12 các bài toán tích phân chọn lọc số 02(trang 411 443)

BIÊN SOẠN THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED VN|1 CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN II CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 02 ĐỀ BÀI Câu 1 Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với mọi Tính A B C D Câu 2 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và Đồ thi hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn ? A B C D Câu 3 Giả sử là hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng và Biết , , với là các số ngu.

CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: II CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 02 ĐỀ BÀI Câu 1: Cho hàm số f ′( 0) f ( x) liên tục B f (0) = A Câu 3: f ( x) Cho hàm số [ −1;1] −1 C có đạo hàm liên tục Đồ thi hàm số y = f ( x) B f ( x) sử hàm số số nguyên Giá trị −1 A B có Cho hàm số −1 Biết F ( 1) liên tục B F ( x) ( A f ( x) e e D Tính f '( x ) = f ( x ) + e x cos 2021x thỏa mãn: hàm Biết R 4043 D liên π  f  ÷= 2 tục khoảng π  f  ÷= a + b ln + cπ   12 ( , 11 −11 D ) , với C Giá trị ) ( B ) −1 −9 D  ln x + x +    f ( x) =  x2 + 2022 ∫ f ( x − ) dx 2021 f ( x ) dx = 8; ∫ f ( x ) dx = 10 nguyên hàm hàm số ) ( 0; π ) C ∫ 1287 ( ln +  − 2022   2022 | Phan Nhật Linh đạo a+b+c Câu 5: R C a , b, c A x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ thuộc đoạn f ′ ( x ) sin x = x + f ( x ) cos x, ∀x ∈ ( 0; π ) Câu 4: với ? Giả thỏa mãn xf ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = e − x A Câu 2: ¡ 2022 ln +  + 2022   2022 F ( 0) = Giá trị CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN (1+ ) Câu 7: A ∫ Câu 8: Câu 9: Biết A B x x2 + ∫ Giá trị tích phân 47 C f ( x) có f ( 1) = Tích phân a, b f ( + ln x ) dx x D 79 12 17 D ln x f ′ ( x ) = ln x + x 17 3 B với − D x>0 Khi ln ( ln 2 + ) C a −b bằng: số hữu tỉ Tính C ln ( ln + 1) ∫ f ( 2sin x + 1) cos xdx C + 2022 π với ln ( ln + 1) 23 dx = a ln + b ln B Cho hàm số bằng: A 47 12 e  x − x ≥ f ( x) =   x − x + x < x ≤ x > 2022 2022 D B Cho hàm số 23 x +1 f ( x) =  x −1 Cho hàm số 31 A (1+ ) − 2022 2022 C Câu 6: 2022 CHUYÊN ĐỀ: f ( x) ln x + ∫x dx ln ( ln − 3) D Câu 10: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) = f ( − x ) , ∀x ∈ ¡ ∫ f ( x ) dx = 2 Biết I = ∫ xf ( x ) dx Tính I = 20 A B I = 10 C I = 15 D I =5 Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu 11: Cho Biết f ( x) = F ( x) nguyên hàm hàm số π  F ( ) = 2, F  ÷ = 4 − 21 A CHUYÊN ĐỀ: Câu 12: Cho hàm số B f ( x) Tính tan x cos x + a cos x π  π  F  ÷− F  ÷ 3 6 − 21 thỏa mãn a số thực dương 21 − C f ( 4) = với 21 − D   f ( x ) = x 1 + − f ′ ( x ) ÷, ∀x > x   Khi ∫ xf ( x ) dx A 1283 30 − Câu 13: Cho hàm số f ( x) x2 B y = f ( x) C có đạo hàm liên tục 1  −  + ÷ f ( x ) + = f ′ ( x ) , ∀x > x x x  A – 2ln2 Câu 14: Cho 157 30 hàm B + 4ln2 y = f ( x) số xác định 157 30 ( 0; +∞ ) − D 1283 30 thỏa mãn điều kiện f ( 1) = ∫ f ( x ) dx Tính C + 2ln2 liên tục D + 4ln2 ¡ \ { 0} thỏa mãn x f ( x ) + ( x − 1) f ( x ) = xf ′ ( x ) − − A − ln 2 π −1 − B e2 ∫ tan x f ( cos x ) dx = Câu 15: Biết A | Phan Nhật Linh ∫ B e ln 2 vợi x ∈ ¡ \ { 0} − f ( ln x ) x ln x C − ln 2 ∫ dx = Khi C f ( 1) = −2 ∫ f ( x ) dx Tính − D ln − 2 f ( x) dx x D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN f ( x) Câu 16: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục f ( x ) f ( − x ) = e2x I =− A 32 −4 x với x ∈ [ 0; 2] I =− B f ( x) Câu 17: Cho hàm số CHUYÊN ĐỀ: 16 I =∫ (x Tính tích phân 16 I =− C dx f ( x) I =− D R f ( 0) = Biết − 3x ) f ′ ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0; 2] 14 f ( 0) = thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = x − x + 2, ∀x ∈ R − A B Câu 18: Cho hàm số f ( x) ∫ xf ′ ( x ) dx Tích phân C liên tục khoảng ( 0; +∞ ) − D thỏa mãn 10 1 f ( x ) + xf  ÷ = x  x với x>0 ∫ f ( x ) dx Tính 12 A Câu 19: Hàm số B f ( x) C có đạo hàm cấp hai ¡ thỏa mãn: D f ( − x ) = ( x + 3) f ( x + 1) Biết f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ¡ A −4 I = ∫ ( x − 1) f ′′ ( x ) dx , tính B Câu 20: Cho hàm số x ∈ [ 1;3] f ( x) C xác định có đạo hàm f ′( x) liên tục đoạn f ′ ( x ) ( + f ( x ) ) = ( f ( x ) )  , đồng thời D ( x − 1)  [ 1;3] , f ( x) ≠ f ( 1) = −1 với Biết ∫ f ( x ) dx = a ln + b , a ;b ∈ ¢ Tính tổng S = a + b2 : Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN A S =4 B Câu 21: Cho hàm số S =0 CHUYÊN ĐỀ: C S =2 D S = −1  2x −  − x + x + 4x − x f (1 − x) + f  , ÷= x  x  f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn ∀x ≠ 0, x ≠ A Khi Biết I =e y = f ( x) f ( 1) = Câu 23: Cho hàm số 3126 y = f ( x) Câu 24: Cho hàm số C có đạo hàm liên tục ( y = f ( x) | Phan Nhật Linh x=0 D x f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x ∀x > thỏa mãn: , I= C thỏa mãn ) f − +f Giá trị 724 B I= D −e ( + x ) f ′′ ( x ) + xf ′ ( x ) = 25 ( x + ¡, C Biết đồ thị hàm số có đồ thị hình vẽ x2 + ) ( 3) D 194 liên tục có đạo hàm cấp x  f ( x ) − 2 + f ′′ ( x ) = x − 3x − có hồnh độ ( 0; +∞ ) 1 f ÷ 2 Tính giá trị I =e+ B f ′ ( ) = 5; f ( ) = A có giá trị B Câu 22: Cho hàm số A ∫ f ( x ) dx −1 y = f ( x) ¡ tiếp tuyến thỏa mãn d điểm CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: ∫ f ( x ) dx A Tính 17 − 30 − B f ( x) Câu 25: Cho hàm số A x∈¡ f ( 1) = 2018.e −2018 Câu 26: Cho F ( x) C ¡ Tính giá trị C nguyên hàm hàm số S = { 1; 2} 3F ( x ) + ln ( e x + 3) = B y = f ( x) Câu 27: Cho hàm số S = { −2;1} D 47 15 f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018 x 2017 e 2018 x với f ( 1) f ( 1) = 2017.e 2018 B 37 20 thỏa mãn f ( x) = phương trình A có đạo hàm f ( ) = 2018 27 10 f ( 1) = 2019e 2018 e +3 D f ( 1) = 2018.e 2018 F ( ) = − ln x thỏa Tập nghiệm S C S = { −2; 2} [ 0;1] có đạo hàm liên tục thỏa mãn D S = { 2} f ( x ) + xf ′ ( x ) = x 2018 với x ∈ [ 0;1] I= A I = ∫ f ( x ) dx 2018.2021 Câu 28: Cho hàm số Tính I= y = f ( x) x ∈ [ 0; 4] B 2019.2020 I= có đạo hàm liên tục C [ 0; 4] 2019.2021 , thỏa mãn I= D 2018.2019 f ( x ) + f ′ ( x ) = e− x x + với Khẳng định sau đúng? Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN e4 f ( ) − f ( 0) = A 26 B e f ( 4) − f ( 0) = e −1 C e4 f ( ) − f ( ) = 3e f ( x) D 1  3∫  f ′ ( x )  f ( x )  +  dx = ∫ 9  I= A Câu 30: Cho hàm số A C I= D [ 0;1] B ∫  f ( x )  Giá trị C 33 18 ∫  f ′ ( x )  A 20 f ( 1) − f ( ) = dx 33 + 54 18 D ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = − , thỏa mãn , bằng: − C D 1 ∫ ( f f ( x) có đạo hàm liên tục | Phan Nhật Linh , thỏa mãn B bằng: I= C I= D I = ∫ f ( x ) dx I= [ 0;1] f ( 1) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = Tích phân I= A ) x dx = f ( 2) = ∫ f ( x ) dx dx = Tích phân 20 B Câu 32: Cho hàm số − có đạo hàm liên tục [ 1; 2] Câu 31: Cho hàm số , thỏa mãn f ′ ( x ) f ( x ) dx 33 − 27 18 thỏa mãn có đạo hàm dương, liên tục đoạn f ( x) [ 0;1] I= f ′ ( x )   f ( x )  + 1 dx = 2∫   I = ∫  f ( x )  dx Tính B y = f ( x) f ′ ( x ) f ( x ) dx I= e4 f ( ) − f ( ) = có đạo hàm dương, liên tục đoạn ∫ Câu 29: Cho hàm số CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN y = f ( x) Câu 33: Cho hàm số 1 ∫  f ( x )  dx = ∫ A π [ 0;1] có đạo hàm liên tục đoạn f ′ ( x ) cos ( π x ) dx = I= CHUYÊN ĐỀ: B π , π I = ∫ f ( x ) dx Tính I= thoả mãn f ( ) + f ( 1) = C I =π 3π I= D π Câu 34: Cho hàm số π y = f ( x) ∫0  f ( x )  dx = π A π π ∫  f ( x )  y = f ( x) B y = f ( x) A e −1 Câu 37: Cho hàm số  f ′ ( x )  ∫0 e x dx = e − 1 D  π 0;  ∫  f ′′ ( x )  Tính 3π e2 thoả mãn π  f  ÷= 2 , dx D [ 0;1] 9π f ( 1) = thoả mãn I = ∫ f ( x)dx C có đạo hàm liên tục π e2 − Tính B f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn I= I= π C I= C x f ′  ÷dx = 6π 2 x ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = 2 π I= có đạo hàm liên tục đoạn ∫ ( sin x − x ) π π dx = 3π Câu 36: Cho hàm số B π Tính 0 I = ∫ xf ( x ) dx I =− Câu 35: Cho hàm số thoả mãn π I =− A có đạo hàm liên tục đoạn ∫ f ′ ( x ) sin xdx = − [ 0; π ] I = e−2 [ 0;1] I= thỏa mãn D e f ( 0) = , f ( 1) = ∫ f ( x ) dx Tích phân Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN A e−2 e −1 B f ( x) Câu 38: Cho hàm số ∫ A C ( ln + ) × [0;1], f ( x) 1+ x ∫ Tích phân D B ) ( D ) ) ( ) − ln + Câu 39: Cho hàm số f ( x) ∫ x f ( x ) dx = −1 I= A 84 ∫  f ′ ( x )  I= I= C [ 1; 2] D [ 1; 2] 168 , thỏa mãn f ( 1) = , ∫ f ( x ) dx B I= Tích phân 2 35 , đồng biến ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx = dx = 112 −1 −1 có đạo hàm liên tục dx = , ∫ f ( x ) dx A f ( x) , thoả mãn f ( −1) = ∫  f ′ ( x )  16 Tính tích phân 35 I= B Câu 40: Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ −1;1] dx ( ln + f ( ) = 0, f ( 1) = thỏa mãn −1 ln + ) ln + ( C ( e − 1) ( e − ) có đạo hàm liên tục + x  f ′ ( x )  dx = ( e −1 e−2 CHUYÊN ĐỀ: C D 2 Câu 41: Cho hàm số ∫  f ′ ( x )  có đạo hàm liên tục f ( x ) dx = f2 Giá trị − A f ( x) | Phan Nhật Linh B ( 2) [ 0;1] , thỏa mãn ( 1− C f ( 1) = ) ∫ f ( x ) dx = , − D ( 1− 2 ) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: Câu 42: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục − A Câu 43: Cho Giá trị tích phân B f ( x) số ∫0  f ′ ( x )  dx = − ln A Câu 44: Cho hàm số bậc ba Biết điểm I C hàm f ( x) ∫ ( x + 1) liên − ln 2 dx = ln − điểm phân biệt có hồnh độ khoảng sau đây? ( 5;6 ) ( 4;5) A B C 12 D [ 0;1] g ( x) thoả mãn f ( 1) = mãn , ∫ f ( x ) dx − 2ln 2 bằng: D f ( x) − ln 2 18 x1 x2 x3 = −55 ( 6;7 ) cắt đồ thị hàm số g ( x) g ( x) ba Diện tích miền tơ đậm nằm g ( x ) = x2 −1 ( C ) cắt đồ thị hàm số thỏa có đồ thị hình vẽ C , đồ thị hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e f ( x) Tích phân hàm số bậc hai có tung độ tục − đồ thị hàm số x1 , x2 , x3 Câu 45: Cho hàm số − đạo B f ( x) có − ln 2 thỏa mãn ∫ f ( x ) dx − hàm [ 0; 2] 15 2 32 ∫0  f ' ( x )  dx = f ( ) = 1, ∫ x f ( x ) dx = D ( 7;8 ) có đồ thị hình vẽ Biết điểm phân biệt có hồnh độ Tuyển chọn tốn VD-VDC | 10 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN 1 1 0 f ( x) ] dx − 2∫ sin ( π x ) f ( x)dx + ∫ sin ( π x ) dx =0 ⇔ ∫ ( f ( x ) − sin ( π x ) ) dx =0 ∫[ Khi đó: CHUYÊN ĐỀ: f ( x ) − sin ( π x ) = ⇔ f ( x ) = sin ( π x ) ⇒ I = ∫ sin ( π x ) dx = Suy Câu 34: Chọn B π A = ∫ f ′ ( x ) sin xdx Gọi Đặt π  u = sin x du = cos xdx ⇒  dv = f ′ ( x ) dx  v = f ( x ) π π 0 A = [ sin xf ( x )] − ∫ cos x f ( x)dx = − ∫ cos x f ( x)dx π Khi đó: π Mà A = −1 nên ∫ [ f ( x)] Ta lại có: dx = π ∫[ Suy ra: π 4 ∫0 cos x f ( x)dx = ⇒ π ∫0 cos x f ( x)dx = π ⇒ f ( x) = π cos xdx = ∫ π π π ; π π π 4 f ( x) ] dx − ∫ cos x f ( x)dx + ∫ cos xdx = ⇔ ∫  f ( x) − cos x  dx = π π π   π π 2 cos x ⇒ I = ∫ xf ( x)dx = ∫ x cos xdx = − π π π 0 Câu 35: Chọn B π Gọi  x I = ∫ (sin x − x ) f ′  ÷dx 2 t= Đặt Đặt x ⇒ dx = 2dt π π 0 I = ∫ (sin 2t − 2t ) f ′(t )dt = ∫ (sin x − x) f ′( x)dx , u = sin x − x du = (2 cos x − 2)dx ⇒  v = f ( x)  dv = f ′( x)dx  π π π 0 I = ( sin x − x ) f ( x )  − ∫ (2 cos x − 2) f ( x)dx = 8∫ sin xf ( x)dx Khi đó: π Mà I = 6π 29 | Phan Nhật Linh 8∫ sin xf ( x)dx = 6π nên (vì π  f  ÷= 2 ) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN π ∫ [ f ( x)] Ta lại có: ; ∫ [ f ( x)] Suy ∫ 16sin dx = 3π π 2 Khi đó: π CHUYÊN ĐỀ: xdx = 6π π π π 0 dx − ∫ sin xf ( x)dx + ∫ 16sin xdx =0 ⇔ ∫ ( f ( x ) − 4sin x ) dx =0 f ( x ) − 4sin x = ⇔ f ( x ) = 4sin x ⇒ f ′′ ( x ) = 8cos x π ∫  f ′′ ( x )  dx = ∫ (8cos x)3dx = 0  u = f ( x) du = f ′( x)dx ⇒   x x dv = ( x + 1)e dx  v = xe e2 − A = ∫ ( x + 1)e x f ( x)dx = Đặt 1 A =  xe x f ( x )  − ∫ xe x f ′( x)dx = 0 Khi đó: Mà f (1) = x ∫ xe f ′( x)dx = − nên ∫ [ f ′( x)] Ta lại có: ∫[ e −1 e2 − e2 − ⇒ ∫ xe x f ′( x)dx = − 2 dx = e2 − ∫x e 2x ; dx = e −1 1 0 f ′( x)] dx + 2∫ xe x f ′( x)dx + ∫ x e x dx = ⇔ ∫  f ′( x ) + xe x  dx = Suy ra: ⇒ f ′( x) = − xe x ⇒ f ( x) = − ∫ xe x dx = (1 − x)e x + C f (1) = Mà Câu 37: Chọn A Cách π Vậy Câu 36: Chọn C Gọi nên C=0 hay Hàm dấu tích phân f ( x) = (1 − x)e x  f ′ ( x )  ex 1 0 I = ∫ f ( x)dx = ∫ (1 − x)e x dx = e − Vậy nên ta cần tìm thông tin liên quan đến 1 ′ f x dx = f x = f ( 1) − f ( ) = ( ) ( ) ∫0 f ( ) = 0, f ( 1) = Từ giả thiết ta nghĩ đến f ′( x) Tuyển chọn toán VD-VDC | 30 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ:  f ′ ( x )  ex Do ta có đạo hàm dấu tích phân  f ′( x ) x  x +α e   e  f ′( x ) nên liên kết với bình phương Với số thực α , ta có: 1  f ′ ( x )   f ′( x) x ′ + α e dx = dx + α f x dx + α e x dx ( )  x ∫0  e x ∫ ∫ ∫ e  0 1 = + 2α + α ( e − 1) = ( e − 1) α + 1 e −1 e −1 2  f ′( x) x  ∫0  e x + α e  dx = Ta cần tìm Với α cho α =− e −1 f ′( x ) = Suy f ( x) =  f ′( x) f ′( x ) 1 x  − e dx = ⇒ ≡ e x , ∀x ∈ [ 0;1]   ∫0  e x e −  x e −1 e hay 1 ( e − 1) α + 1 = ⇔ α = − e −1 e −1 ex ex ex f ( ) = , f ( 1) =1 → f ( x) = ∫ dx = + C  →C = − e −1 e −1 e −1 e −1 e −1 e−2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = e −1 e −1 x Vậy Cách 2: Theo bđt Holder 1  f ′( x)  1   f ′( x)  1 =  f ( 1) − f ( )  =  ∫ f ′ ( x ) dx  =  ∫ e x dx  ≤ ∫  x  dx.∫ e x dx = ( e − 1) = x e e −1 0  0 e  0 2 2 f ′( x) Từ suy e x ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 1) − f ( ) = = k ( e − 1) = k e x ⇒ f ′ ( x ) = ke x Từ ex ex f ′( x) = ⇒ f ( x) = +C e −1 e −1 suy f ( 0) = ⇒ f ( x) = , kết hợp ex −1 e−2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = e −1 e −1 Câu 38: Chọn C Hàm dấu tích phân + x [ f ′( x) ] nên ta cần tìm thơng tin liên quan Từ giả thiết 31 | Phan Nhật Linh f (0) = 0, f (1) = ∫ f ′( x)dx = f ( x) ta nghĩ đến = f (1) − f (0) = f ′( x ) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: + x [ f ′( x)] Do ta có hàm dấu tích phân f ′( x) nên liên kết với bình 4 α   + x f ′( x) +  + x2   phương Với số thực α ta có : 1 4 α  α2 2 ′ ′ ′ + x f ( x ) + d x = + x f ( x ) d x + α f ( x )d x + [ ]  ∫0  ∫0 ∫0 ∫0 + x dx + x2    1   = + 2α + α ln + = α ln + +  ln + ln +    ( ( ) α cho ( ) ( ) 4 α  ′ + x f ( x ) +   dx = ∫0  + x2  Ta cần tìm )   1   ⇒ α ln + + = ⇒ α = − ×  ln + ln +    ( ) f ′( x ) = ( ( ln + Suy ⇒ f ( x) = ( ln + ) ) × + x2 ×∫ ( ) 1+ x × dx = ∫ f ( x) 1+ x dx = ( ln + ( ) ×∫ ) ( ( 1+ x ) ( ln + ( ) ) ( ×ln x + + x + C ln x + + x ln x + + x ln x + + x = × ln + ( ln + f (0) = 0, f (1) ⇒ C = ⇒ f ( x) = Mà ) ) dx = ) )× 1 ( ) ( ) ×∫ ln x + + x d ln x + + x    ln + ( ) = ( ) ln + Cách Áp dụng BĐT Holder ta có 1  1  1 =  ∫ f ′( x)dx ÷ =  ∫ + x f ′( x) dx ÷ ≤ ∫ + x [ f ′( x) ] dx ∫ dx = 2 + x + x 0  0  Tuyển chọn toán VD-VDC | 32 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN + x f ′( x) = k Suy ∫ Từ 1+ x ⇒ f ′( x) = k= ( ( ( ln + ln + ) ) × 1+ x dx = f ( x) + x2 dx = 1 ( ln + ) ( ×∫ ( ) ( + x2 ) ) ) ( ( ln + ( ×ln x + + x + C ln x + + x ln x + + x ln x + + x = × ln + ( ln + f (0) = 0, f (1) ⇒ C = ⇒ f ( x) = Mà ) × + x2 ×∫ ln + suy ⇒ f ( x) = + x2 Suy ∫ k f ′( x )dx = f ( x ) = f (1) − f (0) = f ′( x ) = CHUYÊN ĐỀ: ) dx = ) )× 1 ( ) ( ) ×∫ ln x + + x d ln x + + x    ln + ( ) = ( ) ln + Câu 39: Chọn A 16 ∫ x f ( x ) dx = −1 Như trước, ta chuyển phần du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒  x3 d v = x d x v =    Đặt x3 x f x d x = f ( x) ( ) ∫ −1 Khi thơng tin f ′( x) cách tích phân 1 1 1 − ∫ x f ′ ( x ) dx = f ( 1) + f ( −1) − ∫ x f ′ ( x ) dx −1 3 −1 −1 f ( 1) Tới ta bị vướng giả thiết khơng cho Do điều chỉnh lại sau:  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒  x3 dv = x dx v = + k k  với số  x3  x f x d x = ( )  + k ÷ f ( x) ∫−1   Khi 33 | Phan Nhật Linh 1  x3  − ∫  + k ÷ f ′ ( x ) dx  −1  −1 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ:  x3  1    =  + k ÷ f ( 1) −  − + k ÷ f ( −1) − ∫  + k ÷ f ′ ( x ) dx 3  1 43 24 43 −1   = f ( −1) = k Ta chọn 1 +k =0⇔ k =− 3 cho Khi 1 16 = ∫ x f ( x ) dx = − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx → ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = −16 −1 −1 −1 Hàm dấu tích phân  f ′ ( x )  α (x , − 1) f ′ ( x ) nên ta liên kết với  f ′ ( x ) + α ( x − 1)    tìm ∫  f ′ ( x ) + α ( x − 1)  dx = cho −1 Ta tìm ⇒ f ( x ) = −7 ∫ ( x − 1) dx = − x + x + C ′ ⇒ f x = − x − ( ) ( ) α =7 ( )   →C = f −1 = 35 35 → f ( x ) = − x4 + 7x + 4 I= ∫ f ( x ) dx = −1 Vậy 84 Câu 40: Chọn A Hàm dấu tích phân  f ′ ( x )  f ( x) f ′( x) , nên ta liên kết với bình phương  f ′ ( x ) + α f ( x )  ∫  f ( x )  Nhưng khai triển vướng dx nên hướng hày khơng khả thi 1= ∫ Ta có biến f ( x ) f ′ ( x ) dx = [ 1; 2] nên f ( x) 2 = f ( ) − f ( 1) f ( ) > f ( 1) = Từ f ( 2) = Hàm dấu tích phân  → f ( 2) = ) ∫ ta nghĩ đến  f ′ ( x )  (do đồng f ( 1) = = f ( 2) − , f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( 1) = − = f ′( x) nên ta liên kết  f ′ ( x ) + α  α = −  → f ′ ( x ) =  → f ( x ) = x + C → C = − f ( 1) = Ta tìm f ( x ) = x −  → ∫ f ( x ) dx = Vậy Câu 41: Chọn A 2 Tuyển chọn toán VD-VDC | 34 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ:  f ′ ( x )  f ( x ) f ( x) Hàm dấu tích phân , nên ta liên kết với bình phương  f ′ ( x ) f ( x ) + α f ( x )  ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx 2 Nhưng khai triển vướng nên hướng hày không khả thi ∫ Tích phân phần f ( x ) dx = 1 ∫ xf ( x ) f ′ ( x ) dx = − f ( 1) = kết hợp  f ′ ( x )  f ( x ) ta xf ( x ) f ′ ( x ) Hàm dấu tích phân  f ′ ( x ) f ( x ) + α x  , nên ta liên kết Ta tìm f ( x) 3 3 α =  → f ( x ) f ′ ( x ) = − x ⇒ ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx = − ∫ xdx ⇒ = − x2 + C 2 2 ( )  →C = f =0 3  → f ( x ) = ( − x )  →f2 ( ) = − 32 Câu 42: Chọn B Cách Ta có: 2  x3   x3  x = ∫ x f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d  ÷=  f ( x ) ÷ − ∫ df ( x ) = f ( ) − ∫ x f ' ( x ) dx 15 30  3  0 8 32 ∫ x f ' ( x ) dx = f ( ) − = 8.1 − = Suy Áp dụng bất đẳng thức Hollder ta có 4 2  2  2  2   32     = x f ' x d x = x x f ' x d x ≤ x d x x f ' x d x ( ) ( ) ( )  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ ∫ ∫ ∫   ∫0     0  0  0  2  2  4 1048576  32  ≤  ∫ x dx ÷ ∫ x dx ∫  f ' ( x )  dx =  ∫ x dx ÷ ∫  f ' ( x )  dx = = ÷ 625   0  0  xf ' ( x ) = kx ⇒ f ' ( x ) = kx Dấu “=” xảy ra, tức Thay f ' ( x ) = kx ∫ x f ' ( x ) dx = vào 32 ta  x5  32 32 32 32 kx d x = ⇔ k  ÷ = ⇔ k = ⇔ k =1 ⇒ f ' ( x ) = x ⇒ f ( x ) = xdx = x + C ∫0 5 ∫  0 2 35 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN f ( ) =1 Vì Cách nên C =− f ( x) = Vậy CHUYÊN ĐỀ: 2 x −1 ∫ Do  x2   x3  f ( x ) dx = ∫  − 1÷dx =  − x ÷ = −   0 0  f ' ( x )  + x + x + x ≥ x f ' ( x ) Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: 2 ∫  f ' ( x )  dx + 3∫ x dx ≥ 4∫ x f ' ( x ) dx 4 Do 0 x2 ⇒ f x = x d x = + C ( ) ∫ f '( x) = x Vì giá trị hai vế nên dấu “=” xảy ra, tức f ( ) =1 Vì Câu 43: Chọn B Cách 1: nên C = −1 f ( x) = Vậy x −1 f ( x) 2 ∫ ( x + 1) ∫ Do dx = ln − Như trước, ta chuyển phân phần Đặt thông tin f ′( x) f ( x) f ′( x) f ( 1) f ( ) f ′ ( x ) ∫0 ( x + 1) dx = − x + + ∫0 x + dx = − + + ∫0 x + dx Khi f ( 0) vướng Tới ta bị giả thiết khơng cho Do đó, ta điều chỉnh lại sau: u = f ( x )  du = f ′ ( x ) dx   ⇒  dv = dx v = − + k  ( x + 1) x +1   f ( x) cách tích u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx   ⇒  dv = dx v = −  ( x + 1) x +1   f ( x) Khi  x2   x3  f ( x ) dx = ∫  − 1÷dx =  − x ÷ = −   0 0 với k số 1     ∫0 ( x + 1) dx =  − x + + k ÷ f ( x ) − ∫0  − x + + k ÷ f ′ ( x ) dx f ( 1) = 1   = − ( −1 + k ) f ( ) − ∫  − + k ÷ f ′ ( x ) dx x +1  0 Ta chọn k cho −1 + k = ⇔ k = Tuyển chọn tốn VD-VDC | 36 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN ln − Khi 1 f ( x) x x ′ =∫ dx = − f x dx  → f ′ ( x ) dx = − ln ( ) ∫ ∫ ( x + 1) x +1 x +1  f ′ ( x )  Hàm dấu tích phân Ta tìm CHUYÊN ĐỀ: x   ′  f ( x ) + α x +  x f ′( x) x +1 , nên ta liên kết với x x α = −1  → f ′( x) = ⇒ f ( x) = ∫ dx = x − ln x + + C x +1 x +1 → C = ln −  → f ( x ) = x − ln ( x + 1) + ln − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) = Vậy − ln 2 Cách 2: Theo BĐT Holder 2   x 2 3   x 3  3  ′ − ln = f x dx ( )  ≤ ∫  ÷ ∫ ÷ dx ∫  f ′ ( x )  dx =  − ln ÷  − ln ÷ x +1 2   x +1 2  2  0  f ′ ( x ) = k Từ suy Từ f ( 1) = ⇒ f ( x) = ∫ x x +1 ∫  f ′ ( x )  dx = − ln , k = ⇒ f ′( x) = suy x x +1 x dx = x − ln x + + C x +1 ( )  → C = ln − ⇒ f ( x ) = x − ln ( x + 1) + ln − f =0 ∫ f ( x ) dx = − ln 2 Vậy Câu 44: Chọn A  1 I  ,− ÷  12  Ta có: Vì Parabol đối xứng qua trục nên điểm 7    − = k  + 1÷ − ÷⇒ k = ⇒ g ( x) = ( x + 1) ( x − ) 12 27 27    Khi đó, g ( x ) = k ( x + 1) ( x − ) Hàm số f ( x) đạt cực trị  x3 x  ′ x = −1, x = ⇒ f ( x ) = a ( x + 1) ( x − ) ⇒ f ( x ) = a  − − x ÷+ b   Đồ thị hàm số 37 | Phan Nhật Linh f ( x) qua I nên 7 13 1 f  ÷ = − ⇔ − = − a + b, ( 1) 12 12 12 2 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Phương trình hồnh độ giao điểm: CHUN ĐỀ:  x3 x  f ( x ) = g ( x ) ⇔ a  − − x ÷+ b = ( x + 1) ( x − 2) 27   18 x1 x2 x3 = −55 ⇔ 18 Theo định lý viet ta có: a = 1, b = 14 27 = −55 ⇒ 18b + 28 = − 55a , a 3 ( 2) b+ x3 x ⇒ f ( x) = − − 2x + 2 ( 1) ( ) Từ , bấm báy giải hệ hình phẳng hình có giá trị sấp sỉ 5,7 Từ suy diện tích Lưu ý: Bài hồn tồn thi THPT, "lách" định lí viet bậc ba rõ ràng , ⇒ x= g ( x) f ( x) có chung nghiệm phân tích phương trình hồnh độ giao điểm đưa bậc hai dùng viet bậc hai Câu 45: Chọn B x2 = 0, x3 = x1 x4 = −3, x1 + x4 = Dựa vào đồ thị nhận thấy Khi đó, ( f ( x ) − g ( x ) = kx ( x − 1) x − x − Khi đó, = k ∫ x ( x − 1) x − x − ⇒ k = 15 ( Theo đề ra, ) ( ) ) ( ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = x ( x − 1) x − x − ⇒ f ( x ) = x ( x − 1) x − x − + x − f ( 3) = 26 Vậy Câu 46: Chọn A Ta có: Cho f ( x ) − g ( x ) = k ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) x = ⇒ f ( ) − g ( ) = k ( + 1) f ( x ) − g ( x ) = ( x + 1) ( − 1) ( − ) ⇔ − ( −1) = 2k ⇒ k = 1 ( x − 1) ( x − ) ⇒ S = ∫ ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) −1 Vậy Câu 47: dx = 12 Chọn A Ta có: f ′ ( x ) − x = ( x + 1) e x2 − f ( x ) f x − x2 ⇔ e ( ) ( f ′ ( x ) − x ) = ( x + 1) f x − x2 ⇒ ∫e ( ) ( f ′ ( x ) − x ) = x2 + x + C ⇔ e f ( x) −x = x2 + x + C Cho f −0 x = ⇒e ( ) = C ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x + ln( x + x + 1) ⇒ f ( 1) = + ln = ln ( 3e ) Tuyển chọn toán VD-VDC | 38 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu 48: CHUYÊN ĐỀ: Chọn A ( x − f ′ ( x ) ) e Từ giả thiết ( x − f ′ ( x ) ) e x2 − f ( x ) x2 = e x + f ( x ) , ∀x ∈ ¡ chia vế cho − f ( x) x=0 Thay Câu 49: Chọn B ∫ ( x − f ′ ( x ) ) e x2 − f ( x ) dx = ∫ e x dx d ( x − f ( x ) ) = ∫ e x dx = e x + C ⇒ e x2 − f ( x ) = e x + C ta có e 0− f ( 0) 2 = e0 + C ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x − x ⇒ f ( ) = − = Hàm dấu tích phân thơng tin  f ′ ( x )  πx  cos ÷ f ( x)   πx  ∫0 cos  ÷ f ( x ) dx = 2 πx  cos ÷ f ( x)   f ′( x) không thấy liên kết Do ta chuyển cách tính tích phân phần 1 kết hợp với Hàm dấu tích phân phương ta có = e x , ∀x ∈ ¡ Lấy nguyên hàm vế ta có ⇔ ∫ ex e f ( x)   π x   f ′ ( x ) + α sin  ÷    α= Ta tìm f ( 1) =  f ′ ( x )  , ta π πx  ′ ÷ f ( x ) dx = −  ∫ sin  πx  ′ sin  ÷ f ( x)   nên ta liên kết với bình π π π x  π x  f ( 1) = → f ′ ( x ) = − sin  ÷ → f ( x ) = cos  ÷+ C → C = 2 2     πx  f ( x ) = cos  ÷ → ∫ f ( x ) dx = π   Vậy Chọn B Cách Theo Holder 2 1  π2  π  π x  ′ π x  ′ − = sin f x dx ≤ sin dx f x dx =    ÷ ∫  ÷ ( )  ∫  ÷ ∫ ( ) 2   0      0 Câu 50: Chọn B 39 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN f ′ ( x ) sin ( π x ) Chuyển thông tin ∫ f ( x) cách phân tích phần f ′ ( x ) sin ( π x ) dx = π CHUYÊN ĐỀ: ∫ f ( x ) cos( π x ) dx = −1 , ta Hàm dấu tích phân  f ( x ) + α cos ( π x )  f ( x) cos ( π x ) f ( x ) nên ta liên kết với bình phương  x πx α = → f ′ ( x ) = −2 cos ( π x ) → ∫ f  ÷dx = −2∫ cos  ÷dx = − π  2   0 Ta tìm 1 1  2 ( −1) =  ∫ f ( x ) cos ( π x ) dx  ≤ ∫ cos ( π x ) dx.∫  f ( x )  dx = 2 0 0  Cách Theo Holder Câu 51: Chọn A g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) Xét hàm số g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + Ta có Theo giả thiết ta có phương trình Xét phương trình g′ ( x) = có hai nghiệm m, n  g ( m ) = −3   g ( n ) = f ( x) x = m =1 ⇔ ⇒ g ( x ) + − f ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + = g ( x) + x = n Diện tích hình phẳng cần tính là: n  f ( x)  S = ∫  − ÷dx g ( x) + ÷ m  = ln g ( x ) + n m g ( x) + − f ( x) ∫m g ( x ) + dx n = n = ∫ m f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + dx g ( x) + = ln g ( n ) + − ln g ( m ) + = ln12 − ln = ln = ln n = g′ ( x ) ∫ g ( x ) + dx m Câu 52: Chọn A Vì nên Đặt f ( x ) − mx − n = x + ax + ( b − m ) x + c − n f ( x ) − mx − n = ( x + 1) ( x − 2) g ( x ) = f ( x ) − mx − n = ( x + 1) hàm số bậc ba có hai nghiệm x = −1 x=2 ( x − 2) , suy g ′ ( x ) = 3x − Tuyển chọn toán VD-VDC | 40 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN (x Phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng cần tìm S= ∫( x −1 − 1) g( x) dx = ∫ g ′ ( x ) 2 CHUYÊN ĐỀ:  x = −1 − 1) g ( x) = ⇔  x = g( x) dx = −1 16.ln Câu 53: Chọn B Ta có g ′ ( x ) =  f ' ( x ) − f ( x )  e − x =  −ax + ( 2a − b ) x + b − c  e − x g′( x) x1 x2 Gọi , hai nghiệm , Ta có phương trình hồnh độ giao điểm  g ′ ( x1 ) =   g ′ ( x2 ) =  g ( x1 ) =   g ( x2 ) = −3  x = x1 f ( x ) e− x = ( 2ax + b ) e − x ⇔  −ax + ( 2a − b ) x + b − c  e − x = ⇔   x = x2 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn S= x2 ∫ −ax + ( 2a − b ) x + b − c  e x1 −x dx = x2 ∫ g ′ ( x ) dx = g ( x ) − g ( x ) x1 =8 Câu 54: Chọn C g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) Xét hàm số: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′( x) + f ′′′′( x) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) + 24 Ta có f ′′′′ ( x ) = 24 x1; x2 ; x3 Vì Gọi điểm cực trị hàm số ta có g ′ ( x1 ) = g ′ ( x2 ) = g ′ ( x3 ) = giả sử  g ( x1 ) = −14   g ( x2 ) =   g ( x3 ) = Xét phương trình:  x = x1 f ( x) = ⇔ f ( x ) = g ( x ) + 24 ⇔ f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) + 24 = ⇔  x = x2 g ( x ) + 24  x = x3 Diện tích hình phẳng cần tính 41 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN x2  f ( x)   f ( x)  S = ∫  − 1÷÷dx = ∫  − 1÷÷dx + x1  g ( x ) + 24 x1  g ( x ) + 24   x3 =  g′ ( x)  ∫x  g ( x ) + 24 ÷÷dx +   x2 CHUYÊN ĐỀ: x3=  x2  f ( x)  ∫  g ( x ) + 24 − 1÷÷dx   g′( x)   ∫x  g ( x ) + 24 ÷÷dx = ln g ( x ) + 24   x3 x2 x1 + ln g ( x ) + 24 x3 x2 = ln g ( x2 ) + 24 − ln g ( x1 ) + 24 + ln g ( x3 ) + 24 − ln g ( x2 ) + 24 = ln + 24 − ln −14 + 24 + ln + 24 − ln + 24 = ln Câu 55: Chọn C g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) Xét hàm số: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′( x) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + 18 Ta có f ′′′ ( x ) = 18 g ′ ( x1 ) = g ′ ( x2 ) = x1 ; x2 Vì Gọi điểm cực trị hàm số ta có có  g ( x1 ) = −12   g ( x2 ) = thể giả sử Xét phương trình: f ( x)  x = x1 = ⇔ f ( x ) = g ( x ) + 18 ⇔ f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + 18 = ⇔  g ( x ) + 18  x = x2 Diện tích hình phẳng cần tính x2 x2 x2  f ( x)   f ( x ) − g ( x ) − 18   g′( x)   ( g ( x ) + 18)′  S = ∫  − 1÷÷dx = ∫  ÷÷dx = ∫  ÷÷dx = ∫  ÷÷dx g ( x ) + 18  x1  g ( x ) + 18 x1  x1  g ( x ) + 18  x1  g ( x ) + 18   x2 = ln g ( x ) + 18 x2 x1 = ln g ( x2 ) + 18 − ln g ( x1 ) + 18 = ln + 18 − ln −12 + 18 = ln = ln Câu 56: Chọn C Theo ta có:  16 + 4a − 2b + = 4c − 2d +  f (−2) = g ( −2 ) ⇒  1 + a + b + = c + d +   f ( 1) = g ( 1) Tuyển chọn tốn VD-VDC | 42 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: a − c = −2  ( a − c ) − ( b − d ) = −14 ⇔ ⇔ b − d = ( a − c ) + ( b − d ) = f ( x ) − g ( x ) = x + ( a − c ) x2 + ( b − d ) x − Ta có Diện tích hình phẳng cần tính S= ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ ( x + ( a − c ) x + ( b − d ) x − ) dx −2 −2  x5  x3 x2 =  + ( a − c) + ( b − d ) − 2x ÷   −2 Thay  a − c = −2  b − d = 43 | Phan Nhật Linh 15 − ( −2 ) 13 − ( −2 ) 12 − ( −2 ) 99 S= − + − ( − ( −2 ) ) = 10 ta có ... f ( x ) dx Tích phân Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN A e−2 e −1 B f ( x) Câu 38: Cho hàm số ∫ A C ( ln + ) × [0;1], f ( x) 1+ x ∫ Tích phân D B )... Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN Câu 11: Cho Biết f ( x) = F ( x) nguyên hàm hàm số π  F ( ) = 2, F  ÷ = 4 − 21 A CHUYÊN ĐỀ: Câu 12: Cho hàm số B f... PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 TÍCH PHÂN (1+ ) Câu 7: A ∫ Câu 8: Câu 9: Biết A B x x2 + ∫ Giá trị tích phân 47 C f ( x) có f ( 1) = Tích phân a, b f ( + ln x ) dx x D 79 12 17 D ln x f ′