TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng , khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng và , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của và Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A B C D Câu 2 (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng 2, khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng 1 và , hình chi.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng khối lăng trụ cho A Câu B C C M B�� A� M 3 Thể tích D 3 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M Thể tích khối lăng trụ cho A Câu BC A��� trung điểm B C D (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' 15 A'M Thể tích khối lăng trụ cho trung điểm M B ' C ' , A B 15 C D 15 Câu B C Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt , hình chiếu BC A��� M Thể tích C A� vng góc A lên mặt phẳng trung điểm M B�� khối lăng trụ cho 15 15 A B C D Câu B C có đáy tam giác vng (Chun Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� � 90� � � A , AB , AC Góc CAA� , BAA 120� Gọi M trung điểm cạnh BB�(tham B , tính thể tích khối lăng trụ cho khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với A� A V 33 B V 33 C V 33 D V 33 Trang Câu B C có đáy ABC tam giác vng (Chun KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� ABC � ABC 60� Gọi M , N lần cân C , AB 2a góc tạo hai mặt phẳng C BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể lượt trung điểm A�� tích phần nhỏ 3a 6a 6a 3a A 24 B C 24 D Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD AE 21 21 21 21 A B C D 27 Câu B C có đáy ABC tam giác vng (Chun Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A��� �� B�là hình thoi có B ABC 600 Biết tứ giác BCC � BC nhọn Mặt phẳng A , cạnh BC 2a � B� A� BCC � vng góc với ABC mặt phẳng ABB� tạo với ABC góc 450 Thể tích khối B C lăng trụ ABC A��� 7a3 7a3 a3 7a3 A B C D 21 Câu B C có đáy tam giác Mặt (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� A� BC BC có diện tích Tính thể tích V phẳng tạo với đáy góc 30 tam giác A� khối lăng trụ cho A 64 B C 16 D Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AB a, BC 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC trung điểm BCB ' C ' ABC 600 Thể tích khối lăng cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng trụ cho bằng: 3a 3a 3 3a a3 A B C D 16 Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , SA SBC SCD , với vng góc với mặt phẳng đáy SA a Góc hai mặt phẳng cos Thể tích khối chóp cho a3 2 2a 2a 3 A B a C D Câu 12 Trang B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB , (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD A���� C C AD , A� C mặt phẳng AA�� vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng tan C C AA�� B B AA�� Thể tích khối lăng trụ , tạo với góc có ABCD A���� B C D A V 12 B V C V D V 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B C có đáy ABC tam giác vuông Câu 13 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A��� � �� B�là hình thoi có B BC nhọn Biết A , cạnh BC 2a ABC 60� Biết tứ giác BCC � B� BCC � vng góc với ABC B C trụ ABC A��� a A Câu 14 A� ABB� tạo với ABC 3a B 6a C góc 45� Thể tích khối lăng a3 D (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC a Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ a3 A 12 Câu 15 VS ABC a3 B 27 a3 D 24 a3 C VS ABC a3 D VS ABC a ABCD 2019) Cho tứ diện có ABD ABC Thể tích tứ diện ABCD - C 27 2 D 27 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) 10 Thể tích khối chóp S ABCD A 3a Câu 18 B VS ABC (Chu Văn An Hà Nội BC BD AC AD 1, ACD BCD A Câu 17 a3 C ABC (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực 0 BC góc 30 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A Câu 16 a3 B B 9a C 4a D 12a (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác 15 SBC SCA SAB cạnh , biết khoảng cách từ A đến , từ B đến 10 , từ C đến 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối VS ABC chóp A 36 B 48 C 12 D 24 Trang Câu 19 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a � SCB � 900 MBC SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a V 12 A Câu 20 3a V B 3a V C 3a V 12 D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA BC ; SB AC ; SC AB Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 o � � o � Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB CSB 60 , ASC 90 , SA SB a , SC 3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B 18 C 12 D Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , 6a � SCB � 90� MBC SAB , biết khoảng cách từ A đến 21 Thể tích khối chóp S ABC 10a 3 A Câu 23 4a 13 C D 2a (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a � = SCB � = 90� SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A Câu 24 8a 39 B V= 3a 12 B V= 3a C V= 3a D V= 3a 12 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD BC , AC BD , AB CD Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 D 2470 12 � � ; AB a; AC a 5; � ABC 135� Biết góc hai Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB CBD 90� ABD , BCD 30� Thể tích tứ diện ABCD mặt phẳng a3 a3 a3 a3 2 A B C D ) a B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC � Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A��� cos = ABC � B) ) ( BCC �� Tính thể tích khối lăng , góc hai mặt phẳng ( với BC trụ ABC A��� Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 27 V= 3a B V= 3a 2 C V= a 2 D V= 3a B C D có A� B vng góc với (Chun Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A���� ABCD Góc AA�với mặt phẳng ABCD 450 Khoảng cách từ A mặt phẳng đáy C C BB�� đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng mặt phẳng D D CC �� 60 , Tính thể tích khối hộp cho A B C D 3 Câu 28 B C D có đáy ABCD hình chữ (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A���� C C C mặt phẳng AA�� nhật với AB 6, AD , A� vng góc với mặt đáy Biết hai tan �� �� AA C C , AA B B tạo với góc thỏa mãn Thể tích khối lăng trụ mặt phẳng ABCD A���� B C D bằng? A V B V 12 C V 10 D V Câu 29 B C có đáy tam giác (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� C BCC � B� ABC vuông cân A , cạnh BC a Góc mặt phẳng AB� mặt phẳng CA�� C 60� Tính thể tích V khối đa diện AB� A a Chuyên đề 12 3a 3 B a3 C a3 D MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt góc A lên mặt phẳng khối lăng trụ cho A BC A��� trung điểm B C M B�� C Lời giải , hình chiếu vng A� M 3 Thể tích D Chọn A Trang Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A�và vng góc với AA�ta thiết diện tam giác C1 ; B1C1 A� B1 A� có cạnh ; � H tam giác Suy tam giác A B1C1 vuông A�và trung tuyến A� H T Gọi giao điểm AM A� A� B1C1 � MH ; A� H 1 Ta có: A� M � AA� � � � � cos MA A MA A 60 � Do A� M �� Suy MA H 30� B1C1 AB2C2 B C thể tích khối lăng trụ A� Thể tích khối lăng trụ ABC A��� V AA� S A�B1C1 Câu � 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M Thể tích khối lăng trụ cho A Chọn D Trang B C Lời giải D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AA1 1; AA2 3; A1 A2 Gọi A1 , A2 hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề AA12 AA2 A1 A2 Do nên tam giác AA1 A2 vuông A AA AH A A Gọi H trung điểm 2 Lại có MH P BB ' � MH ( AA1 A2 ) � MH AH suy MH AM AH nên cos(( ABC ),( AA1 A2 )) cos( MH , AM ) cos HMA S ABC S AA1 A2 MH AM S ABC Thể tích lăng trụ V AM � Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S ' S cos Suy Câu cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , A B A'M 15 Thể tích khối lăng trụ cho 15 C Lời giải D 15 Chọn C Trang Kẻ AI BB ' , AK CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; � AI , AK A'M 15 15 � AF 3 Gọi F trung điểm BC AI BB ' � �� BB ' AIK BB ' AK � � BB ' IK Ta có Vì CC ' P BB ' � d (C , BB ') d ( K , BB ') IK � AIK vuông A � EF AIK � EF AE Gọi E trung điểm IK � EF P BB ' AM ABC ABC AIK góc EF AM Lại có Do góc hai mặt phẳng 15 � AE cos FAE � 30� � � AF � FAE góc AME FAE Ta có AIK AIK nên ta có: Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng S AIK � S � S ABC � ABC S ABC cos EAF 15 � AM 3 AF tan � AMF � AM AM Xét AMF vuông A : 2 15 VABC A ' B 'C ' 3 Vậy Câu B C Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt , hình chiếu BC A��� M Thể tích C A� vng góc A lên mặt phẳng trung điểm M B�� khối lăng trụ cho Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 15 C Lời giải 15 D Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB�và CC � , H hình chiếu vng góc C lên BB� AJ BB� 1 Ta có AK CC � � AK BB� 1 suy BB� AJK � BB� JK � JK //CH � JK CH Từ 2 Xét AJK có JK AJ AK suy AJK vuông A AF JF FK Gọi F trung điểm JK ta có Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: AF cos � NAF �� NAF 60o ( AN AM AN //AM AN AM ) AN S � S ABC AJK o 1 cos 60 S AJK AJ AK 1.2 � S o S cos 60 AJK ABC 2 Vậy ta có � � M tan 30 AMF 30 hay AM A� Xét tam giác AMA�vng M ta có MAA� o Vậy thể tích khối lăng trụ V AM SABC Câu o 15 15 15 3 B C có đáy tam giác vng (Chun Hưng n - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� � 90� � � A , AB , AC Góc CAA� , BAA 120� Gọi M trung điểm cạnh BB�(tham B , tính thể tích khối lăng trụ cho khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với A� Trang A V 33 B V 33 V 33 C Lời giải D V 33 Chọn C AC ABB� A� B � ABB� A� Mà A� nên AC A� B Do AC AB , AC AA�nên B AMC � A� B AC , A� B CM nên A� B AM Có A� uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur u u u r u u u r u u u r AM AB BM AB AA� x x Ta có A� B AB AA�và Đặt AA� uuu r uuur �uuu r uuur � r uuur 1 uuu 2 uuur uuuu r AB AA��AB AA� � AB AA� AB AA� � � B AM 2 Suy A� AB 1 � � 22 x 2.x.cos120� x x AA� AB AA� cos BAA 2 2 2 1 33 uuur uuuu r � x2 x � x B AM 2 B AM nên A� Do A� 33 33 � � S ABB �A� AB AA� sin BAA .sin120� 2 Lại có (đvdt) 33 1 33 V AC S �� �� C ABB A ABB A AC ABB� A� 3 2 Do nên (đvtt) VABC A��� VC A��� B C VABC A��� B C � VC ABB �� A VABC A��� B C VC A ��� BC BC 3 Mà 3 33 33 VABC A��� V BC C ABB �� A 2 Vậy (đvtt) Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A � A ' H ABC + Gọi M trung điểm BC , H trọng tâm tam giác ABC + AM BC AH BC � BC AA ' M + Trong tam giác AA ' M , kẻ MN A A ' N A MN BC M BC AA ' M a � MN � MN đoạn vuông góc chung AA ' BC B + Tam giác AA ' M có SAA ' M c b a M 1 A ' H AM MN AA ' 2 C � A ' H AM MN AA ' � A ' H AM MN A ' H AH 2 � A' H MN A ' H AH AM �2 a � a A'H � � �3 � a 2 �a � A'H � � �3 � 2 �a � a � 4A'H A' H � �3 � �� A ' H � � a a a3 VABC A ' B 'C ' A ' H SABC 12 Vậy thể tích khối lăng trụ Câu 15 ABC (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực 0 BC góc 30 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC a3 B VS ABC a3 C VS ABC a3 D VS ABC a Trang 19 Lời giải Chọn C + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A � AM BC SA BC � BC SAM � SAM trung điểm M mặt phẳng trung trực cạnh BC � 450 SAM = góc SB SM = BSM Góc SB mặt phẳng � 300 ABC = góc SB AB = SBA Góc SB mặt phẳng BC SAM � BC SM � khoảng cách từ S đến cạnh BC SM a + Tam giác vuông cân SBM có BM a, SB a � BC BM 2a Tam giác vuông SAB có sin 300 SA a a � SA a AB SB 2 ; �a � a AM AB BM � �2 � � a � � Tam giác vuông ABM có 2 1 a a a3 VS ABC SA.S ABC 2a 3 2 Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội BC BD AC AD 1, ACD BCD 2019) Cho ABD ABC tứ diện Chọn B Trang 20 B 27 C 27 Lời giải có Thể tích tứ diện ABCD A ABCD 2 D 27 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , K trung điểm cạnh CD, AB AH x, x Đặt ACD BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng � ACD BCD � ACD � BCD CD � AH BCD � � ACD �AH CD � AH BH 1 Do ACD BCD c.c.c AH BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H � AB AH x (3) Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD � CK AD AH x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK đường cao nên: AB AK AC CK x (4) Từ (3), (4) ta có: x x2 � x x 1 � x2 �x 3 x 0 CD 2.HD AH VABCD 3 1 6 3 AH SBCD 3 3 27 Trang 21 Câu 17 (Chun Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) 10 Thể tích khối chóp S ABCD 3 3 A 3a B 9a C 4a D 12a Lời giải Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH ( ABCD) Đặt m HA , n SH Do tam giác SAH vuông H nên m n 11a Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B (m ;0;0) , D( m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z 1 Khi phương trình mặt phẳng ( SBC ) là: m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng uur ( SBC ) n1 (n; n; m) x y z 1 Khi phương trình mặt phẳng ( SCD) là: m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng uur ( SBC ) n2 (n; n; m) ur uu r | n1 n2 | 1 r ur uu 10 | n1 | | n2 | ( SBC ) ( SCD ) 10 Do cosin góc hợp hai mặt phẳng nên hay m2 2 2n m 10 mà n 11a m m2 m2 � � m 2a � m a � SH 3a 2 2 22a m 10 Vậy 2n m 10 m HA a nên AB 2a , Chiều cao hình chóp SH 3a Diện tích hình vng S ABCD 4a 1 V S ABCD SH 4a 3a 4a 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác 15 SBC , từ B đến SCA 10 , từ C đến SAB cạnh , biết khoảng cách từ A đến Trang 22 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối VS ABC chóp A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h SH h � VS ABC h 12 Đặt AP Ta có S SAB 6VS ABC h 30 2S SAB : h 10 AB 20 d C ; SAB Tương tự, tính HM 2h, HN h � PH SP SH 3h Ta có Vậy Câu 19 S ABC S HAB S HAC S HBC VS ABC 3 HP HM HN � 3h � h 12 3 12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a � SCB � 900 MBC SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 3a 12 B V 3a V C Lời giải 3a 3 D V 3a 12 Chọn B Trang 23 � � Vì SAB SCB 90 � S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI ABC � SH ABC Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM �AI J , ta có J trọng tâm SAB BC JND JND MBC Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, nên NE MBC d N ; MBC NE Kẻ NE JD , ta có Do AD AD d A, MBC AD AD d N , MBC ND AD AN AD AO AD AD Ta có 10a d N , MBC d A, MBC 21 Suy ra, 1 10a NJ � OI NJ 5a 2 � SH 10a ND NJ nên Xét JND có NE 1 a 3a VSABC SH S ABC 10a 3 Vậy Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA BC ; SB AC ; SC AB Tính thể tích khối chóp S ABC A Trang 24 390 12 B 390 C Lời giải 390 D 390 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' SA '2 SC '2 2.SB 64 SB AC BA ' BC ' SA ' C ' S + Khi nên vuông (1) �SA ' SB ' 80 (2) � SB ' SC '2 36 (3) SB ' C ' SA ' B ' S + Tương tự , vuông � 1; ; + Từ ta suy SC ' 10 ; SB ' 26 ; SA ' 54 2 1 390 VS A ' B 'C ' SC ' .SA '.SB ' 390 VS ABC VS A ' B ' C ' 4 (đvtt) + Ta tính o � � o � Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB CSB 60 , ASC 90 , SA SB a , SC 3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 18 a3 C 12 Lời giải a3 D Chọn A Cách 1: SM SC a Gọi M điểm nằm SC cho Ta có: 2 Tam giác SAM vuông S � AM SA SM a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM SB BM a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA SB AB a 2 Vậy AB BM AM � Tam giác ABM tam giác vuông B Trang 25 � ABM ASM � SI IB a 2 2 � IB SI SB � Tam giác SIB vuông I �SI IB �� � SI ABM �SI AM � SI đường cao khối chóp SABM 1 a3 VS ABM S ABM SI AB.BM SI 12 ( đvtt ) Thể tích khối chóp S ABM VS ABM SM a3 �V V S ABC S ABM SC Mà VS ABC Cách 2: Ta có VS ABC abc cos cos cos cos cos cos � � � Trong a SA ; b SB ; c SC ; ASB ; ASC ; BSC � VS ABC a.a.3a a3 cos 60o cos 60o cos 90o cos 60o.cos 60o.cos 90o ( đvtt ) Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , � SCB � 90� SAB , biết khoảng cách từ A đến S ABC 10a 3 A Chọn 8a 39 B MBC 6a 21 Thể tích khối chóp 4a 13 C Lời giải D 2a A S M H J E A N I C O D B � � Vì SAB SCB 90�� S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OI ABC � SH ABC Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM �AI J , ta có J trọng tâm SAB BC JND JND MBC Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, nên NE MBC d N ; MBC NE Kẻ NE JD , ta có Do Trang 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AD AD d A, MBC AD AD d N , MBC ND AD AN AD AO AD AD Ta có 10a d N , MBC d A, MBC 21 Suy ra, 1 10a 5a 10a NJ � OI NJ � SH 2 ND NJ nên 3 Xét JND có NE 1 10a 2a 10 3a SH S ABC 3 Vậy Câu 23 VSABC (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a � = SCB � = 90� SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V= 3a 12 B V= 3a V= C Lời giải 3a D V= 3a 12 Chọn B Gọi I trung điểm SB � � Do SAB = SCB = 90�nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi O tâm đáy ABC � OI ^ ( ABC ) ( ABC ) Ta có AB ^ ( SAH ) � AB ^ AH Tương tự, Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng BC ^ CH Suy H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH = 2OI BC ^ IN � BC ^ ( AIN ) (*) Gọi N trung điểm BC � IN // SC nên ( ABC ) Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng GK // OI � AK = AO = AN � KN = AN � K �AO 9 10a �d � K , ( MBC ) � = d� A, ( MBC ) � = � � � � 21 Trang 27 10a KE ^ GN � KE ^ BC � KE ^ ( MBC ) � d � K , ( MBC ) � = KE = � � 21 Kẻ 1 10a = + � GK = � SH = 2OI = 3GK = 10a 2 GK KN Tam giác GKN vuông K có KE (*) a2 5a 3 V= 10a = Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 24 (Chuyên Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD BC , AC BD , AB CD Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C Lời giải 2047 12 D 2470 12 Chọn D B C cho A , B , C trung điểm B�� C , A�� C , A�� B Dựng tứ diện D A��� BD Theo cách dựng theo có: AC BC � C có: BD đường trung tuyến A� B BC � BD � DA�� C vuông D Xét tam giác DA�� C , DA�� B vuông D Chứng minh tương tự ta có: DB�� B C có cạnh DA� Khi tứ diện D A��� , DB� , DC �đơi vng góc với 1 VABCD VD A��� DA� DB� DC � BC 24 Ta có: Theo ta có: Vậy VABCD 2 �DA� 38 �DA� �DA� DB � 48 38 � � � � 10 �DA� DC � 64 � �DB � 10 � �DB� 2 �DB� � � DC � 36 26 � �DC � 26 �DC � 1 2470 DA� DB� DC � 38 10 26 24 24 12 � � ; AB a; AC a 5; � ABC 135� Biết góc hai Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB CBD 90� mặt phẳng Trang 28 ABD , BCD Thể tích tứ diện ABCD 30� TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a A 3 a B a3 D 3 a C Lời giải Chọn C ABC DH ABC Gọi H thuộc mặt phẳng �BA DA �BC BD � � Ta có �BA DH � BA AH Tương tự �BC DH � BC BH � � 90�� � ; CBH ABH 45�suy ABH vuông cân Tam giác ABH có AB a; ABC 135� A � AH AB a Áp dụng định lý cơsin ta có BC a 1 a2 S ABC BA.BC.sin � ABC a.a 2 2 Diện tích tam giác ABC : Kẻ HE , HF vng góc với DA , DB HE ABD HF BCD ABD , BCD góc Suy , nên góc hai mặt phẳng � EHF Tam giác EHF vng E , ta có � cos EHF Mặt khác: HE a.DH a DH , 2 HF DH a 2a DH HE DH 2a HF 2.DH 2a � DH a a3 VABCD DH S ABC Thể tích tứ diện ABCD ) a B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC � Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A��� ABC � B) ) ( BCC �� , góc hai mặt phẳng ( với BC trụ ABC A��� A V= 3a B V= 3a 2 V= C Lời giải cos = a3 2 Tính thể tích khối lăng D V= 3a Trang 29 Chọn B Gọi M , N trung điểm AB BC AB ^ CC � � � � AB ^ ( MCC � ) � ( ABC � ) ^ ( MCC � ) � � AB ^ CM � Do )) = a CK ^ ( ABC � ) , CK = d ( C ;( ABC � Kẻ CK vng góc với CM K ta BC = x, CC � = y, ( x > 0, y > 0) Đặt , ta được: 1 1 + = � + = ( 1) 2 CM CC � CK 3x y a CM = EC = � Kẻ CE ^ BC �tại E , ta KEC = , 1 11 + 2= = ( 2) 2 y CE 12a Lại có x x KC = sin a 1- 12 =a 12 11 a ( 1) , ( 2) ta x = 2a, y = Giải B C là: Thể tích khối lăng trụ ABC A��� x a 4a 3 2a V = y = = 4 Câu 27 B C D có A� B vng góc với (Chun Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A���� mặt phẳng đáy ABCD Góc AA�với mặt phẳng ABCD 45 Khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng D D CC �� A Chọn A Trang 30 C C BB�� 60 , Tính thể tích khối hộp cho B C Lời giải D 3 mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 �� A� B ABCD � AA� , ABCD � AA� BB BA 450 Ta có d A, BB� , BB� H 1 H d A� A� Vì ( hình chiếu A lên BB� ) Suy ta có A' B ' A' H sin BB ' A A ' B A ' B '.tan BB ' A ' B C D � Oxy �Oy mặt phẳng A���� Gán hệ trục tọa độ gốc A�với điểm B �Oz , B� Ta có tọa D� a, b, ; a �0 � C � D � Oxy a, b Ta có , giả sử độ điểm Chọn A� 0, 0, , B 0, 0, , B�0, 2, r n BB ' C ' C b, a, a C C BB�� Vì góc mặt phẳng cos 600 b b 2a 2 r n DD' C ' C 1, 0, �b� mặt phẳng 2, D D CC �� 60 Ta có a �x a � �y b t � z t � � DD có phương trình Vì khoảng cách từ A đến đường Mặt khác ta có đường thằng thẳng DD�bằng Ta có: uuuur r � A�� D , u DD ' � b 2a � � d A, DD� d A� , DD� � � b 2a � b � r u DD ' uuuuu r uuuuur � D 3, 2,0 � VABCD A ' B 'C ' D ' A ' B.S A ' B 'C ' D ' � A ' B � ', A ' D '� Trường hợp 1: uuuuu r uuuuur � D 3, 2,0 � VABCD A ' B ' C ' D ' A ' B.S A ' B 'C ' D ' � A ' B � ', A ' D '� Trường hợp Câu 28 B C D có đáy ABCD hình chữ (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A���� C C C mặt phẳng AA�� nhật với AB 6, AD , A� vng góc với mặt đáy Biết hai C C , AA�� B B AA�� mặt phẳng ABCD A���� B C D bằng? A V tạo với góc thỏa mãn B V 12 C V 10 Lời giải tan Thể tích khối lăng trụ D V Trang 31 A� A� ACC� , BH ACC� Gọi H hình chiếu B lên AC AB BC ; AH AC HC Kẻ BH AB.BC AC = 2 ; HC BC BH ; HK AA� , K �AA� A� , AA� BH BH ACC� nên AA� BK � ABB� A� A BKH ; ACC�� � ; BKH vuông H BH � KH AK AH AK KH � KH ; C AC� 3 � C� C A cân C ' , AC A�� M AA� Gọi M trung điểm AA� Tam giác A�� � KH / /C� M � tan BKH VA�� C M ∽ AHK � A� M AK A�� C A�� C KH 1 C� M 2 � AA� 2; AH AH ; AC SACC ' A' C� M.AA� d A� ; AC AC � d A� � VABCD.A���� B C D d A ;AC SABCD Câu 29 = B C có đáy tam giác (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� C BCC � B� ABC vuông cân A , cạnh BC a Góc mặt phẳng AB� mặt phẳng CA�� C 60� Tính thể tích V khối đa diện AB� A a 3a 3 B a3 C Lời giải Trang 32 a3 D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B ACC � A� CA�� C hình chóp B� ACC � A�có A�� Khối đa diện AB� Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC a ta suy AB AC a Gọi M trung điểm BC , suy AM BC AM a �AM BC � AM BCC � B� C � AM B� � � AM BB � Ta có (1) C , suy MH B� C (2) Gọi H hình chiếu vng góc M lên B� B� C AMH AB� C Từ (1) (2) ta suy Từ suy góc mặt phẳng mặt phẳng B� BCC � góc AH MH Mà tam giác AMH vuông H nên � � AHM 60� � MH AM cot 60� a a 2 a MH � sin HCM MC a BC đồng dạng với tam giác MHC nên suy Tam giác B� � � tan MCH � sin MCH 1 � � tan MCH 2 � � BB� BC.tan MCH a a 1 � VAB�CA�� B� A� AC AA� a 3.a 3.a a 3 C VB� ACC � A� 3 Trang 33 ... M �� Suy MA H 30� B1C1 AB2C2 B C thể tích khối lăng trụ A� Thể tích khối lăng trụ ABC A��� V AA� S A�B1C1 Câu � 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C... phẳng AB� mặt phẳng CA�� C 60� Tính thể tích V khối đa diện AB� A a Chuyên đề 12 3a 3 B a3 C a3 D MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH... Thể tích khối B C lăng trụ ABC A��� 7a3 7a3 a3 7a3 A B C D 21 Câu B C có đáy tam giác Mặt (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� A� BC BC có diện tích Tính thể tích