một số bài toán khó thể tích khối chóp và lăng trụ

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng , khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng và , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của và Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A B C D Câu 2 (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng 2, khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng 1 và , hình chi.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng khối lăng trụ cho A Câu B C C M B�� A� M 3 Thể tích D 3 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M  Thể tích khối lăng trụ cho A Câu BC   A��� trung điểm B C D (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' 15 A'M  Thể tích khối lăng trụ cho trung điểm M B ' C ' , A B 15 C D 15 Câu B C Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt , hình chiếu BC   A��� M  Thể tích C A� vng góc A lên mặt phẳng trung điểm M B�� khối lăng trụ cho 15 15 A B C D Câu B C có đáy tam giác vng (Chun Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� �  90� � � A , AB  , AC  Góc CAA� , BAA  120� Gọi M trung điểm cạnh BB�(tham B , tính thể tích khối lăng trụ cho khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với A� A V   33  B V  33 C V   33  D V  33 Trang Câu B C có đáy ABC tam giác vng (Chun KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� ABC �   ABC  60� Gọi M , N lần cân C , AB  2a góc tạo hai mặt phẳng  C BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể lượt trung điểm A�� tích phần nhỏ 3a 6a 6a 3a A 24 B C 24 D Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE 21 21 21 21 A B C D 27 Câu B C có đáy ABC tam giác vng (Chun Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A��� �� B�là hình thoi có B ABC  600 Biết tứ giác BCC � BC nhọn Mặt phẳng A , cạnh BC  2a � B� A�  BCC �  vng góc với  ABC  mặt phẳng  ABB�  tạo với  ABC  góc 450 Thể tích khối B C lăng trụ ABC A��� 7a3 7a3 a3 7a3 A B C D 21 Câu B C có đáy tam giác Mặt (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� A� BC  BC có diện tích Tính thể tích V phẳng  tạo với đáy góc 30 tam giác A� khối lăng trụ cho A 64 B C 16 D Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, BC  2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  trung điểm  BCB ' C '  ABC  600 Thể tích khối lăng cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng trụ cho bằng: 3a 3a 3 3a a3 A B C D 16 Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , SA  SBC   SCD   , với vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc hai mặt phẳng cos  Thể tích khối chóp cho a3 2 2a 2a 3 A B a C D Câu 12 Trang B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  , (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD A���� C C AD  , A� C  mặt phẳng  AA�� vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng tan   C C   AA�� B B  AA�� Thể tích khối lăng trụ , tạo với góc  có ABCD A���� B C D A V  12 B V  C V  D V  10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B C có đáy ABC tam giác vuông Câu 13 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A��� � �� B�là hình thoi có B BC nhọn Biết A , cạnh BC  2a ABC  60� Biết tứ giác BCC � B�  BCC �  vng góc với  ABC  B C trụ ABC A��� a A Câu 14 A�  ABB�  tạo với  ABC  3a B 6a C góc 45� Thể tích khối lăng a3 D (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC a Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ a3 A 12 Câu 15 VS ABC  a3 B 27 a3 D 24 a3 C VS ABC  a3 D VS ABC  a ABCD 2019) Cho tứ diện có  ABD    ABC  Thể tích tứ diện ABCD - C 27 2 D 27 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) 10 Thể tích khối chóp S ABCD A 3a Câu 18 B VS ABC  (Chu Văn An Hà Nội BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  A Câu 17 a3 C  ABC  (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực 0 BC góc 30 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A Câu 16 a3 B B 9a C 4a D 12a (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác 15 SBC SCA      SAB  cạnh , biết khoảng cách từ A đến , từ B đến 10 , từ C đến 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối VS ABC chóp A 36 B 48 C 12 D 24 Trang Câu 19 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a �  SCB �  900 MBC  SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  6a Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a V 12 A Câu 20 3a V B 3a V C 3a V 12 D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 o � � o � Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB  CSB  60 , ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B 18 C 12 D Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , 6a �  SCB �  90� MBC  SAB , biết khoảng cách từ A đến  21 Thể tích khối chóp S ABC 10a 3 A Câu 23 4a 13 C D 2a (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a � = SCB � = 90� SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A Câu 24 8a 39 B V= 3a 12 B V= 3a C V= 3a D V= 3a 12 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 D 2470 12 � � ; AB  a; AC  a 5; � ABC  135� Biết góc hai Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB  CBD  90�  ABD  ,  BCD  30� Thể tích tứ diện ABCD mặt phẳng a3 a3 a3 a3 2 A B C D ) a B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC � Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A��� cos  = ABC � B) ) ( BCC �� Tính thể tích khối lăng , góc hai mặt phẳng (  với BC trụ ABC A��� Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 27 V= 3a B V= 3a 2 C V= a 2 D V= 3a B C D có A� B vng góc với (Chun Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A����  ABCD  Góc AA�với mặt phẳng  ABCD  450 Khoảng cách từ A mặt phẳng đáy C C  BB�� đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng mặt phẳng D D  CC �� 60 , Tính thể tích khối hộp cho A B C D 3 Câu 28 B C D có đáy ABCD hình chữ (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A���� C C C  mặt phẳng  AA�� nhật với AB  6, AD  , A� vng góc với mặt đáy Biết hai tan   �� ��  AA C C  ,  AA B B  tạo với góc  thỏa mãn Thể tích khối lăng trụ mặt phẳng ABCD A���� B C D bằng? A V  B V  12 C V  10 D V  Câu 29 B C có đáy tam giác (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� C BCC � B�  ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB� mặt phẳng  CA�� C 60� Tính thể tích V khối đa diện AB� A a Chuyên đề 12 3a 3 B a3 C a3 D MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt góc A lên mặt phẳng khối lăng trụ cho A BC   A��� trung điểm B C M B�� C Lời giải , hình chiếu vng A� M 3 Thể tích D Chọn A Trang Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A�và vng góc với AA�ta thiết diện tam giác C1  ; B1C1  A� B1  A� có cạnh ; � H tam giác Suy tam giác A B1C1 vuông A�và trung tuyến A� H T Gọi giao điểm AM A� A� B1C1 � MH  ; A� H 1 Ta có: A� M � AA�   � � � � cos MA A MA A  60 � Do A� M �� Suy MA H  30� B1C1 AB2C2 B C thể tích khối lăng trụ A� Thể tích khối lăng trụ ABC A��� V  AA� S A�B1C1  Câu � 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M  Thể tích khối lăng trụ cho A Chọn D Trang B C Lời giải D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AA1  1; AA2  3; A1 A2  Gọi A1 , A2 hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề AA12  AA2  A1 A2 Do nên tam giác AA1 A2 vuông A AA AH   A A Gọi H trung điểm 2 Lại có MH P BB ' � MH  ( AA1 A2 ) � MH  AH suy MH  AM  AH  nên cos(( ABC ),( AA1 A2 ))  cos( MH , AM )  cos HMA  S ABC  S AA1 A2 MH  AM  S ABC  Thể tích lăng trụ V  AM � Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S '  S cos  Suy Câu cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , A B A'M  15 Thể tích khối lăng trụ cho 15 C Lời giải D 15 Chọn C Trang Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; � AI  , AK  A'M  15 15 � AF  3 Gọi F trung điểm BC AI  BB ' � �� BB '   AIK  BB '  AK � � BB '  IK Ta có Vì CC ' P BB ' � d (C , BB ')  d ( K , BB ')  IK  � AIK vuông A � EF   AIK  � EF  AE Gọi E trung điểm IK � EF P BB ' AM   ABC   ABC   AIK  góc EF AM Lại có Do góc hai mặt phẳng  15 �  AE cos FAE  �  30� � � AF � FAE góc AME  FAE Ta có  AIK  AIK nên ta có: Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng S AIK � S �  S ABC � ABC  S ABC cos EAF 15 � AM  3 AF tan � AMF  � AM  AM Xét AMF vuông A : 2 15 VABC A ' B 'C '   3 Vậy Câu B C Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB�bằng (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A��� , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB�và CC �lần lượt , hình chiếu BC   A��� M  Thể tích C A� vng góc A lên mặt phẳng trung điểm M B�� khối lăng trụ cho Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 15 C Lời giải 15 D Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB�và CC � , H hình chiếu vng góc C lên BB� AJ  BB�  1 Ta có AK  CC � � AK  BB�    1   suy BB�  AJK  � BB� JK � JK //CH � JK  CH  Từ 2 Xét AJK có JK  AJ  AK  suy AJK vuông A AF  JF  FK  Gọi F trung điểm JK ta có Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: AF  cos � NAF   �� NAF  60o ( AN  AM  AN //AM AN  AM ) AN S � S ABC  AJK o   1 cos 60 S AJK  AJ AK  1.2  � S o  S cos 60 AJK ABC 2 Vậy ta có � � M tan 30 AMF  30 hay AM  A� Xét tam giác AMA�vng M ta có MAA� o Vậy thể tích khối lăng trụ V  AM SABC Câu  o  15 15 15  3 B C có đáy tam giác vng (Chun Hưng n - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� �  90� � � A , AB  , AC  Góc CAA� , BAA  120� Gọi M trung điểm cạnh BB�(tham B , tính thể tích khối lăng trụ cho khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với A� Trang A V   33  B V  33 V   33 C Lời giải  D V  33 Chọn C AC   ABB� A� B � ABB� A�  Mà A�  nên AC  A� B Do AC  AB , AC  AA�nên B   AMC  � A� B  AC , A� B  CM nên A� B  AM Có A� uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur u u u r u u u r u u u r AM  AB  BM  AB  AA�  x  x   Ta có A� B  AB  AA�và Đặt AA� uuu r uuur �uuu r uuur � r uuur 1 uuu 2 uuur uuuu r  AB  AA��AB  AA� � AB  AA� AB AA� � � B AM 2 Suy A�   AB   1 � � 22  x  2.x.cos120�  x  x  AA�  AB AA� cos BAA 2 2 2 1  33 uuur uuuu r �  x2  x   � x  B AM  2 B  AM nên A� Do A�      33  33 � � S ABB �A� AB AA� sin BAA  .sin120� 2 Lại có (đvdt)  33 1  33 V  AC S   �� �� C ABB A ABB A AC   ABB� A�  3 2 Do nên (đvtt) VABC A��� VC A��� B C  VABC A��� B C � VC ABB �� A  VABC A��� B C  VC A ��� BC  BC 3 Mà   3  33  33 VABC A���  V   BC C ABB �� A 2 Vậy (đvtt) Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A � A ' H   ABC  + Gọi M trung điểm BC , H trọng tâm tam giác ABC + AM  BC AH  BC � BC   AA ' M  + Trong tam giác AA ' M , kẻ MN  A A ' N A MN  BC M BC   AA ' M  a � MN  � MN đoạn vuông góc chung AA ' BC B + Tam giác AA ' M có SAA ' M c b a M 1  A ' H AM  MN AA ' 2 C � A ' H AM  MN AA ' � A ' H AM  MN A ' H  AH 2 � A' H  MN A ' H  AH  AM �2 a � a A'H  � � �3 � a 2 �a � A'H  � � �3 � 2  �a � a � 4A'H  A' H  � �3 � �� A ' H  � � a a a3 VABC A ' B 'C '  A ' H SABC   12 Vậy thể tích khối lăng trụ Câu 15  ABC  (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực 0 BC góc 30 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC a3  B VS ABC a3  C VS ABC a3  D VS ABC  a Trang 19 Lời giải Chọn C + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A � AM  BC SA  BC � BC   SAM  �  SAM  trung điểm M mặt phẳng trung trực cạnh BC �  450  SAM  = góc SB SM = BSM Góc SB mặt phẳng �  300  ABC  = góc SB AB = SBA Góc SB mặt phẳng BC   SAM  � BC  SM � khoảng cách từ S đến cạnh BC SM  a + Tam giác vuông cân SBM có BM  a, SB  a � BC  BM  2a Tam giác vuông SAB có sin 300  SA a a � SA  a  AB  SB 2 ; �a � a AM  AB  BM  � �2 � � a  � � Tam giác vuông ABM có 2 1 a a a3 VS ABC  SA.S ABC  2a  3 2 Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  2019) Cho  ABD    ABC  tứ diện Chọn B Trang 20 B 27 C 27 Lời giải có Thể tích tứ diện ABCD A ABCD 2 D 27 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , K trung điểm cạnh CD, AB AH  x,  x   Đặt  ACD BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng �  ACD    BCD  �  ACD  � BCD   CD � AH   BCD  � �  ACD  �AH  CD � AH  BH  1 Do ACD  BCD  c.c.c  AH  BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H � AB  AH  x (3)  Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD � CK    AD  AH   x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK đường cao nên: AB  AK  AC  CK     x  (4) Từ (3), (4) ta có: x     x2  � x   x  1 � x2  �x 3  x  0 CD  2.HD   AH  VABCD  3 1 6 3 AH SBCD   3 3 27 Trang 21 Câu 17 (Chun Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) 10 Thể tích khối chóp S ABCD 3 3 A 3a B 9a C 4a D 12a Lời giải Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH  ( ABCD) Đặt m  HA , n  SH Do tam giác SAH vuông H nên m  n  11a Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B (m ;0;0) , D( m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z   1 Khi phương trình mặt phẳng ( SBC ) là: m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng uur ( SBC ) n1  (n; n; m) x y z   1 Khi phương trình mặt phẳng ( SCD) là:  m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng uur ( SBC ) n2  (n; n; m) ur uu r | n1 n2 | 1 r  ur uu 10 | n1 | | n2 | ( SBC ) ( SCD ) 10 Do cosin góc hợp hai mặt phẳng nên hay m2  2 2n  m 10 mà n  11a  m m2 m2  �  � m  2a � m  a � SH  3a 2 2 22a  m 10 Vậy 2n  m 10 m  HA  a nên AB  2a , Chiều cao hình chóp SH  3a Diện tích hình vng S ABCD  4a 1 V  S ABCD SH  4a 3a  4a 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác 15  SBC  , từ B đến  SCA 10 , từ C đến  SAB  cạnh , biết khoảng cách từ A đến Trang 22 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối VS ABC chóp A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h SH  h � VS ABC  h  12 Đặt AP  Ta có S SAB 6VS ABC h 30  2S SAB   :  h 10 AB 20 d  C ;  SAB   Tương tự, tính HM  2h, HN  h � PH  SP  SH  3h Ta có Vậy Câu 19 S ABC  S HAB  S HAC  S HBC  VS ABC  3  HP  HM  HN  � 3h  � h  12 3  12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a �  SCB �  900 MBC  SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 3a 12 B V 3a V C Lời giải 3a 3 D V 3a 12 Chọn B Trang 23 � � Vì SAB  SCB  90 � S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  � SH   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM �AI  J , ta có J trọng tâm SAB BC   JND  JND    MBC  Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, nên  NE   MBC  d N ;  MBC    NE Kẻ NE  JD , ta có Do  AD AD    d  A,  MBC   AD AD   d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD Ta có 10a d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Suy ra, 1 10a   NJ  � OI  NJ  5a 2 � SH  10a ND NJ nên Xét JND có NE 1 a 3a VSABC  SH S ABC  10a  3 Vậy Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A Trang 24 390 12 B 390 C Lời giải 390 D 390 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' SA '2  SC '2   2.SB   64 SB  AC  BA '  BC '   SA ' C ' S + Khi nên vuông (1) �SA '  SB '  80 (2) � SB '  SC '2  36 (3)  SB ' C '  SA ' B ' S + Tương tự , vuông � 1; ; + Từ       ta suy SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 2 1 390 VS A ' B 'C '  SC ' .SA '.SB '  390 VS ABC  VS A ' B ' C '  4 (đvtt) + Ta tính o � � o � Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB  CSB  60 , ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 18 a3 C 12 Lời giải a3 D Chọn A Cách 1: SM  SC  a Gọi M điểm nằm SC cho Ta có: 2 Tam giác SAM vuông S � AM  SA  SM  a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM  SB  BM  a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA  SB  AB  a 2 Vậy AB  BM  AM � Tam giác ABM tam giác vuông B Trang 25 � ABM  ASM � SI  IB  a 2 2 � IB  SI  SB � Tam giác SIB vuông I �SI  IB �� � SI   ABM  �SI  AM � SI đường cao khối chóp SABM 1 a3 VS ABM  S ABM SI  AB.BM SI  12 ( đvtt ) Thể tích khối chóp S ABM VS ABM SM a3   �V  V  S ABC S ABM SC Mà VS ABC Cách 2: Ta có VS ABC  abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos  � � � Trong a  SA ; b  SB ; c  SC ;   ASB ;   ASC ;   BSC � VS ABC  a.a.3a a3  cos 60o  cos 60o  cos 90o  cos 60o.cos 60o.cos 90o  ( đvtt ) Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , �  SCB �  90� SAB , biết khoảng cách từ A đến S ABC 10a 3 A Chọn 8a 39 B  MBC  6a 21 Thể tích khối chóp 4a 13 C Lời giải D 2a A S M H J E A N I C O D B � � Vì SAB  SCB  90�� S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  � SH   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM �AI  J , ta có J trọng tâm SAB BC   JND   JND    MBC  Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, nên NE   MBC  d N ;  MBC    NE Kẻ NE  JD , ta có Do  Trang 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AD AD    d  A,  MBC   AD AD   d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD Ta có 10a d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Suy ra, 1 10a 5a 10a   NJ  � OI  NJ  � SH  2 ND NJ nên 3 Xét JND có NE 1 10a  2a  10 3a  SH S ABC   3 Vậy Câu 23 VSABC (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a � = SCB � = 90� SAB Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V= 3a 12 B V= 3a V= C Lời giải 3a D V= 3a 12 Chọn B Gọi I trung điểm SB � � Do SAB = SCB = 90�nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi O tâm đáy ABC � OI ^ ( ABC ) ( ABC ) Ta có AB ^ ( SAH ) � AB ^ AH Tương tự, Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng BC ^ CH Suy H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH = 2OI BC ^ IN � BC ^ ( AIN ) (*) Gọi N trung điểm BC � IN // SC nên ( ABC ) Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng GK // OI � AK = AO = AN � KN = AN � K �AO 9 10a �d � K , ( MBC ) � = d� A, ( MBC ) � = � � � � 21 Trang 27 10a KE ^ GN � KE ^ BC � KE ^ ( MBC ) � d � K , ( MBC ) � = KE = � � 21 Kẻ 1 10a = + � GK = � SH = 2OI = 3GK = 10a 2 GK KN Tam giác GKN vuông K có KE (*) a2 5a 3 V= 10a = Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 24 (Chuyên Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C Lời giải 2047 12 D 2470 12 Chọn D B C cho A , B , C trung điểm B�� C , A�� C , A�� B Dựng tứ diện D A���  BD Theo cách dựng theo có: AC  BC � C có: BD đường trung tuyến A� B  BC �  BD � DA�� C vuông D Xét tam giác DA�� C , DA�� B vuông D Chứng minh tương tự ta có: DB�� B C có cạnh DA� Khi tứ diện D A��� , DB� , DC �đơi vng góc với 1 VABCD  VD A��� DA� DB� DC � BC  24 Ta có: Theo ta có: Vậy VABCD  2 �DA�  38 �DA� �DA�  DB �  48  38 � � � �  10 �DA� DC � 64 � �DB � 10 � �DB� 2 �DB� � �  DC � 36  26 � �DC � 26 �DC � 1 2470 DA� DB� DC �  38 10 26  24 24 12 � � ; AB  a; AC  a 5; � ABC  135� Biết góc hai Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB  CBD  90� mặt phẳng Trang 28  ABD  ,  BCD  Thể tích tứ diện ABCD 30� TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a A 3 a B a3 D 3 a C Lời giải Chọn C  ABC  DH   ABC  Gọi H thuộc mặt phẳng �BA  DA �BC  BD � � Ta có �BA  DH � BA  AH Tương tự �BC  DH � BC  BH � �  90�� � ; CBH ABH  45�suy ABH vuông cân Tam giác ABH có AB  a; ABC  135� A � AH  AB  a Áp dụng định lý cơsin ta có BC  a 1 a2 S ABC  BA.BC.sin � ABC  a.a  2 2 Diện tích tam giác ABC : Kẻ HE , HF vng góc với DA , DB HE   ABD  HF   BCD   ABD  ,  BCD  góc Suy , nên góc hai mặt phẳng � EHF Tam giác EHF vng E , ta có �  cos EHF Mặt khác: HE  a.DH a  DH , 2 HF  DH a 2a  DH HE DH  2a   HF 2.DH  2a � DH  a a3 VABCD  DH S ABC  Thể tích tứ diện ABCD ) a B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC � Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A��� ABC � B) ) ( BCC �� , góc hai mặt phẳng (  với BC trụ ABC A��� A V= 3a B V= 3a 2 V= C Lời giải cos  = a3 2 Tính thể tích khối lăng D V= 3a Trang 29 Chọn B Gọi M , N trung điểm AB BC AB ^ CC � � � � AB ^ ( MCC � ) � ( ABC � ) ^ ( MCC � ) � � AB ^ CM � Do )) = a CK ^ ( ABC � ) , CK = d ( C ;( ABC � Kẻ CK vng góc với CM K ta BC = x, CC � = y, ( x > 0, y > 0) Đặt , ta được: 1 1 + = � + = ( 1) 2 CM CC � CK 3x y a CM = EC = � Kẻ CE ^ BC �tại E , ta KEC =  , 1 11 + 2= = ( 2) 2 y CE 12a Lại có x x KC = sin  a 1- 12 =a 12 11 a ( 1) , ( 2) ta x = 2a, y = Giải B C là: Thể tích khối lăng trụ ABC A��� x a 4a 3 2a V = y = = 4 Câu 27 B C D có A� B vng góc với (Chun Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A���� mặt phẳng đáy  ABCD  Góc AA�với mặt phẳng  ABCD  45 Khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng D D  CC �� A Chọn A Trang 30 C C  BB�� 60 , Tính thể tích khối hộp cho B C Lời giải D 3 mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 �� A� B   ABCD  �  AA� , ABCD   � AA� BB BA  450 Ta có d  A, BB� , BB� H 1 H   d  A�   A� Vì ( hình chiếu A lên BB� ) Suy ta có A' B '  A' H  sin  BB ' A  A ' B  A ' B '.tan  BB ' A '  B C D  � Oxy  �Oy mặt phẳng  A���� Gán hệ trục tọa độ gốc A�với điểm B �Oz , B� Ta có tọa  D�  a, b,  ; a �0 � C � D � Oxy   a, b  Ta có , giả sử độ điểm Chọn    A�  0, 0,  , B 0, 0, , B�0, 2, r n  BB ' C ' C    b, a, a  C C  BB�� Vì góc mặt phẳng cos  600   b b  2a 2 r n  DD' C ' C    1, 0,  �b� mặt phẳng 2, D D  CC ��  60 Ta có a �x  a � �y  b  t � z t � � DD có phương trình Vì khoảng cách từ A đến đường Mặt khác ta có đường thằng thẳng DD�bằng Ta có: uuuur r � A�� D , u DD ' � b  2a � � d  A, DD�   d  A� , DD�  �  � b  2a  � b  � r  u DD ' uuuuu r uuuuur � D 3, 2,0 � VABCD A ' B 'C ' D '  A ' B.S A ' B 'C ' D '  � A ' B � ', A ' D '� Trường hợp 1: uuuuu r uuuuur � D 3,  2,0 � VABCD A ' B ' C ' D '  A ' B.S A ' B 'C ' D '  � A ' B � ', A ' D '� Trường hợp   Câu 28   B C D có đáy ABCD hình chữ (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A���� C C C  mặt phẳng  AA�� nhật với AB  6, AD  , A� vng góc với mặt đáy Biết hai C C  ,  AA�� B B  AA�� mặt phẳng ABCD A���� B C D bằng? A V  tạo với góc  thỏa mãn B V  12 C V  10 Lời giải tan   Thể tích khối lăng trụ D V  Trang 31 A� A�  ACC�  , BH   ACC�  Gọi H hình chiếu B lên AC  AB  BC  ; AH  AC  HC  Kẻ BH  AB.BC AC =  2 ; HC  BC  BH  ; HK  AA� , K �AA� A�  , AA� BH BH   ACC�  nên AA� BK � ABB� A� A    BKH  ; ACC��  � ; BKH vuông H BH  � KH  AK  AH  AK  KH � KH ; C  AC�  3 � C� C A cân C ' ,  AC  A�� M  AA� Gọi M trung điểm AA� Tam giác A�� � KH / /C� M �  tan BKH VA�� C M ∽ AHK � A� M AK A�� C A�� C KH 1 C� M 2 � AA�  2; AH AH ; AC   SACC ' A'  C� M.AA�  d A� ; AC  AC  � d A� � VABCD.A���� B C D  d  A ;AC  SABCD Câu 29  = B C có đáy tam giác (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� C BCC � B�  ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB� mặt phẳng  CA�� C 60� Tính thể tích V khối đa diện AB� A a 3a 3 B a3 C Lời giải Trang 32 a3 D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B   ACC � A�  CA�� C hình chóp B� ACC � A�có A�� Khối đa diện AB� Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a ta suy AB  AC  a Gọi M trung điểm BC , suy AM  BC AM  a �AM  BC � AM   BCC � B� C  � AM  B� � � AM  BB � Ta có (1) C , suy MH  B� C (2) Gọi H hình chiếu vng góc M lên B� B� C   AMH  AB� C Từ (1) (2) ta suy Từ suy góc mặt phẳng  mặt phẳng B�  BCC �  góc AH MH Mà tam giác AMH vuông H nên � � AHM  60� � MH  AM cot 60� a a  2 a MH � sin HCM    MC a BC đồng dạng với tam giác MHC nên suy Tam giác B� � �  tan MCH  �  sin MCH  1  � � tan MCH  2 � � BB�  BC.tan MCH  a a 1 � VAB�CA�� B� A� AC AA�  a 3.a 3.a  a 3 C  VB� ACC � A� 3 Trang 33 ... M �� Suy MA H  30� B1C1 AB2C2 B C thể tích khối lăng trụ A� Thể tích khối lăng trụ ABC A��� V  AA� S A�B1C1  Câu � 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C... phẳng  AB� mặt phẳng  CA�� C 60� Tính thể tích V khối đa diện AB� A a Chuyên đề 12 3a 3 B a3 C a3 D MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH... Thể tích khối B C lăng trụ ABC A��� 7a3 7a3 a3 7a3 A B C D 21 Câu B C có đáy tam giác Mặt (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� A� BC  BC có diện tích Tính thể tích