BÀI 1 mặt nón ôn thi ĐH

CHUYÊN ĐỀ 6: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NÓN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa mặt nón trịn xoay, hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay + Nắm cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, diện tích đáy hình nón, diện tích tồn phần hình nón, thể tích khối nón  Kĩ + Nhận biết khối tròn xoay khối nón + Tính yếu tố liên quan đến khối nón độ dài đường sinh, chiều cao, góc đỉnh, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thiết diện, thể tích khối nón… + Giải toán nâng cao liên quan đến khối nón tốn cực trị, tốn thực tế… I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng ( P ) Cho hai đường thẳng Δ l cắt O tạo thành góc β với 0° < β < 90° Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh Δ đường thẳng l sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi trục mặt nón  Đường thẳng l gọi đường sinh mặt nón  Góc 2β gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón ( N ) khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho ∆OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Trang  Hình trịn tâm I, bán kính r = IM đáy hình nón Chú ý: Nếu cắt mặt nón ( N ) hai mặt phẳng song song ( P ) ( Q ) với ( P ) qua O vng góc với ∆ phần mặt nón ( N) giới hạn hai mặt phẳng ( P) ( Q) hình trịn giao tuyến ( Q ) và mặt nón ( N ) hình nón KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: - Nếu mp ( P ) chứa OI thiết diện mp ( P ) khối nón hình tam giác cân O - Nếu mp ( P ) vng góc với OI (khơng chứa O) thiết Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối nón ta thường vẽ hình bên diện mp ( P ) khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp ( P ) qua I CƠNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh l có: - Diện tích xung quanh: S xq = πr l - Diện tích đáy (hình trịn): S ht = πr - Diện tích tồn phần: Stp = πr l + πr 1 - Thể tích khối nón: V = S ht h = πr h 3 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng ( P ) Cho hai đường thẳng Δ l cắt O tạo thành góc β Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh Δ đường thẳng l sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho ∆OMI vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón CÁC CƠNG THỨC Diện tích xung quanh Diện tích đáy Diện tích tồn phần Thể tích Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết mặt nón, hình nón, khối nón Phương pháp giải Cần nắm vững lí thuyết trọng tâm mặt nón, hình Ví dụ: Thể tích khối nón có chiều cao h bán nón, khối nón kính r A πr h B πr h C πr h D 2πr h Hướng dẫn giải 1 Vì thể tích khối nón Vn = S ht h = πr h 3 ( S ht : diện tích hình trịn đáy) Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho đường thẳng l cắt không vuông góc với Δ quay quanh Δ ta A khối nón trịn xoay B mặt trụ trịn xoay C mặt nón trịn xoay D hình nón trịn xoay Hướng dẫn giải Cho đường thẳng l cắt không vuông góc với Δ quay quanh Δ ta Nếu khơng nắm kĩ lí thuyết mặt nón trịn xoay dễ nhầm với đáp án A Chọn C đáp án D Ví dụ 2: Gọi l, h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức sau đúng? A l = hR B 1 = 2+ 2 l h R C l = h2 + R D R = h + l Hướng dẫn giải Lưu ý: Tam giác OIM vuông I nên ta sử dụng định lý Pitago suy đáp án Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vng I Do OM = OI + IM , suy l = h + R Chọn C Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Cho hình nón ( N ) có chiều cao h, độ dài đường sinh l , bán kính đáy r Kí hiệu S xq diện tích xung quanh khối nón ( N ) Công thức sau đúng? A S xq = πrh B S xq = 2πrl C S xq = 2πr h D S xq = πr l Câu 2: Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành? A Một B Hai C Khơng có hình nón D Ba Câu 3: Cho hình nón có diện tích xung quanh S xq bán kính r Cơng thức sau dùng để tính đường sinh l hình nón cho A l = S xq πr B l = S xq πr C l = 2πS xq r D l = S xq 2πr Câu 4: Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy R, chiều cao h, độ dài đường sinh l Khẳng định sau đúng? A l = R − h B R = l + h C h = R − l D l = R + h Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung quanh, Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón có diện tích tồn phần, diện tích đáy Biết sử dụng thiết diện qua trục kết phần kiến thức quan hệ song song, tam giác vng cân quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam diện tích 2? giác… để áp dụng vào tính tốn A S = 2π B S = 4π C S = 2π D S = 2π Hướng dẫn giải Tam giác OAB vng cân diện tích ⇒ OA2 = 2 ⇒ OA = OB = AB = 22 + 22 = 2 ⇒h=R= AB = 2 Suy S xq = π 2.2 = 2π Chọn A Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6πa B 24πa C 3πa D 12πa Lưu ý: Diện tích tam giác Hướng dẫn giải Ta có h = cạnh x là: S = 2a = a 3, l = 2a, r = a độ dài chiều cao là: Diện tích tồn phần hình nón h= Stp = πr l + πr = π.a.2a + π.a = 3πa 2 x2 x Ở tốn x = 2a Chọn C Ví dụ 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9π Độ dài đường cao hình nón A 3 B C D Hướng dẫn giải Gọi r , l , h bán kính đường trịn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón cho πr = 9π r = Theo giả thiết ta có  nên  l = l = 2r Lại có h = l − r h = 36 − = 3 Chọn A Ví dụ 3: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng Mặt phẳng ( α ) qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc ( α ) đáy hình nón 60° A B D C 3 Hướng dẫn giải Gọi O tâm đường tròn đáy, H trung điểm MN Lưu ý: Tam giác SMN tam giác cân S SM = SN = Trang Ta có MN giao tuyến đường tròn đáy mặt phẳng ( α ) , lại có ( α) OH ⊥ MN , SH ⊥ MN Do góc đáy hình nón · SHO = 60° Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng ⇒ SO = Xét ∆SOH vng O có sin 60° = SO SO ⇒ SH = = SH sin 60°  6 Khi MN = SN − SH = −  = ÷  ÷   2 Vậy diện tích tam giác SMN S ∆SMN = 1 SH MN = = 2 3 Chọn C Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB ) a · · SAO = 30° , SAB = 60° Độ dài đường sinh hình nón theo a A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AB, dựng Lưu ý: OH ⊥ SI  Ta có: OH ⊥ SI (1) a Ta có OH =  AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( SOI )   AB ⊥ SI · Do SAB = 60° nên tam giác SAB ⇒ AB ⊥ OH (2) Suy SA = SB = AB Từ (1) (2) suy ra: Mặt khác · SAO = 30° ⇒ SO = SA.sin 30° = SA SA OA = SA.cos 30° = OH ⊥ ( SAB ) , d ( O; ( SAB ) ) = OH  Có thể đặt SA = x Trang Xét tam giác SOI ta có 1 1 1 = + = + = + 2 2 2 OH OS OI OS OA − AI    SA     ÷SA  ÷ −  SA ÷ 2   2  ⇔ a = ⇔ SA = OH = 6=a 2 OH SA Chọn A Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính 2a độ dài đường sinh a Mặt phẳng ( P ) qua đỉnh S cắt hình nón ( ) theo thiết diện tam giác có chu vi + a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( P ) A d = a B d = Do: a C d = a D d = a 1 = + 2 OH OE OS ⇔ OH = OS OE OS + OE Hướng dẫn giải Giả sử thiết diện tam giác SAB, ta có ( ) SA + SB + AB = + a ( ) ⇔ a + a + AB = + a ⇔ AB = 2a Gọi E trung điểm AB, ta có AB ⊥ SE , mặt khác AB ⊥ SO nên AB ⊥ ( SOE ) Kẻ OH ⊥ SE H, ( H ∈ SE ) Ta thấy OH ⊥ AB OH ⊂ ( SOE ) ⇒ OH ⊥ ( SAB ) Vậy khoảng cách từ S đến ( P ) OH (hay d ( O; ( P ) ) = OH ) EB = AB = a, OB = R = 2a, OE = OB − EB = 4a − a = a SO = SB − OB = 5a − 4a = a , OH = OS OE OS + OE 2 = a.a a + 3a 2 = a Vậy d = a Chọn D Ví dụ 6: Cho hình nón tròn xoay nằm Trang hai mặt phẳng song song ( P ) ( Q ) hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi I trung điểm SO Lấy M ∈ ( P ) , N ∈ ( Q ) , MN = a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc β Biết góc đường cao đường sinh hình nón 45° Độ dài đoạn EF A EF = 2a C EF = − a tan 2β Lưu ý: a B EF = − tan 2β D EF = −2a tan 2β Hướng dẫn giải S ∆SFI + S∆SEI = S ∆SFE (*) S ∆SFI = SF SI sin 45° S ∆SEI = SE.SI sin 45° S ∆SFE = SF SE.sin 90° Thay vào (*) ta Xét tam giác NIO có OI = NI cos β = a a cos β, NO = NI sin β = sin β 2 SI = SE.SF SE + SF Xét tam giác SEF vng S có · · · SEF = ESM + SME = 45° + 90° − β = 135° − β + tan β · SF = SE.tan SEF = SE.tan ( 135° − β ) = SE tan β − · Vì SI độ dài đường phân giác góc FSE nên SI = SE tan ( 135° − β ) SE.SF a ⇔ cos β = SE + SF + tan ( 135° − β )  + tan β  a 1 + cos β tan β −  a sin β  ⇔ SE = = + tan β ( + tan β ) 2 tan β − Do EF = SE SE a sin β a = = = − tan 2β · cos ( 135° − β ) ( + tan β ) ( − cos β + sin β ) cos SEF Chọn B Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60° Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trang A S xq = πa B S xq = S xq = C πa 10 πa D S xq = πa Hướng dẫn giải Gọi O tâm tam giác ABC, SO ⊥ ( ABC ) Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường trịn đáy OA Gọi H trung điểm BC · = 60° (·( SBC ) ; ( ABC ) ) = SHO Tam giác ABC O tâm tam giác nên OH = 1 a a ; AH = = 3 OA = a AH = 3 · Tam giác SOH vuông O có SHO = 60° nên SO = OH tan 60° = a a 3= Tam giác SOA vuông O nên SA = SO + OA2 = a 3a a 21 + = Diện tích xung quanh hình nón S xq = πr l = π.OA.SA = π a a 21 πa = 6 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A′B′C ′D′ Kết tính diện tích tồn phần Stp khối nón có dạng A bc = πa ( ) b + c với b c hai số nguyên dương b > Giá trị bc B bc = C bc = 15 D bc = Câu 2: Một tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy hình nón Khi diện tích xung quanh hình nón Trang 10 l  h = f ′ ( h ) = l − 3h = ⇔  l   h = − ( khong thoa man )  Lập bảng biến thiên ta  l  2l Ta thấy max f ( h ) = f  ÷=  3 3 Vậy Vmax = l 2πl 3 Dấu “=” xảy ⇔ h = 27 Chọn D Ví dụ 8: Trong hình nón có diện tích tồn phần S Hình nón tích lớn ( r , l bán kính đáy đường sinh hình nón) A l = 3r Lưu ý: điều kiện biến khảo sát hàm B l = 2r C l = r D l = 2r Hướng dẫn giải Ta có S = πr l + πr → l = S − πr πr Thể tích 1 V = πr h = πr l − r = πr 3 ( S − πr ) 2 πr 2 − r2 = S ( Sr − 2πr ) Lập bảng biến thiên cho hàm f ( r ) = Sr − 2πr ( 0; +∞ ) , ta thấy hàm số đạt giá trị lớn r = S → l = 3r 4π Chọn A Ví dụ 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường tròn tâm O Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân với cạnh đáy a có diện tích a Gọi A, B hai điểm đường trịn ( O ) Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn Trang 17 A a3 B a3 C a3 12 D a3 12 Hướng dẫn giải 1 Tam giác cân SCD, có S ∆SCD = CD.SO ⇔ a = a.SO → SO = 2a 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO = 2a khơng đổi nên để thể tích lớn diện tích tam giác OAB lớn 1 Mà S ∆OAB = OA.OB.sin ·AOB = r sin ·AOB (với r bán kính đường 2 trịn mặt đáy hình nón) Do để S ∆OAB lớn sin ·AOB = Khi Vmax = a3 12 Chọn C Ví dụ 10: Cho hình nón ( N1 ) có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón ( N ) có đỉnh tâm đáy ( N1 ) có đáy thiết diện song song với đáy ( N ) hình vẽ Khối nón ( N ) tích lớn chiều cao x A h B h C 2h D h Hướng dẫn giải Xét mặt cắt qua trục hình nón kí hiệu hình vẽ Với O, I Trang 18 tâm đáy hình nón ( N1 ) , ( N ) ; R, r bán kính hai đường trịn đáy ( N1 ) , ( N ) Ta có R ( h − x) SI r h−x r = ⇔ = →r= SO R h R h Thể tích khối nón ( N ) 1 R ( h − x) πR 2 = πr x = π x = x ( h − x ) 2 3 h 3h V( N ) Xét hàm f ( x ) = x ( h − x ) = x − 2hx + h x ( 0; h ) Ta có x = h f ′ ( x ) = x − 4hx + h ; f ′ ( x ) = ⇔  x = h  2 Lập bảng biến thiên ta có Vậy f ( x ) đạt giá trị lớn khoảng ( 0; h ) x = h Chọn B Ví dụ 11: Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10cm Chiều cao hình nón tích lớn A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Xét hình nón có chiều cao x cm bán kính đáy y cm (x, y dương) Ta có x + y = 102 ⇒ y = 100 − x , ta có điều kiện x, y ∈ ( 0;10 ) Thể tích khối nón 1 V = πr h = π ( 100 − x ) x 3 Xét hàm số f ( x ) = ( 100 − x ) x = 100 x − x , x ∈ ( 0;10 ) ; Trang 19 f ′ ( x ) = 100 − 3x ; f ′ ( x ) = ⇔ x = 10 Bảng biến thiên 10 Ta thấy V lớn f ( x ) lớn x = cm Chọn D 2 Ví dụ 12: Giả sử đồ thị hàm số y = ( m + 1) x − 2mx + m + có điểm cực trị A, B, C mà x A < xB < xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây? A ( 4;6 ) B ( 2; ) C ( −2;0 ) D ( 0; ) Hướng dẫn giải y ′ = ( m + 1) x − 4mx = x ( m + 1) x − m  x = y ′ = ⇔ x ( m + 1) x − m  = ⇔  m x = ± m > 0) (  m +1 2 Với m > đồ thị hàm số có điểm cực trị (với x A < xB < xC )   m m2 A  − ; − + m + 1÷ ; B ( 0; m + 1) ; 2 ÷  m +1 m +1    m m2 C  ; − + m + 1÷ 2 ÷  m +1 m +1  Quay ∆ABC quanh AC khối trịn xoay tích Trang 20 2  m2  m V = πr h = πBI IC = π  ÷ = π 3  m +1  m +1 Xét hàm f ( m ) = Ta có f ′ ( m ) = (m m9 + 1) m8 ( − m ) (m + 1) (m m9 + 1) ; f ′ ( m ) = ⇔ m = 3( m > 0) Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích cần tìm lớn m = Chọn B Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vng A, có AB = cm, AC = cm Gọi M điểm di động cạnh BC cho MH vng góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành A π B 4π C 8π D 4π Hướng dẫn giải Đặt AH = x ( cm ) , < x < Khi BH = − x ( cm ) Xét tam giác BHM vng H · = Ta có tan HBM HM BH · · ⇒ HM = BH tan HBM = ( − x ) tan HBM AC · = tan ·ABC = = = Mà tan HBM AB Do HM = ( − x ) Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH V = π π AH π.HM = x ( − x ) = ( x3 − 12 x + 36 x ) (1) 3 12 Trang 21 Xét hàm số f ( x ) = x − 12 x + 36 x với < x < , ta có x = f ′ ( x ) = x − 24 x + 36; f ′ ( x ) = ⇔ 3x − 24 x + 36 = ⇔  x = Bảng biến thiên hàm số f ( x ) = x − 12 x + 36 x với < x < Từ (1) bảng biến thiên ta tích lớn khối nón tạo thành V= π 8π 32 = 12 Chọn C Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ tích Gọi ( N) hình nón có tâm đường trịn đáy trùng với tâm hình vng ABCD, đồng thời điểm A′, B′, C ′, D′ nằm đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón ( N ) có giá trị nhỏ A 2π B 3π C 9π 9π 16 D Hướng dẫn giải Xét phần mặt cắt qua trục hình nón qua mặt phẳng ( AA′C ′C ) , kí hiệu hình vẽ Với I, H tâm hình vuông ABCD, A′B′C ′D′ đỉnh A′ nằm đường sinh EF hình nón Trang 22 Hình lập phương tích nên AA′ = HI = 1, A′H = Đặt EH = x ( x > ) Khi đó, ta có EH A′H x 2  x +1  = ⇔ = → FI =  ÷= r EI FI x + FI  x  Thể tích khối nón ( N ) 1  x +1  π ( x + 1) = πr EI = π  ÷ ( x + 1) =  x  x2 V( N ) Xét hàm số f ( x ) = ( x + 1) x − ) ( x + 1) ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( x ) = ( x x3 Lập bảng biến thiên Ta f ( x ) = ( 0;+∞ ) 27 9π x = Suy V( N ) = Chọn C Ví dụ 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R = a , góc đỉnh 120° Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác Diện tích lớn tam giác A 3a B 2a C a D 3a Hướng dẫn giải Giả sử ∆SAM thiết diện tạo mặt phẳng hình nón ( ) Gọi AM = x < x ≤ 2a Trang 23 Gọi H trung điểm AM ⇒ OH ⊥ AM ⇒ AM ⊥ ( SOH ) ⇒ AM ⊥ SH AO   SA = sin 60° = 2a Vì ·ASB = 120° ⇒ ·ASO = 60° ⇒   SO = AO = a  tan 60° OH = OA2 − AH = 3a − S ∆SAM = x2 x2 ⇒ SH = OH + SO = 4a − 4 1 x2 AM SH = x 4a − 2 Ta có   1 x2 x2 ′ S = 4a − − 2 x2 4 a −     2  = 16a − x ⇒ S ′ = ⇒ x = 2a  x2 a −   ⇒ S max = 2a Chọn B Ví dụ 16: Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Hình nón ( N ) thay đổi có đỉnh đường tròn đáy thuộc mặt cầu ( S ) Thể tích lớn khối nón ( N) A 32πR 81 B 32 R 81 C 32πR 27 D 32 R 27 Hướng dẫn giải Ta tích khối nón đỉnh S lớn thể tích khối nón đỉnh S ′ Do cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường trịn đáy r đường cao SI = h với h ≥ R Thể tích khối nón tạo nên ( N) Chú ý: Sau tính V = π ( − h3 + 2h R ) ta làm sau: Trang 24 1 V = hS( C ) = h.π.r 3 V = π ( − h3 + 2h R ) = h.π  R − ( h − R )    = πh ( R − h ) = π ( − h3 + 2h R ) = π h.h ( R − 2h ) ≤ π  h + h + R − 2h   ÷ 6  = 32πR 81 Xét hàm số f ( h ) = − h + 2h R với h ∈ [ R; R ) Ta có f ′ ( h ) = −3h + 4hR 4R f ′ ( h ) = ⇔ −3h + 4hR = ⇔ h = (loại) h = Đẳng thức xảy Bảng biến thiên h = R − 2h ⇔ h = Ta có max f ( h ) = 4R 32 4R R h = 27 Vậy thể tích khối nón tạo nên ( N ) có giá trị lớn 32 32 4R V = π R = πR3 h = 27 81 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao cm bán kính đáy cm Cắt hình nón cho mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy hình nón ( N ) đỉnh S có đường sinh cm Thể tích khối nón ( N ) A V = 768 π cm3 125 B V = 786 π cm3 125 C V = 2304 π cm3 125 D V = 2358 π cm3 125 Câu 2: Cho hình nón ( N ) có bán kính đáy a diện tích xung quanh S xq = 2πa Tính thể tích V khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy khối nón ( N ) đỉnh S trùng với đỉnh khối nón ( N ) A V = 5a B V = 2a C V = 3a D V = 3a Câu 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết AB = BC = 10a , AC = 12a , góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) 45° Thể tích V khối nón cho Trang 25 A V = 3πa B V = 9πa C V = 27πa D V = 12πa Câu 4: Cắt hình nón S mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vuông cân, cạnh huyền a Thể tích khối nón A πa B πa C πa 2 12 D πa 12 Câu 5: Cho hình nón có góc đỉnh 60° , diện tích xung quanh 6πa Thể tích V khối nón cho A V = 3πa B V = πa C V = 3πa D V = πa Câu 6: Cho hình nón ( N ) có góc đỉnh 60° Mặt phẳng qua trục ( N ) cắt ( N ) theo thiết diện tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Tính thể tích khối nón ( N ) A V = 3π B V = 3π C V = 3π D V = 6π Câu 7: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón ( N ) có đỉnh A đường trịn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón ( N ) A V = π 3a 27 B V = 6a 27 C V = π 6a D V = π 6a 27 Câu 8: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác Gọi V1 , V2 thể tích khối cầu nội tiếp ngoại tiếp nội tiếp hình nón cho Tính A B V1 V2 C D 16 Câu 9: Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R, phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn A x = 2πR B x = 2πR C x = 2πR D x = πR Câu 10: Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước A h = 3R B h = 5R C h = 5R D 4R Câu 11: Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R khơng đổi, hình nón ( H ) nội tiếp mặt cầu ( S ) Thể tích khối nón ( H ) V1 ; thể tích phần cịn lại khối cầu V2 Giá trị lớn A 81 32 B 76 32 C 32 81 D V1 V2 19 Dạng 4: Bài tốn thực tế hình nón, khối nón Phương pháp giải Trang 26 Sử dụng tổng hợp kiến thức từ dạng tốn 1, Ví dụ: Người thợ gia công sở chất 2, để giải toán thực tế hình nón hay lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán khối nón kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? A V = 16000 lít B V = 16 2π lít C V = 16000 2π lít D V = 160 2π lít Hướng dẫn giải Đổi 60 cm = dm Đường sinh hình nón tạo thành l = dm Chu vi đường tròn ban đầu C = 2πR = 12π Gọi r bán kính đường trịn đáy hình nón tạo thành Chu vi đường trịn đáy hình nón tạo thành 2πr = 2π.6 4π = 4π (dm) ⇒ r = = (dm) 2π Đường cao khối nón tạo thành h = l − r = 62 − 22 = Thể tích phễu 1 16 2π V = πr h = π22.4 = ( dm3 ) 3 = 16 2π (lít) Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao 2dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Trang 27 Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ cịn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0,01dm) A h ≈ 1, 73 dm B h ≈ 1,89 dm C h ≈ 1,91 dm D h ≈ 1, 41 dm Hướng dẫn giải Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ AH = Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai AD = Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai AF = h Theo Ta-lét ta có R′ AD R′′ AF h R Rh = = , = = suy R′ = , R′′ = R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ V = 2πR Thể tích phần nước ly thứ hai V1 = πR′′2 h = πR h3 Thể tích phần nước cịn lại ly thứ V2 = πR Mà V = V1 + V2 ⇔ πR h3 πR h3 + = 2πR ⇔ + = ⇔ h = = 1,91 4 4 Chọn C Ví dụ 2: Một bể nước lớn khu cơng nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba Biết Trang 28 lượng nước lần thoát Tính độ dài đoạn MN A 27 ( ( 9( 3( ) − m B 9 3 C 3 D ) − 1) m − 1) m − m Hướng dẫn giải Ta gọi V1 , V2 , V thể tích khối nón có đường sinh SN, SM, SA Do ∆SEM đồng dạng với ∆SOA nên ta có SM SE EM = = SA SO OA 3 π.EM SE V2  SA   SM  = ⇔ = Lại có ÷ ⇔ = ÷ ⇔ SM = 13122 V SM 27     π.OA SA 3 V  SN   SN  Tương tự =  ÷ ⇔ = ÷ ⇔ SN = 6561 V  SA   27  Vậy MN = SM − SN = 13122 − 6561 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho bìa có hình dạng tam giác vng, biết b c độ dài hai cạnh góc vng bìa Trên bìa ta chọn cạnh huyền làm trục quay xung quanh bìa (kể điểm trong) với trục tạo thành khối trịn xoay Thể tích V khối trịn xoay sinh bìa A V = b2c2 b2 + c2 B V = πb 2c b2 + c2 C V = 2πb c b2 + c2 D V = πb 2c ( b2 + c ) Câu 2: Cho khối gỗ hình trụ có bán kính cm chiều cao cm, đáy hai hình trịn tâm O O′ Đục khối gỗ tạo hai khối nón có đỉnh nằm OO′ đáy trùng với hai đáy khối gỗ cho góc ( ) đỉnh 60° (như hình vẽ) OI = x < x < 3 Giá trị nhỏ tổng diện tích xung quanh hai hình nón đục Trang 29 A 12π cm B 14π cm C 44π cm D 72π cm2 Câu 3: Một tơn hình tam giác SBC có độ dài cạnh K trung điểm BC Người ta dùng compa vạch cung trịn MN có tâm S, bán kính SK Lấy phần hình quạt gị thành hình nón khơng có mặt đáy với đỉnh S, cung MN thành đường trịn đáy hình nón (hình vẽ) Tính thể tích khối nón A π 105 64 B 3π 32 C 3π 32 D π 141 64 Trang 30 ĐÁP ÁN Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết mặt nón, hình nón, khối nón 1-D 2-B 3-A 4-D Dạng 2: Bài tốn tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón -A 2-C 3-D 4-B 5-D 6-D 7-C 8-B 7-D 8-C Dạng 3: Bài tốn tính thể tích khối nón, tốn cực trị -A 11 - D 2-D 3-B 4-D 5-C 6-C 9-A 10 - D Dạng 4: Bài toán thực tế hình nón, khối nón 1-B 2-A 3–A Trang 31 ... ) nội tiếp mặt cầu ( S ) Thể tích khối nón ( H ) V1 ; thể tích phần cịn lại khối cầu V2 Giá trị lớn A 81 32 B 76 32 C 32 81 D V1 V2 19 Dạng 4: Bài toán thực tế hình nón, khối nón Phương... 7-C 8-B 7-D 8-C Dạng 3: Bài tốn tính thể tích khối nón, toán cực trị -A 11 - D 2-D 3-B 4-D 5-C 6-C 9-A 10 - D Dạng 4: Bài tốn thực tế hình nón, khối nón 1- B 2-A 3–A Trang 31 ... nón lớn nón nhỏ x, y ( x > y ) Suy chiều cao hình nón lớn nón nhỏ x 3, y  x + y = 30  Theo giả thi? ??t, ta có  2  πx x + πy y = 10 00π 3  x + y = 10 20 10 ⇔ ⇔x= , y= 3 3  x + y = 10 00