CHỌN HÀM SỐ I  �f  x  dx �f  x  dx 15 Ví dụ Cho Tính tích phân Giải 15 15 f  x   62 Chọn 315 15 I  �f  x  dx  � dx  14  I  �f  cos3x  sin 3xdx �f  x  dx 9 Ví dụ 2.Cho 1 Tính tích phân Giải 9 f  x   � f  cos3x     1 2 Chọn hàm số  39 I  � sin 3xdx  02 Nhận xét:  Trong toán sử dụng kĩ đổi biến số nhiên dùng cách việc trình bày lời giải phức tạp nhiều thời gian không hợp lí đề thi trắc nghiệm f  x � x1 dx 4 f  x Ví dụ Hàm số hàm chẵn liên tục �thỏa mãn 1 I  �f  x  dx 1 Tính tích phân Giải I I  �f  x  dx f  x  1 Từ chọn hàm số f  x I dx I dx  �  �  � I 8 � x1 � 1 x1 Ta có : 1 Nhận xét:  Đây toán ngược ta chọn hàm số từ tích phân cần tính Bài tập tương tự:  I  �tan x  f  tan x  dx �f  x  dx 1 Bài 1: Cho Tính tích phân 2 �f  x  dx 2018 f  x � Bài 2: Cho hàm số liên tục Tính tích phân  I  �xf x dx       f  cos x  I � x dx   �f  cos x  dx   Bài 3: Cho Tính tích phân 3.4 CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 3.4.1.CƠNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : b b b � u  x  v'  x  dx  � u x v x v  x  u '  x  dx     � � �a  � a a u x ,v x rong hàm số     có đạo hàm liên tục K a, b hai số T thuộc K 3.4.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý : Để giải dạng toán này, trước hết em học sinh cần nắm vững số ý sau Nắm vững công thức : Yêu cầu tất học sinh phải thuộc công thức tính tích phân hàm số cụ thể phương pháp 10 Xác định vị trí hàm số cơng thức: u cầu học sinh xác ' định hàm số u  x  , v  x  tích phân cần tính 3.Sử dụng MTCT 3.4.3.KĨ NĂNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 3 x  f ' x dx  12 , f  I        � �f  x  dx Ví dụ Cho Tính Giải u  x  � u'  ' ' Đặt v  f  x  � v  f  x  3 � � x  f ' x dx  12 � x  f x         � � �0  �f  x  dx  12 0 � f    I  12 � I  3.3 12 � I  3 Nhận xét:  Sử dụng tích phân phần cho tích phân biết để làm xuất tích phân cần tính x� e �f  x   f '  x  � dx  ae  b , f    f  1  � � � � Ví dụ Cho 2018  b2018 Tính Q  a Giải x� x x ' I� e �f  x   f '  x  � dx  e f x dx  e f  x  dx  I  I   � � � � � 0 x I � e f  x  dx Đặt u  f  x  � u'  f '  x  v'  e x � v  e x x x f  x  �1  e x f '  x  dx  � x f  x  �1  I I � e f  x  dx  � e e � � �0 � �0 11 �a  x f  x  �1  ef  1  f    e 1 � � Q  a 2018  b2018    I � e b   � �0 � f  x nhận giá trị dương có đạo hàm liên x2  x , x �� f  1, f x f  x  e 0;1� 0;1 � �       � � � � Tính tục đoạn cho ' x  3x f  x  I� dx f  x tích phân Ví dụ Cho hàm số   Giải u  x3  x � u '  x  x f '  x v'  � v  ln f  x  f x   Đặt f  x  nhận giá trị dương đoạn � 0;1� � �) ( Do 1 I  x  3x ln f  x   �6 x  x ln f  x  dx   �6 x  x ln f  x  dx 0 t   x � dt  dx 1�    t  �ln f   t  dt  1 6t  6t ln f   t  dt I�  t � � � � 0�   �6 x  x ln f   x  dx 1 � I   �6 x  x ln f  x  dx  �6 x  x ln f   x  dx 0   �6 x2  x � ln f  x   ln f   x  � � �dx 1 x2  x dx �   �6 x2  x ln � f x f  x dx       �6 x  x ln e � � 0 1   �x2  x dx                           1 2I   � I   10 Nhận xét: 12  Sử dụng tích phân phần kết hợp với kĩ đổi biến số kĩ thuật tích phân truy hồi   x  f '  x  dx  f    f    2016 � Ví dụ Cho Tính tích I  �f  x  dx phân Giải Đặt u   x � u '  2 v'  f '  x  � v  f  x  2   x  f '  x  dx  f    f   � � �1  x  f  x  � � �0  �f  x  dx  f    f   0 2 � 3 f    f    �f  x  dx  f    f   � �f  x  dx  2016 0 f  x  2016  1008 20 Chọn I  �f  x  dx  � 1008dx  1008 0 Nhận xét:  Sử dụng tích phân phần kết hợp với kĩ chọn hàm số Bài tập tương tự: 1 x  f ' x dx  10 , f  f  I          � �f  x  dx 0 Bài 1: Cho Tính y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục đoạn � 0;1� � � Biết Bài 2: Cho hàm số 1 f  1  1, �f  x  dx  I  �f '  x  dx 0 Tính tích phân ' y  f  x 0;1� � � Bài : Cho hàm số có đạo hàm f  x  liên tục đoạn � �' f  x   2� dx  f I    �x � �f  x  dx � � � 0 Biết Tính tích phân 13 3.5- MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM : Sau nắm kĩ giải dạng tập tích phân hàm ẩn, em cần luyện tập thành thạo qua hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp kĩ nhằm ghi nhớ lâu dài, vận dụng kĩ linh hoạt, hợp lí để giải vấn đề nhanh chóng, tự tin phát triển tập vận dụng cao nữa, khó Câu : Cho hàm số y  f  x liên tục đoạn 10 10 f x dx  , f x dx  P  f x dx        � � � �f  x  dx Tính A P  4 B P  10 C P  P  e2 2x I� 4e f e2 x dx �f  x  dx  2018 Câu : Cho Tính A I  4036 B I  1009 C I  2018 1009 I 0;10� � � � Biết D   Câu : Cho hàm số y  f  x liên tục I  �f  x  dx f x  x   x  1, x �� 2 Tính  D � thỏa mãn  B I  10 A I  I  72 C y  f  x I 32 D tục � thỏa mãn f x dx  I    � �f  x  dx f  x   f  x  , x �� Biết Tính A I  B I  C I  D I  Câu : Cho hàm số liên 14 1 f  1  1, �f  t  dt  y  f  x Câu : Cho hàm số liên tục � thỏa mãn  I  �sin xf '  sin x  dx Tính I I  I I 3 3 A B C D y  f  x : Cho hàm số liên tục f    16 , �f  x  dx  I  �xf '  x  dx 0 Tính A I  13 B I  12 C I  Câu � thỏa mãn D I  17 Đáp án Câu Đáp án D B B B C C Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy cho học sinh thấy em xác định loại toán cách làm, nhiều em học sinh làm làm nhanh tập tích phân hàm ẩn, kích thích em say mê ôn luyện hào hứng với đề thi kiểm tra lực trước bước vào kì thi thức Cụ thể, trước áp dụng đề tài kết kiểm tra hai lớp 12C6, 12C8 sau: Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm Điểm tbình Điểm yếu 12C6 40 12 14 10 12C8 43 10 15 11 Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy lớp 12C6, 12C8, kết kiểm tra hai lớp 12C6, 12C8 sau: Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm Điểm tbình Điểm yếu 12C6 40 14 15 12C8 43 11 16 14 15 Ta thấy chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt sau áp dụng đề tài vào giảng dạy : điểm khá, giỏi nâng cao, điểm yếu giảm nhiều III PHẦN KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài:‘ Kinh nghiệm rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn cho học sinh thi THPTQG ’, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày tốn bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần bình luận sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng câu hỏi “ Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học.Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học khơng gian tốn học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để vừa viết, vừa mang giảng dạy cho em học sinh từ kiểm nghiệm bổ sung thiếu sót, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hồn thiện tài liệu này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp q báu q thầy giáo, giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc gần xa XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 05 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN 16 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Thị Hương 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục SGK Giải tích lớp 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên Giải tích lớp 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục Các đề thi thử THPTQG sở GDĐT , trường THPT nước Tư liệu số đồng nghiệp 18 ... việc hướng dẫn học sinh số kĩ tính tích phân hàm ẩn việc cần thi? ??t để giúp học sinh có thêm kiến thức tích phân, xử lí tốn tích phân đề thi cách hứng thú, hiệu cao Ngồi ra, hỗ trợ tốt cho loạt dạng... chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài:‘ Kinh nghiệm rèn luyện kĩ tính tích phân hàm ẩn cho học sinh thi THPTQG ’, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc... giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học. Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học ln khơng gian tốn học cho học sinh