Bài 2 TÍCH PHÂN ÔN THI ĐH

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa tính chất tích phân + Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm bảng nguyên hàm để áp dụng tính tích phân + Nắm vững tính chất tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ quy tắc đạo hàm hàm số hợp + Nắm vững ý nghĩa vật lí đạo hàm, từ dó giải tốn thực tế sử dụng tích phân  Kĩ + Hiểu rõ định nghĩa tính chất tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tính tích phân + Vận dụng tích phân vào tốn thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] , với a < b Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) đoạn [ a; b] giá trị F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân Kí hiệu b a a ∫ f ( x ) dx = F ( x ) hàm hàm số f ( x ) = 3x nên tích phân ∫ f ( x ) dx = F ( x ) = F ( 1) − F ( ) = ( 13 + C ) − ( 03 + C ) = hàm số f ( x ) đoạn [ a; b ] b Chẳng hạn: F ( x ) = x + C nguyên Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc = F ( b ) − F ( a ) (1) vào số C Cơng thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Trong tính tốn, ta thường chọn C = Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y = f ( x ) hàm số liên tục không âm Chẳng hạn: Hàm số f ( x ) = x + x + có đồ thị ( C ) f ( x ) = ( x + 1) ≥ , với ∀x ∈ ¡ đoạn [ a; b ] Khi đó, tích phân b ∫ f ( x ) dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = f ( x ) , trục hoành Ox hai đường thẳng x = a, x = b, với a < b Diện tích “tam giác cong” giới hạn ( C ) , trục Ox hai đường thẳng x = −1 x = 1 S = ∫ f ( x ) dx = −1 b S = ∫ f ( x ) dx a ∫( x −1 + x + 1) dx  x3 1 =  + x2 + x ÷ =   −1 Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x ) g ( x ) hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng Trang đoạn a, b, c ∈ K , đó: a a Nếu b = a ∫ f ( x ) dx = Chẳng hạn: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có a b Nếu f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] đạo hàm đoạn ta có: [ −1; 2] thỏa mãn f ( −1) = f ( ) = −1 b ∫ b f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( b ) − f ( a ) Khi a a ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) −1 −1 = f ( ) − f ( −1) = −9 Lưu ý: Từ ta có b f ( b ) = f ( a ) + ∫ f ′ ( x ) dx a b f ( a ) = f ( b ) − ∫ f ′ ( x ) dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a ∫ k f ( x ) + h.g ( x )  dx = k ∫ f ( x ) dx + h.∫ g ( x ) dx Với k , h ∈ ¡ d Tính chất trung cận b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , với c ∈ ( a; b ) e Đảo cận tích phân a ∫ b b f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx a f Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b ∫ f ( x ) dx ≥ a b ∫ f ( x ) dx = f ( x ) = a g Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] b ∫ a b f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx a f ( x ) M = max f ( x ) h Nếu m = [ a ;b ] [ a ;b ] Trang b m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b b b b a a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( y ) dy = II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx , a ta phân tích f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ′ ( x ) ta thực phép đổi biến số Lưu ý: Phương pháp đổi biến số tích phân giống đổi biến số Phương pháp: nguyên hàm, thêm bước + Đặt u = u ( x ) , suy du = u′ ( x ) dx đổi cận + Đổi cận: x u a u ( a) b u( b) a u( a) + Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ b u ( b) g ( u ) du = G ( u ) u( b) u( a ) , với G ( u ) nguyên hàm g ( u ) Đổi biến dạng Dấu hiệu Cách đặt  π π a2 − x2 x = a sin t ; t ∈  − ;   2 a  −π π  x2 − a2 ; t ∈  ;  \ { 0} x=  2 sin t  π π a2 + x2 x = a tan t ; t ∈  − ; ÷  2  π a+x x = a.cos 2t ; t ∈  0;   2 a−x  π a−x x = a.cos 2t ; t ∈ 0; ÷  2 a+x  π ( x − a) ( b − x) x = a + ( b − a ) sin t ; t ∈  0;   2 Phương pháp tích phân phần Trang Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí b Bài tốn: Tính tích phân I = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx a b cho ta dễ dàng tìm v tích phân Hướng dẫn giải a u = u ( x ) du = u ′ ( x ) dx ⇒ Đặt  dv = v′ ( x ) dx v = v ( x ) Khi I = ( u.v ) ∫ vdu b dễ tính ∫ udv a b b a − ∫ v.du (cơng thức tích phân a phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f ( x ) liên tục [ − a; a ] Khi a Đặc biệt ∫ −a a f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x )  dx (1) + Nếu f ( x ) hàm số lẻ ta có a ∫ f ( x ) dx = (1.1) −a + Nếu f ( x ) hàm số chẵn ta có a f ( x) dx = f ( x ) dx ∫ 1+ bx ∫0 −a a a a −a ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx ( < b ≠ 1) Nếu f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] (1.2) (1.3) b ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx Hệ quả: Hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] , đó: a π π 0 ∫ f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx Nếu f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] f ( a + b − x ) = f ( x ) b b a+b ∫a xf ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa Cho hàm số liên tục đoạn , với Nếu nguyên hàm hàm số đoạn giá trị gọi tích phân hàm số đoạn Kí hiệu Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số hàm số liên tục khơng âm đoạn Khi đó, tích phân diện tích hình phẳng giới hạn đường cong , trục hồnh hai đường thẳng Tính chất tích phân Cho hàm số hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn , ta có tính chất sau ;; , với , với ; ; ; ; Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn [ 1; 2] , f ( 1) = f ( 2) = Tích phân I = ∫ f ′ ( x ) dx Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân A B C D Hướng dẫn giải 2 1 I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( 1) = − = Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị ∫ dx A B C D C −1 D Hướng dẫn giải Ta có ∫ dx = x = − = Chọn A π Ví dụ 2: Giá trị sin xdx ∫ A B π Hướng dẫn giải π π 0 Ta có sin xdx = − cos x = ∫ Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) = x có nguyên hàm F ( x ) Khẳng định sau đúng? A F ( ) − F ( ) = 16 B F ( ) − F ( ) = C F ( ) − F ( ) = D F ( ) − F ( ) = Hướng dẫn giải Trang Ta có ∫ x dx = x4 = = F ( 2) − F ( 0) Chọn D Ví dụ 4: Giá trị I = ∫ A I = ln − 1 dx 2x −1 C I = ln + B I = ln D I = ln − Hướng dẫn giải I =∫ = 1 dx = ln x − 2x −1 2 1 ( ln − ln1) = ln = ln 2 Chọn B Ví dụ 5: Cho ∫ f ( x ) dx = A 1 0 ∫ g ( x ) dx = Giá trị I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx B C D 12 Hướng dẫn giải 1 0 I = ∫ f ( x ) dx + 2∫ g ( x ) dx = 12 Chọn D Ví dụ 6: Cho ∫ f ( x ) dx = ∫ A f ( x ) dx = Giá trị I = ∫ f ( x ) dx B D −2 C Hướng dẫn giải 5 1 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + ( −1) = Chọn A Ví dụ 7: Cho ∫ −1 A I = 17 f ( x ) dx = 2, 2 −1 −1 ∫ g ( x ) dx = −1 Khi I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x ) dx B I = 17 C I = 15 D I = Hướng dẫn giải x2 Ta có I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x ) dx = −1 −1 2 −1 −1 + ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx Trang = 17 + 2.2 − ( −1) = 2 Chọn B Ví dụ 8: Cho π π 0 ∫ f ( x ) dx = Giá trị I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx bao nhiêu? A I = B I = C I = D I = Hướng dẫn giải π π π 0 I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ sin xdx = − cos x π = Chọn D Ví dụ 9: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = B I = − A I = ln x Giá trị F ( e ) − F ( 1) x C I = D I = Hướng dẫn giải e e ln x ln x dx = ∫ ln xd ( ln x ) = x 1 Ta có F ( e ) − F ( 1) = ∫ e 1 = Chọn D Ví dụ 10: Tích phân I = ∫ A I = ln dx x + 3x + 2 B I = ln C I = ln D I = ln Hướng dẫn giải Ta có ( x + ) − ( x + 1) = − 1 = x + 3x + ( x + 1) ( x + ) x +1 x + 2 Suy I = ∫ 1 dx − ∫ dx = ( ln x + − ln x + ) x +1 x+2 = ln − ln Chọn A π Ví dụ 11: Tích phân I = ∫ cos x sin xdx A I = B I = C I = D I = −1 Hướng dẫn giải π π 1 1  Ta có I = − ∫ cos xd ( cos x ) = −  cos x ÷ = − + = 4 4 0 Chọn B Trang Ta có ( cos x ) ′ = − sin x nên sin xdx = − d ( cos x ) Ví dụ 12: Biết tích phân I = ∫ ( x + 1) dx = a + b + c , với a, b, c ∈ ¢ Giá trị biểu thức x + x x +1 P = a + b + c A P = B P = C P = D P = Hướng dẫn giải Ta có I =∫ x + − x ≠ 0, ∀x ∈ [ 1; 2] nên 2 x +1 − x 1 dx = ∫ dx − ∫ dx = x − x + x x + x x +1 1 ( ) = − − Suy a = 4, b = c = −2 nên P = a + b + c = Chọn B Nhân liên hợp x + − x Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) A f ( 1) = 3 B f ( 1) = 2 C f ( 1) = − D f ( 1) = Hướng dẫn giải Từ f ′ ( x ) = x  f ( x )  (1), suy f ′ ( x ) ≥ với x ∈ [ 1; 2] Suy f ( x ) hàm không giảm đoạn [ 1; 2] nên f ( x ) ≤ f ( ) < , ∀x ∈ [ 1; 2] f ′( x) = x, ∀x ∈ [ 1; ] (2) Chia vế hệ thức (1) cho  f ( x )  ta  f ( x )  Lấy tích phân vế đoạn [ 1; 2] hệ thức (2), ta f ′( x)  −1  dx = ∫1  f ( x )  ∫1 xdx ⇔  f ( x )      Do f ( ) = −  x2  1 = ÷ ⇔ − = f ( 1) f ( )  21 nên suy f ( 1) = − 3 Chọn C Chú ý đề cho f ( ) , yêu cầu tính f ( 1) , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí 1  Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \   thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( ) = 1, f ( 1) = −2 Khi 2x −1 2 f ( −1) + f ( 3) Trang 10 1 −1 A ∫ g ( x ) dx = −2 ∫ g ( x ) dx C B 1 ∫ g ( x ) dx = 2∫ g ( x ) dx −1 ∫ g ( x ) dx = −1 D ∫ g ( x ) dx = 0 Câu 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ tích phân π ∫ x2 f ( x ) f ( tan x ) dx = ∫ x + dx = Giá trị 1 tích phân I = ∫ f ( x ) dx A B C D Câu 5: Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục, có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ′ ( ) f ′ ( ) ≠ g ( x ) f ' ( x ) = x ( x − ) e x Giá trị giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx A −4 B e − D − e C Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị dương [ 0;1] Biết f ( x ) f ( − x ) = với ∀x ∈ [ 0;1] dx ta kết 1+ f ( x) Giá trị tích phân I = ∫ A B C D Câu 7: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa f ( x ) + f ( − x ) = − x Giá trị ∫ f ( x ) dx A π B π C π 20 D π 16 Câu 8: Xét hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện x f ( x ) + f ( − x ) = − x Tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = π B I = π C I = π 20 Câu 9: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = D I = π 16 + x2 Giá trị I = ∫ f ( x ) dx −2 A I = − π 20 B I = π 20 C I = − π 10 D I = π 10 Trang 56 Câu 10: Cho hàm f ( x) số liên f ′ ( x ) x + = x f ( x ) + Giá trị f A tục thỏa mãn điều f ( x ) > −1, f ( ) = kiện ( ) B C D Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 4] , đồng biến đoạn [ 1; 4] thỏa mãn đẳng thức x + x f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [ 1; 4] Biết f ( 1) = , giá trị I = ∫ f ( x ) dx 1186 45 A I = B I = 1174 45 C I = 1222 45 D I = 1201 45 Câu 12: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ ¡ f ( ) = Giá trị lớn f ( 1) bao nhiêu? A 2e − e e −1 e B C e − D 2e − Câu 13: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục khác đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ′ ( ) = −1  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) Đặt T = f ( 1) − f ( ) , khẳng định sau đúng? A −2 ≤ T < −1 B −1 ≤ T < C ≤ T < Câu 14: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục nhận giá trị dương D ≤ T < ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f ( ) < B < f ( ) < C < f ( ) < Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( 0; +∞ ) D < f ( ) < f ( 1) = −2 ln thỏa mãn điều kiện x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x, với x ∈ ( 0; +∞ ) Giá trị f ( ) = a + b ln 3, vi a, b Ô Giỏ tr ca a + b A 25 B C D 13 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , f ( x ) f ′ ( x ) nhận giá trị dương đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = 2, ∫  f ( x )  1 ∫0  f ′ ( x )  f ( x )  + 1dx = 2∫0 f ′ ( x ) f ( x ) dx Giá trị dx A 15 15 B C 17 D 19 Câu 17: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = 1 ∫0 x f ( x ) dx = Tích phân ∫ f ( x ) dx Trang 57 A B C D  π Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;   4 π π π 0 π  f  ÷ = Biết 4 π π ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ′ ( x ) sin xdx = − Giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = A I = 1 D I = C I = Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm x ∈ ( 0; +∞ ) đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( x ) = x ( sin x + f ′ ( x ) ) + cos x A ( 6;7 ) 3π ∫ f ( x ) sin xdx = −4 Khi f ( π ) nằm khoảng nào? π B ( 5;6 ) C ( 12;13) D ( 11;12 ) Câu 20: Cho hàm số f ( x ) xác định có đạo hàm liên tục [ 0; π ] thỏa mãn π ∫ f ( x ) cos xdx = A, π  f  ÷ = 2 π ∫ ( f ′( x) ) A 4A 2A2 dx = , với A số Giá trị π B A C π ∫ f ( x ) dx theo A A π D π A Câu 21: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa f ( 1) = 0, ∫( π ∫ cos  2 A  x ÷ f ( x ) dx = Giá trị  π f ′ ( x ) ) dx = π2 ∫ f ( x ) dx B π C π D π π  π Câu 22: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 0;  thỏa mãn f ( ) = 0,  f ′ ( x )  dx = π  ∫  2 π π π ∫ sin x f ( x ) dx = Tích phân I = ∫ f ( x ) dx 0 A B π C D π  π Câu 23: Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục 0;  thỏa mãn  2 Trang 58 π  ∫  f ( x ) − 2 A π  − π Tích phân  f ( x ) sin  x − ÷ dx =   π B π ∫ f ( x ) dx C π D Câu 24: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục khoảng ( 0;1) f ( x ) ≠ , ∀x ∈ ( 0;1) Biết 1 f  ÷ = a, 2 π I=∫ π  3 f  ÷ ÷= b   x + xf ′ ( x ) = f ( x ) − 4, ∀x ∈ ( 0;1) Giá tích D I = 3a − b 4ab 3a + b 4ab B I = 3b + a 4ab C I = 3b − a 4ab Câu 25: Cho hàm số f ( x ) có đọa hàm dương, liên tục đoạn 1 1  3∫  f ′ ( x )  f ( x )  +  dx ≤ 2∫ 9  B f ′ ( x ) f ( x ) dx Giá trị tích phân [ 0;1] ∫  f ( x )  thỏa mãn f ( ) = dx C D Câu 26: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( f phân sin x.cos x + 2sin x dx theo a b f ( sin x ) A I = A trị ) x dx = Giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = Biết ∫ f ( x ) dx = 2 A π ∫ πx 3π f ′ ( x ) cos dx = Tích phân B π C ∫ f ( x ) dx π D π x  2020  + e ÷ Giá trị giá trị biểu thức Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) = 2020 ln  e   T = f ′ ( 1) + f ′ ( ) + + f ′ ( 2019 ) A T = 2019 B T = 1009 Câu 29: Giá trị tổng T = C T = 2021 D T = 1010 C2018 C1 C2 C3 C 2017 C 2018 − 2018 + 2018 − 2018 + − 2018 + 2018 2020 2021 Trang 59 A 4121202989 B 4121202990 C 4121202992 Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn D ∫ xf ( x ) dx = 0 4121202991 f ( x ) = Tích phân max [ 0;1] I = ∫ e x f ( x ) dx thuộc khoảng khoảng sau đây? 5  A  −∞; − ÷ 4  3  B  ; e − 1÷ 2   3 C  − ; ÷  2 D ( e − 1; +∞ ) π  π Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục 0;  thỏa mãn f  π ÷ = 3, f ( x ) dx = ∫0 cos x  4 4 π π 0 ∫ sin x.tan x f ( x )  dx = Tích phân ∫ sin x f ′ ( x ) dx A B 2+3 C 1+ D Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) biết f ( x ) > với x > −1 , f ( ) = f ( x ) = x + f ′ ( x ) với x > −1 Mệnh đề đúng? A < f ( 3) < B f ( 3) < C < f ( 3) < D f ( 3) > Câu 33: Cho hàm số f ( x ) có ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = x − x, ∀x ∈ [ 0;1] , f ( ) = f ′ ( ) = Giá trị T = f ( ) A 43 30 B 16 35 C 43 15 D 26 15 Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = ( x − 1) e x − x +1 + Giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta kết A I = e + B I = C I = D I = e + x Câu 35: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm [ 0; +∞ ) thỏa mãn ( x + ) f ( x ) + ( x + 1) f ′ ( x ) = e , với x > f ( ) = Giá trị f ( ) e A f ( ) = e B f ( ) = Câu 36: Cho hàm số y = f ( x) C f ( ) = có f ′( x) e2 D f ( ) = liên tục nửa khoảng e2 [ 0; +∞ ) thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = + 3.e −2 x Khi A e f ( 1) − f ( ) = 1 − e2 + 3 B e f ( 1) − f ( ) = 1 − e2 + Trang 60 C e3 f ( 1) − f ( ) = ( e + 3) e + − D e3 f ( 1) − f ( ) = ( e + 3) e + − f Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ′ ( x ) e ( x ) − x −1 − 2x = f ( ) = f ( x) Tích phân ∫ x f ( x ) dx A B 15 C 45 Câu 38: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục ¡ Biết D ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = Giá trị 21 f ( x) dx x +1 ∫3 −2 A B C Câu 39: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết e3 ∫ f ( ln x ) dx = , x D π ∫ f ( cos x ) sin xdx = Giá trị ∫ ( f ( x ) + x ) dx A 12 B 15 D −10 C 10 Câu 40: Hàm số f ( x ) liên tục ( 0; +∞ ) Biết tồn số a > để x ∫ a f ( t) dt = x − 6, t4 a ∀x > Giá trị tích phân ∫ f ( x ) dx A 21869 B 39364 D − C 4374 40 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , có đạo hàm đến cấp hai ¡ thỏa mãn f ( x )  ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) f ′′ ( x )  = e x , ∀x ∈ ¡ , biết f ( ) = Khi   5ln   25ln 2 − 5ln ÷ A  31 −   B  1 25ln 2 31 − − 5ln ÷ C  5  355ln   D  31 − ÷   ∫ f ( x ) dx 1 355ln   31 − ÷ 5  Câu 42: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = − Tích phân 30 , 30 ∫ f ( x ) dx Trang 61 A 11 12 B 11 C 30 D 11 30 Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 1 e2 − ∫0  f ′ ( x )  dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = Giá trị A x e B − e ∫ f ( x ) dx C e2 D e − x Câu 44: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] f ( − x ) + 2019 f ( x ) = , ∀x ∈ [ −1;1] Giá trị ∫ f ( x ) dx −1 A 2019 ln B 4040 ln C Câu 45: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ biết D ( e6 f ln x x ∫ ) dx = π 2018ln ∫ f ( cos x ) sin xdx = 2 Giá trị ∫ ( f ( x ) + ) dx A 10 Câu 46: B 16 Cho hàm số C y = f ( x) xác định D liên tục ¡ \ { 0} x f ( x ) + ( x − 1) f ( x ) = x f ′ ( x ) − với ∀x ∈ ¡ \ { 0} đồng thời f ( 1) = −2 Giá trị thỏa mãn: ∫ f ( x ) dx A − ln − 2 B − ln − C − ln − D − ln − 2 Câu 47: Cho hàm số f ( x ) liên tục dương ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′ ( x ) + ( x + ) f ( x ) = a a f ( ) = Giá trị tổng S = f ( ) + f ( 1) + f ( ) + + f ( 2018 ) = với a ∈ ¢ , b ∈ ¥ , tối giản Khi b b b − a A  2020 1009  + B 1011  2021 2020  C D 2018 Dạng 5: Một số tốn thực tế ứng dụng tích phân Phương pháp giải 5.1.1 Một vật chuyển động có phương trình vận Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần với tốc v ( t ) khoảng thời gian từ t = a đến vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) Quãng đường mà t = b ( a < b ) di chuyển quãng đường là: vật chuyển động từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại Trang 62 b S = ∫ v ( t ) dt a A 1028m B 1280m C 1308m D 1380m Hướng dẫn giải Khi vật dừng lại v ( t ) = 160 − 10t = ⇔ t = 16 16 16 0 Do S = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( 160 − 10t ) dt = ( 160t − 5t ) 16 = 1280 ( m ) Chọn B 5.1.2 Một vật chuyển động có phương trình gia Ví dụ 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc tốc a ( t ) vận tốc vật sau khoảng thời gian [ t1 ; t2 ] là: v( t) ( m / s ) , có gia tốc a ( t ) = v′ ( t ) = m / s2 ) ( 2t + Vận tốc ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn t2 v = ∫ a ( t ) dt t1 vị) A 4,6 m/s B 7,2 m/s C 1,5 m/s D 2,2 m/s Hướng dẫn giải Vận tốc ô tô sau 10 giây 10 v=∫ 3 dt = ln 2t + 2t + 10 = ln 21 ≈ 4, ( m / s ) Chọn A 5.1.4 Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ t1 đến t2 là: t2 Q = ∫ I ( t ) dt t1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 4300 m B 4300 m C 430 m D 430 m Hướng dẫn giải Trang 63 Hàm vận tốc v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( 3t + t ) dt = 3t t + + C Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc ⇒ v ( ) = 10 ⇒ C = 10 3t t + + 10 Ta v ( t ) = Sau 10 giây, quãng đường vật 10  3t t   t3 t4  10 4300 S = ∫ + + 10 ÷dt =  + + 10t ÷ = ( m) 12     Chọn A v ( t ) = ∫ a ( t ) dt Ví dụ 2: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có biểu thức cường độ π  i ( t ) = I cos  ωt − ÷ Biết i = q′ với q điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t = , điện lượng 2  chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến A π 2I0 ω B C 2I0 ω D π ω π I0 ω Hướng dẫn giải Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến π ω π ω π ω I π π  π 2I   Q = ∫ I ( t ) dt = ∫ I cos  ωt − ÷dt = sin  ωt − ÷ ω = 2 ω 2 ω   0 Chọn C Q ( t ) = ∫ I ( t ) dt Ví dụ 3: Gọi h ( t ) ( cm ) mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết h′ ( t ) = 13 t +8 lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0,01cm) A 2,67 cm B 2,66 cm C 2,65 cm D 2,68 cm Hướng dẫn giải Mức nước bồn sau bơm nước giây 6 13 3  t + 8dt =  ( t + ) t +   20  ∫ h′ ( t ) dt = ∫ ≈ 2, 66 ( cm ) Chọn B Trang 64 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) Tìm quãng đường S mà vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm vật dừng lại A S = 2560m B S = 1280m C S = 2480m D S = 3840m Câu 2: Một ô tô chuyển động nhanh dần với vận tốc v ( t ) = 7t ( m / s ) Đi ( s ) người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 ( m / s ) Quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng bao nhiêu? A.87,50 m B 94,00 m C 97,50 m D 96,25 m Câu 3: Một ô tô với vận tốc 60 km/h tăng tốc với gia tốc a ( t ) = + 6t ( km / h ) Qng đường tơ vịng 1h kể từ tăng tốc A 26 km B 62 km C 60 km D 63 km Câu 4: Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe phát có hàng rào chắn ngang đường phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 20 ( m / s ) , t thời gian tính từ lúc người lái đạp phanh Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào bao nhiêu? A m B m C m D m Câu 5: Cho hai chất điểm A B bắt đầu chuyển động trục Ox từ thời điểm t = Tại thời điểm t, vị trí chất điểm A cho x = f ( t ) = −6 + 2t − t vị trí chất điểm B cho x = g ( t ) = 4sin t Gọi t1 thời điểm t2 thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc Tính theo t1 t2 độ dài quãng đường mà chất điểm A di chuyển từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 A − ( t1 + t2 ) + C ( t2 − t1 ) − 2 ( t1 + t2 ) 2 ( t2 − t1 ) B + ( t1 + t2 ) − D ( t1 − t2 ) − 2 ( t1 + t2 ) 2 ( t1 − t2 ) Câu 6: Một tia lửa bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa cách mặt đất mét, biết gia tốc 9,8 m / s ? A 30,625m B 37,5m C 68,125m D 6,875m Câu 7: Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc (theo cm / s ) a ( t ) = −20 ( + 2t ) (với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t = v = 30 ( cm / s ) Hàm vận tốc A 10 + 2t B 10 + 20 + 2t C ( + 2t ) −3 + 30 D −20 ( + 2t ) + 30 Trang 65 Câu 8: Một ô tô chạy với vận tốc 18 m/s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −36t + 18 ( m / s ) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ô tô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét? A 5,5 m B 3,5 m C 6,5 m D 4,5 m Câu 9: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy 11 t + t ( m / s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động 180 18 Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A luật v ( t ) = chậm giây so với A có gia tốc a ( m / s ) (a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22 m / s B 15 m / s C.10 m / s D m / s Câu 10: Một ô tô chạy với vận tốc 19 m/s người lái hãm phanh, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −38t + 19 ( m / s ) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 4,75m B 4,5m C 4,25m D m Câu 11: Một ô tô chạy với tốc độ 10 m/s người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0,2 m B m C 10 m D 20 m Câu 12: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t ( h ) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Quãng đường s mà vật di chuyển A s = 24, 25 km B s = 26, 75 km C s = 24, 75 km D s = 25, 25 km Trang 66 Câu 13: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t ( h ) có đồ thị hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung Khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 km B s = 21,58 km C s = 15,50 km D s = 13,83 km Câu 14: Một xe ô tô sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên Biết sau 10s xe đạt đến vận tốc cao 50m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét? A 1000 m B 1100 m C 1400 m D 300m Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị phần đường parabol cố định I ( 1;1) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển kể từ lúc xuất phát A s = km C s = 40 km B s = km D s = 46 km Câu 16: Người ta thay nước cho bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h1 = 280 cm Giả sử h ( t ) cm chiều cao mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao nước giây thứ t h′ ( t ) = 3 t + Hỏi sau nước bơm độ sâu hồ bơi? 500 Trang 67 A 7545,2 giây B 7234,8 giây C 7200,7 giây D 7560,5 giây Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 30 − 5t ( m / s ) Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t = ( s ) đến dừng A 50m B 30m C 90m D 40m Câu 18: Một vật chuyển động với vận tốc v = 20 ( m / s ) thay đổi vận tốc với gia tốc tính theo thời gian t a ( t ) = −4 + 2t ( m / s ) Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé A 104 m B 104m C 208m D 104 m Câu 19: Một chất điểm chuyển động với vận tốc v0 = 15m / s tăng vận tốc với gia tốc a ( t ) = t + 4t ( m / s ) Tính qng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 68,25m B 70,25m C 69,75m D 67,25m Câu 20: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) = 4t ( m / s ) Đi ( s ) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc −12 ( m / s ) Tính quãng đường S ( m ) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 456 m B S = 240 m C S = 72 m D 96 m Câu 21: Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với vận tốc 16m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công thức v A ( t ) = 16 − 4t (đơn vị tính m/s), thời gian tính giây Hỏi để tơ A B đạt khoảng cách an toàn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách tơ B khoảng bao nhiêu? A 33 m B 12 m C 31 m D 32 m Câu 22: Một xe đua chạy 180 km/h Tay đua nhấn ga để đích kể từ xe chạy với gia tốc a ( t ) = 2t + 1( m / s ) Hỏi s sau nhấn ga xe chạy với vận tốc km/h? A 200 B 243 C 288 D 300 Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian a ( t ) = t + 3t Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ vật bắt đầu tăng tốc A 136m B 126m C 276m D 216m Câu 24: Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v ( t ) = t + 10t ( m / s ) với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200 ( m / s ) rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển đường băng A 500m B 2000m C 4000 m D 2500 m Trang 68 Câu 25: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số B′ ( t ) = 1000 ( + 0,3t ) , t ≥ , B ( t ) số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 ml nước Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an toàn nữa? A B 10 C 11 D 12 Câu 26: Một ô tô chạy với vận tốc 15m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với gia tốc −a m / s Biết ô tơ chuyển động thêm 20 m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng đây? A ( 3; ) B ( 4;5 ) C ( 5;6 ) D ( 6;7 ) Câu 27: Tại nơi khơng có gió, khinh khí cầu đứng yên độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi công cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khinh khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v ( t ) = 10t − t , t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t) tính theo đơn vị mét/phút (m/p) Nếu bắt đầu tiếp đất vận tốc v khinh khí cầu A v = m / p B v = m / p C v = m / p D v = m / p Câu 28: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy 59 t + t ( m / s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động 150 75 Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A luật v ( t ) = chậm giây so với A có gia tốc a ( m / s ) (a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 m/s B 16 m/s C 13 m/s D 15 m/s Đáp án lời giải Dạng Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất 1–B 11 – B 21 – A 31 – A 41 – C 51 – D 2–D 12 – B 22 – B 32 – D 42 – B 52 – A 3–C 13 – C 23 – A 33 – C 43 – A 53 – A 4–B 14 – A 24 – C 34 – D 44 – D 54 – C 5–B 15 – C 25 – D 35 – D 45 – B 55 – C 6–D 16 – B 26 – C 36 – A 46 – B 56 – A 7–A 17 – A 27 – B 37 – B 47 – D 57 – A 8–C 18 – B 28 – A 38 – B 48 – C 58 – A 9–D 19 – A 29 – A 39 – D 49 – B 59 – C 10 – B 20 – D 30 – C 40 – B 50 – C 60 – C 5–D 15 – A 25 – A 35 – B 45 – D 6–C 16 – D 26 – D 36 – C 46 – A 7–A 17 – B 27 – C 37 – C 47 – D 8–C 18 – D 28 – B 38 – A 48 – D 9–B 19 – D 29 – B 39 – C 49 – A 10 – C 20 – C 30 – C 40 – A 50 – B Dạng Tính phương pháp đổi biến 1–B 11 – B 21 – C 31 – C 41 – B 2–A 12 – B 22 – D 32 – A 42 – B 3–A 13 – D 23 – A 33 – B 43 – D 4–D 14 – A 24 – B 34 – B 44- B Trang 69 51 – A 52 – C 53 – D 54 – B Dạng Giá trị tích phân phương pháp tích phân phần 1-D 11 – A 21 – A 31 – C 2–C 12 – A 22 – A 32 – A 3–B 13 – A 23 – B 33 – B 4–A 14 – D 24 – B 34 – A 5–C 15 – A 25 – D 35 – C 6–C 16 – D 26 – A 36 – A 7–D 17 – A 27 – B 37 – D 8–C 18 – A 28 – C 38 – A 9–D 19 – A 29 – C 39 – A 10 – A 20 – A 30 – B 40 – A 6–B 16 – D 26 – B 36 – C 46 – B 7–A 17 – B 27 – C 37 – C 47 – A 8–C 18 – D 28 – A 38 – D 9–B 19 – B 29 – B 39 – A 10 – B 20 – C 30 – C 40 – B 6–C 16 – B 26 – C 7–B 17 – D 27 – C 8–D 18 – A 28 – B 9–B 19 – C 10 – A 20 – D Dạng Tính tích phân hàm đặc biệt, hàm ẩn 1–D 11 – A 21 – D 31 – B 41 – A 2–B 12 – B 22 – A 32 – D 42 – A 3–C 13 – A 23 – B 33 – C 43 – D 4–B 14 – A 24 – D 34 – C 44 – B 5–C 15 – B 25 – D 35 – D 45 – D Dạng Các toán thực tế tích phân 1–B 11 – C 21 – A 2–D 12 – C 22 – C 3–B 13 – B 23 – C 4–B 14 – A 24 – D 5–A 15 – C 25 – B Trang 70 ... x2 Câu 25 : Cho ∫ A P = B P = 22 019 Câu 26 : Giá trị tích phân I = C P = ln x ∫ ( x + 1) D P = −3 dx A I = − C I = ln 22 019 + 20 20 ln 20 19 1+ + 22 019 ln 22 019 − 20 20 ln 20 19 1+ + 22 019 Câu 27 :... 22 019 20 19 Ta có Đổi biến x = −t ⇒ dx = −dt −a D I = f ( x ) = x 20 20 b = e ta có a Đặt A = 22 021 20 21 a f ( −1) bt f ( t ) − dt = ( ) ∫ + bt dt + b−t −a 20 20 x 20 21 I = ∫ x dx = −1 20 21 2. 220 21... 1) cos xdx = B I = − D I = 20 19 ln 22 019 + ln + 20 19 + 20 19 20 19 ln 22 019 − ln + 22 019 + 20 19 π − a với a; b ∈ ¥ Khi a − b b Trang 45 A 14 B 12 Câu 28 : Cho tích phân I = π C D x sin xdx =