CHỦ ĐỀ 5 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ I HÀM SỐ BẬC BA 1 Giới hạn, đạo hàm và cực trị Giới hạn Với thì và Với thì và Đạo hàm và cực trị Khi đó Hàm số có hai điểm cực trị khi có hai nghiệm phân biệt Gọi và là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có Hàm số không có cực trị khi vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Chú ý Đối với hàm số bậc ba ta luôn có và Nếu thì Nếu thì 2 Bảng biến thiên TH1 Hàm số có hai điểm cực trị Hệ số Hệ số TH2 Hàm số không có điểm cực trị Hệ số Hệ số 3 Đồ thị hàm số 4 Phương.
CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ I HÀM SỐ BẬC BA: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) Giới hạn, đạo hàm cực trị Giới hạn: y = +∞ lim y = −∞ - Với a > xlim →+∞ x →−∞ y = −∞ lim y = +∞ - Với a < xlim →+∞ x →−∞ Đạo hàm cực trị: y ′ = 3ax + 2bx + c Khi đó: - Hàm số có hai điểm cực trị y ′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′y′ > −2b x1 + x2 = 3a hai tọa độ điểm cực trị theo định lý Viet ta có: x x = c 3a Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) - Hàm số khơng có cực trị y ′ = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆′y′ ≤ Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta ln có yCĐ > yCT và: - Nếu a > xCĐ < xCT - Nếu a < xCĐ > xCT Bảng biến thiên TH1: Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 x −∞ + y′ y x1 CÑ − −∞ x2 +∞ x +∞ y′ y + −∞ − + +∞ CT Hệ số a > x1 −∞ Hệ số a < +∞ x y′ y +∞ −∞ Hệ số a > −∞ +∞ +∞ Hệ số a < −∞ Đồ thị hàm số a>0 +∞ − −∞ CT TH2: Hàm số khơng có điểm cực trị x y′ y x2 CÑ a xCÑ < xCT xCÑ > xCT ∆′y′ ≤ Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) ta làm sau: Ta có y ′ = 3ax + 2bx + c y để xác định hệ số a : Dựa vào xlim →+∞ - Nếu a > nhánh cuối đồ thị lên x; y tiến vơ - Nếu a < nhánh cuối đồ thị xuống x → +∞ y → −∞ Dựa vào giao điểm với trục tung ( 0; d ) suy tính chất hệ số d Dựa vào số điểm cực trị đồ thị hàm số suy số nghiệm phương trình y ′ = Dựa vào vị trí điểm cực trị, tọa độ điểm cực trị điểm mà đề cho thuộc đồ thị hàm số −2b x1 + x2 = 3a Trong trường hợp đồ thị hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 ta có: (định lý Viet) c x x = 3a Khi dựa vào x1 + x2 = −2b c suy tính chất b; dựa vào x1 x2 = suy tính chất c 3a 3a II CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số đây? A y = x − x + B y = x − x + C y = x + x + D y = − x + x + Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Hàm số cho có điểm cực trị nên ta loại đáp án B C y = +∞ nên hệ số Chọn A Mặt khác xlim →+∞ Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số y = f ( x ) hàm số hàm số sau: A y = x − x + B y = − x + x + C y = − x − 3x + Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim y = +∞ ⇒ Hệ số a > loại B C x →+∞ Mặt khác hàm số đạt cực trị x = 0, x = nên loại D Chọn A Ví dụ 3: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số đây? A y = x − x + B y = x + x + C y = x − x − D y = − x + x + Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm ( 0; d ) ⇒ d > nên ta loại đáp án C lim y = +∞ ⇒ a > nên ta loại đáp án D x →+∞ D y = x + x + Mặt khác hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 , x2 trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B Chọn A Ví dụ 4: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = − x + x + B y = − x + x + C y = x − x + D y = − x − 3x + Lời giải y = −∞ nên loại đáp án C Hàm số có hệ số a < xlim →+∞ Hàm số có điểm cực trị x1 < < x2 nên y ′ = có nghiệm phân biệt trái dấu x = 2 Xét đáp án A y = − x + x + ⇒ y′ = −3x + x = ⇔ (loại) x = Xét đáp án D y = − x − 3x + ⇒ y′ = −3 x − x < ( ∀x ∈ ¡ ) (loại) Chọn B Ví dụ 5: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a > 0, b > 0, c < 0, d > D a > 0, b > 0, c > 0, d < Lời giải y = +∞ ⇒ a > ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim →+∞ Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 > 0, x2 > −2b a >0 x1 + x2 = > → b0 x x = c > → c>0 3a Ví dụ 6: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a > 0, b > 0, c < 0, d > D a < 0, b > 0, c > 0, d < Lời giải y = +∞ ⇒ a > ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim →+∞ Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 < 0, x2 > x1 + x2 > −2b a >0 x1 + x2 = > → b0 x x = c < → c 0, d < B a > 0, b > 0, c < 0, d < C a < 0, b < 0, c < 0, d < D a < 0, b > 0, c < 0, d < Lời giải y = −∞ ⇒ a < ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d < Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim →+∞ Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 > 0, x2 > −2b a → b>0 a Mặt khác: y ′ = 3ax + 2bx + c ⇒ Chọn D c a < x x = > → c < 3a Ví dụ 8: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a > 0, b = 0, c > 0, d > B a < 0, b = 0, c > 0, d > C a < 0, b < 0, c = 0, d > D a < 0, b > 0, c = 0, d > Lời giải y = −∞ ⇒ a < (loại đáp án A) Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim →+∞ Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm ( 0; d ) ⇒ d > x1 = Hàm số có điểm cực trị nên y ′ = có nghiệm thỏa mãn x < x1 = x2 < Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c ⇒ y′ ( ) = ⇒ c = ⇒ x2 = −2b < ⇒ b < Chọn C 3a Ví dụ 9: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có điểm cực trị thỏa mãn x1 ∈ ( −1;0 ) , x2 ∈ ( 1; ) Biết hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Mệnh đề đúng? A a < 0, b > 0, c < 0, d < B a < 0, b < 0, c > 0, d < C a > 0, b > 0, c > 0, d < D a < 0, b > 0, c > 0, d < Lời giải Dựa vào giả thiết, ta có nhận xét sau: - Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ âm ⇒ f ( ) = d < - Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇒ x1 điểm cực tiểu x2 điểm cực đại ⇒ xCT < xCÑ ⇒ hệ số a < - Ta có f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn tổng x1 + x2 = nghiệm x1.x2 = −2b > ⇒ b > tích hai 3a −1 < x1 < x1 + x2 > c ⇒ < ⇒ c > Chọn D 3a 1 < x2 < x1.x2 < II HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y = ax + bx + c ( a ≠ 0) Giới hạn, đạo hàm cực trị Giới hạn y = +∞ - Với a > xlim →±∞ y = −∞ - Với a < xlim →±∞ x = Đạo hàm cực trị: y ′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) nên y′ = ⇔ x = − b 2a 2 - Với ab ≥ hàm số có điểm cực trị x = - Với ab < hàm số có điểm cực trị x = 0, x = ± Bảng biến thiên – – −b 2a – a > 0, b ≥ −∞ x y' y − a < 0, b ≤ x1 +∞ + CÑ CT − x2 −∞ +∞ x +∞ y' y + CT a > 0, b < x1 CÑ − −∞ + − x2 CÑ CT a < 0, b > Đồ thị hàm số a>0 ab ≥ ab < a loại đáp án B D x →+∞ Mặt khác hàm số có điểm cực trị nên loại đáp án C Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x + bx + c có bảng biến thiên hình vẽ Tính giá trị biểu thức T = b + 2c A T = −4 B T = C T = −2 Lời giải Do y ( ) = ⇔ c = −3 ⇒ y = − x + bx − Mặt khác f ( 1) = −2 ⇔ −1 + b + c = −2 ⇒ b + c = −1 ⇒ b = D T = −1 Suy b + 2c = − = −4 Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình Mệnh đề sau đúng? A a > 0, b < 0, c > B a < 0, b > 0, c < C a < 0, b > 0, c > D a < 0, b < 0, c > Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy lim y = −∞ ⇒ a < ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > x →∞ a0 Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ ( 0; c ) ⇒ c > Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a > 0, b > 0, c < B a > 0, b < 0, c > C a < 0, b > 0, c > D a > 0, b > 0, c > Lời giải y = +∞ ⇒ a > ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > Dựa vào đồ thị ta thấy: lim x →∞ a0 Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ ( 0; c ) ⇒ c > Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a > 0, b > 0, c > 0; b = 4ac B a > 0, b < 0, c > 0; b = 4ac C a > 0, b > 0, c > 0; b > 4ac D a > 0, b < 0, c > 0; b < 4ac Lời giải y = +∞ nên a > ; đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm ( 0;c ) ⇒ c > Ta có: xlim →+∞ vẽ Hàm số có ba cực trị suy ab < ⇒ b < Giá trị cực trị hàm số yCT −b b2 b = y ± = a − + c = ⇔ b = 4ac Chọn B ÷ ÷ 4a 2a 2a Ví dụ 7: Cho hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C, D hình vẽ bên Biết AB = BC = CD , mệnh đề sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0,100b = 9ac B a > 0, b > 0, c > 0,9b = 100ac C a > 0, b < 0, c > 0,9b = 100ac D a > 0, b > 0, c > 0,100b = 9ac Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim y = lim ( ax + bx + c ) = +∞ ⇒ a > x →+∞ x →+∞ b − a > b < ⇒ - Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm hình Gọi x1 , x2 nghiệm c c > >0 a b x + x = − ( 1) a c phương trình ax + bx + c = suy x1 x2 = a ( ) 2 x A = xD = x1 2 xB = xC = x2 Ta có AB = BC = CD ⇒ x A + xC = xB ⇒ x1 + x2 = −2 x2 ⇔ x1 = x2 ⇔ x1 = x2 (3) b x + x = − 9b a x1 = − c c 9b 10a x x = ⇒ ⇒ = ⇒ 9b = 100ac Từ (1), (2), (3) suy a a 100a x = − b x1 = x2 10a Suy a > 0, b < 0, c > 0,9b = 100ac Chọn C III HÀM SỐ PHÂN THỨC: y = Đạo hàm ax + b với c ≠ 0, ad − bc ≠ cx + d (5) Hàm số đạt giá trị lớn x = Số khẳng định là: A B C D Câu 53: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) khẳng định sau: (1) Hàm số y = f ( x + 3) đồng biến ( 0;1) y = f ( − x) (2) Hàm số ( 3; ) đồng biến (3) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị (4) Hàm số y = f ( − x ) đạt cực tiểu x = (5) Hàm số đạt giá trị nhỏ x = −3 Số khẳng định là: A B C Câu 54: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên mệnh đề sau: (1) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị (2) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại (3) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 1; +∞ ) (4) Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến khoảng 5 2; ÷ 2 (5) Trên đoạn [ −2;1] giá trị nhỏ f ( x ) f ( −2 ) Số mệnh đề là: D A B C D Câu 55: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên mệnh đề sau: (1) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị (2) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu (3) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 2;3) (4) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) f ( x ) + f ( x ) = f ( −1) + f ( 1) (5) max [ −1;4] [ −1;4] Số mệnh đề là: A B C D Câu 56: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên mệnh đề sau: (1) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị (2) Hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại (3) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) ( (4) Hàm số y = f − x + ) nghịch biến khoảng ( 1; ) (5) Trên đoạn [ −1;3] f ( 3) + f ( ) − f ( −1) > Số mệnh đề là: A B C D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Đồ thị hàm số có đạt cực trị điểm x = 0; x = nên loại C, D Mà nhìn vào dạng biến thiên đồ thị hàm số nên ta loại B Chọn A Câu 2: Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = Chọn D Câu 3: Đầu tiên nhìn vào bảng biến thiên ta suy a < Ta có y ′ = 3ax + 2bx + c có nghiệm dương −2b x1 + x2 = 3a > ⇒ b > 0; c < Chọn C nên ta có x x = c > 3a y = −∞ , lim y = +∞ ⇒ a < Câu 4: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương ⇒ d > Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng dương ⇒ − b c > ⇒ b > tích âm ⇒ < ⇒ c > Chọn A a a y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ a > Câu 5: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương ⇒ d > Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng dương ⇒ − b c > ⇒ b < tích âm ⇒ < ⇒ c < Chọn D a a Câu 6: Ta có f ′ ( x ) < với x ∈ ( a; b ) ⇒ f ( a ) > f ( b ) Mà f ′ ( x ) > với x ∈ ( b; c ) ⇒ f ( b ) > f ( c ) Chọn A y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ a > Câu 7: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ âm ⇒ d < Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng âm ⇒ − b c < ⇒ b > tích âm ⇒ < ⇒ c < Chọn D a a y = −∞ , lim y = +∞ ⇒ a < Câu 8: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương ⇒ d > Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng dương ⇒ − b > ⇒ b < ⇒ c = Chọn A a y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ a > Câu 9: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ âm ⇒ d > Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng âm ⇒− b < ⇒ b > tích ⇒ c = Chọn A a y = −∞ , lim y = +∞ ⇒ a < Câu 10: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương ⇒ d > Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng dương ⇒ − b > ⇒ b > tích ⇒ c = Chọn D a y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ a > Câu 11: xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương ⇒ d > Ta có: y ′ = 3ax + 2bx + c , nhận thấy hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số có tổng âm ⇒ − b c > ⇒ b > tích âm ⇒ < ⇒ c < Chọn D a a y = −∞ nên a < ; đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm ( 0; d ) ⇒ d > Câu 12: Ta có: xlim →+∞ xCÑ + xCT < Đồ thị hàm số có điểm cực trị ta thấy ; y ′ = 3ax + 2bx + c xCÑ xCT < ∆ ' = b − 3ac > −2b < ⇒ b < (do a < ) Chọn B Khi a c 3a < ⇒ c > y = +∞ nên a > ; đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm ( 0; d ) ⇒ d > Câu 13: Ta có: xlim →+∞ Đồ thị hàm số có điểm cực trị hai điểm nằm bên phải trục Oy Khi y ′ = 3ax + 2bx + c có nghiệm phân biệt dương ∆ ' = b − 3ac > −2b >0 ⇒ b < 0; c > Chọn B Suy 3a c 3a > y ′ ( 1) = −3 + 2a + b a = ⇒ Câu 14: Đạo hàm y ′ = −3 x + 2ax + b → y ′ ( 3) = −27 + 6a + b = b = −9 x = 1;y = −4 → y ( 1) = −1+ 6− 9+ c = −4 ⇒ c = Xét đáp án ta thấy C sai Chọn C Câu 15: Quan sát đồ thị ta có: A sai hàm số không nghịch biến khoảng ( 4; +∞ ) B sai hàm số đạt cực tiểu x = C sai đoạn −1;2 hàm số vừa có khoảng đồng biến, vừa có khoảng nghịch biến y + max y = −2 + = Chọn D D xmin ∈[ 0;2 ] x∈[ −1;2] Câu 16: Gọi hàm số bậc ba có dạng y = − x3 + ax2 + bx + c Ta có y′ = −3x2 + 2ax + b; y′′ = −6x + 2a Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị A( 1;9) , B ( −3; −23) y′ ( 1) = 2a + b − = ⇔ Điểm A( 1;9) điểm cực đại ⇒ (1) −1+ a + b + c = y( 1) = y′ ( −3) = −6a + b − 27 = ⇔ Điểm B ( −3; −23) điểm cực tiểu ⇒ (2) y( −3) = −23 27+ 9a − 3b + c = −23 f ( ) = Từ (1), (2) suy a = −3, b = c = Vậy y = − x − 3x + x + ⇒ Chọn B f ( ) = −2b x1 + x2 = 3a Câu 17: Ta có y ′ = 3ax + 2bx + c = có nghiệm x1 , x2 dựa vào đồ thị ta có: x x = c 3a −2b − x = 8b c 3a x = − x ⇒ ⇒ − = ⇔ 8b = −3ac Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy 2 9a 3a −2 x = c 3a Câu 18: Dựa vào đồ thị ta thấy y′ = có nghiệm x = 0;x = x3 2 ′ Suy y = k x − 2x ⇒ y = k − x ÷+ d ( ) x3 Với x = ⇒ y = ⇒ y = f ( x) = k − x ÷+ 8 Lại có: f ( 2) = −1⇒ k. − 4÷+ = −1⇒ k = ⇒ y = f ( x) = x − 3x + 3 Suy f ( a + b + c) = f ( −2) = Chọn D f ( x) = a( 1) Câu 19: Ta có ff ( x) = ⇔ f ( x) = b ( 2) (với a < b < c ) f ( x) = c ( 3) a < −2 Khi b∈ ( −2;2) từ suy phương trình (1) có nghiệm, phương trình (2) có nghiệm phương c > trình (3) có nghiệm Suy phương trình ff ( x) = có nghiệm Chọn D y = +∞ a > Câu 20: Ta có xlim →+∞ Đồ thị hàm số có điểm cực trị nên ab < ⇒ b < Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm ( 0;c) nên c > Chọn D y = −∞ a < loại đáp án C Câu 21: Dựa vào đồ thị hàm số ta có: xlim →+∞ Đồ thị hàm số có điểm cực trị nên ab ≥ ⇒ b ≤ loại B Đồ thị hàm số qua điểm ( 0; c) ⇒ c > loại D Chọn A y = −∞ ⇒ a < Câu 22: Dựa vào đồ thị hàm số f ( x) ta thấy: xlim →+∞ Do đồ thị hàm số có điểm cực trị nên ab < ⇒ b > , đồ thị hàm số cắt Oy điểm ( 0; c) ⇒ c > Chọn C Câu 23: Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu Giá trị lớn hàm số ¡ Hàm số có điểm cực trị nên ab < , mặt khác c = ⇒ ab( c + 1) < đáp án D sai Chọn D y = +∞ nên a > ; đồ thị hàm số cắt Oy điểm ( 0; c) ⇒ c > Câu 24: Ta có xlim →+∞ Đồ thị hàm số có điểm cực trị nên ab < ⇒ b < −b b2 b2 y = y ± = a − + c = ⇔ b = 4ac Chọn B Giá trị cực tiểu hàm số CT ÷ ÷ 4a 2a 2a Câu 25: Đồ thị hàm số qua điểm ( 0; −1) ⇒ c = −1 −b −b y = y Ta có: CD ÷ ÷ = 4a + c = ; y ( 1) = a + b + c = 2 a −b = 16a −b = 16 ( − b ) b = 12; a = ⇒ ⇔ Do b = 4; a = −1 a + b = a + b = Vậy a + b + c nhận giá trị 18 Chọn C Câu 26: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số đạt cực đại A( 0; −3) cực tiểu B ( −1; −5) Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c, ta có y′ = 4ax3 + 2bx y′′ = 12ax2 + 2b; ∀x∈ ¡ Đồ thị hàm số qua điểm cực đại A( 0; −3) điểm cực tiểu B ( −1; −5) −4a − 2b = a = y′ ( ) = y′ ( 1) = ⇔ c = −3 ⇔ b = −4 ⇒ P = a + 2b + 3c = −15 a + b + c = −5 c = −3 y ( ) = −3; y ( −1) = −5 Chú ý: Với a = 2; b = −4; c = −3 ta y = x − x − → y ′′ ( ) = −8 < ⇒ x = điểm cực đại hàm số Chọn A Câu 27: Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) ; hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) Hàm số có điểm cực trị gồm điểm cực tiểu x = ±1 điểm cực đại x = Trên khoảng ( −∞; +∞ ) hàm số khơng có giá trị lớn Chọn B m = 2m = ⇔ Câu 28: Để phương trình f ( x ) = 2m có hai nghiệm phân biệt Chọn C m < − m < − y ( 0) = c = c = Câu 29: Ta có y ′ = 4ax + 2bx → y ( 1) = ⇔ a + b + c = ⇔ a = ⇒ S = −2 Chọn A ′ 4a + 2b = b = −2 y ( 1) = −1 < x < Câu 30: Ta có f ′ ( x ) > ⇔ x >1 −1 < x − < 0 < x < Do y ′ = f ′ ( x − 1) > ⇔ 2 x − > x > 1 1 Từ hàm số y = f ( x − 1) đồng biến khoảng ; ÷ Chọn C 3 Câu 31: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: -Hàm số cho có điểm cực trị → (1) y = lim y = +∞ ⇒ a > Hàm số có điểm cực trị ⇒ ab < ⇒ b < -Vì xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị ( C ) cắt trục Oy điểm có tung độ âm ⇒ y ( ) = c < Do đó, tổng a − 2b − 3c lớn → (2) -Đồ thị ( C ) cắt trục Oy điểm M ( 0; y0 ) Vì x = điểm cực trị hàm số ⇒ Tiếp tuyến ( C ) x = y = y0 Dễ thấy y = y0 cắt đồ thị ( C ) điểm phân biệt → (3) Vậy (1), (2) , (3) Chọn C Câu 32: Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( ) = ⇔ x ( x − 1) = Ta có y = f ( x ) ⇒ y′ = f ′ ( x ) f ( x ) ; ∀x ∈ ¡ x ( x − 1) = f '( x) = ⇔ Phương trình y ′ = ⇔ , với k ∈ ( 1; ) x ( x − k ) = f ( x) = x = Khi y ′ = ⇔ x ( x − 1) ( x − k ) = ⇔ x = ±1 x = ± k 2 Dễ thấy nghiệm kể nghiệm đơn bội lẻ ⇒ Hàm số có điểm cực trị Chọn A f ( x ) = ( 1) Câu 33: Ta có f ( x ) + f ( x ) = ⇔ f ( x ) = −2 ( ) Giải (1), ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt khác ±1 Giải (2), ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y = −2 hai điểm có hồnh độ x = −1; x = suy f ( x ) = −2 ⇔ ( x + 1) Do y = x2 −1 f ( x ) + ( x − 1) = ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) = 2 ( x − 1) f ( x ) = có nghiệm phân biệt x − f x ( ) ( ) Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận đứng Chọn C Câu 34: Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng: y ( ) = −2 → e = − Ta có y = 4ax + 3bx + 2cx + d mà y ′ ( ) = y′ ( 1) = y ′ ( ) nên suy d = d = d = 4a + 3b + 2c + d = ⇔ 4a + 3b + 2c = ⇔ 4a + 3b + 2c = 32a + 12b + 4c + d = 32a + 12b + 4c = 8a + 3b + c = ( 1) ( 2) Lấy (1) + (2), ta 12a + 6b + 3c = ⇔ 4a + 2b + c = Vậy P = 4a + 2b + c + 2d + e = + 2.0 + ( −2 ) = −2 Chọn D f ′( x) = Câu 35: Ta có y = f ( x ) ⇒ y′ = f ( x ) ′ = f ′ ( x ) f ( x ) ; y ′ = ⇔ f ( x ) = Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt x = { 0;1; 2} , f ( x ) = có nghiệm phân biệt Do y ′ = có nghiệm phân biệt Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn C Câu 36: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: f ( x ) + = ⇔ f ( x ) = −3 ⇔ x ( x − x1 ) ( x − x2 ) = F ( x ) = có nghiệm phân biệt x3 , x4 2 Khi f ( x ) + f ( x ) = f ( x ) f ( x ) + 3 = x ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) Suy y = x2 = f ( x ) + f ( x ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Chọn B Câu 37: Ta có − d a b b < ⇒ cd > 0; > ⇒ ac > 0; < ⇒ bd < 0; − > ⇔ ab < Chọn D c c d a Câu 38: Ta có − d a b b < ⇒ cd > 0; > ⇒ ac > 0; < ⇒ bd < 0; − > ⇔ ab < Chọn B c c d a Câu 39: Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau: Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị ( C ) ⇒ x = − Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị ( C ) ⇒ x = Điểm M ( 0; −1) ∈ ( C ) suy y ( ) = −1 ⇔ b = ⇒ b = −2c c a =1⇒ a = c c = −1 ⇔ b = −2 b a = b = −2 ⇔ b = −2 ⇒ T = a + 2b + 3c = + ( −2 ) + = Chọn A Suy b = −2c = −2a c = Câu 40: Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = −3 −3 x + b 3−b ⇒ y ' ( 0) = − b Do hàm số có dạng: y = x − ⇒ y = ( x − 1) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2018 ⇒ − b = ⇒ b = Vậy a = −3; b = 1; c = ⇒ T = Chọn D Câu 41: Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = Do hàm số có dạng: y = 2x + b x +1 b2 b = ⇒ b = ±4 Khi (C ) ∩ Ox = A − ;0 ÷;(C ) ∩ Oy = ( 0; b ) ⇒ SOAB = Do y ′ = 2−b ( x + 1) a = < ⇒ b = ⇒ b = ⇒ T = ab + 2c = 10 Chọn B c = Câu 42: Xét hàm số y = f ( x ) = − ( a − x ) ( b − x ) = ( x − a ) ( x − b ) 2 f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ suy đồ thị hàm số có dạng chữ N xi Ta có xlim →+∞ x →−∞ Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm có tung độ y ( ) = −a.b mà a > suy y ( ) < f ( b ) = Mặt khác f ′ ( x ) = ( x − b ) + ( x − a ) ( x − b ) = ( x − b ) ( 3x − 2a − b ) suy suy đồ thị hàm số f ′ ( b ) = y = f ( x ) tiếp xúc với trục Ox M ( b;0 ) Chọn A Câu 43: Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau: lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = +∞ suy hệ số a > x →−∞ x →+∞ Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm có tung độ âm suy c < Đồ thị hàm số có điểm cực trị suy a.b < mà a > nên b < Vậy khẳng định abc > Chọn B Câu 44: Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị ( C ) qua hai điểm cực trị A( 1;0) , B ( 3; −4) Xét hàm số y = x3 + ax2 + bx + c , có y′ = 3x2 + 2ax + b;∀x∈ ¡ y′ ( 1) = 2a + b = −3 A ;9 ⇒ ⇔ Điểm ( ) điểm cực đại (1) y = a + b + c = −1 ( ) y′ ( −3) = 6a + b = −27 ⇔ Điểm B ( −3; −4) A( 1;9) điểm cực tiểu ⇒ (2) 9a + 3b + c = −31 y( 3) = −4 a = −6 Từ (1), (2) suy b = Vậy c = −4 a + b + c = −1 2 a + b + c = 133 ≠ 132 Chọn C a + c = −14 < 2b Câu 45: Ta có f ′ ( x ) > ⇔ x > −2; f ′ ( x ) < ⇔ x < −2 ⇒ f ′ ( −1) + f ′ ( 1) = + = ⇒ sai Đường y = cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) điểm phân biệt nên Chọn C Câu 46: Ta có f ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt nên Ba nghiệm x = 0, x = a ∈ ( −2;1) , x = b ∈ ( 1; ) ⇒ sai x >1 f ′( x) > ⇔ ⇒ x < −1 f ′ ( x ) < ⇔ −1 < x < ⇒ Chọn C Câu 47: Dựa vào hình vẽ, ta có bảng biến thiên: x y′ y −1 + + − − f ( 1) f ( 0) f ( 2) f ( −1) f ( 4) f ( x ) = f ( 1) ; f ( x ) = { f ( −1) ; f ( ) } Suy M = max [ −2;1] [ −2;1] Mà f ( ) + f ( ) + f ( ) = f ( −1) + f ( 1) ⇔ f ( ) − f ( −1) = f ( 1) − f ( ) + f ( 1) − f ( ) 44 43 4 >0 >0 Do f ( ) − f ( −1) > ⇔ f ( ) > f ( −1) Vậy M = f ( 1) ; m = f ( ) → M + m = f ( 1) + f ( ) Chọn D Câu 48: Dựa vào đồ thị hàm số ta suy hàm số đồng biến khoảng ( −3; −1) , nghịch biến khoảng ( −1;1) Suy f ( −1) > f ( −3 ) ; f ( −1) > f ( 1) Ta có f ( 1) + f ( ) = f ( −1) − f ( −2 ) + f ( −3 ) ⇔ f ( 1) − f ( −3) = f ( −1) − f ( −2 ) + f ( −1) − f ( ) Mà f ( −1) − f ( −2 ) > 0, f ( −1) − f ( ) > ⇒ f ( 1) − f ( −3) > ⇔ f ( 1) > f ( −3) Do f ( −1) > f ( 1) > f ( −3) nên giá trị nhỏ hàm số đoạn [ −3;1] f ( −3) Chọn A Câu 49: Dựa vào đồ thị hàm số ta suy hàm số đồng biến khoảng ( −3; −1) , nghịch biến khoảng ( −1;1) Suy f ( −1) > f ( −3 ) ; f ( −1) > f ( 1) Do giá trị lớn hàm số đoạn [ −3;1] f ( −1) Chọn B Câu 50: Dựa vào đồ thị hàm số ta suy hàm số đồng biến khoảng ( −3; −1) , nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ( 0; ) Suy f ( −1) > f ( −3) ; f ( −1) > f (0) > f (2) Ta có f ( ) + f ( −2 ) = f ( −1) + f ( −3) − f ( 1) ⇔ f ( ) − f ( −3 ) = f ( −1) − f ( −2 ) + f ( −1) − f ( 1) Mà f ( −1) > f ( ) , f ( −1) > f ( 1) ⇒ f ( ) − f ( −3) > ⇔ f ( ) > f ( −3 ) Do f ( −1) > f ( ) > f ( ) > f ( −3) nên giá trị nhỏ hàm số f ( −3) , giá trị lớn hàm số f ( x ) f ( −1) Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ f ( −1) + f ( −3) Chọn A Câu 51: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy hàm số đồng biến ( −∞; −2 ) , ( −2;0 ) , ( 0; ) ( 3; +∞ ) , hàm số nghịch biến ( 2;3) nên khẳng định (1) sai Ta có f ( − x ) ′ = −2 f ′ ( − x ) Hàm số đồng biến f ′( − 2x) < ⇔ < − 2x < ⇔ < x < nên hàm số y = f ( − x ) đồng biến 1 0; ÷ nên khẳng 2 định (2) Ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu qua điểm x = 2, x = nên hàm số có điểm cực trị nên khẳng định (3) sai Ta thấy f ′ ( x ) không đổi dấu qua điểm x = −2 nên x = −2 cực trị hàm số nên khẳng định (4) sai Hàm số khơng có giá trị lớn nên khẳng định (5) sai Do có khẳng định (1) Chọn A Câu 52: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) suy hàm số đồng biến ( −∞; −4 ) , ( 0;1) ( 3; +∞ ) , hàm số nghịch biến ( −4; −3) , ( −3;0 ) ( 1;3) nên khẳng định (1) đúng, khẳng định (2) sai Với khẳng định (2) ý hàm số nghịch biến ( −4; −3) ( −3;0 ) nghịch biến ( −4;0 ) Ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu qua điểm x = −4, x = 0, x = 1, x = nên hàm số có điểm cực trị nên khẳng định (3) Ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x = −4, x = nên hàm số có cực đại x = −4, x = nên hàm số có điểm cực đại nên khẳng định (4) Hàm số khơng có giá trị lớn nên khẳng định (5) sai Do có khẳng định (1), (3), (4) Chọn C Câu 53: Ta có f ( x + 3) ′ = xf ′ ( x + 3) Với x ∈ ( 0;1) x > x > ⇔ ⇒ xf ′ ( x + 3) < nên hàm số y = f ( x + 3) nghịch biến ( 0;1) 2 3 < x + < f ( x + 3) < nên khẳng định (1) Ta có f ( − x ) ′ = − f ′ ( − x ) Với x ∈ ( 3; ) −1 < − x < −2 ⇒ f ( − x ) < ⇒ − f ( − x ) > nên hàm số f ( − x ) đồng biến ( 3; ) nên khẳng định (2) Ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu qua điểm x = 0, x = nên hàm số có điểm cực trị nên khẳng định (3) Ta có f ( − x ) ′ = − f ′ ( − x ) Tại x = ⇒ − x = nên f ′ ( − x ) đổi dấu từ dương sang âm x = suy − f ′ ( − x ) đổi dấu từ dương sang âm điểm x = nên hàm số y = f ( − x ) đạt cực đại x = nên khẳng định (4) sai Hàm số khơng có giá trị lớn nên khẳng định (5) sai Do có khẳng định (1), (2), (3) Chọn C Câu 54: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: x = −2 → Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Phương trình f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 Và f ′ ( x ) đổi dấu từ − → + qua x = −2; x = ⇒ Hàm số có điểm cực tiểu f ′ ( x ) đổi dấu từ + → − qua x = −1 ⇒ Hàm số có điểm cực đại Ta có f ′ ( x ) > ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( 1; +∞ ) f ′ ( x ) < ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1;1) Suy hàm số đồng biến khoảng ( −2; −1) ( 1; +∞ ) Xét g ( x ) = f ( − x ) → g ′ ( x ) = − f ′ ( − x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > −2 < − x < − < x < ⇔ ⇔ ⇒ Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −∞;0 ) ( 2;3) 1 − x > x < Dựa vào bảng biến thiên → Trên đoạn [ −2;1] f ( −1) > { f ( −1) ; f ( 1) } Và S1 = −1 ∫ −2 f ′ ( x ) dx < S = ∫ −1 −1 −2 −1 f ′ ( x ) dx ⇔ ∫ f ′ ( x ) dx > − ∫ f ′ ( x ) dx f ( x ) = f ( 1) ⇔ f ( −1) − f ( −2 ) < f ( −1) − f ( 1) ⇔ f ( −2 ) > f ( 1) suy [ −2;1] Vậy có mệnh đề 1, Chọn C Câu 55: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: x = → Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Phương trình f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 Và f ′ ( x ) đổi dấu từ − → + qua x = ⇒ Hàm số có điểm cực tiểu f ′ ( x ) đổi dấu từ + → − qua x = −1; x = ⇒ Hàm số có điểm cực đại Ta có f ′ ( x ) > ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; ) f ′ ( x ) < ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; +∞ ) Suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 1; ) chứa ( 2;3) 2 Xét g ( x ) = f ( x ) → g ′ ( x ) = x f ′ ( x ) < ⇔ x f ′ ( x ) < (*) 2 Mà f ′ ( x ) = − ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) suy (*) ⇔ − x ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) < ⇒ Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −2; −1) , ( 0;1) ( 2; +∞ ) Dựa vào bảng biến thiên → Trên đoạn [ −1; 4] f ( 1) < { f ( −1) ; f ( ) } Và S1 = −1 ∫ −1 4 −1 f ′ ( x ) dx < S = ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ − ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx f ( x ) = f ( 1) [ −1;4] ⇔ f ( −1) − f ( 1) < f ( ) − f ( 1) ⇔ f ( −1) > f ( ) suy f ( x ) = f ( 4) max [ −1;4] Vậy có mệnh đề 2, Chọn B Câu 56: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: x = −1 Phương trình f ′ ( x ) = ⇔ nhiên f ′ ( x ) không đổi dáu qua x = x = Và f ′ ( x ) đổi dấu từ − → + qua x = −1 ⇒ Hàm số có điểm cực trị Ta có f ′ ( x ) > ⇔ x ∈ ( −1; +∞ ) f ′ ( x ) < ⇔ x ∈ ( −∞; −1) Suy hàm số đồng biến khoảng ( −1; +∞ ) chứa ( 0; ) ) ( Xét g ( x ) = f − x + → g ′ ( x ) = − x x +1 ) ( f ′ − x2 + < x > x > f ′ − x + > 1 − x + > −1 < x < ⇔ x f ′ − x + > ⇔ ⇔ ⇔ x < x < x < f ′ − x2 + < 1 − x + < −1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ⇒ Hàm số g ( x ) nghịch biến −∞; − 0; chứa 1; ) Dựa vào bảng biến thiên → Trên đoạn [ −2;1] f ( 3) > f ( ) > f ( −1) ⇒ f ( 3) + f ( ) − f ( −1) > có mệnh đề 3, Chọn B ... dụ 5: Hình đồ thị hàm số y = x − x + Đồ thị hình đồ thị hàm số hàm số sau A y = x − x + B y = x + x + C y = x − x + D y = x + x + Lời giải Từ đồ thị hàm số y = x − x + ta suy đồ thị hàm số. .. đối xứng phần đồ thị hình nằm Ox qua Ox Do đồ thị hình đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 3x + Chọn B Ví dụ 2: Hình đồ thị hàm số y = x − x + x + Đồ thị hình đồ thị hàm số hàm số sau A y = x... (vì hàm số y = f ( x ) hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng) Đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C1 ) Mẫu 3: Từ đồ thị hàm số y = u ( x ) v ( x ) ( C ) suy đồ thị