Chương I. §7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

b Cực trị: hàm số không có cực trị.... Đồ thị có các dạng sau:.[r]

ax+b (c 0, ad  bc 0) Hàm số y  cx+d -x+2 Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y  2x+1  1 Giải:i) Tập xác định:  \    2 2) biến thiên: 5 y '  a) Chiều biến thiên: (2 x  1) •Y’ không xác định x=-1/2 •Y’<0 ,x  -1/2 Vậy hàm số nghịch biến trên các Khoảng (-;-1/2) và (-1/2;+) b) Cực trị : hàm số không có cực trị c) Giới hạn:  x2 lim  y  lim     1   2x 1 x    x     2  2  x2 lim  y  lim    1   2x 1 x    x     2  2 Vậy :đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng  x2 lim y  lim  x  x  x  Vậy :đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang d) Bảng biến thiên X - Y’ y -1/2 + - + -1/2 - -1/2 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung A(0;2), cắt trục hoành Tại B(2;0) Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2) làm tâm đối xứng.Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véctơ OI thì ta có phương trình: Y  4X a = -1.00 b = 2.00 c = 2.00 d = 1.00 ax+b fx =  c x+d  x2 y 2x 1 2 O -10 -5 I -2 -4 -6 -8 10 Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: y  x  x 1 Giải: 1) Tập xác định: R\{-1} 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y’>0 trên (-;-1) và (-1; +) y'  ( x  1) b) Cực trị: hàm số không có cực trị )   c) Giới hạn: lim y  lim (2  x  x  x 1 lim y  lim (2  )   x  x  x 1 •Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1 2 x 2 lim y lim x  x  1 x •Đồ thị có tiệm cận ngang: y = d) Bảng biến thiên: x - y’ -1 + + y + + 2 - 3) Đồ thị: giao điểm đồ thị với trục tung: (0;-1) Giao điểm đồ thị với trục hoành: (1/2;0) a = 2.00 b = -1.00 c = 1.00 d = 1.00 ax+b   f x =  c x+d I O -10 -5 -1 -2 -4 -6 -8 10 Tóm tắt: y  ax+b c  cx+d TXĐ:  d  \  \ \  c ad-bc y'  (cx+d) •Nếu ad –bc= thì y = a /c •Nếu ad-bc  thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c Tiệm cận ngang: y = a/c •Giao điểm hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứng Đồ thị có hai dạng sau: ax+b fx =  c x+d 8 6 ax+b fx =  c x+d M 2 I O -10 -5 O 10 -10 -5 I 10 -1 ad-bc>0 -2 -2 -4 -4 -6 ad-bc<0 -8 Ta có: ax+b a ad  bc ad  bc    d cx  d c c(cx  d ) c2 ( x  ) c a ad  bc hay y   d c c2 ( x  ) c -6 -8 y x  d / c X   y  a / c Y Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo OI=(-d/c;a/c) ad  bc Là hàm số lẻ , đồ thị Ta có hàm số Y  c X Có tâm đối xứng là I(-d/c;a/c) ax +bx+c Hàm số: y  a'x+b' aa’0 x -3x+6 Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y  x-1 1) Tập xác định: R\{1} 2) Sự biến thiên x -2x-3 a) Chiều biến thiên: y '  (x-1)2 y’ =0 x = -1, x = 3.Dấu y’ là dấu x2-2x-3 Y’> x<-1 x> và y’<0 -1< x < Vậy hàm số tăng trên các khoảng(-;-1) và (3;+) hàm số giảm trên các khoảng(-1;1) và (1;3) b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=-1 và yCĐ=y(-1)=5 Hàm số đạt cực tiểu x=3 và yCT=y(3)=3 c) Giới hạn: lim y  lim( x 2  x x 4 )   , lim y  lim( x   )   x x x x Vậy đường thẳng: x = là tiệm cận đứng 4 )   , lim y  lim ( x   )  x   x   x   x   x x lim( y  ( x  2))  lim 0 Đường thẳng y = x -2 là tiệm x  x  x  lim y  lim ( x   Cận xiên d)Bảng biến thiên: x - Y’ y - + -1 -5 - + + + + 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung (0;-6) , đồ thị không cắt trục hoành Gọi I(1;-1) là giao điểm hai tiệm cận Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véc tơ OI,ta có:  x 1  X 4 , y x    Y X   x X y  1Y Hàm số lẻ trên R\{0} ,vậy I là tâm đối xứng đồ thị yy y= x-2 -10 -5 -1 O 10 -2 x=1 -4 -5 -6 hamhuuti.gsp -8 x Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: 1)Tập xác định: R\{-2} 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên  x  3x  y x2 y  x   x2 y’=-2-3/(x+2)2<0 x-2,hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-; -2) và (-2; +) b) Cực trị: hàm số không có cực trị c) Giới hạn: )  x  x  x2 lim y  lim ( x   )   x  x  x2 lim y  lim ( x   •Đường thẳng : x= -2 là tiệm cận đứng lim y  lim ( x   )   x   x   x2 lim y  lim ( x   )  x   x   x2 lim( y  ( x  1)) lim 0 x  x  x  •Đường thẳng y=-2x+1 là tiệm cận xiên d) Bảng biến thiên x - y’ + y -2 - + + - - - -10 -5 -2 -4 -6 -8 10 Tóm tắt: ax +bx+c C y Ax+B+ a'x b' a'x b' Ca ' y ' A(a ' x  b ') •Nếu ACa’>0 hàm số có cực trị •Nếu ACa’<0 hàm số đơn điệu trên hai khoảng xác định •Nếu C = hàm số trở thành y =Ax+B ,x-b’/a’ •Tiệm cận đứng: x= -b’/a’ •Tiệm cận xiên: y =Ax+B •Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng Đồ thị có các dạng sau: -10 8 6 4 2 -5 Hàm số giảm 10 -10 -5 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 10 Hàm số tăng Hàm số Có CĐ CT -10 -5 6 4 2 -1 O 10 -10 -5 -2 -2 -4 -4 -5 -6 -8 Hàm số Có CĐ CT -6 -8 10 Bài tập: 1) Bài tập SGK 2) Các bài tập ôn tập chương 3) Chứng minh đồ thị hàm số: ax+b y (c 0, ad  bc 0) cx  d ax +bx+c y (a ' 0) và ax2+bx+c không chia hết cho a'x b' a’x+b’ Có tâm đối xứng và hai trục đối xứng