Bài 3 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay + Ghi nhớ kiến thức phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn elip + Nắm định nghĩa, tính chất phương pháp tính tích phân  Kĩ + Hiểu rõ ứng dụng tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể, vật thể tròn xoay + Lập phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn elip để xử lí tốn liên quan + Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay trường hợp cụ thể Trang A ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) xác định theo công thức: b S� f  x  dx a Chú ý Nếu f  x  không đổi dấu đoạn  a; b b S� f  x  dx  Phần tơ màu đen diện tích hình b phẳng giới hạn đồ thị hàm số a y  f  x  liên tục đoạn  a; b  , trục f  x  dx � a x a, x b • Nếu phương trình f  x   có nghiệm x  c thuộc hồnh hai đường thẳng (với a  b ) khoảng  a; b  Đặc biệt: b c b a a c S � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  c b a c f  x  dx  � f  x  dx � • b c1 c2 a c c1 S � f  x  dx  f  x  dx  � �f  x  dx  b �f  x  dx f  x  �0 , x � a; b  b b a a S� f  x  dx  � f  x  dx • Nếu phương trình f  x   có hai nghiệm c1  c2 thuộc • khoảng  a; b  Nếu Nếu f  x  �0 , b b a a x � a; b  S � f  x  dx   � f  x  dx c2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong Diện tích hình phẳng  C1  : H giới hạn đồ thị hai hàm số y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) xác định theo công thức: b S� f  x   g  x  dx a Phần gạch chéo hình hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số  C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x  Trang liên tục đoạn  a; b  hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) Chú ý • Nếu phương trình f  x   g  x  vô nghiệm khoảng  a; b  b f  x   g  x  dx  S  � a b � �f  x   g  x  � �dx � Đặc biệt: ° Nếu f  x  �g  x  , x � a; b  (đồ thị  C1  nằm phía đồ thị  C2  ) ta a • Nếu phương trình f  x   g  x  có nghiệm x  c b f  x   g  x  dx có: S  � a c b a c b � dx � �f  x   g  x  � � f  x   g  x  dx  � f  x   g  x  dx thuộc  a; b  S  � c b a c  � � � �f  x   g  x  � �dx  � �f  x   g  x  � �dx • Nếu phương trình f  x   g  x  có hai nghiệm c1  c2 thuộc S� f  x  dx  a  • Nếu f  x  �g  x  , x � a; b  (đồ thị  C1  nằm phía đồ thị  C2  ) ta b f  x   g  x  dx có: S  � khoảng  a; b  b a a c1 � �f  x   g  x  � �dx � c b  � � �f  x   g  x  � �dx a c2 b c1 c2 � � �f  x   g  x  � �dx  � �f  x   g  x  � �dx � SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn , trục hoành hai đường thẳng , (với ) xác định theo công thức: II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Tính diện Hình phẳng giới hạn hai đường cong tích Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số : , : liên tục đoạn hai đường thẳng , (với ) xác định theo cơng thức: hình phẳng Trang Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị đường cong Phương pháp giải �  C  : y  f  x � Ox : y  � Xét hình phẳng  H  : � �x  a �x  b  a  b  � Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Khi diện tích hình phẳng  H  là: Hướng dẫn giải hàm số  C  : y  3 x  hai trục tọa độ S x 1 Tính S b Hoành độ giao điểm a nghiệm phương trình: S� f  x  dx trục hoành 3 x  1 0� x x 1 Trong loại này, thiếu cận a b ta tìm cách giải phương trình f  x    C Do diện tích hình phẳng 3 x  S � dx  x 1     3x  ln x   � � 3 dx � � � � x 1�   ln  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x    , trục hoành hai đường thẳng x  , x  A B C D Hướng dẫn giải 2 x  x  dx  x    dx  � Ta có S  � 1 Vì phương trình x  x  khơng có nghiệm  1;  nên S  2 x �  x   dx  Chọn A Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết Trang Ví dụ 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  3 , x  (như hình vẽ bên) Đặt a  3 f  x  dx �f  x  dx , b  � Mệnh đề sau đúng? A S  a  b B S  a  b C S  a  b D S  b  a Hướng dẫn giải Ta có S  2 3 3 f  x  dx   a  b �f  x  dx  �f  x  dx   �f  x  dx  � Chọn D Ví dụ 3: Gọi S diện tích hình phẳng giới han đường y  ln x , y  , x  , x  e Mệnh x2 đề đúng? e e ln x A S   �2 dx x e ln x B S  �2 dx x �ln x � C S  � � �dx x � 1� e �ln x � D S   � � �dx x � 1� Hướng dẫn giải Diện tích hình phẳng giới han đường y  e ln x , y  , x  , x  e là: x2 e ln x ln x ln x S  � dx  �2 dx  , x � 1; e  x x x 1 Chọn B Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ln x , y  đường thẳng x  B e  A e D e  C 2e Hướng dẫn giải Ta có ln x  � x  e Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ln x , y  đường thẳng x  là: e S� ln x  dx  e  ln x  1 dx �  x  ln x  1 e e e 1 � dx   x  e2 Chọn D Ví dụ 5*: Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x , trục hoành đường thẳng x  1 , x  Với k � 1;1 , đường thẳng x  k chia hình phẳng  H  thành hai hình phẳng có diện tích S1 S (như hình vẽ bên) Giá trị k để S1  S Trang A ln  � 1� e  � B ln � � e� � 1� e  � ln C ln � � e� D ln Hướng dẫn giải Vì e x  với x �� nên ta có k S1  � e x dx  e x 1 k 1  e k  e 1 S  � e x dx  e x k S1  S � e k  e 1  e  e k � 2e k  e   e  ek k 1� 1� � ek  � e � e 2� e� 1� 1� � 1� � k  ln � e  � ln � e  � ln 2� e� � e� Chọn C x Chú ý: a  b � x  log a b Ví dụ 6*: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  2;6 hình vẽ bên Biết miền A, B, x  có diện tích 32; 2; Tích phân � �f  x    1� �dx � 2 A 45 B 41 C 37 D 41 Hướng dẫn giải Ta có 2 2 2 � f  x   dx  �f  x    1� �dx  � � Xét I1  �f  x   dx 2 Đặt t  x  � dt  2dx � dx  dt Đổi cận: x  2 � t  2 ; x  � t  f  t  dt Suy I1  � 2 Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trực hoành  2  x1  x2   Ta có Trang �1 I1  �� f  t  df  � f  t  df  � f  t  df 2�  x x � x  x � �  S A  S B  S C  � � 33  32   3  2 Vậy � �f  x    1� �dx  I � 4 2 33 41 4 2 Chọn D  x  Ví dụ 7*: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f � hình bên Đặt g  x   f  x    x  1 Mệnh đề đúng? A g  3  g  3  g  1 B g  3  g  3  g  1 C g  1  g  3   g  3 D g  1  g    g  3 Hướng dẫn giải  x  f �  x    x  1 Ta có g � g�  x  � f �  x   x  Đây phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f �  x  đường thẳng d: y  x  x 1 �  x  � f �  x  x 1 � � Dựa vào đồ thị ta thấy: g � x  �3 � Bảng biến thiên: x g�  x g  x � – –3 + � – + � g  1 g  3 � g  3 Suy g  3  g  1 g  3  g  1  x  , đường thẳng d: Gọi S1 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f � y  x  đoạn  3;1  1;3 ta có:  x  �x  nên S1  +) Trên đoạn  3;1 ta có f � �g � x  dx  3 g�  x  dx   x  �x  nên S2  � +) Trên đoạn  1;3 ta có f � 1 �  x    x  1 � �f � �dx � 3 �  x  1 f �  x � � �dx 2� Trang Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S nên ta có: g  x  g  x 3 � g  1  g  3   g  3  g  1 � g  3  g  3 Vậy g  1  g  3  g  3 Chọn D Lưu ý:  x  đường thẳng d: y  x  nghiệm - Hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f �  x  phương trình g � - Lập bảng biến thịên ta thấy g  1 lớn g  �3 Ta cần so sánh g  3 g  3 - So sánh diện tích dựa vào đồ thị Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Phương pháp giải �  C1  : y  f  x  �  C2  : y  g  x  � Xét hình phẳng  H  : � �x  a �x  b  a  b  � Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo hình vẽ sau Khi diện tích hình phẳng  H  là: b S� f  x   g  x  dx a Trong loại này, thiếu cận a b ta tìm cách giải phương trình f  x   g  x  Lưu ý: Kĩ phá dấu giá trị tuyệt đối, quan Hướng dẫn giải sát hình vẽ để xác định diện tích Từ đồ thị ta thấy  x  �x  x  x � 1; 2 Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo � hình vẽ S  �   x  3   x  x  1 � � �dx 1   2 x � 1  x   dx �2 �  � x3  x  x � �3 �1 Trang  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x , y  x Tính S A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x  �2 � x3  3x  x � x3  x  � � x0 � Vậy S   x3  x  dx  � 2 x �  x  dx    Chọn B Ví dụ 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my  x , mx  y (với m  ) Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải Vì m  nên từ my  x ta suy y  x2 �0 ; m Từ mx  y nên x �0 y  mx Xét phương trình x0 � x2  mx � x  m3 x � � xm m � Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: m S  �mx  m � x2 x2 � dx  � mx  dx � � m m � 0� �2 m x3 �m 2 � x x  � �3 �  3m  3m m � �0 Yêu cầu toán S  � m  � m  � m  (vì m  ) Chọn C Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm y  x y  2x S  a  b ln với a, x 1 b số hữu tỷ Giá trị a  b A  B 2 C  D Trang Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C1  : y  x  C2  : y  2x x 1 x0 � 2x � x   x �1 � x  x  x  � �x  1 x 1 � x2 � Diện tích hình phẳng cần tìm là: 0 � x �0 �2 x � 2� 2� S� dx  � 2 x � dx  � x  ln x   �   ln � x � � x 1 �1 � 1 � x  � � 1 � Suy a  b  2 Vậy a  b   Chọn A Ví dụ 4*: Cho  H  hình phẳng giới hạn parabol y  x , cung trịn có phương trình y   x (với �x �2 ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H  A 4  12 B 4  C 4   D  2 Hướng dẫn giải Trang 10 �2 �1 �1 � � 15 �   � ln  x  1  ln  � �   � ln  �  � � x  �1 �2 �2 15 � � � 15 � Suy a  15 , b   15 Vậy a.b  2 Chọn D Ví dụ 3: Cho parabol  P  : y  16  x hai điểm A  a;  , B  a;0  ; a   Gọi  H  hình phẳng giới hạn  P  trục Ox,  H1  hình chữ nhật ABCD với C, D hai điểm thuộc  P  Gọi V thể tích hình trịn xoay có xoay  H  quanh Oy V1 thể tích hình trịn xoay có xoay  H1  quanh Oy Giá trị lớn tỉ số A B V1 V C D Hướng dẫn giải 16  16  y  dy  128 Ta có V  Vy   � Vì D � P  nên D  a;16  a  Suy AD  16  a Do xoay  H1  quanh Oy ta hình trụ trịn có bán kính R  a chiều cao h  16  a Suy 2 V1   a  16  a     16a  a   x     32 x  x3  Xét hàm số f  x     16a  a   0;  ta thấy: f � x0 � � f�  x   � �x  2 � x  2 � Trang 33   f  x   f 2  64 nên max  0;4 V � 64 �  a  2 Vậy max �1 � �V � 128 Chọn C x Ví dụ 4: Kí-hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox: B V    2e   A V   2e C V  e2  D V   e    Hướng dẫn giải x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành  x  1 e  � x  Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox là: 1 � V �  x  1 e x �  x  1 e2 x dx � �dx  4 � 2 � du   x  1 dx � u   x  1 � � 2x �� e Đặt � v dv  e x dx � � � Suy V  4  x  1 e2 x 1 0  4 �  x  1 e x dx  2  4 �  x  1 e x dx  x  1 e x dx Gọi V1  4 � du  dx � u  x 1 � � 2x �� e Đặt � dv  e x dx � v � � e2 x Suy V1  4  x  1 1  2 � e dx  2   e 2x 0 2x  2   e2    3   e V  2  V1  2   3   e2     e  5 Chọn D Ví dụ 5: Cho hình phẳng  H  giới hạn hai đồ thị  C1  : y  x  C2  : y  x Quay hình phẳng H xung quanh trục Ox ta thu khối trịn xoay tích A V  88 B V  9 70 C V  4 D V  6 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm  C1   C2  nghiệm hệ phương trình Trang 34 x y0 � �y  x �� �2 x  1; y  � �y  x Với x � 0;1 y  x � y  x   x2   x Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V   � �  x  x2  dx   dx 6 Chọn A Ghi nhớ: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hai hàm số  C1  : y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục đoạn  a; b  hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) Quay  H  xung quanh trục Ox ta thu khối tròn xoay b f  x   g  x  dx Khi đó, thể tích khối trịn xoay thu S  � a Ví dụ 6: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường  C1  : f  x   x   ,  C2  : g  x   sin x x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành  H  quay quanh trục hoành V  p , p � � Giá trị 24p A B C 24 D 12 Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  C1   C2  x    sin x � x    sin x   1  x    cos x �0 , x �� Xét hàm số h  x   x    sin x � h� Suy h  x  đồng biến � x   nghiệm phương trình  1 nên x   nghiệm phương trình  1 Trang 35 Do thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  quanh trục hoành thể tích khối nón khỉ quay tam giác vng OAB quanh trục hồnh 1 1 V   O B OA       � p  3 3 Vậy 24 p  24  Chọn A Lưu ý: Vì đoạn  0;   y  x   �0 y  sin x �0 nên áp dụng công thức b V � f  x   g  x  dx Ở ta áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón V   r h a Ví dụ 7: Để chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An làm mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng khối trịn  cm , xoay Mặt cắt qua trục mũ hình vẽ bên Biết OO� OA  10 cm , OB  20 cm , đường cong AB phần parabol có đỉnh điểm A Thể tích mũ A 2750 cm3 B 2500 cm3 C 2050 cm3 D 2250 cm3 Hướng dẫn giải Ta gọi: +) Thể tích mũ V +) Thể tích khối trụ có bán kính đáy OA  10 cm cm đường cao OO '  cm V1 +) Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường cong AB hai trục tọa độ quanh trục Oy V2 Khi V1  5.10   500 V  V1  V2 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trang 36 Do parabol có đỉnh A nên có phương trình dạng  P  : y  a  x  10  Vì  P  qua điểm B  0; 20  nên a  Do  P  : y  20  x  10  Từ suy x  10  y (do x  10 )  10  y Suy V2   � Vậy V  V1  V2   8000 � 1000 � dy   � 3000    cm3  � � � 1000 2500   500    cm3  3 Chọn B Ví dụ 8: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm số y  x M hình vẽ bên dưới: Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi A a  B a  2 C a  D a  Hướng dẫn giải x2 xdx   Ta có V   �  8 Mà V  2V1 � V1  4 Gọi K hình chiếu M trục Ox Khi OK  a , KH   a , MK  a Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta hai khối nón sinh tam giác OMK, MHK nên thể tích khối trịn xoay 1 4 a V1   MK OK   MK KH  3 Từ V1  4 suy 4 a  4 � a  Chọn D Trang 37 Bài tập tự luyện Câu 1: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y   x , y  A V  2 B V  71 82 C V  512 15 D V   Câu 2: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y  tan x , y  , x  , x  A V   B V   2 C V   D V   ln Câu 3: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , x  , x  A V   B V  9 C V  18, D V  93 Câu 4: Kí hiệu V1 thể tích hình cầu bán kính đơn vị V2 thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  x  , y   x quanh Ox Khẳng định sau đúng? A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  2V2  , OO� R Trên đường tròn  O; R  Câu 5: Cho khối trụ có hai đáy hai hình trịn  O; R   O; R� lấy hai điểm A, B cho AB  R Mặt phẳng  P  qua A, B cắt đoạn OO�và tạo với đáy góc 60°  P  cắt khối trụ theo thiết diện phần hình elip Diện tích thiết diện �4 3�2  A � �R �3 � � � �2 3�2  B � �R �3 � � � �2 3�2 C � �3  � �R � � �4 �2 D � �3  � �R � � Câu 6: Một cốc hình trụ có chiều cao 10cm bán kính mặt cm đựng lượng nước Khi nghiêng cốc nước cho nước chạm vào miệng cốc đáy mực nước qua tâm đáy Thể tích nước cốc A 30 cm3 B 30 cm3 C 60 cm3 D 15 cm3 Câu 7: Gọi D hình phẳng giới hạn đường y  x , x y   , x  x  (phần hình phẳng bên phải trục Oy), tham khảo hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox Trang 38 A 512  15 B 196  15 C 272  15 D 112  15 Câu 8: Cho hình  H  giới hạn trục hoành, Parabol đường thẳng tiếp xúc parabol điểm A  2;  (như hình vẽ bên) Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình  H  quay quanh trục Ox A 32 B 16 C 2 D 22 Câu 9: Cho hình  H  hình phẳng giới hạn đường cong x  y đường thẳng x  a với a  Gọi V1 V2 thể tích vật thể tạo trịn xoay sinh quay hình  H  quanh trục hồnh trục tung Kí hiệu V giá trị lớn V1   V2 đạt a  a0  Hệ thức sau đúng? A 5V  2 a0 B 5V  4 a0 C 4V  5 a0 D 2V  5 a0 Câu 10: Xét  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   a sin x  b cos x (với a, b số thực dương), trục hoành, trục tung đường thẳng x   Nếu vật thể tròn xoay tạo thành quay  H  5    2a  5b quanh trục Ox tích f � A B 11 C D 10 x2 x2 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi  H1  hình phẳng giới hạn đường y  , y , 4 x  4 , x   H  hình gồm tất điểm  x; y  thỏa mãn x  y �16 , x   y   �4 , x   y   �4 Trang 39 Cho  H1  ,  H  quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1 , V2 Đẳng thức sau đúng? A V1  V2 B V1  V2 C V1  2V2 D V1  V2 Câu 12: Cho  H  hình phẳng giới hạn parabol y  x đường tròn x  y  (phần tơ đậm hình) Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay  H  quanh trục hoành A 5 B 44 15 C  D 22 15 �    Gọi Câu 13: Cho hàm số f  x  thỏa mãn �  x �  x   2020 x , x ��và f    f � �f � � f  x  f � H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  , x  Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay  H  quanh trục Ox �8098 � A V  � � �3 � Câu 14: Cho hình B V  4049 H C V  8098  D V  8098  hình phẳng giới hạn bới parabol y  2 x , cung trịn có phương trình y   x (với �x �3 ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  quanh trục Ox A 164 15 B 164 15 Trang 40 C 163 15 D 163 15 Câu 15: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình trịn  C  :  x     y  3 �1 2 quanh trục Ox A V  2 D V  6 C V   B V  6 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b f  x  dx A V   � a b f  x  dx B V  2 � a b f  x  dx C V   � a b f  x  dx D V   � a Câu 17: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 0  x  3 dx B V  �  x2  3 dx A V   � 2  x  3 dx C V   � 2  x  3 dx D V  � Câu 18: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích A �x  1dx B � x  1 dx D  �  x  1 dx 1 C  �x  1dx 0 Câu 19: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  , x   Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V     1 B V  2    1 D V  2 C V  2 Câu 20: Cho hình phẳng D giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 0  x  3 dx B V  �  x2  3 dx A V   � 2  x  3 dx C V   � 2  x  3 dx D V  � Câu 21: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e x , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích  e2 A V  B V    e  1 e2  C V  D V    e  1 Câu 22: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối trịn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích A V  4 B V  2 C V  D V  Câu 23: Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường Trang 41 y  x  x , y  , x  , x  quanh trục hồnh có giá trị A 8 15 B 7 C 15 D 8 Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn đường y   sin x  cos x , y  , x   , x   Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Ox 7 A 7 B 3 C 3 D Câu 25: Cho hình phẳng D giới hạn đường y  x ln x , y  , x  , x  e Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Ox A 32 B 28  be   Giá trị a  b  a C 34 D 20 Câu 26: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  ln x , trục hoành đường thẳng x  e Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A V    e  1 B V    e   C V   e D V    e  1 Câu 27: Thể tích vật trịn xoay quay hình phẳng  H  xác định đường y  x  x , y  , x  x  quanh trục Ox A 81 35 B 81 35 C 71 35 Câu 28: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  D 71 35 x 3 , trục hồnh trục tung Khối trịn x 1 xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V    a  b ln  với a, b số nguyên Giá trị T  a  b A T  B T  C T  10 D T  1 Câu 29: Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho hình phẳng giới hạn đường elip có phương trình x2 y   quay xung quanh trục Ox A 8 B 12 C 16 D 6 Câu 30: Vật thể paraboloid trịn xoay hình vẽ bên có đáy (phần gạch chéo) diện tích B  chiều cao h  (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) Thể tích vật thể A V   B V  Trang 42 C V   D V    x  4 ex Câu 31: Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  giới hạn đường cong y  xe x  a  b ln  e  1 � , trục hoành hai đường thẳng x  , x  quanh trục hồnh tích V   � � �, a, b số nguyên Mệnh đề đúng? A a  b  B a  2b  3 C a  b  D 2a  b  13 Câu 32: Ký hiệu D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x   x e x , trục hồnh, đường thẳng x  Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay D quanh trục hoành A V  e  B V    e  1 C V   e  D V    e  1 Câu 33: Trong mặt phẳng, cho đường elip  E  có độ dài trục lớn AA�  10 , độ dài trục nhỏ BB�  , đường trịn tâm O có đường kính BB�(như hình vẽ bên) Cho miền hình hình phẳng giới hạn đường B A� A elip đường trịn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh trục AA� B� Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A V  36 B V  60 C V  24 D V  20 Câu 34: Một hình cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai phần hai mặt phẳng song song vng góc với đường kính để làm mặt xung quanh lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V mà lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu dm A V  368  dm3 B V  192 dm3 C V  736  dm3 D V  288 dm3 Câu 35: Cho hai đường tròn  O1 ,5   O2 ,3 cắt hai A điểm A, B cho AB đường kính đường trịn  O2 ,3 (D) Gọi D hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay D quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành O1 O2 C B Trang 43 A V  36 B V  68 14 D V  40 C V  Câu 36: Một bình cắm hoa dạng khối trịn xoay với đáy bình miệng bình đường trịn có đường kính Mặt xung quanh bình phần mặt trịn xoay quay đường cong y  x  quay quanh trục Ox Thể tích bình cắm hoa A 8 B 15 C 14 D 14 Câu 37: Gọi V thể tích khối trịn xoay giới hạn đồ thị hàm số y  x a y  a   a  x ,  a  quay quanh trục Ox Giá trị a để V đạt giá trị lớn B a  A a  C a  D a  Câu 38: Cho hình H giới hạn đường y  x x  y  (phần gạch sọc hình) Khối trịn xoay quay H xung quanh trục Ox tích bao nhiêu? A  2   �32 �  C � �  8� � � � B D  4 13   4    Câu 39: Một trống trường có bán kính đáy 30 cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có diện tích 1600  cm  , chiều dài trống m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường parabol Hỏi thể tích trống bao nhiêu? A 425,2 dm3 B 425,2 cm3 C 425,2 cm3 D 425,2 m3 Câu 40: Một bình hoa dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   sin x  trục Ox (tham khảo hình vẽ bên) Biết đáy bình hoa hình trịn có bán kính dm, miệng bình hoa đường trịn bán kính 1,5 dm Bỏ qua độ dày bình hoa, thể tích bình hoa gần với giá trị giá trị sau đây? A 100 dm3 B 104 dm3 C 102 dm3 D 103 dm3 Trang 44 Câu 41: Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất, Xét Lavabo (bồn rửa) làm sứ đặc hình dạng nửa khối elip trịn xoay có thơng số kĩ thuật mặt Lavabo là: dài X rộng: 660 �380 mm(tham khảo hình vẽ bên) Biết Lavabo có độ dày 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị giá trị sau: A 18,66 dm3 B 18,76 dm3 C 18,86 dm3 D 18,96 dm3 Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể  H  giới hạn hai mặt phẳng có phương  a  b  Gọi S  x  trình x  a x  b diện tích thiết diện  H  bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x với a �x �b Giả sử hàm số y  S  x  liên tục đoạn  a; b  Khi đó, thể tích V vật thể  H  cho công thức: b b S  x � S  x  dx � A V   � � �dx B V   � a a b S  x � � C V  � � �dx a b S  x  dx D V  � a Câu 43: Cho  T  vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x  Tính thể tích V  T  biết cắt  T  mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ X  �x �1 , ta thiết diện tam giác có cạnh  x A V  B V  3  C V  3 D V   Câu 44: Cho vật thể  T  giới hạn hai mặt phẳng x  ; x  cắt vật thể  T  mặt phẳng vng x góc với trục Ox x  �x �2  ta thu thiết diện hình vng có cạnh  x  1 e A   13e  1 B 13e  C 2e D 2 e Câu 45: Ta vẽ hai nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình �  30� trịn đường kính AB có diện tích 8 BAC Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình  H  (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB Trang 45 A 220  B 98  C 224  D 4 Câu 46: Một đồ chơi thiết kế gồm hai mặt cầu  S1  ,  S2  có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1  thuộc  S  ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo  S1   S  A  R C 5 R 12 B  R3 D 2 R Trang 46 ĐÁP ÁN A ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng Tính diện tích hình phẳng 1-B 11 - D 21 - A -A 12 - A 22 -A 3-A 13 - C 23 - C 4-D 14 - D 24 - A 5-D 15 - D 25 - B 6-A 16 - B 26 - B 7-B 17 - A 27 - B 8-A 18 - B 28 - A 9-B 19 - B 10 - C 20 - A 1-B -A 3-D 4-A -A 6-D 7-B 11 - D 12 - D 13 - C 14 - C 15 - D 16 - B 17 - D B THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 8-D 18 - A 9-B 19 - D 10 - A 20 - C 8-B 18 - D 28 - D 38 - D -A 19 - B 29 - C 39 - A 10 - C 20 - C 30 - B 40 - D Dạng 2: Các toán thực tế ứng dựng diện tích hình phẳng 1-C 11 - A 21 - D 31 - D 41 - B 2-D 12 - B 22 - A 32 - D 42 - D 3-D 13 - C 23 - A 33 - C 43 - C 4-B 14 - A 24 - A 34 - C 44 - B 5-D 15 - B 25 - A 35 - D 45 - B 6-C 16 - A 26 - B 36 - B 46 - C 7-B 17 - C 27 - A 37 - B Trang 47 ... 27 35 0000 đồng/1 m I cách BC khoảng 5m Số tiền chi phí ơng Bình bỏ để xây dựng chuồng bò (làm tròn đến hàng nghìn) bao nhiêu? A 633 3000đồng B 7 533 000đồng C 6 533 000đồng D 733 3000đồng B THỂ TÍCH... ứng dựng diện tích hình phẳng 1-C 11 - A 21 - D 31 - D 41 - B 2-D 12 - B 22 - A 32 - D 42 - D 3- D 13 - C 23 - A 33 - C 43 - C 4-B 14 - A 24 - A 34 - C 44 - B 5-D 15 - B 25 - A 35 - D 45 - B 6-C... vẽ) Tính thể tích V mà lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu dm A V  36 8  dm3 B V  192 dm3 C V  736  dm3 D V  288 dm3 Câu 35 : Cho hai đường tròn  O1 ,5   O2 ,3? ?? cắt hai A