Bài 2 LÔGARIT ÔN THI ĐH

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức + Biết khái niệm tính chất lôgarit + Biết quy tắc lôgarit công thức đổi số + Biết khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên  Kĩ + Biết vận dụng định nghĩa để tính số biểu thức chứa lôgarit đơn giản + Biết vận dụng tính chất lơgarit vào tốn biến đổi, tính tốn biểu thức chứa lơgarit Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm lơgarit Cho hai số dương a, b với a ≠ Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b gọi lôgarit số a b , ký α Nhận xét: log a b = α ⇔ a = b ( a, b > 0, a ≠ 1) Ví dụ: log = ⇔ = Chú ý: Khơng có lơgarit số âm số hiệu log a = b Tính chất Cho a, b > 0, a ≠ Ta có: log a = 0; a log a b = b; log a a = log a ( aα ) = α Quy tắc tính lơgarit Ví dụ: a Lơgarit tích Cho a, b1 , b2 > với a ≠ , ta có: log a (b1b2 ) = log a b1 + log ab2 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: loga ( b1 bn ) = loga b1 + + loga bn a, b1, b2, , bn > 0, a ≠ b Lôgarit thương Cho a, b1, b2 > với a ≠ 1, ta có: loga = b1 = loga b1 − loga b2 b2 • logπ 1  + logπ = logπ  ÷ = logπ = 0; 2  • log3 + log + log + + log + log 3 8 1 = log  ÷ 9 2 = log = −2 Ví dụ: • log5 125 = log5 125− log5 25 = 3− = 1; 25 • log7 = − log7 49 = −2 49 = − loga b ( a > 0, b > 0) b c Lơgarit lũy thừa Ví dụ: Cho hai số dương a, b, a ≠ Với α , ta có: • log2 83 = 3log2 = 3.3 = 9; Đặc biệt: loga loga bα = α loga b • log2 = Đặc biệt: loga n b = 1 log2 = = 4 log b n a Đổi số Ví dụ: Cho a, b, c > 0; a ≠ 1; c ≠ 1, ta có: loga b = logc b logc a • log8 16 = log2 16 = ; log2 Trang Đặc biệt: loga b = logb a ( b ≠ 1) ; logaα b = loga b ( α ≠ 0) α Lơgarit thập phân – lơgarit tự nhiên • log3 27 = = 3; log27 • log128 = log27 = 1 log2 = 7 a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b > 0, log10 b thường viết logb lgb b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số e Với b > 0, loge b viết lnb SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biến đổi biểu thức lơgarit Bài tốn Chứng minh đẳng thức Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x, y > x2 + 4y2 = 12xy Khẳng đinh sau đúng? Nhận xét: Các lôgarit A log2 ( x + 2y) = log2 x + log2 y + có mặt đáp án có số  x + 2y  B log2  ÷ = log2 x − log2 y   C log2 ( x + 2y) = + Do ta dùng quy tắc ( log2 x + log2 y) lôgarit, biến đổi đáp án đến D 4log2 ( x + 2y) = log2 x + log2 y thấy xuất biểu thức Hướng dẫn giải khơng cịn lơgarit so sánh với Với x, y > , ta có: x2 + 4y2 = 12xy ⇔ ( x + 2y) = 16xy ⇔ log2 ( x + 2y) = log2 16xy giả thiết ban đầu để tìm đáp án ⇔ 2log2 ( x + 2y) = + log2 x + log2 y ⇔ log2 ( x + 2y) = + ( log2 x + log2 y) Chọn C Ví dụ 2: Cho số thực a < b < Mệnh đề sau sai? ( ) ( ) ( ) Chú ý: Khi biến đổi ( lna + lnb) A ln( ab) = ln a2 + ln b2 B ln  a C ln ÷ = ln a − ln b  b  a D ln ÷ = ln a2 − ln b2  b ab = ( ) ( ) biểu thức chứa lôgarit, ta cần thận trọng việc lựa chọn tính chất, cơng Hướng dẫn giải thức, quy tắc cho Vì a < b < không tồn lna, ln b biểu thức xác Chọn B định với điều kiện Ví dụ 3: Cho a, b, c, d số thực dương, khác Mệnh đề ban đầu đúng?  a c c d A a = b ⇔ ln ÷ =  b d C ac = bd ⇔ lna c = lnb d B ac = bd ⇔ lna d = lnb c  a d c d D a = b ⇔ ln ÷ =  b c Hướng dẫn giải Do a, b, c, d số thực dương, khác nên ta có: ac = bd ⇔ c lna = d lnb ⇔ lna d = lnb c Trang Chọn B Ví dụ 4: Với số thực dương a, b bất kỳ, mệnh đề đúng?  2a3  log A ÷ = 1+ 3log2 a − log2 b 2 b    2a3  B log2  ÷ = 1+ log2 a − log2 b  b   2a3  C log2  ÷ = 1+ 3log2 a + log2 b  b   2a3  D log2  ÷ = 1+ log2 a + log2 b  b  Hướng dẫn giải Ta có:  2a3  3 log2  ÷ = log2 2a − log2 ( b) = log2 + log2 a − log2 b = 1+ 3log2 a − log2 b  b  ( ) Chọn A Bài tốn Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính loga b ta biến đổi theo cách sau: Ví dụ: • b = aα , từ suy loga b = loga aα = α ; • log32 128 = log25 27 = ; • a = bα , từ suy logab = logbα b = ; α • 32log2 = 25log2 = 95 • a = cα , b = cβ , từ ta suy loga b = logcα cβ = • Để tính loga c b loga c b β α , ta biến đổi b = aα , từ suy α log c = a a = cα Ví dụ mẫu Trang Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Rút gọn biểu thức a b c d S = ln + ln + ln + ln ta b c d a A S = B S =  a b c d C S = ln + + + ÷  b c d a D S = ln( abcd) Hướng dẫn giải  a b c d a b c d Ta có: S = ln + ln + ln + ln = ln ÷ = ln1= b c d a  b c d a Phương Chọn B pháp giải trắc nghiệm: Ta thấy đáp án Ví dụ 2: Cho a, b > a, b ≠ 1, biểu thức P = log a b logb a số, ta dự đốn giá trị P khơng A B 24 C 12 phụ thuộc vào giá trị a, b D 18 Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính bỏ túi Casio, Ta có : thay a = b = vào biểu thức P = log a b3.logb a4 = log b3.logb a4 = a2 log a b3.logb a4 bấm =, 4.loga b = 24 loga b kết P = 24 Chọn B Chọn B Phương pháp giải trắc Ví dụ 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a ≠ 1, a ≠ b nghiệm: Chọn a = 2, b = loga b= Bấm máy ta Biến đổi biểu thức P = log b a b ta a P = −1− Chọn C A P = −5+ 3 B P = −1+ C P = −1− D P = −5− 3 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) b 1 loga b − 1) −1 ( 3−1 a 2 P= = = = = −1− b loga b − 1 log b − 3− loga a a loga Chọn C Ví dụ : Biến đổi biểu thức  a  −2 P = loga2 a10b2 + log a  ÷+ log3 b b (với  b ( ) ) Trang Bài toán Tính giá trị biểu thức theo biểu thức cho Phương pháp giải Để tính loga b theo m= loga x; n = loga y ta biến đổi Ví dụ: Cho loga b = 2,loga c = −3 b = aα xβ yγ Tính giá trị loga Từ suy loga b = loga aα xβ yγ = α + mβ + nγ a2b3 c4 Hướng dẫn giải Ta có: loga a2b3 = logaa2 + logab3 − logac4 c = + 3.2− 4.( −3) = 20 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho log12 27 = a Khi giá trị log6 16 tính theo a A 4( 3− a) 3+ a B 4( 3+ a) 3− a C 4a 3− a D 2a 3+ a Hướng dẫn giải Ta có: a = log12 27 = Khi log2 27 3log2 2a = ⇒ log2 = log2 12 + log2 3− a log6 16 = 4log6 = 4 = = log2 1+ log2 4( 3− a) = 2a 3+ a 1+ 3− a Chọn A Ví dụ Cho lg3 = a,lg2 = b Khi giá trị log125 30 tính theo a là: A 4( 3− a) 3− b B 1+ a 3( 1− b) C a 3+ b D a 3+ a Hướng dẫn giải Ta có: log125 30 = lg30 1+ lg3 1+ a = = lg125 3( 1− lg2) 3( 1− b) Chọn B Ví dụ Cho a = log2 3; b = log3 5; c = log7 Khi Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán giá trị log140 63 tính theo a, b, c là: A 2ac − abc + 2c + B abc + 2c + 2ac + log2 3,log3 5,log7 cho a, b, c Lấy log140 63 trừ đáp án A, B, C, D Kết đáp án Trang C 2ac + abc + 2c + D ac + abc + 2c + Hướng dẫn giải Ta có: log124 63 = log2 63 log2 32.7 2log2 3+ log2 = = log2 140 log2 5.7 + log2 5+ log2 2log2 3+ = = log7 2 + log2 3.log3 5+ log7 = 2a + c + ab+ c 1+ 2ac 1+ 2c + abc Chọn C HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Phương pháp giải Cơ sở lý thuyết: A = B ⇔ A − B = +) Đây nhận định dựa vào ta có kỹ thuật bấm nhanh gọn phù hợp với yêu cầu thi trắc nghiệm +) Khi đề cho dạng tính giá trị biểu thức P bên cho đáp án Khi đáp án P ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm đáp án cách nhanh Ví dụ mẫu Ví dụ Nếu a = log15 A log25 15 = 5( 1− a) B log25 15 = 3( 1− a) C log25 15 = 2( 1− a) D log25 15 = 5( 1− a) Hướng dẫn giải Tư tự luận ta làm sau: Ta có: a = log15 = 1 1− a = ⇒ log3 = − = log3 (3.5) + log a a 1 1  Khi đó: log 25 15 = log 15 = log ( 5.3 ) = ( + log ) = 1 + ÷ 2 2  log    1 ÷ 1 a  = 1 + = 1 + = ÷ ÷  1− a ÷  1− a  2(1− a) a   Trang Chọn C Bây giờ, ta sử dụng casio - vinacal theo sở lí thuyết trình bày để giải toán Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán giá trị log15 cho A Bấm log15 Bước 2: Nhập biểu thức: log 25 15 − ( ) Lần 1: Nhập log 25 15 − = 3(1 − A) Loại A để sửa biểu thức thành log 25 15 − 2(1 − A) = Lần 2: Bấm Loại B để sửa biểu thức thành log 25 15 − 2(1 − A) = Lần 3: Bấm Chọn C Ví dụ Đặt a = log2 3, b= log5 Biểu diễn log6 45 theo a, b ta A log6 45 = a + 2ab ab B log6 45 = 2a2 − 2ab ab C log6 45 = a + 2ab ab + b D log6 45 = 2a2 − 2ab ab + b Hướng dẫn giải Ta có: log2 = a ⇔ log3 = 1 log5 = b ⇔ log3 = a b Khi đó: + log3 45 log3 + log3 + log3 b = a( 1+ 2b) = a + 2ab log6 45 = = = = b( 1+ a) log3 log3 3+ log3 1+ log3 b + ab 1+ a Chọn C Trang SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU: Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán giá trị log2 3, log5 cho A, B Gán Gán log2 = A log5 = B log2 Bấm log5 Bấm Bước 2: Nhập biểu thức: log6 45− ( ) Lần 1: Nhập log6 45− A + 2AB = AB Loại A Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log6 45− 2A2 − 2AB = AB Loại B Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành log6 45− A + 2AB = AB + B Chọn C Ví dụ Nếu log27 = a;log8 = b;log2 = c log12 35 A 3b + 2ac c+ B 3b + 3ac c+ C 3b + 2ac c+ D 3b + 3ac c+1 Hướng dẫn giải Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán giá trị log27 5, log8 7, log2 cho A, B, C Gán Gán Gán log27 = A log8 = B log2 = C Bấm Bấm Bấm log27 log8 log2 Bước 2: Nhập biểu thức: log12 35− ( ) Trang 10 Lần 1: Nhập log12 35− 3B + 2AC = C+2 Loại A Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log12 35− 3B + 3AC = C+2 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Với số tự nhiên n Khẳng định sau đúng? A n = − log2 log2 432 B n = log2 log2 432 n că n bậ c hai n că n baä c hai C n = + log2 log2 432 D n = − log2 log2 432 n caê n bậ c hai n că n bậ c hai ( ) Câu 2: Cho a, b hai số thực dương khác thỏa mãn log2a b − 8logb a3 b = − Tính giá trị biểu ( ) thức P = loga a ab + 2017, ta A P = 2019 B P = 2020 C P = 2017 Câu 3: Biết log5 = a, giá trị log3 A 3a − a B D P = 2016 27 tính theo a 25 3a C 2a D a 3a− C a− a D a+ a− Câu 4: Cho a = log2 20 Giá trị log20 theo a A 5a B a+ a Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log x = log3a − 2logb + 3log c (a, b, c số thực dương) Hãy biểu diễn x theo a, b, c A x = 3ac3 b2 B x = 3a bc C x = 3a.c3 b2 D x = 3ac b2 Câu 6: Đặt log3 = a Mệnh đề sau đúng? A log15 75 = a+ 2a + B log15 75 = 2a + a+ C log15 75 = 2a − a+ D log15 75 = Câu 7: Cho a, b số thực dương, a ≠ Rút gọn biểu thức: P = log2a ( ab) − A P = loga b B P = loga b − C P = loga b + 2a + a−1 2logb − 1, ta loga D P = Trang 11 Câu 8: Cho log27 = a,log8 = b,log2 = c Giá trị log12 35 A 3b + 3ac c+ B 3b + 2ac c+ C 3b + 2ac c+ D 3b + 3ac c+1 Câu 9: Cho a > 0,b > 0,a ≠ 1,b ≠ 1,n∈ ¥ * Một học sinh tính: P = 1 1 + + + + theo bước sau: loga b loga2 b loga3 b logan b Bước I: P = logb a + logb a2 + logb a3 + + logb an ( ) n Bước II: P = logb a.a a a Bước III: P = logb a1+ 2+3+ + n Bước IV: P = n( n + 1) logb a Trong bước trình bày, bước sai? A Bước III B Bước I C Bước II Câu 10: Cho log7 12 = x, log12 24 = y log54 168 = D Bước IV axy + , a, b, c số nguyên Tính bxy + cx giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c, ta A S = B S = 19 Câu 11: Cho a,b > 0,a ≠ thỏa mãn loga b= A 12 B 10 C S = 10 D S = 15 b 16 log2 a = Tổng a + b b C 16 D 18 Câu 12: Biết log2 a,log3 b,log5 c theo thứ tự lập thành cấp số nhân có tổng 14, đồng thời log2 a4,log3 b2,log5 c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị P = a + b + c A 125 B 390725 C 390625 D 390710  xy  Câu 13: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log4 x = log9 y = log6  + 1÷ Giá trị biểu thức   log9 P = xlog4 + y A B C Câu 14: Cho a = log20 15; b = log30 15 biết log4000 600 = D ma + nb m, n, p, q∈ ¢ Giá trị ab + pb + qa biểu thức S = m+ n + p + q A S = B S = C S = D S = loga logb logc b2 = = = log x ≠ 0; = xy Tính y theo p, q, r Câu 15: Cho p q r ac A y = q2 − pr B y = p+ r 2q C y = 2q − p − r D y = 2q − pr Trang 12 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chưa lôgarit theo biểu thức cho Phương pháp giải Thật vậy: Để tính loga b theo m= loga x; n = loga y, ta biến đổi loga b = loga aα xβ yγ b = aα xβ yγ = α + β loga x + γ loga y Từ suy ra: logab = loga aα xβ yγ = α + mβ + nγ = α + mβ + nγ Phương pháp trắc nghiệm: Ví dụ mẫu log12 27 = A Ví dụ 1: Cho log12 27 = a Khi giá trị log6 16 tính Sử dụng máy tính: gán Lấy log6 16 trừ đáp số theo a A 4( 3− a) 3+ a B 4( 3+ a) 3− a C 4a 3− a D 2a 3+ a A, B, C, D kết đáp án Chọn A Hướng dẫn giải Ta có: a = log12 27 = log6 16 = 4log6 = log2 27 3log2 2a = ⇒ log2 = log2 12 + log2 3− a 4 = = log2 1+ log2 4( 3− a) = 2a 3+ a 1+ 3− a Chọn A Ví dụ 2: Cho log3 = a,log2 = b Khi giá trị log125 30 tính theo a A 4( 3− a) 3− b 1+ a B 3( 1− b) a C 3+ b a D 3+ a Hướng dẫn giải log30 1+ log3 1+ a = = Ta có: log125 30 = log125 3( 1− log2) 3( 1− b) Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán log3 = A;log2 = B Lấy log140 63 trừ đáp án số A, B, C, D, kết đáp án Chọn B Ví dụ 3: Cho a = log2 3; b = log3 5; c = log7 Khi giá trị biểu thức log140 63 tính theo a, b, c A 2ac − abc + 2c + B abc + 2ac + 2ac + C 2ac + abc + 2c + D ac + abc + 2c + Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán Trang 13 log2 63 log2 32.7 2log2 3+ log2 = = Ta có: log140 63 = log2 140 log2 5.7 + log2 5+ log2 log2 = A;log3 = B;log7 = C Lấy log140 63 trừ đáp án số A, B, C, D, kết bẳng đáp án log7 c = 1+ 2ac = = 1 1+ 2c + abc + log2 3.log3 5+ + ab+ log7 c 2log2 3+ 2a + Chọn C Ví dụ Cho số thực a, b, c∈ 1;2 thỏa mãn điều kiện log32 a + log32 b + log32 c ≤ ( ) 3 a b c Khi biểu thức P = a + b + c − log2 a + log2 b + log2 c đạt giá trị lớn giá trị a + b + c A B 33 3.2 C D Hướng dẫn giải 3 Ta xét hàm số f ( x) = x − 3x log2 x − log2 c với x∈ 1;2 Ta có đạo hàm f ′ ( x) = 3x2 − 3log2 x − 3log2 x − ; ln2 x ln2 6log2x 3log22 x f ′′ ( x) = 6x − − + x ln2 x2 ln2 x2 ln2 6log2 x( 3− log2 x)   Vì f ′′′ ( x) = 6 1− 3 ÷+ + > ∀x∈ 1;2 nên x3 ln2  x ln  x ln2 f ′′ ( x) ≥ f ′′ ( 1) ≈ 1,67 > Trang 14 Như hàm số f ′ ( x) đồng biến có nghiệm 1;2 f′ ( 1) < 0; ′ ( 2) > có đồ thị lõm 1;2 Do ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta nhận thấy f ( x) ≤ P ≤ 3+ log32 a + log32 b + log32 c ≤ Đẳng thức xảy a = b = 1, c = hoán vị Chọn C Ví dụ Trong tất cặp ( x; y) thỏa mãn logx2 + y2 + ( 4x + 4y − 4) ≥ Với giá trị m tồn cặp ( x; y) cho x2 + y2 + 2x − 2y + − m= 0? A ( ) 10 − B C 10 − 10 + ( 10 − ) ( ) 10 + D 10 − Hướng dẫn giải Điều kiện: 4x + 4y − ≥ Ta có logx2 + y2 + ( 4x + 4y − 4) ≥ ⇔ 4x + 4y − ≥ x2 + y2 + ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) ≤ ( C1 ) 2 Miền nghiệm bất phương trình hình trịn (cả bờ) ( C1 ) có tâm I ( 2;2) bán kính R1 = Mặt khác: x2 + y2 + 2x − 2y + − m= ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = m ( *) 2 Với m= x = −1; y = (không thỏa mãn ( x − 2) + ( y − 2) ≤ 2) 2 Với m> ( *) đường trịn ( C2 ) có tâm I ( −1;1) bán kính R2 = m Để tồn cặp ( x; y) ( C1 ) ( C2 ) tiếp xúc với Trường hợp 1: ( C1 ) ( C2 ) tiếp xúc Trang 15 Khi đó: R1 + R2 = I 1I ⇔ m+ = 10 ⇔ m= ( ) 10 − Trường hợp 2: ( C1 ) nằm ( C2 ) hai đường tròn tiếp xúc Khi đó: R2 − R1 = I 1I ⇔ m− = 10 ⇔ m= Vậy m= ( 10 − ) m= ( 10 + ) ( ) 10 + thỏa mãn u cầu tốn Chọn B Ví dụ Xét số thực a, b thỏa mãn a > b > Giá trị nhỏ Pmin biểu thức  a P = log2a a2 + 3logb  ÷  b b ( ) A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Hướng dẫn giải Ta có:    ÷   a P = log2a a2 + 3logb  ÷ =  ÷ + 3( logb a − 1)  b   log a ÷ b  ÷ a b  ( )   =  ÷ ÷ + 3( logb a − 1)  1− loga b  Trang 16 Đặt loga b = t ( < t < 1) Khi P = Ta có f ′ ( t) = ( 1− t) − + − = f ( t) với < t < t ( 1− t) ⇒ f ′ ( t) = ⇔ t = t Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có Pmin = 15 Chọn D Ví dụ Cho hai số thực x, y thỏa mãn: ( ) 2 x2 + y2 ≥ logx2 + y2  x 4x − 3x + 4y − 3y  ≥ Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x − y Khi biểu thức T = 2( M + m+ 1) có giá trị gần số sau đây? A B C D 10 Hướng dẫn giải ( ) ( ) 2 2 Ta có logx2 + y2  x 4x − 3x + 4y − 3y  ≥ ⇔ logx2 + y2  x + y ( 4x − 3)  ≥ ( ) ( ⇔ x2 + y2 ( 4x − 3) ≥ x2 + y2 ) ⇔ ( x − 2) + y2 ≤  x2 + y2 ≥ Tập hợp số thực x, y thỏa mãn:  điểm thuộc miền hình trịn ( C1 ) có tâm 2 x − + y ≤ ) ( I ( 2;0) , bán kính R1 = nằm ngồi hình trịn ( C2 ) có tâm O ( 0;0) bán kính R2 = Trang 17 Biểu thức: P = x − y ⇒ x − y − P = họ đường thẳng ∆ song song với đường y = x  3  3 ÷, B  ; − ÷ Các giao điểm hai hình trịn A ; ÷ 2 ÷ 2     P đạt giá trị nhỏ đường thẳng ∆ qua A Khi đường thẳng ∆ qua điểm A, ta có: 3 3− − − Pmin = ⇒ Pmin = 2 P đạt giá trị lớn đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường trịn ( C1 ) ta có: d ( I ; ∆ ) = R1 ⇔ 2− P 1+ = 1⇔ P = ± ⇔ Pmax = +  3−  ÷ ≈ 10 Do T = 2( M + m+ 1) = 2 2+ + ÷   Chọn D Bài tập tự luyện dạng 2 x− y Câu 1: Cho x ≠ y; xy < thỏa mãn 3( ) log2 ( x − y) = 32−2xy log2 ( − 2xy) Giá trị lớn biểu ( ) 3 thức M = x + y − 3xy A 13 B 17 C D Câu 2: Cho số thức a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn log32 a + log32 b + log32 c ≤ Giá trị lớn ( ) B C 3 a b c biểu thức P = a + b + c − log2 a + log2 b + log2 c A D Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn thay đổi thỏa mãn a + b = 10 Gọi m, n hai nghiệm phương trình ( loga x) ( logb x) − 2loga x − 3logb x − 1= Giá trị nhỏ biểu thức S = mn A 16875 16 B 4000 27 Câu 4: Cho số thực a, b, c thỏa mãn log2 C 15625 D 3456 a + b+ c = a( a − 4) + b( b − 4) + c( c − 4) Giá trị lớn a + b2 + c2 + 2 biểu thức P = a + 2b + 3c A 10 B 12 + 42 C 12 + 35 D 10 Câu 5: Cho số thực a, b > thỏa mãn điều kiện log2 a + log3 b = Giá trị lớn biểu thức P = log3 a + log2 b A log3 + log2 B log3 + log2 C ( log3 2+ log2 3) D log3 + log2 Trang 18 Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y + 1≥ log( x + y) Giá trị nhỏ biểu thức S = x + 3y A 1+ 10 B 2+ C Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn log nhỏ biểu thức P = A 69 + 249 94 3+ 30 D 1+ x+ y = x( x − 3) + y( x − 3) + xy Giá trị x + y2 + xy + 2 x + 2y + x + y+ B 43+ 249 94 C Câu 8: Cho b > Giá trị nhỏ biểu thức P = 37− 249 21 D ( a − b) + ( 10 a ) − logb 69 − 249 94 A 2log( ln10) B    2 − log ÷÷  ln10    ln10 C    2 + log ÷÷  ln10    ln10 D    2 − ln ÷÷  ln10    ln10 Câu 9: Cho số thực a, b thỏa mãn điều kiện < b < a < Giá trị nhỏ biểu thức P = loga 4( 3b − 1) + 8log2b a − A a B 33 C D ( ) Câu 10: Cho x, y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x + y Giá trị nhỏ P = x + y A Pmin = 2 + B Pmin = C Pmin = + Câu 11: Xét số thực a, b thỏa mãn điều kiện D Pmin = 17 + < b < a < Giá trị nhỏ biểu thức:  3b − 1 P = loga  ÷+ 12logb a −   a A P = 13 B P = C P = D P = ( ) Câu 12: Xét số thực dương x, y thỏa mãn log1 x + log1 y ≤ log1 x + y Giá trị nhỏ Pmin 3 biểu thức P = 2x + 3y A Pmin = 7− 10 B Pmin = + C Pmin = 7+ D Pmin = 7+ 10 Trang 19 Câu 13: Cho a, b số thực dương thỏa mãn b > a ≤ b < a Giá trị nhỏ biểu thức  a P = loga a + 2log b  ÷  b b A B C D Câu 14: Cho số dương a b thỏa mãn log2 ( a + 1) + log2 ( b + 1) ≥ Giá trị nhỏ S = a + b A minS = 12 B minS = 14 Câu 15: Gọi a giá trị nhỏ f ( n) = C minS = D minS = 16 ( log 2) ( log 3) ( log 4) ( log n) , với n∈ ¥ ,n ≥ Có bao 3 3 n nhiêu số n để f ( n) = a A B vô số C D 3 1  Câu 16: Cho P = 9log1 a + log1 a − log1 a + với a∈  ;3 M, m giá trị lớn 3  27  giá trị nhỏ biểu thức P Giá trị biểu thức S = 4M − 3m A 42 B 38 C 109 D 83 32 Câu 17: Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn b2 = 3ab+ 4a2 a∈  4;2  Gọi M, m giá b trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = logb 4a + log2 Tính tổng T = M + m 4 A T = 1897 62 3701 124 B T = C T = 2957 124 D T = Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2log2 a − log2 b ≤ log2 ( a + 6b) Giá trị lớn PM ax biểu thức P = A PM ax = ab − b2 a2 − 2ab + 2b2 C PM ax = B PM ax = D PM ax = Câu 19: Cho a, b, c số trực thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn log32 a + log32 b + log32 c ≤ Khi biểu thức ( ) P = a3 + b3 + c3 − log2 aa + log2 bb + log2 cc đạt giá trị lớn giá trị tổng a + b + c A B 3.2 C D Câu 20: Cho a, b, c số thực lớn Giá trị nhỏ Pmin biểu thức: P= + + log bc a log b 3log c ac ab A Pmin = 20 B Pmin = 10 C Pmin = 18 D Pmin = 12 Trang 20 ĐÁP ÁN Dạng Biến đổi biểu thức chứa lôgarit 1-B 11-D 2-A 12-D 3-A 13-C 4-C 14-D 5-A 15-C 6-B 7-A 8-A 9-D 10-D 8-B 18-C 9-D 19-C 10-A 20-A Dạng Tính giá trị biểu thức chưa lơgarit theo biểu thức cho 1-B 11-C 2-D 12-D 3-D 13-C 4-C 14-B 5-A 15-A 6-B 16- 7-D 17-B Trang 21 ... x) = x − 3x log2 x − log2 c với x∈ 1 ;2? ?? Ta có đạo hàm f ′ ( x) = 3x2 − 3log2 x − 3log2 x − ; ln2 x ln2 6log2x 3log 22 x f ′′ ( x) = 6x − − + x ln2 x2 ln2 x2 ln2 6log2 x( 3− log2 x)   Vì f... a = log 12 27 = log6 16 = 4log6 = log2 27 3log2 2a = ⇒ log2 = log2 12 + log2 3− a 4 = = log2 1+ log2 4( 3− a) = 2a 3+ a 1+ 3− a Chọn A Ví dụ 2: Cho log3 = a,log2 = b Khi giá trị log 125 30 tính... đúng?  2a3  log A ÷ = 1+ 3log2 a − log2 b 2? ?? b    2a3  B log2  ÷ = 1+ log2 a − log2 b  b   2a3  C log2  ÷ = 1+ 3log2 a + log2 b  b   2a3  D log2  ÷ = 1+ log2 a + log2 b  b 