Đang tải... (xem toàn văn)
BIÊN SOẠN THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED VN|1 CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC I CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 01 ĐỀ BÀI Câu 1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và Tính tích phân A B C D Câu 2 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , Biết , tính A B C D Câu 3 Cho hàm số liên tục trên khoảng và thỏa mãn với mọi Tích phân bằng A B C D Câu 4 Cho hàm số có đ.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC I CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 01 ĐỀ BÀI Câu 1: y f x Cho hàm số có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f 1 1 I � f x dx xf x f � x x x 2, x �� Tính tích phân 5 A B C Câu 2: f x Cho hàm số f 2 2 D f� x f x e x x �� Biết f , tính có đạo hàm liên tục �, e A Câu 3: B 3e f x Cho hàm số C e liên tục khoảng D 2e 0; � thỏa mãn f x x 3 x với x � 0; � Tích phân 112 A f x dx � 56 B 14 C D Câu 4: Cho hàm số f x xf x dx � có đạo hàm liên tục đoạn Câu 6: thỏa mãn f 1 , Khi 11 A Câu 5: 0;1 � x � �f � �dx � f x dx � B 12 C 11 D 12 y f x 0; � thỏa mãn xf � x f x x , x � 0; � Cho hàm số có đạo hàm f 1 f 4 , Giá trị biểu thức 11 13 17 15 A B C D Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn f x dx � x f x3 x 1 f x x x3 x x, x �� Khi 1 A 6 B 3 C D 1 x Tuyển chọn toán VD-VDC | 388 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu 7: Cho hàm số f x 0; � liên tục CHUYÊN ĐỀ: thỏa mãn f x x 2 x x 1, x � 0; � Biết A Câu 8: f 8 I Cho , tính I � x f � x dx 68 f x B I 35 C I 52 f 16, liên tục, có đạo hàm � thỏa mãn D I 62 f x dx � Tích phân xf � x dx � A 30 Câu 9: B 28 Cho hàm số f x C 36 D 16 f x xf � x x f 1 3 có đạo hàm liên tục � thỏa mãn Khi f x dx � A 1 B Câu 10: Cho hàm số f x ln Tính I A f 2 0; � Biết liên tục f x I dx D C x ln x x nguyên hàm hàm số f � �x I B C I D I y f x Câu 11: Cho hàm số có đạo hàm liên tục xác định �, đồng thời thỏa mãn điều x e � f x d x xf x e x dx � � ; f Giá trị f 1 kiện: x ; e A 3e B C D e Câu 12: Cho hàm số f x � liên tục tập số thực thỏa mãn xf ( x) f ( x) x , x �� f (1) Hãy tính A f x dx � B 5 D C x f '( x) (3x ) f ( x) f '( x) 16 x 8, x ��\ 0 x Câu 13: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) Khi giá trị f (3) 20 A B 12 C 288 10 D Tuyển chọn toán VD-VDC | 389 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: f x Câu 14: Cho hàm số f 2 có đạo hàm � thỏa mãn , xf � x dx � , f x dx � x Tính A f x dx � B f x Câu 15: Cho hàm số C A I C I Câu 16: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( x) � e �x �f � f ( x) dx f ln x e x ln x dx D I I� e f ( x ) dx f (3) ln3 Tính C I ln3 B I 11 e2 �tan x f cos x dx ; � liên tục � thỏa mãn f 2x I � dx x Tính tích phân A I B I D D I ln3 �π � f x f � x � sin x.cos x y f x �2 � Câu 17: Cho hàm số có đạo hàm liên tục R thỏa mãn , π x f � x dx � f 0 x �R với Giá trị tích phân π π A B C Câu 18: Cho hàm số y f x Biết A 1 Câu 19: Cho hàm số f x x2 f x f x x2 f x liên tục tập � thỏa mãn x f x dx � D �f x dx Tính tích phân B f x g x 1 C D f� 0 f � �0 liên tục, có đạo hàm � thỏa mãn g x f � x x x 2 ex A I 4 Câu 20: Cho hàm số I � f x g� x dx Tính B I e y f x 390 | Phan Nhật Linh C I D I e liên tục, có đạo hàm dương khoảng f x 3xf x xf � x A , f 1 B Khi 0; � f 4 C D thỏa mãn CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN y f x Câu 21: Cho hàm số CHUYÊN ĐỀ: liên tục đoạn 2; 2 x , x � 2; 2 f x f x 2 I Tính A �f x dx 2 I 10 Câu 22: Cho hàm số B y f x I 10 C Biết A B hàm f x số 20 D xác định có đạo hàm liên tục đoạn f� x � �f x � � � �f x 1� � x 1 Câu 23: Cho I liên f 1 2 đồng Tính I � xf x dx D biến 20 1; 2 , f x �1, x � 1; 2 C tục I đoạn 1; 4 , f 1 f x dx x xf x � x � �f � �, x � 1; 4 Đặt I � Mệnh đề đúng? A I B I Câu 24: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn f ( x) xf � ( x) x x f ( x), x �[1; 2] A ln Câu 25: Cho B hàm số ln D 12 I 16 C I 12 1; 2 thỏa mãn x f ( x)dx Giá trị tích phân � C ln y f ( x) f (1) liên tục D � thỏa mãn I � f ( x)dx sin x f (cos x) cos x f (sin x) sin x sin x với x �� Tính tích phân 1 A B C D Câu 26: Cho hàm số f x g x thỏa mãn f 1 g 1 và: � x g x 2020 x x 1 f � x � x � x �� 1; 0 � x 1 �x � x � I � g x f x � dx � g x f x 2021 x � � x 1 x � �x 1 � Tính I I 2 A I B C I D Tuyển chọn tốn VD-VDC | 391 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: 0;3 thỏa mãn f ( x) f (3 x) Tính Câu 27: Giả sử hàm số f ( x) liên tục ln dương đoạn tích phân I A I � dx 1 f x ? B I D I C I f x Câu 28: Cho hàm số cot x f sin x dx � liên tục � thỏa mãn f 4x a dx , � x b 16 , f x dx �x Tích phân A P a, b Tính giá trị biểu thức P a b biết a, b �� B P C P D P ( x) xf ( x) xe x Câu 29: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f � f (0) 2 Tính A I Câu 30: Cho I � xf x dx e 1 e f x 1 e I e B I C hàm số liên tục đoạn f x f 2021 x 2021 A Câu 31: Cho hàm số f x f � x �1 f x I Tính 2021 B f x D 0; 2021 Giả sử với 2021 f x e 1 e I e e 1 x � 0; 2021 , ta có dx �1 f x C 2021 D 4042 f 2, f x 0, x �R liên tục R thỏa mãn điều kiện: dx � x 1 dx f ( x)dx � Tính tích phân 114 141 B 30 C 30 1411 A 30 D - 1411 30 ( ; +�) thỏa mãn đẳng thức có đạo hàm liên tục khoảng ( x3 - x + x ) f ( x ) + ( x - x +12) f � x = ( ) x �( ; +�) f ( 5) x2 + với Giá trị Câu 32: Cho hàm số A C f ( x) f ( 5) = 34 - f ( 5) = 34 - 10 Câu 33: Cho hàm số Tính f (1) 392 | Phan Nhật Linh f x B f ( 5) = 34 +10 D f ( 5) = 34 + � �f � x � x x với x �� f � f x f � thỏa mãn � CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: B � A Câu 34: Cho hàm số y f x D C �1 liên tục � thỏa mãn f x f x 2021x 2020 x 4, x �� Tính tích phân 2021 2020 A B C I �f x dx 2 2022 D f x 0; � thỏa mãn f , f x 0, x � 0; � Câu 35: Cho hàm số có đạo hàm 1 1, x � 0; � I � f x dx f x f � x 1 Tính I I I I 3 A B C D 0; 2 Biết f nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục x3 3x f ' x I � dx x � 0; 2 f x f x e x 4 x f x với Tính tích phân 14 32 16 16 I I I I A B C D f x Câu 36: Cho hàm số Câu 37: Cho hàm số f x 2sin x �f x ecos x � A 1; liên tục nhận giá trị dương �, thỏa mãn �2 � f � � f x � f � x 0, x � � � Khi �3 �thuộc khoảng B Câu 38: Cho hàm số y f x 2;3 C liên tục thoả mãn 3; f x x 1 x D f e2 0;1 , với x �R Tính tích I phân A �f x dx 1 I 11 Câu 39: B I 11 f x Cho hàm số C I D xác định liên tục đoạn I 0;1 thỏa mãn x f x f x x f x dx � Tính A B C 32 D 16 Tuyển chọn toán VD-VDC | 393 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN y f x Câu 40: Cho hàm số CHUYÊN ĐỀ: hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị điểm x 2 Tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số y f x với trục tung đường thẳng d có phương trình ln 3 x y 2021 Tích phân � � x 1 f � e � � y f x 3 � e x dx � x B 3ln A 1 3ln Câu 41: Cho hàm số I C 3ln D 3 3ln có đạo hàm liên tục R thỏa mãn π �π � I � x f � x dx f x f � x � sin x f � � x �R , với Giá trị tích phân π π A B C D Câu 42: Cho hàm số f x xf x x x3 f 1 có đạo hàm � thỏa mãn y f x I � xf ' x dx x � � với Tính tích phân A I B I 1 Câu 43: Cho hàm y f x số liên C I tục D I 0; 4 đoạn thỏa mãn: f ( - x) - f ( x ) =- x - x +16 " x �[ 0; 4] 64 A B 128 Câu 44: Cho hàm số f x I � x f x dx Tính 128 C có đạo hàm liên tục 320 D 0; � thoả mãn f 1 x f � x f x ln A f x dx � với x Giá trị tích phân 2ln B 2ln C 2ln D Câu 45: Cho hàm số A 3e f x Câu 46: Cho hàm số có f x dx � f� x x 12 x e x x �� , Khi 1 1 1 B 3e C 3e D 3e f 1 f ( x) có đạo hàm liên tục R, thỏa mãn f ( x ) f (2 x ) x x 2, x �R Tích phân 394 | Phan Nhật Linh sin x f � (2sin x)dx � f (0) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN A CHUYÊN ĐỀ: 10 C B y f x Câu 47: Cho hàm số ; x � 0; � liên tục khoảng giá trị f e 0; � C e y f x f x dx � 2x 3 ( x) ln x f ( x) xf � D Câu 48: Cho f 1 bằng: B e A Biết D hàm số chẵn liên tục � Biết f x dx � f x dx 3� Khi đó, giá trị A 10 C B 12 Câu 49: Cho hàm số y f x D 13 có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 , thỏa mãn x f x dx � 2x2 f x � � �f ' x � � � � �với x thuộc đoạn 0;1 f 1 Tính 3 A B C D Câu 50: Cho hàm số y f x liên tục đoạn 0; 2 thỏa mãn: f '( x ) = f '( - x ) với " x �[ 0; 2] f 2003, f 2021 Biết A 2012 I � sin x f 2cos x dx Tính tích phân B 4024 C 4024 D 2012 Tuyển chọn toán VD-VDC | 395 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cách 1: Phương pháp tự luận: xf x f � x x x 2, x �� x f x xf � x x x x, x �� Từ suy 1 x f x dx � xf � x dx � x x x dx � 0 Do t x d t x d x Đặt ta có ta 1 1 1 x f x d x f t d t f t d t f x dx � 3� 3� 3� 0 1 x f x3 dx � xf � x dx � x8 x x dx � 0 Vậy ta có 1 1 � � 5 1 5 � � f x dx � xf � f x dx �xf x � f x dx � x dx � � 30 30 � � � 2 2 f x dx � f 1 f � �� f x dx � � � 9 Vậy I � f x dx Cách 2: PP chọn hàm đại diện xf x f � x x x 2, x �� f x suy chọn đặt hàm số hàm số xf x f � ( x) x x bậc dạng f ( x ) ax bx c với a, b, c �� Ta có Từ đẳng thức x� a x 2ax b x x b x3 c � � � Do � x� ax 2a b x a b c � � � 2ax b x x a 1 � a 1 � � 2a b � � �� �� b 2 a b c � � c0 � � � ax 2a b x 3a b c x b x x b � Do f ( x ) x x thỏa mãn f (1) 1 , từ ta có Câu 1 0 I � f x dx � x x dx 2 Từ giả thiết ta có f� x e x e x �f x �f x � 2x e f� 1� � x x f x e e � 2x e �e x Từ Câu x f 0 Ta có: f x xe x f 2e , thay vào ta có C Vậy Vậy f x x 3 x Suy f x x 1 396 | Phan Nhật Linh � � f x � � x x C e � Do x 2 x x 3 f x dx �x 1dx � 0 x 1 3 14 1 3 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu Ta có CHUYÊN ĐỀ: 1 1 �3 � f x d x2 x2 f x � x 2d f x � x2 f � x dx 0 xf x dx � 1 1 �� x f� x2 f � x 4dx 10.1 25 x dx � � x dx 25� f � x dx 10� 0 0 1 �� f � x 5x dx � f � x 10 x2 f � x 25 x dx 0 5x3 � f x C � C � f� x x f Vậy mà Câu xf � x f x 2x Xét phương trình khoảng y f x , x �f � x Chia hai vế cho x , ta � Vậy f 4 17 2 � 2 0 1 1 1 2 0 x f x dx � 1 1 1 f x dx � f x dx 2 � 1 20 2 1 3 0 Ta lại có 1 � � f x3 d x3 � f x2 d x2 30 21 1 1 f x2 d x2 � f x dx � 1 20 x f x dx � xf x dx � 4x � � 1 3x 0 1 1 f x3 d x3 � f x dx � 1 1 xf x dx � Do �� x f x3 dx � xf x dx � x3 3x dx 2 � � 2 Xét nên liên tục � �f x x � � x f x � x x x f x x 1 f x x 3x x 3x Ta có: � x 1 x f x x 1 f x x 1 x 3x � x f x f x x 3x � x f x x f x x Xét 0; � 14 1� 14 � 17 �2 � � x3 � � f f 1 � f � 1� �3 �3 � � (vì f 1 ) Câu có đạo hàm x f x x �5 x � 11 f x d x dx � � � � 3� 0� � � x f x dx �xdx Lấy tích phân từ tới hai vế ta 1 1 x dx 1 f x dx � f x dx � � f x dx � 30 20 3 0 f x dx 6 � 2 3 Từ suy 1 Tuyển chọn toán VD-VDC | 397 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: Câu 11 Ta ex � f � x dx � e xd f x x ex f có x 4 � f x e x dx e f ef 1 � f x e x dx 1 � ef 1 � f x e x dx 1 Mặt khác: e 1 � xf x e dx � f x x2 1 x2 d x ef 1 � f 1 Từ (1) (2), suy 4 �f t e dt � �f x e dx t 1 e � �f ( x) � xf � ( x) f ( x ) �� � �x � x2 xf � ( x) f ( x) x , x �� Suy Câu 12 Theo giả thiết: f ( x) � xc x x hay f ( x) x cx , mà f (1) nên c 1 1 � �1 f x dx � ( x x )dx � x x � � �0 �3 0 Vậy Câu 13 Từ đề ta có 1 x f '( x) (3 x ) f ( x) f '( x) 16 x � ( x 1) f '( x) (3 x ) f ( x) 16 x x x ' ( x3 x) f ( x) � � ( x x) f '( x ) (3 x 1) f ( x) 16 x x � � � � 16 x x Lấy nguyên hàm hai vế ta có: ( x x ) f ( x ) x x c � f (2) 48 c � c Vậy f (3) 12 Câu 14 Ta có 2 2 2 0 0 0 xf � f x dx xf x � f x dx f � f x dx � f x dx x dx � xf x �dx � � Theo giả thiết Đặt 2 0 xf � f x dx � � f x dx x dx � � � t x � dt x dx Đổi cận x � t ; x � t Theo giả thiết f x dx 2� x 2 1 f t dt � � f t dt � � f x dx � Tuyển chọn toán VD-VDC | 399 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Ta có 2 0 CHUYÊN ĐỀ: f x dx � f x dx �f x dx � Câu 15 Xét I1 � tan x f cos x dx tan xdx , đặt t cos x Khi x � t 1, x 1 f t sin x.cos x 1 dt I1 � dx 2 t Suy cos x t Do e2 f ln x f t �t �t 2; I1 2 � e x ln x Xét , đặt t ln x Khi x e � t 1; x e � t ; f t dx dt f t I2 � dt � dt I x.ln x t Do t Suy t I dx f 2x 1 dx dt I � dx x �t ,x 2�t x t Do 4 Xét , đặt t x Khi ; x f t f t f t I � dt = � dt � dt 1 t t t 2 Câu 16 Đặt � ux du dx � �� � f ( x) dv f � ( x )e dx � v e f ( x) � 3 0 ( x)e �x �f � � 3� e f (3) � e f ( x ) dx � � e f ( x ) dx 3.eln π π Ta có: Mặt khác, ta có: �π � f x f � x � sin x.cos x � �2 � Suy ra: Câu 18 Ta có 0 � 0 π Suy ra: I � f x dx � � 2 f x d x f x d x sin x.cos x dx � � � � � 0 �2 � � 2 π dx � �f x dx f � x� �f x dx � �2 � Vậy I � f x dx f x x2 f x f x x2 f x � f x x2 f x f x x2 f x � x2 f x x2 f x � x2 f x f x � x �� �f x f x � f x f x Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh: 400 | Phan Nhật Linh �π � �π � f � � � f � � �2 � �2 � π I � x f � xd � xf x � f x dx x dx � �f x � � � � � � dx x � e f ( x) � e f ( x ) dx �π � f x f � x � sin x.cos x f 0 f 0 � � Câu 17 Ta có: nên π f ( x) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN f x Cho hàm số Thì ta có: a; b liên tục b x f x dx � a CHUYÊN ĐỀ: f x f a b x x � a; b , thỏa mãn điều kiện b a b f x dx � a Do đó: 2.2 �f x dx 1 1 Cách 2: Đổi biến trực tiếp Đặt t x � dt dx x 1 � t 4; x � t 1 Khi đó: 4 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 2 � x f x dx t f t dt � x f x dx � x f x dx � 4 � x f x dx � f x dx � � f x dx x f x dx � Suy ra: Câu 19: Đặt h x g x f ' x x x 2 e x Ta có h 0 g 0 f � 0 Tương tự mà h 2 g 2 f � 2 Ta có nên f� �0 f� �0 mà g 0 nên g 2 I � f x d g x f x g x � g x d f x 0 2 0 f g f g � g x f � x x e x dx x dx � Đặt x u x x dv e x dx du x dx , ta có , chọn v e Khi 2 0 x x e x dx x x e x � x e x dx � 2x 2 d ex � 0 2x 2 e x 2 � e d x 2e � e x dx x 0 2e2 2e x 4 Suy Câu 20 Ta có I � x x e x dx f x 3xf x xf � x � f x xf � x f x 3xf x � x f x x f � x f x f x f Thay x vào (*), ta có 1 � x x �� �f x � � � x � � �x dx � f x x x C � (*) 1 C � C Tuyển chọn toán VD-VDC | 401 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN � (*) CHUYÊN ĐỀ: x 1 x x � f x � f 4 f x x 2 2 1 2� f x dx � f x dx �2 dx f x f x x � 2; 2 x x Câu 21 Ta có , , suy (1) Xét 3� f x dx 2 Thay (2) vào (1), ta 2 2 2 2 3� f x dx � f t dt � f x dx Đặt t x � dt dx Ta có 5� f x dx 2 2 1 dx I� f x dx �2 dx � x 4 � 2 x 2 2 � x 2 � t � � � �x � t x tan t � dx tan t dt Đặt Đổi cận: � Khi 1 I � 2 tan t dt tan t 10 dt � 20 f� x � �f x � � f� x � �f x � � � �f x 1� � x 1 � Câu 22 Ta có: f� x � �f x � � �� Xét I � � �f x 1� � x 1 dx � x 1 dx 1 � �f x 1� � f� x � �f x � � 4 � �f x 1� � dx : đặt t f x 1 : t 1 1 �1 � I � dt � � dt C �2 � t t t � t t 3t �t 1 x3 C x2 x Thay vào (1) ta được: t t 3t 1 x3 C x2 x f x �f x 1� �f x 1� � � � � Hay 1 x3 x2 x f x �f x 1� �f x 1� f 1 2 � � � � Vì nên C , suy 1 x � f x 1 f x 1 x Đồng hai vế, suy ra: 2 � 1� I � x� 1 � � x 1 dx x� � Khi đó: Câu 23 Ta có : 402 | Phan Nhật Linh (2) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: x xf x � 1 f x � x � x � �f � �� x � � � � �f � � 2 � x� 1 f x � x ( f x đồng biến ) � � f � Nguyên hàm hai vế, ta được: 1 f x � f� x 1 f x x , x � 1; 4 x x c 1� �2 x x � � 3� 1 f x x x � f x � f 1 � c Suy 3 Với 1� �2 x x � � 4 1403 3� � I �f x dx � 15,5 8 1 90 Vậy f ( x ) xf � ( x) x3 x f ( x) � Câu 24 Từ giả thiết, ta có f ( x) xf � ( x) 2x 1 [ xf ( x )] � �1 � 1 �� 2 x � � ( 2 x 1)dx � x2 x C � xf ( x ) xf ( x ) xf ( x ) � � 1 f (1) � C � xf ( x ) x( x 1) 2� 1 1� x 1 �� x f ( x) dx � dx � � dx ln ln 1 x ( x 1) � x �x x � Câu 25 Ta có sin x sin x sin x sin x sin x.cos x Do đó, từ giả thiết ta 0 � f cos x d cos x � f sin x d sin x � sin x.cos xdx 1 0 � � f t dt � f t dt � cos xd cos x � 2� f t dt � t dt � 2I � t dt Câu 26: 1 3�I6 � x g x 2020 x x 1 f � x � � x 1 � �x g� x f x 2021x � �x � x 1 � g x f� x 2020 � x � x 1 � � x g �x f x 2021 � x �x Lấy vế cộng vế hai phương trình ta được: Tuyển chọn tốn VD-VDC | 403 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: � � �x x � � g x g x f� x f x � � � � � x 1 ��x x 1 x � � � � �x � � x 1 �x � � �x � �� g x � � f x � g x f x � � x �x � �x � � �x � Lấy nguyên hàm hai vế ta được: x x 1 g x f x x C x 1 x Do f 1 g 1 x x 1 g x f x x 1 x nên ta có C � C 1 Suy x 2 �x �2 x 1 �x � I � g x f x d x x d x � x� � � � x 1 x � �2 �1 � Do đó: Câu 27 Đặt t x � dt dx Thay vào ta 3 1 I � dx � dt � dx 1 f x 1 f t 1 f x 0 3� � f x f x 0� dx � � 1 f x 1 f x � � Suy , hàm số f ( x) liên tục dương đoạn 0;3 Suy f x f x , đoạn 0;3 � f x Mà f ( x ) f (3 x ) Vậy I �dx 2 I1 � cot x f sin x dx Câu 28 Đặt Đặt t sin x � dt 2sin x.cos xdx 2sin x.cot xdx 2t.cot xdx x �t ;x �t 1 2 Đổi cận: � I1 � f t f 4x 1 f t dt � dt � 4x 2t 21 t x dx 16 f I2 � d 4x , Đặt t x � 2tdt dx Đổi cận: x � t 1; x 16 � t Đặt 16 f x 404 | Phan Nhật Linh f 4x 2� x f 4x dx � � dx I1 x x x dx I2 � 1 f 4x f 4x d x dx f t f t � � �2 2tdt � dt 4x x 1 t 4 t 4 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN f 4x �x Suy CHUYÊN ĐỀ: I2 2 dx f 4x �x f 4x dx � Khi đó, ta có: Vậy P a b f 4x dx � dx x � a 7, b 2 x x � � �f ( x ).e � � x Câu 29 x x ( x) xf ( x) xe x � f � ( x).e xf ( x).e xe x e Ta có f � x2 � f ( x).e � x.e Khi ta có f ( x).e x2 x2 x2 dx 2� e 2e x2 2 � x2 � � x.e � � x � x2 � d � � 2e C � 2� C 0 Với x ta f (0).e 2e C � f (0) 2 C mà f (0) 2 � C Suy f ( x).e x2 2e �x � � � �2 � � � � f ( x) 2e x 2021 Ta có: x2 dx 1 f 2021 x � Câu 30 I � xf x dx 2� x.e dx � e x d x2 e x Khi ta có: I 2021 1 1 e 1 e e f 2021 x �f 2021 x 1dx Đặt: 2021 x t dx dt Khi x t 2021 , x 2021 t 2021 f t f x d t dx � � f t 1 f x 1 2021 0 I Ta được: 2021 Do đó: 2I � dx f x 1 f x f � x �1 f x Tính Câu 31 2021 f x dx � dx 2021 � f x 1 0 2021 dx ta đặt Vậy: I 2021 1 f x t �1 f x t � f x f � x dx 2tdt � f x f ' x dx tdt f x f � x �1 f x Thay vào ta Do f x C x2 x tdt dx � � dt t C f x C t ; f 0 2 � 2 C � C 3 Tuyển chọn toán VD-VDC | 405 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: f x x x � f x x x � f x x x 3 Ta có 2 f x dx � [ x � Suy 1 x 3 1]dx � x4 x x3 + 6x + 6x - 1 dx 2 �5 �2 � x x3 + 7x + 6x + 8 dx �x5 x2 73x 3x x �1 1411 30 � � f ( x)dx � Vậy Câu 32 Ta có 1411 30 f ( x ) + ( x - x +12) f � ( x) = ( x3 - � f ( x) + ( x - 3) ( x - 4) f � ( x) = � ( x - 3) f ( x) + x + x) x2 + x ( x - 3) x2 + x x- f � ( x) = x- x +9 � � � x- x x- x �� f ( x ) �= � f ( x) = � = x2 + + C 2 � � x- x- � � x +9 x +9 f ( x) Vì hàm số có đạo hàm liên tục với x �( ; +�) thỏa mãn ( *) ( *) vớ i x �( ; +�) ( *) ta C = - nên ta thay x = vào x- f ( x ) = x + - � f ( 5) = 34 - � f ( 5) = 34 - 10 x - Suy � �f � x � x x2 � f x f � Ta có: � Câu 33 � �� x � �f x f � � x � f x f � x � 6x 2 dx 2x3 x C Mà f 0 f x f � x x3 x nên thay x ta được: C Suy Lấy tích phân vế ta được: f x � f x f � x dx � 2x � 0 � f 1 � f 1 � f x f x 2021x 2020 x dx 3x 4, x �� Câu 34 Từ giải thiết Lấy tích phân hai vế từ 2 đến ta được: 406 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN � �f x f x � �dx � 2 2 2021x � 2 �f x dx �f x dx x � 2020 2 2021 2 CHUYÊN ĐỀ: x dx x 4x 2 �I� f x dx 22022 2 J �f x dx Xét Đặt t x ta có dt dx Đổi cận: x 2 � t ; x � t 2 2 2 J� f t dt 2 �f t dt �f x dx I Do 2022 2021 Vậy I � I Câu 35 Ta có: 2 2 1 1 f x f � x 1 f x f x f � x f x x 1 � f � � 2f� x 1 f x f � x � f x x f x C f 0 Vì f x x f x 1 � � �f x 1� � x C nên Do � f x x 1 Vậy f x 0, x � 0; � 1 0 I � f x dx � x dx Câu 36 Cách 1: Từ giả thiết f x f x e2 x 4 x f 2 , cho x , ta có Ta có x3 3x2 f ' x dx I � f x � u x3 x � du 3x x dx � � �� f ' x � dv dx v ln f x � � f x f x 0, x � 0; 2 Đặt � (do ) Khi đó, ta có 2 0 I x x ln f x � 3x x ln f x dx 3� x x ln f x dx 3J J � x2 x ln f x dx Đặt x t � dx dt ; đổi cận: x � t 0; x � t 2 � J � ln f t d t �2 t t � � 2 2 � � � ln f x d x � x2 2x � ln f x dx x 2 x � � � � � Tuyển chọn tốn VD-VDC | 407 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Suy 2 0 � � � 2J � x2 2x� x2 2x� ln f x dx � x2 2x� ln f x f x dx � �ln f x dx � � � � � � � x 2x� � �ln e 2 x2 4 x dx � x2 x x x dx f x f x e2 x Cách 2: Từ giả thiết ta có f x e CHUYÊN ĐỀ: x x2 x I � 4 x ex 2 x e 2 x 2 x nên ta chọn 3x f ' x f x 32 16 16 I 3 J 15 � J 15 Vậy x dx � 3x x e x e 2 x x2 2 x dx � x x x dx 16 Câu 37 2sin x �f x e cos x f x � f � x � 2sin x f x 2sin x.e cos x f x f � x 1 � � f x 1 cho Do hàm số liên tục nhận giá trị dương � nên chia hai vế phương trình f� x sin x f x sin x.e cos x f x f x ta Nhân sin x.e �e hai vế cos x cos x f x phương f� x e f x cos x trình sin x.e cos x � � cos x f x � sin x e dx � � � e � � Trong đẳng thức 3 � e 2 cos x 3 cho x ta f x e2 cos x � e cos x với � 12 cos x �� e � f x e2 cos x f 0 e C � e e cos x C 3 e2 e C � C f x =ecos x � f x e2cos x dx 3t dt x t t Câu 38 Đặt , ta có 3 Đổi cận: x 1 � t 2t 1 � t 2t � t x � t 2t � t 2t � t Lúc ta có 1 1 0 f t 2t 1 3t dt � 2t 3 3t dt �f x dx � �4 �1 � 6t 9t 4t dt �32t 3t 2t 6t �0 112 � � 408 | Phan Nhật Linh được: � cos x � f x � sin x.e � 4 �2 � 2cos � f � � e ; 0.367 � 0;1 e �3 � I ta CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu 39 Ta có CHUYÊN ĐỀ: x f x f x x 1 1 � 3.� x f x dx 5� f x dx �1 x dx � A B �1 x dx * A � x f x dx 0 0 Đặt t x � dt xdx ; x � t 0; x � t 2 1 0 A� f t dt � f x dx B� f x dx 1 0 Đặt t x � dt dx; x � t 1, x � t B� f t dt � f x dx Do 1 f x dx � f x dx �1 x * � 3� 0 1 0 dx � 8.� f x dx �1 x dx � � x sin t � dx costdt , t �� ; � ; x � t 0, x � t � 2� Đặt cos 2t � � � �1 x dx �1 sin t cos tdt � dt � t sin 2t �2 2 � �0 0 Vậy f x dx � 32 ln Câu 40 Ta có � � I � x 1 f � e x dx e x 3 � � � ln3 ln � x 1 e dx �f � e � x x e x dx Áp dụng công thức tích phân phần ta có ln I1 x 1 e dx x 1 e � x x ln 0 ln I2 Xét � e �f � x 3 e x dx ln e dx 1 ln 3 e � x Vì y f x 4 3ln x x Đặt t e � dt e dx Đổi cận: x � t 2 x ln � t Suy x ln3 I2 � t dt = f � t �f � 2 2 f� 0 f � 2 f� 2 hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị điểm x 2 nên Giao điểm đồ thị hàm số y f x với trục tung có hồnh độ x Phương trình đường thẳng d có dạng 3x y 2021 � y 3x 2021 3 d tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số y f x với trục tung � f � Tuyển chọn toán VD-VDC | 409 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: � I 3 3 Vậy I I1 I 7 3ln Câu 41 �π � f x f � x � sin x f 0 f 0 � � Theo giả thiết: nên Ta có: π π 0 nên Câu 42 �sin x dx cos x 1 �π � f � � �2 � π I � x f � xd � xf x � f x dx � f x dx x dx � �f x � � � � �� �π � f x f � x � sin x � �2 � Mặt khác: Ta có: π π �π � f � � � �2 � 0 � � x� dx �sin x dx �f x dx �f � �2 � � � x� dx � f x dx t x �f � �2 � (Đặt ) π �f x dx 1 I � x f � x dx 2 Vậy Lấy tích phân hai vế với cận , cận đẳng thức f x xf x x x3 Đặt t x � dt 2dx � dx ta được: Đặt t x � dt xdx � xdx xf x dx � �0 1 Thay vào 11 f x dx 2� ta 0 12 12 f t d t f x dx 0� 0� f x dx � xf x dx � 1 dt ; Đổi cận x � t , x � t 2 �� f x dx dt ; đổi cận x � t , x � t 2 0 �f x dx �f x dx � �f x dx f x xf x x x f 2 x Đồng thời thay vào biểu thức ta có Xét I � xf � x dx ux du dx � � �� � I xf x |1 � f x dx � dv f � x dx � v f x � =3 đặt Câu 43 Cách 1: Từ giả thiết f ( - x) - f ( x) =- x - x +16 " x �[ 0; 4] f 0; f 0; f Xét hàm số f x 410 | Phan Nhật Linh bậc hai, ta tính (*) f x ax bx c , từ (*) tìm f x x2 2x CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Suy I � x3 x dx 64 CHUYÊN ĐỀ: Cách 2: 4 0 16 �f ( - x) dx - 3�f ( x) dx = � ( - x - x +16) dx =- +) Ta có: Đặt t x , có dx dt ; x � t 4; x � t Khi 4 Suy 4 16 2�f ( - x ) dx - 3�f ( x ) dx =- �f ( x ) dx =3 0 +) Từ giả thiết ta có Suy �f ( - x ) dx =- �f ( t ) dt = 2�f ( t ) dt = 2�f ( x ) dx Từ 16 �f ( x) dx = x f ( - x ) - 3x f ( x ) =- x3 - x +16 x " x �[ 0; 4] 4 0 2� x f ( - x) dx - 3� x f ( x ) dx = � ( - x3 - x +16 x) dx =- 64 (1) Đặt t x , có dx dt ; x � t 4; x � t 4 2� x f ( - x ) dx =- � ( - t ) f ( t ) dt = 8�f ( t ) dt - 2�t f ( t ) dt = 128 - I 0 Khi 128 64 - I =- 64 � I = Thế vào (1) ta có: Câu 44 Ta có x f � x f x � f x x f � x x � x f x � x Suy x f x � x dx 3x x C f 1 C � C � C Thay x vào ta được: Do đó: x f x 3x x � f x 3x 2 � f x dx � 3x � � � 1 Câu 45 x �2 � �3 x dx � x 2ln x � 2ln � x � �2 �1 � u f x � du f � x dx �� � dv dx � v x 1 Đặt � f x dx x 1 f x � Khi 1 0 � x x 1 12 x e x dx 3e1 x 1 f ' x dx f � Câu 46 Thay x ta f (0) f (2) � f (2) f (0) 1 Ta có: 2 0 f ( x)dx � f (2 x )dx � Tuyển chọn toán VD-VDC | 411 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN 2 0 f ( x) f (2 x) dx � x x dx � Từ hệ thức đề ra: Ta có : sin x f � 2sin x dx � Câu 47: Ta có : CHUYÊN ĐỀ: �� f ( x)dx 3 2 � 1� 1� 4� � t f t dt t f t f t dt � � 1 � � � � 20 2� 3� � 2� f x xf � x ln x x x f x x � ln x f � � � ln x f � x x f x x � x x2 � ln x �f x � �� � x � � x Lấy tích phân cận từ đến e vế ta : e � �f x � f x e f e f 1 ln x d x � �dx � � � x x � e x e � f e 1� e Câu 48 Ta có: I Xét y f x � f x f x , x �� hàm số chẵn liên tục � f x dx � 1 x 3 Đặt t x � dx dt , đổi cận x 3 � t ; x � t 3 t x f t f t f t f x � I � t dt = � dt = �t dt = � x dx 0 1 2t 3 f x � �x dx �x dx �x dx � x dx �x dx � f x dx 1 1 1 1 1 3 3 0 0 f x f x f x � f x dx � f x dx 12 2x f x 2 x2 1 f x � �f ' x � � � �f ' x � � f x x � �� � Câu 49 Theo giả thiết ta có � Lấy tích phân hai vế biểu thức * * ta 1 � � 20 2 � f ' x � f x d x x d x � � f ' x � d x xf x x f ' x dx � � 0 � � � � � � � � 0 0 � � 1 1 1 2 �� � f ' x � d x x f ' x d x � � f ' x � d x x f ' x d x x 2dx � � � � � � � � 0 0 �� � �f ' x x � �dx � f ' x x � f x x C Vì f 1 � C � f x x 412 | Phan Nhật Linh Vậy x f x dx � x x 1 dx � 0 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu 50 Ta có Do CHUYÊN ĐỀ: f '( x) = f '( - x) � f ( x ) =- f ( - x ) + C � C = f ( 0) + f ( 2) = 4024 f ( x) + f ( - x) = 4042 �2 � f x f x � d x 4042dx 8084 �� � � � �0 � f x dx 4024 � � 2 �f ' x f ' x � f x dx f x dx � � � 0 � Ta có I Khi 2 1 f cos x d cos x � f t dt � f t dt 2012 � 20 22 20 Tuyển chọn toán VD-VDC | 413 ... D Tuyển chọn toán VD-VDC | 391 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: 0;3 thỏa mãn f ( x) f (3 x) Tính Câu 27: Giả sử hàm số f ( x) liên tục dương đoạn tích phân I... Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) Khi giá trị f (3) 20 A B 12 C 288 10 D Tuyển chọn toán VD-VDC | 389 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: f x Câu 14: Cho hàm số f... Tuyển chọn toán VD-VDC | 393 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN y f x Câu 40: Cho hàm số CHUYÊN ĐỀ: hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị điểm x 2 Tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số